河北省唐山市滦南一中、海港中学等五校2020届高三数学9月月考试题 理(无答案)

2020-2021年河北省某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|x 2−5x +6≤0}，B ={x ∈Z |1<x <5}，则A ∩B =( )A.[2,3]B.(1,5)C.{2,3}D.{2,3,4}2. 命题“对于任意x ∈R ，都有e x >0”的否定是( )A.对于任意x ∈R ，都有e x ≤0B.不存在x ∈R ，使得e x ≤0C.存在x 0∈R ，使得e x 0>0D.存在x 0∈R ，都有e x 0≤03. 函数f (x )=ln x +e x （e 为自然对数的底数）的零点所在的区间是( )A.(e,+∞)B.(0,1e )C.(1e ,1)D.(1,e )4. 已知cos α=14，则sin (π2−2α)=( )A.18B.−18C.78D.−785. 已知函数f(x)=kx −2ln x 在区间(1, +∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(1, +∞)C.[2,+∞)D.[1, +∞)6. 俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖．萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患，民不聊生．迷信使然，建塔以辟邪镇邪．坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”．此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建．某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点A 处测得塔顶B 的仰角为60∘，在塔底C 处测得A 处的俯角为45∘．已知山岭高CD 为36米，则塔高BC 为( )A.(36√2−36)米B.(36√3−36)米C.(36√6−36)米D.(72√3−36)米7. 函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )A.3π4B.π4C.0D.−π48. 已知函数f(x)=e x−2x−1（其中e为自然对数的底数），则y=f(x)的图象大致为( )A. B.C. D.9. 在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为(12,√32)，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是( )A.(−√32,12) B.(−12,√32) C.(√32,12) D.(−√32,−12)10.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)<f′(x)，且f(0)=2，则不等式f(x)>2e x的解集为()A.(−∞, 0)B.(−∞, 2)C.(0, +∞)D.(2, +∞)11. 已知△ABC是斜三角形，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2√21，c sin(B+C)+√3a cos(A+B)=0，且sin C+sin(B−A)=5sin2A，则△ABC的面积为( )A.5√34B.54C.5D.5√312. 已知函数f(x)=x22+(m+1)e x+2(m∈R)有两个极值点，则实数m的取值范围为( )A.[−1e , 0] B.(−1−1e, −1) C.(−∞, −1e) D.(0, +∞)二、填空题在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=π3，b=√2，c=√3，则A=________．已知函数f(x)=x3−2kx2+x−3在R上不单调，则k的取值范围是________.已知α为锐角，且sin(α+5π6)=−35，则cosα=________.已知函数f(x)=2x+1x2+1，函数g(x)=(12)x−m，若对任意的x1∈[1, 2]，存在x2∈[−1, 1]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围为________．三、解答题已知0<β<α<π2，sinα=45，sin(α−β)=√55.(1)求sin2α；(2)求cos(α+β).已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y=g(x)，设ℎ(x)=g(x)+f (x )，求函数ℎ(x )在[0,π2]上的最大值．设f(x)=a ln x −x +4(a ∈R )，曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线垂直于y 轴．(1) 求a 的值；(2) 求函数f(x)的极值．如图，在△ABC 中，已知B =π3，AC =4√3，D 为BC 边上一点．(1)若AD =2，S △DAC =2√3，求DC 的长；(2)若AB =AD ，试求△ADC 的周长的最大值．已知函数f (x )=ax 2+b ln x 在x =12处取得极小值12+ln 2. (1)求f (x );(2)令函数g (x )=mx 3−ln x +2，若f (x )≤g (x )对x ∈[1,4]恒成立，求m 的取值范围．已知函数f (x )=ln x −x−1a .(1)当a =1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x ) 在区间(2,e )上存在零点，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021年河北省某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】(1)根据题目所给信息进行求解即可.【解答】解：已知集合A={x|x2−5x+6≤0}={x|2≤x≤3}，集合B={x∈Z|1<x<5}={2,3,4}，则A∩B={2,3} .故选C.2.【答案】D【考点】命题的否定【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对于任意x∈R，都有e x>0”的否定是：存在x0∈R，都有e x0≤0．故选D.3.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】无【解答】解：因为函数f(x)=ln x+e x在(0,+∞)上为增函数，所以若函数f(x)存在零点，零点个数有且只有一个，)=−1+e1e>0，又f(e)=1+e e>0，f(1)=e>0，f(1e且x→0，f(x)→−∞，)，使f(x0)=0，所以∃x0∈(0,1e).即f(x)的零点所在的区间是(0，1e故选B ．4.【答案】D【考点】二倍角的余弦公式诱导公式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ cosα=14，∴ sin(π2−2α)=cos2α=2cos 2α−1=2×(14)2−1=−78.故选D .5.【答案】C【考点】已知函数的单调性求参数问题利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：∵ 函数f(x)=kx −2ln x 在区间(1, +∞)上单调递增，∴ 当x >1时，f ′(x)=k −2x ≥0恒成立， 即k ≥2x 在区间(1,+∞)上恒成立.∵ y =2x 在区间(1, +∞)上单调递减， ∴ k ≥2.故选C .6.【答案】B【考点】解三角形【解析】根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出塔高BC 的值．【解答】解：如图所示，在Rt△ACD中，∠CAD=45∘，CD=36米，所以AD=36米；在Rt△ABD中，∠BAD=60∘，所以BD=AD tan∠BAD=36√3米，所以BC=BD−CD=(36√3−36)米.故选B.7.【答案】B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的奇偶性【解析】利用函数y＝A sin(ωx+φ)的图象变换可得函数y＝sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．【解答】解：令y=f(x)=sin(2x+φ)，则f(x+π8)=sin[2(x+π8)+φ]=sin(2x+π4+φ)，∵f(x+π8)为偶函数，∴π4+φ=kπ+π2，∴φ=kπ+π4，k∈Z，∴当k=0时，φ=π4．故φ的一个可能的值为π4．故选B.8.【答案】C【考点】函数图象的作法【解析】找出四个选项的区别，用特值法验证．【解答】解：∵f(0)=e0−2×0−1=0，f(1)=e−2−1=e−3<0，∴ 函数图象过(0, 0)点，且在y轴右侧，x轴下方有图象.故选C.9.【答案】A【考点】诱导公式在实际问题中建立三角函数模型【解析】计算出运动3分钟时动点M转动的角，再利用诱导公式可求得结果．【解答】解：如图，动点每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为312×2π=π2.设点M的初始位置的坐标为(cosα,sinα)，则cosα=12,sinα=√32，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′(cos(α+π2),sin(α+π2))，由诱导公式可得cos(α+π2)=−sinα=−√32，sin(α+π2)=cosα=12，所以点M′的坐标为(−√32,1 2 ).故选A．10.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据条件构造函数g(x)=f(x)e x，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：设g(x)=f(x)e x，则g′(x)=f′(x)−f(x)e x，∵ f(x)<f′(x)，∴ g ′(x)>0，即函数g(x)在定义域内单调递增．∵ f(0)=2，∴ g(0)=f(0)=2.则不等式f(x)>2e x 等价于g(x)>g(0)，∵ 函数g(x)在定义域内单调递增．∴ x >0.∴ 不等式的解集为(0, +∞).故选C ．11.【答案】D【考点】解三角形余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由 c sin (B +C )+√3a cos (A +B )=0得：c sin A −√3a cos C =0，由正弦定理，得 sin C sin A =√3sin A cos C ，显然 sin A ≠0 ，所以 tan C =√3，又C ∈(0，π)，所以 C =π3. 又sin C +sin (B −A )=5sin 2A ，所以 sin (B +A )+sin (B −A )=5sin 2A ，变形得 2sin B cos A =10sin A cos A .又A ≠π2 ，所以 sin B =5sin A ，所以 b =5a ，由余弦定理得 (2√21)2=b 2+a 2−2ab cos π3=21a 2，解得 a =2，b =10，所以 S △ABC =12ab sin C =12×2×10×√32=5√3.故选D.12.【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的定义域为R ，f ′(x)=x +(m +1)e x ，∵ 函数f(x)有两个极值点，∴ f ′(x)=x +(m +1)e x 有两个不同的零点，故关于x 的方程−m −1=x e x 有两个不同的解.令g(x)=xe x ，则g ′(x)=1−xe x ，当x ∈(−∞, 1)时，g ′(x)>0，当x ∈(1, +∞)时，g ′(x)<0，∴ 函数g(x)=xe x 在区间(−∞, 1)上单调递增，在区间(1, +∞)上单调递减， 又当x →−∞时，g(x)→−∞，当x →+∞时，g(x)→0，g(1)=1e ，故0<−m −1<1e ，∴ −1−1e <m <−1. 故选B .二、填空题【答案】5π12【考点】正弦定理【解析】由已知利用正弦定理可得sin B =√22，利用大边对大角可得B 为锐角，可得B =π4，根据三角形内角和定理即可解得A 的值．【解答】解：∵ C =π3，b =√2，c =√3， ∴ 由正弦定理b sin B =c sin C ，可得：√2sin B =√3√32， 即sin B =√22. ∵ b <c ，∴ B =π4，∴ A =π−B −C =5π12．故答案为：5π12.【答案】(−∞，−√32)∪(√32，+∞) 【考点】已知函数的单调性求参数问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由已知得：f ′(x)=3x 2−4kx +1，因为函数 f(x)=x 3−2kx 2+x −3 在R 上不单调， 所以f ′(x)与x 轴有交点，即Δ=(−4k)2−4×3>0， 解得：k <−√32或k >√32， 故答案为：(−∞，−√32)∪(√32，+∞).【答案】4√3−310 【考点】两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系 三角函数值的符号 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：因为sin (α+5π6)=−35，α为锐角，则α+5π6∈(π,4π3)，则cos (α+5π6)=−45， 故cos α=cos (α+5π6−5π6)=cos (α+5π6)cos 5π6+sin (α+5π6)sin 5π6=(−45)×(−√32)+(−35)×12=4√3−310. 故答案为：4√3−310. 【答案】[−72, +∞) 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】条件等价于f(x)min≥g(x)min，利用导数可求得f(x)在[1, 2]上单调递增，根据指数函数性质可得g(x)在[−1, 1]上单调递减，进而得到f(1)≥g(1)，解得即可【解答】解：对任意的x1∈[1, 2]，存在x2∈[−1, 1]，使得f(x1)≥g(x2)，等价于f(x)min≥g(x)min，令f′(x)=2−2x3=0，解得x=1，且当x>1时，f′(x)>0，则f(x)在[1, 2]上单调递增，所以f(x)min=f(1)=2+1+1=4，又g(x)在[−1, 1]上单调递减，所以g(x)min=g(1)=12−m，则4≥12−m，解得m≥−72.故答案为：[−72, +∞)．三、解答题【答案】解：(1)因为0<α<π2，sinα=45，所以cosα=35，从而sin2α=2sinαcosα=2425．(2)由题知，cos2α=1−2sin2α=−725．因为0<β<α<π2，所以0<α−β<π2，所以cos(α−β)=√1−sin2(α−β)=2√55，所以cos(α+β)=cos[2α−(α−β)]=cos2αcos(α−β)+sin2αsin(α−β)=−725×2√55+2425×√55=2√525．【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：(1)因为0<α<π2，sinα=45，所以cosα=35，从而sin2α=2sinαcosα=2425．(2)由题知，cos2α=1−2sin2α=−725．因为0<β<α<π2，所以0<α−β<π2，所以cos(α−β)=√1−sin2(α−β)=2√55，所以cos(α+β)=cos[2α−(α−β)]=cos2αcos(α−β)+sin2αsin(α−β)=−725×2√55+2425×√55=2√525．【答案】解：(1)由图象可得A=2，最小正周期T=4×(7π12−π3)=π，则ω=2πT=2，由f(712π)=2sin(7π6+φ)=−2，又|φ|<π2，则易求得φ=π3，所以f(x)=2sin(2x+π3)；(2)由题意知g(x)=2sin[2(x−π6)+π3]=2sin2x，所以ℎ(x)=g(x)+f(x)=2sin(2x+π3)+2sin2x=2sin2x cos π3+2cos2x sinπ3+2sin2x=3sin2x+√3cos2x =2√3sin(2x+π6).因为0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，所以ℎ(x)max=2√3.【考点】两角和与差的正弦公式三角函数的最值由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由图象可得A=2，最小正周期T=4×(7π12−π3)=π，则ω=2πT=2，由f(712π)=2sin(7π6+φ)=−2，又|φ|<π2，则易求得φ=π3，所以f(x)=2sin(2x+π3)；(2)由题意知g(x)=2sin[2(x−π6)+π3]=2sin2x，所以ℎ(x)=g(x)+f(x)=2sin(2x+π3)+2sin2x=2sin2x cos π3+2cos2x sinπ3+2sin2x=3sin2x+√3cos2x =2√3sin(2x+π6).因为0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，所以ℎ(x)max=2√3.【答案】解：(1)∵f(x)=a ln x−x+4，∴f′(x)=ax−1.由于曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)=a−1=0，∴a=1.(2)由(1)知，f(x)=ln x−x+4(x>0)，f′(x)=1x −1=1−xx.令f′(x)>0，解得0<x<1，故f(x)在(0, 1)上为增函数；令f′(x)<0，解得x>1，故f(x)在(1, +∞)上为减函数；故f(x)在x=1处取得极大值f(1)=3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值【解析】(1)求导函数，利用曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线垂直于y轴，可得f′(1)=0，从而可求a的值；(2)由(1)知，f(x)=ln x−x+4(x>0)，f′(x)=1x −1=1−xx，确定函数的单调性，即可求得函数f(x)的极值．【解答】解：(1)∵f(x)=a ln x−x+4，∴ f′(x)=ax −1.由于曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线垂直于y 轴， 故该切线斜率为0，即f′(1)=a −1=0， ∴ a =1.(2)由(1)知，f(x)=ln x −x +4(x >0)， f′(x)=1x −1=1−x x.令f′(x)>0，解得0<x <1，故f(x)在(0, 1)上为增函数； 令f′(x)<0，解得x >1，故f(x)在(1, +∞)上为减函数； 故f(x)在x =1处取得极大值f(1)=3． 【答案】解：(1)∵ S △DAC =2√3，AC =4√3，AD =2， ∴ 12⋅AD ⋅AC ⋅sin ∠DAC =2√3，∴ sin ∠DAC =12，∵ B =π3，∴ ∠DAC <∠BAC <π−π3=2π3，∴ ∠DAC =π6，在△ADC 中，由余弦定理得：DC 2=AD 2+AC 2−2AD ⋅AC cos π6， ∴ DC 2=4+48−2×2×4√3×√32=28，∴ DC =2√7；(2)∵ AB =AD ，B =π3，∴ △ABD 为正三角形，∵ ∠DAC =π3−C ，∠ADC =2π3，在△ADC 中，根据正弦定理，可得：ADsin C =4√3sin 2π3=DCsin (π3−C)，∴ AD =8sin C ，DC =8sin (π3−C)，∴ △ADC 的周长为AD +DC +AC =8sin C +8sin (π3−C)+4√3 =8(sin C +√32cos C −12sin C)+4√3 =8(12sin C +√32cos C)+4√3=8sin (C +π3)+4√3， ∵ ∠ADC =2π3，∴ 0<C <π3，∴ π3<C +π3<2π3，∴当C+π3=π2，即C=π6时，sin(C+π3)的最大值为1，则△ADC的周长最大值为8+4√3．【考点】三角函数的最值解三角形余弦定理正弦定理【解析】（1）利用三角形的面积公式表示出三角形ADC的面积，把已知的面积，以及AC、AD 的长代入，求出sin∠DAC的值，由B的范围，得到∠BAC的范围，进而确定出∠DAC的范围，利用特殊角的三角函数值求出∠DAC的度数，再由AD，AC及cos∠DAC的值，利用余弦定理即可求出DC的长；（2）由B=π3，AB=AD，得到三角形ABD为等边三角形，可得出∠ADC为2π3，进而得到∠DAC+∠C=π3，用∠C表示出∠DAC，在三角形ADC中，由AC，以及sin∠ADC，sin C，sin∠DAC，利用正弦定理表示出AD及DC，表示出三角形ADC的周长，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由∠ADC的度数，得到C的范围，可得出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，确定出正弦函数的最大值，即可得到周长的最大值．【解答】解：(1)∵S△DAC=2√3，AC=4√3，AD=2，∴12⋅AD⋅AC⋅sin∠DAC=2√3，∴sin∠DAC=12，∵B=π3，∴∠DAC<∠BAC<π−π3=2π3，∴∠DAC=π6，在△ADC中，由余弦定理得：DC2=AD2+AC2−2AD⋅AC cosπ6，∴DC2=4+48−2×2×4√3×√32=28，∴DC=2√7；(2)∵AB=AD，B=π3，∴△ABD为正三角形，∵∠DAC=π3−C，∠ADC=2π3，在△ADC中，根据正弦定理，可得：ADsin C =4√3sin2π3=DCsin(π3−C)，∴AD=8sin C，DC=8sin(π3−C)，∴△ADC的周长为AD+DC+AC=8sin C+8sin(π3−C)+4√3=8(sin C +√32cos C −12sin C)+4√3 =8(12sin C +√32cos C)+4√3=8sin (C +π3)+4√3， ∵ ∠ADC =2π3，∴ 0<C <π3， ∴ π3<C +π3<2π3，∴ 当C +π3=π2，即C =π6时，sin (C +π3)的最大值为1， 则△ADC 的周长最大值为8+4√3． 【答案】解：(1)因为f ′(x)=2ax +bx ， 所以f ′(12)=a +2b =0，因为f (12)=14a −bln2=12+ln2， 所以a =2，b =−1， 所以f(x)=2x 2−lnx ． (2)若f(x)≤g(x)，则2x 2−lnx ≤mx 3−lnx +2，即2x 2−mx 3−2≤0对x ∈[1,4]恒成立， 等价于m ≥2x 2−2x 3对x ∈[1,4]恒成立，令ℎ(x)=2x 2−2x 3， 则ℎ′(x)=6−2x 2x 4=2(√3−x)(√3+x)x 4， 令ℎ′(x)>0，得1≤x <√3；令ℎ′(x)<0，得√3<x ≤4，所以ℎ(x) 在[1,√3) 上单调递增，在(√3,4]上单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(√3)=4√39， 即m ∈[4√39,+∞)．【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析． 【解答】解：(1)因为f ′(x)=2ax +bx ，所以f ′(12)=a +2b =0， 因为f (12)=14a −bln2=12+ln2，所以a =2，b =−1，所以f(x)=2x 2−lnx ． (2)若f(x)≤g(x)，则2x 2−lnx ≤mx 3−lnx +2，即2x 2−mx 3−2≤0对x ∈[1,4]恒成立， 等价于m ≥2x 2−2x 3对x ∈[1,4]恒成立，令ℎ(x)=2x 2−2x 3， 则ℎ′(x)=6−2x 2x 4=2(√3−x)(√3+x)x 4，令ℎ′(x)>0，得1≤x <√3； 令ℎ′(x)<0，得√3<x ≤4，所以ℎ(x) 在[1,√3) 上单调递增，在(√3,4]上单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(√3)=4√39， 即m ∈[4√39,+∞)．【答案】解：(1)当a =1时，f (x )=ln x −x +1，定义域为(0,+∞) ， 则f ′(x )=1x −1，令f ′(x )=0， 解得x =1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(1,+∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )max =f (1)=0. (2)由题意知，方程f (x )=ln x −x−1a=0在(2,e )上有实根．因为ln x ≠0 ， 所以方程可转化为a =x−1ln x.设g (x )=x−1ln x，则g ′(x )=ln x−1x(x−1)(ln x )2=ln x+1x−1(ln x )2.设ℎ(x )=ln x +1x −1，则ℎ′(x)=1x −1x2.当2<x<e时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(2,e)上单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(2)=ln2−12>0，于是g′(x)>0，所以g(x)在(2,e)上单调递增，所以g(2)<g(x)<g(e)，即1ln2<g(x)<e−1.综上所述，实数a的取值范围是(1ln2,e−1).【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=ln x−x+1，定义域为(0,+∞)，则f′(x)=1x−1，令f′(x)=0，解得x=1.当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max=f(1)=0.(2)由题意知，方程f(x)=ln x−x−1a=0在(2,e)上有实根．因为ln x≠0，所以方程可转化为a=x−1ln x.设g(x)=x−1ln x，则g′(x)=ln x−1x(x−1)(ln x)2=ln x+1x−1(ln x)2.设ℎ(x)=ln x+1x−1，则ℎ′(x)=1x −1x2.当2<x<e时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(2,e)上单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(2)=ln2−12>0，于是g′(x)>0，所以g(x)在(2,e)上单调递增，所以g(2)<g(x)<g(e)，<g(x)<e−1.即1ln2,e−1). 综上所述，实数a的取值范围是(1ln2。

2019-2020-1学期高三9月月考试题数 学（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1.已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围为( ) A .(0，1] B .[1，＋∞) C .(0，1) D .(1，＋∞) 2.若复数z 满足()3443i z i -=+,则z 的虚部为( )A . 45i -B . 45-C . 45D . 45i3.已知直线:10(R)l x ay a +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则AB =( )A .2B .C .6D .4.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( ) A .直线AC 上 B .直线AB 上 C .直线BC 上D .△ABC 内部5.已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C .⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 D .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，236.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…, 960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C ,则抽到的人中,做问卷C 的人数为( )A .7B .9C .10D .157.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为,x y ,则2log 1x y =的概率为( )A .16 B . 536C . 112D .12 8.若实数x ，y 满足条件402200x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,则12x y-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 的最大值为( ) A .116B . 12C . 1D .29.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( ) A .85 B .65 C .45D .2510.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( ) A .4B .5C .6D .711.函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A .(－1，1) B .(－1，＋∞) C .(－∞，－1)D .(－∞，＋∞)12.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ,若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点,且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ,则21e e -的取值范围是( )A . 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B . 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C . 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D .1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共20分） 13.计算：⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________.14.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.15.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________(用数字作答).16.已知实数e ,0()lg(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若关于x 的方程()2()0f x f x t ++=有三个不同的实根，则t 的取值范围为____________．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17.(12分)已知向量()()2cos ,1,cos 2,a x b x x ==函数().f x a b =⋅(1)求函数()f x 的单调增区间; (2)当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 值域.18.(12分)在锐角ABC △中，,,a b c 为内角,,A B C 的对边，且满足(2)cos cos 0c a B b A --=． （1）求角B 的大小;（2）已知2c =，AC 边上的高BD ABC △的面积S 的值.19. (10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为2,{2x t y =--= (t 为参数),直线l 与曲线()22:21C y x --=交于,A B 两点.(1)求AB 的长;(2)在以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭,求点P 到线段AB 中点M 的距离.20.(10分)已知()()20?f x ax ax a a =-+->. (1)当1a =时,求()f x x ≥的解集;(2)若不存在实数x ,使()3f x <成立,求a 的取值范围.21.(12分)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0). (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间;(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围.22.(14分)已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈ (1)若1a =,求曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程; (2)若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立,求实数a 的取值范围;(3)若数列{}n a 的前n 项和231n S n n =+-,4n nb a =,求证:数列{}n b 的前n 项和ln(1)(2)n T n n <++ .2019-2020-1学期9月月考试题答案数 学（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1.已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围为( B ) A .(0，1] B .[1，＋∞) C .(0，1) D .(1，＋∞) 2.若复数z 满足()3443i z i -=+,则z 的虚部为 ( B )A . 45i - B . 45-C . 45D . 45i 3.已知直线:10(R)l x ay a +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则AB =( C )A .2B. C .6D.4.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( B ) A .直线AC 上 B .直线AB 上 C .直线BC 上D .△ABC 内部5.已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( D )A .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C .⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 D .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，236.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…, 960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C ,则抽到的人中,做问卷C 的人数为( A )A .7B .9C .10D .157.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为,x y ,则2log 1x y =的概率为( C )A .16 B . 536C . 112D .12 8.若实数x ，y 满足条件4022000x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,则12x y -⎛⎫⎪⎝⎭ 的最大值为( D )A .116B . 12C . 1D .29.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( B ) A .85 B .65 C .45D .2510.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( C ) A .4B .5C .6D .711.函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( B )A .(－1，1)B .(－1，＋∞)C .(－∞，－1)D .(－∞，＋∞)12.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ,若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点,且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ,则21e e -的取值范围是( D )A . 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B . 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C . 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D . 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共20分） 13.计算：⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________π4＋1._..14.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为___655－1..15.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝____10____(用数字作答).16.已知实数e ,0()lg(),0x x f x x x ⎧≥⎨-<⎩，若关于x 的方程()2()0f x f x t ++=有三个不同的实根，则t的取值范围为 (,2]-∞-__________．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17.(12分)已知向量()()2cos ,1,cos 2,a x b x x ==函数().f x a b =⋅(1)求函数()f x 的单调增区间;(2)当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 值域 ()22cos 2f x a b x x =⋅=2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,得(),.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈2.由1知()f x 在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴当6x π=时, ()max 3f x =;当0x =时, ()min 2f x =18.(12分)在锐角ABC △中，,,a b c 为内角,,A B C 的对边，且满足(2)cos cos 0c a B b A --=． （1）求角B 的大小．（2）已知2c =，AC 边上的高BD =，求ABC △的面积S 的值． （1）∵(2)cos cos 0c a B b A --=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0C A B B A --=，∴2sin cos sin cos sin cos C B A B B A =+，即2sin cos sin C B C =. ∵πA B C +=-且sin 0C ≠，∴1cos 2B =， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =． （2）∵11sin 22S ac B BD b ==⋅，代入,c BD B ==，得b由余弦定理得，22222cos 42b a c ac B a a =+-=+-代入b ，得29180a a -+=，解得3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩6a b =⎧⎪⎨=⎪⎩又∵ABC △是锐角三角形∴222a c b <+，故3a =，b∴11sin 2322ABC S ac B ==⨯⨯=△19.(10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为2,{2x t y =--= (t 为参数),直线l 与曲线()22:21C y x --=交于,A B 两点.(1)求AB 的长;(2)在以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P的极坐标为34π⎛⎫⎪⎝⎭,求点P 到线段AB 中点M 的距离。

河北省2020版数学高三上学期理数9月月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） i为虚数单位，则=（）A . －iB . －1C . iD . 12. （2分） (2019高一上·上海月考) 设全集，集合 , ,，则方程的解集是（）．A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·长春期末) 已知命题，则命题的否定为（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高三上·葫芦岛月考) “ ，”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2016高二上·河北期中) 为了研究一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中底部周长大于100cm 的株树大约中（）A . 3000B . 6000C . 7000D . 80006. （2分）(2018·邯郸模拟) 已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点为双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .7. （2分）设是三个内角所对应的边，且，那么直线与直线的位置关系（）A . 平行B . 垂直C . 相交但不垂直D . 重合8. （2分）已知是偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,若,则x的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二下·甘肃期末) 已知函数( 为自然对数的底数)，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）如果函数在区间上单调递减，则实数满足的条件是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高一上·钦州港月考) 已知 ( 且)的值域为则与的关系是（）A .B .C .D . 不能确定12. （2分） (2017高一上·延安期末) 如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“2”所对的面是（）A . 1B . 7C . 快D . 乐二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·宜昌期中) 若xlog23=1，则3x+9x的值为________14. （1分） (2016高一上·杭州期末) 已知幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），则k+α=________．15. （1分）(2020·如皋模拟) 已知是圆：的一条弦，其长度，是的中点，若动点､，使得四边形为平行四边形，则实数的最大值为________.16. （1分） (2019高二下·上海期末) 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值，则随机选取1部电影，这部电影没有获得好评的概率为________.三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分）已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=求函数f（x）的解析式.18. （10分） (2019高一下·化州期末) 设函数，其中向量，．（1）求函数的最小正周期与单调递减区间；（2）在中，、、分别是角、、的对边，已知，，的面积为，求外接圆半径．19. （10分） (2020高二上·建瓯月考) 椭圆，是椭圆的左右顶点，点P是椭圆上的任意一点.（1）证明：直线，与直线，斜率之积为定值.（2）设经过且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线交于点，求证：为定值.20. （5分）(2017·孝义模拟) 某研究所设计了一款智能机器人，为了检验设计方案中机器人动作完成情况，现委托某工厂生产500个机器人模型，并对生产的机器人进行编号：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的机器人样本，试验小组对50个机器人样本的动作个数进行分组，频率分布直方图及频率分布表中的部分数据如图所示，请据此回答如下问题：分组机器人数频率[50，60）0.08[60，70）10[70，80）10[80，90）[90，100]6（1）补全频率分布表，画出频率分布直方图；（2）若随机抽的第一个号码为003，这500个机器人分别放在A，B，C三个房间，从001到200在A房间，从201到355在B房间，从356到500在C房间，求B房间被抽中的人数是多少？（3）从动作个数不低于80的机器人中随机选取2个机器人，该2个机器人中动作个数不低于90的机器人记为ξ，求ξ的分布列与数学期望．21. （10分） (2020高三上·黄冈月考) 如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km，C、D两点在半圆弧上满足，设，现要在景区内铺设一条观光通道，由和组成.（1）用表示观光通道的长，并求观光通道的最大值；（2）现要在农庄内种植经济作物，其中在中种植鲜花，在中种植果树，在扇形内种植草坪，已知种植鲜花和种植果树的利润均为百万元/km2 ，种植草坪利润为百万元/km2 ，则当为何值时总利润最大？22. （10分）(2019·抚顺模拟) 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）求曲线的参数方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设为曲线上在第二象限内的点，且在点处的切线与直线平行，求点的直角坐标．23. （10分）(2019·潍坊模拟) 已知函数的最大值为 .（1）求实数的值；（2）若，设，，且满足，求证： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共65分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。

河北省唐山市滦南一中、海港中学等五校2020届高三数学9月月考试题 理（无答案）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知21z i i=+-，则(z z 的共轭复数）为 A ．3i + B ．3i - C ．3i -- D ．3i -+ 2、261()x x -的展开式中的常数项为A ．15B ．15-C ．20D ．-203、已知命题:""p a b >是"22"a b >的充要条件：:,1q x R x x ∃∈+≤，则A ．p q ⌝∨为真命题B ．p q ∨为真命题C ．p q ∧为真命题D ．p q ∧⌝为假命题4、已知α是第三象限角，且tan 2α=，则sin()4πα+=A．10- B．10 C．10- D．105、设变量,x y 满足10220x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+ 的最小值为A ．32B ．2C ．3D ．6 6、把函数sin(2)6y x π=-的图象向左平移6π个单位后，所得函数图象的一条对称轴为 A ．0x = B ．2x π= C ．6x π= D ．12x π=- 7、割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣，这是公元三世纪我国古代数学家刘徽大胆地应用以直代曲，无限趋近求圆周率的思想方法，现利用刘徽的“”割圆术 思想设计衣蛾计算圆周率的近似计算圆周率的近似值的程序框图（如图），若输入的3,10a n ==，则输出n =A ．160B ．80C ．40D ．208、已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为A ．2B ．1C ．43D ．539、奇函数()f x ，偶函数()g x 的推向分别如图1，2所示，函数()()(),()f g x g f x 的零点个数分别为,m n ，则m n +=A ．3B ．7C ．10D ．1410、直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，M 是线段AB 的中点，若l 与(OM O 是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为A ．2B 2C ．3D 311、曲线11x y x -=+与(0,1)-其在点处的切线及直线1x = 所围成的封闭图形的面积为 A ．1ln x - B ．22ln 2- C ．2ln21- D ．ln 212、把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为A ．3cmB ．10cmC ．102cmD ．30cm第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、函数102x y =-的定义域为14、向圆22(2)(3)4x y -+-=内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为15、过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若26AF BF ==， 则p = 16、在ABC ∆中，(3)AB AC CB -⊥u u u r u u u r u u u r ，则角A 的最大值为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（一）必考题：共60分17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：212123(31),8n n n n N a a a ++++=-∈L . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n a b n=，求12231111n n b b b b b b ++++L .18、（本小题满分12分）某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图.（1）根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ；（2）假设甲在每场比赛的表现服从正态分布2(,)N μσ，且各场比赛间相互没有影响，依次估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数.参考数据：32 5.66,32.25 5.68,32.5 5.70≈≈≈正态分布2(,)N μσ在区间(2,2)μσμσ-+内取值的概率为0.954.19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面,ABCD ABCD 是直角梯形，,//,22,AB AD AB CD AB AD CD E ⊥==是PB 的中点.（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若二面角P AC E --的余弦值为6，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.20、（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，21的线段的两端点,C D 分别在x 轴、y 轴上滑动，2CP =u u u r u u r ，记点P 的轨迹为曲线E.（1）求曲线E 的方程；（2）经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于,A B 两点，OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积.21、（本小题满分12分）已知()221ln ,02f x x a x a =->.（1）若()0f x ≥，求a 的取值范围；（2）若12()()f x f x =，且12x x ≠，证明：122x x a +>.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，已知圆1C 的极坐标方程为4(cos sin )ρθθ=+，P 是1C 上一动点，点Q 在射线OP 上且满足12OQ OP =，点Q 的轨迹为2C . （1）求曲线2C 的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（2）已知直线l 的参数方程为2cos (sin x t t y t ϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数，0ϕπ≤<）l 与曲线2C 有且只有一个公共点，求ϕ的值.23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲设()2,(0)f x x x a a =+->.（1）当1a =时，解不等式()4f x ≤；（2）若()4f x ≥，求实数a 的取值范围.。

2020-2021学年河北唐山高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合M={x|−3<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∪N等于( )A.{x|−3<x<3}B.{x|−3<x<2}C.{x|−2<x<2}D.{x|2<x<3}【答案】A【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为N={x|x2−x−6<0}，则(x+2)(x−3)<0，解得−2<x<3，所以N={x|−2<x<3}.因为M={x|−3<x<2}，所以M∪N={x|−3<x<3}.故选A．2. 若复数2a+2i1−i(a∈R)是纯虚数，则复数a+i在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义复数的基本概念【解析】利用复数的除法运算化简，纯虚数的概念得a=1,可得解，属于基础题.【解答】解：2a+2i1−i =(2a+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=(2a−2)+(2a+2)i=(a−1)+(a+1)i是纯虚数，则a−1=0，a+1≠0，解得a=1，a+i=1+i对应的坐标为(1,1)，位于第一象限.故选A.3. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第二节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有( )A.12种B.24种C.36种D.48种【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】本题考查排列组合问题思路：分类讨论，先排好“数”，再用捆绑排有条件限制“射”和“御，其他随机排列，难度适中.【解答】解：“数”排在第二节，“射”和“御”捆绑一起从后面3个相邻位置选，再进行排列有C31A22种排法，其他3门课程随机排列有A33种排法，则不同的排法有C31A22A33=36种.故选C.4. 珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的，这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度．2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作，在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高12米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70∘，80∘，根据所给数据用估算的方法估计A，B的高度差约为（参考数据：√3≈1.7，√2≈1.4）( )A.10米B.10.5米C.11.5米D.12米【答案】B【考点】解三角形【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，由题意得∠CAB=∠ACB=10∘，所以AB=BC=12.在Rt△ABD中，BD=12sin70∘，因为12sin60∘<12sin70∘<12sin75∘，所以6√3<12sin70∘<3(√6+√2).因为√3≈1.7，√2≈1.4，故10.2<12sin70∘<11.34.故选B．5. 某单位为了了解100名员工的年龄情况，采用系统抽样的方法从中抽取20名员工的年龄数据作为样本，将全体员工随机按1∼100编号，并按编号顺序平均分为20组(1∼5号，6∼10号，⋯，96∼100号）．若第5组抽出的号码为22，则第10组抽出的号码应是( )A.45B.46C.47D.48【答案】C【考点】系统抽样方法【解析】根据系统抽样,抽取的号码为公差为5的等差数列,根据等差数列的通项公式计算.【解答】=5，解：根据系统抽样，样本间隔为10020第5组抽出的号码为22，则第10组抽出的号码应是22+(10−5)×5=47.故选C.6. 设函数y=f(x)的图像与y=2x+2的图像关于直线y=−x对称，则f(−2)=( )A.1B.2C.3D.4【答案】A【考点】对数及其运算函数解析式的求解及常用方法【解析】根据点的对称关系求解函数y=2x+2关于直线y=−x对称的函数f(x)的解析式，即可求解.解：在函数f(x)的图像上取点(x,y)，则关于直线y =−x 的对称点为(−y,−x)，代入y =2x+2得−x =2−y+2，整理得y =2−log 2(−x)，故函数y =2x+2关于直线y =−x 对称的函数为f(x)=2−log 2(−x)，∴ f(−2)=2−log 22=1.故选A .7. 设直线l 过点A (−1,0)，且与圆C ：x 2+y 2−2x −2y =0相切于点B ，那么AB →⋅AC →=( )A.7B.5C.4D.3 【答案】D【考点】平面向量数量积直线与圆的位置关系【解析】本题先求圆心，根据勾股定理求得三边长，然后根据向量数量积求出最后答案.【解答】解：因为圆C 的方程为(x −1)2+(y −1)2=2，得圆心为C(1,1)，所以AC 2=(−1−1)2+(0−1)2=5，BC 2=2.由勾股定理得：AB 2=3，从而cos ∠BAC =√35，于是AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cos ∠BAC=√3×√5×√35=3.故选D .8. 已知函数g (x )=ln (√x 2+1+x)+x 3，f (x )=xg (x )，若a =f (−72)，b =f (52)，c =f (4)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a <b <cB.c <b <aC.b <a <cD.b <c <a 【答案】C【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解答】解：由题意得f (x )=xg (x )=x ln (√x 2+1+x)+x 4，f (−x )=−xg(−x)=−x ln [√(−x)2+1+(−x)]+(−x)4=x ln (√x 2+1−x)−1+x 4 =x √x 2+1−x +x 4=x √x 2+1(√x 2+1−x)(√x 2+1+x)+x 4=x ln (√x 2+1+x)+x 4=f(x)，∴ f(x)为偶函数，在(0,+∞)上，易得函数f(x)单调递增，∴ f (52)<f (72)=f (−72)<f(4)， ∴ b <a <c .故选C .二、多选题将函数f (x )=cos (2x +π3)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列关于函数g (x )的说法正确的是( ) A.最大值为1，图象关于直线x =π6对称B.图象关于y 轴对称C.在(0,π4)上单调递减 D.图象关于点(−π4,0)对称 【答案】B,D【考点】余弦函数的对称性余弦函数的单调性余弦函数的定义域和值域函数解析式的求解及常用方法【解析】根据三角函数的平移变换规律得到g (x )=−cos 2x ,再根据余弦函数的性质逐一判断即可得解.【解答】解：将函数f (x )=cos (2x +π3)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，故g(x)=cos[2(x+π3)+π3]=−cos2x，cos2x∈[−1,1]，则g(x)=−cos2x∈[−1,1]，故g(x)max=1，当x=π6时，g(π6)=−12，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x=π6对称，故A错误；g(−x)=−cos(−2x)=−cos2x=g(x)，所以函数g(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故B正确；当x∈(0,π4)时，2x∈(0,π2)，此时g(x)=−cos2x单调递增，故C错误；由g(−π4)=−cos(−π2)=0可得g(x)图象关于点(−π4,0)对称，故D正确．故选BD.设正实数a，b满足a+b=1，则( )A.√ab有最小值12B.设x=a+1a ，y=b+1b，则x+y的最小值为5C.√a+√b有最大值√2D.a2+b2有最小值√22【答案】B,C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】由条件运用基本不等式可得0<ab≤14，运用变形和化简，即可判断正确结论．【解答】解：A，正实数a，b满足a+b=1，即有a+b≥2√ab，可得0<√ab≤12，则√ab有最大值12，故此选项错误；B，设x=a+1a ，y=b+1b，1 a +1b=1ab≥4，当a=b=12时，1a+1b取得最小值4，则x+y=a+1a +b+1b=1+1a+1b≥1+4=5，故最小值为5，故此选项正确；C ，由√a +√b =√a +b +2√ab=√1+2√ab≤√1+2×12=√2，当a =b =12时，√a +√b 取得最大值√2，故此选项正确；D ，由a 2+b 2≥2ab 可得2(a 2+b 2)≥(a +b )2=1， 则a 2+b 2≥12，当a =b =12时，a 2+b 2取得最小值12，故此选项错误.综上可得，BC 正确，故选BC .设A ，B 是抛物线y =x 2上的两点，O 是坐标原点， OA ⊥OB ，下列结论成立的是( )A.O 到直线AB 的距离大于1B.直线AB 过定点(1,0)C.若|OA →|=|OB →|，则AB 的方程为y =1D.若OD ⊥AB 于D ，则D 在圆x 2+(y −12)2=14上【答案】C,D【考点】直线与抛物线结合的最值问题【解析】【解答】解：对于选项B ：若OA ⊥OB ，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：y =kx +m ，联立方程{y =kx +m ，y =x 2，消去y 得：x 2−kx −m =0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，∴ x 1+x 2=k ，x 1x 2=−m ，∴ y 1y 2=x 12x 22=(x 1x 2)2=m 2.∵ OA ⊥OB ，∴ OA →⋅OB →=0，∴ x 1x 2+y 1y 2=0，∴ −m +m 2=0，∴ m =0或1，易知直线AB 不过原点，∴ m =1，∴ 直线AB 的方程为：y =kx +1，恒过定点(0, 1)，故选项B 错误；∴ 原点O 到直线AB 的距离d =√1+k 2，∵ k 2≥0，∴ k 2+1≥1，∴ d ≤1，故选项A 错误；对于选项C ，设A(x 1,x 12)，B(x 2,x 22)，∵ |OA →|=|OB →|，∴ x 12+(x 12)2=x 22+(x 22)2，整理得(x 12−x 22)(x 12+x 22+1)=0，∴ x 12−x 22=0，即x 12=x 22，∴ A ，B 两点的纵坐标相等.又直线y =kx +1恒过定点(0, 1)，∴ A ，B 两点的纵坐标相等，都为1，即AB 的方程为y =1，故选项C 正确；对于选项D ，设D(x,y)，则根据勾股定理可得x 2+y 2+(x −0)2+(y −1)2=12， 整理得x 2+(y −12)2=14，则D 在圆x 2+(y −12)2=14上， 故选项D 正确.故选CD .如果定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意的x 1≠x 2，都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1)，则称f (x )为“H 函数”．下列叙述正确的是( )A.f (x )=x 3−x +1为“H 函数”B.f (x )=e −x −e x 为“H 函数”C.f (x )=2x −sin x +cos x 为“H 函数”D.仅当m =1时，函数f (x )=(x −m )e x −12x 2+(m −1)x 为“H 函数” 【答案】C,D【考点】函数新定义问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1)，变形可得[f(x 1)−f(x 2)](x 1−x 2)>0，则函数f(x)是增函数.A ，f ′(x )=3x 2−1不恒大于零，故f (x )不是“H 函数”，故A 错误；B ，f(x)是单调递减函数，故不是“H 函数，故B 错误；C ，f ′(x )=2−cos x −sin x =2−√2sin (x +π4)>0恒成立，是“H 函数”，故C 正确； D ，f ′(x )=e x +(x −m )e x −x +(m −1)=e x (x −m +1)−(x −m +1)=(e x −1)(x −m +1)≥0在R 上恒成立，等价于x >0，x ≥m −1或x <0，x ≤m −1恒成立，解得1≤m ≤1，得m =1，故D 正确．故选CD ．三、填空题点D 是直角△ABC 斜边AB 上一动点， AC =6，BC =8，将△BCD 沿着CD 翻折到△B ′DC ，使△B ′DC 与△ADC 构成直二面角，则翻折后AB ′的最小值是________．【答案】2√13【考点】二倍角的正弦公式三角函数的最值余弦定理【解析】【解答】解：过点B 作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ，如图，设∠BCD =∠B ′CD =α(0<α<π2)，则有B ′E =8sin α，CE =8cos α，∠ACE =π2−α， 在△AEC 中，由余弦定理得，AE 2=36+64cos 2α−96cos αcos (π2−α) =36+64cos 2α−96sin αcos α.在Rt △AEB ′中，由勾股定理得，AB ′2=AE 2+B ′E 2=36+64cos 2α−96sin αcos α+64sin 2α=100−48sin 2α，所以当α=π4时，AB ′取得最小值2√13 . 故答案为：2√13 .四、解答题在①b 2=2，a 3+a 4=3b 3；②S 3=9，a 4+a 5=8b 2这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n }的公差为d (d >1)，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，且a 1=b 1，d =q ．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n =a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．【答案】解：(1)选条件①.b 2=2，a 3+a 4=3b 3， a 1=b 1，d =q ，d >1， 所以{a 1d =2，2a 1+5d =3a 1d 2，{a 1d =2，2a 1+5d =6d ，解得{a 1=1，d =2或{a 1=−1，d =−2（舍去）， 所以{b 1=1，q =2，所以a n =a 1+(n −1)d =2n −1，b n =2n−1． 选条件②.S 3=9，a 4+a 5=8b 2，a 1=b 1，d =q ，d >1， {a 1+d =3,2a 1+7d =8a 1d,解得{a 1=1，d =2或{a 1=218，d =38（舍去）， 所以{b 1=1，q =2， 所以a n =a 1+(n −1)d =2n −1，b n =2n−1．(2)因为c n =a n b n ，T n =1+3×21+5×22+⋯+ (2n −3)×2n−2+(2n −1)×2n−1①， 2T n =2+3×22+5×23+⋯+ (2n −3)×2n−1+(2n −1)×2n ②， ①−②得，−T n =1+2(2+22+⋯+2n−1)− (2n −1)×2n ，所以T n =3+(2n −3)×2n ．【考点】数列的求和等比数列的通项公式等差数列的通项公式【解析】无无【解答】解：(1)选条件①.b 2=2，a 3+a 4=3b 3， a 1=b 1，d =q ，d >1， 所以{a 1d =2，2a 1+5d =3a 1d 2，{a 1d =2，2a 1+5d =6d ，解得{a 1=1，d =2或{a 1=−1，d =−2（舍去），所以{b 1=1，q =2，所以a n =a 1+(n −1)d =2n −1，b n =2n−1． 选条件②.S 3=9，a 4+a 5=8b 2，a 1=b 1，d =q ，d >1， {a 1+d =3,2a 1+7d =8a 1d,解得{a 1=1，d =2或{a 1=218，d =38 （舍去）， 所以{b 1=1，q =2，所以a n =a 1+(n −1)d =2n −1，b n =2n−1． (2)因为c n =a n b n ，T n =1+3×21+5×22+⋯+(2n −3)×2n−2+(2n −1)×2n−1①， 2T n =2+3×22+5×23+⋯+(2n −3)×2n−1+(2n −1)×2n ②， ①−②得，−T n =1+2(2+22+⋯+2n−1)− (2n −1)×2n ，所以T n =3+(2n −3)×2n ．如图，在平面四边形ABCD 中， ∠ABC =3π4，∠ADC =π6， AB =1，AC =2√2．(1)若sin ∠CAD =√23，求CD ；(2)若∠BAC=∠DAC，求sin∠BAD的值．【答案】解：(1)在三角形ACD中，AC=2√2，∠ADC=π6，sin∠CAD=√23，由正弦定理得ACsin∠ADC =CDsin∠CAD，2√2 1 2=√23，解得CD=83．(2)在△ABC中，∠ABC=3π4，AB=1，AC=2√2，设∠BAC=θ，0<θ<π4，∠BCA=π4−θ，所以ACsin∠ABC =ABsin∠ACB，2√2 sin3π4=1sin(π4−θ)，sin(π4−θ)=14，√2 2cosθ−√22sinθ=14，cosθ−sinθ=√24，(cosθ−sinθ)2=1−sin2θ=18，sin2θ=78，即sin∠BAD=78．【考点】二倍角的正弦公式两角和与差的正弦公式正弦定理【解析】（1）在三角形ACD中，AC=2√2,∠ADC=π6,sin∠CAD=√23，由正弦定理得ACsin∠ADC =CDsin∠CAD，2√212=√23，解得CD=83．（2）在△ABC中，∠ABC=3π4，AB=1,AC=2√2，设∠BAC=θ,0<θ<π4，∠BCA=π4−θ，所以ACsin∠ABC =ABsin∠ACB,2√2sin3π4=1sin(π4−θ)，sin(π4−θ)=14，√2 2cosθ−√22sinθ=14,cosθ−sinθ=√24,sin2θ=78，即sin∠BAD=78．【解答】解：(1)在三角形ACD中，AC=2√2，∠ADC=π6，sin∠CAD=√23，由正弦定理得ACsin∠ADC =CDsin∠CAD，2√2 1 2=√23，解得CD=83．(2)在△ABC中，∠ABC=3π4，AB=1，AC=2√2，设∠BAC=θ，0<θ<π4，∠BCA=π4−θ，所以ACsin∠ABC =ABsin∠ACB，2√2 sin3π4=1sin(π4−θ)，sin(π4−θ)=14，√2 2cosθ−√22sinθ=14，cosθ−sinθ=√24，(cosθ−sinθ)2=1−sin2θ=18，sin2θ=78，即sin∠BAD=78．某健身馆在2019年9，10两月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估2020年9，10两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年9，10两月100名客户的消费金额，分组如下：[0,200)，[200,400)，[400,600)，⋯，[1000,1200]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：(1)估计该健身馆在2020年9，10两月健身消费金额的中位数；(2)若把2019年9，10两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？(3)如果该健身馆制定消费方案：购买消费券金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为1，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若2某人打算购买2000元的消费券，预估需要付款多少元？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)解：(1)在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.00050+0.00075+0.00100)×200=0.45，所以中位数位于区间[600,800)内．设中位数为x，则(x−600)×0.00125=0.5−0.45，解得x=640，所以估计该健身馆在2020年9，10两月健身消费金额的中位数为640元．(2)列联表如下：因为K 2=100×(10×30−20×40)250×50×30×70≈4.762>3.841，所以有95%的把握认为“健身达人”与性别有关系．(3)设付款X 元，则X 的可能取值为1400，1600，1800，2000， P(x =1400)=C 33(12)3=18，P(x =1600)=C 32(12)3=38， P(x =1800)=C 31(12)3=38，P(x =2000)=C 30(12)3=18，所以E(X)=1400×18+1600×38+1800×38+2000×18=1700（元）． 【考点】众数、中位数、平均数离散型随机变量的期望与方差 独立性检验【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为 (0.00050+0.00075+0.00100)×200=0.45， 所以中位数位于区间[600,800)内． 设中位数为x ，则(x −600)×0.00125=0.5−0.45， 解得x =640，所以估计该健身馆在2020年9，10两月健身消费金额的中位数为640元． (2)列联表如下：因为K 2=100×(10×30−20×40)250×50×30×70≈4.762>3.841，所以有95%的把握认为“健身达人”与性别有关系．(3)设付款X 元，则X 的可能取值为1400，1600，1800，2000，P(x =1400)=C 33(12)3=18，P(x =1600)=C 32(12)3=38，P(x =1800)=C 31(12)3=38，P(x =2000)=C 30(12)3=18，所以E(X)=1400×18+1600×38+1800×38+2000×18=1700（元）．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ABE −DCF 和一个四棱锥P −ABCD 组合而成，其中EF =EB =2，EA =3，AE ⊥EB ，PA =PD =√5，平面PAD//平面EBCF ．(1)证明：PB//平面AEFD ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：取AD 的中点H ，连接PH ，EH ，FH ，由题知PH ⊥AD ，且PH =√PA 2−AH 2=√5−1=2， 又因为AE ⊥EB ，三棱柱ABE −DCF 为直三棱柱， 所以EF ，EA ，EB 三条直线两两垂直， 故AE ⊥平面EBCF ，BE ⊥平面AEFD ． 因为平面PAD//平面EBCF ， 所以AE ⊥平面PAD ． 因为PH ⊂平面PAD ， 所以AE ⊥PH ．又因为AE ∩AD =A ， 所以PH ⊥平面AEFD ， 所以PH//BE ．又因为PH =BE =2，所以四边形PHEB 为平行四边形， 所以PB//HE ．因为HE ⊂平面AEFD ，PB ⊄平面AEFD .所以PB//平面AEFD ．(2)解：取EF ，BC 的中点为O ，G ，连接OG ，由(1)知OE ，OG ，OH 两两垂直．以O 为原点，OE 为x 轴，OG 为y 轴，OH 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则B (1,2,0)，P (0,2,3)，C (−1,2,0)，D (−1,0,3)， PB →=(1,0,−3)，PC →=(−1,0,−3)，PD →=(−1,−2,0)， 设平面PCD 的法向量n →=(x,y,z )， 则{n ⋅PC →=−x −3z =0，n →⋅PD →=−x −2y =0，取x =2，得n →=(2,−1,−23)，设直线BP 与平面PCD 所成角为θ， 则sin θ=|PB →⋅n →||PB →|⋅|n →|=4√10×73=6√1035. 所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为6√1035． 【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 直线与平面平行的判定【解析】 证明：（1）取AD 的中点H ，连接PH ，EH ，FH ，由题知PH ⊥AD ，且PH =√PA 2−AH 2=√5−1=2，又因为AE ⊥EB ，三棱柱ABE −DCF 为直三棱柱，所以EF ，EA ，EB 三条直线两两垂直，故AE ⊥平面EBCF ，BE ⊥平面AEFD ．因为平面平面PAD//平面EBCF ，所以AE 平面PAD ．因为PH ⊂平面PAD ，所以AE ⊥PH ，又因为AE ∩AD =A ，所以PH ⊥平面AEFD ．所以PH//BE ，又因为PH =BE =2，所以四边形PHEB 为平行四边形，所以PB//HE ，因为HE ⊂平面AED ，PB ⊄平面AEFD . 所以PB//面 AEFD ．（2）取EF ，BC 的中点为O ，G ，连接OG ，由（1）知OE ，OG ，OH 两两垂直．以O 为原点，OE 为x 轴，OG 为y 轴，OH 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则B (1,2,0),P (0,2,3),C (−1,2,0),D (−1,0,3),PB →=(1,0,−3)，PC →=(−1,0,−3)，PD →=(−1,−2,0)， 设平面PCD 的法向量n →=(x,y,z )，则{n ⋅PC →=−x −3z =0n →⋅PD →=−x −2y =0，取x =2，得n →=(2,−1,−23)，设直线BP 与平面PCD 所成角为θ，则 sin θ=|PB →⋅n →||PB →|⋅|n →|=√10⋅73=6√1035. ∴ 直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为6√1035．【解答】(1)证明：取AD 的中点H ，连接PH ，EH ，FH ，由题知PH ⊥AD ，且PH =√PA 2−AH 2=√5−1=2， 又因为AE ⊥EB ，三棱柱ABE −DCF 为直三棱柱， 所以EF ，EA ，EB 三条直线两两垂直，故AE ⊥平面EBCF ，BE ⊥平面AEFD ． 因为平面PAD//平面EBCF ， 所以AE ⊥平面PAD ． 因为PH ⊂平面PAD ， 所以AE ⊥PH ．又因为AE ∩AD =A ， 所以PH ⊥平面AEFD ， 所以PH//BE ．又因为PH =BE =2，所以四边形PHEB 为平行四边形， 所以PB//HE ．因为HE ⊂平面AEFD ，PB ⊄平面AEFD . 所以PB//平面AEFD ．(2)解：取EF ，BC 的中点为O ，G ，连接OG ，由(1)知OE ，OG ，OH 两两垂直．以O 为原点，OE 为x 轴，OG 为y 轴，OH 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则B (1,2,0)，P (0,2,3)，C (−1,2,0)，D (−1,0,3)， PB →=(1,0,−3)，PC →=(−1,0,−3)，PD →=(−1,−2,0)， 设平面PCD 的法向量n →=(x,y,z )， 则{n ⋅PC →=−x −3z =0，n →⋅PD →=−x −2y =0，取x =2，得n →=(2,−1,−23)， 设直线BP 与平面PCD 所成角为θ， 则sin θ=|PB →⋅n →||PB →|⋅|n →|=√10×73=6√1035. 所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为6√1035．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为e ，若椭圆的长轴长等于x 2+y 2−2x −3=0的直径，且2e ， a ，b 2成等差数列． (1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线n:y =kx +m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x =4相交于点Q ．求证：以PQ 为直径的圆恒过点M (1,0)．【答案】解：(1)由2e ，a ，b 2成等差数列得， 2a =2e +b 2.又圆x 2+y 2−2x −3=0的方程可化为(x −1)2+y 2=4， 所以a =2，e =c2，b 2=4−c 2，所以4=c +4−c 2，解得c =1，b 2=3， 所以椭圆E:x 24+y 23=1.(2)设P(x 0,y 0)，联立{x 24+y 23=1，y =kx +m ，可得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0. 因为直线n 与椭圆E 只有一个公共点，所以Δ=64m 2k 2−4(3+4k 2)(4m 2−12) =48(4k 2−m 2+3)=0， x 0=−4km 4k 2+3=−4k m，y 0=3m，P (−4k m ,3m ).又因为Q (4,4k +m )，M (1,0)，则有MP →=(−4km −1,3m )，MQ →=(3,4k +m )， 可得MP →⋅MQ →=(−4km −1)×3+3m ×(4k +m )=0， 所以，以PQ 为直径的圆恒过点M (1,0). 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 圆的标准方程与一般方程的转化 等差中项 椭圆的标准方程【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由2e ，a ，b 2成等差数列得， 2a =2e +b 2.又圆x 2+y 2−2x −3=0的方程可化为(x −1)2+y 2=4， 所以a =2，e =c2，b 2=4−c 2，所以4=c +4−c 2，解得c =1，b 2=3，所以椭圆E:x 24+y 23=1.(2)设P(x 0,y 0)，联立{x 24+y 23=1，y =kx +m ，可得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0.因为直线n 与椭圆E 只有一个公共点，所以Δ=64m 2k 2−4(3+4k 2)(4m 2−12)=48(4k 2−m 2+3)=0，x 0=−4km 4k 2+3=−4k m ，y 0=3m ，P (−4k m ,3m ).又因为Q (4,4k +m )，M (1,0)，则有MP →=(−4k m −1,3m )，MQ →=(3,4k +m )，可得MP →⋅MQ →=(−4k m −1)×3+3m ×(4k +m )=0，所以，以PQ 为直径的圆恒过点M (1,0).设函数f (x )=e x (x −3)−13kx 3+kx 2． (1)若k =1，求f (x )的极小值；(2)若f (x )存在三个极值点x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，求k 的取值范围．【答案】解：(1)当k =1时，f (x )=e x (x −3)−13x 3+x 2，∴ f ′(x )=(e x −x )(x −2)．令ℎ(x )=e x −x ，则ℎ′(x )=e x −1，∴ 由ℎ′(x )>0得x >0，ℎ′(x )<0得x <0，∴ ℎ(x )在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， ∴ ℎ(x )≥ℎ(0)=1>0，即e x −x >0，∴ 解f ′(x )>0得x >2，解f ′(x )<0得x <2，∴ f (x )在(−∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增， ∴ 函数f (x )在x =2处取得极小值，为f (2)=43−e 2． (2)f ′(x )=e x (x −3)+e x −kx 2+2kx =(e x −kx )(x −2)， ∵ f (x )有三个极值点，∴ 方程e x −kx =0有两个不相等的实数根，且都不是2， 令g (x )=e x −kx ，g ′(x )=e x −k ，当k ≤0时，g (x )单调递增，g (x )=0至多有一根，不合题意， ∴ 当k >0时，解g ′(x )>0得x >ln k ，解g ′(x )<0得x <ln k ， ∴ g (x )在(−∞,ln k )上单调递减，在(ln k,+∞)上单调递增，∴g(ln k)=e ln k−k ln k=k(1−ln k)<0，得k>e.由g(2)≠0得k≠e 22，此时，g(0)=1>0，ln k>1，x→+∞时，g(x)→+∞，∴当k∈(e,e22)∪(e22,+∞)时，f′(x)=0有三个根x1，x2，x3，且0<x1<2=x2<x3．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当k=1时，f(x)=e x(x−3)−13x3+x2，∴f′(x)=(e x−x)(x−2)．令ℎ(x)=e x−x，则ℎ′(x)=e x−1，∴ 由ℎ′(x)>0得x>0，ℎ′(x)<0得x<0，∴ ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，∴ ℎ(x)≥ℎ(0)=1>0，即e x−x>0，∴ 解f′(x)>0得x>2，解f′(x)<0得x<2，∴ f(x)在(−∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，∴函数f(x)在x=2处取得极小值，为f(2)=43−e2．(2)f′(x)=e x(x−3)+e x−kx2+2kx=(e x−kx)(x−2)，∵ f(x)有三个极值点，∴ 方程e x−kx=0有两个不相等的实数根，且都不是2，令g(x)=e x−kx，g′(x)=e x−k，当k≤0时，g(x)单调递增，g(x)=0至多有一根，不合题意，∴ 当k>0时，解g′(x)>0得x>ln k，解g′(x)<0得x<ln k，∴ g(x)在(−∞,ln k)上单调递减，在(ln k,+∞)上单调递增，∴g(ln k)=e ln k−k ln k=k(1−ln k)<0，得k>e.由g(2)≠0得k≠e 22，此时，g(0)=1>0，ln k>1，x→+∞时，g(x)→+∞，∴当k∈(e,e22)∪(e22,+∞)时，f′(x)=0有三个根x1，x2，x3，且0<x1<2=x2<x3．。

2019届高三上学期第一次月考试卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴故选：A点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，所以答案选择B【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.3. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）A. 任意一个有理数，它的平方是有理数B. 任意一个无理数，它的平方不是有理数C. 存在一个有理数，它的平方是有理数D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】B【解析】试题分析：由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数．考点：命题的否定．4. 函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，易得：,解得：或∴定义域为故选：D5. 设函数，，则的解析式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，，设，则，得，即，选 B．考点：函数解析式求法6. 设函数则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：取不成立，排除B；取成立，排除D；取成立，排除A，故选C．考点：函数的解析式．【方法点晴】本题考查导函数的解析式，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先取不成立，排除B；再取成立，排除D；取成立，排除A，从而可得正解．7. 下列函数中，定义域是且为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，根据幂函数，当，幂函数单调递增，可得函数是定义域是且为增函数，故选B．考点：函数的单调性．8. 函数是定义在上的偶函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵函数是定义在上的偶函数∴，，即故选：B9. 方程在区间上有根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于方程有解，设它的两个解分别为x1，x2，则x1⋅x2=−2<0，故方程在区间[1,5]上有唯一解。

2020届高三数学9月月考试题（无答案）一、填空题请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1.集合，，则 .2.函数的定义域为 .3.在平面直角坐标系中，已知角终边过点，则.4.“”是“函数在上的奇函数”的条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个填空）命题“在中，若，则”的否命题是命题.（选填“真”、“假”之一）已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为.已知，则 .已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调增函数，若，则的取值范围是 .已知曲线在点处的切线方程为，则 .已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，则 .设，且，则的值为 .已知函数，若存在实数，满足，则的取值范围为 .已知是定义在上且周期为3的周期函数，当时，，若函数在上有3个互不相同的零点，则实数取值范围 .设函数，若对于任意的，都有，则实数的取值范围为 .解答题请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）设命题:实数满足，其中；命题：实数满足.若，且为真命题，求实数的取值范围；若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；16.（本小题满分14分）（1）已知，求及的值；（2）已知，且，求的值；2020届高三数学9月月考试题（无答案）一、填空题请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1.集合，，则 .2.函数的定义域为 .3.在平面直角坐标系中，已知角终边过点，则 .4.“”是“函数在上的奇函数”的条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个填空）命题“在中，若，则”的否命题是命题.（选填“真”、“假”之一）已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为.已知，则 .已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调增函数，若，则的取值范围是 .已知曲线在点处的切线方程为，则 .已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，则 .设，且，则的值为 .已知函数，若存在实数，满足，则的取值范围为 .已知是定义在上且周期为3的周期函数，当时，，若函数在上有3个互不相同的零点，则实数取值范围 .设函数，若对于任意的，都有，则实数的取值范围为 .解答题请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）设命题:实数满足，其中；命题：实数满足.若，且为真命题，求实数的取值范围；若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；16.（本小题满分14分）（1）已知，求及的值；（2）已知，且，求的值；。

2020-2021学年河北唐山高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合M={x|−3<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∪N等于( )A.{x|−3<x<3}B.{x|−3<x<2}C.{x|−2<x<2}D.{x|2<x<3}2. 若复数2a+2i1−i(a∈R)是纯虚数，则复数a+i在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第二节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有( )A.12种B.24种C.36种D.48种4. 珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的，这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度．2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作，在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高12米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70∘，80∘，根据所给数据用估算的方法估计A，B的高度差约为（参考数据：√3≈1.7，√2≈1.4）( )A.10米B.10.5米C.11.5米D.12米5. 某单位为了了解100名员工的年龄情况，采用系统抽样的方法从中抽取20名员工的年龄数据作为样本，将全体员工随机按1∼100编号，并按编号顺序平均分为20组(1∼5号，6∼10号，⋯，96∼100号）．若第5组抽出的号码为22，则第10组抽出的号码应是( )A.45B.46C.47D.486. 设函数y=f(x)的图像与y=2x+2的图像关于直线y=−x对称，则f(−2)=( ) A.1 B.2 C.3 D.47. 设直线l过点A(−1,0)，且与圆C：x2+y2−2x−2y=0相切于点B，那么AB→⋅AC→=( )A.7B.5C.4D.38. 已知函数g(x)=ln2+1+x)+x3，f(x)=xg(x)，若a=f(−72)，b=f(52)，c=f(4)，则a，b，c 的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a二、多选题将函数f(x)=cos(2x+π3)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是( )A.最大值为1，图象关于直线x=π6对称B.图象关于y轴对称C.在(0,π4)上单调递减D.图象关于点(−π4,0)对称设正实数a，b满足a+b=1，则( )A.√ab有最小值12B.设x=a+1a，y=b+1b，则x+y的最小值为5C.√a+√b有最大值√2D.a2+b2有最小值√22设A，B是抛物线y=x2上的两点，O是坐标原点，OA⊥OB，下列结论成立的是( )A.O到直线AB的距离大于1B.直线AB过定点(1,0)C.若|OA→|=|OB→|，则AB的方程为y=1D.若OD ⊥AB 于D ，则D 在圆x 2+(y −12)2=14上如果定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意的x 1≠x 2，都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1)，则称f (x )为“H 函数”．下列叙述正确的是( ) A.f (x )=x 3−x +1为“H 函数” B.f (x )=e −x −e x 为“H 函数” C.f (x )=2x −sin x +cos x 为“H 函数”D.仅当m =1时，函数f (x )=(x −m )e x −12x 2+(m −1)x 为“H 函数”三、填空题点D 是直角△ABC 斜边AB 上一动点， AC =6，BC =8，将△BCD 沿着CD 翻折到△B ′DC ，使△B ′DC 与△ADC 构成直二面角，则翻折后AB ′的最小值是________． 四、解答题在①b 2=2，a 3+a 4=3b 3；②S 3=9，a 4+a 5=8b 2这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n }的公差为d (d >1)，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，且a 1=b 1，d =q ． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n =a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．如图，在平面四边形ABCD 中， ∠ABC=3π4，∠ADC =π6， AB =1，AC =2√2．(1)若sin ∠CAD =√23，求CD ；(2)若∠BAC =∠DAC ，求sin ∠BAD 的值．某健身馆在2019年9，10两月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估2020年9，10两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年9，10两月100名客户的消费金额，分组如下： [0,200)，[200,400)， [400,600)，⋯， [1000,1200] （单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：(1)估计该健身馆在2020年9，10两月健身消费金额的中位数；(2)若把2019年9，10两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？(3)如果该健身馆制定消费方案：购买消费券金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若某人打算购买2000元的消费券，预估需要付款多少元？附： K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ABE −DCF 和一个四棱锥P −ABCD 组合而成，其中EF =EB =2，EA =3，AE ⊥EB ，PA =PD =√5，平面PAD//平面EBCF ．(1)证明：PB//平面AEFD；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e，若椭圆的长轴长等于x2+y2−2x−3=0的直径，且2e，a，b2成等差数列．(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线n:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．求证：以PQ为直径的圆恒过点M(1,0)．设函数f(x)=e x(x−3)−13kx3+kx2．(1)若k=1，求f(x)的极小值；(2)若f(x)存在三个极值点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，求k的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年河北唐山高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为N={x|x2−x−6<0}，则(x+2)(x−3)<0，解得−2<x<3，所以N={x|−2<x<3}.因为M={x|−3<x<2}，所以M∪N={x|−3<x<3}.故选A．2.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义复数的基本概念【解析】利用复数的除法运算化简，纯虚数的概念得a=1,可得解，属于基础题.【解答】解：2a+2i1−i =(2a+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=(2a−2)+(2a+2)i2=(a−1)+(a+1)i是纯虚数，则a−1=0，a+1≠0，解得a=1，a+i=1+i对应的坐标为(1,1)，位于第一象限.故选A.3.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】本题考查排列组合问题思路：分类讨论，先排好“数”，再用捆绑排有条件限制“射”和“御，其他随机排列，难度适中. 【解答】解：“数”排在第二节，“射”和“御”捆绑一起从后面3个相邻位置选，再进行排列有C31A22种排法，其他3门课程随机排列有A33种排法，则不同的排法有C31A22A33=36种.故选C.4.【答案】B【考点】解三角形【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，由题意得∠CAB=∠ACB=10∘，所以AB=BC=12.在Rt△ABD中，BD=12sin70∘，因为12sin60∘<12sin70∘<12sin75∘，所以6√3<12sin70∘<3(√6+√2).因为√3≈1.7，√2≈1.4，故10.2<12sin70∘<11.34.故选B．5.【答案】C【考点】系统抽样方法【解析】根据系统抽样,抽取的号码为公差为5的等差数列,根据等差数列的通项公式计算.【解答】解：根据系统抽样，样本间隔为10020=5，第5组抽出的号码为22，则第10组抽出的号码应是22+(10−5)×5=47.故选C . 6.【答案】 A【考点】 对数及其运算函数解析式的求解及常用方法【解析】根据点的对称关系求解函数y =2x+2关于直线y =−x 对称的函数f(x)的解析式，即可求解. 【解答】解：在函数f(x)的图像上取点(x,y)， 则关于直线y =−x 的对称点为(−y,−x)， 代入y =2x+2得−x =2−y+2， 整理得y =2−log 2(−x)，故函数y =2x+2关于直线y =−x 对称的函数为f(x)=2−log 2(−x)， ∴ f(−2)=2−log 22=1. 故选A . 7.【答案】 D【考点】平面向量数量积 直线与圆的位置关系【解析】本题先求圆心，根据勾股定理求得三边长，然后根据向量数量积求出最后答案. 【解答】解：因为圆C 的方程为(x −1)2+(y −1)2=2， 得圆心为C(1,1)，所以AC 2=(−1−1)2+(0−1)2=5，BC 2=2. 由勾股定理得：AB 2=3， 从而cos ∠BAC =√35，于是AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cos ∠BAC =√3×√5×√35=3. 故选D . 8. 【答案】 C【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明 【解析】【解答】解：由题意得f (x )=xg (x )=x ln 2+1+x)+x 4， f (−x )=−xg(−x)=−x ln [√(−x)2+1+(−x)]+(−x)4 =x ln (√−x)−1+x 4=x √x 2+1−xx 4=x √x 2+1(√x 2+1−x)(√x 2+1+x)x 4=x ln (√x 2+1+x)+x 4=f(x)， ∴ f(x)为偶函数，在(0,+∞)上，易得函数f(x)单调递增， ∴ f (52)<f (72)=f (−72)<f(4)， ∴ b <a <c . 故选C .二、多选题 【答案】 B,D【考点】余弦函数的对称性 余弦函数的单调性 余弦函数的定义域和值域 函数解析式的求解及常用方法【解析】根据三角函数的平移变换规律得到g (x )=−cos 2x ,再根据余弦函数的性质逐一判断即可得解. 【解答】解：将函数f (x )=cos (2x +π3)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象， 故g (x )=cos [2(x +π3)+π3]=−cos 2x ， cos 2x ∈[−1,1]，则g(x)=−cos 2x ∈[−1,1]， 故g (x )max =1，当x =π6时，g(π6)=−12，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x =π6对称，故A 错误； g(−x)=−cos (−2x)=−cos 2x =g(x)，所以函数g(x)为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 正确；当x ∈(0,π4)时，2x ∈(0,π2)，此时g (x )=−cos 2x 单调递增，故C 错误；由g(−π4)=−cos(−π2)=0可得g(x)图象关于点(−π4,0)对称，故D正确．故选BD.【答案】B,C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】由条件运用基本不等式可得0<ab≤14，运用变形和化简，即可判断正确结论．【解答】解：A，正实数a，b满足a+b=1，即有a+b≥2√ab，可得0<√ab≤12，则√ab有最大值12，故此选项错误；B，设x=a+1a ，y=b+1b，1 a +1b=1ab≥4，当a=b=12时，1a+1b取得最小值4，则x+y=a+1a +b+1b=1+1a+1b≥1+4=5，故最小值为5，故此选项正确；C，由√a+√b=√a+b+2√ab=√1+2√ab≤√1+2×12=√2，当a=b=12时，√a+√b取得最大值√2，故此选项正确；D，由a2+b2≥2ab可得2(a2+b2)≥(a+b)2=1，则a2+b2≥12，当a=b=12时，a2+b2取得最小值12，故此选项错误.综上可得，BC正确，故选BC.【答案】C,D【考点】直线与抛物线结合的最值问题【解析】【解答】解：对于选项B：若OA⊥OB，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=kx+m，联立方程{y=kx+m，y=x2，消去y得：x2−kx−m=0，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，∴x1+x2=k，x1x2=−m，∴y1y2=x12x22=(x1x2)2=m2.∵OA⊥OB，∴OA→⋅OB→=0，∴x1x2+y1y2=0，∴−m+m2=0，∴m=0或1，易知直线AB不过原点，∴m=1，∴直线AB的方程为：y=kx+1，恒过定点(0, 1)，故选项B错误；∴原点O到直线AB的距离d=2，∵k2≥0，∴k2+1≥1，∴d≤1，故选项A错误；对于选项C，设A(x1,x12)，B(x2,x22)，∵|OA→|=|OB→|，∴x12+(x12)2=x22+(x22)2，整理得(x12−x22)(x12+x22+1)=0，∴x12−x22=0，即x12=x22，∴A，B两点的纵坐标相等.又直线y=kx+1恒过定点(0, 1)，∴A，B两点的纵坐标相等，都为1，即AB的方程为y=1，故选项C正确；对于选项D，设D(x,y)，则根据勾股定理可得x2+y2+(x−0)2+(y−1)2=12，整理得x2+(y−12)2=14，则D在圆x2+(y−12)2=14上，故选项D正确.故选CD.【答案】C,D【考点】函数新定义问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，变形可得[f(x1)−f(x2)](x1−x2)>0，则函数f(x)是增函数.A ，f ′(x )=3x 2−1不恒大于零，故f (x )不是“H 函数”，故A 错误；B ，f(x)是单调递减函数，故不是“H 函数，故B 错误；C ，f ′(x )=2−cos x −sin x =2−√2sin (x +π4)>0恒成立，是“H 函数”，故C 正确；D ，f ′(x )=e x +(x −m )e x −x +(m −1)=e x (x −m +1)−(x −m +1)=(e x −1)(x −m +1)≥0在R 上恒成立，等价于x >0，x ≥m −1或x <0，x ≤m −1恒成立，解得1≤m ≤1，得m =1，故D 正确． 故选CD ． 三、填空题 【答案】 2√13 【考点】二倍角的正弦公式 三角函数的最值 余弦定理 【解析】【解答】解：过点B 作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ，如图，设∠BCD =∠B ′CD =α(0<α<π2)，则有B ′E =8sin α，CE =8cos α，∠ACE =π2−α， 在△AEC 中，由余弦定理得，AE 2=36+64cos 2α−96cos αcos (π2−α)=36+64cos 2α−96sin αcos α. 在Rt △AEB ′中，由勾股定理得， AB ′2=AE 2+B ′E 2=36+64cos 2α−96sin αcos α+64sin 2α =100−48sin 2α，所以当α=π4时，AB ′取得最小值2√13 . 故答案为：2√13 . 四、解答题 【答案】解：(1)选条件①.b 2=2，a 3+a 4=3b 3， a 1=b 1，d =q ，d >1， 所以{a 1d =2，2a 1+5d =3a 1d 2，{a 1d =2，2a 1+5d =6d ，解得{a 1=1，d =2或{a 1=−1，d =−2（舍去），所以{b 1=1，q =2，所以a n =a 1+(n −1)d =2n −1，b n =2n−1． 选条件②.S 3=9，a 4+a 5=8b 2，a 1=b 1，d =q ，d >1， {a 1+d =3,2a 1+7d =8a 1d,解得{a 1=1，d =2或{a 1=218，d =38 （舍去）， 所以{b 1=1，q =2，所以a n =a 1+(n −1)d =2n −1，b n =2n−1． (2)因为c n =a n b n ，T n =1+3×21+5×22+⋯+(2n −3)×2n−2+(2n −1)×2n−1①， 2T n =2+3×22+5×23+⋯+(2n −3)×2n−1+(2n −1)×2n ②， ①−②得，−T n =1+2(2+22+⋯+2n−1)− (2n −1)×2n ，所以T n =3+(2n −3)×2n ． 【考点】 数列的求和等比数列的通项公式 等差数列的通项公式 【解析】 无 无【解答】解：(1)选条件①.b 2=2，a 3+a 4=3b 3， a 1=b 1，d =q ，d >1，所以{a 1d =2，2a 1+5d =3a 1d 2，{a 1d =2，2a 1+5d =6d ，解得{a 1=1，d =2或{a 1=−1，d =−2（舍去），所以{b 1=1，q =2，所以a n =a 1+(n −1)d =2n −1，b n =2n−1． 选条件②.S 3=9，a 4+a 5=8b 2，a 1=b 1，d =q ，d >1， {a 1+d =3,2a 1+7d =8a 1d,解得{a 1=1，d =2或{a 1=218，d =38 （舍去）， 所以{b 1=1，q =2，所以a n =a 1+(n −1)d =2n −1，b n =2n−1． (2)因为c n =a n b n ，T n =1+3×21+5×22+⋯+(2n −3)×2n−2+(2n −1)×2n−1①， 2T n =2+3×22+5×23+⋯+(2n −3)×2n−1+(2n −1)×2n ②， ①−②得，−T n =1+2(2+22+⋯+2n−1)− (2n −1)×2n ，所以T n =3+(2n −3)×2n ． 【答案】解：(1)在三角形ACD 中， AC =2√2，∠ADC =π6，sin ∠CAD =√23， 由正弦定理得AC sin ∠ADC =CDsin ∠CAD ，2√212=√23，解得CD =83．(2)在△ABC 中，∠ABC =3π4，AB =1，AC =2√2，设∠BAC =θ，0<θ<π4，∠BCA =π4−θ，所以ACsin ∠ABC=AB sin ∠ACB，2√2sin 3π4=1sin (π4−θ)，sin (π4−θ)=14，√22cos θ−√22sin θ=14，cos θ−sin θ=√24， (cos θ−sin θ)2=1−sin 2θ=18， sin 2θ=78， 即sin ∠BAD =78． 【考点】二倍角的正弦公式 两角和与差的正弦公式 正弦定理 【解析】（1）在三角形ACD 中， AC =2√2,∠ADC =π6,sin ∠CAD =√23， 由正弦定理得ACsin ∠ADC =CDsin ∠CAD ， 2√212=√23，解得CD =83．（2）在△ABC 中，∠ABC =3π4，AB =1,AC =2√2，设∠BAC =θ,0<θ<π4，∠BCA =π4−θ， 所以AC sin ∠ABC=AB sin ∠ACB ,2√2sin 3π4=1sin (π4−θ)，sin (π4−θ)=14，√22cos θ−√22sin θ=14,cos θ−sin θ=√24,sin 2θ=78，即sin ∠BAD =78． 【解答】解：(1)在三角形ACD 中， AC =2√2，∠ADC =π6，sin ∠CAD =√23， 由正弦定理得ACsin ∠ADC =CDsin ∠CAD ，2√2 1 2=√23，解得CD=83．(2)在△ABC中，∠ABC=3π4，AB=1，AC=2√2，设∠BAC=θ，0<θ<π4，∠BCA=π4−θ，所以ACsin∠ABC =ABsin∠ACB，2√2 sin3π4=1sin(π4−θ)，sin(π4−θ)=14，√2 2cosθ−√22sinθ=14，cosθ−sinθ=√24，(cosθ−sinθ)2=1−sin2θ=18，sin2θ=78，即sin∠BAD=78．【答案】解：(1)在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.00050+0.00075+0.00100)×200=0.45，所以中位数位于区间[600,800)内．设中位数为x，则(x−600)×0.00125=0.5−0.45，解得x=640，所以估计该健身馆在2020年9，10两月健身消费金额的中位数为640元．(2)列联表如下：因为K2=100×(10×30−20×40)250×50×30×70≈4.762>3.841，所以有95%的把握认为“健身达人”与性别有关系．(3)设付款X元，则X的可能取值为1400，1600，1800，2000，P(x=1400)=C33(12)3=18，P(x=1600)=C32(12)3=38，P(x=1800)=C31(12)3=38，P(x=2000)=C30(12)3=18，所以E(X)=1400×18+1600×38+1800×38+2000×18=1700（元）．【考点】众数、中位数、平均数离散型随机变量的期望与方差独立性检验【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.00050+0.00075+0.00100)×200=0.45，所以中位数位于区间[600,800)内．设中位数为x，则(x−600)×0.00125=0.5−0.45，解得x=640，所以估计该健身馆在2020年9，10两月健身消费金额的中位数为640元．(2)列联表如下：因为K2=100×(10×30−20×40)250×50×30×70≈4.762>3.841，所以有95%的把握认为“健身达人”与性别有关系．(3)设付款X元，则X的可能取值为1400，1600，1800，2000，P(x=1400)=C33(12)3=18，P(x=1600)=C32(12)3=38，P(x=1800)=C31(12)3=38，P(x=2000)=C30(12)3=18，所以E(X)=1400×18+1600×38+1800×38+2000×18=1700（元）．【答案】(1)证明：取AD 的中点H ，连接PH ，EH ，FH ，由题知PH ⊥AD ，且PH =√PA2−AH2=√5−1=2， 又因为AE ⊥EB ，三棱柱ABE −DCF 为直三棱柱， 所以EF ，EA ，EB 三条直线两两垂直， 故AE ⊥平面EBCF ，BE ⊥平面AEFD ． 因为平面PAD//平面EBCF ， 所以AE ⊥平面PAD ． 因为PH ⊂平面PAD ， 所以AE ⊥PH ．又因为AE ∩AD =A ， 所以PH ⊥平面AEFD ， 所以PH//BE ．又因为PH =BE =2，所以四边形PHEB 为平行四边形， 所以PB//HE ．因为HE ⊂平面AEFD ，PB ⊄平面AEFD . 所以PB//平面AEFD ．(2)解：取EF ，BC 的中点为O ，G ，连接OG ，由(1)知OE ，OG ，OH 两两垂直．以O 为原点，OE 为x 轴，OG 为y 轴，OH 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则B (1,2,0)，P (0,2,3)，C (−1,2,0)，D (−1,0,3)， PB →=(1,0,−3)，PC →=(−1,0,−3)，PD →=(−1,−2,0)，设平面PCD 的法向量n →=(x,y,z )， 则{n ⋅PC →=−x −3z =0，n →⋅PD →=−x −2y =0，取x =2，得n →=(2,−1,−23)， 设直线BP 与平面PCD 所成角为θ， 则sin θ=|PB →⋅n →||PB →|⋅|n →|=√10×73=6√1035. 所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为6√1035． 【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 直线与平面平行的判定 【解析】证明：（1）取AD 的中点H ，连接PH ，EH ，FH ，由题知PH ⊥AD ，且PH =√PA 2−AH 2=√5−1=2，又因为AE ⊥EB ，三棱柱ABE −DCF 为直三棱柱，所以EF ，EA ，EB 三条直线两两垂直，故AE ⊥平面EBCF ，BE ⊥平面AEFD ．因为平面平面PAD//平面EBCF ，所以AE 平面PAD ．因为PH ⊂平面PAD ，所以AE ⊥PH ，又因为AE ∩AD =A ，所以PH ⊥平面AEFD ．所以PH//BE ，又因为PH =BE =2，所以四边形PHEB 为平行四边形，所以PB//HE ，因为HE ⊂平面AED ，PB ⊄平面AEFD . 所以PB//面 AEFD ．（2）取EF ，BC 的中点为O ，G ，连接OG ，由（1）知OE ，OG ，OH 两两垂直．以O 为原点，OE 为x 轴，OG 为y 轴，OH 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则B (1,2,0),P (0,2,3),C (−1,2,0),D (−1,0,3),PB →=(1,0,−3)，PC →=(−1,0,−3)，PD →=(−1,−2,0)， 设平面PCD 的法向量n →=(x,y,z )，则{n ⋅PC →=−x −3z =0n →⋅PD →=−x −2y =0，取x =2，得n →=(2,−1,−23)， 设直线BP 与平面PCD 所成角为θ，则 sin θ=|PB →⋅n →||PB →|⋅|n →|=√10⋅73=6√1035. ∴ 直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为6√1035．【解答】(1)证明：取AD 的中点H ，连接PH ，EH ，FH ，由题知PH ⊥AD ，且PH =√PA2−AH 2=√5−1=2， 又因为AE ⊥EB ，三棱柱ABE −DCF 为直三棱柱， 所以EF ，EA ，EB 三条直线两两垂直， 故AE ⊥平面EBCF ，BE ⊥平面AEFD ． 因为平面PAD//平面EBCF ， 所以AE ⊥平面PAD ． 因为PH ⊂平面PAD ， 所以AE ⊥PH ．又因为AE ∩AD =A ， 所以PH ⊥平面AEFD ， 所以PH//BE ．又因为PH =BE =2，所以四边形PHEB 为平行四边形， 所以PB//HE ．因为HE ⊂平面AEFD ，PB ⊄平面AEFD . 所以PB//平面AEFD ．(2)解：取EF ，BC 的中点为O ，G ，连接OG ，由(1)知OE ，OG ，OH 两两垂直．以O 为原点，OE 为x 轴，OG 为y 轴，OH 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则B (1,2,0)，P (0,2,3)，C (−1,2,0)，D (−1,0,3)， PB →=(1,0,−3)，PC →=(−1,0,−3)，PD →=(−1,−2,0)， 设平面PCD 的法向量n →=(x,y,z )，则{n ⋅PC →=−x −3z =0，n →⋅PD →=−x −2y =0，取x =2，得n →=(2,−1,−23)，设直线BP 与平面PCD 所成角为θ， 则sin θ=|PB →⋅n →||PB →|⋅|n →|=√10×73=6√1035. 所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为6√1035． 【答案】解：(1)由2e ，a ，b 2成等差数列得， 2a =2e +b 2.又圆x 2+y 2−2x −3=0的方程可化为(x −1)2+y 2=4， 所以a =2，e =c2，b 2=4−c 2， 所以4=c +4−c 2，解得c =1，b 2=3， 所以椭圆E:x 24+y 23=1.(2)设P(x 0,y 0)，联立{x 24+y 23=1，y =kx +m ，可得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0. 因为直线n 与椭圆E 只有一个公共点，所以Δ=64m 2k 2−4(3+4k 2)(4m 2−12)=48(4k 2−m 2+3)=0， x 0=−4km4k 2+3=−4km ，y 0=3m ， P (−4k m ,3m).又因为Q (4,4k +m )，M (1,0)，则有MP →=(−4km −1,3m )，MQ →=(3,4k +m )， 可得MP →⋅MQ →=(−4km −1)×3+3m ×(4k +m )=0，所以，以PQ 为直径的圆恒过点M (1,0). 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 圆的标准方程与一般方程的转化 等差中项 椭圆的标准方程【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由2e ，a ，b 2成等差数列得， 2a =2e +b 2.又圆x 2+y 2−2x −3=0的方程可化为(x −1)2+y 2=4， 所以a =2，e =c2，b 2=4−c 2，所以4=c +4−c 2，解得c =1，b 2=3， 所以椭圆E:x 24+y 23=1.(2)设P(x 0,y 0)，联立{x 24+y 23=1，y =kx +m ，可得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0. 因为直线n 与椭圆E 只有一个公共点，所以Δ=64m 2k 2−4(3+4k 2)(4m 2−12) =48(4k 2−m 2+3)=0， x 0=−4km4k 2+3=−4km ，y 0=3m ， P (−4k m ,3m ).又因为Q (4,4k +m )，M (1,0)，则有MP →=(−4km −1,3m )，MQ →=(3,4k +m )， 可得MP →⋅MQ →=(−4km −1)×3+3m ×(4k +m )=0， 所以，以PQ 为直径的圆恒过点M (1,0).【答案】解：(1)当k =1时，f (x )=e x (x −3)−13x 3+x 2，∴ f ′(x )=(e x −x )(x −2)．令ℎ(x )=e x −x ，则ℎ′(x )=e x −1，∴ 由ℎ′(x )>0得x >0，ℎ′(x )<0得x <0，∴ ℎ(x )在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， ∴ ℎ(x )≥ℎ(0)=1>0，即e x −x >0，∴ 解f ′(x )>0得x >2，解f ′(x )<0得x <2，∴ f (x )在(−∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增， ∴ 函数f (x )在x =2处取得极小值，为f (2)=43−e 2．(2)f ′(x )=e x (x −3)+e x −kx 2+2kx =(e x −kx )(x −2)， ∵ f (x )有三个极值点，∴ 方程e x −kx =0有两个不相等的实数根，且都不是2， 令g (x )=e x −kx ，g ′(x )=e x −k ，当k ≤0时，g (x )单调递增，g (x )=0至多有一根，不合题意， ∴ 当k >0时，解g ′(x )>0得x >ln k ，解g ′(x )<0得x <ln k ， ∴ g (x )在(−∞,ln k )上单调递减，在(ln k,+∞)上单调递增， ∴ g (ln k )=e ln k −k ln k =k (1−ln k )<0 ，得k >e . 由g (2)≠0得k ≠e 22，此时，g (0)=1>0，ln k >1 ，x →+∞时，g (x )→+∞， ∴ 当k ∈(e,e 22)∪(e 22,+∞)时，f ′(x )=0有三个根x 1，x 2，x 3，且0<x 1<2=x 2<x 3． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当k =1时，f (x )=e x (x −3)−13x 3+x 2，∴ f ′(x )=(e x −x )(x −2)．令ℎ(x )=e x −x ，则ℎ′(x )=e x −1，∴ 由ℎ′(x )>0得x >0，ℎ′(x )<0得x <0，∴ ℎ(x )在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， ∴ ℎ(x )≥ℎ(0)=1>0，即e x −x >0，∴ 解f ′(x )>0得x >2，解f ′(x )<0得x <2，∴ f (x )在(−∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增， ∴ 函数f (x )在x =2处取得极小值，为f (2)=43−e 2． (2)f ′(x )=e x (x −3)+e x −kx 2+2kx =(e x −kx )(x −2)， ∵ f (x )有三个极值点，∴ 方程e x−kx=0有两个不相等的实数根，且都不是2，令g(x)=e x−kx，g′(x)=e x−k，当k≤0时，g(x)单调递增，g(x)=0至多有一根，不合题意，∴ 当k>0时，解g′(x)>0得x>ln k，解g′(x)<0得x<ln k，∴ g(x)在(−∞,ln k)上单调递减，在(ln k,+∞)上单调递增，∴g(ln k)=e ln k−k ln k=k(1−ln k)<0，得k>e.由g(2)≠0得k≠e 22，此时，g(0)=1>0，ln k>1，x→+∞时，g(x)→+∞，∴当k∈(e,e22)∪(e22,+∞)时，f′(x)=0有三个根x1，x2，x3，且0<x1<2=x2<x3．。

唐山一中2019—2020学年度第一学期月考文科数学说明：1.考试时间120分钟，满分150分。

2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上。

卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5 分，计60分。

在每小题给出的四个选项中，只有1个选项符合题意）1．复数2i1＋i＝( ) A ．1－i B ．－1－IC ．1＋iD ．－1＋i2．设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．圆22420x y x y a ++-+=截直线30x y +-=所得弦长为2，则实数a =（ ） A ．2B ．2-C ．4D ．4-4. 已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于（ ） A ．34B ．8C ．18D ．21 5. 函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 若直线y=k(x-2)+4与曲线有两个交点，则k 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦D ．(],1-∞- 7. 已知函数()21x f x x =-，则（ ）A ．()f x 在()0,1单调递增B ．()f x 的最小值为4C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称D ．()y f x =的图象关于点()1,2对称8. 已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．3D ．39. 已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( ) A ．有最大值为8 B ．是定值6 C ．有最小值为2 D ．与点的位置有关10. 已知函数()ln ,0,0x x f x ax x >⎧=⎨≤⎩，若方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,+∞B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．()0,111. 若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2,2)12. 已知函数f (x )的导函数为()f x '，若x 2()f x '＋xf (x )＝sin x (x ∈(0,6))，f (π)＝2，则下列结论正确的是( )A ．xf (x )在(0,6)上有极大值2πB ．xf (x )在(0,6)上单调递增C ．xf (x )在(0,6)上有极小值2πD ．xf (x )在(0,6)上单调递减Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4 小题，共20分）13．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m)．若a ∥b ，则|2a ＋3b |＝____. 14. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（A 、ω、ϕ是常数，0A >，0ω>，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则()12f π=________． 15. 已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n(n ≥2)，则x n =___.16. 等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝252，则数列{a n2n }的前n 项和为___.三．解答题（共6小题,共70分）17. 已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.（1）求f (x )的定义域与最小正周期； （2）讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．18. 已知等差数列{}n a 中，33a =，22a +，4a ，62a -顺次成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()2111nn nn n a b a a ++=-，{}n b 的前n 项和n S ，求2n S ．19. 已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ； （2）设90B ∠=，且a =ABC △的面积．20. 已知数列{}n a 满足2n n S a n =-()*n ∈N ．（1）证明：{}1n a +是等比数列； （2）求13521...n a a a a +++++()*n ∈N ．21. （1）若2x =是函数的极值点，求a 的值及函数()f x 的极值； （2）讨论函数的单调性．22．已知函数()()ln f x x x a b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为210x y --=．（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的()1,x ∈+∞，()()1f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值．。