北师大版-数学-八年级下册--4.2黄金分割课后拓展训练

初中-数学-打印版初中-数学-打印版§4.2黄金分割学案班级 姓名 座号 成绩 一、【知识点】①定义：把一条线段分成两个部分，其中较长的部分与全部线段的长度比等 于较短的部分与较长部分的比,这就叫黄金分割。

如图：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ， A C B如果AC AB ＝BCAC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

记忆：大全 ＝小大，它可变形为：大2＝小·全 注意：由对称知，一条线段有两个黄金分割点，所以没有指出哪一条线段长时, 的距离有两种情况。

结论：大全 ＝ 5 －12 ≈0.618，又由定义大全 ＝小大 知：小大 ＝ 5 －12 ≈0.618则：大＝ 5 －12 ·全≈0.618·全， 小＝ 5 －12 ·大≈0.618·大小＝全－大＝全－ 5 －12 ·全＝（1－ 5 －12 ）·全＝3－ 52 ·全≈0.382·全②作图：把下面线段AB 黄金分割。

画法：1、 2、 3、所以A B 试说明这种做法的理论根据：二、【练习题】1、已知点C 是线段AB 的黄金分割点，若AC AB ＝ 5 －12 ，则CBAC ＝ ，CBAB ＝ 。

2、如图：A C B ，AB ＝1，AC ＝5 －12 ，则（ ）A 、BC 2＝AB ·AC B 、AC 2＝AC ·BC C 、AC 2＝AB ·BCD 、A B 2＝AC ·BC 3、已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），且AB ＝10cm ，则点C 到A 的 距离是 。

4、已知点C 是线段AB 的黄金分割点且AB ＝10cm ，则点C 到A 的距离是 。

5、如图小红这样画了一个矩形AEFD ：①作正方形ABCD ， ②取AB 、CD 中点N 、 M ，连接MN ， ③连接NC ，④延长AB 至E ，使NE ＝NC ，⑤过E 作AE 的垂线 交CD 延长线于点FA NB E6、在人的躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近于 0.618，越给人以美感，A 女士原本身体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高 的比为0.60，她的身高为1.60m ，她应选择多高的高跟鞋看起来更美。

●课 题§4.2 黄金分割●教学目标（一）教学知识点1.知道黄金分割的定义.2.会找一条线段的黄金分割点.3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.（二）能力训练要求通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.（三）情感与价值观要求理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.●教学重点了解黄金分割的意义，并能运用.●教学难点找黄金分割点和画黄金矩形.●教学方法讲解法●教具准备投影片一张：（记作§4.2 A ） ●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课图4－6［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题. Ⅱ.讲授新课［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC 、BC 的长度，然后计算AB AC 、ACBC ,它们的值相等吗？ ［生］相等.［师］所以ACBC AB AC =. 1.黄金分割的定义在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中ABAC ≈0.618. 黄金分割在几何作图上有很多应用，如五角星形的各边是按黄金分割划分的，其中点C就是线段AB 的一个黄金分割点.作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割.黄金分割也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面.如在设计工艺品或日用品的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为0.618,这样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，等等.黄金分割在工厂里也有着普遍的应用.如“优选法”中常用的“0.618法”就是黄金分割的一种应用.学习如何找一条线段的黄金分割点.2.作一条线段的黄金分割点.图4－7如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.［师］你知道为什么吗？若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的线AC 、BC 间须满足AC BC AB AC =.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB =1.证明：∵AB =1,AC =x ,BD =21AB =21 ∴AD =x +21 在Rt △ABD 中，由勾股定理，得（x +21）2=12+（21）2 ∴x 2+x +41=1+41 ∴x 2=1－x∴x 2=1·（1－x ）∴AC 2=AB ·BC 即：ACBC AB AC = 即点C 是线段AB 的一个黄金分割点，在x 2=1－x 中整理，得x 2+x －1=0∴x =2512411±-=+±- ∵AC 为线段长，只能取正∴AC =215-≈0.618∴ABAC ≈0.618 ∴黄金比约为0.618.3.想一想 图4－8古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple ）.把它的正面放在一个矩形ABCD 中，以矩形ABCD 的宽AD 为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现，BC AB BE BC =,点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？ ［师］请大家互相交流.［生］因为四边形AEFD 是正方形，所以AD =BC =AE ,又因为BC AB BE BC =,所以AE AB BE AE =,即AEBE AB AE =,因此点E 是AB 的黄金分割点，矩形ABCD 宽与长的比是黄金比. ［师］在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？Ⅲ.随堂练习1.解：设AB =a ,根据题意，得AE =2a , 由勾股定理，得EF =EB =22AE AB ++=422a a + =25a ∴AF =AH =BE －AE =215-a BH =AB －AH =a －a a 253215-=- ∴=AB AH 215215-=-a a 2151553215253-=--=--=a a AH BH ∴AHBH AB AH = ∴点H 是AB 的黄金分割点.Ⅳ.课时小结本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比.2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.Ⅴ.课后作业习题4.3Ⅵ.活动与探究要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB的黄金分割点C作为第一个试验点，C点的数值可以算是1000+（2000－1000）×0.618=1618.试验的结果，如果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC的黄金分割点D，D的位置是1000+（1618－1000）×0.618，约等于1382，如果D点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选DC之间的黄金分割点；如果太稀，可以选AD之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料.。

北师大版八年级下册第四章《黄金分割》教案教材分析：《黄金分割》是北师大版八年级数学下册第四章《相似图形》第2节的内容。

本章是继图形的全等之后集中研究图形形状的内容。

学习相似图形，离不开线段的比和比例线段，《黄金分割》从一个崭新的角度加深同学们对比例线段和线段的比地认识，是第一节内容的延续和拓展，同时通过黄金分割在建筑、艺术等方面的实例让学生进一步体会数学与自然及人类社会的密切关系，将进一步丰富学生的数学活动经验，促进学生观察、分析、归纳、概括的能力和审美意识的发展。

因而，在整个几何学习中起着桥梁和纽带的作用。

教学目标:1、知识目标:知道黄金分割的定义;会找一条线段的黄金分割点; 会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点2、能力目标:经历观察,猜想,操作和归纳验证的数学发现过程,发展合情合理的推理能力,沟通数学知识之间的内在联系,体会数形结合的思想,在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，培养学生的理解和动手的能力.3、情感目标:理解黄金分割的意义,并能动手找到和制作黄金分割点的图形,让学生认识数学与人类生活的密切关系,体现丰富的文化价值.教学重点难点:1、重点:了解黄金分割,黄金矩形的意义以及黄金分割在生活中的应用。

2、难点:黄金分割的引入以及学生对黄金分割的价值的认识.探究线段黄金分割的做法。

教学方法:讲解法，比较分析法，探究法教学手段:多媒体教学教学过程:教学环节设计意图一,情境引入欣赏: 照片揭示:"协调"与"不协调"的对比中有着某种尺度来衡量,黄金分割在照相艺术中的应用。

二,探索归纳总结:1、介绍黄金分割的历史2、大屏幕展示五角星图片，五角星是我们常见的图形,在图中度量AC,AB,BC,的距离,并计算AC/AB和BC/AC的值相等吗?•AC≈4.2 AB ≈6.8 BC≈2.6•AC/AB≈0.618•BC/AC≈0.619•忽略误差不计,则“数学知识的学习，大都力求从学生实际出发，用他们熟悉或感兴趣的问题情境引出学习主题”。

北师大版八年级数学第四章相似图形第二节黄金分割教案1、课题§4.2 黄金分割2、教学目标：知识技能目标：(1)掌握黄金分割的定义及黄金分割点的作法；(2)会进行黄金分割的有关计算。

过程方法目标：经历黄金分割的引入及黄金分割点作法的探究过程，掌握数形结合法在数学解题中的运用。

情感态度目标：在现实情境中体会黄金分割的文化价值，培养同学们主动参与、积极思考、合作交流的学习品质。

增强学生的实践意识和自信心。

3、本课内容及重点、难点分析：学习重点：黄金分割的定义，做一条线段黄金分割点的方法；学习难点：探究线段黄金分割点的作法。

4、教法：直观演示法、实验法、讨论法、练习法等多种教学方法优化组合5、教具准备：幻灯片、直尺、圆规教学过程一、创设问题情境，引出基本概念问题引入：（出示图片）根据两个生活中的现象，主持人应站在舞台的C点位置才会有较好的音响效果、千金钩应钩在二胡琴弦的C点位置会有较好的音质产生。

这两个生活中的例子反映了一个共同的特点，在线段AB 上，存在着一个特定的点，当这个点在某个特定的位置上时，生活中可以出现一些较好的现象。

那么这个点到底在线段的什么位置呢？（板书课题）二、剖析概念，揭示本质内含黄金分割的定义： （出示图片）在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBC AB AC = ,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中 618.0215≈-=AB ACA B C 三、探究作图（师）既然黄金分割的实用价值这么大，我们就必须把它学好，还要用好，下面我们来学习如何找一条线段的黄金分割点.1. 如何作一条线段的黄金分割点.（出示图片）如上图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB. （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB.（3）在A B 上截取AC=AE.则点C 为线段AB 的黄金分割点.［师］你知道为什么吗？若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的线AC 、BC 间须满足AC BC AB AC =. 2. 根据作图回答下列问题（1）如果设AB=2，那么BD ，AD ，AC ，BC 分别等于多少？（2）点C 是线段AB 的黄金分割点吗？(3) 讨论：一条线段有几个黄金分割点？3. 练一练做一矩形，如图1使得该矩形宽与长之比为 215- 。

4.2黄金分割一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在学习了基本作图之后，懂得了作图的方法。

又在学习本章第一节后，掌握了线段的比、成比例线段的概念，比例的基本性质，会比和比例尺的计算，坚实了基础。

学生的活动经验基础：学生的作图学习，强化了学生动手的能力；比的计算、比例尺的计算，感受了数学在现实生活中的作用，增强了学生学习数学的信心。

通过变换的鱼来推导成比例线段、比例性质推导、变换发展了的逻辑推理能力。

本章第一节例题的讲解，培养了学生灵活运用的能力。

二、教学任务分析学习《黄金分割》不仅实现线段比例的要求，更是体现数学的文化价值，0.618的意义，体现数学与建筑、艺术等学科必然联系的纽带。

教学中，通过国旗上的图案五角星引入黄金分割，使学生真正体会到其中的文化价值，同时，在建筑、艺术上实例欣赏，应用中进一步强化线段的比、成比例线段、黄金分割等相关内容。

为此，本节课有以下教学目标：1、知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点；2、通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解与动手能力。

3、理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识教学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用。

教学重点：了解黄金分割的意义并能运用教学难点：找出黄金分割点和黄金矩形三、教学过程分析1、创设问题情境，激发学生兴趣向学生展示与“黄金分割”有关的图片：以激发学生兴趣，引起学生探索的欲望。

问：为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要掂起脚? 为什么女人喜欢穿高跟鞋?2、 实例引入，导出定义。

（这是本节课的第一个难点。

学生学习“线段的比”仅有两节课，掌握程度比较浅，而黄金分割的定义又使用了这一知识点，所以在课件使用过程中应注意帮助学生体会、理解定义中出现的“线段的比”。

）（1）以五角星为例引入黄金分割的定义，在五角星中也存在黄金分割。

首先，《黄金分割》学习资料以问题“请同学们度量学习材料中点C 到点A 、B 的距离，计算ACBC AB AC 和,它们相等吗？”引导学生探索五角星中这几条线段的数量关系。

§4.2 黄金分割一、请你填一填 （1）如图4—2—1，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项.图4—2—1（2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）.（3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则d =_____________cm.（4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________.（5）若d c ba ==3（b +d ≠0），则db c a ++=________.二、认真选一选 （1）已知yx23=,那么下列式子成立的是（ ） A.3x =2y B.xy =6 C.32=y xD.32=x y （2）把ab =21cd 写成比例式，不正确的写法是（ ） A.bd ca 2= B.b dc a =2 C.bd c a =2D.da bc 2=（3）已知线段x ,y 满足（x +y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（ ） A.3∶1 B.2∶3 C.2∶1 D.3∶2 （4）有以下命题:①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有dc ba =②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项 ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1 其中正确的判断有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个三、细心算一算已知实数a ,b ,c 满足c b a b a c a c b +=+=+,求acb +的值.四、好好想一想以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF =PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图4—2—2.图4—2—2（1）求AM 、DM 的长. （2）求证：AM 2=AD ·DM .（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？参考答案§4.2 黄金分割 一、（1）APPBAB AP = PB AB （2）0.618 （3）10 （4）22∶1∶2即1∶2∶2 （5）3二、（1）D （2）B （3）C （4）C三、解：设cba b a c a c b +=+=+=k 则b +c =ak ,c +a =bk ,a +b =ck∴2（a +b +c ）=k （a +b +c ） 当a +b +c ≠0时，∴k =2,∴acb +=2 当a +b +c =0时,b =－（b +c ）,acb +=－1 四、解：如图（见原题图）（1）∵正方形ABCD 的边长为2，P 是AB 中点 ∴AB =AD =2，AP =1在Rt △A PD 中，PD =522=+AD AP ∵PF =PD ,∴AF =PF －AP =5－1∵AMEF是正方形，∴AM=AF=5－1DM=AD－AM=2－（5－1）=3－5（2）由（1）得AM2=（5－1）2=6－25 AD·DM=2（3－5）=6－25∴AM2=AD·DM（3）图中点M是线段AD的黄金分割点.。

北师大版八年级数学《4.2黄金分割》教学设计介绍说明：黄金分割，是北师大版《数学》八年级下第四章第二节的内容，一课时。

本节课的设计力图贯彻“自主参与、自主体验、自主构建”的教育理念和体现“数学教学主要是数学活动的教学”的教育思想。

以下我就从教学分析、教学内容的选择以及设计思想，教法与学法，教学反思几个方面来展示本节课的内容。

教材分析：一、教材所处地位及前后联系：相似图形是现实生活中广泛存在的现象。

本章较为系统地研究线段的比，成比例线段，相似图形，位似图形。

黄金分割是成比例线段的一种特例。

19世纪以来，黄金分割的说法逐渐流行起来，在相当长的一段时间里，人们非常崇拜黄金分割。

古希腊的许多建筑中，宽与长的比都等于黄金比。

我国著名数学家华罗庚大力提倡的优选法，就与黄金分割紧密相关。

新课标加强了对黄金分割的教学要求，事实上，有关黄金分割的内容既是比例线段的应用，也蕴含丰富的文化价值，是密切数学与现实之间联系的重要内容。

学生在丰富的现实情境中感受美、发现美并创造美，这对学生的审美观的形成、能力的培养来说是潜移默化的，因此本节课可说是不可或缺的。

二、教材内容的选择以及设计思想：学情分析：（1）在学习本节内容之前，学生已理解比例线段的性质，初步掌握了比例线段在几何中的应用。

（2）本节课黄金分割是一个新的概念，学生缺少这方面知识的积累，特别是判定某个点是否为线段的黄金分割点，以及在理解黄金矩形的概念时，学生感觉有一定的困难内容选择上，除选用书上的素材外，还充分利用农村远程教育资源，选用大量图文作为背景，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割，体现数学丰富的文化价值。

同时，在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识和自信心．三、教学目标：(一)教学知识点：1．知道黄金分割的定义．2．会找一条线段的黄金分割点．3．会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．(二)能力训练要求：（1）在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识和自信心，发展学生探究和综合应用知识的能力。

$4.2黄金分割目标导航：⒈知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比：⒉会找一条线段的黄金分割点。

⒊加深理解与掌握线段的比、成比例线段等有关知识。

学法指导：线段的黄金分割是成比例线段具体应用的一个典型例子，学习本节知识，首先要弄清线段黄金分割的意义，在此基础上通过动手操作，会将线段黄金分割。

新知探究：㈠、黄金分割的定义：1、动手操作，然后算一算，完成下面的填空：度量线段AC 、BC 的长度，线段AC= ，BC= ，计算AB AC = 、AC BC = , AB AC 与ACBC 的值相等吗？ ※在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段 和 ，如果 = 那么称线段AB 被点C ，点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 。

其中ABAC = ≈ ※⑴、黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有 个。

⑵、黄金比是两条线段的比，没有单位，它的比值为 ，精确到0.001为 。

2、想一想：点C 是线段AB 的黄金分割点，则AB AC = 。

㈡、确定黄金分割点：1、如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB. （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB.（3）在AB 上截取AC=AE.2、想一想问题：⑴如果设AB=1，则BD= ，AD= ，AC= ，BC= 。

⑵点C 是线段AB 的黄金分割点吗？你知道为什么吗？㈢、黄金矩形：宽与长的比是：的矩形叫做黄金矩形。

【绿色通道】 黄金分割是一种特殊的分割线段的方法，分割后，原线段、较长线段、较短线段之间有固定的比值关系，知道其中一条线段的长度，可以求出另外两条线段的长度；一条线段有两个黄金分割点。

课堂消化诊测：⒈已知线段AB=2，点C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC= 。

⒉已知如图，AB=2，点C 是AB 的黄金分割点，点D 在AB 上，且AD2=BD ·AB ，求ACCD 的值。

大路中学数学讲学稿1、掌握黄金分割的含义.2、能通过作图找到一条线段的黄金分割点.学习重点能通过作图找到一条线段的黄金分割点.学习难点掌握黄金分割的含义并能进行简单运用.一、学前准备 1.填空（1）四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a =（或a:b=c:d ）那么这四条线段a,b,c,d 叫做 ，简称 .反过来，如果四条线段a,b,c,d 成比例线段，则可以记作 .（2）已知a=2,b=4,c=6；若a ，b ，c ，x 是成比例线段，则x= ；若a ，x ，b ，c 是成比例线段，则x= . （3）若=y x 25 则=xy ；=+y y x ； =-y y x ； （4）小明的身高为1.6m ，测得他的影长为1m ，在同一时刻，旗杆的影长为5m ，则旗杆的实际高度是 .2．选择 （1）已知cd ab =，则把它改写成比例式后错误的是 （ ）A b d c a =B d a b c =C d c b a =D ad c b = （2）一个矩形的长为2cm ，宽为1cm ，则它的长、宽及对角线的比为 （ ）A 4：2：5B 4：2：10C 2：1：5D 2：1：253.已知a ∶b ∶c =4∶3∶2,且a +2b －4c =24.求2a －3b +c 的值4.已知：d c b a ==fe =3（b +d +f ≠0），求f d b e c a 3232+-+-的值 二、探究活动1、自主探究·解决问题五角星是我们常见的图形.在下图中，度量点C 到点A ，B 的距离，AB AC 和ACBC 相等吗？ 2、师生探究·合作交流如图，在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBC AB AC =,那么A C B称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 .其中ABAC = ≈ ，=2AC . 3、学以致用·牛刀小试作一条线段的黄金分割点.如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.你知道为什么吗？线段AB 有没有除点C 以外的黄金分割点呢？如果有应满足怎样的条件？ 三、自我测验1、选择（1）已知线段AB 的黄金分割点是C ，且AC ＞BC ，则下列各式正确的是 （ ） A . AB 2=AC ·CB B . CB 2=AC ·AB C . AC 2=CB ·AB D . AC 2=2AB ·BC（2）若AB=a ，C 点是AB 上的黄金分割点，且AC ＞BC ，则BC 等于 （ ）A. a 215- B. a 253- C. 1 D. 无法判断 （3）若点C 为线段AB 的黄金分割点，则ABAC 等于 （ ） A. 215- B. 215+ C. 215-或253- D. 253- 2、填空（1）已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且AB AC =215-，则ACCB 的近似值为 （2）点C 是线段AB 上的一个黄金分割点，且AC>BC ，若AB ＝5cm ，则AC ＝____ _，BC=_ ___.（3）若点C 是线段AB 上一点，AB ＝1，AC ＝215- ，则AC ：BC ＝___ ___. （4）把长为10cm 的线段黄金分割，则较长的线段长为 ；较短的线段长为 .（结果精确到0.01）四、学习收获1、通过今天的学习，你有何收获？2、预习中遇到困惑解决了吗？3、你还有哪些疑惑？五、应用与拓展1、如图，点C,D 是线段AB 的两个黄金分割点，已知AB=1，试求CD 的长2、作图（1）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形.设法做出一个黄金矩形（2）底边与腰的比等于黄金比的等腰三角形称为黄金三角形，设法做出一个黄金三角形3、收集一些有关黄金分割的数学知识，例如黄金分割的由来、黄金分割在实际生活中的运用等等，介绍给你的同伴.北师大版八年级数学第四章相似图形第二节黄金分割教案1、课题§4.2 黄金分割2、教学目标：知识技能目标：(1)掌握黄金分割的定义及黄金分割点的作法；(2)会进行黄金分割的有关计算。

4.2黄金分割学习目标、重点、难点【学习目标】1、 黄金分割的定义；2、 黄金分割的求法及画法.【重点难点】1、 黄金分割的定义；2、 黄金分割的求法及画法.知识概览图黄金分割⎪⎩⎪⎨⎧黄金分割的画法黄金分割的求法黄金分割的定义新课导引五角星是我们常见的图形，如右图所示，它让你感受到了一种美．现实生活中还有很多这样的图案，你能举出一些例子吗?【点拨】在现实生活中，正五边形也会让你感受到一种美，还有许多雕塑、绘画等艺术作品都会给人一种美的享受.教材精华知识点1 黄金分割的定义如图4-6所示，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBC AB AC =，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，由计算可知，AC ∶AB ＝215-∶1≈0.618∶1． 黄金分割的应用：黄金分割不仅应用于艺术创作，还广泛应用于服装设计、汽车制造、建筑设计、几何图形创作等各类工艺造型中．知识点2 黄金分割的画法画法1：如图4-7所示，设AB 是已知线段，以AB 为边作正方形ABCD ；取AD 的中点E ，连接EB ；延长DA 至F ，使EF ＝EB ；以线段AF 为边作正方形AFGH ．点H 就是AB 的黄金分割点．画法2：如图4-8所示，已知线段AD ，经过点B 作BD ⊥AB ，使BD ＝21AB ，连接AD ，在DA 上截取DE ＝DB ，在AB 上截取AC ＝AE ，则点C 是线段AB 的黄金分割点；课堂检测基础知识应用题1、已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP ＞PB ，设以AP 为边的正方形的面积为S 1，以PB 和AB 为邻边的矩形面积为S 2，则S 1与S 2之间的大小关系是 ( )A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．无法确定2、已知点C 将线段AB 黄金分割，且AC ＜BC ，则BC 等于 ( )A ．215-AB B ．215+ABC ．253- ABD ．235-AB综合应用题3、以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图4-10所示．(1)求AM ，DM 的长；(2)试说明AM 2=AD ·DM ；(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗?探索创新题4、如图4-13所示，作线段AB 的黄金分割点C ．方法如下：(1)过点B 作BD ⊥AB ，使BD ＝21AB ； (2)连接AD ，在AD 上截取DE ＝BD ；(3)在AB 上截取AC ＝AE ，则点C 是线段AB 的黄金分割点．即AC 2＝AB ·BC ．你能证明这样得到的C 点是黄金分割点吗?体验中考1、宽与长的比是215-的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤(如图4-14所示)．第一步：作一个任意正方形ABCD ；第二步：分别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ；第三步：以N 为圆心，ND 为半径画弧，交BC 的延长线于点E ；第四步：过点E 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形(可取AB ＝2)．学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、答案：B.【解题策略】 黄金分割点把线段分成两部分，较长线段是较短线段和整个线段的比例中项．2、答案：A.【解题策略】 理解由黄金分割点得到的三条线段的关系．3、分析 抓住题中的作图过程：便抓住了问题中的数量关系，根据作图过程，层层推进．解：(1)因为正方形ABCD 的边长为2，P 是AB 的中点，所以AD ＝AB ＝2；AP ＝1，∠BAD ＝90°，所以PD ＝522=+AD AP ．因为PF ＝PD ，所以AF ＝5-1．在正方形AMEF 中，AM ＝AF ＝5-l ，所以MD ＝AD -AM ＝3-5.(2)由(1)得AD ·DM ＝2×(3-5)＝6-25，AM 2=(5-1)2＝6-25．所以AM 2＝AD ·DM.(3)图4-10中的M 点是线段AD 的黄金分割点．【解题策略】 根据数形结合思想，逐步推理．4、解：设AB ＝a ，AC ＝x ，则AD ＝AE +ED ＝x +2a ．在Rt △ABD 中，由勾股定理，得22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a x ， 整理，得x 2＝a (a-x )，即AC 2＝AB ·BC ，所以点C 是线段AB 的黄金分割点．【解题策略】 解此题的关键是利用、黄金分割的定义来证明．体验中考1、证明：在正方形ABCD 中，取AB ＝2．∵N 为BC 的中点，∴NC ＝21BC ＝1． 在Rt △DNC 中，ND ＝22CD ND +＝2221+＝5．又∵NE =ND ，∴CE =NE-NC =5-1，∴215-=CD CE ． 故矩形DCEF 为黄金矩形．【解题策略】 理解黄金分割的意义．。