第五章平面图形几何性质(讲稿)

第五章平面图形的几何性质
材料力学的研究对象为杆件，杆件的横截面是具有一定几何形状的平面图形。

杆件的承载能力与其横截面图形的一些几何特性有密切的关系。

（小实验）
研究平面图形几何性质的方法：化特殊为一般图5-27。

实际杆件的横截面：抽象为：
特殊一般
图5-27
1、静矩形心位置
（１）静矩图5-28：
图5-28
微面积dA 与Z 轴、Y 轴间距离的乘积ydA,zdA 分别称为微面积dA 对Z 轴、Y 轴的静矩。

整个截面对Z 轴、Y 轴的静矩可用下式来定义：
（若把A 看作力）
定义：截面A 对Z 轴：
⎪⎭
⎪
⎬⎫==⎰⎰A
y A Z
S
ZdA S ydA （４-1） 截面A 对Y 轴：
计算：①对（４-1）式直接积分：
②若已知截面的形心位置C ，则y Z S S ,可以写成：
⎭
⎬⎫
==c Z c Y AY S AZ S （４-2）
（２）形心的位置：
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬⎫
=
=
A S Z A S Y y C Z C （４-3） 性质：①截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必通过形心。

②截面对通过形心的轴的静矩恒等于零，即： ;0=ZC S 0=YC S
决定因素：静矩与截面尺寸、形状、轴的位置有关。

数值范围：可以为正、或负、或等于零。

单位：333,,m cm mm
（３）组合截面的静矩：
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫==∑∑==n i i i y n i i i Z A S Y A z S 11
（４-4） 即组合截面的整个图形对于某一轴的静矩，等于各组部分对于同一轴静矩代数和。

（４）组合截面的形心位置：
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫===
=∑∑∑∑====n i i n
i i i y n
i i n
i i i z A Z A A
S
A Y A A
S c c z y 111
1
（4-5） 例题5-7 求图5-29所示截面图形的形心。

图5-29
解：把T 形看成为由矩形Ⅰ和Ⅱ组成 ∵y 轴是对称轴
∴形心必在y 轴上
① 求?'=Z S
216002080mm A I =⨯= A Ⅱ=2240020120mm =⨯ mm y c 10=I （到Z ′轴） y c Ⅱ=60+20=80mm
则：31
20800802400101600'mm Y A n
i i
i z s =⨯+⨯==∑=
②求c y
＝？
c y
＝A
s z ＝∑∑==n
i i
n
i i i A Y A 11＝201202080208000⨯+⨯＝52mm 2、惯性矩（形心主惯性矩） 惯性半径 极惯性矩
图5-30
定义：（1）惯性矩
⎪
⎭
⎪
⎬⎫==⎰⎰A y
A Z dA Z I dA y I 2
2
（4-6） 定义为截面对z 轴,y 轴的惯性矩。

（2）形心主惯性矩——若Z 轴经过截面的形心，并取得最大或最小惯性矩，则该轴称为形心主惯性轴。

截面对该轴的惯性矩称为形心主惯性矩，
用zc I ，yc I 表示 （3）惯性半径
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫=
=A I i A I i z z y y （4-7）
对于圆形截面 i =4
d
A I = （4）极惯性矩：
⎰=A
p dA I 2ρ （4-8）
定义为截面对坐标原点的极惯性矩。

∵222z y +=ρ ∴z y p I I I += 计算方法：直接积分 例题5-8：惯性矩的计算
①求矩形截面对其对称轴（即形心轴）y 、z 的惯性矩？
图5-31
解：⎰⎰==A h h z bdy y dA y I 22
22
)(
＝
3
3
by
2
2
h
h -＝12
3bh I y ＝⎰A dA Z 2
＝⎰-22
2)(b b hdZ Z
＝
3
3
hZ
2
2
b
b
-＝123hb
②三角形 求其?=Z I
图5-32
解：
D
D y ＝
h y h - y D ＝
D h
y
h ⋅- dA ＝dy D y ⋅ dy D h
y
h y dA y I h
A z ⋅⋅-==⎰⎰02
2 =12
3
Dh
③圆形（扇形、1／4圆、1／2圆、全圆）
（1）扇形 求其?=Z I
图5-33
解：⎰=A Z dA y I 2
ρθρd d dA ⋅= θρsin ⋅=y
⎰⋅⋅⋅=A
z d d I ρθρθρ2)sin (
=)cos sin (8
4
αα-a R （A ）
（2）1／4圆 ?=Z I
图5-34
解；∵2
π
α=
代入（A ）式即得 16
4
R I z π=
（3）1／2圆 ?=Z I
图5-35
解：∵πα=， 代入式（A ）得
8
4
R I z π=
（4）全圆 ?=Z I
图5-36
解： ∵πα2= 代入（A ）式即得 64
44
4
D R I z ππ=
=
32
24
D I I I I z y z p π=
=+=
性质：（1）同一截面对不同的坐标轴的惯性矩是不相同的。

（2）截面对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，恒等于它对该两轴
交点的极惯性矩（∵222z y p +=） 决定因素：截面形状、尺寸、轴的位置。

数值范围：惯性矩、惯性半径和极惯性矩的数值恒为正。

单位：惯性矩、极惯性矩的单位相同、均为：,,,444m cm mm 惯性半径：m cm mm ,, 3、平行移轴公式
图5-37
已知：z I 、y I ；zc I 、yc I c y ∥y ， c Z ∥Z
（两坐标轴互相平行）
;b y y c += a Z Z c +=
求：z I 、y I ； zc I 、yc I 的关系。

解：⎰=A z dA y I 2
=⎰⎰++=+A c c A c dA b b y y dA b y )2()(222 =⎰⎰⎰++A A c A c dA b dA y b dA y 222 =A b I A b I zc zc 220+=++
由此可见：图形对任意轴的惯性矩=z I 图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩+zc I 图形面积与两轴间距离平方的乘积。

同理可得：
A a I I yc y 2+=
平行移轴公式的运用：
例题5-9 求图示图形的 ?,2=z zc I I
图5-38
解：求zc I
因A b I I zc Z 21+=，即：
23122
3Dh
h I Dh zc ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
362912323Dh Dh h Dh I zc =⋅-=
（2）求?2=z I ∵2
1223
212Dh d Dh A d I I z z ⋅+=+= （错！！） 而应该：
A h d I I zc z 2
23⎪⎭⎫
⎝⎛++=
注意：移轴一定要对截面形心。