计算方法实验一

实验一常用计算方法及描述统计量分析1.引言描述统计量是统计学中常用的数据分析方法。

通过统计样本数据的各种特征指标，可以对总体数据的一些性质进行分析和描述。

本实验主要介绍几种常用的计算方法及描述统计量分析。

2.均值均值是描述数据集中趋势的一个重要统计量。

一组数据的均值可以通过将所有观察值相加，然后除以观察值的总数来计算。

均值可以用来描述一个数据集的集中趋势，通常用符号μ来表示。

3.中位数中位数是将一组有序数据划分为较小和较大两部分的值，位于中间位置的值。

对于一个有序的数据集，中位数就是位于中间位置的数值。

如果数据集的观察值个数是奇数，则中位数是排在中间的值；如果数据集的观察值个数是偶数，中位数是排在中间两个值的平均值。

4.众数众数是数据集中出现频率最高的数值。

一个数据集可以有一个或多个众数。

众数可以用来描述数据集中出现频率最高的数值，通常用符号Mo 表示。

5.极差极差是描述数据集分散程度的一个统计量。

它是数据集中最大值与最小值的差别。

极差可以用来描述数据集的波动性，如果极差较大，说明数据分散程度较大。

6.方差方差是描述数据集分散程度的一个统计量。

方差是数据与其均值之间差异的平均平方值。

方差可以用来描述数据集的波动性，如果方差较大，说明数据分散程度较大。

7.标准差标准差是描述数据集分散程度的一个统计量。

标准差是方差的平方根，用符号σ来表示。

标准差可以用来描述数据集的波动性，如果标准差较大，说明数据分散程度较大。

8.相关系数相关系数是描述两个变量之间关系强度的一个统计量。

相关系数的取值范围在-1到1之间，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，当相关系数为负时，表示两个变量负相关。

相关系数可以用来描述两个变量之间的关联程度。

9.回归分析回归分析是一种描述和预测变量之间关系的方法。

回归分析可以用来研究因变量与自变量之间的关系，并通过建立回归方程对因变量进行预测和解释。

10.结论通过实验一的学习，我们了解了常用的计算方法及描述统计量分析。

实验一方程求根（1）二分法
1、实验程序
实现二分法的MATLAB函数文件agui_bisect.m
2. 在MATLAB命令窗口输入及实验结果及操作界面
（2）迭代法
1、实验程序
实现二分法的MATLAB函数文件agui_iterative.m
2、在MATLAB命令窗口输入及实验结果及操作界面
（3）牛顿法
1、实验程序
实现二分法的MATLAB函数文件agui_newton.m
2、在MATLAB命令窗口输入及实验结果及操作界面
结果分析：
由上面的对二分法、迭代法、牛顿法三种方法的三次实验结果，我们可以得出这样的结论：
二分法要循环k=10次，迭代法要迭代k=4次，牛顿法要迭代k=2次才能达到精度为0.5*10^-3的要求，而且方程0210=-+x e x
的精确解经计算，为0.0905250,由此可知，牛顿法和迭代法的精确度要优越于二分法。

而这三种方法中，牛顿法不仅计算量少，而且精确度高。

从而可知牛顿迭代法收敛速度明显加快，但由所学的内容可知，其收敛性与初值有关，它是局部收敛的。

二分法收敛虽然是速度最慢，但也常用于求精度不高的近似根。

而迭代法是逐次逼近的方法,原理简单,但存在收敛性和收敛速度的问题。

总之各种方法都各有优劣，适用于不同的情况中，须具体情况具体分析。

东南大学计算方法与实习实验报告学院：电子科学与工程学院学号：06A*****姓名：***指导老师：***实习题14、设S N=Σ(1)编制按从大到小的顺序计算S N的程序；(2)编制按从小到大的顺序计算S N的程序；(3)按两种顺序分别计算S1000，S10000，S30000，并指出有效位数。

解析：从大到小时，将S N分解成S N-1=S N-,在计算时根据想要得到的值取合适的最大的值作为首项；同理从小到大时，将S N=S N-1+ ，则取S2=1/3。

则所得式子即为该算法的通项公式。

(1)从大到小算法的C++程序如下：/*从大到小的算法*/#include<iostream>#include<iomanip>#include<cmath>using namespace std;const int max=34000; //根据第(3)问的问题，我选择了最大数为34000作为初值void main(){int num;char jus;double cor,sub;A: cout<<"请输入你想计算的值"<<'\t';cin>>num;double smax=1.0/2.0*(3.0/2.0-1.0/max-1.0/(max+1)),temps;double S[max];// cout<<"s["<<max<<"]="<<setprecision(20)<<smax<<'\n';for(int n=max;n>num;){temps=smax;S[n]=temps;n--;smax=smax-1.0/((n+1)*(n+1)-1.0);}cor=1.0/2.0*(3.0/2.0-1.0/num-1.0/(num+1.0)); //利用已知精确值公式计算精确值sub=fabs(cor-smax); //double型取误差的绝对值cout<<"用递推公式算出来的s["<<n<<"]="<<setprecision(20)<<smax<<'\n';cout<<"实际精确值为"<<setprecision(20)<<cor<<'\n';cout<<"则误差为"<<setprecision(20)<<sub<<'\n';cout<<"是否继续计算S[N],是请输入Y，否则输入N！"<<endl;cin>>jus;if ((int)jus==89||(int)jus==121) goto A;}(2)从小到大算法的C++程序如下：/*从小到大的算法*/#include<iostream>#include<iomanip>#include<cmath>using namespace std;void main(){int max;A: cout<<"请输入你想计算的数，注意不要小于2"<<'\t';cin>>max;double s2=1.0/3.0,temps,cor,sub;char jus;double S[100000];for(int j=2;j<max;){temps=s2;S[j]=temps;j++;s2+=1.0/(j*j-1.0);}cor=1.0/2.0*(3.0/2.0-1.0/j-1.0/(j+1.0)); //利用已知精确值公式计算精确值sub=fabs(cor-s2); //double型取误差的绝对值cout<<"用递推公式算出来的s["<<j<<"]="<<setprecision(20)<<s2<<'\n';cout<<"实际精确值为"<<setprecision(20)<<cor<<'\n';cout<<"则误差为"<<setprecision(20)<<sub<<'\n';cout<<"是否继续计算S[N],是请输入Y，否则输入N！"<<endl;cin>>jus;if ((int)jus==89||(int)jus==121) goto A;}(3)(注：因为程序中setprecision(20)表示输出数值小数位数20，则程序运行时所得到的有效数字在17位左右)ii.选择从小到大的顺序计算S1000、S10000、S30000的值需要计算的项S1000S10000S30000计算值0.74900049950049996 0.74966672220370571 0.74996666722220728实际精确值0.74900049950049952 0.74990000499950005 0.74996666722220373误差 4.4408920985006262*10-16 5.6621374255882984*10-15 3.5527136788005009*10-15有效数字17 17 17附上部分程序运行图：iii.实验分析通过C++程序进行计算验证采用从大到小或者从小到大的递推公式算法得到的数值基本稳定且误差不大。

实验一插值方法一. 实验目的（1）熟悉数值插值方法的基本思想，解决某些实际插值问题，加深对数值插值方法的理解。

（2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 实现具体的插值算法，并进行可视化显示。

二. 实验要求用Matlab 软件实现Lagrange 插值、分段线性插值、三次Hermite 插值、Aitken 逐步插值算法，并用实例在计算机上计算和作图。

三. 实验内容1. 实验题目 （1）已知概率积分dxe y xx ⎰-=22π的数据表构造适合该数据表的一次、二次和三次Lagrange 插值公式，输出公式及其图形，并计算x =0.472时的积分值。

答：①一次插值公式：输入下面内容就可以得到一次插值结果 >> X=[0.47,0.48];Y=[0.4937452,0.5027498]; >> x=0.472;>> (x-X(2))/(X(1)-X(2))*Y(1)+(x-X(1))/(X(2)-X(1))*Y(2)ans =0.495546120000000>>②两次插值公式为：输入下面内容就可以得到两次插值结果>> X=[0.46,0.47,0.48];Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498]; >> x=0.472;>>(x-X(2))*(x-X(3))/((X(1)-X(2))*(X(1)-X(3)))*Y(1)+(x-X(1))*(x-X(3))/((X(2)-X(1))*(X(2)-X(3)))*Y(2)+(x-X(2))*(x-X(1))/((X(3)-X(2))*(X(3)-X(1)))*Y(3)i 0123x 0.46 047 0.48 0.49 y0.4846555 0.4937452 0.5027498 0.5116683ans =0.495552928000000>>③三次插值公式为：输入下面内容就可以得到三次插值结果>> X=[0.46,0.47,0.48,0.49];Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498,0.5116683];>> x=0.472;>>(x-X(2))*(x-X(3))*(x-X(4))/((X(1)-X(4))*(X(1)-X(2))*(X(1)-X(3)))*Y(1)+(x-X(4))*( x-X(1))*(x-X(3))/((X(2)-X(4))*(X(2)-X(1))*(X(2)-X(3)))*Y(2)+(x-X(4))*(x-X(2))*( x-X(1))/((X(3)-X(4))*(X(3)-X(2))*(X(3)-X(1)))*Y(3)+(x-X(3))*(x-X(2))*(x-X(1))/(( X(4)-X(1))*(X(4)-X(2))*(X(4)-X(3)))*Y(4)ans =0.495552960000000输入下面内容，绘出三点插值的图：>> X=[0.46,0.47,0.48,0.49];Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498,0.5116683];>> x=linspace(0.46,0.49);>>y=(x-X(2)).*(x-X(3)).*(x-X(4))/((X(1)-X(4))*(X(1)-X(2))*(X(1)-X(3)))*Y(1)+(x-X(4) ).*(x-X(1)).*(x-X(3))/((X(2)-X(4))*(X(2)-X(1))*(X(2)-X(3)))*Y(2)+(x-X(4)).*(x-X(2) ).*(x-X(1))/((X(3)-X(4))*(X(3)-X(2))*(X(3)-X(1)))*Y(3)+(x-X(3)).*(x-X(2)).*(x-X(1) )/((X(4)-X(1))*(X(4)-X(2))*(X(4)-X(3)))*Y(4);>>plot(x,y)（注意上面的“.*”不能用“*”替代）；（2）将区间[-5,5]分为10等份，求作211)(x x f +=的分段线性插值函数，输出函数表达式及其图形，并计算x =3.3152时的函数值。

班级：地信11102班序号： 20姓名：任亮目录计算方法实验报告（一） (3)计算方法实验报告（二） (6)计算方法实验报告（三） (9)计算方法实验报告（四） (13)计算方法实验报告（五） (18)计算方法实验报告（六） (22)计算方法实验报告（七） (26)计算方法实验报告（八） (28)计算方法实验报告（一）一、实验题目：Gauss消去法解方程组二、实验学时: 2学时三、实验目的和要求1、掌握高斯消去法基础原理2、掌握高斯消去法法解方程组的步骤3、能用程序语言对Gauss消去法进行编程实现四、实验过程代码及结果1、实验算法及其代码模块设计（1）、建立工程，建立Gauss.h头文件，在头文件中建类，如下：class CGauss{public:CGauss();virtual ~CGauss();public:float **a; //二元数组float *x;int n;public:void OutPutX();void OutputA();void Init();void Input();void CalcuA();void CalcuX();void Calcu();};（2）、建立Gauss.cpp文件，在其中对个函数模块进行设计2-1：构造函数和析构函数设计CGauss::CGauss()//构造函数{a=NULL;x=NULL;cout<<"CGauss类的建立"<<endl;}CGauss::~CGauss()//析构函数{cout<<"CGauss类撤销"<<endl;if(a){for(int i=1;i<=n;i++)delete a[i];delete []a;}delete []x;}2-2：函数变量初始化模块void CGauss::Init()//变量的初始化{cout<<"请输入方程组的阶数n=";cin>>n;a=new float*[n+1];//二元数组初始化，表示行数for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=new float[n+2];//表示列数}x=new float[n+1];}2-3：数据输入及输出验证函数模块void CGauss::Input()//数据的输入{cout<<"--------------start A--------------"<<endl;cout<<"A="<<endl;for(int i=1;i<=n;i++)//i表示行，j表示列{for(int j=1;j<=n+1;j++){cin>>a[i][j];}}cout<<"--------------- end --------------"<<endl;}void CGauss::OutputA()//对输入的输出验证{cout<<"-----------输出A的验证-----------"<<endl;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n+1;j++){cout<<a[i][j]<<" ";}cout<<endl;}cout<<"---------------END--------------"<<endl;}2-4：消元算法设计及实现void CGauss::CalcuA()//消元函数for(int k=1 ;k<n;k++){for(int i=k+1;i<=n;i++){double lik=a[i][k]/a[k][k];for(int j=k;j<=n+1;j++){a[i][j]-=lik*a[k][j];}a[i][k]=0; //显示消元的效果}}}2-5：回代计算算法设计及函数实现void CGauss::CalcuX()//回带函数{for(int i=n;i>=1;i--){double s=0;for(int j=i+1;j<=n;j++){s+=a[i][j]*x[j];}x[i]=(a[i][n+1]-s)/a[i][i];}}2-6：结果输出函数模块void CGauss::OutPutX()//结果输出函数{cout<<"----------------X---------------"<<endl;for(int i=1 ;i<=n;i++){cout<<"x["<<i<<"]="<<x[i]<<endl;}}（3）、“GAUSS消元法”主函数设计int main(int argc, char* argv[]){CGauss obj;obj.Init();obj.Input();obj.OutputA();obj.CalcuA();obj.OutputA();obj.CalcuX();obj.OutPutX();//obj.Calcu();return 0;2、实验运行结果计算方法实验报告（二）一、实验题目：Gauss列主元消去法解方程组二、实验学时: 2学时三、实验目的和要求1、掌握高斯列主元消去法基础原理（1）、主元素的选取（2）、代码对主元素的寻找及交换2、掌握高斯列主元消去法解方程组的步骤3、能用程序语言对Gauss列主元消去法进行编程实现四、实验过程代码及结果1、实验算法及其代码模块设计（1）、新建头文件CGuassCol.h，在实验一的基础上建立类CGauss的派生类CGuassCol公有继承类CGauss，如下：#include "Gauss.h"//包含类CGauss的头文件class CGaussCol:public CGauss{public:CGaussCol();//构造函数virtual ~CGaussCol();//析构函数public:void CalcuA();//列主元的消元函数int FindMaxIk(int k);//寻找列主元函数void Exchange(int k,int ik);//交换函数void Calcu();};（2）、建立CGaussCol.cpp文件，在其中对个函数模块进行设计2-1:头文件的声明#include "stdafx.h"#include "CGuassCol.h"#include "math.h"#include "iostream.h"2-2：派生类CGaussCol的构造函数和析构函数CGaussCol::CGaussCol()//CGaussCol类构造函数{cout<<"CGaussCol类被建立"<<endl;}CGaussCol::~CGaussCol()//CGaussCol类析构函数{cout<<"~CGaussCol类被撤销"<<endl;}2-3：高斯列主元消元函数设计及代码实现void CGaussCol::CalcuA()//{for(int k=1 ;k<n;k++){int ik=this->FindMaxIk(k);if(ik!=k)this->Exchange(k,ik);for(int i=k+1;i<=n;i++){float lik=a[i][k]/a[k][k];for(int j=k;j<=n+1;j++){a[i][j]-=lik*a[k][j];}}}}2-4：列主元寻找的代码实现int CGaussCol::FindMaxIk(int k)//寻找列主元{float max=fabs(a[k][k]);int ik=k;for(int i=k+1;i<=n;i++){if(max<fabs(a[i][k])){ik=i;max=fabs(a[i][k]);}}return ik;}2-5：主元交换的函数模块代码实现void CGaussCol::Exchange(int k,int ik)//做交换{for(int j=k;j<=n+1;j++){float t=a[k][j];a[k][j]=a[ik][j];a[ik][j]=t;}}（3）、建立主函数main.cpp文件，设计“Gauss列主元消去法”主函数模块3-1：所包含头文件声明#include "stdafx.h"#include "Gauss.h"#include "CGuassCol.h"3-2：主函数设计int main(int argc, char* argv[]){CGaussCol obj;obj.Init();//调用类Gauss的成员函数obj.Input();//调用类Gauss的成员函数obj.OutputA();//调用类Gauss的成员函数obj.CalcuA();obj.OutputA();obj.CalcuX();obj.OutPutX();return 0;}2、实验结果计算方法实验报告（三）一、实验题目：Gauss完全主元消去法解方程组二、实验学时: 2学时三、实验目的和要求1、掌握高斯完全主元消去法基础原理；2、掌握高斯完全主元消去法法解方程组的步骤；3、能用程序语言对Gauss完全主元消去法进行编程（C++）实现。

计算方法与实习实验报告学院：电气工程学院指导老师：***班级：160093******学号：********实习题一实验1 拉格朗日插值法一、方法原理n次拉格朗日插值多项式为：L n(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+y n l n(x)n=1时，称为线性插值，L1(x)=y0(x-x1)/(x0-x1)+ y1(x-x0)/(x1-x0)=y0+(y1-x0)(x-x0)/(x1-x0)n=2时，称为二次插值或抛物线插值，精度相对高些L2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x2-x1)二、主要思路使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂，可改用构造方法来插值。

对节点x i(i=0,1,…,n)中任一点x k(0<=k<=n)作一n 次多项式l k(x k)，使它在该点上取值为1，而在其余点x i(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上为0，则插值多项式为L n(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+y n l n(x) 上式表明：n 个点x i(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)都是l k(x)的零点。

可求得l k三．计算方法及过程：1.输入节点的个数n2.输入各个节点的横纵坐标3.输入插值点4.调用函数，返回z函数语句与形参说明程序源代码如下：#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;#define N 100double fun(double *x,double *y, int n,double p);void main(){int i,n;cout<<"输入节点的个数n：";cin>>n;double x[N], y[N],p;cout<<"please input xiangliang x= "<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>x[i];cout<<"please input xiangliang y= "<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>y[i];cout<<"please input LagelangrichazhiJieDian p= "<<endl;cin>>p;cout<<"The Answer= "<<fun(x,y,n,p)<<endl;system("pause") ;}double fun(double x[],double y[], int n,double p){double z=0,s=1.0;int k=0,i=0;double L[N];while(k<n){ if(k==0){ for(i=1;i<n;i++)s=s*(p-x[i])/(x[0]-x[i]);L[0]=s*y[0];k=k+1;}else{s=1.0;for(i=0;i<=k-1;i++)s=s*((p-x[i])/(x[k]-x[i]));for(i=k+1;i<n;i++) s=s*((p-x[i])/(x[k]-x[i]));L[k]=s*y[k];k++;}}for(i=0;i<n;i++)z=z+L[i];return z;}五．实验分析n=2时，为一次插值，即线性插值n=3时，为二次插值，即抛物线插值n=1，此时只有一个节点，插值点的值就是该节点的函数值n<1时，结果都是返回0的；这里做了n=0和n=-7两种情况3<n<100时，也都有相应的答案常用的是线性插值和抛物线插值，显然，抛物线精度相对高些n次插值多项式Ln（x）通常是次数为n的多项式，特殊情况可能次数小于n.例如：通过三点的二次插值多项式L2(x),如果三点共线，则y=L2(x)就是一条直线，而不是抛物线，这时L2(x)是一次式。

学院 长望学院 专业 大气科学实验班 年级 班次 1 姓名 仙女 学号1. 引言-问题重述问题一要求对方程3()250f x x x =--=，用二分法，至少找到一个根，并展示一下信息：（a ）近似根（b ）初始猜测（区间）（c ）迭代次数（d ）停止准则（3）收敛速度 问题二要求用二分法求出以下两个方程的近似根：（a ）5()10f x x x =--=,（b ）22520x e x -+=.2. 数学公式-数值方法和参数定义二分法求根原理为：若[,]f C a b ∈，严格单调，且()()0f a f b <g ，则f 在(,)a b 上有一实根。

其基本思想为：逐步将区间分半,计算中点处的函数值，根据介值定理选择比原区间缩小一半的有根区间,如此继续下去,直到得到满足精度要求，从而求出满足给定精度的根的近似值。

针对问题一，本文根据方程，定义函数f(x)=a*x*x*x+b*x*x+c*x+d=0，其中,,,a b c d 为各项系数；精度16eps e =-；,m n 分别为求根区间的左右端点，即收敛区间[,]m n ；i 为近似根；v 为收敛速度，count 为当前迭代次数。

其中，count 为单精度int 类型，其余均为双精度double 类型。

基于以上参数定义，设置收敛准则为：当根和函数值的精度小于所设置精度时，结束循环，并输出收敛区间、迭代次数、近似根以及收敛速度。

具体表现为：每进行一次循环视近似根i 的相对位置对收敛区间进行修正，同时对迭代次数+1；收敛速度可通过下式计算：11n n n n x x v x x +--=-. 针对问题二（a ）在问题一的基础上，更改方程f(x)=a*x*x*x+b*x*x+c*x+d=0的系数以及相关项即可求得相应结果。

对于（b ）将方程改为：exp(2*x)-5*x*x+20=。

3. 数值实验-讨论和分析数值结果针对方程3()250f x x x =--=，首先对其求导，判断单调性，再进行需略估算，发现(2)(3)0f f <g ，于是设置初始收敛区间为[2,3]，进而通过二分法求得结果如图1。

实验报告实验课程名称数值计算方法I开课实验室数学实验室学院理学院年级2012 专业班信息与计算科学2班学生姓名学号开课时间2012 至2013 学年第 2 学期实验一 误差分析试验1.1(病态问题）问题提出：考虑一个高次的代数多项式)1.1()()20()2)(1()(201∏=-=---=k k x x x x x p显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。

现考虑该多项式的一个扰动)2.1(0)(19=+x x p ε其中ε是一个非常小的数。

这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。

我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。

实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个MA TLAB 函数：“roots ”和“poly ”。

roots(a)u =其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。

设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程01121=+++++-n n n n a x a x a x a的全部根；而函数 poly(v)b =的输出b 是一个n+1维向量，它是以n 维向量v 的各分量为根的多项式的系数。

可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。

))20:1((;)2();21,1(;000000001.0ve poly roots ess ve zeros ve ess +===上述简单的MA TLAB 程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess ”即是（1.2）中的ε。

实验要求：（1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。

如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（1.1）和（1.2）的解应当相差很小。

计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？（2）将方程（1.2）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象？ （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。