2021届高考数学二轮总复习层级二专题五概率与统计第三讲随机变量及其分布列学案理含解析

方法技巧25 概率与离散型随机变量的分布列及期望【一】利用古典概型求随机变量的概率(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率.【解析】(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人.(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为：{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种.②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种.所以事件M 发生的概率P (M ＝521.【例2】在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A 岗位服务的概率.【解析】(1)记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”为事件E A ，那么P (E A )＝A33C25A44＝140，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E ，那么P (E )＝A44C25A44＝110， 所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)因为有两人同时参加A 岗位服务的概率P 2＝C25A33C25A44＝14，所以仅有一人参加A 岗位服务的概率P 1＝1－P 2＝34.2.巩固提升综合练习【练习1】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．【解析】(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． (2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．②不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种． 所以事件M 发生的概率P (M )＝521.【练习2】2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.72,108,12025,,,,,A B C D E F（ii ）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率. 【解析】（I ）由已知，老、中、青员工人数之比为， 由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人. （II ）（i ）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为,,,,共15种；（ii ）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种，所以，事件M 发生的概率. 【二】利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求随机变量的概率M M 6:9:10{}{}{}{}{},,,,,,,,,A B A C A D A E A F {}{}{}{},,,,,,,B C B D B E B F {}{}{},,,,,C D C E C F {}{}{},,,,,D E D F E F {}{}{}{},,,,,,,A B A D A E A F {}{}{},,,,,B D B E B F {}{},,,C E C F {}{},,,D F E F 11()15P M =(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .因为A ，B ，C 两两互斥，所以P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.【例2】(1)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为________.（2）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.（3）保持本例(2)条件不变，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________. （4）保持本例(2)条件不变，则该选手回答了5个问题(5个问题必须全部回答)就结束的概率为________.【解析】(1)设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A ，B ，C ，D ，则P (A )＝0.6，P (B )＝P (C )＝0.5，P (D )＝0.4，恰好3人使用设备的概率P 1＝P (A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D )＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，4人使用设备的概率P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求概率P ＝0.25＋0.06＝0.31.(2)依题意，该选手第2个问题回答错误，第3,4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P ＝1×0.2×0.82＝0.128.（3）依题意，该选手第3个问题的回答是错误的，第4,5个问题均回答正确，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P ＝0.23×0.82＋2×0.2×0.8×0.2×0.82＝0.005 12＋0.040 96＝0.046 08.（4）依题意，设答对的事件为A ，可分第3个回答正确与错误两类，若第3个回答正确，则有A A A A 或A A A A 两类情况，其概率为：0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2＝0.025 6＋0.006 4＝0.032.若该选手第3个问题的回答是错误的，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P ＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以所求概率为0.032＋0.072＝0.104.【例3】甲、乙两人组成“火星队”参加投篮游戏，每轮游戏中甲、乙各投一次，如果两人都投中，则“火星队”得4分；如果只有一人投中，则“火星队”得2分；如果两人都没投中，则“火星队”得0分．已知甲每次投中的概率为45，乙每次投中的概率为34；每轮游戏中甲、乙投中与否互不影响，假设“火星队”参加两轮游戏，求： (1)“火星队”至少投中3个球的概率；(2)“火星队”两轮游戏得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．【解析】(1)设事件A i 为“甲第i 次投中”，事件B i 为“乙第i 次投中”，i ＝1，2， 由事件的独立性和互斥性可得， P (至少投进3球)＝ P (A 1A 2B 1B 2)＋P (1A A 2B 1B 2)＋P (A 12A B 1B 2)＋P (A 1A 21B B 2)＋P (A 1A 2B 12B )＝45×45×34×34＋2×(15×45×34×34＋45×45×14×34)＝3950， 所以“火星队”至少投中3个球的概率为3950．(2)X 的所有可能的取值为0，2，4，6，8，P (X ＝0)＝14×15×14×15＝1400；P (X ＝2)＝2×(34×15×14×15＋14×45×14×15)＝14400＝7200；P (X ＝4)＝2×(34×45×14×15＋14×45×34×15)＋34×15×34×15＋14×45×14×45＝73400；P (X ＝6)＝2×(34×45×34×15＋34×45×14×45)＝168400＝2150；P (X ＝8)＝34×45×34×45＝144400＝925．所以X 的分布列为E (X )＝0×1400＋2×14400＋4×73400＋6×168400＋8×144400＝315．2.巩固提升综合练习 【练习1】某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)【解析】(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为： 1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟).(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.则P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.【练习2】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列．【解析】记E ＝“甲组研发新产品成功”，F ＝“乙组研发新产品成功”，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝“至少有一种新产品研发成功”，则H ＝E F ， 于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315．(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315＝15，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25．故所求的分布列为【练习3】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 【解析】(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.【练习4】某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．【解析】(1)设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫5，23．在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P (X ＝2)＝C 25×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－233＝40243． (2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1，2，3，4，5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 34A 5A )＋P (1A A 2A 3A 45A )＋P (1A 2A A 3A 4A 5)＝⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫132× ⎝⎛⎭⎫233＝881．(3)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1，2，3)． 由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6． P (ξ＝0)＝P (1A 2A 3A )＝⎝⎛⎭⎫133＝127，P (ξ＝1)＝P (A 12A 3A )＋P (1A A 2 3A )＋P (1A 2A A 3)＝23×⎝⎛⎭⎫132＋13×23×13＋⎝⎛⎭⎫132×23＝29，P (ξ＝2)＝P (A 12A A 3)＝23×13×23＝427，P (ξ＝3)＝P (A 1A 23A )＋P (1A A 2A 3)＝⎝⎛⎭⎫232×13＋13×⎝⎛⎭⎫232＝827， P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827． 所以ξ的分布列是【三】利用条件概率公式求随机变量的概率，第2次抽到理科题的概率为________.【解析】法一：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝3×2A2535＝12. 法二：在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为12.【例2】将三颗骰子各掷一次，记事件A 为“三个点数都不同”，B 为“至少出现一个6点”，则条件概率P (A |B )＝__________，P (B |A )＝________.(2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝________.【解析】(1)P (A |B )的含义是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91种情况，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有C 13×5×4＝60种情况，所以P (A |B )＝6091. P (B |A )的含义是在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不同”有6×5×4＝120种情况，所以P (B |A )＝12.(2)解法一：P (A )＝C23＋C22C25＝410＝25，P (AB )＝C22C25＝110，由条件概率公式，得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11025＝14.解法二：事件A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个． 事件AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)＝1． 得P(B|A)＝n （AB ）n （A ）＝14．2.巩固提升综合练习【练习1】已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A ．310B ．29C ．78D ．79【解析】解法一：设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730，则所求概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝730310＝79．解法二：第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为：97=P【练习2】某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为 ( )A ．110B ．15C ．25D ．12【解析】设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ， 则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1512＝25．故选C ．【练习3】高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是____________．【解析】设“甲乙二人相邻”为事件A ，“甲丙二人相邻”为事件B ，则所求概率为41)()()(44223322===A A A A A P AB P A B P【一】二项分布40(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的概率为40100＝25，故X ～B (3，25)．所以P (X ＝0)＝C 03(25)0(35)3＝27125，P (X ＝1)＝C 13(25)(35)2＝54125， P (X ＝2)＝C 23(25)2(35)＝36125，P (X ＝3)＝C 3(25)3(35)0＝8125． 所以X 的分布列为【例2】一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 【解析】(1)X 可能的取值为10，20，100，－200．根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×(12)1×(1－12)2＝38，P (X ＝20)＝C 23×(12)2×(1－12)1＝38，P (X ＝100)＝C 3×(12)3×(1－12)0＝18，P (X ＝－200)＝C 03×(12)0×(1－12)3＝18．所以X 的分布列为(2)设“第i i 则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18．所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－(18)3＝1－1512＝511512．因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是511512．2.巩固提升综合练习【练习1】甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对,,A B C 三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍,,A B C 的概率分别为311,,423,乙同学购买书籍,,A B C 的概率分别为211,,322,假设甲、乙是否购买,,A B C 三种书籍相互独立. （1）求甲同学购买3种书籍的概率；（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为X ,求X 的概率分布列和数学期望. 【解析】（1）记“甲同学购买3种书籍”为事件A ，则3111()4238P A =⨯⨯=. 答：甲同学购买3种书籍的概率为18.（2）设甲、乙同学购买2种书籍的概率分别为1p ，2p .则1312311111542342342312p =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，2211211111532232232212p =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以12p p =，所以5~2,12X B ⎛⎫⎪⎝⎭. 02025749(0)1212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，11125770(1)1212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 2225725(2)1212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的概率分布为()0121441441446E X =⨯+⨯+⨯=. 【练习2】“移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”,某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识.学习结束后,每人都进行限时答卷,得分都在[]50,100内.在这些答卷(有大量答卷)中,随机抽出200份,统计得分绘出频率分布直方图如图.(1)求出图中a 的值,并求样本中,答卷成绩在[)80,90上的人数;(2)以样本的频率为概率,从参加这次答卷的人群中,随机抽取4名,记成绩在80分以上(含80分)的人数为X ,求X 的分布列和期望.【解析】()1依题意,()2 376 2101,a a a a a ⨯++++=故0.005a = 故成绩在[)80,90上的频率为600.3,a = 答卷成绩在[)80,90上的人数为2000.360; ⨯=()2由样本的频率分布直方图知成绩在80分以上(含80分)的频率为2805a =依题意,24,5X B ⎛⎫- ⎪⎝⎭故()04042381055625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()31423216155625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22423442321623962,35562555625P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()4442316455625P X C α⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以X 的分布列为X 的数学期望为()455E X =⨯= 【二】超几何分布1.例题 【例1】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列.【解析】(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M ＝C48C510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝C56C510＝142，P (X ＝1)＝C46C14C510＝521， P (X ＝2)＝C36C24C510＝1021，P (X ＝3)＝C26C34C510＝521，P (X ＝4)＝C16C44C510＝142.因此X 的分布列为【】为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列.【解析】(1)由已知，得P (A )＝C22C23＋C23C23C48＝635.所以事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4，其中P (X ＝k )＝Ck 5C4－k3C48(k ＝1,2,3,4).故P (X ＝1)＝C15C33C48＝114，P (X ＝2)＝C25C23C48＝37，P (X ＝3)＝C35C13C48＝37，P (X ＝4)＝C45C03C48＝114，所以随机变量X 的分布列为【】为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行.市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示， (1)若甲单位数据的平均数是122，求x ；(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列. 【解析】(1)由题意知110[105＋107＋113＋115＋119＋126＋(120＋x )＋132＋134＋141]＝122，解得x ＝8.(2)由题得ξ1的所有可能取值为0,1,2，ξ2的所有可能取值为0,1,2，因为η＝ξ1＋ξ2，所以随机变量η的所有可能取值为0,1,2,3,4.因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，所以P (η＝0)＝C27C26C210C210＝745， P (η＝1)＝C17C13C26＋C27C14C16C210C210＝91225，P (η＝2)＝C23C26＋C27C24＋C17C13C16C14C210C210＝13，P (η＝3)＝C23C16C14＋C17C13C24C210C210＝22225，P (η＝4)＝C23C24C210C210＝2225.所以η的分布列为2.巩固提升综合练习 【练习1】某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X ，求X 的分布列. 【解析】因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X 的分布列服从参数N ＝8，M ＝3，n ＝3的超几何分布.X 的所有可能取值为0,1,2,3，其中P (X ＝i )＝Ci 3C3－i 5C38(i ＝0,1,2,3)，则P (X ＝0)＝C03C35C38＝528，P (X ＝1)＝C13C25C38＝1528，P (X ＝2)＝C23C15C38＝1556，P (X ＝3)＝C33C05C38＝156. 所以X 的分布列为：【练2】长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：(1)现从36(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1000,3000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X 的分布列. 【解析】(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为1236×6＝2.(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000,3 000]内的有3节，故X 的可能取值为0,20,40,60. P (X ＝0)＝1C26＝115，P (X ＝20)＝C13C12C26＝615＝25，P (X ＝40)＝C12＋C23C26＝515＝13，P (X ＝60)＝C13C26＝315＝15，则X 的分布列为【练习3】某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A B 、两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将A 队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家B 队的平均分比A 队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”.（1）主持人从A 队所有选手成绩中随机抽取2个，求至少有一个为“晋级”的概率；（2）主持人从A B 、两队所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.【解析】（1）B 队选手的平均分为111221252736226+++++=,设A 队第6位选手的成绩为x 分,因为B 队的平均分比A 队的平均分多4分,则911132431224186x+++++=-=,得20x,则A 队中成绩不少于21分的有2个,因为从中抽取2个至少有一个为“晋级”的对立事件为两人都没有“晋级”,则概率2426315C P C =-=（2）由（1）,A 队中所有选手成绩能“晋级”的有2个,B 队中所有选手成绩能“晋级”的有4个,则ξ的可能取值有0,1,2,3,4,()224222662075C C P C C ξ===；()1122112424422266561225C C C C C C P C C ξ+===； ()111122222442224422661012225C C C C C C C C P C C ξ++===；()2111122422442266563225C C C C C C P C C ξ+===； ()222422662475C C P C C ξ===； ∴ξ的分布列为∴()2561015620123427522522522575E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【一】利用概率解决实际决策问题【例1】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列数学期望及方差； ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 【解析】(1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80.当日需求量n <16时，利润y ＝10n －80.所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧10n －80，n<16，80，n≥16(n ∈)．(2)①X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的分布列为X的数学期望为EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.X的方差为DX＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y的数学期望为EY＝55×0.1＋Y的方差为DY＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，DX<DY，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然EX<EY，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y的数学期望为EY＝55×0.1＋由以上的计算结果可以看出，EX<EY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．【例2】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？ 【解析】⑴每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11记事件i A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i = 记事件i B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======，()()220.4P A P B ==设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22()()()11160.20.20.04P X P A P B ===⨯=()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.20.40.2P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯+⨯0.20.40.24+⨯=()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()3443210.20.20.20.20.08P x P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=()()()44220.20.20.04P x P A P B ===⨯=⑵要令(P x n ≤，0.040.160.240.5++<，0.040.160.240.240.5+++≥则n 的最小值为19； ⑶购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当19n =时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040⨯+⨯+⨯+⨯= 当20n =时，费用的期望为202005000.0810000.044080⨯+⨯+⨯= 所以应选用19n = 2.巩固提升综合练习【练习1】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知 ()2162000.290P X +=== ()363000.490P X === ()25745000.490P X ++===.因此X 的分布列为⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200500n ≤≤ 当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n 若最高气温位于区间[)20，,25，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n;若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n ×0.4+（1200-2n ）×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n 当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n; 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n ×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n所以n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元。

专题3 统计与概率1.线性回归分析的注意点(1)回归直线一定过样本点的中心(,);(2)已知样本点不一定在回归直线上; (3)未知点的求解,通过代入回归直线方程求解即可. 2.独立性检验的注意点K 2的取值的意义有两种表述,当数值表中数值为0.01时,表述为失误率不超过1%的前提下,说两者相关;当数值表中数值为0.99时,表述为有99%的把握,说两者相关.3.求较复杂的古典概型计算的两种方法 (1)树状图法:当事件个数没有很明显的规律,并且涉及的基本事件又考向一 统计【典例】(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(x i ,y i )(i=1,2,…,20)得到下面的散点图: 由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y=a+bxB.y=a+bx 2C.y=a+be xD.y=a+bln x考向二 概率【典例】(2020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD 的中心,在O,A,B,C,D 中任取3点,则取到的3点共线的概率为A. B. C. D.1.对某同学7次考试的数学成绩x 和物理成绩y 进行分析,下面是该生7次考试的成绩.发现他的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的,利用最小二乘法得到线性回归方程为y=0.5x+a,若该生的数学成绩达到130分,估计他的物理成绩大约是数学888311792108100112物理94 91108 96 104 101 106A.114.5B.115C.115.5D.1162.已知两组数据x,y的对应关系如表所示,若根据表中的数据得出y 关于x的线性回归方程为y=6.5x+17.5,则表中m的值为x 2 4 5 6 8y 30 38 50 m 72A.50B.55C.56.5D.603.某班主任对班级51名同学进行了作业量多少的调查,结合数据建立了一个2×2列联表,可能用到的公式:K2=,可能用到的数据:P≈0.01,P≈0.05,参照以上公式和数据,得到的正确结论是( )认为作业多认为作业不多总计喜欢玩电脑游戏18 12 30不喜欢玩电脑游戏5 16 21总计23 28 51A.有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关B.有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少无关C.有99%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关D.有99%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少无关4.为了检验设备M与设备N的生产效率,研究人员作出统计,得到如表所示的结果,则设备M 设备N 不是太多时,我们可借助树状图法直观地将其表示出来.(2)图表法:在求概率时,若事件可以表示成有序数对的形式,则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示.1.较复杂的事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件的概率公式简化运算.2.频数、频率、样本容量的计算方法(1)×组距=频率;(2)=频率.3.频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.1.求回归直线解析式时错用已知数据而不是求解【案例】T1要注意.先生产出的合格产品48 43生产出的不合格产品 2 7A.有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性B.没有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性C.可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性D.不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性求出=100,=100,然后再求解a的值.2.频率分布直方图中错把小长方形的高当成概率【案例】T5求a的值,用概率之和为1的方法求解,应注意的是,每一个小长方形表示的概率应该是×组距. 5.某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况,从该年级的1 120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩,发现都在[80,150]内现将这100名学生的成绩按照[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分组后,得到的频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是A.频率分布直方图中a的值为 0.040B.样本数据低于130分的频率为 0.3C.总体的中位数(保留1位小数)估计为123.3分D.总体分布在[90,100)的频数一定与总体分布在[100,110)的频数相等6.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为A. B. C. D.7.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.如图是根据环保部门某日早6点至晚9点在A县、B县两个地区附近的PM2.5监测点统计的数据(单位:毫克/立方米)列出的茎叶图,A县、B县两个地区浓度的方差较小的是A.A县B.B县C.A县、B县两个地区相等D.无法确定8. 对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为A.0.09B.0.20C.0.25D.0.459.细木棒,长度分别为1,3,5,7,9(cm),从中任取三根,能搭成三角形的概率是A. B. C. D.10.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5道不同的题目,其中选择题3道,填空题2道.甲、乙两人依次抽取1道题,则甲抽中选择题、乙抽中填空题的概率等于A. B. C. D.11.山东电视台“国学小名士”的播出引发了学校的国学热,某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛,班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“国学达人”的称号,小于85分且不小于70分的学生得到“国学能手”的称号,其他学生得到“国学爱好者”的称号,根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样,抽选10名学生,则抽选的学生中获得“国学达人”称号的人数为A.2B.4C.5D.612.为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为=x+,已知x i=225,y i=1 600,=4.该班某学生的脚长为24厘米,据此估计其身高为A.160厘米B.163厘米C.166厘米D.170厘米13.(谢尔宾斯基地毯)如图,将一个正方形平均划分为9个小正方形,去掉中间的小正方形,再对余下的小正方形重复这一操作,得到的图形称为“谢尔宾斯基地毯”,在原正方形内部随机取一点,则该点取自“谢尔宾斯基地毯”的概率是A. B. C. D.14.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为A.0.4B.0.6C.0.8D.115.经统计,在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如表:排队人数0 1 2 3 4 ≥5概率0.10.16 0.3 0.3 0.10.04则该营业窗口上午9点钟时,至少有1人排队的概率是________.16.将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示,则7个剩余分数的中位数是________,方差是________.专题3 统计与概率///真题再研析·提升审题力///考向一D 由散点图分布可知,散点图分布在一个对数函数的图象附近,因此,最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y=a+b ln x.考向二A 如图,从O,A,B,C,D 5个点中任取3个点有{O,A,B},{O,A,C},{O,A,D},{O,B,C},{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D},{A,C,D},{B,C,D}共10种不同取法,3点共线只有{O,A,C}与{O,B,D}共2种情况,由古典概型的概率计算公式知,取到3点共线的概率为=.///高考演兵场·检验考试力///1.B 由题可知:=100,=100,所以a=-0.5=100-0.5×100=50,当x=130时,y=0.5×130+50=115.2.D 由表中数据,计算=×=5,=×=38+,因为回归直线方程y=6.5x+17.5过样本点的中心,所以38+=6.5×5+17.5,解得m=60.3.A 根据所给数据可得K2的观测值k=≈6.535>3.841 ,所以有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关.4.A 将题表中的数据代入公式,计算得K2的观测值k=≈3.053,因为3.053>2.706,所以有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性.5.C 由频率分布直方图得:×10=1,解得a=0.030,故A错误;样本数据低于130分的频率为:1-(0.025+0.005)×10=0.7,故B错误;的频率为:(0.005+0.010+0.010+0.015)×10=0.4,的频率为:0.030×10=0.3.所以总体的中位数(保留1位小数)估计为:120+×10≈123.3分,故C正确;样本分布在的频数一定与样本分布在的频数相等,总体分布在的频数不一定与总体分布在的频数相等,故D错误.6.C从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有{1,2,3}, {1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5}10种不同的取法.其中的勾股数只有{3,4,5},故3个数构成一组勾股数的取法只有1种,故所求概率P=.7.A 根据茎叶图中的数据可知,A县的数据都集中在0.05和0.08之间,数据分布比较稳定,而B县的数据分布比较分散,不如A县数据集中,所以A县的方差较小.8.D设区间[25,30)对应矩形的另一边长为x,由所有矩形面积之和为1,得(0.02+0.04+0.06+0.03+x)×5=1,解得x=0.05.产品为二等品的概率为0.04×5+0.05×5=0.45.9.D 设取出的三根木棒能搭成三角形为事件A,任取三根木棒按长度不同共有1、3、5,1、3、7,1、3、9,1、5、7,1、5、9,1、7、9,3、5、7,3、5、9,3、7、9,5、7、9,10种情况,由于三角形两边之和大于第三边,构成三角形的只有3、5、7,3、7、9,5、7、9三种情况,故所求概率为P(A)=.10.C 记选择题为A,B,C,填空题为d,e.则甲、乙两人依次抽取,不同的结果有:(A,B),(A,C),(A,d),(A,e),(B,A),(B,C),(B,d),(B,e),(C,A),(C,B),(C,d),(C,e),(d,A),(d,B),(d,C),(d,e),(e,A),(e,B),(e,C),(e,d).共20个.其中甲抽中选择题、乙抽中填空题的结果有:(A,d),(A,e),(B,d),(B,e),(C,d),(C,e),共6个.所以甲抽中选择题、乙抽中填空题的概率P==.11.A 由茎叶图可得,获“国学达人”称号的有8人,据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样,抽选10名学生,则抽选的学生中获得“国学达人”称号的人数为8×=2.12.C 由题意可知=4x+,又=22.5,=160,因此160=22.5×4+,解得=70所以=4x+70.当x=24时,=4×24+70=166.13.A 设大正方形的边长为9,则每个小正方形的边长为1,则大正方形的面积为9×9=81,则每个小正方形的面积为1,则所有阴影部分正方形的面积之和为3×3+8=17,则剩余部分的面积为81-17=64,则对应概率P=.14.B 5件产品中有2件次品,记为a,b,有3件合格品,记为c,d,e,从这5件产品中任取2件,有10种,分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6种,分别是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),设事件A为“恰有一件次品”,则P(A)==0.6.15.【解析】由表格可得至少有1人排队的概率P=0.16+0.3+0.3+0.1+0.04=0.9.答案:0.916.【解析】由题图可知去掉的两个数是87,99,所以87+90×2+91×2+94+90+x=91×7,解得x=4,即7个数据是87,90,90,91,91,94,94,故中位数是91,方差s2=[(87-91)2+(90-91)2×2+(91-91)2×2+(94-91)2×2]=.答案:91。

6.4.2随机变量及其分布必备知识精要梳理1.超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.2.二项分布一般地,在n次独立重复试验中,事件A发生的次数为X,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=p k q n-k,其中0<p<1,p+q=1,k=0,1,2,…,n,称X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p),且E(X)=np,D(X)=np(1-p).3.正态分布一般地,如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)d x,则称X的分布为正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是:①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6;②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4.4.离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,x i,…,x n,X取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率P(X=x i)=p i,.X x1x2x3…x i…x nP p1p2p3…p i…p n关键能力学案突破热点一依据频率求概率的综合问题【例1】某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2):满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.解题心得频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率,在实际问题中,常用事件发生的频率作为概率的估计值.频率本身是随机的,而概率是一个确定的数,是客观存在的,因此概率与每次试验无关.(1)利用基本概念:①互斥事件不可能同时发生;②对立事件是互斥事件,且必须有一个要发生.(2)利用集合的观点来判断:设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A,B,全集为I.①事件A与B互斥,即集合A∩B=⌀;②事件A与B对立,即集合A∩B=⌀,且A∪B=I,也即A=∁I B 或B=∁I A.(3)对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件则可以是多个事件间的关系.(4)如果A1,A2,…,A n中任何两个都是互斥事件,那么我们就说A1,A2,…,A n彼此互斥.(5)若事件A1,A2,A3,…,A n彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).应用互斥事件的概率加法公式解题时,一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率,再求和.对于较复杂事件的概率,可以转化为求其对立事件的概率.(6)求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,然后再应用公式P(A)=1-P(。