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全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何1、多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面，会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
高中数学竞赛大纲【高中数学竞赛应该掌握的内容和知识点(共17大点，101小点，244小小点)】1.**(set)5.1.3不动点法，迭代法1.1**的阶，**之间的关系。
5.1.4数学归纳法，递归法1.2**的分划1.3子集，子集族1.4容斥原理6(不等式(inequality)6.1解不等式2.函数(function)6.2重要不等式2.1函数的定义域、值域6.2.1均值不等式2.2函数的性质6.2.2柯西不等式2.2.1单调性6.2.3排序不等式2.2.2奇偶性6.2.4契比雪夫不等式2.2.3周期性6.2.5赫尔德不等式2.2.4凹凸性6.2.6权方和不等式2.2.5连续性6.2.7幕平均不等式2.2.6可导性6.2.8琴生不等式2.2.7有界性6.2.9Schur不等式2.2.8收敛性6.2.10嵌入不等式2.3初等函数6.2.11卡尔松不等式2.3.1一次、二次、三次函数6.3证明不等式的常用方法2.3.2幕函数6.3.1利用重要不等式2.3.3双勾函数6.3.2调整法2.3.4指数、对数函数6.3.3归纳法2.4函数的迭代6.3.4切线法2.5函数方程6.3.5展开法6.3.6局部法3.三角函数(trigonometricfunction)6.3.7反证法3.1三角函数图像与性质6.3.8其他3.2三角函数运算3.3三角恒等式、不等式、最值7.解析几何(analyticgeometry)3.4正弦、余弦定理7.1直线与二次曲线方程3.5反三角函数7.2直线与二次曲线性质3.64.向量(vector)4.1向量的运算8(立体几何(solidgeometry)4.2向量的坐标表示，数量积8.1空间中元素位置关系8.2空间中距离和角的计算5.数列(sequence)8.3棱柱，棱锥，四面体性质5.1数列通项公式求解8.4体积，表面积5.1.1换元法8.5球，球面5.1.2特征根法8.6三面角8.7空间向量10.5偏导数9.排歹U,组合，概率(permutations,11.复数(complexnumbers)combinatorics,probability)11.1复数概念及基本运算9.1排列组合的基本公式11.2复数的几个形式9.1.1加法、乘法原理11.2.1复数的代数形式9.1.2无重复的排列组合11.2.2复数的三角形式9.1.3可重复的排列组合11.2.3复数的指数形式9.1.4圆排列、项链排列11.2.4复数的几何形式9.1.5一类不定方程非负整数解的个数11.3复数的几何意义，复平面9.1.6错位排列数11.4复数与三角，复数与方程9.1.7Fibonacci数11.5单位根及应用9.1.8Catalan数9.2计数方法12.平面几何(planegeometry)9.2.1映射法12.1几个重要的平面几何定理9.2.2容斥原理12.1.1梅勒劳斯定理9.2.3递推法12.1.2塞瓦定理9.2.4折线法12.1.3托勒密定理9.2.5算两次法12.1.4西姆松定理9.2.6母函数法12.1.5斯特瓦尔特定理9.3证明组合恒等式的方法12.1.6张角定理9.3.1Abel法12.1.7欧拉定理9.3.2算子方法12.1.8九点圆定理9.3.3组合模型法12.2圆幕，根轴9.3.4归纳与递推方法12.3三角形的巧合点9.3.5母函数法12.3.1内心9.3.6组合互逆公式12.3.2外心12.3.3重心9.4二项式定理12.3.6费马点9.5.2互逆事件概率12.4调和点列9.5.3条件概率9.5.4全概率公式，贝叶斯公式12.5圆内接调和四边形9.5.5现代概率，几何概率12.6几何变换12.6.1平移变换9.6数学期望12.6.2旋转变换10.极限，导数（lim让s,derivatives）12.6.3位似变换10.1极限定义，求法12.6.4对称变换（反射变换）10.2导数定义，求法12.6.5反演变换10.3导数的应用12.6.6配极变换10.3.1判断单调性12.7几何不等式12.8平面几何常用方法10.3.2求最值12.8.1纯几何方法10.3.3判断凹凸性10.4洛比达法则12.8.2三角法12.8.3解析法15.13.1.3无穷递降法12.8.4复数法15.13.1.4反证法12.8.5向量法15.13.1.5不等式估计法12.8.6面积法15.13.1.6配方法，因式分解法15.13.2重要不定方程13.多项式（polynomials）15.13.2.1一次不定方程（组）15.13.2.2勾股方程13.1多项式恒等定理13.2多项式的根及应用15.13.2.3Pell方程13.2.1韦达定理15.14p进制进位制，p进制表示16.组合问题（combinatorics）13.2.2虚根成对原理13.3多项式的整除，互质16.1组合计数问题（参见9.1,9.2）13.4拉格朗日插值多项式16.2组合恒等式，不等式（参见9.3）13.7单位根16.5操作变换，对策问题13.8不可约多项式，最简多项式16.6组合几何16.6.1凸包14.数学归纳法(mathematicalinduction)16.6.2覆盖14.1第一数学归纳法14.2第二数学归纳法16.6.3分割16.6.4整点14.3螺旋归纳法16.7图论14.4跳跃归纳法14.5反向归纳法16.7.1图的定义，性质14.6最小数原理16.7.2简单图，连通图16.7.3完全图，树16.7.4二部图，k部图7.初等数论(elementarynumbertheory)15.1整数，整除16.7.5托兰定理15.2同余16.7.6染色与拉姆塞问题16.7.7欧拉与哈密顿问题15.3素数,合数15.4算术基本定理16.7.8有向图，竞赛图15.5费马小定理，欧拉定理16.8组合方法16.8.1映射法，对应法，枚举法15.6拉格朗日定理，威尔逊定理16.8.2算两次法15.7裴蜀定理15.8平方数16.8.3递推法15.9中国剩余定理16.8.4抽屉原理16.8.5极端原理15.10高斯函数16.8.6容斥原理15.11指数，阶，原根15.12二次剩余理论16.8.7平均值原理15.12.1二次剩余定理及性质16.8.8介值原理15.12.2Legendre符号16.8.9母函数法15.12.3Gauss二次互反律16.8.13反证法15.13.1.1同余法15.13.1.2构造法16.8.14构造法16.8.15数学归纳法17.1微积分，泰勒展开17.2矩阵，行列式16.8.16调整法17.3空间解析几何16.8.17最小数原理16.8.18组合计数法17.4连分数17.5级数，p级数，调和级数，幕级数17.其他(others)(了解即可，不作要求)17.6其他1、平面几何基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛〔一试〕所涉及的知识范围不超出教育部2000年【全日制普通高级中学数学教学大纲】中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试〔二试〕与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛根底知识第一章 集合与简易逻辑一、根底知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否那么称x 不属于A ，记作A x ∉。
全国高中数学联赛竞赛大纲（修订稿）在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入了一个新的阶段。
为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。
本大纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和基础上制定的。
《教学大纲》在教学日的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。
具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养......，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。
同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。
《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。
在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。
而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。
因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。
一试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
二试1、平面几何基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
高中数学竞赛公式定理大全包括但不限于：
1. 集合运算的分配律与反演律（摩根律）、容斥原理、有限等集的性质。
2. 直线与方程：克莱姆法则、二维对称点坐标公式、二维投影点坐标公式、直线的参数方程、交轨法、定比分点公式。
3. 圆锥曲线：阿波罗尼斯圆、圆的直径式方程、曲线系、圆幂定理、调和点列、椭圆和双曲线的第二定义、各种切割线方程、特殊类型的双曲线、抛物线的各种几何性质、阿基米德三角形、齐次化方法、双根式、仿射变换、隐函数、蒙日圆、等角定理、二次锥面形成圆锥曲线的过程、极点与极线。
4. 立体几何：祖暅原理、用行列式求平面的法向量、三维对称点坐标公式、三维投影点坐标公式、直角四面体勾股定理、四面体余弦定理、三射线定理、三余弦定理、三面角余弦定理、三正弦定理、平行六面体的性质、立体几何中的正余弦定理。
5. 导数与极限：夹逼定理、洛必达法则、极限运算法则、常用极限、对数求导法则、隐函数求导、多个极值判定法、抽象函数的构造、对数平均不等式、指数平均不等式。
6. 数列：等差数列中，S奇=na中，例如S13=13a7；等差数列中，S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差；等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立；等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q；数列的终
极利器，特征根方程等。
7. 其他公式和定理：三角形垂心爆强定理；维维安尼定理；爆强思路；常用结论；爆强公式；函数y=(lnx)/x在(0，e)上单调递增，在(e，+无穷)上单调递减等。
这些公式和定理是高中数学竞赛的重要知识点，需要学生熟练掌握和应用。
同时，学生还需要具备灵活运用知识的能力和创造性思维，才能取得优异的成绩。
1、数学竞赛考纲二试1、平面几何根本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、、、。
几个重要的极值：到三角形三极点距离之和最小的点--。
到三角形三极点距离的平方和最小的点 --。
三角形内到三边距离之积最大的点-- 重心。
几何不等式。
简单的。
认识下述定理：在周长必然的n 边形的会集中，正n 边形的面积最大。
在周长必然的的会集中，圆的面积最大。
在面积必然的n 边形的会集中，正n 边形的周长最小。
在面积必然的简单闭曲线的会集中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
方法、方法。
平面、及应用。
2、代数在一试大纲的基础上其他要求的内容：周期函数与周期，带的函数的图像。
，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
，一阶、二阶递归，法。
函数，求 n 次迭代，简单的函数方程。
n个变元的平均不等式，，及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
一元 n 次方程〔多项式〕根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括，，欧几里得除法，非负最小完好节余类，，，，，格点及其性质。
3、立体几何多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的根本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面张开图。
4、平面剖析几何直线的式，直线的，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的地域。
三角形的。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5、其他。
会集的划分。
覆盖。
西姆松线的存在性及性质()。
及其逆定理。
一、平面几何1.梅涅劳斯定理〔 Menelaus 〕定理〔简称梅氏定理〕是由数学家梅涅劳斯第一证明的。
它指出：若是一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于(AF/FB) ×(BD/DC) ×(CE/EA)=1 。
或：设X、 Y、 Z 分别在△ ABC线上，那么X、Y、Z 共线的是 (AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。
全国高中数学联赛竞赛大纲中国数学会普及工作委员会制定在"普及的基础上不断提高"的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入了一个新的阶段。
为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。
本大纲是在国家教委制定的全日制中学"数学教学大纲"的精神和基础上制定的。
《教学大纲》在教学日的一栏中指出："要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性"。
具体作法是："对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能"，"要重视能力的培养......，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。
同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力"。
《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。
在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。
而"课堂教学为主，课外活动为辅"是必须遵循的原则。
因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻"少而精"的原则，这样才能加强基础，不断提高。
一试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
二试1、平面几何基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
高中数学竞赛大纲应该掌握的内容和知识点1.集合（set）1.1集合的阶，集合之间的关系。
1.2集合的分划1.3子集，子集族1.4容斥原理2.函数（function）2.1函数的定义域、值域2.2函数的性质2.2.1单调性2.2.2奇偶性2.2.3周期性2.2.4凹凸性2.2.5连续性2.2.6可导性2.2.7有界性2.2.8收敛性2.3初等函数2.3.1一次、二次、三次函数2.3.2幂函数2.3.3双勾函数2.3.4指数、对数函数2.4函数的迭代2.5函数方程3.三角函数（trigonometric function）3.1三角函数图像与性质3.2三角函数运算3.3三角恒等式、不等式、最值3.4正弦、余弦定理3.5反三角函数3.6三角方程4.向量（vector）4.1向量的运算4.2向量的坐标表示，数量积5.数列（sequence）5.1数列通项公式求解5.1.1换元法5.1.2特征根法5.1.3不动点法，迭代法5.1.4数学归纳法，递归法6．不等式（inequality）6.1解不等式6.2重要不等式6.2.1均值不等式6.2.2柯西不等式6.2.3排序不等式6.2.4契比雪夫不等式6.2.5赫尔德不等式6.2.6权方和不等式6.2.7幂平均不等式6.2.8琴生不等式6.2.9 Schur不等式6.2.10嵌入不等式6.2.11卡尔松不等式6.3证明不等式的常用方法6.3.1利用重要不等式6.3.2调整法6.3.3归纳法6.3.4切线法6.3.5展开法6.3.6局部法6.3.7反证法6.3.8其他7.解析几何（analytic geometry）7.1直线与二次曲线方程7.2直线与二次曲线性质7.3参数方程7.4极坐标系8．立体几何（solid geometry）8.1空间中元素位置关系8.2空间中距离和角的计算8.3棱柱，棱锥，四面体性质8.4体积，表面积8.5球，球面8.6三面角8.7空间向量9.排列，组合，概率（permutations, combinatorics, probability）9.1排列组合的基本公式9.1.1加法、乘法原理9.1.2无重复的排列组合9.1.3可重复的排列组合9.1.4圆排列、项链排列9.1.5一类不定方程非负整数解的个数9.1.6错位排列数9.1.7 Fibonacci数9.1.8 Catalan数9.2计数方法9.2.1映射法9.2.2容斥原理9.2.3递推法9.2.4折线法9.2.5算两次法9.2.6母函数法9.3证明组合恒等式的方法9.3.1 Abel法9.3.2算子方法9.3.3组合模型法9.3.4归纳与递推方法9.3.5母函数法9.3.6组合互逆公式9.4二项式定理9.5概率9.5.1独立事件概率9.5.2互逆事件概率9.5.3条件概率9.5.4全概率公式，贝叶斯公式9.5.5现代概率，几何概率9.6数学期望10.极限，导数（limits, derivatives）10.1极限定义，求法10.2导数定义，求法10.3导数的应用10.3.1判断单调性10.3.2求最值10.3.3判断凹凸性10.4洛比达法则10.5偏导数11.复数（complex numbers）11.1复数概念及基本运算11.2复数的几个形式11.2.1复数的代数形式11.2.2复数的三角形式11.2.3复数的指数形式11.2.4复数的几何形式11.3复数的几何意义，复平面11.4复数与三角，复数与方程11.5单位根及应用12.平面几何（plane geometry）12.1几个重要的平面几何定理12.1.1梅勒劳斯定理12.1.2塞瓦定理12.1.3托勒密定理12.1.4西姆松定理12.1.5斯特瓦尔特定理12.1.6张角定理12.1.7欧拉定理12.1.8九点圆定理12.2圆幂，根轴12.3三角形的巧合点12.3.1内心12.3.2外心12.3.3重心12.3.4垂心12.3.5旁心12.3.6费马点12.4调和点列12.5圆内接调和四边形12.6几何变换12.6.1平移变换12.6.2旋转变换12.6.3位似变换12.6.4对称变换（反射变换）12.6.5反演变换12.6.6配极变换12.7几何不等式12.8平面几何常用方法12.8.1纯几何方法12.8.2三角法12.8.3解析法12.8.4复数法12.8.5向量法12.8.6面积法13.多项式（polynomials）13.1多项式恒等定理13.2多项式的根及应用13.2.1韦达定理13.2.2虚根成对原理13.3多项式的整除，互质13.4拉格朗日插值多项式13.5差分多项式13.6牛顿公式13.7单位根13.8不可约多项式，最简多项式14.数学归纳法（mathematical induction）14.1第一数学归纳法14.2第二数学归纳法14.3螺旋归纳法14.4跳跃归纳法14.5反向归纳法14.6最小数原理7.初等数论（elementary number theory）15.1整数，整除15.2同余15.3素数，合数15.4算术基本定理15.5费马小定理，欧拉定理15.6拉格朗日定理，威尔逊定理15.7裴蜀定理15.8平方数15.9中国剩余定理15.10高斯函数15.11指数，阶，原根15.12二次剩余理论15.12.1二次剩余定理及性质15.12.2 Legendre符号15.12.3 Gauss二次互反律15.13不定方程15.13.1不定方程解法15.13.1.1同余法15.13.1.2构造法15.13.1.3无穷递降法15.13.1.4反证法15.13.1.5不等式估计法15.13.1.6配方法，因式分解法15.13.2重要不定方程15.13.2.1一次不定方程（组）15.13.2.2勾股方程15.13.2.3 Pell方程15.14 p进制进位制，p进制表示16.组合问题（combinatorics）16.1组合计数问题（参见9.1,9.2）16.2组合恒等式，不等式（参见9.3）16.3存在性问题16.4组合极值问题16.5操作变换，对策问题16.6组合几何16.6.1凸包16.6.2覆盖16.6.3分割16.6.4整点16.7图论16.7.1图的定义，性质16.7.2简单图，连通图16.7.3完全图，树16.7.4二部图，k部图16.7.5托兰定理16.7.6染色与拉姆塞问题16.7.7欧拉与哈密顿问题16.7.8有向图，竞赛图16.8组合方法16.8.1映射法，对应法，枚举法16.8.2算两次法16.8.3递推法16.8.4抽屉原理16.8.5极端原理16.8.6容斥原理16.8.7平均值原理16.8.8介值原理16.8.9母函数法16.8.10染色方法16.8.11赋值法16.8.12不变量法16.8.13反证法16.8.14构造法16.8.15数学归纳法16.8.16调整法16.8.17最小数原理16.8.18组合计数法17.其他（others）（了解即可，不作要求）17.1微积分，泰勒展开17.2矩阵，行列式17.3空间解析几何17.4连分数17.5级数，p级数，调和级数，幂级数17.6其他1、平面几何基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
全国高中数学联赛竞赛大纲（修订稿）及定理内容命题要求：根据现行“高中数学竞赛大纲”的要求，“全国高中数学联赛（一试）”所涉及的知识范围不超过教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高．主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合运用和灵活运用的能力。
试卷包括6道选择题，6道填空题和3道解答题，全卷满分为150分。
“全国高中数学联赛加试（二试）”与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲以外的内容，试卷包括3道解答题，其中一道是平面几何题，全卷满分为150分。
参赛对象：在校高中学生，坚持以自愿原则报名参加竞赛。
参加“全国高中数学联赛”的学生可以自愿选择是否参加“联赛加试”。
但是有意参加全国中学数学冬令营的学生必须两次考试都参加，并把两次考试的总分作为选拔冬令营营员的标准。
《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。
在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。
而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。
因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。
一试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
二试1、平面几何基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
1、数学竞赛考纲二试1、平面几何基本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、、、。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的。
了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长一定的的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
方法、方法。
平面、及应用。
2、代数在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带的函数的图像。
，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
，一阶、二阶递归，法。
函数，求n次迭代，简单的函数方程。
n个变元的平均不等式，，及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括，，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，，，，，格点及其性质。
3、立体几何多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。
4、平面解析几何直线的式，直线的，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5、其它。
集合的划分。
覆盖。
西姆松线的存在性及性质()。
及其逆定理。
一、平面几何1.梅涅劳斯定理（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容
一、平面几何
1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理：
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数
1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何
1、多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面，会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何
1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它
抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
覆盖。
数学竞赛中涉及的重要定理
1、第二数学归纳法：
有一个与自然数n有关的命题，如果：
（1）当n＝1时，命题成立；
（2）假设当n≤k时命题成立，由此可推得当n＝k+1时，命题也成立。
那么，命题对于一切自然数n来说都成立。
2、棣美弗定理：
设复数z=r(cosθ+isinθ)，其n 次方z^n = r^n (cos(nθ)+isin(nθ))，其中n 为正整数。
3、无穷递降法：
证明方程无解的一种方法。
其步骤为：
假设方程有解，并设X 为最小的解。
从X 推出一个更小的解Y 。
从而与X 的最小性相矛盾。
所以，方程无解。
4、 同余：
两个整数a ，b ，若它们除以整数m 所得的余数相等，则称a ，b 对于模m 同余，记作 a ≡ b (mod m) ，
读作a 同余于b 模m ，或读作a 与b 关于模m 同余。
比如 26 ≡ 14 (mod 12)
【定义】设ｍ是大于1的正整数，a,b 是整数,如果m|(a-b)，则称a 与b 关于模m 同余，记作a≡b(mod m),读作a 同余于b 模m 如下事实：
(1)若a≡0(mod m)，则m|a ； (2)a≡b(mod m)等价于a 与b 分别用m 去除，余数相同.
5、欧几里得除法：
即辗转相除法。
详见高中数学课标人教B 版必修三
6、完全剩余类：
从模n 的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n 个数组成的集合，叫做模n 的一个完全剩余系。
例如，一个数除以4数只能是0，1，2，3，{0，1，2，3}和{4，5，-2，11}是模4的完全剩余系。
可以看出0和4，1和5，2和-2，3和11关于同余，这4组数分别属于4个剩余类。
7、 高斯函数：
f(x)=ae-(x-b)^2/c^2 其中a 、b 与c 为实数常数 ，且a > 0.
8、费马小定理：
假如p 是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡１（mod p ） 假如p 是质数，且a,p 互质，那么 a 的(p-1)次方除以p 的余数恒等。
9、欧拉函数：
φ函数的值：通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)，其中p1, p 2…pn 为x 的所有质因数，x 是不为0的整φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。
若n 是质数p 的k 次幂，φ(n)=p^k -p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p 的倍数外，其他数都跟n 互质。
欧拉函数是积性函数——若m,n 互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
特殊性质：当n 为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明于上述类似。
10、孙子定理：
此定理的一般形式是设m = m1 ，… ，mk 为两两互素的正整数，m ＝m1，…mk ，m ＝miMi ，i ＝1，2，… ，k 。
则同组x≡b1(modm1)，…，x≡bk(modmk)的解为x≡M'1M1b1＋…＋M'kMkbk （modm ）。
式中M'iMi≡1 （modmi ），i ＝1，2，…，
11、裴蜀定理：
对任何整数a 、b 和它们的最大公约
数d ，关于未知数x 和y 的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：若a,b 是整数,且(a,b)=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by 都一定是倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d 成立。
它的一个重要推论是：a,b 互质的充要条件是存在整数x,y 使ax+by=1.
11、梅涅劳斯定理：
如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、
E 、
F 且D 、E 、F 三点共线，则
FB AF EA CE DC BD ••=1 12、梅涅劳斯定理的逆定理：
如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上
有点D 、E 、F ，且满足FB AF EA CE DC BD ••=1，则D 、E 、F 三点共线。
13、塞瓦定理：
设O 是△ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、
M ，则1=••PA CP NC BN MB AM
14、塞瓦定理的逆定理：
设M 、N 、P 分别在△ABC 的
边AB 、BC 、CA 上，且满足1=••PA CP NC BN MB AM ，则AN 、BP 、CM 相交于一点。
15、广勾股定理的两个推论：
推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。
推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c
则：m a =2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =2
222221c b a -+
16、三角形内、外角平分线定理：
内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2，则有AC AB DC
BD = 外角平分线定理：如图，AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D ，
则有
AC AB DC BD = 17、托勒密定理：
四边形ABCD 是圆内接四边形，则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD
18、三角形位似心定理：
如图，若△ABC 与△DEF 位似，则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P
19、正弦定理、
在△ABC 中有R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径）
余弦定理：
a 、
b 、
c 为△ABC 的边，则有：
a 2=
b 2+
c 2-2bc ·cosA; b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB; c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC;
20、西姆松定理：
点P 是△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，此直线称为西线。
21、欧拉定理：
△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，内切圆圆心为I ，半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr.
22、巴斯加线定理：
圆内接六边形ABCDEF （不论其六顶点排列次序如何），其三组对边AB 与DE 、BC 与EF 、CD 与FA 的交点P 、Q 、R 共线。
