浙江省杭州市2019年中考数学一轮复习第三章函数及其图象第五节二次函数的图象与性质同步测试含答案

中考数学第一轮总复习典例精讲考点聚集查漏补缺拓展提升第三单元 函数及其图象专题3.4 二次函数的图象与性质知识点二次函数的图象及性质01抛物线与a ,b ,c 的关系02二次函数的图象的变换03二次函数与方程(不等式) 04拓展训练05【例1】已知二次函数y=2(x-3)2+1.下列对其图象的说法：①开口向下； ②当x＜3时,y随x的增大而减小；③顶点坐标为(3,-1)； ④对称轴为直线x=-3；则其中说法正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个　D.4个A解析式开口方向对称轴顶点坐标一般式顶点式交点式(h,k)x=ha＞0向上a＜0向下无y=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)y=ax2+bx+c1.抛物线y=(x+3)(x-1)的对称轴是直线_______.2.二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是( ) A.直线x=-3 B.直线x=-2 C.直线x=-1 D.直线x=03.对于二次函数y=ax 2-2ax-3a+3的性质,下列说法中错误的是( ) A.抛物线的对称轴为直线x=1 B.抛物线一定经过两定点(-1,3)和(3,3) C.当a＜0时,抛物线与x轴一定有两个不同的交点 D.当a＞0时,抛物线与x轴一定有两个不同的交点x=-1x …-3-2-101…y …-3-2-3-6-11…B D4.在同一坐标系中,一次函数y=-mx+n 2与二次函数y=x 2+m的图象可能是( )Dy OxAy Ox B y OxC y OxD 5.已知a≠0,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax 2的图象有可能是( )y OxA-11y O xB-11yOx C-11y Ox D-11C6.已知二次函数y=ax 2-2ax-3a(a≠0),关于此函数的图象及性质,下列结论中不一定成立的是( ) A.该图象的顶点坐标为(1,-4a)； B.该图象与x轴的交点为(-1,0),(3,0)； C.若该图象经过点(-2,5),则一定经过点(4,5)； D.当x＞1时,y随x的增大而增大.7.已知二次函数y=ax 2+bx+c中,y与x的部分对应值如下表：根据表中信息,下列结论错误的是( ) A.其图象开口向下； B.其图象的对称轴为直线x=2 C.方程ax 2+bx+c=0有一个根大于5； D.当x＜1时,y随x的增大而增大D知识点一强化训练二次函数图象与性质C x -1014y -7/3131用描点法画出函数的图象知识点二次函数的图象及性质01抛物线与a ,b ,c 的关系02二次函数的图象的变换03二次函数与方程(不等式) 04拓展训练05yOx1y=ax 2+bx+c【例2】已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,则以下结论同时成立的是( ) A. B. C. D.abc＞0b 2-4ac＜0abc＜02a+b＞0abc＞0a+b+c＜0abc＜0b 2-4ac＞0判断常见式子的符号判断方法a a的符号决定抛物线的开口方向及大小ba,b的符号(左同右异)决定抛物线对称轴的位置c c决定抛物线与y轴交点的位置b 2-4ac b 2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数a+b+c 当x=1时,y=a+b+c 4a+2b+c 当x=2时,y=4a+2b+cC1.已知二次函数y=ax 2+bx+c的图象如图,对称轴是直线x=1.下列结论:①abc＞0；②2a+b=0；③b 2-4ac＜0；④4a+2b+c＞0其中正确的是( ) A.①③ B.只有② C.②④ D.③④2.如图是抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的一部分,下列结论：①ab＜0,②b 2-4ac＞0,③9a-3b+c＜0,④b-4a=0,⑤方程ax 2+bx=0的两根为x 1=0,x 2=-4.其中正确的结论有( ) A.①③④ B.②④⑤ C.①②⑤ D.②③⑤Cx 1Oyx =1B xOy-23.如图,已知抛物线y=ax 2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=1,下列结论：①abc＜0,② ,③ac+b+1=0,④2+c是关于x的一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根其中正确的有______.4.如图是抛物线y=ax 2+bx+c的一部分,下列结论:①b-2a=0,②4a-2b+c＜0,③10a-b+c=0,④(-3,y 1),(1.5,y 2)是抛物线上两点,则y 1＞y 2,⑤8a+7b+2c ＞0.其中正确的是________. ①④y O x1C A B ④点B的坐标为(2+c,0)∴④正确.∴③错误；③把A(-c,0)代入y=ax 2+bx+c得ac 2-bc+c=0∴ac-b+1=0,xy O2x =-1①③④③当x=-4时,y=16a-4b+c=0∵-b/2a=-1,∴10a-b+c=0,∴-3b=-6a,∴b=2a,⑤∵b=2a,4a+2b+c=0,∴8a+7b+2c=6a＜0∴c=-8a5.二次函数y=ax2+bx+c图象如图,下列结论错误的是( )A.4ac＜b2B.abc＜0C.b+c＞3aD.a＜b6.如图,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0),则下列结论①abc＞0；②a-b+c＝0；③2a+c＜0；④a+b＜0.其中正确的结论是( )A.①③B.②③C.②④D.②③④DyO x-1-2C.∵-b/2a＞-1, ∴-b＜-2a∵a-b+c＞0,∴a-2b+b+c＞0∴a-4a+b+c＞0,∴b+c＞3aD.∵a-b+c＞0 ∴a-b＞-c＞0∴a＞bD③∵-b/2a＜0.5,yO x-11∴a+a+c＜0即2a+c＜0∴-b＞a∵a-b+c＝0知识点二强化训练抛物线与a,b,c的关系知识点二次函数的图象及性质01抛物线与a ,b ,c 的关系02二次函数的图象的变换03二次函数与方程(不等式) 04拓展训练05平移方向平移前的解析式平移后的解析式简记向左平移m个单位y=a(x-h)2+k向右平移m个单位向上平移m个单位向下平移m个单位y=a(x-h+m)2+k y=a(x-h-m)2+ky=a(x-h)2+k+m y=a(x-h)2+k-m左加右减上加下减平移a 不变.1.上下平移, 括号外__________； 2.左右平移, 括号内__________.上加下减左加右减一般式顶式点顶点坐标变换前y=x 2+2x-3关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称关于顶点对称关于y=-2对称y=(x+1)2-4(-1,-4)y=-(x+1)2+4 y= (x-1)2-4 y=-(x-1)2+4 y=-x 2+2x+3y= x 2-2x-3y=-x 2-2x+3y=-x 2-2x-5y=-(x+1)2-4 y=-x 2-2x-1y=-(x+1)2(1,-4) (1,4) (-1,-4) (-1,0)(-1,4) 一般式变换前后的对应点变换前y=x 2+2x-3关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称任取一点(x,y)y=-x 2+2x+3y= x 2-2x-3y=-x 2-2x+3对称点(-x,y) 对称点(-x,-y) 对称点(x,-y) 代入y=x 2+2x-3 代入y=x 2+2x-3 代入y=x 2+2x-3知识点三强化训练二次函数的图象的变换1.将抛物线y=(x-1)2+2绕关于直线 x=-1 对称的新抛物线所对应的函数解析式是____________.2.把抛物线y=-x 2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是_____________________.3.如图,抛物线y=x 2-4x(0≤x≤4)记为l 1,l 1与x轴分别交于点O,A 1；将l 1绕点A1旋转180º得到l 2交于点A 2；将l 2绕点A 2旋转180º得到l 3,l 3交x轴于点A 3；…,如此变换下去,若点P(2021,m)在这种连续变换的图象上,则m=____.y=(x+3)2+2y=-1y=-(x-1)2-4y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 3知识点二次函数的图象及性质01抛物线与a ,b ,c 的关系02二次函数的图象的变换03二次函数与方程(不等式) 04拓展训练05【例4】已知二次函数y=x 2-3x+m的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x 2-3x+m=0的两实数根是( )A.x 1=1,x 2=-1B.x 1=1,x 2=2C.x 1=1,x 2=0D.x 1=1,x 2=3B1.已知二次函数y=x 2-x+ m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是_____.2.已知抛物线y=x 2-4x+k的顶点在x轴下方,则k的取值范围是______.3.函数y=ax 2+2ax+m(a＜0)的图象过点(2,0),则使函数值y＜0成立的x的取值范围是____________ .4.二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(x 1,0)与(x 2,0)(x 1＜x 2),方程ax 2+bx+c-a=0的两根为m、n(m＜n),则下列判断正确的是( ) A.b 2-4ac≥0 B.x 1+x 2＞m+n C.m＜n＜x 1＜x 2 D.m＜x 1＜x 2＜n5.已知m＞0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x 1,x 2(x 1＜x 2),则下列结论正确的是( )x ＜-4或x ＞2m≤5k ＜4D A知识点二次函数的图象及性质01抛物线与a ,b ,c 的关系02二次函数的图象的变换03二次函数与方程(不等式) 04拓展训练051.若二次函数y=ax 2+bx+c图象上部分点的坐标如下表,则该图象的顶点坐标为( ) A.(-2,-2) B.(-3,-3) C.(-1,-3) D.(0,-6)2.已知二次函数y=ax 2-4ax+m(a,m为常数,且a＞0)的图象与直线y=3的一个交点为(-2,3),则关于x的一元二次方程ax 2-4ax+m-3=0的两个实数根是()A.x 1=-2,x 2=6B.x 1=-1,x 2=3C.x 1=-2,x 2=4D.x 1=-1,x 2=63.已知二次函数y=ax 2+bx+c的图象开口向下,并经过(2,-3),(-2,0)两点,那么该函数图象的对称轴( )A.有可能为y轴B.有可能在y轴的右边且在直线x=2的左边x …-3-2-101…y …-3-2-3-6-11…A A提升能力拓展训练二次函数C4.已知在二次函数y=ax 2-2x-3a的图象有三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(0,-3),其中x 1＜-1,0＜x 2＜3,则y 2-y 1的值为( )A.正数B.负数C.0D.非负数5.关于抛物线y=x 2-(a+1)x+a-2,下列说法错误的是( ) A.开口向上 B.不论a为何值,都过定点(1,2)C.当a=2时,经过坐标原点OD.当a＞0时,对称轴在y轴的右侧6.四位同学在研究函数y=x 2+bx+c(b,c是常数)时,甲发现当x=1时,函数有最小值,乙发现-1是方程x 2+bx+c=0的一个根,丙发现函数的最小值为3,丁发现当x=2时,y=4,已知这四位同学中只有一位发现的结论错误,则该同学是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁B BB7.已知点P(1，m)关于原点对称的点在一次函数y=2x-3的图象上,则点P的坐标是______.8.已知抛物线y=ax 2+bx+c与x轴交于点(-3,0),(1,0),则b:a=_____.9.二次函数y=-(x-h)2+2的图象上有两点A(1,y 1),B(2,y 2),若y 1≤y 2,则h的取值范围为________.10.已知二次函数y=m(x-2m)2+m 2,当x＞m+1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是_________.11.当0≤x≤3时,直线y=a与抛物线y=(x-1)2-3有交点,则a的取值范围是___________.12.已知二次函数y=-x 2+2bx+c,当x＞1时,y的值随x值的增大而减小,则实数b的取值范围是______.(1,5)2:10＜m≤1h≥1.5-3≤x≤1b≤113.若抛物线y=x 2+2x+c与坐标轴只有两个交点,则c的值为______.14.已知直线y=4与二次函数y=x 2-2mx+m 2+3(m是常数)的图象交于M,N两点(点M在点N的左侧),与y轴交于点P.当点P,M,N中恰好有一点是其余两点组成线段的中点时,m的值为_________.15.如图,二次函数y=-x 2+4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),等腰直角△ACD的直角顶点D在x轴上,AD=3.现将△ACD沿x轴的正方向平移,则当点C在函数图象上时,△ACD的平移距离为______.16.如图,抛物线y=ax 2-4x+c经过坐标原点,与x轴交与点A(-4,0).若在抛物线上存在一点P,满足S △AOP =8,则点P的坐标___________________________.0,3或-30或1x y O D B A C 4或617.抛物线y=(x-t)(x-t-2)(t为常数)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),则下列说法不正确的是( ) A.点A,B的坐标分别是(t,0)(t+2,0) B.AB为定值C.当y≥0时,t≤x≤t+2D.y的最小值为-118.已知抛物线y=ax 2-2ax+a-c与y轴的正半轴相交,直线AB∥x轴,且与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,当x=x 1+x 2时,函数值为p,当 时,函数值为q,则p-q的值为( ) A.a C.-a+c D.a-c CA对称轴：∴x 1+x 2=2∴p=4a-4a+a-c=a-c ；q=a-2a+a-c=-c∴p-q=a-c-(-c)=a19.在平面直角坐标系中,把横、纵坐标都是整数的点叫做整点,如图,已知反比例函数 与二次函数 的图象所围成的阴影部分中(不含边界)有5个整点,则k的值可能为( ) A.4 B.3 C.2 D.14C y O x 43(1,3)(1,2)(1,1)(2,3)(2,2)(2,1)(3,2)(3,1)2≤x ＜3×××20.二次函数 的图像与x轴围成的封闭区域内(包括边界),横纵坐标都是整数的点有___个721.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上,把正方形OABC的内部及边上横纵坐标均为整数的点称为好点,已知点P为抛物线y=-(x-m)2+m+2的顶点,若点P在正方形OABC的内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点,则m的取值范围为_____________.yO x44P22.如图,抛物线 ,点F(0,p),直线l:y=-p,已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A、B两点,AA1⊥l于点A1,BB1⊥l于点B1,连接A1F、B1F、A1O、B1O,若A1F=a,B1F=b,则△A1OB1的面积=____(只用a,b表示).yOxlFB1A1BA23.设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0).若该函数图象经过A(-23.1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的两个点,求该二次函数的解析式.当x=1时，y=0，所以不经过点C.y=3x2-2x-1。

第15讲二次函数的图象与性质1．二次函数的概念、图象和性质考试内容考试要求二次函数的概念一般地，形如 (a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．b二次函数的图象与性质a a>0 a<0bc 图象开口方向抛物线开口向_______，并向上无限延伸抛物线开口向_____，并向下无限延伸对称轴直线x＝－b2a直线x＝－b2a顶点坐标⎝⎛－b2a，⎭⎪⎫4ac－b24a⎝⎛－b2a，⎭⎪⎫4ac－b24a最值抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y有最小值，y最小值＝4ac－b24a.抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y最大值＝4ac－b24a.增减性在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y随x的增在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y随x2.二次函数的图象与字母系数的关系3.确定二次函数的解析式考试内容考试要求方法 适用条件及求法c一般式若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设所求二次函数解析式为____________________.顶点式若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值)，可设所求二次函数为____________________.交点式若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，可设所求的二次函数为 ．4.二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系考试内容考试要求二次函数与一元二次方程二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与 轴的交点的 坐标是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．b二次函数与不等式 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x 的所有值就是不等式ax 2＋bx ＋c 0的解集；在x 轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x 的所有值就是不等式ax 2＋bx ＋c 0的解集．5.二次函数图象常见的变换考试内容考试要求平移顶点坐标的变化，按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方法进行．c旋转 抛物线关于原点旋转180°，此时顶点关于原点对称，a 的符号相反． 轴对称抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于x 轴对称，a 的符号相反；抛物b线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号不变．考试内容考试要求基本思想数形结合，从二次函数的图象研究其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值及其图象的平移变化，到利用二次函数图象求解方程与方程组，再到利用图象求解析式和解决实际问题，都体现了数形结合的思想．c1．(2015·台州)设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l 上，则点M的坐标可能是( )A．(1，0) B．(3，0) C．(－3，0) D．(0，－4)2．(2017·金华)对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( )A．对称轴是直线x＝1，最小值是2B．对称轴是直线x＝1，最大值是2C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2D．对称轴是直线x＝－1，最大值是23．(2017·宁波)抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．(2016·舟山)把抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是____________________．5．(2015·甘孜州)若二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位长度后，得到函数y＝2(x＋h)2的图象，则h＝____________________．【问题】如图是y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，且点A(－1，0)，B(3，0)．(1)你能从图象中想到哪些二次函数性质；(2)若点C为(0，－3)，你又能得到哪些结论．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次函数的图象与性质．类型一二次函数的解析式例1(1)已知抛物线的顶点坐标为(－1，－8)，且过点(0，－6)，则该抛物线的表达式为________；(2)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)、B(0，2)、C(1，3)；则二次函数的解析式为________；(3)已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝2.则这条抛物线的解析式为________．【解后感悟】解题关键是选择合适的解析式：当已知抛物线上三点求二次函数的关系式时，一般采用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；当已知抛物线顶点坐标(或对称轴及最大或最小值)求关系式时，一般采用顶点式y＝a(x－h)2＋k；当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的关系式时，一般采用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．1．(1)(2017·杭州模拟)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式是____________________．(2)(2017·长春模拟)已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为____________________．类型二二次函数的图象、性质例2(1)对于抛物线y＝－(x＋1)2＋4，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，4)；④x≥1时，y 随x的增大而减小；⑤当x＝－1时，y有最大值是4；⑥当y≥0时，－3≤x≤1；⑦点A(－2，y1)、B(1，y2)在抛物线上，则y1＞y2.其中正确结论是______________；(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，下列结论：①－2≤x≤1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为4，最小值为0；②使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－3，x2＝1；④一元二次方程ax2＋bx＋c－3＝0的两根为x1＝－2，x2＝0；⑤当二次函数的值大于一次函数y＝－x ＋3的值时，x取值范围是－1＜x＜0.其中正确结论是______________．【解后感悟】解题关键是正确把握解析式的特点、图象的特点、二次函数的性质，注意数形结合．2．(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列说法：①2a＋b＝0；②当－1≤x≤3时，y<0；③若(x1，y1)、(x2，y2)在函数图象上，当x1<x2时，y1<y2；④9a＋3b＋c＝0；⑤4a－2b＋c＞0.其中正确的是____________________．(2)(2015·杭州)设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．①当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k 取0时函数的图象；②根据图象，写出你发现的一条结论；③将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．类型三二次函数的图象变换例3已知抛物线y＝2(x－4)2－1.(1)将该抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为________；(2)将该抛物线关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为________．(3)将该抛物线绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是________．【解后感悟】①平移的规律：左加右减，上加下减；②对称的规律：关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数；③旋转的规律：旋转后的抛物线开口相反，顶点关于旋转点对称．3．(1)(2017·绍兴)矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为(2，1)．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为y ＝x 2，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为( )A ．y ＝x 2＋8x ＋14B ．y ＝x 2－8x ＋14C ．y ＝x 2＋4x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋3(2)(2017·盐城)如图，将函数y ＝12(x －2)2＋1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′、B′.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( )A ．y ＝12(x －2)2－2B ．y ＝12(x －2)2＋7 C ．y ＝12(x －2)2－5 D ．y ＝12(x －2)2＋4类型四 二次函数的综合问题例4 如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，它们的对称轴与x 轴交于点N ，过顶点M 作ME⊥y 轴于点E ，连结BE 交MN 于点F. 已知点A 的坐标为(－1，0)．(1)求该抛物线的解析式及顶点M 的坐标； (2)求△EMF 与△BNF 的面积之比．【解后感悟】抛物线与x 轴的交点问题；二次函数的性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；相似三角形的判定和性质．4．(1)(2016·长春)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4，3)，D是抛物线y＝－x2＋6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为____________________．(2)(2015·湖州)如图，已知抛物线C1∶y＝a1x2＋b1x＋c1和C2∶y＝a2x2＋b2x＋c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一个交点分别为M、N，如果点A与点B，点M与点N 都关于原点O成中心对称，则抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和.类型五二次函数的应用例5(2017·杭州模拟)九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价(元/件) 100 110 120 130 …月销量(件) 200 180 160 140 …已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．(1)请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是________元；②月销量是________件；(直接填写结果)(2)设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？【解后感悟】此题是二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．5．(2017·重庆模拟)我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同)，建立直角坐标系如图1所示(图2是备用图)，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2.(1)求C1和C2的解析式；(2)如果炒菜锅里的水位高度是1dm，求此时水面的直径；(3)如果将一个底面直径为3dm，高度为3dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．【探索研究题】如图，一段抛物线：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13.若P(37，m)在第13段抛物线C13上，则m＝________．【方法与对策】本题是数形规律探究能力．图形类规律探索题，通常先把图形型问题转化为数字型问题，再从数字的特点来寻找规律，解题关键从操作中前面几个点的坐标位置变化，猜想、归纳出一般变化规律．该题型是图形变换和规律的探究题，是中考命题方向．【配方漏括号】用配方法求二次函数y＝512x2－53x＋54图象的顶点坐标及对称轴．参考答案第15讲二次函数的图象与性质【考点概要】1．y＝ax2＋bx＋c上下减小增大增大减小 2.上下小y左右原点 正 负 唯一 两个 没有 > < 3.y ＝ax 2＋bx ＋c y ＝a (x －m )2＋k y ＝a (x －x 1)(x －x 2) 4.x 横 > <【考题体验】1．B 2.B 3.A 4.y ＝(x －2)2＋3 5.2【知识引擎】【解析】(1)对称轴是直线x ＝1等；(2)当x ＝1时，y 的最小值为－4等．【例题精析】例1 (1)y ＝2(x ＋1)2－8；(2)y ＝－x 2＋2x ＋2；(3)y ＝x 2－x －2或y ＝－x 2＋x ＋2 例2 (1)①③④⑤⑥⑦；(2)①③④⑤ 例3 (1)y ＝2x 2＋1；(2)y ＝－2(x ＋4)2＋1；(3)y ＝－2(x －4)2－1 例4 (1)∵点A 在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋c 上，∴－(－1)2＋2·(－1)＋c ＝0，解得：c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.∵y＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的顶点M(1，4)；(2)∵A(－1，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴点B(3，0)．∴EM＝1，BN ＝2.∵EM∥BN，∴△EMF ∽△BNF.∴S △EMF S △BNF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EM NB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14. 例5 (1)①(x－60)；②(－2x ＋400) (2)依题意可得：y ＝(x －60)×(－2x ＋400)＝－2x 2＋520x －24000＝－2(x －130)2＋9800，当x ＝130时，y 有最大值9800.所以售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元．【变式拓展】1．(1)y ＝－x 2＋2x ＋3 (2)y ＝29x 2＋49x －1692．(1)①④⑤ (2)①根据题意可得函数图象为：②图象都经过点(1，0)和点(－1，4)；图象总交x 轴于点(1，0)；k 取0和2时的函数图象关于点(0，2)成中心对称；③平移后的函数y 3的表达式为：y 3＝(x ＋3)2－2，∴当x ＝－3时，函数y 3的最小值为－2.3. (1)A (2)D4. (1)15 (2)y ＝－3x 2＋23x y ＝3x 2＋23x5.(1)由于抛物线C 1、C 2都过点A(－3，0)、B(3，0)，可设它们的解析式为：y ＝a(x －3)(x＋3)；抛物线C 1还经过D(0，－3)，则有：－3＝a(0－3)(0＋3)，解得：a ＝13，即：抛物线C 1：y ＝13x 2－3(－3≤x≤3)；抛物线C 2还经过C(0，1)，则有：1＝a(0－3)(0＋3)，解得：a ＝－19，即：抛物线C 2：y ＝－19x 2＋1(－3≤x≤3)．(2)当炒菜锅里的水位高度为1dm 时，y ＝－2，即13x 2－3＝－2，解得：x ＝±3，∴此时水面的直径为23dm . (3)锅盖能正常盖上，理由如下：当x ＝32时，抛物线C 1：y ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－3＝－94，抛物线C 2：y ＝－19×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋1＝34，而34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＝3，∴锅盖能正常盖上． 【热点题型】【分析与解】C 1：y ＝－x(x －3)(0≤x≤3)C 2：y ＝(x －3)(x －6)(3≤x≤6)C 3：y ＝－(x －6)(x －9)(6≤x≤9)C 4：y ＝(x －9)(x －12)(9≤x≤12)…C 13：y ＝－(x －36)(x －39)(36≤x≤39)，当x ＝37时，y ＝2，所以，m ＝2.【错误警示】y ＝512x 2－53x ＋54＝512(x 2－4x ＋3)＝512[(x －2)2－1]＝512(x －2)2－512，∴该函数图象的顶点坐标是(2，－512)，对称轴是直线x ＝2.。

2019年浙江省中考数学分类汇编专题06：函数及其图象（二次函数）一、单选题（共6题；共12分）1.二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（）A. (1，3)B. （1，-3)C. （-1，3）D. （-1，-3）2.已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2B. 有最大值0，有最小值﹣1C. 有最大值7，有最小值﹣1D. 有最大值7，有最小值﹣23.小飞研究二次函数( 为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线上；②存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点与点在函数图象上，若，，则；④当时，随的增大而增大，则的取值范围为其中错误结论的序号是（）A. ①B. ②C. ③D. ④4.D在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+5）（x-3）经变换后得到抛物线y=（x+3）（x-5），则这个变换可以是（）A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位C. 向左平移8个单位D. 向右平移8个单位5.已知a，b是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b 的大致图象不可能是（）A. B. C. D.6.在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A. M=N-1或M=N+1B. M=N-1或M=N+2C. M=N或M=N+1D. M=N或M=N-1二、作图题（共1题；共15分）7.某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：x（元）… 190 200 210 220 …y(间) … 65 60 55 50 …（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象。

第三章函数第一节函数及其图象【考点1】平面直角坐标系及点的坐标1. 在平面内两条且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系。

2. 建立了平面直角坐标系的平面称为坐标平面。

3.坐标平面内每一个点P都对应着一个坐标x和一个坐标y，我们称一对有序实数P(x，y)，即点P的坐标。

4. 平面直角坐标系中点的特征【考点2】函数的有关概念及其表达式1. 变量：某一变化的过程中可以取不同数值的量叫做变量。

2. 常量：某一变化的过程中保持相同数值的量叫做常量。

3. 函数：在某一变化的过程中有两个量x和y，如果对于x的每一个值，y都有的值与它对应，那么称y是x的函数，其中x是，y是因变量。

4. 函数的表示方法有：、、。

在解决一些与函数有关的问题时，有时可以同时用两种或两种以上的方法来表示函数。

5. 画函数图象的一般步骤：列表、、。

【考点3】函数自变量的取值范围与函数值【中考试题精编】 1. 在函数中3-x =y ，自变量x 的取值范围是 ( )A. x ≠3B. x ＞3C. x ＜3D. x ≥32. 王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料，如图是王芳离家的距离与时间的函数关系图象，若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（ ）A. B. C. D.3. 函数1-x 2=y 中，自变量的取值范围是 。

4. 在函数x x y +-=31中，自变量x 的取值范围是 .5. 根据图中的程序，当输入x=2时，输出结果是 。

第二节 一次函数【考点1】一次函数的概念如果y=kx+b (k,b 为常数，且 )，那么y 叫做x 的一次函数。

当b=0时，也就是y=kx(k ≠0)，这时称y 是x 的正比例函数。

【考点2】一次函数的图象和性质 的增大而减小【考点3】一次函数与一次方程和一次不等式的关系一次函数y=kx+b (k,b 为常数，k ≠0) （1）当y=0时，一元一次方程kx+b=0(2) 当y ＞0或y ＜0时，一元一次不等式kx+b ＞0或kx+b ＜0【提示】当一次函数中的一个变量的值确定时，可用一元一次方程确定另一个变量的值；当 已知一次函数中的一个变量取值的范围时，可用一元一次不等式（组）确定另一个变量的取值。