2018-2019学年度北师大版数学必修2课时跟踪检测：(二十)点到直线的距离公式

第二章 解析几何初步 §1 直线与直线的方程 1.2 直线的方程(2)课时跟踪检测一、选择题1．过两点(2,5)，(2，－5)的直线方程是( ) A ．x ＝5 B ．y ＝2 C ．x ＋y ＝2 D ．x ＝2答案：D2．经过点M (1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( ) A ．x ＋y ＝2 B ．x ＋y ＝1或y ＝x C ．x ＋y ＝2或y ＝xD ．x ＝1或y ＝1 解析：当截距均为0时，直线方程为y ＝x ， 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，∵直线经过点M (1,1)，∴1a ＋1a ＝1，a ＝2，∴直线方程为x ＋y ＝2. ∴所求方程为x ＋y ＝2或y ＝x . 答案：C3．直线5x －4y －20＝0在x 轴上的截距，在y 轴上的截距和斜率分别是( ) A ．4,5，54 B ．5,4，54 C ．4，－5，54D ．4，－5，45解析：5x －4y ＝20，得x 4－y5＝1，即x 4＋y －5＝1，在x 轴、y 轴上的截距分别为4和－5.化为斜截式：y ＝54x －5，则斜率为54.答案：C4．若(m2－4)x＋(m2－4m＋3)y＋1＝0表示直线，则()A．m≠±2且m≠1，m≠3B．m≠±2C．m≠1且m≠3D．m∈R解析：方程若表示直线，则x、y系数不同时为0，若m2－4＝0，则m＝±2；若m2－4m＋3＝0，则m＝1或m＝3.显然m2－4与m2－4m＋3不同时为0，所以m∈R.答案：D5．如果AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵AC<0，BC<0，∴令x＝0，得y＝－CB>0，令y＝0，得x＝－CA>0，∴直线Ax＋By＋c＝0经过一，二，四象限，即直线不经过第三象限．答案：C6．设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线方程分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是()A．y＝2x＋5 B．y＝2x＋3C．y＝3x＋5 D．y＝－x2＋52解析：A(3，－1)关于直线x＝0的对称点A1(－3，－1)必在直线BC上，A(3，－1)关于直线y＝x的对称点A2(－1,3)也在直线BC上，∴直线BC的方程为y＋1 3＋1＝x＋3－1＋3，即y＝2x＋5. 答案：A二、填空题7．直线(2m －1)x －(m ＋3)y －m ＋11＝0恒过定点________． 解析：直线方程可转化为： (2x －y －1)m ＋(11－x －3y )＝0，由题意知，⎩⎨⎧ 2x －y －1＝0，11－x －3y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3.答案：(2,3)8．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则直线在y 轴上的截距为__________．解析：直线过点(3,0)，代入直线方程得： 3(a ＋2)－2a ＝0，解得a ＝－6， ∴直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0， 令x ＝0，得y ＝－415， ∴直线在y 轴上截距为－415. 答案：－4159．在直线方程kx －y ＋b ＝0中，当x ∈[－3,4]时，恰好y ∈[－8，13]，则此直线的方程为____________________________________________．解析：方程化为y ＝kx ＋b (k ≠0)．k ＞0时，y ＝kx ＋b 为增函数，⎩⎨⎧－8＝－3k ＋b ，13＝4k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝3，b ＝1，此时方程为y ＝3x ＋1；当k ＜0时，y ＝kx ＋b 为减函数，⎩⎨⎧－8＝4k ＋b ，13＝－3k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－3，b ＝4，此时直线方程为y ＝－3x ＋4.∴直线方程为3x －y ＋1＝0或3x ＋y －4＝0. 答案：3x －y ＋1＝0或3x ＋y －4＝0三、解答题10．一条直线从点A (3,2)出发，经x 轴反射经过点B (－1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程的一般式．解：由光的反射性质可得A 关于x 轴的对称点A ′(3，－2)．A ′B 的方程为y ＋26＋2＝x －3－1－3，即2x ＋y －4＝0. 直线A ′B 与x 轴交点C (2,0)，则入射光线AC 的方程为y －02－0＝x －23－2，即2x －y －4＝0.∴入射光线所在直线方程为2x －y －4＝0，反射光线所在直线方程为2x ＋y －4＝0.11．根据下列所给条件求直线方程的一般式．(1)△ABC 的顶点A (－1,3)，B (2,4)，C (3，－2)，求BC 边上中线所在直线的方程；(2)▱ABCD 的顶点A (1,2)，B (2，－1)，C (3，－3)，求直线BD 的方程． 解：(1)BC 边中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，则中线AD 方程为：y －13－1＝x －52－1－52，整理得：4x ＋7y －17＝0， ∴BC 边上中线所在直线方程为4x ＋7y －17＝0.(2)设D (x 0，y 0)，由题意知k AD ＝k BC ，k AB ＝k DC . ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0－1＝－1－(－3)2－3，2－(－1)1－2＝－3－y 03－x 0，即⎩⎨⎧ 2x 0＋y 0－4＝0，3x 0＋y 0－6＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝2，y 0＝0，即D (2,0)，∴直线BD 方程为x ＝2，即x －2＝0.12．已知直线l 经过点P (－5,4)，且与坐标轴的正半轴围成三角形的面积为5，求直线l 的方程．解：由题意知，直线在两坐标轴上的截距不为0，设直线方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)．∵直线l 经过点P (－5,4)， ∴－5a ＋4b ＝1，又∵直线l 与坐标轴的正半轴围成三角形的面积为5， ∴12ab ＝5，即ab ＝10. 由⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＋4b ＝1，ab ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝2.∴直线方程为x 5＋y2＝1，即2x ＋5y －10＝0.13．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0. (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等． 则(a ＋1)×0＋0＋2－a ＝0， ∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0； 若a ≠2，由于截距存在， ∴a －2a ＋1＝a －2， 即a ＋1＝1，∴a ＝0，方程即x ＋y ＋2＝0. ∴l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当 ⎩⎨⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎨⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0， ∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]．由Ruize收集整理。

第二章解析几何初步§1直线与直线的方程1.5平面直角坐标系中的距离公式课时跟踪检测一、选择题1．已知两点A(0，m)，B(8，－5)之间的距离是17，则实数m的值为() A．m＝10B．m＝－10C．m＝10或m＝－20 D．以上都不对解析：(0－8)2＋[m－(－5)]2＝17，整理得m2＋10m－200＝0，解得m＝－20或m＝10.答案：C2．点(2,1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为()A.25B．255C.655D．0解析：d＝|2－2×1＋2|12＋(－2)2＝25＝255.答案：B3．若直线x＋y－1＝0和ax＋2y＋1＝0互相平行，则两平行线之间的距离为()A.22B． 2C.322D．324解析：由题意知，a＝2，则两直线分别为x＋y－1＝0，x＋y＋12＝0，∴d＝12－(－1)12＋12＝322＝324.答案：D4．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为( )A ．－79 B ．－13 C ．－79或－13 D ．－79或1解析：由题意知|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，即|3a ＋3|＝|6a ＋4|3a ＋3＝6a ＋4或3a ＋3＝－(6a ＋4)，解得a ＝－13或a ＝－79. 答案：C5．点P (2,3)到直线：y ＋1＝a (x －10)的距离d 最大时，a 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．5D ．2解析：直线y ＋1＝a (x －10)恒过点(10，－1)，当(10，－1)和P (2,3)两点连线与y ＋1＝a (x －10)垂直时d 最大，所以a ·3－(－1)2－10＝－1，解得a ＝2.答案：D6．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C. 2D ．4解析：(x －1)2＋(y －1)2的最小值即为点A (1,1)到直线x ＋y －4＝0的距离的平方．d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|1＋1－4|12＋122＝2. 答案：A 二、填空题7．点P 与x 轴及点A (－4,2)的距离都是10，则P 的坐标为________． 解析：设P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧|y |＝10，(x ＋4)2＋(y －2)2＝100.当y ＝10时，x ＝2或－10；当y ＝－10时，无解． 则P (2,10)或P (－10,10)． 答案：(2,10)或(－10,10)8．过点(3,2)且与直线2x －y ＋3＝0平行的直线l 被两坐标轴截得的线段长为__________．解析：设直线l 的方程为2x －y ＋m ＝0，把点(3,2)代入，求得m ＝－4，∴直线l ：2x －y －4＝0，它与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)，(0，－4)，这两点间的距离为(2－0)2＋[0－(－4)]2＝2 5.答案：2 59．若两条平行线3x －2y －1＝0和6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．解析：∵两直线3x －2y －1＝0和6x ＋ay ＋c ＝0平行， ∴36＝－2a ≠－1c ，∴a ＝－4，c ≠－2. 由两平行线间的距离公式得 |c ＋2|62＋(－4)2＝21313，∴|c ＋2|＝4.∴c ＋2a ＝±4－4＝±1.答案：±1 三、解答题10．正方形的中心在(－1,0)，一条边所在直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三条边所在的直线方程．解：正方形中心到边的距离d ＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边为x ＋3y ＋C 1＝0. 则|－1＋3×0＋C 1|12＋32＝3105， ∴C 1＝－5(舍)或C 1＝7， ∴x ＋3y ＋7＝0.设与x ＋3y －5＝0垂直的一边为3x －y ＋C 2＝0. 则|－1×3＋C 2|12＋32＝3105.∴C 2＝－3或C 2＝9.∴则另外两边所在直线方程为3x －y －3＝0,3x －y ＋9＝0.11．已知在△ABC 中，A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)．求△ABC 的面积． 解：设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h . |AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝2 2. AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离． AB 边所在直线的方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C (－1,0)到x ＋y －4＝0的距离 h ＝|－1＋0－4|12＋12＝52.因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.12．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使点到A (1,7)和B (0,4)的距离之和最小．解：设点B 关于直线l 的对称点B ′(m ，n )， 则k BB ′·k l ＝－1，即n －4m ·3＝－1， ∴m ＋3n －12＝0.又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，n ＋42，且在直线l 上， ∴3×m 2－n ＋42－1＝0，即3m －n －6＝0.由⎩⎨⎧m ＋3n －12＝0，3m －n －6＝0，得m ＝3，n ＝3， ∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －73－7＝x －13－1，即2x ＋y －9＝0.由⎩⎨⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝5， 即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)， 所以，所求点P 的坐标为(2,5)．13．在直线l ：3x －y －1＝0上，求点P 和Q ，使得 (1)点P 到点A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大； (2)点Q 到点A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．解：(1)如图所示，设点B 关于l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )， 则k BB ′·k l ＝－1，即3×b －4a ＝－1，∴a ＋3b －12＝0.①线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且中点在直线l 上， ∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.② 解①②得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．于是直线AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解⎩⎨⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝5，即l 与直线AB ′的交点坐标为P (2,5)，且此时点P 到点A ，B 的距离之差最大．(2)如图所示，设点C 关于l 的对称点为C ′，求出C ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245.∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0， 解得直线AC ′和l 交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267，故Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267，且此时点Q 到点A ，C 的距离之和最小．。

模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则AC ，AB 所在直线的斜率之和为( )A ．－23B ．0 C. 3 D ．2 3解析：选B 易知k AB ＝3，k AC ＝－3，∴k AB ＋k AC ＝0.2．直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则m 等于( )A ．1B ．2C ．－12D ．2或－12解析：选D 令y ＝0，则(2m 2＋m －3)x ＝4m －1，所以直线在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1，所以m ＝2或m ＝－12. 3．在空间直角坐标系中，点B 是点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB |等于( ) A.14 B.13 C ．2 3 D.11解析：选B 点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影为B (0,2,3)，∴|OB |＝02＋22＋32＝13.4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：选A 结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－12，直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 5．下列说法不正确的是( )A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选D 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面DCC 1D 1，因此平面。

课时跟踪检测（十七） 两条直线的位置关系一、基本能力达标1．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直 解析：选D 设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1.故两条直线垂直．2．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：mx ＋4y ＋2＝0互相平行，则实数m 的值为( )A ．－2B ．2C ．±2D ．2或4解析：选C 因为直线l 2的斜率存在，故当l 1∥l 2时，直线l 1的斜率也一定存在，所以－1m ＝－m 4，解得m ＝±2. 3．下列说法中，正确的是( )A ．若直线l 1与l 2的斜率相等，则l 1∥l 2B ．若直线l 1与l 2互相平行，则它们的斜率相等C ．直线l 1与l 2中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则l 1与l 2一定相交D ．若直线l 1与l 2的斜率都不存在，则l 1∥l 2解析：选C 若l 1与l 2中一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则l 1与l 2不平行，故l 1与l 2一定相交．4．过点(－1,3)，且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋7＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0 解析：选A 由点斜式y －3＝12(x ＋1)，得x －2y ＋7＝0，故选A. 5．平行于直线4x ＋3y －3＝0，且不过第一象限的直线的方程是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0解析：选B 平行于直线4x ＋3y －3＝0的直线具有形式4x ＋3y ＋c ＝0，故排除A 、D.但选项C 中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件，故应选B.6．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，给出下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD .其中正确的是________．(把正确选项的序号填在横线上)解析：∵k AB ＝－35，k CD ＝－35，k AC ＝14，k BD ＝－4，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD .答案：①④7．与直线3x －2y ＋6＝0平行且纵截距为9的直线l 的方程为________．解析：设直线l 的方程为3x －2y ＋b ＝0，令x ＝0，y ＝b 2＝9，得b ＝18，故所求的直线方程为3x －2y ＋18＝0.答案：3x －2y ＋18＝08．已知A (3,1)，B (－1，－1)，C (2,1)，则△ABC 的BC 边上的高所在的直线方程为________．解析：k BC ＝1－(－1)2－(－1)＝23，∴BC 边上的高所在直线的斜率k ＝－32，∴所求直线方程为y －1＝－32(x －3)，即3x ＋2y －11＝0. 答案：3x ＋2y －11＝09．已知点A (－1,3)，B (4,2)，以AB 为直径的圆与x 轴交于点M ，求点M 的坐标． 解：设M (x,0)，∵M 是以AB 为直径的圆与x 轴的交点，∴AM ⊥BM ，∴k AM ·k BM ＝－1，即3－0－1－x ×2－04－x＝－1， ∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2，∴M (1,0)或M (2,0)．10．已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．解：由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得，k AB ＝5－32－(－4)＝13， k CD ＝0－3－3－6＝13， k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3， k BC ＝3－56－2＝－12. 所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，所以AB ∥CD .由k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行．又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．二、综合能力提升1．已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，l 2：y ＝－2x ＋1，l 3：y ＝－1n x －1n.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8解析：选A ∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.又∵l 2⊥l 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2.∴m ＋n ＝－10.故选A.2．直线cx ＋dy ＋a ＝0与dx －cy ＋b ＝0(c ，d 不同时为0)的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与a ，b ，c ，d 的值有关解析：选B d 与c 不能同时为0，当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为－c d ·d c ＝－1，故两条直线垂直；当其中之一为0时，两条直线也垂直．故两条直线垂直．3．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形解析：选C ∵k AB ＝－23，k AC ＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，即AB ⊥AC .故选C. 4．直线x ＋a 2y ＋6＝0和直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．0或－1解析：选D 两直线无公共点，即两直线平行，∴1×3a －a 2(a －2)＝0，∴a ＝0或－1或3，经检验知a ＝3时两直线重合．5．若直线l 1：2x －5y ＋20＝0，l 2：mx －2y －10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为________．解析：l 1，l 2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补．因为坐标轴垂直，故l 1⊥l 2，即2m ＋10＝0，∴m ＝－5.答案：－56．若三条直线2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0和2mx －3y ＋12＝0围成直角三角形，则m ＝________.解析：设l 1：2x －y ＋4＝0，l 2：x －y ＋5＝0，l 3：2mx －3y ＋12＝0，l 1不垂直于l 2，要使围成的三角形为直角三角形，则l 3⊥l 1或l 3⊥l 2.由l 3⊥l 1得2×23m ＝－1，∴m ＝－34；由l 3⊥l 2得1×23m ＝－1，∴m ＝－32.故m ＝－34或－32.答案：－34或－327．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 的坐标．(1)∠MOP ＝∠OPN (O 为坐标原点)；(2)∠MPN 是直角．解：设P (x,0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴MO ∥PN ，∴k O M ＝k NP ，又k O M ＝2－02－0＝1，k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5.∴2x －5＝1，解得x ＝7，即P (7,0)．(2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ，∴k MP ·k NP ＝－1，∵k MP ＝22－x ，k NP ＝2x －5，∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6.∴P (1,0)或(6,0)．探究应用题8．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点．(1)求点D ，使直线CD ⊥AB ，且BC ∥AD ；(2)判断此时四边形ACBD 的形状．解：(1)设D (x ，y )，则由CD ⊥AB ，BC ∥AD 可知{ k CD ·k AB ＝－1，k CB ＝k AD ， 得⎩⎨⎧ y x －3·2＋12－1＝－1，2－02－3＝y ＋1x －1，解得{ x ＝0，y ＝1，即D 点坐标为(0,1)．(2)∵k AC ＝0－(－1)3－1＝12，k BD ＝2－12－0＝12， ∴k AC ＝k BD .∴AC ∥BD .∴四边形ACBD 为平行四边形． 而k BC ＝2－02－3＝－2，∴k BC ·k AC ＝－1.∴AC ⊥BC .∴四边形ACBD 是矩形． 又DC ⊥AB ，∴四边形ACBD 是正方形．。

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课时提升作业(二十一)点到直线的距离公式一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2014·济源高一检测)点P(m-n，-m)到直线+=1的距离为( )A. B.C. D.【解析】选A.因为+=1可化为nx+my-mn=0，所以由点到直线的距离公式，得==.2.(2014·吉安高一检测)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是( )A.4B.C.D.【解析】选D.因为两直线平行，所以=，所以m=4，所以两平行直线6x+4y-6=0和6x+4y+1=0的距离为d==.3.若动点A，B分别在直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动，则AB的中点M 到原点的距离的最小值为( )A.3B.2C.3D.4【解析】选A.由题意知AB中点M的集合为与直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0的距离相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为x+y+m=0，则由平行线间的距离公式得=，即|m+7|=|m+5|，解得m=-6，即得x+y-6=0，由点到直线的距离公式可得，点M到原点的距离的最小值为=3.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2014·济宁高一检测)已知点A(0，4)，B(2，5)，C(-2，1)，则BC边上的高等于________.【解析】因为直线BC的方程为x-y+3=0，所以点A到直线BC的距离d==，即BC边上的高等于.答案：【举一反三】题干不变，则三角形ABC的面积是多少？【解析】|BC|==4，又BC边上的高为，所以三角形ABC的面积为×4×=2.5.(2014·南阳高一检测)经过点P(1，2)，且使A(2，3)，B(0，-5)到它的距离相等的直线方程为________________.【解题指南】可先设出过点P的点斜式方程，注意斜率不存在的情况，要分情况讨论，然后再利用已知条件求出斜率，进而写出直线方程.【解析】当直线斜率不存在时，即x=1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k，即直线方程为y-2=k(x-1)，由条件得=，解得k=4，故所求直线方程为x=1或4x-y-2=0.答案：x=1或4x-y-2=0【一题多解】由平面几何知识知所求直线l∥AB或过AB中点.因为k AB=4，若l∥AB，则l的方程为4x-y-2=0.若l过AB中点(1，-1)，则直线方程为x=1，所以所求直线方程为x=1或4x-y-2=0.答案：x=1或4x-y-2=0【拓展延伸】求直线方程的技巧(1)常用的方法是待定系数法，即先根据题意设出所求方程，然后求出方程中有关的参量.(2)利用平面几何知识先判断直线的特征，然后由已知直接求出直线的方程.三、解答题(每小题10分，共20分)6.直线l过点(1，0)且被两条平行直线l1：3x+y-6=0和l2：3x+y+3=0所截得的线段长为，求直线l的方程.【解析】当直线l与x轴垂直时，方程为x=1，由得l与l1的交点为(1，3)，由得l与l2的交点为(1，-6)，此时两交点间的距离d=|-6-3|=9≠.所以直线l与x轴不垂直.设l的方程为y=k(x-1)(k≠-3)，解方程组得l与l1交点的坐标为，同理，由得l与l2的交点坐标为，由题意及两点间距离公式得=，所以k=，所以直线l的方程为y=(x-1)，即x-3y-1=0.【一题多解】由两平行线间的距离公式可得l1与l2间的距离d==，而l被l1，l2截得的线段长恰为，所以l与l1和l2都垂直，由l1的斜率k1=-3知，l的斜率k=，所以l的方程为y=(x-1)，即x-3y-1=0.【变式训练】已知直线l1：7x+8y+9=0与l2：7x+8y-3=0.直线l平行于l1，直线l 与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且d1∶d2=1∶2，求直线l的方程.【解析】因为直线l平行l1，设直线l的方程为7x+8y+C=0，则d1=，d2=. 又2d1=d2，所以2|C-9|=|C+3|.解得C=21或C=5.故所求直线l的方程为7x+8y+21=0或7x+8y+5=0.7.已知直线l经过直线l1：2x+y-5=0与l2：x-2y=0的交点.(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程.(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值.【解析】(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0，即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0，因为点A(5，0)到l的距离为3，所以=3，即2λ2-5λ+2=0，解得λ=2或λ=，所以l方程为x=2或4x-3y-5=0.(2)由解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).所以d max=|PA|==.一、选择题(每小题4分，共8分)1.(2014·佛山高一检测)点P(x，y)在直线x+y-4=0上，则(x-1)2+(y-1)2的最小值是( )A.2B.2C.D.4【解析】选A.(x-1)2+(y-1)2最小值即为(1，1)到直线x+y-4=0的距离的平方，所以(x-1)2+(y-1)2的最小值为=()2=2.2.(2014·湖北七市联考)设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A.，B.，C.，D.，【解析】选 D.由题意，a+b=-1，ab=c，而两条直线之间的距离为d===，故≤d≤.二、填空题(每小题5分，共10分)3.两平行直线3x+4y+5=0与6x+ay+30=0间的距离为d，则a+d=________. 【解析】由两直线平行知，a=8，d==2，所以a+d=10.答案：104.(2014·榆林高一检测)直线l1：2x+4y+1=0与直线l2：2x+4y+3=0平行，点P 是平面直角坐标系内任一点，P到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最小值是________.【解题指南】由题意可知d1+d2的最小值是两平行线间的距离，根据平行线间的距离公式可求出.【解析】l1与l2的距离d==，则d1+d2≥d=，即d1+d2的最小值是.答案：三、解答题(12分)5.(2013·晋江高一检测)直线l经过点P(2，-5)，点A(3，-2)和B(-1，6)到直线l的距离之比为1∶3.求直线l的方程.【解析】若直线l的斜率是k，则其方程为y+5=k(x-2)，即kx-y-2k-5=0.由条件得=，解得k=-.此时直线l的方程为x+3y+13=0.若直线l斜率不存在，则其方程为x=2.点A到直线l的距离为1，点B到直线l的距离为3，符合题意.所以，直线l的方程为x=2或x+3y+13=0.6.等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+3y-6=0上，顶点A 的坐标是(1，-2)，求AB，AC所在直线方程.【解析】已知直线BC的斜率为-，因为BC⊥AC，所以直线AC的斜率为，从而直线AC方程为y+2=(x-1)，即3x-2y-7=0，又点A(1，-2)到直线BC：2x+3y-6=0的距离为|AC|=，且|AC|=|BC|=.由于点B在直线2x+3y-6=0上，可设B，且点B到直线AC的距离为=，即=10. 所以a-11=10或a-11=-10，解得a=或，所以B或B，所以直线AB的方程为y+2=·(x-1)或y+2=(x-1).即x-5y-11=0或5x+y-3=0，所以AC所在的直线方程为3x-2y-7=0，AB所在的直线方程为x-5y-11=0或5x+y-3=0.关闭Word文档返回原板块。

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课堂达标·效果检测1.点(3，2)到直线l：x-y+3=0的距离为( )A.4B.C.2D.【解析】选C.由点到直线的距离公式可得d==2.2.到直线2x+y+1=0的距离为的点的集合为( )A.直线2x+y-2=0B.直线2x+y=0C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=0【解析】选D.满足条件的点的集合为直线，且该直线平行于直线2x+y+1=0，且两直线间的距离为.设所求直线的方程为2x+y+m=0，根据平行线间的距离公式，得=，即|m-1|=1，解得m=2或m=0.故所求直线的方程为2x+y=0或2x+y+2=0.3.点P(4，a)到直线4x-3y=1的距离不大于3，则a的取值范围为( )A.[0，10]B.(0，10)C.[，]D.(-∞，0)∪[10，+∞)【解析】选A.因为直线方程为4x-3y-1=0，所以P到直线的距离为d==，所以≤3，|15-3a|≤15，-15≤3a-15≤15，所以0≤a≤10，即a的取值范围为[0，10].4.点P与x轴及点A(-4，2)的距离都是10，则P的坐标为________.【解析】设P(x，y).则当y=10时，x=2或-10，当y=-10时无解.则P(2，10)或P(-10，10).答案：(2，10)或(-10，10)5.求过点M(-2，1)且与A(-1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程.【解析】当直线斜率不存在时，直线为x=-2，它到A，B两点距离不相等.所以可设直线方程为y-1=k(x+2)，即kx-y+2k+1=0.由=，解得k=0或k=-.所求直线方程为y=1或x+2y=0.关闭Word文档返回原板块。

课时跟踪检测（六） 平行关系的判定层级一 学业水平达标1．能保证直线a 与平面α平行的条件是( )A ．b α，a ∥bB ．b α，c ∥α，a ∥b ，a ∥cC ．b α，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，且AC ∥BDD ．a α，b α，a ∥b解析：选D 由线面平行的判定定理可知，D 正确．2．如果两直线a ∥b ，且a ∥α，则b 与α的位置关系是( )A ．相交B ．b ∥αC ．b αD ．b ∥α或b α解析：选D 由a ∥b ，且a ∥α，知b 与α平行或b α.3．已知三个平面α，β，γ，一条直线l ，要得到α∥β，必须满足下列条件中的( )A ．l ∥α，l ∥β，且l ∥γB ．l γ，且l ∥α，l ∥βC ．α∥γ，且β∥γD ．α∩γ＝l ，且l ∥β解析：选C ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γ⇒α与γ无公共点β∥γ⇒β与γ无公共点⇒α与β无公共点⇒α∥β. 4．如图，在四面体ABCD 中，若M ，N ，P 分别为线段AB ，BC ，CD 的中点，则直线BD 与平面MNP 的位置关系为( )A ．平行B ．可能相交C ．相交或BD 平面MNPD ．以上都不对解析：选A 因为N ，P 分别为线段BC ，CD 的中点，所以NP ∥BD ，又BD平面MPN ，NP 平面MPN ，所以BD ∥平面MNP .5．如图，下列正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，则不能得出AB ∥平面MNP 的是( )解析：选C在图A、B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“lα”．答案：lα7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．答案：0或18.如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN平面ADE，DE平面ADE，∴MN∥平面ADE.答案：平行9．已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED.∵DE 平面ADE ，而BF平面ADE ，∴BF ∥平面ADE . 10．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC的中点，G 为DD 1上一点，且D 1G ∶GD ＝1∶2，AC ∩BD ＝O ，求证：平面AGO ∥平面D 1EF .证明：设EF ∩BD ＝H ，连接D 1H ，在△DD 1H 中，因为DO DH ＝23＝DG DD 1， 所以GO ∥D 1H ，又GO 平面D 1EF ，D 1H 平面D 1EF ，所以GO ∥平面D 1EF .在△BAO 中，因为BE ＝EA ，BH ＝HO ，所以EH ∥AO .又AO 平面D 1EF ，EH 平面D 1EF ，所以AO ∥平面D 1EF ，又GO ∩AO ＝O ，所以平面AGO ∥平面D 1EF .层级二 应试能力达标1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CD 上的动点，则直线MC 1与平面AA 1B 1B 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行解析：选B 如图，MC 1平面DD 1C 1C ，而平面AA 1B 1B ∥平面DD 1C 1C ，故MC 1∥平面AA 1B 1B .2．平面α与△ABC 的两边AB ，AC 分别交于D ，E ，且AD ∶DB ＝AE ∶EC ，如图所示，则BC 与α的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．BC ⊂α。

课时跟踪检测（十四）直线的倾斜角和斜率层级一学业水平达标1．给出下列说法，正确的个数是()①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；②一条直线的倾斜角为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．A．0B．1C．2 D．3解析：选A若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，②错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．2．已知直线l的倾斜角为120°，则直线l的斜率为()A．－ 3 B. 3C．1 D．－2 2解析：选A由题意可知，k＝tan 120°＝－ 3.3．过点A(－3，2)与B(－2，3)的直线的倾斜角为() A．45°B．135°C．45°或135°D．60°解析：选A k AB＝3－2－2－(－3)＝3－23－2＝1.4．若经过A(2,1)，B(1，m)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是() A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)解析：选A由l的倾斜角为锐角，可知k AB＝m－11－2＞0，即m＜1.5．若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是() A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在D．180°，不存在解析：选C由于A，B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.6．若过点A (4,2)和B (5，b )的直线与过点C (1,2)，D (3,4)的直线的斜率相等，则b 的值为________．解析：由题意，可得b －25－4＝4－23－1＝1，∴b ＝3. 答案：37．已知点A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，若k AB ＝2，则B 点的坐标为________． 解析：若B 点在x 轴上，则设B 点坐标为(x,0)，由题意知4－03－x＝2，解得x ＝1，即B (1,0)； 若B 点在y 轴上，则设B 点坐标为(0，y )，由题意知4－y3－0＝2，解得y ＝－2，即B (0，－2)． ∴点B 的坐标可以为(1,0)或(0，－2)．答案：(1,0)或(0，－2)8．已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，实数a 的值为________．解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即53－a＝9a ＋75， ∴a ＝2或29. 答案：2或299．已知直线过点A (2m,3)，B (2，－1)，根据下列条件求m 的值．(1)直线的倾斜角为135°；(2)直线的倾斜角为90°；(3)点C (3，m )在直线上．解：(1)由题意，得3－(－1)2m －2＝tan 135°＝－1，得m ＝－1. (2)由题意，得2m ＝2，得m ＝1.(3)由题意，得3－(－1)2m －2＝m －(－1)3－2，得m ＝±3. 10．已知直线l 上两点A (－2,3)，B (3，－2)，求其斜率．若点C (a ，b )在直线l 上，求a ，b 间应满足的关系，并求当a ＝12时，b 的值． 解：由斜率公式得k AB ＝－2－33＋2＝－1. ∵C 在l 上，k AC ＝－1，即b －3a ＋2＝－1. ∴a ＋b －1＝0.当a ＝12时，b ＝1－a ＝12. 层级二 应试能力达标1．设点P 在y 轴上，点N 是点M 关于y 轴的对称点，若直线PM 的斜率为k (k ≠0)，则直线PN 的斜率是( )A ．kB ．－k C.1k D ．－1k解析：选B 设P 点的坐标为(0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (－x 1，y 1)，由题意知PM 斜率为k ＝y 0－y 10－x 1，而直线PN 的斜率为y 0－y 10－(－x 1)＝－k ，故选B. 2．l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的范围是( )A ．0°≤α＜90°B ．90°≤α＜180°C ．90°＜α＜180°D ．0°＜α＜180°解析：选C 直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的范围是90°＜α＜180°.3．如图，设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 1＜k 3＜k 2C ．k 2＜k 1＜k 3D ．k 3＜k 2＜k 1解析：选A 根据“当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A 正确．4．已知直线l 经过点A (1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－1,0]B ．[0,1]。

北师大版高中数学必修二全册同步习题含解析目录第1章立体几何初步 1.1.1习题第1章立体几何初步 1.1.2习题第1章立体几何初步 1.2习题第1章立体几何初步 1.3.1习题第1章立体几何初步 1.3.2习题第1章立体几何初步 1.4.1习题第1章立体几何初步 1.4.2习题第1章立体几何初步 1.5.1.1习题第1章立体几何初步 1.5.1.2习题第1章立体几何初步 1.5.2习题第1章立体几何初步 1.6.1.1习题第1章立体几何初步 1.6.1.2习题第1章立体几何初步 1.6.2习题第1章立体几何初步 1.7.1习题第1章立体几何初步 1.7.2习题第1章立体几何初步 1.7.3习题第1章立体几何初步习题课习题第1章立体几何初步检测习题第2章解析几何初步 2.1.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.2习题第2章解析几何初步 2.1.3习题第2章解析几何初步 2.1.4习题第2章解析几何初步 2.1.5.1习题第2章解析几何初步 2.1.5.2习题第2章解析几何初步 2.2.1习题第2章解析几何初步 2.2.2习题第2章解析几何初步 2.2.3.1习题第2章解析几何初步 2.2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.1-2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.3习题第2章解析几何初步检测习题模块综合检测习题北师大版2018-2019学年高中数学必修2习题01第一章立体几何初步§1简单几何体1.1简单旋转体1.下列说法正确的是()A.圆锥的母线长等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心答案:D2.下面左边的几何体是由选项中的哪个图形旋转得到的()解析:选项B中的图形旋转后为两个共底面的圆锥;选项C中的图形旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体;选项D中的图形旋转后为两个圆锥与一个圆柱的组合体.答案:A3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面一定是圆面,则这个几何体是()A.圆锥B.圆柱C.球D.圆台答案:C4.AB为圆柱下底面内任一不过圆心的弦,过AB和上底面圆心作圆柱的一截面,则这个截面是()A.三角形B.矩形C.梯形D.以上都不对解析:如图所示,由于圆柱的上下底面相互平行,故过AB和上底面圆心作圆柱的一截面与上底面的交线CD 必过上底面圆心,且CD∥AB,在圆柱的侧面上,连接A,C(或B,D)两点的线是曲线,不可能是直线.故这个截面是有两条边平行、另两边是曲线的曲边四边形.故选D.答案:D5.以钝角三角形的较短边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得的几何体是()A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析:如图所示.旋转一周后其他两边形成的几何体为在圆锥AO的底部挖去一个同底的圆锥BO.答案:D6.点O1为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点,过O1与底面平行的截面面积是底面面积的()A.13B.23C.14D.19解析:如图所示,由题意知SO1∶SO=1∶3,∴O1B∶OA=1∶3,∴S☉O1∶S☉O=1∶9,故选D.答案:D7.下列说法中错误的是.①过圆锥顶点的截面是等腰三角形;②过圆台上底面中心的截面是等腰梯形;③圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个.答案:②8.若过轴的截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r,则其轴截面的面积为.解析:由圆锥的结构特征,可知若过轴的截面为直角三角形,则为等腰直角三角形,其斜边上的高为r,所以S=12×2r2=r2.答案:r29.已知圆锥的母线与旋转轴所成的角为30°,母线的长为2,则其底面面积为.解析:如图所示,过圆锥的旋转轴作截面ABC,设圆锥的底面半径为r,底面圆心为O.∵△ABC为等腰三角形,∴△ABO为直角三角形.又∠BAO=30°,∴BO=r=1AB=2.∴底面圆O的面积为S=πr2=π2.答案:π10.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面的半径比是1∶4,母线长是10 cm,求这个圆锥的母线长.分析:处理有关旋转体的问题时,一般要作出其过轴的截面,在这个截面图形中去寻找各元素之间的关系.解:设圆锥的母线长为y cm,圆台上、下底面的半径分别为x cm,4x cm.作圆锥过轴的截面如图所示.在Rt△SOA中,O'A'∥OA,则SA'SA =O'A'OA,即y-10y =x4x,解得y=403.故圆锥的母线长为40cm.11.圆锥的底面半径为r,母线长是底面半径的3倍,在底面圆周上有一点A,求一个动点P自点A出发在侧面上绕一周回到点A的最短路程.解:沿圆锥的母线SA将侧面展开,如图所示.则线段AA1就是所求的最短路程.∵弧A1A的长为2πr,SA=3r,设弧A1A所对的圆心角为α,∴απ·3r=2πr,∴α=120°.∴AA1=SA·cos30°×2=3r×3×2=33r,即所求最短路程是33r.1.2简单多面体1.关于棱柱,下列说法正确的是()A.只有两个面平行B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行,侧棱也互相平行解析:正方体可以有六个面平行,故选项A错误;长方体并不是所有的棱都相等,故选项B错误;三棱柱的底面是三角形,故选项C错误;由棱柱的概念知,两底面平行,侧棱也互相平行,故选项D正确.答案:D2.一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是()A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥解析:由于正六边形的中心到顶点的距离与边长都相等,故正六棱锥的侧棱长必大于底面边长.答案:D3.棱台不一定具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点解析:由棱台的定义可知,棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥而得到的,所以A,B,D选项都成立,只有选项C不一定成立.答案:C4.下列图形中,不是三棱柱的展开图的是()解析:根据三棱柱的结构特征知,A,B,D中的展开图都可还原为三棱柱,但是C中展开图还原后的几何体没有下底面,故不是三棱柱的展开图.答案:C5.下列说法正确的个数为()①存在斜四棱柱,其底面为正方形;②存在棱锥,其所有面均为直角三角形;③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直;④矩形绕任意一条直线旋转都可以形成圆柱.A.1B.2C.3D.4解析:①存在斜四棱柱,其底面为正方形,正确.②正确.如图所示.③不正确,圆锥轴截面的顶角小于90°时就不存在.④不正确,矩形绕其对角线所在直线旋转,不能围成圆柱.故答案为B.答案:B6.用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥,截得的棱台上、下底面的面积之比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是()A.12 cmB.9 cmC.6 cmD.3 cm解析:棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,则截去的棱锥的高与原棱锥的高的比为1∶2,棱台的高是3cm.答案:D7.有下列四个结论:①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥;②底面是正多边形的棱锥是正棱锥;③三棱锥的所有面可能都是直角三角形;④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形.其中正确的有(填正确结论的序号).答案:③④8.如图所示,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.解析:如图所示,假设以AB边固定进行倾斜,则几何体BB2C2C-AA2D2D一定为棱柱.答案:棱柱9.在侧棱长为23的正三棱锥P−ABC中,∠APB=40°,E,F分别是PB,PC上的点,过点A,E,F作截面AEF,则△AEF周长的最小值是.解析:将正三棱锥的三个侧面展开,如图所示.则当E,F为AA1与PB,PC的交点时,△AEF的周长最小,最小值为2AP·cos30°=2×23×3=6.答案:610.把右图中的三棱台ABC-A1B1C1分成三个三棱锥.解:如图所示,分别连接A1B,A1C,BC1,则将三棱台分成了三个三棱锥,即三棱锥A-A1BC,B1-A1BC1,C-A1BC1.(本题答案不唯一)11.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥.(2)四个面都是等边三角形的三棱锥.(3)三棱柱.解:(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).(3)如图所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).★12.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上的一点,且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线的长为设这条最短路线与CC1的交点为N.求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长;(2)求PC和NC的长.解:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为92+42=97.(2)如图所示,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,则点P旋转到点P1的位置,连接MP1交CC1于点N,则MP1的长等于由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线的长.设PC=x,则P1C=x.在Rt△MAP1中,由勾股定理,得(3+x)2+22=29,解得x=2,所以PC=P1C=2,又NCMA =P1CP1A=25,所以NC=45.§2直观图1.关于用斜二测画法所得的直观图,以下说法正确的是()A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析:根据斜二测画法的规则知,正方形的直观图为平行四边形.答案:B2.水平放置的△ABC,有一条边在水平线上,它的斜二测直观图是正三角形A'B'C',则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形解析:根据斜二测画法的规则,可知△ABC中有一个角是钝角,所以△ABC是钝角三角形.答案:C3.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是()答案:C4.对于一条边在x轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的()A.2倍B.2C.2D.1解析:由于平行于y轴的线段其平行性不变,长度变为原来的一半,又直观图中∠x'O'y'=45°,设原三角形的面积为S,其直观图的面积为S',则S'=1×2S=2S.答案:B5.一个水平放置的三角形的直观图是等腰直角三角形A'B'O',如图所示,若O'B'=1,那么原△ABO的面积是()A.12B.22C.2D.22解析:由斜二测画法,可知原三角形为直角三角形,且∠AOB=90°,OB=1,OA=2O'A'=22,∴S△AOB=12×1×22= 2.故选C.答案:C6.已知△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图,如图所示,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC解析:由斜二测画法,可知原图形为直角三角形.AC为斜边,D为BC的中点,故AC>AD,故最长线段为AC.答案:D7.一个平面图形的斜二测直观图是腰长为2的等腰直角三角形,如图,则其平面图形的面积为.答案:48.已知正三角形ABC的边长为a,则水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'的面积为.解析:图①、图②分别为实际图形和直观图.由图可知A'B'=AB=a,O'C'=1OC=3a,在图②中作C'D'⊥A'B'于点D',则C'D'=2O′C′=6a.所以S△A'B'C'=12A′B′·C'D'=12×a×68a=616a2.答案:616a29.在等腰梯形ABCD中,上底边CD=1,AD=CB=2,下底边AB=3,按平行于上、下底边取x轴,则直观图A′B′C′D′的面积为.解析:等腰梯形ABCD的高为1,且直观图A'B'C'D'仍为梯形,其高为1sin45°=2,故面积为1×(1+3)×2= 2.答案:2210.画出如图所示放置的直角三角形的直观图.解:画法:(1)画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°(如图②所示);(2)在原图中作BD⊥x轴,垂足为D(如图①所示);(3)在x'轴上截取O'A'=OA,O'D'=OD,在y'轴上截取O'C'=12OC,过D'作B'D'∥y'轴,使D'B'=1BD;(4)连线成图(擦去辅助线)(如图③所示).11.用斜二测画法得到一水平放置的Rt△ABC,AC=1,∠ABC=30°,如图所示,试求原三角形的面积.解:如图所示,作AD⊥BC于点D,令x'轴与y'轴的交点为E,则DE=AD,在Rt△ABC中,由∠ABC=30°,AC=1,可知BC=2,AB= 3.由AD⊥BC,AD=DE,可知AD=32,AE=62,由斜二测画法可知,原三角形A'B'C'中,B'C'=BC=2,A'E'=2AE=6,且A'E'⊥B'C',所以S△A'B'C'=1B′C′·A'E'=1×2×6= 6.★12.画水平放置的圆锥的直观图.分析用斜二测画法画水平放置的圆锥的直观图,由于圆锥底面可以看作是水平放置的,因此,只需先画轴,再画底面和高即可.解:(1)画轴,如图所示,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°;(2)画圆锥的底面,画出底面圆的直观图,与x轴交于A,B两点;(3)画圆锥的顶点,在Oz上截取点P,使得PO等于圆锥的高;(4)连线成图,连接P A,PB,并加以整理(擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),得圆锥的直观图.§3三视图3.1简单组合体的三视图1.用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是()解析:截去的平面在俯视图中看不到,故用虚线,因此选B.答案:B2.下列各几何体的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()A.①②B.①③C.①④D.②④解析:①中正方体的三视图均相同;②中圆锥的主视图和左视图相同;③中三棱台的三视图各不相同;④中正四棱锥的主视图和左视图相同.答案:D3.某几何体的主视图和左视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()解析:D选项的主视图为,故不可能是D选项.答案:D4.如图所示,若△A'B'C'为正三角形,与底面不平行,且CC'>BB'>AA',则多面体的主视图为()解析:因为△A'B'C'为正三角形,面A'B'BA向前,所以主视图不可能是A,B,C三个选项,只能是D.答案:D5.“牟台方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和左视图完全相同时,它的俯视图可能是()答案:B6.如图所示,画出四面体AB1CD1三视图中的主视图,若以面AA1D1D为投影面,则得到的主视图为()解析:显然AB1,AC,B1D1,CD1分别投影得到主视图的外轮廓,B1C为可见实线,AD1为不可见虚线.故A正确.答案:A★7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,若用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为()设过点A,E,C1的截面与棱DD1相交于点F,且F是棱DD1的中点,该正方体截去上半部分后,剩余几何体如图所示,则它的左视图应选C.答案:C8.如图所示,图①②③是图④表示的几何体的三视图,其中图①是,图②是,图③是(填写视图名称).解析:由三视图可知,①为主视图,②为左视图,③为俯视图.答案:主视图左视图俯视图9.如图(a)所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方体的中心,则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是图(b)中的(把可能的序号都填上).图(a)图(b)解析:要考虑△P AC在该正方体各个面上的射影,在上、下两个面上的射影是①,在前后左右四个面上的射影是④.答案:①④10.(1)画出如图①所示组合体的三视图;(2)图②所示的是一个零件的直观图,试画出这个几何体的三视图.图①图②解(1)该组合体是由一个四棱柱和一个圆锥拼接而成,其三视图如图所示.(2)作出三视图如图所示.★11.如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体,数据如图所示(单位:cm).试画出它的三视图.解这个几何体是由一个长方体挖去一个圆柱体构成的,三视图如图所示.3.2由三视图还原成实物图1.若一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆,则这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.圆锥D.棱台答案:B2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()A.棱台B.棱柱C.棱锥D.以上均不对解析:由相似比,可知几何体的侧棱相交于一点.答案:A3.如图所示是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,则该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析:由俯视图排除B,C选项;由主视图、左视图可排除A选项,故选D.答案:D4.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台解析:因为主视图和左视图为三角形,可知几何体为锥体.又俯视图为四边形,所以该几何体为四棱锥,故选B.答案:B5.如图所示,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱解析:由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱,故选B.答案:B6.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4解析:由三视图画出直观图如图所示,判断这个几何体是底面边长为6,8,10的直角三角形,高为12的躺下的直=2,这就是做成的最大球的半径.三棱柱,直角三角形的内切圆的半径为r=6+8-102答案:B7.把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起,连接AC,得到三棱锥C-ABD,其主视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示),其左视图的面积为.解析:如图所示,根据两个视图可以推知折起后∠CEA=90°,其侧视图是一个两直角边长为1的等腰直角三.角形,所以左视图的面积为12答案:18.用n个体积为1的正方体搭成一个几何体,其主视图、左视图都是如图所示的图形,则n的最大值与最小值之差是.解析:由主视图、左视图可知,正方体个数最少时,底层有3个小正方体,上面有2个,共5个;个数最多时,底层有9个小正方体,上面有2个,共11个.故n的最大值与最小值之差是6.答案:69.下图是一个几何体的三视图,想象该几何体的几何结构特征,画出该几何体的形状.解由于俯视图中有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体构成的组合体,结合左视图和主视图,可知该几何体是由上面一个圆柱、下面一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图所示.★10.已知几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.解由三视图可知其几何体是底面边长为2,高为3的正六棱锥,其直观图如图所示.§4空间图形的基本关系与公理第1课时平面性质1.两个平面重合的条件是()A.有四个公共点B.有无数个公共点C.有一条公共直线D.有两条相交公共直线解析:由两条相交直线确定一个平面知D选项正确.答案:D2.与“直线l上两点A,B在平面α内”含义不同的是()A.l⫋αB.直线l在平面α内C.直线l上只有这两个点在平面α内D.直线l上所有的点都在平面α内答案:C3.有下列说法:①梯形的四个顶点在同一平面内;②三条平行直线必共面;③有三个公共点的两个平面必重合.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:梯形是一个平面图形,所以其四个顶点在同一个平面内,故①正确;两条平行直线确定1个平面,三条平行直线确定1个或3个平面,故②错误;三个公共点可以同在两个相交平面的交线上,故③错误.答案:B4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()①P∈a,P∈α⇒a⫋α;②a∩b=P,b⫋β⇒a⫋β;③a∥b,a⫋α,P∈b,P∈α⇒b⫋α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.A.①②B.②③C.①④D.③④答案:D5.三棱台ABC-A'B'C'的一条侧棱AA'所在直线与平面BCC'B'之间的关系是()A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内解析:棱台就是棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥得到的,所以延长棱台各侧棱可以恢复成棱锥的形状,由此可知三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.答案:A6.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,且C∉l,则平面ABC与平面β的交线是()A.直线ACB.直线BCC.直线ABD.直线CD解析:由题意知,平面ABC与平面β有公共点C,根据公理3,这两平面必定相交,有且只有一条经过C的交线,由于两点确定一条直线,所以只要再找到两平面的另一个公共点即可.显然点D在直线AB上,从而它在平面ABC内,而点D又在直线l上,所以它又在平面β内,所以点D也是平面ABC与平面β的公共点.因此平面ABC 与平面β的交线是直线CD.答案:D7.已知点P在平面α外,点A,B,C在平面α内且不共线,A',B',C'分别在P A,PB,PC上,若A'B',B'C',A'C'与平面α分别交于D,E,F三点,则D,E,F三点()A.成钝角三角形B.成锐角三角形C.成直角三角形D.在一条直线上解析:本题考查三点关系,根据两平面公共点在其交线上,知D,E,F三点共线,故选D.答案:D8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么,正方体的过P,Q,R的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析:如图所示,作GR∥PQ交C1D1于G,延长QP与CB延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE.同理延长PQ交CD延长线于点N,连接NG交DD1于F,连接QF.所以截面PQFGRE为六边形.故选D.答案:D9.四条线段首尾相接得到一个四边形,当且仅当它的两条对角线时,能得到一个平面图形.解析:由公理1,2知当两条对角线相交时为平面图形,当两条对角线不共面时为空间四边形.答案:相交10.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面的位置关系是.解析:当三点在另一个平面同侧时,这两个平面平行,当三点不在另一个平面同侧时,这两个平面相交.答案:平行或相交11.过已知直线a外的一点P,与直线a上的四个点A,B,C,D分别画四条直线,求证:这四条直线在同一平面内.证明:如图所示,因为点P在直线a外,所以过直线a及点P可作一平面α,因为A,B,C,D均在a上,所以A,B,C,D均在α内,所以直线P A,PB,PC,PD上各有两个点在α内,由公理2可知,直线P A,PB,PC,PD均在平面α内,故这四条直线在同一平面内.12.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体下底面相交于直线l.试画出直线l的位置,并说明理由.解:如图所示,连接DM并延长,交D1A1的延长线于点P',连接NP',则直线NP'即为所求直线l.理由如下: 如图所示,连接DN,∵P'=DM∩D1A1,且DM⫋平面DMN,D1A1⫋平面A1B1C1D1,∴P'∈平面DMN∩平面A1B1C1D1.又N∈平面DMN∩平面A1B1C1D1,∴由公理3知,直线NP'为平面DMN与平面A1B1C1D1的交线.第2课时 异面直线所成的角1.若直线a ∥b ,b ∩c=A ,则直线a 与c 的位置关系是( ) A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或相交答案:D2.在三棱锥A-BCD 中,E ,F ,G 分别是AB ,AC ,BD 的中点,如果AD 与BC 所成的角是60°,那么∠FEG 为( ) A .60° B .30°C .120°D .60°或120° 解析:异面直线AD 与BC 所成的角可能等于∠FEG ,也可能等于∠FEG 的补角.答案:D3.若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2∥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( ) A .l 1⊥l 4 B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定解析:因为l 2∥l 3,所以l 1⊥l 3,l 3⊥l 4.实质上就是l 1与l 4同垂直于一条直线,所以l 1⊥l 4,l 1∥l 4,l 1与l 4既不垂直也不平行都有可能成立,故l 1与l 4的位置关系不确定. 答案:D4.如图,在某个正方体的表面展开图中,l 1,l 2是两条面对角线,则在正方体中,l 1与l 2( ) A.互相平行 B.异面且互相垂直 C.异面且夹角为60° D.相交且夹角为60°解析:将表面展开图还原成正方体如图所示,则B ,C 两点重合.故l 1与l 2相交,连接AD ,△ABD 为正三角形,所以l 1与l 2的夹角为60°. 答案:D5.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若点E ,F 分别在AB ,AC 上,且AE=13AB ,AF=13AC ,则下列说法正确的是( ) A.EF ⊥BB 1 B.EF ∥A 1B 1 C.EF ∥B 1C 1D.EF ∥AA 1解析:∵AE=1AB ,AF=1AC ,∴EF ∥BC.又ABC-A1B1C1为棱柱,∴BC∥B1C1.∴EF∥B1C1.答案:C6.下列说法正确的是()A.空间中没有交点的两条直线是平行直线B.一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条也相交C.空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥cD.分别在两个平面内的直线是平行直线解析:A,B选项中,两直线可能异面,D选项中两直线可能相交,也可能异面.答案:C7.如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.解析:将图形还原成正方体,观察有AB与CD,AB与GH,EF与GH共3对异面直线.答案:38.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.答案:90°9.如图所示,在四棱锥C-ABED中,底面ABED是梯形.若AB∥DE,DE=2AB,且F是CD的中点,P是CE的中点,则AF与BP的位置关系是.解析:连接PF,∵P,F分别是CE,CD的中点,∴PF∥ED,且PF=1ED.2又AB∥ED,且DE=2AB,∴AB∥PF,且AB=PF,即四边形ABPF是平行四边形,∴BP∥AF.答案:平行10.如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E是PC上不重合的两点,F,H分别是P A,PB上的点,且与点P不重合.求证:EF和DH是异面直线.证明∵P A∩PC=P,∴P A,PC确定一个平面α.∵E∈PC,F∈P A,∴E∈α,F∈α,∴EF⫋α.∵D∈PC,∴D∈α,且D∉EF.又PB∩α=P,H∈PB,且点H与点P不重合,∴H∉α,DH∩α=D,且DH与EF不相交,于是直线EF和DH是异面直线.★11.如图所示,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且AE=BF=1,EF=5,求AB和CD所成的角的大小.解如图所示,过点E作EO∥AB,交BD于点O,连接OF,所以AEED =BOOD,所以BOOD=BFFC,所以OF∥CD.所以∠EOF或其补角是AB和CD所成的角.在△EOF中,OE=2AB=2,OF=1CD=1,又EF=5,所以EF2=OE2+OF2,所以∠EOF=90°.即异面直线AB和CD所成的角为90°.★12.在梯形ABCD中(如图①所示),AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面CDFE沿EF翻折起来,使CD到C'D'的位置,G,H分别为AD'和BC'的中点,得到如图②所示的立体图形.求证:四边形EFGH为平行四边形.。

课时跟踪检测（一）简单几何体层级一学业水平达标1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：选D由棱柱定义知，①③为棱柱．2．下面有关棱台说法中，正确的是()A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形解析：选B由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．故B正确．3．下列说法正确的是()A．圆锥的母线长一定等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心解析：选D由圆锥、圆柱、圆台的概念可知A、B、C均不正确，只有D正确．4．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形解析：选C如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．5．观察下图所示几何体，其中判断正确的是()A．①是棱台B．②是棱锥C．③是棱锥D．④不是棱柱解析：选C①中互相平行的两个平面四边形不相似，所以侧棱不会相交于一点，不是棱台．②侧面三角形无公共顶点，不是棱锥．③是棱锥，正确．④是棱柱．故选C.6．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．解析：由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．答案：七7．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．解析：(1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长一定相交于一点；(4)不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：(1)(2)8．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．解析：由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱．答案：四棱柱9．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．解：(1)是上海世博会中国馆，其主体结构是四棱台．(2)是法国卢浮宫，其主体结构是四棱锥．(3)是国家游泳中心“水立方”，其主体结构是四棱柱．(4)是美国五角大楼，其主体结构是五棱柱．10．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解：图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．层级二应试能力达标1．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．2．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为() A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，。