七年级数学下册 因式分解课件
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七年级因式分解常用方法页数:54
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七年级数学因式分解练习题及答案页数:11
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七年级下册数学因式分解页数:6
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浙教版七年级数学下册因式分解教案页数:3
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冀教版数学七年级下册：11.1因式分解课件
比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n
解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20. 所以mn=﹣5×20=﹣100．
5. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b， 分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1） (x+9)，求a+b的值.
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为 互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开， 再与多项式的各项系数对应比较即可.
练一练
下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的
是（ B ）
A．x2﹣y2
B．﹣x2+y2
C．x2+y2
D．﹣x2﹣y2
当堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是 （C ）
问题1：视察同一行中，左右两边的等式有什么区 分和联系？ 联系：左右两式是同一多项式的不同表现情势. 区分：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多 项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.
问题2：右边一栏表示的正是多项式的因式分解， 你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
总结归纳
像这样，把一个多项式分解成几个整式乘积的 情势，叫做多项式的因式分解，也叫做将多项 式分解因式.
⑥3xn+2+27xn=3xn（ x2+9）
3. 把多项式x2+4mx+5因式分解得（x+5）（x+n）， 5
则m+n的值为 2．
解析：由题意可得 x2+4mx+5=（x+5）（x+n） =x2+（n+5）x+5n， 5n=5，4m=n+5． 解得n=1，m= 3 ，
解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20. 所以mn=﹣5×20=﹣100．
5. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b， 分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1） (x+9)，求a+b的值.
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为 互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开， 再与多项式的各项系数对应比较即可.
练一练
下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的
是（ B ）
A．x2﹣y2
B．﹣x2+y2
C．x2+y2
D．﹣x2﹣y2
当堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是 （C ）
问题1：视察同一行中，左右两边的等式有什么区 分和联系？ 联系：左右两式是同一多项式的不同表现情势. 区分：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多 项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.
问题2：右边一栏表示的正是多项式的因式分解， 你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
总结归纳
像这样，把一个多项式分解成几个整式乘积的 情势，叫做多项式的因式分解，也叫做将多项 式分解因式.
⑥3xn+2+27xn=3xn（ x2+9）
3. 把多项式x2+4mx+5因式分解得（x+5）（x+n）， 5
则m+n的值为 2．
解析：由题意可得 x2+4mx+5=（x+5）（x+n） =x2+（n+5）x+5n， 5n=5，4m=n+5． 解得n=1，m= 3 ，
七年级下《因式分解》(苏科版)-课件
一元二次方程的求解
求解一元二次方程
因式分解法是求解一元二次方程的一种常用方法。通过将方程$ax^2 + bx + c = 0$因 式分解为$(x - x_1)(x - x_2) = 0$，可以得到方程的解$x_1$和$x_2$。
判断解的合理性
在得到一元二次方程的解后，可以通过因式分解法判断解的合理性。例如，对于方程 $x^2 - 4 = 0$，因式分解为$(x + 2)(x - 2) = 0$，得到解$x = 2$和$x = -2$，这两
因式分解的历史与发展
古代数学中的因式分解
01
在古代数学中，因式分解就已经有了一些初步的应用，如中国
的《九章算术》等。
近现代因式分解的发展
02
ห้องสมุดไป่ตู้
随着数学的发展，因式分解的方法和技巧也得到了不断的完善
和发展，出现了许多新的方法和技巧。
因式分解在现代数学中的应用
03
因式分解是代数中的基本技能之一，它在代数学、几何学、方
例子
$2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)$
03
因式分解的应用与 实例
代数式的化简
代数式化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式简化，使其更易于计算 和理解。例如，将多项式$x^2 - 4$因式分解为$(x + 2)(x 2)$，可以更方便地处理后续的运算。
简化计算过程
因式分解可以简化计算过程，减少不必要的复杂运算。例如 ，在计算$(x + 3y)(x - y)$时，通过因式分解可以快速得到结 果$x^2 + 2xy - 3y^2$。
因式分解的重要性
01
02
七年级下《因式分解》(苏科版)-课件
电子设备应用
许多电子设备和在线应用程序也具有因式分解的功 能。这些应用程序可以轻松地将表达式转化为简单 的乘积形式，使学生更容易地完成作业和考试。
因式分解实战：练习题解析
1
练习题1
将2x²+4x+2分解为乘积的形式。
练习题2
2
将5x³-10x²+5x分解为乘积的形式。
3
练习题3
将3x²-12分解为乘积的形式。
2
组项法
当一个多项式无法使用其它因式分解法进行处理时，我们可以尝试使用组项法将 其转化为易于操作的形式。
3
结合运用
拆项法和组项法可以结合使用，以便更深入地理解一个多项式的性质和因式分解 的方法。
如何判断一个表达式能否进行因式分 解？
1 首先看表达式的形式
如果一个表达式不是多项式，那么它就不能进行因式分解。例如无理数、指数、对数等 等。
因式分解
在学习数学时，我们会遇到各式各样的方程式。因式分解是解决这些方程式 的关键。这个PPT将会为你详细介绍因式分解的基本概念、方法和应用。
什么是因式分解？
方程式
因式分解是指将一个式子拆分成不可再分解的乘积 的过程。
因式分解
因式分解可以用来简化复杂的算术问题，从而使它 们更容易被理解。
类比
因式分解就像是把一个拼图拆散，然后把每个单独 的拼图拼接起来，最后形成整个图片。
常见错误及优化Βιβλιοθήκη 略错误1 ：略过公因数当多项式中存在公因数时，一些学生可能会疏 忽掉它，导致无法正确进行因式分解。应该一 步步进行，先找到公因数，再继续进行因式分 解。
策略：重复练习
因式分解是一个需要反复练习的过程。只有在 实践中不断尝试和发现错误，才能逐渐掌握因 式分解的规律和技巧，并且在考试或其它应用 中更准确、更快捷地进行因式分解。
初中七年级下册数学 《因式分解》优质课件PPT
不是
（3）4x2 4x 1 (2x 1)2
不是
（4）x2 3x 1 x(x 3) 1
（5） x2 1 x( x 1 ) x
（6） 18a3bc 3a2b6ac
不是 不是 不是
2021/02/20
5
通过刚才的学习你能说出因式分解与整式 乘法它们之间有什么关系吗?
整式的乘法特点：由整式积的形式转化成多项式和的 形式.
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) PPT模板：
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化学课件： 生物课件：
地理课件：
历史课件：
因式分解
2021/02/20
1
你能发现这两组等式之 间的联系和区别吗?它们的左 右两边有何特点？
a(a+1)=__a_2+_a_____
a2+a=( a ) ( a+1)
(a+b)(a-b)=__a_2_-_b_2____ a2 - b2= ( a+b) ( a-b )
(a+1)2 = a__2_+_2__a__+_1_
a2+2a+1= ( a+1 ) 2
整式的乘法
特点：由整式积的形式 转202化1/02成/20 多项式和的形式.
特点: 把多项式和的形式转 化为几个整式的积的形式2.
一般地，把一个多项式化成几个整 式的积的形式，叫做因式分解，有时我 们也把这一过程叫做分解因式。
因式分解(课件)七年级数学下册(浙教版)
都 比一是多比项，式这化些为式几子个有整什式么 的 共积 同的 点形 ？式
讲授新课
定义： 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把
这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形，即
因式分解
x2-1
(x+1)(x-1)
整式乘法
当堂检测
4．在分解因式x2+ax+b时，小明看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)； 小张看错了a，分解结果为(x-1)(x-9)，求a，b的值．
【分析】根据题意甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)，可得a系数 是正确的，乙看错了a，分解结果为(x-1)(x-9)，b系数是正确的， 在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a、b的值． 【详解】解：∵(x+2)(x+4)=x2+6x+8，小明看错了b， ∴a=6， ∵(x-1)(x-9)=x2-10x+9，小张看错了a， ∴b=9， ∴a=6，b=9． 【点睛】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清 哪个系数是正确的．
【点睛】本题考查了已知因式分解结果求参数，掌握多项式的乘法与 因式分解是解题的关键．
讲授新课
练一练
1．把x2+3x+c分解因式得：x2+3x+c＝(x+1)(x+2)，则c的值为 ________．
【详解】∵x2+3x+c＝(x+1)(x+2)，(x+1)(x+2)=x2+3x+2． ∴c=2 故答案为：2．
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者 是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形 式，整式乘法的右边是多项式的形式．
因式分解(十字相乘)课件
探索因式分解在其他学科中的应用， 如物理、化学等。
感谢您的观看
THANKS
十字相乘法是一种用于因式分解的数学方法，通过将一个多项式分解为两个因式的 乘积，从而简化问题。
它基于二次多项式的根与系数之间的关系，通过构造一个交叉相乘的方程组来找到 因式。
这种方法在代数、方程求解和数学竞赛等领域有广泛应用。
十字相乘法的应用
01
02
03
04
解决一元二次方程
通过十字相乘法，可以将一元 二次方程转化为两个一次方程
通过实例分析和练习，掌握十 字相乘法的运用。
结合实际问题和数学模型，加 深对因式分解的理解和应用。
课程安排
介绍因式分解的概念和意义 。
讲解因式分解的基本方法和 步骤。
02
01
重点介绍十字相乘法的原理
和应用。
03
通过实例演示和练习，巩固 所学知识。
04
05
总结课程重点和难点，提出 学习建议。
02
因式分解的基本概念
因式分解的步骤
总结词
因式分解通常按照一定的步骤进行。
详细描述
因式分解通常按照以下步骤进行：首先观察多项式的各项，尝试将其转化为整式的积的形式；然后提取公因式； 最后利用公式法或分组法进行因式分解。在每一步中，都需要仔细分析多项式的各项，并灵活运用数学规则和技 巧。
03
十字相乘法
什么是十字相乘法
因式分解(十字相乘)ppt 课件
目录 CONTENT
• 引言 • 因式分解的基本概念 • 十字相乘法 • 因式分解的实例解析 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
引言
课程目标
掌握因式分解的基本 原理和方法。
因式分解ppt课件
识别多项式的系数
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
因式分解(完全平方公式)课件
3 因式分解(完全平方公式)
因式分解(完全平方公式)是将多项式分解成平方因子的特殊方法。
完全平方公式的原理
1 平方公式
平方公式是指一个二次方程的两个解之和等于系数b的相反数，而两个解的乘积等于系数 c。
2 完全平方公式的推导
完全平方公式的推导基于平方公式，通过对多项式进行平方运算。
3 常用的完全平方公式
因式分解(完全平方公式) 课件
因式分解(完全平方公式)是一种数学方法，用于将多项式分解成较简单的因子。 它的原理基于完全平方的特性，可以帮助我们解决各种数学问题。
什么是因式分解(完全平方公式)
1 定义
因式分解是将一个多项式分解成多个乘积的过程，每个乘积都被称为因子。
2 完全平方
一个完全平方是一个数的平方，例如4的完全平方是16。
1
确定多项式的类型
首先，我们需要确定多项式的类型，是一个二次方程还是其他类型的多项式。
2
提取公因子
然后，我们可以尝试提取多项式的公因子，使其更容易进行因式分解。
3
应用完全平方公式
接下来，我们可以根据所学的完全平方公式，将多项式分解成平方因子。
因式分解(完全平方公式)的例子
二次方程
多项式
例如，我们可以用因式分解(完全 平方公式)来解决二次方程的问题。
常用的完全平方公式包括平方差公式和平方和公式。
完全平方公式的应用
求解方程
完全平方公式可以帮助我们求 解二次方程，找到方程的解。
化简多项式
通过因式分解(完全平方公式)， 我们可以将复杂的多项式化简 为更简单的形式。
探索数学关系
通过分析完全平方公式，我们 可以发现数学中的一些有趣的 关系和特性。
因式分解(完全平方公式)的步骤
因式分解(完全平方公式)是将多项式分解成平方因子的特殊方法。
完全平方公式的原理
1 平方公式
平方公式是指一个二次方程的两个解之和等于系数b的相反数，而两个解的乘积等于系数 c。
2 完全平方公式的推导
完全平方公式的推导基于平方公式，通过对多项式进行平方运算。
3 常用的完全平方公式
因式分解(完全平方公式) 课件
因式分解(完全平方公式)是一种数学方法，用于将多项式分解成较简单的因子。 它的原理基于完全平方的特性，可以帮助我们解决各种数学问题。
什么是因式分解(完全平方公式)
1 定义
因式分解是将一个多项式分解成多个乘积的过程，每个乘积都被称为因子。
2 完全平方
一个完全平方是一个数的平方，例如4的完全平方是16。
1
确定多项式的类型
首先，我们需要确定多项式的类型，是一个二次方程还是其他类型的多项式。
2
提取公因子
然后，我们可以尝试提取多项式的公因子，使其更容易进行因式分解。
3
应用完全平方公式
接下来，我们可以根据所学的完全平方公式，将多项式分解成平方因子。
因式分解(完全平方公式)的例子
二次方程
多项式
例如，我们可以用因式分解(完全 平方公式)来解决二次方程的问题。
常用的完全平方公式包括平方差公式和平方和公式。
完全平方公式的应用
求解方程
完全平方公式可以帮助我们求 解二次方程，找到方程的解。
化简多项式
通过因式分解(完全平方公式)， 我们可以将复杂的多项式化简 为更简单的形式。
探索数学关系
通过分析完全平方公式，我们 可以发现数学中的一些有趣的 关系和特性。
因式分解(完全平方公式)的步骤
初中数学精品课件： 因式分解
【答案】 D
2．(2019·临沂)将 a3b－ab 进行因式分解，正确的是 ( )
A．a(a2b－b)
B．ab(a－1)2
C．ab(a＋1)(a－1)
D．ab(a2－1)
【答案】 C
3．(2案】 x(y＋2)(y－2)
4．(2019·衢州)已知实数 m，n 满足mm－ ＋nn＝ ＝13， ，则代数式
利用因式分解将多项式分解之后整体代入求值，也可 逆向思维，根据因式分解后的几个多项式(因式)结合恒等 变形的性质求值．
【典例 2】 在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分 解法”生成密码的方法：如将多项式 x3＋2x2－x－2 进行因 式分解，结果为(x－1)(x＋1)(x＋2)．当 x＝19 时，x－1＝ 18，x＋1＝20，x＋2＝21，此时可得到数字密码 182021. (1)根据上述方法，当 x＝37，y＝12 时，对于多项式 x3－xy2 分解因式后可以形成哪些数字密码(写出两个即可)? (2)将多项式 x3＋(m－3n)x2－nx－21 因式分解后，利用题 目中所示的方法，当 x＝87 时可以得到密码 808890，求 m，n 的值．
联
立
m＋n＝0， m－n＝2，
解得mn＝＝－1，1，
∴m2
＋
n2－
mn ＝1
＋
1
＋
1
＝3.
【答案】 3
4．分解因式：(x2＋4)2－16x2.
【解析】 原式＝(x2＋4＋4x)(x2＋4－4x) ＝(x＋2)2(x－2)2.
5．运用简便方法计算：
(1)992＋110908＋1．
(2)1982－396×98＋982．
【解析】 (1)∵x3－xy2＝x(x－y)(x＋y)， ∴当 x＝37，y＝12 时，x－y＝25，x＋y＝49， ∴可得到数字密码 372549 或 374925(答案不唯一)． (2)∵当 x＝87 时，密码为 808890，且 x3 的系数是 1， ∴由(1)可知：x－7＝80，x＋1＝88，x＋3＝90， ∴x3＋(m－3n)x2－nx－21＝(x－7)(x＋1)(x＋3)＝x3－3x2 －25x－21， ∴m－3n＝－3，n＝25，∴m＝72，n＝25.
2．(2019·临沂)将 a3b－ab 进行因式分解，正确的是 ( )
A．a(a2b－b)
B．ab(a－1)2
C．ab(a＋1)(a－1)
D．ab(a2－1)
【答案】 C
3．(2案】 x(y＋2)(y－2)
4．(2019·衢州)已知实数 m，n 满足mm－ ＋nn＝ ＝13， ，则代数式
利用因式分解将多项式分解之后整体代入求值，也可 逆向思维，根据因式分解后的几个多项式(因式)结合恒等 变形的性质求值．
【典例 2】 在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分 解法”生成密码的方法：如将多项式 x3＋2x2－x－2 进行因 式分解，结果为(x－1)(x＋1)(x＋2)．当 x＝19 时，x－1＝ 18，x＋1＝20，x＋2＝21，此时可得到数字密码 182021. (1)根据上述方法，当 x＝37，y＝12 时，对于多项式 x3－xy2 分解因式后可以形成哪些数字密码(写出两个即可)? (2)将多项式 x3＋(m－3n)x2－nx－21 因式分解后，利用题 目中所示的方法，当 x＝87 时可以得到密码 808890，求 m，n 的值．
联
立
m＋n＝0， m－n＝2，
解得mn＝＝－1，1，
∴m2
＋
n2－
mn ＝1
＋
1
＋
1
＝3.
【答案】 3
4．分解因式：(x2＋4)2－16x2.
【解析】 原式＝(x2＋4＋4x)(x2＋4－4x) ＝(x＋2)2(x－2)2.
5．运用简便方法计算：
(1)992＋110908＋1．
(2)1982－396×98＋982．
【解析】 (1)∵x3－xy2＝x(x－y)(x＋y)， ∴当 x＝37，y＝12 时，x－y＝25，x＋y＝49， ∴可得到数字密码 372549 或 374925(答案不唯一)． (2)∵当 x＝87 时，密码为 808890，且 x3 的系数是 1， ∴由(1)可知：x－7＝80，x＋1＝88，x＋3＝90， ∴x3＋(m－3n)x2－nx－21＝(x－7)(x＋1)(x＋3)＝x3－3x2 －25x－21， ∴m－3n＝－3，n＝25，∴m＝72，n＝25.
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课堂练习：
把下列各式分解因式：
（1）4x2-12x3
（2）-x2y+4xy-5y
解:（1）4x2-12x3 =4x2.1-4x2.x =4x2 （1-x）
（2）-x2y+4xy-5xy2 =-（x2y-4xy+5xy2） =-xy（x-4+5y）
计算：
2.37×52.5+0.63×52.5-4×52.5 解: 2.37×52.5+0.63×52.5-4×52.5
总结：多项式的各项分别除以公因式
就能得到各项的另一个因式
用提取公因式分解因式的一般步骤： 第一步：找出多项式各项的公因式； 第二步：把多项式各项写成公因式 与另一个因式的积的形式； 第三步：逆用单项式乘多项式法则写 成公因式与另一个多项式的积。
（2）把6a3b-9a2b2c+3a2b分解因式
解： 6a3b-9a2b2c+3a2b =3a2b.2a-3a2b.3bc+3a2b.1 =3a2b（2a-3bc+1）
因式分解： 有一个多项式的形式转化成
几个整式的积的形式。
联系：
多项式的因式分解与整式乘法是两种
相反方向的变形，它们互为逆过程。
例1、 (1)把6a3b-9a2b2c分解因式
想一想： 1、多项式6a3b-9a2b2c各项的公因式是什么？
2、你能把多项式6a3b-9a2b2c各项写成公因 式与另一个因式的积吗？向你的同伴说说你 是如何得到另一个因式的？
解： 3a(x+y)-2b(x+y) =(x+y)×3a-(x+y)×2b =(x+y)(3a-2b)
总结：用提公因式法分解因式时，公因式可以
是一个单项式也可以是一个多项式。
例2：分解因式 （1）x(a-b)+y(b-a) （2）6(m-n)3-12(n-m)2
分析：例2应用如下关系： (b-a)=-(a-b) (b-a)2=(a-b)2 (b-a)3=-(a-b)3 (b-a)4=(a-b)4
a是多项式ab+ac+ad各项都含有的因式。 一个多项式各项都含有的因式，称为
这个多项式各项的公因式。
例如a就是多项式ab+ac+ad各项的 公因式
找出下列多项式各项的公因式并填写下表
多项式
公因式
4x+4y -8ax+12ay 8a3bx+就上面的填表过程，你能归纳出 找一个多项式的公因式的方法吗？
关系的式子用线连起来
4a2b(a-2b) (x-y)2
(m+n)(m-n)
x2-2xy+y2 m2-n2
4a3b-8a2b2
观察上面从左到右与从右到左的变形 过程，你能说出因式分解和整式乘法 的区别和联系吗？
4a3b-8a2b2
区别：
4a2b(a-2b)
整式乘法： 有几个整式积的形式转化
成一个多项式的形式。
=52.5×(2.37+0.63-4) =52.5×(-1) =-52.5
小结
（1）公因式与分解因式的概念； （2）如何找公因式？ （3）因式分解与整式乘法的区别和联系； （4）如何确定提出公因式后的另一个因式； （5）用提取公因式分解因式的一般步骤。
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注意：1、如果提取公因式与多项式中的某一项 相同，那么提取后多项式中的这一项剩下“1”结 果中的“1”不能漏写；
2、多项式有几项，提取公因式后另一项 也有几项。
（3）把-8a2b2+4a2b-2ab分解因式； 解： -8a2b2+4a2b-2ab =-（8a2b2-4a2b+2ab） =-（2ab.4ab-2ab.2a+2ab.1） =-2ab（4ab-2a+1）
乘法分配率
你能把多项式ab+ac+ad写 成积的形式吗？请说明你的理由
根据乘法分配律 ab+ac+ad=a（b+c+d）
换一种看法，就是把单项式乘多 项式的法则
A(b+c+d)=ab+ac+ad 反过来，就得到
ab+ac+ad=a（b+c+d）
观察多项式ab+ac+ad的每一项，
你有什么发现吗？
初中数学七年级下册 （苏科版）
9.5单项式乘多项式的再认识 －因式分解(一)
计算与交流
计算：375×2.8+375×4.9+375×2.3
如何计算上面的算式？请把你的想 法与你的同伴交流。
小明很快就能报出答案，你知道他 是怎么想的吗？
小明的方法：
375×2.8+375×4.9+375×2.3 =375×（2.8+4.9+2.3） =375×10 =3750 为什么375×2.8+375×4.9+375×2.3 可以写成375×（2.8+4.9+2.3）？依 据是什么？
当多项式第一项的系数是负数时，通常把负 号作为公因式的负号写在括号外，使括号内 第一项的系数化为正数，在提出负号 时，多项式的各项都要变号！
例2：把3a(x+y)-2b(x+y)分解因式； 分析：这个多项式就整体而言可分为两大项， 即3a(x+y)与-2ab(x+y)每项中都含有(x+y) 因此，可把（x+y）作为公因式提出来。
公因式
ab 3x2 3ab
填空并说说你的方法： （1）a2b+ab2=ab（ a+b ） （2）3x2-6x3=3x（ X-2x2 ） （3）9abc-6a2b2+12abc2=3ab(3c-2ab+4c )
像这样，把一个多项式写成几个 整式的积的形式叫做多项式 的因式分解。
连一连：把下面左右两列具有相等
总结
找一个多项式的公因式的方法一 般分三个步骤：
一看系数：当多项式的各项系数 多是整数时，公因式的系数应取 各项系数的最大公约数。
二看字母：公因式的字母应取多项 式中各项都含有的相同字母
三看指数：相同字母的指数取次数 最低的。
练一练
填表
多项式
a2b+ab2 3x2-6x3 9abc-6a2b2+12ab2c
即:当n为正偶数时(b-a)n=(a-b)n
当n为正奇数时(b-a)n= -(a-b)n
下列各式由左到右的变形那些是因式分解
(1) ab+ac+d=a(b+c)+d (2) a2-1=(a+1)(a-1)
(3) (a+1)(a-1) = a2-1
(4) x2+1=x(x+ )1 x
答案（1）不是；（2）是； （3）不是；（4）不是