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初二数学八下平行四边形所有知识点总结和常考题型练习题平行四边形知识点一、四边形相关1、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
2、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为n(n-3)/2.二、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
平行四边形的定义既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法。
2．平行四边形的性质：平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的。
1）角：平行四边形的对角相等，邻角互补；2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；4）面积：①S=底×高=ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形。
3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形③方法2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形④方法3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形⑤方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形三、矩形1.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.矩形性质①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补，矩形的四个角都是直角；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）。
3.矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角。
②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等。
八年级下册数学平行四边形知识点平行四边形是我们在数学学习中会遇到的一个重要概念。
它具备一些特殊的性质和规律，对于我们解题和解析几何的能力有很大的帮助。
本文将详细介绍八年级下册数学平行四边形的知识点，包括定义、性质、判定方法及相关定理。
一、平行四边形的定义平行四边形是指具有两组对边平行的四边形。
四边形的两组对边分别是平行边，而对边之间的两组夹角分别是对顶角。
平行四边形的定义为：如果一个四边形的对边互相平行，则它是一个平行四边形。
平行四边形的对边长度相等，对角线互相等长。
二、平行四边形的性质平行四边形有一些独特的性质，掌握这些性质对于解题非常重要。
1. 对边性质：平行四边形的对边互相平行且相等长，即两对对边分别平行且长度相等。
2. 对角性质：平行四边形的对角线互相平分且相等长，即两条对角线分别相等长且平分。
3. 额角性质：平行四边形的一个内角与外角之和为180度，即内外角互为补角。
4. 同底角性质：平行四边形的两组对边夹角相等，即对等长的两边相对应的角相等。
5. 对顶角性质：平行四边形的两组对角之和为180度，即对等长的两个对角之和为180度。
三、平行四边形的判定方法对于给定的四边形，我们可以利用以下判定方法来确定它是否为平行四边形。
1. 判定方法一：如果一个四边形的对边长度相等，那么它是一个平行四边形。
2. 判定方法二：如果一个四边形的对角线互相相等，那么它是一个平行四边形。
3. 判定方法三：如果一个四边形的一个内角与外角之和为180度，那么它是一个平行四边形。
利用这些判定方法，我们可以轻松地确定一个四边形是否是平行四边形。
四、平行四边形的相关定理平行四边形还有一些重要的定理，它们进一步扩展了平行四边形的性质和应用。
1. 对角线分割定理：平行四边形的对角线把它分割成两个面积相等的三角形。
2. 对角线互补定理：平行四边形的对角线相交于一点，这个点将对角线分成互补角。
3. 等腰三角形定理：平行四边形的对边相等，则它是一个等腰三角形。
八年级初二数学平行四边形知识归纳总结及答案一、选择题1．如图所示，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，且CE ＝AC ，AE 交CD 于点F ，那么∠AFC 的度数为（ ）A ．112.5°B ．125°C ．135°D ．150°2．如图，把正方形ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为,MN 再过点B 折叠纸片，使点A 格在MN 上的点F 处，折痕为,BE 若AB 长为2,则EN 的长为(（ ）A ．233-B ．322-C ．2 D ．233．如图，菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 交于O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD DE =，连结BE 分别交AC ，AD 于点F ，G ，连结OG 则下列结论：①12OG AB =；②与EGD ∆全等的三角形共有5个；③ABF S S ∆>四边形ODGF ；④由点A ，B ，D ，E 构成的四边形是菱形．其中正确的是（ ）A ．①④B ．①③④C ．①②③D ．②③④4．如图，在平行四边形ABCD 中，120C ∠=︒，4=AD ，2AB =，点E 是折线BC CD DA --上的一个动点(不与A 、B 重合)．则ABE △的面积的最大值是( )A ．32B ．1C ．32D ．235．如图，正方形ABCD 的边长为5，4AG CH ==，3BG DH ==，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）A ．43B ．75C ．2D ．52-6．如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠CBF 为（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45°7．下列命题中，真命题的个数有（ ） ①对角线相等的四边形是矩形； ②三条边相等的四边形是菱形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个8．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD ，以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，其面积分别为1S 、2S 、3S ，若1S =3，3S =8，则2S 的值为（ ）A ．22B ．24C ．44D ．489．如图，四边形ABCD 为平行四边形，D ∠为锐角，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ，且AF FE =．若25AB =，ABCD 面积为300，则AF 的长度为（ ）A ．30B ．15C ．40D ．2010．如图，点,,A B E 在同一条直线上，正方形ABCD 、正方形BEFC 的边长分别为23,、H 为线段DF 的中点，则BH 的长为（ ）A ．212 B ．26 C ．332D ．292二、填空题11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为CD 边上的一个动点，以CE 为边向外作正方形ECFG ，连结BG ，点H 为BG 中点，连结EH ，则EH 的最小值为______12．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，3AB =，2AC =，则BD 的长为_______________．13．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．14．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③ABCD 19CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．15．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝10cm ，BC ＝3cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为_____cm ．16．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．17．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，18．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AFn BC=，ECm BC=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠BAC ＝45°，则下列结论：①CD ∥EF ；②EF ＝DF ；③DE 平分∠CDF ；④∠DEC ＝30°；⑤AB ＝2CD ；其中正确的是_____（填序号）20．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间为t 秒时，以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值等于_______．三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上． （1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EMFN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CFBF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．22．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积． 23．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，则2222AB CD AD BC +=+．（1）请帮助小明证明这一结论；（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．24．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．（1）求证：四边形ECFG 是菱形；（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=︒，则BDG ∆是等边三角形吗？为什么？ （3）若90ABC ∠=︒，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长． 25．如图所示，四边形ABCD 是正方形， M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动(点E 不与点A B 、重合)，另一直角边与CBM ∠的平分线BF 相交于点F ． (1)求证: ADE FEM ∠=∠;(2)如图(1)，当点E 在AB 边的中点位置时，猜想DE 与EF 的数量关系，并证明你的猜想; (3)如图(2)，当点E 在AB 边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．26．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形． （2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（），且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．27．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DCAE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O .（1）求证：EF DA ⊥.（2）若4,23BC AD ==，求EF 的长.28．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B,连接AB.(1)求出直线BC的解析式；(2)若动点M从点C出发,沿线段CB以每分钟10个单位的速度运动,过M作//MN AB 交y轴于N,连接AN.设运动时间为t分钟,当四边形ABMN为平行四边形时,求t的值. (3)P为直线BC上一点,在坐标平面内是否存在一点Q,使得以O、B、P、Q为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q的坐标；若不存在,请说明理由.29．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF，GH分别交边AB、CD，AD、BC于点E、F、G、H．（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD是正方形，且EF⊥GH，易知S△BOE＝S△AOG，又因为S△AOB＝14S四边形ABCD，所以S四边形AEOG＝S正方形ABCD；（2）类比探究：如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝14S矩形ABCD，若AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且S四边形AEOG＝14S▱ABCD，若AB＝3，AD＝5，BE＝1，则AG＝．30．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG517DE的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】根据等边对等角的性质可得∠E=∠CAE，然后根据正方形的对角线平分一组对角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠E=22.5°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：∵CE=AC，∴∠E=∠CAE，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACB=45°，∴∠E+∠CAE=45°，∴∠E=12×45°=22.5°，在△CEF中，∠AFC=∠E+∠ECF=22.5°+90°=112.5°．故答案为：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．2．A解析：A【分析】根据翻转变换的性质求出BM、BF，根据勾股定理计算求出FM的值；再在Rt△NEF中，运用勾股定理列方程求解，即可得到EN 的长．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，AB=2，过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，∴FB=AB=2，BM=12BC=1，BF=BA=2，∠BMF=90°， 则在Rt △BMF 中，FM ==∴2FN MN FM =-=-设AE=FE=x ，则EN=1x -，∵Rt △EFN 中，222NE NF EF +=，∴()(22212x x -+=，解得：4x =-∴EN=13x -=．故选：A ．【点睛】本题考查了翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．3．A解析：A【分析】连结AE ，可说明四边形ABDE 是平行四边形，即G 是BE 的中点；由有题意的可得O 是BD 的中点，即可判定①；运用菱形和平行四边形的性质寻找判定全等三角形的条件，找出与其全等的三角形即可判定②；证出OG 是△ABD 的中位线，得出OG//AB ，OG=12AB ，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S 四边形0DGF =S △ABF .即可判定③；先说明△ABD 是等边三角形,则BD=AB,即可判定④．【详解】解：如图：连结AE ．DE CD AB ==，//CD AB ，∴四边形ABDE 是平行四边形，G ∴是BE 的中点，∵O 是BD 的中点1122OG DE AB ∴==，①正确； 有BGA ∆，BGD ∆，AOD ∆，COD ∆，COB ∆，AOB ∆，共6个，②错误； ∵OB=OD ，AG=DG ，∴OG 是△ABD 的中位线，∴OG//AB，OG=12AB ， ∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∵△GOD 的面积=14△ABD 的面积，△ABF 的面积=△OGF 的面积的4倍，AF:OF=2:1， ∴△AFG 的面积=△OGF 的面积的2倍，又∵△GOD 的面积=△A0G 的面积=△B0G 的面积， .∴=ABF S S ∆四边形ODGF ；不正确；③错误；60AB AD BAD =⎧⎨∠=︒⎩ ABD ∴∆是等边三角形．BD AB ∴=，ABDE ∴是菱形，④正确．故答案为A ．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；考查知识点较多、难道较大，解题的关键在于对所学知识的灵活应用．4．D解析：D【分析】分三种情况讨论：①当点E 在BC 上时，高一定，底边BE 最大时面积最大；②当E 在CD 上时，△ABE 的面积不变；③当E 在AD 上时，E 与D 重合时，△ABE 的面积最大，根据三角形的面积公式可得结论．【详解】解：分三种情况：①当点E 在BC 上时，E 与C 重合时，△ABE 的面积最大，如图1，过A 作AF ⊥BC 于F ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠C+∠B=180°，∵∠C=120°，∴∠B=60°，Rt△ABF中，∠BAF=30°，∴BF=12AB=1，AF=3，∴此时△ABE的最大面积为：12×4×3=23；②当E在CD上时，如图2，此时，△ABE的面积=12S▱ABCD=12×4×3=23；③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，此时，△ABE的面积=23，综上，△ABE的面积的最大值是23；故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题．5．C解析：C【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE-BG=1，HE=CH-CE=1，∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长．【详解】解：如图，延长BG交CH于点E，在△ABG和△CDH中，AB CD AG CH BG DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△CDH （SSS ），AG 2+BG 2=AB 2，∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，在△ABG 和△BCE 中，1324AB BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABG ≌△BCE （ASA ），∴BE=AG=4，CE=BG=3，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE -BG=4-3=1，同理可得：HE=1，在Rt △GHE 中，=故选：C.【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE 为等腰直角三角形是解题的关键．6．A解析：A【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC ，进而得出∠CBF ．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，又∵△ADE 是等边三角形，∴AE=AD=DE ，∠DAE=60°，∴AB=AE ，∴∠ABE=∠AEB ，∠BAE=90°+60°=150°，∴∠ABE=（180°-150°）÷2=15°，又∵∠BAC=45°，∴∠BFC=45°+15°=60°．∴∠BFA=180°-60°=120°，∴∠CBF=180°-∠BCA-∠BFC=180°-45°-60=75°，故选：A．【点睛】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，解本题的关键是求出∠ABE=15°．7．C解析：C【分析】正确的命题是真命题，根据矩形的判定定理，菱形的判定定理及平行四边形的判定定理依次判断.【详解】①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该项错误；②四条边相等的四边形是菱形，故该项错误；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故该项正确；故选：C.【点睛】此题考查真命题的定义，正确掌握矩形、菱形、平行四边形的判定定理是解题的关键. 8．C解析：C【分析】根据已知条件得到AB＝3，CD＝22，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB＝∠DCB，根据平行四边形的性质得到CE＝AD，AE＝CD＝22，由已知条件得到∠BAE＝90°，根据勾股定理得到BE＝22，于是得到结论．AB AE【详解】∵S1＝3，S3＝8∴AB＝3，CD＝22过A作AE∥CD交BC于E则∠AEB＝∠DCB∵AD∥BC∴四边形AECD是平行四边形∴CE ＝AD ，AE ＝CD＝∵∠ABC +∠DCB ＝90°∴∠AEB +∠ABC ＝90°∴∠BAE ＝90°∴BE=∵BC ＝2AD∴BC ＝2BE＝∴S 2＝(244=故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，能正确作辅助线构造直角三角形是解决此题的关键． 9．B解析：B【分析】由题意先根据ASA 证明△ADF ≌△ECF ，推出300ABE ABCD S S ==，再证明BE=AB=25，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF ⊥AE ．设AF=x ，BF=y ，由∠ABF ＜∠BAF 可得x ＜y ，进而根据勾股定理以及△ABE 的面积为300列出方程组并解出即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD//BC 即AD//BE ，AB//CD ，∴∠DAF=∠E ．在△ADF 与△ECF 中，DAF E AF EFAFD EFC ⎧⎪⎨⎪∠∠∠⎩∠＝＝＝， ∴△ADF ≌△ECF （ASA ），∴ADF ECF S S =△△，∴300ABE ABCD S S ==．∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAF ，∵∠DAF=∠E ，∴∠BAE=∠E ，∴BE=AB=25，∵AF=FE ，∴BF ⊥AE ．设AF=x，BF=y，∵∠D为锐角，∴∠DAB=180°-∠D是钝角，∴∠D＜∠DAB，∴1 2∠ABC＜12∠DAB，∴∠ABF＜∠BAF，∴AF＜BF，x＜y．则有22222520013x yx y⎧+⎪⎨⎪⎩＝＝，解得：1520xy⎧⎨⎩＝＝或2015xy＝＝（舍去），即AF=15．故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质和勾股定理等知识．由题意证明出300ABE ABCDS S==以及BF⊥AE是解题的关键．10．B解析：B【分析】连接BD、BF，由正方形的性质可得：∠CBD=∠FBG=45°，∠DBF=90°，再应用勾股定理求BD、BF和DF，最后应用“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”可求得BH．【详解】如图，连接BD、BF，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AB=AD=2，BE=EF=3，∠A=∠E=90°，∠ABD=∠CBD=∠EBF=∠FBG=45°，∴∠DBF=90°，2，2，∴在Rt△BDF中，22BD BF+()()22223226+=，∵H为线段DF的中点，∴BH=12DF=262.故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形边的关系、勾股定理、直角三角形性质等，解题关键添加辅助线构造直角三角形．二、填空题11．2【分析】过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE，其中O点在线段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解．【详解】解：过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，如下图所示：∵H是BG的中点，且BO与HE平行，∴HE为△BOG的中位线，且BO=2HE，故要使得HE最短，只需要BO最短即可，当E点位于C点时，则O点与C点重合，当E点位于D点时，则O点与A点重合，故E点在CD上运动时，O点在AC上运动，由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO⊥AC时，此时BO最短，∵四边形ABCD是正方形，∴△BOC为等腰直角三角形，且BC=4，、∴2222BO,∴122HE BO，2【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE线段长转移到线段BO上．12．42【分析】首先由对边分别平行可判断四边形ABCD 为平行四边形，连接AC 和BD ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，通过证明△ADF ≌△ABC 来证明四边形ABCD 为菱形，从而得到AC 与BD 相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD 长度.【详解】解：连接AC 和BD ，其交点为O ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴∠ADF=∠ABE ，∵两纸条宽度相同， ∴AF=AE ，∵90ADF ABE AFD AEB AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ABE ，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC 与BD 相互垂直平分，∴BD=22242AB AO -=故本题答案为：2【点睛】本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.13102【分析】连结AC ，取OC 中点M ，连结 MB ，MG ，则MB ，MG 为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．【详解】连接AC ，交EF 于O ，∵AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∠AEO ＝∠CFO ，∵AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO （ASA ），∴OA ＝OC ，∴O 是正方形的中心，∵AB ＝BC ＝4，∴AC ＝2OC ＝2，取OC 中点M ，连结 MB ，MG ，过点M 作MH ⊥BC 于H ，∵MC ＝12OC 2， ∴MH ＝CH ＝1，∴BH ＝4−1＝3，由勾股定理可得MB 2231 10在Rt △GOC 中，M 是OC 的中点，则MG ＝12OC 2 ∵BG≥BM−MG 102，当B ，M ，G 三点共线时，BG 102， 102．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E ，F 运动到AD ，BC 的中点时，MG 最小是解决本题的关键．14．①②④【分析】①根据折叠得△ABE ≌△AFE ，证明△EFC 是等腰三角形，得到∠EFC=∠ECF ，根据∠BEF=∠EFC+∠FEC ，得出∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，即可证明AE ∥FC ，故①正确；②根据四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，证明Rt △AFG ≌Rt △ADG ，得出∠FAG=∠GAD ，根据∠BAF+∠FAD=90°，推出∠EAF+∠FAG=45°，可得∠EAG=45°，根据全等得：BE=FE ，DG=FG ，即可得BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③先求出S △ECG ，根据EF ：FG=2a ：3a =3：2，得出S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110a ，再根据S ABCD =a 2，得出S △CEF ：S △ABCD =2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误；④设正方形的边长为a ，根据勾股定理得2a ，设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ，EG=2a +x ，再根据勾股定理求出x ，即可得出结论，故④正确．【详解】解：①由折叠可得△ABE ≌△AFE ，∴∠BEA=∠AEF ，BE=EF ，∵E 是BC 中点，∴BE=CE=EF ，∴△EFC 是等腰三角形，∴∠EFC=∠ECF ，∵∠BEF=∠EFC+∠FEC ，∴∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，∴AE ∥FC ，故①正确；②∵四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，∴AB=AF=AD ，∠B=∠D=∠AFG ，∴△AFG 和△ADG 是直角三角形，∴在Rt △AFG 和Rt △ADG 中 AF AD AG AG ==⎧⎨⎩， ∴Rt △AFG ≌Rt △ADG （HL ），∴∠FAG=∠GAD ，又∵∠BAF+∠FAD=90°，∴2∠EAF+2∠FAG=90°，即∠EAF+∠FAG=45°，∴∠EAG=45°，由全等得：BE=FE ，DG=FG ，∴BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③对于Rt △ECG ，S △ECG =12×EC ×CG=12×2a ×23a =216a ， ∵EF ：FG=2a ：3a =3：2， 则S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110a ， 又∵S ABCD =a 2，则S △CEF ：S △ABCD =2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误； ④设正方形的边长为a ，∴AB=AD=AF=a ，BE=EF=2a =EC ， 由勾股定理得AE=22AB BE +=52a ， 设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ， EG=2a +x ， ∴EG 2=EC 2+CG 2，即（2a +x ）2=（2a ）2+（a-x ）2， 解得x=3a ，CG=23a ， 即AD=3DG 成立，故④正确．【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．15．101-【分析】探究点E 的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．【详解】如图1中，当点M 与A 重合时，AE ＝EN ，设AE ＝EN ＝xcm ，在Rt △ADE 中，则有x 2＝32+（9﹣x ）2，解得x ＝5，∴DE ＝10﹣1-5＝4（cm ），如图2中，当点M 运动到MB ′⊥AB 时，DE ′的值最大，DE ′＝10﹣1﹣3＝6（cm ），如图3中，当点M 运动到点B ′落在CD 时， 22221310NB C N C B ''''=+=+=DB ′（即DE ″）＝10﹣1﹣10＝（9﹣10）（cm ），∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″，运动路径＝EE ′+E ′B ′＝6﹣4+6﹣（910101）（cm ）．101．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16．②③【分析】根据菱形的性质可知AC ⊥BD ，所以在Rt △AFP 中，AF 一定大于AP ，从而判断①；设∠BAE=x ，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE ，再根据菱形的邻角互补求出∠ABE ，根据三角形内角和定理列出方程，求出x 的值，求出∠BFE 和∠BE 的度数，从而判断②③．【详解】解：在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴在Rt △AFP 中，AF 一定大于AP ，故①错误；∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°，设∠BAE=x°，则∠EAD=2x°，∠ABE=180°-x°-2x°，∵AB=AE ，∠BAE=x°，∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°，由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180，解得：x=36，即∠BAE=36°，∠BAE=180°-36°-2×36°=70°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BAD=∠CBD=12∠ABE=36°， ∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°，∴∠BEF=180°-36°-72°=72°，∴BE=BF=AF ．故③正确∵∠AFD=∠BFE=72°，∠EAD=2x°=72°∴∠AFD=∠EAD∴AD=FD又∵AD=AB=AE∴AE=FD ，故②正确∴正确的有②③故答案为：②③【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于∠BAE 的方程是解题的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角．17．6.5或8或18【分析】根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点∴13BQ =∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形∴ 6.5AP BM ==②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB == ∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'===，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置∴8AP =或18∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18． 故答案是：6.5或8或18【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．18．7【分析】①若m n =，则AF EC =，先根据平行四边形的性质得出//,AD BC AD BC =，再根据平行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边形的性质与判定得出四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形，从而可得11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆==，再根据28ABCD ABEF CDFE S S S =+= 和1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆=+=+四边形即可得出答案．【详解】 四边形ABCD 是平行四边形//,AD BC AD BC ∴=,,AF EC n m BC BCm n === AF EC ∴=AD AF BC EC ∴-=-，即DF BE =∴四边形AECF 、四边形BEDF 都是平行四边形//,//AE CF BF DE ∴∴四边形EGFH 是平行四边形综上，图中共有4个平行四边形如图，连接EF1,,AF EC n m BC B n Cm ==+= AF EC BC AD ∴+==AF DF AD +=EC DF ∴=AF BE ∴=∴四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆∴== 28ABCD ABEF CDFE S S S =+=1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆∴=+=+四边形 1()4ABEF CDFE S S =+12874=⨯= 故答案为：4；7．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键．19．①②③⑤【分析】根据三角形中位线定理得到EF ＝12AB ，EF ∥AB ，根据直角三角形的性质得到DF ＝12AC ，根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断．【详解】∵E ，F 分别是BC ，AC 的中点，∴EF＝12AB，EF∥AB，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，∴∠ACD＝45°，∴∠BAC＝∠ACD，∴AB∥CD，∴EF∥CD，故①正确；∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，∴DF＝CF=12 AC，∵AB=AC，EF＝12 AB，∴EF＝DF，故②正确；∵∠CAD=∠ACD=45°，点F是AC中点，∴△ACD是等腰直角三角形，DF⊥AC，∠FDC=45°，∴∠DFC=90°，∵EF//AB，∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，∴∠FED＝∠FDE＝22.5°，∵∠FDC＝45°，∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，∴∠FDE=∠CDE，∴DE平分∠FDC，故③正确；∵AB＝AC，∠CAB＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∴∠DEC＝∠FEC﹣∠FED＝45°，故④错误；∵△ACD是等腰直角三角形，∴AC2=2CD2，∴CD，∵AB=AC，∴AB CD，故⑤正确；故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．20．2或3.5【分析】分别从当Q 运动到E 和B 之间、当Q 运动到E 和C 之间去分析求解即可求得答案．【详解】如图，∵E 是BC 的中点，∴BE=CE= 12BC=9， ①当Q 运动到E 和B 之间，则得：3t ﹣9=5﹣t ，解得：t=3.5；②当Q 运动到E 和C 之间，则得：9﹣3t=5﹣t ，解得：t=2，∴当运动时间t 为2秒或3.5秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】“点睛”此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．解题时注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．三、解答题21．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（221n ；（3）241n -【分析】（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，n=1，∴AD=AB，∴四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠B=90°，∵AF⊥DE，∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF，∴△ADE≌△BAF（ASA），∴AE=BF；②结论：AG=BF+AE．理由：如图2中，过点A作AK⊥HD交BC于点K，由（1）可知AE=BK，∵AH=AD，AK⊥HD，∴∠HAK=∠DAK，∵AD∥BC，∴∠DAK=∠AKG，∴∠HAK=∠AKG，∴AG=GK，∵GK=GB+BK=BF+AE，∴AG=BF+AE；（2）如图3中，设AB=a，AD=na，当ME 的值最大时，NF 的值最小时，ME NF 的值最大， 当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值=()222na 1a n +=+•a ，当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，∴ME NF 的最大值=21a n +⋅=21n +， 故答案为：21n +；（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，∵AD ∥BH ，∴∠ADE=∠H ，∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ，∴△AED ≌△BEH （ASA ），∴AD=BH=2kn ，∴CH=4kn ，∵∠ADE=∠EDF ，∠ADE=∠H ，∴∠H=∠EDF ，∴FD=FH ，设DF=FH=x ，在Rt △DCF 中，∵CD 2+CF 2=DF 2，∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2，∴2142n x k n +=⋅，∴221441 422nnCF kn k kn n+-=-⋅=⋅，241222n kBF kn kn n-=-⋅=，∴22412412nkCF nnkBFn-⋅==-，故答案为：241n-．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．22．（1）详见解析；（2）18【分析】（1）根据正方形的性质得出BC=BD，AB=BF，∠CBD=∠ABF=90°，求出∠ABD=∠CBF，根据全等三角形的判定得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠BFC，AD=FC=6，求出AD⊥CF，根据三角形的面积求出即可．【详解】解：（1）四边形ABFG、BCED是正方形，AB FB∴=，CB DB=，90ABF CBD∠=∠=︒，ABF ABC CBD ABC∴∠+∠=∠+∠，即ABD CBF∠=∠在ABD∆和FBC∆中，AB FBABD CBFDB CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD FBC SAS∴∆≅∆；图1 图2（2）ABD FBC∆≅∆，BAD BFC∴∠=∠，6AD FC==，180AMF BAD CNA∴∠=︒-∠-∠180()BFC BNF=︒-∠+∠1809090=︒-︒=︒AD CF ∴⊥-ACD ACF DFM ACM ACDF S S S S S ∆∆∆∆∴=++四边形 11112222AD CM CF AM DM FM AM CM =⋅+⋅+⋅-⋅ 1133(6)(6)1822CM AM AM CM AM CM =++---⋅= 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能求出△ABD ≌△FBC 是解此题的关键．23．（1）证明见解析；（2）73．【分析】（1）由题意根据勾股定理分别表示出2222,AB CD AD BC ++进行分析求证即可；（2）根据题意连接CG 、BE ，证明△GAB ≌△CAE ，进而得BG ⊥CE ，再根据（1）的结论进行分析即可求出答案．【详解】解：（1）∵AC ⊥BD ，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，222222AD BC AO DO BO CO +=+++，222222AB CD AO BO CO DO +=+++，∴2222AD BC AB CD +=+；（2）连接CG 、BE ，如图2，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ，在△GAB 和△CAE 中，AG AC GAB CAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAB ≌△CAE （SAS ），∴∠ABG=∠AEC ，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE ⊥BG ，由（1）得，2222CG BE CB GE +=+，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，，，∴222273GE CG BE CB =+-=，∴【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，熟练并正确理解全等三角形的判定和性质以及灵活运用勾股定理是解题的关键．24．（1）详见解析；（2）是，详见解析；（3）【分析】（1）平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE ，根据等角对等边可得CE=CF ，再有条件四边形ECFG 是平行四边形，可得四边形ECFG 为菱形，即可解决问题；（2）先判断出∠BEG=120°=∠DCG ，再判断出AB=BE ，进而得出BE=CD ，即可判断出△BEG ≌△DCG （SAS ），再判断出∠CGE=60°，进而得出△BDG 是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形ECFG 为正方形，再证明△BME ≌△DMC 可得DM=BM ，∠DMC=∠BME ，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF=∠DAF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF=∠CEF ，∠BAF=∠CFE ，∴∠CEF=∠CFE ，∴CE=CF ，又∵四边形ECFG 是平行四边形，∴四边形ECFG 为菱形；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB=DC ，AD ∥BC ，∵∠ABC=120°，∴∠BCD=60°，∠BCF=120°由（1）知，四边形CEGF 是菱形，∴CE=GE，∠BCG=12∠BCF=60°，∴CG=GE=CE，∠DCG=120°，∵EG∥DF，∴∠BEG=120°=∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，∴∠BGD=∠CGE，∵CG=GE=CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE=60°，∴∠BGD=60°，∵BG=DG，∴△BDG是等边三角形；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF=90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF=∠DAF，∴BE=AB=DC，∵M为EF中点，∴∠CEM=∠ECM=45°，∴∠BEM=∠DCM=135°，在△BME和△DMC中，。
初二数学平行四边形7大常见题型+知识点+误区平行四边形是初二数学必考内容，甚至于中考卷里也时常出现它的身影，而且所占分值还不少。
为此，特意给大家整理了初二数学下册必考之【平行四边形】，7大常见题型+知识点+误区！平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
表示：平行四边形用符号“□”来表示。
平行四边形性质：平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分平行四边形的面积等于底和高的积，即S□ABCD=ah，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其对边的距离，即对应的高。
平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形从对角线看：对角钱互相平分的四边形是平行四边形从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
若一条直线过平行四边形对角线的交点，则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积。
7大常见题型分析（1）利用平行四边形的性质，求角度、线段长、周长等例题1：如图，E、F在ABCD的对角线AC上，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=54°，求∠ADE的度数分析：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此可以得到DE=AE=EF=CD，多条线段相等，可设最小的角为x，即设∠EAD=∠ADE=x，根据外角等于不相邻的内角和，得到∠DEC=∠DCE=2x，由平行四边形的性质得出∠DCE=∠BCD-∠BCA=54°-x，得出方程，解方程即可。
例题2：如图，已知四边形ABCD和四边形ADEF均为平行四边形，点B，C，F，E在同一直线上，AF交CD于O，若BC=10，AO=FO，求CE的长。
分析：根据平行四边形的性质得出AD=BC=EF，AD∥BE，从而得到∠DAO=∠CFO，再加上对顶角相等，可以得到△AOD≌△FOC，根据全等三角形的性质得到AD=CF，即AD=BC=EF=CF，从而得到线段CE的长度。
北师大版八年级数学下册第六章平行四边形全章复习与坚固提升知识点解说2.掌握三角形的中位线定理 .3.认识多边形的定义以及内角、外角、对角线等观点 . 掌握多边形的内角和与外角和公式 .4.累积数学活动经验，展开推理能力 .【知识网络】【重点梳理】重点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 . 平行四边形 ABCD记作“口 ABCD〞，读作“平行四边形 ABCD〞.重点解说：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 .重点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线相互均分；重点解说：〔1〕平行四边形的性质定理中边的性质能够证明两边平行或两边相等；角的性质能够证明两角相等或两角互补；对角线的性质能够证明线段的相等关系或倍半关系 .〔2〕因为平行四边形的性质内容许多，在使用时依据需要进行选择 .（3〕利用对角线相互均分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决 .重点三、平行四边形的判断定理1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线相互均分的四边形是平行四边形 .重点解说：（1〕这些判断方法是学习本章的根基，一定坚固掌握，当几种方法都能判断同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2〕这些判断方法既可作为判断平行四边形的依照，也可作为“画平行四边形〞的依照 .重点四、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：〔1〕定义：两条平行线中，一条直线上的随意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 注：距离是指垂线段的长度，是正当 .2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等 .平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.重点五、三角形的中位线三角形的中位线1 ．连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半.重点解说：〔1〕三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的地点关系与数目关系 .〔2〕三角形的三条中位线把原三角形分红可全等的 4 个小三角形. 因此每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的 .（3〕三角形的中位线不一样于三角形的中线 .重点六、多边形内角和、外角和边形的内角和为 ( －2) ?180°(≥3)．重点解说： (1) 内角和定理的应用：①多边形的边数，求其内角和；②多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；多边形的外角和为 360°．边形的外角和恒等于 360°，它与边数的多少没关 .【典型例题】种类一、平行四边形的性质与判断1 、〔2021?海淀区二模〕如图 1，在△ ABC中， AB=AC，∠ ABC= α，D 是 BC 边上一点，以 AD 为边作△ ADE，使 AE=AD，∠ DAE+∠BAC=180°．（1〕直接写出∠ ADE的度数〔用含α的式子表示〕；（2〕以 AB，AE为边作平行四边形 ABFE，①如图 2，假定点 F 恰巧落在 DE上，求证： BD=CD；②如图 3，假定点 F 恰巧落在 BC上，求证： BD=CF．【思路点拨】〔1〕由在△ ABC中， AB=AC，∠ ABC=α，可求得∠ BAC=180°﹣ 2α，又由 AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2 α，既而求得∠ ADE的度数；（2〕①由四边形 ABFE是平行四边形，易得∠ EDC=∠ ABC=α，那么可得∠ ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得 AD⊥BC，又由 AB=AC，依据三线合一的性质，即可证得结论；②由在△ ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠ B=∠C=α，四边形 ABFE是平行四边形，可得 AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠ EAC=∠C=α，又由〔 1〕可证得 AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论．∴B D=CF．【总结升华】本题考察了平行四边形的判断与性质以及等腰三角形的性质与判断．注意〔 2〕①中证得 AD⊥BC是重点，〔2〕②中证得 AD=CD是重点．贯通融会：【变式】分别以口 ABCD〔∠ CDA≠90°〕的三边 AB，CD，DA 为斜边作等腰直角三角形，△ ABE，△ CDG，△ ADF．（1〕如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外面时，连结 GF，EF．请判断 GF与 EF的关系并证明〕；（2〕如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连结GF，EF，〔1〕中结论还建立吗？假定建立，给出证明；假定不建立，说明原因．【答案】解：〔1〕GF⊥EF，GF＝EF建立；∵四边形 ABCD是平行四边形，∴A B＝CD，∠ DAB＋∠ ADC＝180°，∵△ ABE，△ CDG，△ ADF都是等腰直角三角形，∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠ CDG＝∠ ADF＝∠ BAE＝45°，∴∠ GDF＝∠ GDC＋∠ CDA＋∠ ADF＝90°＋∠ CDA，∠EAF＝ 360°﹣∠ BAE﹣∠ DAF﹣∠ BAD＝ 270°﹣〔 180°﹣∠CDA〕＝ 90°＋∠ CDA，∴∠ FDG＝∠ EAF，∵在△ EAF和△ GDF中，，∴△ EAF≌△ GDF〔SAS〕，∴EF＝FG，∠ EFA＝∠ DFG，即∠ GFD＋∠ GFA＝∠ EFA＋∠ GFA，∴∠ GFE＝90°，∴GF⊥EF；（2〕GF⊥EF，GF＝EF建立；原因：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠ DAB＋∠ ADC＝180°，∵△ ABE，△ CDG，△ ADF都是等腰直角三角形，∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠ CDG＝∠ ADF＝∠ BAE＝45°，∴∠ BAE＋∠ FAD＋∠ EAF＋∠ ADF＋∠ FDC＝180°，∴∠ EAF＋∠ CDF＝45°，∵∠ CDF＋∠ FDG＝45°，∴∠ FDG＝∠ EAF，∵在△ EAF和△ GDF中，，∴△ EAF≌△ GDF〔SAS〕，∴EF＝FG，∠ EFA＝∠ DFG，即∠ GFD＋∠ GFA＝∠ EFA＋∠ GFA，∴∠ GFE＝90°，∴G F⊥EF．2、如图，点 D 是△ABC的边 AB的延伸线上一点，点 F 是边 BC上的一个动点〔不与点 B 重合〕．以 BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又 AP BE〔点 P、E 在直线 AB的同侧〕，假如 BD＝ AB，那么△ PBC的面积与△ ABC面积之比为〔〕A ．B．C．D．【答案与分析】解：过点 P 作 PH∥BC交 AB于 H，连结 CH，PF，∵A P BE，∴四边形 APEB是平行四边形，∴P E∥AB，PE＝AB，∵四边形 BDEF是平行四边形，∴E F∥BD，EF＝BD，即 EF∥AB，∴P，E，F 共线，设 BD＝，∵ BD＝ AB，∴PE＝AB＝4 ，那么 PF＝PE－EF＝3 ，∵P H∥BC，∴ ，∵P F∥AB，∴四边形 BFPH是平行四边形，∴B H＝PF＝3 ，∵＝BH：AB＝3 ：4 ＝3：4，∴＝3：4．【总结升华】本题考察了平行四边形的判断与性质与三角形面积比的求解方法．本题难度较大，注意正确作出协助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．贯通融会：【变式】△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分别以AB、AC、BC为一边在 BC边同侧作正△ ABD、正△ ACE和正△ BCF，求以 A、E、F、D四点为极点围成的四边形的面积．∴A B＝AD＝EF＝3∴四边形 AEFD是平行四边形〔两组对边分别相等的四边形是平行四边形〕∵D F∥AE，DF⊥BD延伸 EA交 BD于 H点， AH⊥BD，那么 H为 BD中点∴平行四边形 AEFD的面积＝ DF×DH＝4×＝6.3、在平行四边形 ABCD中，点 A1，A2，A3，A4 和 C1，C2，C3，C4 分别 AB和 CD的五均分点，点B1，B2 和 D1，D2 分别是 BC和 DA的三均分点，四边形A4B2C4D2的面积为 1，那么平行四边形ABCD 面积为〔〕A ．2 B．C．D．15【思路点拨】能够设平行四边形 ABCD的面积是 S，依据均分点的定义利用平行四边形 ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，便可表示出四边形A4B2C4D2的面积，进而获得两个四边形面积的关系，即可求解．【答案】 C；【分析】解：设平行四边形ABCD的面积是 S，设 AB＝5 ，BC＝3 ．AB 边上的高是 3 ，BC边上的高是 5 ．那么 S＝5 ?3 ＝3 ?5 ．即＝＝．△AA4D2与△ B2CC4全等，B2C＝ BC＝，B2C边上的高是?5 ＝4．那么△ AA4D2和△ B2CC4的面积是 2＝．同理△ D2C4D与△ A4BB2的面积是．那么四边形 A4B2C4D2的面积是 S－－－－＝，即＝1，解得S＝．【总结升华】考察平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用均分点的定义，获得两个四边形的面积的关系是解决本题的重点．种类二、三角形的中位线4、如图，△ ABC的周长为 26，点 D，E 都在边 BC上，∠ ABC 的均分线垂直于AE，垂足为 Q，∠ACB的均分线垂直于AD，垂足为 P，假定 BC＝10，那么 PQ的长为〔〕【答案】 C；【分析】解：易证△ ABQ≌△ EBQ, AB＝BE，Q为 AE中点，△A CP≌△ DCP, AC＝CD，P 为 AD中点，∴P Q∥DE,PQ＝ DE，∵A B＋AC＋BC＝26，BC＝10，∴A B＋AC＝BE＋CD＝16＝BD＋DE＋DE＋EC＝BC＋DE，∴D E＝6，PQ＝ DE＝3.【总结升华】本题考察了三角形的中位线定理及等腰三角形的判断，注意培育自己的敏感性，一般出现高、角均分线重合的状况，都需要找到等腰三角形．种类三、多边形内角和与外角和5、假定一个多边形的每个外角都等于60°，那么它的内角和等于〔〕A．180°B．720°C．1080°D．540°【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于60°，依据边形的外角和为 360°计算出多边形的边数，而后依据边形的内角和定理计算即可．【答案】 B；∴这个多边形的内角和＝〔6－2〕× 180°＝ 720°．【总结升华】本题考察了边形的内角和定理：边形的内角和＝〔－2〕?180°；也考察了边形的外角和为 360°．贯通融会：【变式】〔2021 秋?小金县校级期末〕一个多边形的每个内角都相等，且一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．【答案】解：设内角是x°，外角是 y°，那么获得一个方程组，解得．而任何多边形的外角是360°，那么多边形中外角的个数是360÷120=3，故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三边形．6、甲、乙两人想在正五边形 ABCDE内部找一点 P，使得四边形 ABPE为平行四边形，其作法以下：〔甲〕连结BD、CE，两线段订交于P 点，那么 P 即为所求〔乙〕先取 CD的中点 M，再以 A 为圆心， AB长为半径画弧，交 AM于 P 点，那么 P 即为所求．关于甲、乙两人的作法，以下判断何者正确？〔〕A ．两人皆正确B．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【思路点拨】求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠B PE的度数，依据平行四边形的判断判断即可．【答案】 C；【分析】解：甲正确，乙错误，原因是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是＝108°，AB ＝BC＝CD＝DE＝AE，∴∠ DEC＝∠ DCE＝×〔 180°－ 108°〕＝ 36°，同理∠ CBD＝∠ CDB＝36°，∴∠ ABP＝∠ AEP＝108°－ 36°＝ 72°，∴∠ BPE＝360°－ 108°－ 72°－ 72°＝ 108°＝∠ A，∴四边形 ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠ BAE＝108°，∴∠ BAM＝∠ EAM＝54°，∵A B＝AE＝AP，∴∠ ABP＝∠ APB＝×〔 180°－ 54°〕＝ 63°，∠ AEP＝∠ APE ＝63°，∴∠ BPE＝360°－ 108°－ 63°－ 63°≠ 108°，即∠ ABP＝∠ AEP，∠ BAE≠∠ BPE，∴四边形 ABPE不是平行四边形，即乙错误；北师大版八年级数学下册第六章平行四边形全章复习与坚固提升知识点解说【总结升华】本题考察了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判断的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．。
第十八章平行四边形单元总结【思维导图】【知识要点】知识点一平行四边形平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”平行四边形的性质：1、平行四边形对边平行且相等；几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD,AD=BC; AB∥CD,AD∥BC2、平行四边形对角相等、邻角互补；几何描述：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠1+∠4=180°…（还有那组角互补？）3、平行四边形对角线互相平分；几何描述：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AO=OC=12AC,BO=OD=12BD4、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。
平行线的性质：1、平行线间的距离都相等；2、两条平行线间的任何平行线段都相等；3、等底等高的平行四边形面积相等。
平行四边形的判定定理（基础）：1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的面积公式：面积=底×高【典型例题】题型一 平行四边形的性质典例1（2020·威海市期末）如图，在▱ABCD 中，已知AD=5cm ，AB=3cm ，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则EC 等于 （ ）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【解析】解：如图，∵AE平分∠BAD交BC边于点E，∴∠BAE=∠EAD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=5，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴EC=BC-BE=5-3=2．故选B．变式1-1（2018·烟台市期末）如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′，点B′恰好落在BC边土，B′C′和CD交于点P，则∠B′PD的度数是（）A．105°B．120°C．130°D．135°【答案】D【详解】解：平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30,得到平行四边形AB'C'D'(点B'与点B是对应点,点C与点C是对应点,点D'与点D是对应点),∴AB=AB',∠BAB'=30°, ∠CB' C'=30°,∴∠B=∠AB'B=(180°-30°)/2=75°,∴∠C=180°-75° =105°，∴∠B′PD=∠CB' C'+∠C=30°+105°=135°故选D.变式1-2（2019·玉林市期末）在平行四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的可能情况是（ ） A ．2：7：2：7B ．2：2：7：7C ．2：7：7：2D ．2：3：4：5【答案】A【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C ，∠B=∠D ，∴∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的可能情况是2：7：2：7．故选：A ．变式1-3（2018·柯坦中学初二期末）在平行四边形ABCD 中，已知5AB =，3BC =，则它的周长为( ) A ．8B ．10C ．14D ．16 【答案】D【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=5，AD=BC=3，∴平行四边形ABCD 的周长=AB+BC+CD+AD=5+3+5+3=16.故选D.题型二 平行四边形的判定典例2（2018·宿州市期末）如图，平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF ，GH 相交于点O ，则图中有平行四边形（ ）A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个【答案】D【详解】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，CD∥AB，又∵EF∥BC，GH∥AB，∴∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴平行四边形有：□ ABCD，□ABHG，□CDGH，□BCFE，□ADFE，□AGOE，□BEOH，□OFCH，□OGDF，共9个．即共有9个平行四边形．故选D．知识点二中位线三角形中位概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线。
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结杭信一中何逸冬一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2ABCD记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S=底高ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等=⨯的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．（4）等腰梯形：①边：上下底平行但不相等，两腰相等；②角：同一底边上的两个角相等；对角互补对角：对角线相等；④对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③说明四边形ABCD的三个角是直角．（2）识别菱形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．③说明四边形ABCD的四条相等．（3）识别正方形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等．③先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．④先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角．（4）识别等腰梯形的常用方法①先说明四边形ABCD为梯形，再说明两腰相等．②先说明四边形ABCD为梯形，再说明同一底上的两个内角相等．③先说明四边形ABCD为梯形，再说明对角线相等．5．几种特殊四边形的面积问题①设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．②设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=12 ab．③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=212a ．④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为b ，高为h ，则S 梯形=1()2a b h ．平行四边形 矩形 菱形 正方形 图形性质1．对边且 ；2．对角 ； 邻角 ；3．对角线； 1．对边且 ；2．对角且四个角都是 ；3．对角线；1．对边 且四条边都 ；2．对角 ； 3．对角线 且每 条对角线 ；1．对边 且四条边都 ；2．对角 且四个角都是 ； 3．对角线 且每条对角线 ；面积【素材积累】1、只要心中有希望存摘，旧有幸福存摘。
八年级初二数学 平行四边形知识归纳总结附解析一、选择题1．如图，ABCD □中，4,60AB BC A ==∠=︒，连接BD ，将BCD 绕点B 旋转，当BD （即BD '）与AD 交于一点E ，BC （即BC '）与CD 交于一点F 时，给出以下结论：①AE DF =；②60BEF ∠=︒；③DEB DFB ∠=∠；④DEF 的周长的最小值是423+.其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④2．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点(点P 不与点B 、D 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP ＝EF ；②AP ⊥EF ；③仅有当∠DAP ＝45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形；④∠PFE ＝∠BAP ：⑤2PD ＝EC ．其中有正确有( )个．A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，正方形ABCD 的周长是16，P 是对角线AC 上的个动点，E 是CD 的中点，则PE +PD 的最小值为( )A ．5B ．3C ．2D ．44．如图，在长方形ABCD 中，AD=6，AB=4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF ＝CG ＝2，BE ＝DH ＝1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连结PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 5．如图，在平行四边形ABCD 中，120C ∠=︒，4=AD ，2AB =，点E 是折线BC CD DA --上的一个动点(不与A 、B 重合)．则ABE △的面积的最大值是( )A ．32B ．1C ．32D ．236．在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、AD 上，∠EFB=2∠AFE=2∠BCE ，CD=9，CE=20，则线段AF 的长为（ ）．A ．32B ．112C ．19D ．47．如图，在平面直角坐标系中，A 点坐标为(8,0)，点P 从点O 出发以1个单位长度/秒的速度沿y 轴正半轴方向运动，同时，点Q 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度沿x 轴负半轴方向运动，设点P 、Q 运动的时间为(08)t t <<秒.以PQ 为斜边，向第一象限内作等腰Rt PBQ ∆，连接OB .下列四个说法：①8OP OQ +=；②B 点坐标为(4,4)；③四边形PBQO 的面积为16；④PQ OB >.其中正确的说法个数有（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．如图，正方形ABCD（四边相等、四内角相等）中，AD＝5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝4，BE＝DF＝3，则EF的平方为（）A．2 B．125C．3 D．49．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将BCE沿BE翻折至BFE，连接DF，则DF的长度是（）A．55B．255C．355D．45510．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=14BC，③BF=2OD，④∠CHF=45°．正确结论的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题11．如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为．12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是直线AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连结AM、MN，若AC=6，AB=5，则AM -MN 的最大值为________．13．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，3AB =，2AC =，则BD 的长为_______________．14．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．15．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则2020C =______．16．在ABCD 中，5AD =，BAD ∠的平分线交CD 于点E ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，若线段EF=2，则AB 的长为__________．17．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．18．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，以BC 为一边作正方形BDEC 设正方形的对称中心为O ，连接AO ，则AO ＝_____．19．菱形ABCD 的周长为24，∠ABC=60°，以AB 为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE ，连结AC ，CE ，则△ACE 的面积为___________.20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.三、解答题21．综合与实践．问题情境：如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD S =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '． 独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D '的形状；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．22．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．(1)求证: FCE BOE ≌；(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．23．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（6，6），将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连结CH 、CG ．（1）求证：CG 平分∠DCB ；（2）在正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转的过程中，求线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系；（3）连结BD 、DA 、AE 、EB ，在旋转的过程中，四边形AEBD 是否能在点G 满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE 的解析式；若不能，请说明理由．24．正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点P 是正方形ABCD 对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B ，O ，D 重合），连接CP 并延长，分别过点D ，B 向射线作垂线，垂足分别为点M ，N ．（1）补全图形，并求证：DM ＝CN ；（2）连接OM ，ON ，判断OMN 的形状并证明．25．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE ∆沿BE 折叠，点A 的对应点为点G ．图1 图2（1）填空：如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是________； （2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ．①求证：BF AB DF =+． ②若3AD AB =，试探索线段DF 与FC 的数量关系．26．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC ．（直接写出结果）27．如图1，点E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，EF EC ⊥，且EF EC =，连接AF ，过点F 作FN 垂直于BA 的延长线于点N ．（1）求EAF ∠的度数；（2）如图2，连接FC 交BD 于M ，交AD 于P ，试证明：2BD BG DG AF DM =+=+．28．已知：如图，在ABC 中，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连接CE ，过点C 作//CF BA 交PQ 于点F ，连接AF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若8AC =，AE=5，则求菱形AECF 的面积．29．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．30．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF ，GH 分别交边AB 、CD ，AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD 是正方形，且EF ⊥GH ，易知S △BOE ＝S △AOG ，又因为S △AOB ＝14S 四边形ABCD ，所以S 四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ； （2）类比探究：如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝14S 矩形ABCD ，若AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）； （3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且S 四边形AEOG ＝14S ▱ABCD ，若AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，则AG ＝ ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据题意可证△ABE ≌△BDF ，可判断①②③，由△DEF 的周长=DE +DF +EF =AD +EF =4+EF ，则当EF 最小时△DEF 的周长最小，根据垂线段最短，可得BE ⊥AD 时，BE 最小，即EF 最小，即可求此时△BDE 周长最小值．【详解】解：∵AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°∴△ABD，△BCD为等边三角形，∴∠A=∠BDC=60°，∵将△BCD绕点B旋转到△BC'D'位置，∴∠ABD'=∠DBC'，且AB=BD，∠A=∠DBC'，∴△ABE≌△BFD，∴AE=DF，BE=BF，∠AEB=∠BFD，∴∠BED+∠BFD=180°，故①正确，③错误；∵∠ABD=60°，∠ABE=∠DBF，∴∠EBF=60°，故②正确∵△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，∴当EF最小时，∵△DEF的周长最小．∵∠EBF=60°，BE=BF，∴△BEF是等边三角形，∴EF=BE，∴当BE⊥AD时，BE长度最小，即EF长度最小，∵AB=4，∠A=60°，BE⊥AD，∴EB=∴△DEF的周长最小值为4+故④正确，综上所述：①②④说法正确，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题，关键是灵活运用这些性质解决问题．2．D解析：D【分析】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得EC，得出⑤正确，即可得出结论．【详解】过P作PG⊥AB于点G，如图所示：∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，∴GP=EP ，在△GPB 中，∠GBP=45°，∴∠GPB=45°，∴GB=GP ，同理：PE=BE ，∵AB=BC=GF ，∴AG=AB-GB ，FP=GF-GP=AB-GB ，∴AG=PF ，在△AGP 和△FPE 中，90AG PF AGP FPE PG PE ⎧⎪⎨⎪∠∠⎩︒＝＝＝＝，∴△AGP ≌△FPE （SAS ），∴AP=EF ，①正确，∠PFE=∠GAP ，∴∠PFE=∠BAP ，④正确；延长AP 到EF 上于一点H ，∴∠PAG=∠PFH ，∵∠APG=∠FPH ，∴∠PHF=∠PGA=90°，∴AP ⊥EF ，②正确，∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，∠ADP=45°，∴当∠PAD=45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形，除此之外，△APD 不是等腰三角形，故③正确．∵GF ∥BC ，∴∠DPF=∠DBC ，又∵∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，∴PF=EC ，∴在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，∴2EC ， 即22PD=EC ，⑤正确．∴其中正确结论的序号是①②③④⑤，共有5个．故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．3．A解析：A【解析】【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点.此时PE+PD=BE最小，而BE是直角△CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果.【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P'，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P'D=P'B，∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，即为BE的长度.∴直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=4，CE=12CD=2，∴224225BE=+=故选：A.【点睛】本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问题的重要方法，找出P点位置是解题的关键4．C解析：C【分析】连接EG、FH，根据题意可知△AEF与△CGH全等，故EF=GH，同理EG=FH，再证四边形EGHF为平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和是平行四边形的面积一半，平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD的面积减去四周四个小的直角三角形的面积即可求得.【详解】连接EG、FH，如图所示，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，∴AE=AB-BE=4-1=3，CH=CD-DH=3，∴AE=CH,在△AEF和△CGH中，AE=CH,∠A=∠C=90°，AF=CG,∴△AEF≌△CGH，∴EF=GH,同理可得△BGE≌△DFH，∴EG=FH,∴四边形EGHF为平行四边形，∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，∴△PEF和△PGH的面积和=12⨯平行四边形EGHF的面积，求得平行四边形EGHF的面积=4⨯6--12⨯2⨯3-12⨯1⨯（6-2）-12⨯2⨯3-12⨯1⨯（6-2）=14，∴△PEF和△PGH的面积和=1142⨯=7.【点睛】此题主要考察矩形的综合利用.5．D解析：D【分析】分三种情况讨论：①当点E在BC上时，高一定，底边BE最大时面积最大；②当E在CD 上时，△ABE的面积不变；③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，根据三角形的面积公式可得结论．【详解】解：分三种情况：①当点E在BC上时，E与C重合时，△ABE的面积最大，如图1，过A作AF⊥BC于F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠C+∠B=180°，∵∠C=120°，∴∠B=60°，Rt△ABF中，∠BAF=30°，∴BF=12AB=1，AF=3，∴此时△ABE的最大面积为：12×4×3=23；②当E在CD上时，如图2，此时，△ABE的面积=12S▱ABCD=12×4×3=23；③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，此时，△ABE的面积3综上，△ABE的面积的最大值是3故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题．6．C解析：C【分析】如图，取CE的中点H，连接BH，设∠EFB=2∠AFE=2∠ECB=2a，则∠AFB=3a，进而求出BH=CH=EH=10，∠HBC=∠HCB=a，再根据AD∥BC求出EF∥BH，进而得出△EFG和△BGH 均为等腰三角形，则BF=EH=10，再根据勾股定理即可求解.【详解】如图，取CE的中点H，连接BH，设∠EFB=2∠AFE=2∠ECB=2a，则∠AFB=3a，∵在矩形ABCD 中有AD ∥BC ，∠A=∠ABC=90°，∴△BCE 为直角三角形，∵点H 为斜边CE 的中点，CE=20，∴BH=CH=EH=10，∠HBC=∠HCB=a ，∵AD ∥BC ，∴∠AFB=∠FBC=3a ，∴∠GBH=3a-a=2a=∠EFB ，∴EF ∥BH ，∴∠FEG=∠GHB=∠HBC+∠HCB=2a=∠EFB=∠GBH ，∴△EFG 和△BGH 均为等腰三角形，∴BF=EH=10，∵AB=CD=9， ∴222210919AF BF AB =-=-=故选C.【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线. 7．B解析：B【分析】根据题意，有OP=AQ ，即可得到8OP OQ OA +==，①正确；当4t =时，OP=OQ=4，此时四边形PBQO 是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4，即点B 坐标为（4，4），②正确；四边形PBQO 的面积为：4416⨯=，在P 、Q 运动过程面积没有发生变化，故③正确；由正方形PBQO 的性质，则此时对角线PQ=OB ，故④错误；即可得到答案.【详解】解：根据题意，点P 与点Q 同时以1个单位长度/秒的速度运动，∴OP=AQ ，∵OQ+AQ=OA=8，∴OQ+OP=8，①正确；由题意，点P 与点Q 运动时，点B 的位置没有变化，四边形PBQO 的面积没有变化， 当4t =时，如图：则AQ=OP=4，-=，∴OQ=844∴点B的坐标为：（4，4），②正确；此时四边形PBQO是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4，⨯=，③正确；∴四边形PBQO的面积为：4416∵四边形PBQO是正方形，∴PQ=OB，t=时，PQ=OB，故④错误；即当4∴正确的有：①②③，共三个；故选择：B.【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及坐标与图形，解题的关键是根据点P、Q的运动情况，进行讨论分析来解题.8．A解析：A【分析】根据AB=5，AE=4，BE=3，可以确定△ABE为直角三角形，延长BE构建出直角三角形，在利用勾股定理求出EF的平方即可.【详解】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD=5，如图，延长BE交CF于点G，∵AB=5，AE=4，BE=3，∴AE2+BE2=AB2，∴△ABE是直角三角形，同理可得△DFC是直角三角形，∵AE=FC=4,BE=DF=3,AB=CD=5，∴△ABE≌△CDF,∴∠BAE=∠DCF,∵∠ABC=∠AEB=902，∴∠CBG=∠BAE，同理可得，∠BCG=∠CDF=∠ABE，△ABE≌△BCG，∴CG=BE=3，BG=AE=4，∴EG=4-3=1，GF=4-3=1，∴EF2=EG2+GF2=1+1=2故选择:A【点睛】此题考查三角形的判定，勾股定理的运用，根据已知条件构建直角三角形求值是解题的关键.9．D解析：D【分析】由勾股定理可求BE的长，由折叠的性质可得CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，由面积法可求CH＝45，由勾股定理可求EH的长，由三角形中位线定理可求DF＝2EH＝45．【详解】解：如图，连接CF，交BE于H，∵在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，∴BC＝CD＝4，CE＝DE＝2，∠BCD＝90°，∴BE2216425BC CE+=+=∵将△BCE沿BE翻折至△BFE，∴CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，∵S△BCE＝12×BE×CH＝12×BC×CE，∴CH＝55，∴22165 455CE CH-=-=，∵CE＝DE，FH＝CH，∴DF＝2EH，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键．10．B解析：B【分析】①只要证明OH是△DBF的中位线即可得出结论；②根据OH是△BFD的中位线，得出GH=12CF，由GH＜14BC，可得出结论；③易证得△ODH是等腰三角形，继而证得OD=12 BF；④根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论．【详解】解：∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC，∴△BCE≌△DCF，∴∠CBE=∠CDF，∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，∴∠DEH+∠CDF=90°，∴∠BHD=∠BHF=90°，∵BH=BH，∠HBD=∠HBF，∴△BHD≌△BHF，∴DH=HF，∵OD=OB∴OH是△DBF的中位线∴OH∥BF；故①正确；∴OH=12BF，∠DOH=∠CBD=45°，∵OH是△BFD的中位线，∴DG=CG=12BC，GH=12CF，∵CE=CF，∴GH=12CF=12CE∵CE＜CG=12 BC，∴GH＜14BC，故②错误．∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，∵CE=CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），∴∠EBC=∠CDF=22.5°，∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，∴OH是CD的垂直平分线，∴DH=CH，∴∠CDF=∠DCH=22.5°，∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故④正确；∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，∴∠OHD=180°-∠ODH-∠DOH=67.5°，∴∠ODH=∠OHD，∴OD=OH=12BF；故③正确．故选：B．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．二、填空题11．5【详解】由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE，交AC于点P，那PE+PB的值最小．在Rt△CDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值．连接DE，交AC于点P，连接BD．∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值，∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2，在Rt △CDE 中， DE=25．考点：(1)、轴对称-最短路线问题；(3)、正方形的性质．12．52【分析】连接DM ，直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM ，利用两边之差小于第三边得到AM MN DN -≤，又根据三角形中位线的性质即可求解．【详解】连接DM ，如下图所示，∵90BAC EDF ∠=∠=︒又∵M 为EF 中点 ∴AM=DM=12EF ∴AM MN DM MN DN -=-≤（当D 、M 、N 共线时，等号成立）∵D 、N 分别为BC 、AC 的中点，即DN 是△ABC 的中位线 ∴DN=12AB=52∴AM MN -的最大值为52 故答案为52． 【点睛】 本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM MN -的取值范围．13．2【分析】首先由对边分别平行可判断四边形ABCD 为平行四边形，连接AC 和BD ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，通过证明△ADF ≌△ABC 来证明四边形ABCD 为菱形，从而得到AC 与BD 相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD 长度.【详解】解：连接AC 和BD ，其交点为O ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴∠ADF=∠ABE ，∵两纸条宽度相同，∴AF=AE ，∵90ADF ABE AFD AEB AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ABE ，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC 与BD 相互垂直平分，∴BD=22242AB AO -=故本题答案为：2【点睛】本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.14．4:9【分析】设DP ＝DN ＝m ，则PN 2m ，PC ＝2m ，AD ＝CD ＝3m ，再求出FG=CF=12BC=32m ，分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．【详解】根据图形的特点设DP ＝DN ＝m ，则PN 22m m +2m ，∴2m=MC ，22PM MC +，∴BC ＝CD ＝PC+DP=3m ，∵四边形HMPN 是正方形，∴GF ⊥BC∵∠ACB ＝45︒，∴△FGC 是等腰直角三角形，∴FG=CF=12BC=32m ， ∴S 1＝12DN×DP=12m 2，S 2＝12FG×CF=98m 2， ∴12:S S =12m 2: 98m 2=4:9， 故答案为4：9．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．15．201812【分析】根据几何图形特征，先求出1C 、2C 、3C ，根据求出的结果，找出规律，从而得出2020C ．【详解】∵点E 是BC 的中点，ED ∥AB ，EF ∥AC∴DE 、EF 是△ABC 的中位线∵等边△ABC 的边长为1∴AD=DE=EF=AF =12 则1C =1422⨯= 同理可求得：2C =1，3C =12发现规律：规律为依次缩小为原来的12 ∴2020C =201812 故答案为：201812．【点睛】 本题考查找规律和中位线的性质，解题关键是求解出几组数据，根据求解的数据寻找规律．16．8或12【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD=5，∠BAE=∠DEA ，∠ABF=∠BFC ，根据角平分线的性质得到DE=AD=5，CF=BC=5，即可求出答案.【详解】在ABCD中，AB∥CD，BC=AD=5，∴∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，∠的平分线交CD于点E，∵BAD∴∠BAE=∠DAE，∴∠DAE=∠DEA，∴DE=AD=5，同理：CF=BC=5，∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12，故答案为：8或12.【点睛】此题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的等角对等边的判定，解题中注意分类思想的运用，避免漏解.17．5【分析】过点B作BD⊥l2，交直线l2于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则22+OABC是平行四边形，所以OA=BC，又由平行四边形的性OE BE质可推得∠OAF=∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．【详解】解：过点B作BD⊥l2，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线l1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线l2与AB交于点N．∵四边形OABC是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，∵直线l1与直线l2均垂直于x轴，∴AM∥CN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴∠MAN=∠NCM，∴∠OAF=∠BCD，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC，在△OAF 和△BCD 中，FOA DBC OA BCOAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴OB=22OE BE +．由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．18．72；【分析】连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，判定△AOC ≌△FOB （ASA ），即可得出AO=FO ，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．【详解】解：连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，∵O 是正方形DBCE 的对称中心，∴BO=CO ，∠BOC=90°，∵FO ⊥AO ，∴∠AOF=90°，∴∠BOC=∠AOF ，即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA ，∴∠AOC=∠FBO ，∵∠BAC=90°，∴在四边形ABOC 中，∠ACO+∠ABO=180°，∵∠FBO+∠ABO=180°，∴∠ACO=∠FBO ，在△AOC 和△FOB 中，AOC FOB AO FOACO FBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOC ≌△FOB （ASA ），∴AO=FO ，FB=FC=6，∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，∴AO=AF×cos45°=故答案为．【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．19．9或1)．【分析】分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．【详解】解：①如图1，延长EA 交DC 于点F ，∵菱形ABCD 的周长为24，∴AB=BC=6，∵∠ABC=60°，∴三角形ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，当EA ⊥BA 时，△ABE 是等腰直角三角形，∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，∴∠FAC=30°，∵∠ACD=60°，∴∠AFC=90°，∴CF=12AC=3，则△ACE 的面积为：12AE×CF=12×6×3=9；②如图2，过点A 作AF ⊥EC 于点F ，由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，∵AB=BE=BC=6，∴∠BEC=∠BCE=15°，∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，∴AF=12AE ，AF=CF=22AC=32 ∵AB=BE=6，∴AE=2∴2236AE AF -=∴EC=EF+FC=3632则△ACE 的面积为：12EC×AF=1(3632)329(31)2⨯⨯=． 故答案为：9或31)．【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．202a 321a - 【分析】（1）根据折叠的性质可得出，四边形AFED 为正方形，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=，得出AB=AE ，继而可得解；（2）结合（1）可知，AE AM 2a ==，因为EC=3BM ，所以有1BM 2FM =，求出BM ，继而可得解．【详解】解：（1）由折叠的性质可得，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=，∴AB=AE ，∵AE ==∴AB =．（2）结合（1）可知，AE AM ==，∴FM a =-，∵EC=3BM ， ∴1BM 2FM =∴BM 2a -=∴AB =+=．；12a ． 【点睛】 本题是一道关于折叠的综合题目，主要考查折叠的性质，弄清题意，结合图形找出线段间的数量关系是解题的关键．三、解答题21．（1）矩形；（2）菱形；（3）4）见解析【分析】（1）由平移推出AD EE '=，即可证得四边形AEE D '是平行四边形，再根据AE BC ⊥，得到90AEE '∠=︒即可得到结论；（2）由平移推出AD FF '=，证得四边形AFF D '是平行四边形，根据AE EF ⊥得到90AEE '∠=︒，再根据勾股定理求出AF=5=AD ，即可证得四边形AFF D '是菱形；（3）先利用勾股定理求出DF ==，再根据菱形的面积求出F A '；（4）在BC 边上取点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.【详解】(1)四边形AEE D '是矩形，在ABCD □中，//AD BC ，AD BC =，由平移可知：BE CE ''=，∴BC EE '=，∴AD EE '=，∴四边形AEE D '是平行四边形，∵AE BC ⊥，∴90AEE '∠=︒，∴四边形AEE D '是矩形；(2)四边形AFF D '是菱形，在矩形AEE D '中，//AD EE ' ，AD EE '=，由平移可知：EF E F =''，∴EE FF ''=，∴AD FF '=，∴四边形AFF D '是平行四边形，∵AE EF ⊥，∴90AEE '∠=︒，在Rt AEF ，2222345AF AE EF =+=+=， ∴AF AD =，∴四边形AFF D '是菱形；(3)连接F A ',在Rt DFE '△中，22221310DF E F E D ''=+=+=，15ABCD AFF D S S '==平行四边形菱形，∴·30F A FD '=，∴310F A '=；(4)在BC 上取一点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的判定及性质，平移的性质的应用，勾股定理.22．（1）见解析；（2）当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形，证明详见解析【分析】（1）证明四边形OCFD 是平行四边形，得出OD=CF ，证出OB=CF ，再证明全等即可（2）证出四边形ABCD 是矩形，由矩形的性质得出OC=OD ，即可得出四边形OCFD 为菱形.【详解】(1)证明:∵//,//CF BD DF AC ，∴四边形OCFD 是平行四边形， OBE CFE ∠=∠，∴OD CF =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB OD =，∴OB CF =，在FCE △和BOE △中， OBE CFE BEO FEC OB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()FCE BOE AAS ≌．(2)当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形.理由如下:∵90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形∴,,,OA OC OB OD AC BD ===∴OC OD =，∴四边形OCFD 为菱形【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质和菱形的判定是解题的关键.23．（1）见解析；（2） HG ＝OH +BG ；（3）能成矩形，y 3342x =-． 【分析】（1）根据旋转和正方形的性质可得出CD ＝CB ，∠CDG ＝∠CBG ＝90，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CDG ≌Rt △CBG ，即∠DCG ＝∠BCG ，由此即可得出CG 平分∠DCB ；（2）由（1）的Rt △CDG ≌Rt △CBG 可得出BG ＝DG ，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CHO ≌Rt △CHD ，即OH ＝HD ，再根据线段间的关系即可得出HG ＝HD +DG ＝OH +BG ；（3）根据（2）的结论即可找出当G 点为AB 中点时，四边形AEBD 为矩形，再根据正方形的性质以及点B 的坐标可得出点G 的坐标，设H 点的坐标为（x ，0），由此可得出HO ＝x ，根据勾股定理即可求出x 的值，即可得出点H 的坐标，结合点H 、G 的坐标利用待定系数法即可求出直线DE 的解析式．【详解】（1）∵正方形ABCO 绕点C 旋转得到正方形CDEF ，∴CD ＝CB ，∠CDG ＝∠CBG ＝90°．在Rt △CDG 和Rt △CBG 中，∵CG CG CD CB =⎧⎨=⎩，∴Rt △CDG ≌Rt △CBG （HL ），∴∠DCG ＝∠BCG ，即CG 平分∠DCB ． （2）由（1）证得：Rt △CDG ≌Rt △CBG ，∴BG ＝DG ．在Rt △CHO 和Rt △CHD 中，∵CH CH CO CD =⎧⎨=⎩，∴Rt △CHO ≌Rt △CHD （HL ），∴OH ＝HD ，∴HG ＝HD +DG ＝OH +BG ．（3）假设四边形AEBD可为矩形．当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形，如图所示．∵G点为AB中点，∴BG＝GA12=AB，由（2）证得：BG＝DG，则BG＝GA＝DG12=AB12=DE＝GE，又AB＝DE，∴四边形AEBD为矩形，∴AG＝EG＝BG＝DG．∵AG12=AB＝3，∴G点的坐标为（6，3）．设H点的坐标为（x，0），则HO＝x，∴HD＝x，DG＝3．在Rt△HGA中，HG＝x+3，GA＝3，HA＝6﹣x，由勾股定理得：（x+3）2＝32+（6﹣x）2，解得：x＝2，∴H点的坐标为（2，0）．设直线DE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），将点H（2，0）、G（6，3）代入y＝kx+b中，得：2063k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：3432kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线DE的解析式为：y3342x=-．故四边形AEBD能为矩形，此时直线DE的解析式为：y33 42x=-．【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式以及勾股定理．解题的关键是：（1）证出Rt△CDG≌Rt△CBG；（2）找出BG＝DG、OH＝HD；（3）求出点H、G的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边和角是关键．24．（1）见解析；（2）MON为等腰直角三角形，见解析【分析】（1）如图1，由正方形的性质得CB＝CD，∠BCD＝90°，再证明∠BCN＝∠CDM，然后根据“AAS”证明△CDM≌△CBN，从而得到DM＝CN；（2）如图2，利用正方形的性质得OD＝OC，∠ODC＝∠OCB＝45°，∠DOC＝90°，再利用∠BCN＝∠CDM得到∠OCN＝∠ODM，则根据“SAS”可判断△OCN≌△ODM，从而得到ON＝OM，∠CON＝∠DOM，所以∠MON＝∠DOC＝90°，于是可判断△MON为等腰直角三角形．【详解】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD 为正方形，∴CB ＝CD ，∠BCD ＝90°，∵DM ⊥CP ，BN ⊥CP ，∴∠DMC ＝90°，∠BNC ＝90°，∵∠CDM+∠DCM ＝90°，∠BCN+∠DCM ＝90°，∴∠BCN ＝∠CDM ，在△CDM 和△CBN 中DMC CNB CD CBCDM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CDM ≌△CBN ，∴DM ＝CN ；（2）解：△OMN 为等腰直角三角形．理由如下：如图2，∵四边形ABCD 为正方形，∴OD ＝OC ，∠ODC ＝∠OCB ＝45°，∠DOC ＝90°，∵∠BCN ＝∠CDM ，∴∠BCN ﹣45°＝∠CDM ﹣45°，即∠OCN ＝∠ODM ，在△OCN 和△ODM 中CN DM OCN ODM OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OCN ≌△ODM ，∴ON ＝OM ，∠CON ＝∠DOM ，∴∠MON ＝∠DOC ＝90°， ∴MON 为等腰直角三角形．【点睛】本题考查正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．也考查全等三角形的判定与性质．25．（1）四边形ABGE 的形状是正方形；（2）①详见解析；②DF=3CF【分析】（1）由四边形ABCD 是矩形，可得90A ABC ︒∠=∠=，由折叠得：90BGE A ︒∠=∠=，根据三个内角是直角可判断四边形ABGE 为矩形，由折叠得：AB=BG ，根据一组邻边相等的矩形是正方形可判断矩形ABGE 为正方形；（2）①如图，连结EF ，在矩形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，∠A=∠C=∠D=90°，由△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，可得BG=AB ，EG=AE=ED ，∠A=∠BGE=90°，故∠EGF=∠D=90°，由HL 可判断Rt △EGF ≌Rt △EDF ，得到DF=FG ，问题得证；②设AB=DC=a ，则3，另设CF=x ，则DF=DC-CF=a-x ，由①得BF=AB+DF =2a-x ，在Rt △BCF 中，由勾股定理得：BF 2=BC 2+CF 2，代入数据运算可得：x=14a ，即CF=14a ，DF=a-x=34a ，进而可得DF 与CF 关系． 【详解】 （1）四边形ABGE 的形状是正方形．理由是：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ABC ︒∠=∠=，由折叠得：90BGE A ︒∠=∠=，∴四边形ABGE 为矩形，由折叠得：AB=BG ，∴矩形ABGE 为正方形；故答案为：正方形．（2）①如图，连结EF ，。
第十八章平行四边形【思维导图】【平行四边形】(1)平行四边形的定义与表示定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
表示：平行四边形用“□”表示。
2)符号“□”必须与表示顶点的字母同时使用，不能单独使用。
的顺序依次排列。
点拨：1)在用“□”表示平行四边形时， 应把表示顶点的字母按顺时针或逆时针边形。
平行四边形ABCD 记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ∥BC ，那么四边形ABCD 是平行四(2)平行四边形的基本元素如图，在□ABCD 中，邻边：AD 和AB ，AD 和DC ，DC 和BC ，BC 和AB对边：AB 和DC ，AD 和BC邻角：∠BAD 和∠ADC ，∠ADC 和∠DCB ，∠DCB 和∠ABC ，∠ABC 和∠BAD 对角：∠BAD 和∠BCD ，∠ABC 和∠ADC对角线：AC 和BD【平行四边形的性质】性质1：平行四边形的对边相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AD=BC性质2：平行四边形的对角相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C ，∠B=∠D下面证明性质1和2证明：如图2，连接AC。
∵AD∥BC，AB∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4.又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠BAD=∠BCD性质3：平行四边形的对角线互相平分几何语言：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=0C=1/2AC，OB=OD=1/2BD【典例】(中考)在□ABCD中，下列结论一定正确的是(）A.AC⊥BDB.∠A+∠B=1800C.AB=ADD.∠A≠∠C解析：平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，所以选项A错误；@简单初中生平行四边形的邻角互补，所以选项B正确；平行四边形的对边相等但邻边不一定相等，所以选项C错误；平行四边形的对角相等，所以∠A=∠C，所以选项D错误。
平行四边形知识点归纳和题型归类平行四边形知识点归纳和题型归类要点梳理】要点一、平行四边形1.定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.性质：（1）对边相等；（2）同位角相等；（3）相邻角互补；（4）是中心对称图形。
3.面积：S = 底 ×高。
4.判定：边：（1）有两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）对边相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
角：（4）有一组对边平行，且同位角相等的四边形是平行四边形。
对角线：有一组对边相等，且互相平分的四边形是平行四边形。
要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等。
要点二、矩形1.定义：有四个角都是直角的平行四边形叫做矩形。
2.性质：（1）对边相等；（2）相邻角互补；（3）对角线相等；（4）是中心对称图形，也是轴对称图形。
3.面积：S = 长 ×宽。
4.判定：有四个角都是直角的平行四边形是矩形。
要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。
要点三、菱形1.定义：有四个边都相等的平行四边形叫做菱形。
2.性质：（1）对边相等；（2）相邻角互补；（3）对角线相等；（4）是中心对称图形，也是轴对称图形。
3.面积：S = 对角线之积的一半。
4.判定：有一组对边平行且相等的四边形是菱形。
要点四、正方形1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的平行四边形叫做正方形。
2.性质：（1）对边相等；（2）相邻角互补；（3）对角线相等；（4）是中心对称图形，也是轴对称图形；（5）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
3.面积：S = 边长的平方，也可以用对角线的平方的一半求解。
4.判定：（1）有一组对边平行且相等的菱形是正方形；（2）有四个角都是直角的矩形是正方形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（4）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。
