第十五讲 正多边形和圆、弧长和扇形面积

【本讲教育信息】一. 教学内容：正多边形和圆、弧长公式及有关计算［学习目标］1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。

正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。

2. 正多边形和圆的关系定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。

3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：（1）半径（或边心距）的比等于相似比。

（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。

4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。

（1）画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点。

（2）用量角器等分圆先用量角器画一个等于360︒n的圆心角，这个角所对的弧就是圆的1n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。

5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。

6. 圆周长公式：C R=2π，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值π叫做圆周率。

7. n°的圆心角所对的弧的弧长：ln R =π180n表示1°的圆心角的度数，不带单位。

8. 正n边形的每个内角都等于()nn-︒2180，每个外角为360︒n，等于中心角。

二. 重点、难点：1. 学习重点：正多边形和圆关系，弧长公式及应用。

正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。

只有正五边形、正四边形对角线相等。

2. 学习难点：解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。

【典型例题】例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）A.33 B.233 C.23 D.223解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1D又∵∠FAG ＝60°∴=∠==AF FG FAG sin 132233故选B点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。

正多边形和圆；弧长和扇形面积培优讲义一、知识点：(1)多边形内角和公式：01802⋅-）（n(2)边心距：过圆心作边的垂线段(3)把一个圆分成n(n≥3)等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的_内接正n边形_。

(4)一个正多边形的_外接圆的圆心__叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径_叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的_圆心角_叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的_距离_叫做正多边形的边心距．(5)正n边形的每一个内角等于_______，它的中心角等于______，它的每一个外角等于______正三角形正方形正六边形12r a3R==a21r2==R ar32==R扇形面积计算：方法一：如果已知扇形圆心角为n，半径为r，那么扇形面积=s方法二：如果已知扇形弧长为l，半径为r，那么扇形面积=s（1）h为圆锥的，a为圆锥的，r为圆锥的，由勾股定理可得：a、h、r之间的关系为：（2）圆锥的侧面展开后一个：圆锥的母线是扇形的而扇形的弧长恰好是圆锥底面的。

故:圆锥的侧面积就是圆锥的侧面展开后的扇形的。

圆锥的表面积= +1、与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆；内切圆的圆心叫三角形的内心.2、三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点.1、弧长公式：180Rnlπ=； 2、扇形面积公式：R lRnS213602==π二、经典例题 例1.正三角形的边心距、半径和高的比是（ ）A. 1:2:3B.321：： C.321：： D.321：： 例2.已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm ，求此扇形的面积。

例3.如下左图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于C ，PA=2cm ，PC=1cm,则图中阴影部分的面积S 是 （ ）A.2235cm π-B.2435cm π- C.24235cm π-D.2232cm π-例4.如上右图，把直角三角形 ABC 的斜边AB 放在定直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A ″B ′C ″的位置，设BC=1，AC= 3 ，则顶点A 运动到 A ″的位置时，点A 经过的路线与直线l 所围成的面积是____________（计算结果不取近似值）例5.如图，等腰直角△ABC 的斜边AB ＝4，O 是AB 的中点，以O 为圆心的半圆分别与两腰相切于D 、E ，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）。

正多边形与圆、弧长、扇形面积正多边形与圆、弧长、扇形面积一、知识要点1．正多边形的概念2．正多边形的计算：因为正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，我们可以把正n边形的计算问题归结为直角三角形的计算问题．这些直角三角形的一条直角边是正n边形的边心距；另一条直角边是正n边形的边的一半；它的斜边是正n边形的半径，一个锐角的度数是正n边形中心角度数αn的一半．如果把正n边形的有关元素：中心角、半径、边长、边心距、周长、面积分别用αn，R，a n，r n，P n和S n表示（如图），那么一、3．正多边形的作图：利用量角器和尺规等分圆4．弧长公式5．扇形面积6．圆柱、圆锥的侧面展开图二、典型例题见课堂讲解三、强化训练【基础篇】1．圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（ ）A．36πB．48πC．72πD．144π2．⊙O 的内接多边形周长为3，⊙O 的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（ ）ABC ．10D3．如图已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ）A ．24πcmB ．26πcmC ．29πcmD ．212πcm4．若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（ ）A ．40°B ．80°C ．120°D ．150°5．下列各个图案中，是由正三角形.正方形.正六边形.正八边形中的三种镶嵌而成的为（ ）6．一个几何体的三视图如右图所示，那么这个几何体的侧面积是（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π【提高篇】7．如果一个圆锥的主视图是正三角形，则其侧面展开图的圆心角为（ ）A ．120ºB ．约156ºC ．180ºD ．约208º8．设矩形ABCD 的长与宽的和为2，以AB 为轴心旋转一周得到一个几何体，则此几何体的侧面积有（ ）A ．最小值4πB ．最大值4πC ．最大值2πD ．最小值2πA B C D120°BOA6cm9．如图，△ABC 是直角边长为a 的等腰直角三角形，直角边AB 是半圆O 1的直径，半圆O 2过C 点且与半圆O 1相切，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．2367a π− B ．2365a π− C ．2367aD ．2365a10．矩形ABCD 的边AB =8，AD =6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111A B C D 时（如下左图所示），则顶点A 所经过的路线长是_________．11．如上右图，有一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的顶点A 的位置变化为A →A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A 2C 与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时，共走过的路径长为（ ）A ．10cmB ．3.5cm C ．4.5πcm D ．2.5πcm 12．如下左图，（1）是某公司的图标，它是由一个扇环形和圆组成，其设计方法如图（2）所示，ABCD 是正方形，⊙O 是该正方形的内切圆，E 为切点，以B 为圆心，分别以BA 、BE 为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图（1）中的圆与扇环的面积比为________________。

正多边形与圆、弧长、扇形的面积计算板块一、课前回顾回顾1.圆和圆的位置关系有哪几种？分别于圆心距有何关系？回顾2.公共弦与连心线有何关系？回顾3.三角形的内切圆半径与圆的周长、面积之间的关系是怎样？特别地，直角三角形内切圆的半径与周长有何关系？回顾4.热点应用1、已知圆O和圆P相交于C,D两点，OP所在的直线交两圆于A,B两点，∠OCP=100°,求∠ADB的度数。

2、如图⊙O与⊙O1交于A、B两点，O1点在⊙O上，AC是⊙O直径，AD是⊙O1直径，连结CD，求证：AC=CD.板块二、新课讲解知识点一、正多边形与圆1、多边形内角和：（n-2）•180º2、正多边形：各条边都相等，并且各个内角也相等的多边形叫做正多边形．3、圆内接正多边形：正多边形的每一个顶点都在圆上，这个正多边形叫做圆的内接正多边形。

4、圆外切正多边形：正多边形的每一条边都与圆相切，这个正多边形叫做圆的外切正多边形。

5、为了方便我们学习研究，我们引出正多边形的一些概念：正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．如图中⊙O；正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．如下图中线段OC；正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．如图中∠COD；正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．如图中线段OF。

根据勾股定理可知，在正多边形中，半径、边长、边心距三者之间存在下列关系式：222OFCFOC+=即：2222⎪⎭⎫⎝⎛+=边长边心距半径例题精讲例1、求正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比。

M ED CB A (4)(3)O N M E DC B N M O N MO D C A B N M O C B A FD CB例2、如图，⊙O 的内接正五边形ABCDE 的对角线AD 与BE 相交于点M 。

（1） 请你观察图形，并直接写出图中所有的等腰三角形；（2） 求证：BM 2=BE ·ME.例3、如图1、2、3、4，M 、N 分别为⊙O 的内接正三角形ABC ，正四边形ABCD 、正五边形ABCDE ，……正n 边形ABCDE ……的边AB 、BC 上的点，且BM=CN ，连接OM 、ON 。

学习笔记-正多边形和圆、弧长和扇形面积主要内容：正多边形和圆、弧长和扇形面积。

一、正多边形和圆
（1）正多边形定义
①各边相等，各角也相等的多边形是正多边形；
②各边相等的多边形不是正多边形，如菱形；各角相等的多边形不是正多边形，如矩形；
③各边相等的圆内接多边形是正多边形；但是各角相等的圆内接多边形不是正多边形；
（2）正多边形相关概念
①中心：正多边形外接圆的圆心；
②半径：正多边形外接圆的半径；
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角；
④边心距：中心到正多边形一边的距离；
（3）正多边形相关计算
①解决正多边形有关计算时，通过作正n边形的半径和边心距，将正n边形分成2n个全等的直角三角形，再利用勾股定理，即可完成一些正多边形的计算；
②正n边形的每个内角：360°/n；正n边形的每个外角：360°/n；
（4）正多边形有关的作图
利用等分圆的方法画正多边形：
①通用方法：用量角器画中心角，然后再圆上依次截取等于该中心角所对弧的等弧（操作简单，但到最后一个等分点，误差较大）
②尺规作图：精准，但是仅适用某些特殊的正多边形，不是任意等分圆周都可行；
③画正三角形、正四边形、正六边形
二、弧长和扇形面积
（1）弧长公式和扇形面积公式
.l.R其中n:圆心角的度数，R：半径
l=nπR/180S=nπR2/360S=1
2
（2）不规则图形面积问题
（3）圆锥的侧面积和全面积
（4）最短路径问题。