2018年秋浙教版八年级数学上《2.5逆命题和逆定理》同步练习含答案

2．5 逆命题和逆定理知识点1互逆命题1．命题“全等三角形的周长相等”的逆命题为() A．全等三角形的周长不相等B．周长相等的三角形全等C．周长相等的三角形不一定全等D．周长不相等的三角形不全等2．下列命题的逆命题不正确的是()A．等边三角形的三个角都相等B．两直线平行，内错角相等C．等腰三角形的两个底角相等D．直角三角形有两个锐角3．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)若a2是有理数，则a是有理数；(3)若|m|＞0，则m≠0.知识点2互逆定理4．[2017·湖州期中]下列说法正确的是() A．每个定理都有逆定理B．每个命题都有逆命题C．假命题没有逆命题D．真命题的逆命题是真命题5．下列定理中，没有逆定理的是()A．全等三角形的对应边相等B．两直线平行，同位角相等C．在一个三角形中，等边对等角D．对顶角相等知识点3线段垂直平分线性质定理的逆定理6．如图2－5－1，AC＝AD，BC＝BD，则有()图2－5－1 A．AB与CD互相垂直平分B．CD垂直平分ABC．AB垂直平分CDD．CD平分∠ACB7．如图2－5－2，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P.(1)求证：P A＝PB＝PC；(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得到什么结论？图2－5－28．已知命题“如图2－5－3，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，AD为△ABC的角平分线，那么点D在线段AB的垂直平分线上”是真命题，请证明．图2－5－39．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”．(1)写出其逆命题．(2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出图形，写出已知、求证，再进行证明；如果是假命题，请举反例说明．教师详解详析1．B 2.D3．解：(1)逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形．它是真命题． (2)逆命题：若a 是有理数，则a 2是有理数．它是真命题． (3)逆命题：若m ≠0，则|m |＞0.它是真命题． 4．B 5.D 6.C7．解：(1)证明：∵P 是AB ，BC 的垂直平分线的交点，∴P A ＝PB ，PB ＝PC ， ∴P A ＝PB ＝PC .(2)点P 在边AC 的垂直平分线上．结论：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等． 8．证明：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则∠AED ＝90°.∵∠C ＝90°，∴∠AED ＝∠C ＝90°. 在△AED 和△ACD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AED ＝∠C ，∠EAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△ACD ，∴AE ＝AC .∵AB ＝2AC ，∴AB ＝2AE ，∴BE ＝AE ， ∴DE 所在直线是线段AB 的垂直平分线，即点D 在线段AB 的垂直平分线上． 9．解：(1)逆命题：有两边上的高线相等的三角形是等腰三角形． (2)真命题．已知：如图，△ABC 的两边AC ，AB 上的高线BD ，CE 相等．求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵BD，CE是△ABC的高线，∴CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又∵∠A＝∠A，BD＝CE，∴△ADB≌△AEC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．。

逆命题和逆定理 同步练习【课堂训练】1.下列命题中，假命题．．．是（ ）A ．两点之间，线段最短 B ．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D ．对角线相等的四边形是矩形 2. 下列命题中正确的是（ ） A ．矩形的对角线相互垂直 B ．菱形的对角线相等 C ．平行四边形是轴对称图形D ．等腰梯形的对角线相等3. 分析下列命题：①四边形的地砖能镶嵌（密铺）地面；②不同时刻的太阳光照射同一物体，则其影长都是相等的；③若在正方形纸片四个角剪去的小正方形边长越大，则所制作的无盖长方体形盒子的容积越大． 其中真命题．．．的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．04. 在下列命题中，是真命题的是（ ）A ．两条对角线相等的四边形是矩形 B ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 D ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形5. 已知下列命题：①若00a b >>，，则0a b +>； ②若a b ≠，则22a b ≠；③角的平分线上的点到角的两边的距离相等； ④平行四边形的对角线互相平分． 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个． 7. 下列命题中，正确命题的个数为（ ）（1）若样本数据3、6、a 、4、2的平均数是4，则其方差为2（2）“相等的角是对顶角”的逆命题 （3）对角线互相垂直的四边形是菱形（4）若二次函数23(1)y x k =-+图象上有三个点1)y ，（22y ，），1()y ，则321y y y >> A ．1个B ．3个C ．2个D ．4个8.已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题： ． 【课后训练】1．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做________．2．如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的________，这两个定理叫做_________．3．每个命题都有它的________，但每个真命题的逆命题不一定是真命题． 4．线段垂直平分线性质定理的逆定理是_____________________． 5．命题“对顶角相等”的逆命题是_____________________，是_____命题． 6．下列说法中，正确的是（ ）A ．每一个命题都有逆命题B ．假命题的逆命题一定是假命题C ．每一个定理都有逆定理D ．假命题没有逆命题 7．下列命题的逆命题为真命题的是（ ）A ．如果a=b ，那么a 2=b 2 B ．平行四边形是中心对称图形 C ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D ．内错角相等8．下列定理中，有逆定理的是（ ）A ．四边形的内角和等于360°B ．同角的余角相等C ．全等三角形对应角相等D ．在一个三角形中，等边对等角 9．写出下面命题的逆命题，并判断其真假．10．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举反例说明．（1）有两边上的高相等的三角形是等腰三角形．（2）三角形的中位线平行于第三边．11．写出符合下列条件的一个原命题：（1）原命题和逆命题都是真命题．（2）原命题是假命题，但逆命题是真命题．（3）原命题是真命题，但逆命题是假命题．（4）原命题和逆命题都是假命题．12．已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，①AB∥CD，②AO=CO，③，AD=BC，④∠ABC=∠ADC．（1）请从以上条件中选取两个作为命题的条件，结论为四边形ABCD是平行四边形，并使构成的命题为真命题，请对你所构造的一个真命题给予证明．（2）能否从以上条件中选取两个作为命题的条件，结论为四边形ABCD是平行四边形，并使构成的命题为假命题？若能，请写出一个满足条件的假命题，并举反例说明．参考答案1. 答案：D2. 答案：D3. 答案：C4. 答案：C5. 答案：B6. 答案：47. 答案：B8. 答案：如果一个平行四边形是菱形，那么这个平行四边形的两条对角线互相垂直参考答案:1．互逆命题2．逆定理，互逆定理3．逆命题4．到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上5．如果两个角相等，那么它们是对顶角；假6．A 7．C 8．D9．（1）真，如果x（x-2）=0，那么x=2；假（2）真，三边对应相等的两个三角形全等；真（3）真，在一个三角形中，等角对等边；真（4）真，等边三角形是等腰三角形；假（5）假，如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角；假10．（1）等腰三角形两腰上的高相等，是真命题，证明略（2）平行于三角形一边的线段是三角形的中位线，是假命题，反例略11．略12．（1）答案不唯一，如选①和②等，证明略（2）如选①和③，反例略逆命题和逆定理同步练习一、选择题1.下列四句话中，正确的是（）A、任何一个命题都有逆命题B、任何一个定理都有逆定理C、若原命题为真，则其逆命题也为真D、若原命题为假，则其逆命题也假A、假命题的逆命题定是假命题B、定理一定有逆定理C、真命题的逆命题定是真命题D、命题一定有逆命题3.下列命题中，错误的是（）A、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等B、到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上C、任何命题都有逆命题D、任何定理都有逆定理4.下列说法错误的是（）A、任意一个命题都有逆命题B、定理“全等三角形的对应角相等”有逆定理C、正方形都相似是真命题D、“画平行线”不是命题5.下列说法错误的是（）A、任何命题都有逆命题B、定理都有逆定理C、命题的逆命题不一定是正确的D、定理的逆定理一定是正确的6. 下列说法正确的是（）A、每个命题都有逆命题B、每个定理都有逆定理C、真命题的逆命题是真命题D、真命题的逆命题是假命题7. 下列说法中正确的是（）A、每个命题都有逆命题B、每个定理都有逆定理C、真命题的逆命题是真命题D、假命题的逆命题是假命题A、真命题的逆命题是真命题B、每个定理都有逆定理C、每个命题都有逆命题D、假命题的逆命题是假命题9. 下列说法正确的是（）A、每个命题都有逆命题B、真命题的逆命题是真命题C、假命题的逆命题是真命题D、每个定理都有逆定理二、填空题1.请写出定理：“全等三角形三个角相等”的逆定理，并判断命题的真假．，.2.请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理..3. 写出定理“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的逆定理是= .4. 写出你熟悉的一个定理：，写出这个定理的逆定理：．5. 是定理“两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”的逆定理.6.命题“如果一个数能被10整除，那么这个数也一定能被5整除”的逆命题是，这个逆命题为（填“真命题”或“假命题”）7. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是，这个逆命题是命题．（填“真”或“假”）三、解答题1.请你写出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题，并判断逆命题的真假；若是真命题，请写出已知、求证、证明；若是假命题，则请举反例证明．2.已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．（1）写出逆命题；（2）逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”，“求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明．3. 请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题，判断此逆命题的真假性，并给出证明．参考答案一、选择题1.解：A、命题的逆命题就是把原命题的题设和结论互换，故任何命题都有逆命题，故本选项正确，B、定理，逆定理都是真命题，但定理的逆命题不一定都是真命，故本选项错误，C、若原命题为真，则其逆命题不一定为真，故本选项错误，D、若原命题为假，则其逆命题不一定为真，故本选项错误．故选A．2. 解：A、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：两个角相等三角形是等腰三角形，它的逆命题是真命题，本选项错误；B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，本选项错误；C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，它是假命题而不是真命题，本题错误；D、命题一定有逆命题，本选项正确；故选D．3. 解：A、∵角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，这是正确的，故本选项错误；B、到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，这是正确的，故本选项错误；C、任何命题都有逆命题，这是正确的，故本选项错误；D、∵任何定理不一定有逆定理，这是错误的，故本选项正确．故选D．4. 解：A、命题都有题设和结论，交换题设和结论，就得到逆命题，正确；B、定理“全等三角形的对应角相等”的逆命题是对应角相等的三角形全等，错误；C、所有正方形都相似，正确；D、画平行线是作图，没有题设与结论，不是命题，正确．故选B．5. 解：A正确；B错误，正确的命题才是定理，定理的逆命题不一定是正确的，故不能说定理都有逆定理；C正确；D正确；故选B．6. 解：A、每个命题都有逆命题，故本选项正确．B、每个定理不一定都有逆定理，故本选项错误．C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误．D、真命题的逆命题不一定是假命题，故本选项错误．故选A．7. 解：A、每个命题都有逆命题，正确；B、每个定理都有逆定理，错误，只有正确的命题才是定理，错误；C、真命题的逆命题不一定是真命题，错误；D、假命题的逆命题不一定是假命题，错误．故选A8. 解：A、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误，B、每个定理都有逆命题，故本选项错误，C、每个命题都有逆命题，故本选项正确，D、假命题的逆命题不一定是假命题，故本选项错误，故选：C．9. 解：A、正确；B、错误，不能确定；C、错误，不能确定；D、错误，不能确定．故选A．二、填空题1.解：定理：“全等三角形三个角相等”的逆定理是三个角对应相等的两个三角形全等，三个角对应相等的两个三角形不一定全等，∴该命题为假命题，故答案为：三个角对应相等的两个三角形全等，假命题．2.有两个角相等的三角形是等腰三角形．3. 到角的两边距离相等的点在角平分线上4. 两直线平行，同位角相等同位角相等，两直线平行．5. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补6. 如果一个数能被5整除，那么这个数能被10整除假命题7.对应角相等的三角形全等假三、解答题1.2.3.。

2.5 逆命题和逆定理基础闯关全练1．下列说法正确的是( )A．命题都有逆命题B．定理都有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题2．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理；如果没有，请写出它的逆命题(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)全等三角形的面积相等．3．如图2-5-1，AC=AD，BC=BD．则( )图2-5-1A.CD垂直平分AB B．AB垂直平分CDC．CD平分∠ACB D．以上结论均不对能力提升全练1．请写出下列定理的逆命题，并判定这个逆命题是不是定理．(1)对顶角相等：(2)两条直线平行，同位角相等．2．如图2-5-2．在△ABC中．AB=AC，点P，Q，尺分别在AB，BC，AC上，且PB=QC，QB =RC.求证：点Q在PR的垂直平分线上．图2-5-23．如图2-5-3，四边形ABCD中，AB的垂直平分线与CD的垂直平分线交于点P．且PA= PD.求证：点P-定在BC的垂直平分线上.图2-5-3三年模拟全练把一张长方形纸条按如图2-5-4所示的方式折叠，使点C落在C’处，设BC’交AD于点D，则点D在BD的垂直平分线上，你能说明理由吗？图2-5-4五年中考全练一、填空题1．命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是____________.二、解答题2．如图2-5-5，已知等腰三角形ABC中，AB =AC，点D，E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连结BE、CD，交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.图2-5-5核心素养全练如图2-5-6.(1)在四边形ABCD中，△ABC与△ADC的面积相等．求证：直线AC必平分BD：(2)写出(1)的逆命题，这个命题是否正确？为什么？图2-5-6答案：基础闯关全练1．A命题都有逆命题是正确的，不能由原命题的真假判断其逆命题的真假，所以真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题也不一定是假命题，定理不一定都有逆定理，故选A．2．解析(1)有逆定理，逆定理为“两直线平行，同旁内角互补”．(2)没有逆定理，逆命题为“面积相等的两个三角形全等”．3．B 根据AC=AD,BC=BD可知点A、B都在CD的垂直平分线上．故AB所在直线为CD的垂直平分线，即AB垂直平分CD.能力提升全练1．解析(1)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，这是一个假命题，不是定理．(2)逆命题：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，这是一个定理．2．证明∵AB=AC．∴∠B=∠C(等边对等角)，又∵PB =QC，QB=RC，∴△BPQ≌△CQR( SAS),∴QP=QR，∴点Q在PR的垂直平分线上．3．证明如图，连结PB、PC.∵点P是AB、CD的垂直平分线的交点，∴PA= PB．PC =PD．又∵PA =PD,∴PB=PC,∴点P一定在BC的垂直平分线上，三年模拟全练解析理由：∵AD／／BC,∴∠CBD= ∠ADB．又∵∠CBD=∠C'BD,∴∠C'BD= ∠ADB,∴OB=OD,∴点D在BD的垂直平分线上.五年中考全练一、填空题1．答案菱形的四条边相等解析命题“四边相等的四边形是菱形”的条件是“一个四边形的四条边都相等”，结论是“这个四边形是菱形”，它的逆命题是“如果一个四边形是菱形，那么这个四边形的四条边都相等”，即“菱形的四条边相等”．二、解答题2．解析(1) ∠ABE= ∠ACD．理由如下：在△ABE与△ACD中，∵AB=AC,∠BAE= ∠CAD,AE=AD,∴△ABE'≌△ACD( SAS).∴∠ABE= ∠ACD．(2)证明：∵AB=AC，∴∠ABC= ∠ACB．由(1)可知∠ABE= ∠ACD，∴∠FBC= ∠FCB,∴FB= FC．又∵AB=AC,∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A、F的直线垂直平分线段BC．核心素养全练解析(1)过点B作BE∠AC，垂足为E，过D作DF⊥AC，垂足为F．如图，已知，且两个三角形有同底AC，∴两三角形的高线相等，即BE= DF.设AC与BD交于点D，易证△BOF≌△DOF( AAS)．∴OB= OD，即直线AC平分BD．(2)逆命题：若四边形ABCD的对角线AC平分对角线BD，则AC必将四边形分成两个面积相等的三角形．这个逆命题是正确的，理由如下：如图，∵OB= OD,∠BOE= ∠DOF,∠BEO= ∠DF0=90°，∴△BOE≌△DOF．∴BF,= DF．即两个三角形的高线相等，∴.。

八年级数学上2.5逆命题和逆定理同步练习（浙教版有答
案）
25 逆命题和逆定理同步练习
【堂训练】
1下列命题中，假命题是（）A．两点之间，线段最短
B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
c．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是矩形
2 下列命题中正确的是（）
A．矩形的对角线相互垂直 B．菱形的对角线相等
c．平行四边形是轴对称图形D．等腰梯形的对角线相等
3 分析下列命题
①四边形的地砖能镶嵌（密铺）地面；
②不同时刻的太阳光照射同一物体，则其影长都是相等的；③若在正方形纸片四个角剪去的小正方形边长越大，则所制作的无盖长方体形盒子的容积越大．
其中真命题的个数是（）
A．3 B．2 c．1 D．0
4 在下列命题中，是真命题的是（）A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
c．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形24
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。

2．5逆命题和逆定理1. 已知命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”，写出它的逆命题：如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0．2．“等边三角形有两个角都等于60°”的逆命题为有两个角是60°的三角形是等边三角形．这个逆命题是真命题(填“真”或“假”)．3．给出下列命题：①若a>0，b>0，则a＋b>0；②若a≠b，则a2≠b2；③角平分线上的点到角的两边距离相等；④不是对顶角的角不相等．其中原命题与逆命题均为真命题的有(A)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 给出下列结论：①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形的角平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题．其中正确的有(B) A．1个B．2个C．3个D．4个5. 下列四个命题中，逆命题正确的是(D)A．两个数的差为正数，则这两个数都为正数B．如果a2＋b2＝0，那么a＝0C．如果一个三角形为锐角三角形，那么这个三角形三个角中必存在大于60°的角D．如果两个角有一条公共边，并且这两个角的和是180°，那么这两个角互为邻补角6．下列命题中，逆命题正确的是(B)A．若a＝b，则|a|＝|b|B．两直线平行，同位角相等C．全等三角形的对应角相等D. 直角都相等7．下列定理中，无逆定理的是(B)A．两直线平行，内错角相等B．对顶角相等C．全等三角形的三条边对应相等D．在同一个三角形中，等边对等角8．写出下列命题的逆命题，并判断真假．(1)如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等；(2)如果a＝5，那么a(a－5)＝0.(3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0.【解】(1)如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形．是真命题．(2)如果a(a－5)＝0，那么a＝5.是假命题．(3)如果a＝0，b＝0，那么ab＝0.是真命题．9．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出它的逆定理．(1)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；(2)三角形的外角和等于360°；(3)等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线互相重合．【解】(1)有逆定理．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的两边及其夹角对应相等．(2)无逆定理．(3)有逆定理．若一个三角形的一个角的平分线与这个角所对边上的高线互相重合，则这个三角形是等腰三角形．10．对于以下说法：①如果一个命题是真命题，那么它的逆命题不一定是真命题；②每个定理都有逆定理；③基本事实是通过推理判断为正确的命题；④“同位角相等”是定理．其中正确的说法有(A)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解】命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角．从这个例子可看出①对②错．定理是通过推理判断为正确的命题，故③错．“同位角相等”是假命题，定理都是真命题，故④错．11. 材料：如果两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则称这两个命题互为否命题．逆命题的否命题称为逆否命题．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则1－q有平方根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号有(C)A．①②③B．③④C．①③D．①④【解】①逆命题是：若x，y互为相反数，则x＋y＝0.它是真命题．②否命题是：若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等．它是假命题．③逆命题是：若1－q有平方根，则q≤1.它是真命题．④逆否命题是：三个内角不相等的三角形是等边三角形．它是假命题．12．举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理．(第12题解)【解】逆命题：如果两个三角形面积相等，那么这两个三角形全等．反例：如解图所示，l1∥l2，△ABC和△BCD同底等高，∴△ABC的面积等于△BCD的面积，但△ABC和△BCD不全等．故此定理没有逆定理．13．已知下列命题：①若a≤0，则|a|＝－a；②若ma2>na2，则m>n；③对顶角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(B)A. 0B. 1C. 2D. 3【解】①命题“若a≤0，则|a|＝－a”是真命题，逆命题为“若|a|＝－a，则a≤0”，是真命题；②命题“若ma2>na2，则m>n”是真命题，逆命题为“若m>n，则ma2>na2”，是假命题；③命题“对顶角相等”是真命题，逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题．所以原命题与逆命题均为真命题的个数是1.。

2.5~2.6逆命题和逆定理、直角三角形专题一逆命题的真假1. 已知命题“若a＞b，则a2＞b2”．（1）此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；（2）写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例．2. 同学们，这学期我们学过不少定理，你还记得“在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，请你写出它的逆命题，并证明它的真假．专题二直角三角形的性质的综合运用3. 请你写出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题，并判断逆命题的真假；若是真命题，请写出已知、求证、证明；若是假命题，则请举反例证明．4. 如图，△ABC是等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，延长BD到F，使DF=BC，连结CE和DE.求证：CE=DE.课时笔记【知识要点】1. 互逆命题的概念在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.2 .逆定理的概念如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.3. 垂直平分线的性质定理的逆定理到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.4. 直角三角形的概念及符号有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，直角三角形可以用符号“Rt△”表示.5. 直角三角形的性质定理直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.6. 直角三角形的判定定理有两个角互余的三角形是直角三角形.【温馨提示】1. 一个真命题的逆命题不一定是真命题，一个假命题的逆命题不一定是假命题.2. 直角三角形的两个锐角之和等于90°，反之如果一个三角形的两个锐角之和等于90°，那么这个三角形是直角三角形.参考答案1.解：（1）假命题．反例：a=2，b=-3，有a＞b，但a2＜b2；（2）逆命题：若a2＞b2，则a＞b．此命题为假命题．反例：a=-2，b=-1，有a2＞b2，但a＜b．2. 解：原命题的逆命题为：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°．∴△ACD≌△ACB，∴AD=AB．∵AB=2BD，BC=DC，∴AB=DB，∴△ADB为等边三角形．∴∠B=60°．∵AC⊥DB，∴∠CAB=30°．3. 解：原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．已知：△ABC中，∠B=∠C．求证：△ABC是等腰三角形．证明：过点A 作AH ⊥BC 于点H ， 则∠AHB=∠AHC=90°.在△ABH 和△ACH 中，∴△ABH ≌△ACH （AAS ）， ∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．4. 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=60°，AB=BC.又∵AE=BD ，DF=BC ，∴BE=BF.∴△BEF 是等边三角形. ∴BF=EF ，∠F=60°.在△EBC 和△EFD 中，EB EFB F CB DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△EBC ≌△EFD （SAS ）. ∴CE=DE.。

2.5 逆命题和逆定理一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知命题：如果a=b，那么∣a∣=∣b∣．该命题的逆命题是 ( )A. 如果a=b，那么∣a∣=∣b∣B. 如果∣a∣=∣b∣，那么a=bC. 如果a≠b，那么∣a∣≠∣b∣D. 如果∣a∣≠∣b∣，那么a≠b2. 下列定理：①同角的余角相等；②线段垂直平分线上的点，到这条线段两端的距离相等；③同位角相等，两直线平行；④同角的补角相等．其中有逆定理的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 下列定理中，没有逆定理的是 ( )A. 内错角相等，两直线平行B. 直角三角形中，两锐角互余C. 相反数的绝对值相等D. 同旁内角互补，两直线平行4. 下列定理中，有逆定理的是( )A. 对顶角相等B. 同角的余角相等C. 全等三角形的对应角相等D. 在一个三角形中，等边对等角5. 下列说法中，正确的是 ( )A. 每一个命题都有逆命题B. 假命题的逆命题一定是假命题C. 每一个定理都有逆定理D. 假命题没有逆命题6. 下列命题的逆命题是真命题的是 ( )A. 全等三角形的周长相等B. 对顶角相等C. 等边三角形的三个角都是60∘D. 全等三角形的对应角相等7. 下列定理中，逆命题错误的是( )A. 两直线平行，内错角相等B. 直角三角形两锐角互余C. 对顶角相等D. 同位角相等，两直线平行8. 已知下列命题：其中原命题与逆命题均为真命题的是( )①若a2≠b2，则a≠b；②垂直于弦的直径平分这条弦；③角平分线上的点到这个角的两边距离相等；④平行四边形的对角线互相平分；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．A. ②③④B. ①②④C. ③④⑤D. ①③⑤9. 已知下列命题：①若a=b，则a2=b2；②若x>0，则∣x∣=x；③一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形；④一组对边平行且不相等的四边形是梯形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是 ( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 已知下列命题：① 若a≤0，则∣a∣=−a；② 若ma2>na2，则m>n；③ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④ 垂直于弦的直径平分弦．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是 ( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共10小题；共50分）11. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是．12. “对顶角相等”的逆命题是．13. 命题“如果a2=b2，那么∣a∣=∣b∣”的逆命题是( )．14. 写出命题“如果a=b，那么3a=3b”的逆命题：．15. 命题“如果a<0，b<0，那么a+b<0”的条件是，结论是，这个命题的逆命题是．16. 命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：．17. 把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果⋯，那么⋯”的形式：．18. 命题“相等的角是对顶角”的条件是，结论是；它的逆命题是．19. 命题“对顶角相等”的逆命题是，是（填“真命题”或“假命题”）．20. 写出“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是．三、解答题（共5小题；共65分）21. 写出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假．Ⅰ如果a>b，那么∣a∣>∣b∣．Ⅱ如果a=b，那么a2=b2．22. 下列命题是否成立，说出它们的逆命题，这些逆命题成立吗?Ⅰ两直线平行，同旁内角互补；Ⅱ若x=1，则x2−1=0．23. 写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．24. 已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．25. 写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题．答案第一部分1. B2. B3. C4. D5. A6. C7. C8. C9. A 10. B第二部分11. 同位角相等，两直线平行12. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角13. “如果∣a∣=∣b∣，那么a2=b2”14. 如果3a=3b，那么a=b．15. a<0，b<0；a+b<0；如果a+b<0，那么a<0，b<0．16. 两直线平行，同位角相等．17. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行18. 两个角相等，这两个角是对顶角，对顶角相等19. “相等的角是对顶角”；“假命题”．20. 两个角相等的三角形是等腰三角形第三部分21. （1）如果∣a∣>∣b∣，那么a>b，原命题与逆命题都是假命题．（2）如果a2=b2，那么a=b，原命题是真命题，逆命题是假命题．22. （1）命题成立．逆命题：同旁内角互补，两直线平行．逆命题成立（2）命题成立．逆命题：若x2−1=0，则x=1．逆命题不成立．23. 逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．原命题是假命题.反例：如解图①，∠CAD的两边与∠EBF的两边分别垂直，但∠CAD=45∘，∠EBF=135∘，∠CAD≠∠EBF．逆命题是假命题.反例：如解图②，∠CAD=∠EBF，但显然AC与BE，BF都不垂直．24. 逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形，是真命题．已知：如解图，在△ABC中，BD=CD，AD平分∠BAC .求证：△ABC是等腰三角形．证明：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，CE .∵BD=CD，DE=DA，∠BDE=∠CDA，∴△BDE≌△CDA( SAS)．∴BE=CA，∠BED=∠CAD .∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD .∴∠BAD=∠BED .∴AB=BE .∴AB=AC .∴△ABC是等腰三角形．25. 逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如解图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE=DF .求证：△ABC为等腰三角形．证明：连接AD .∵D是BC的中点，∴S△ABD=S△ACD .∵DE⊥AB，DF⊥AC，AB⋅DE，∴S△ABD=12AC⋅DF .S△ACD=12∵DE=DF，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形．初中数学试卷金戈铁骑制作。

2.5 逆命题和逆定理同步练习【课堂训练】1.下列命题中，假命题．．．是（）A．两点之间，线段最短B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是矩形2. 下列命题中正确的是（）A．矩形的对角线相互垂直 B．菱形的对角线相等C．平行四边形是轴对称图形D．等腰梯形的对角线相等3. 分析下列命题：①四边形的地砖能镶嵌（密铺）地面；②不同时刻的太阳光照射同一物体，则其影长都是相等的；③若在正方形纸片四个角剪去的小正方形边长越大，则所制作的无盖长方体形盒子的容积越大．其中真命题．．．的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．04. 在下列命题中，是真命题的是（）A．两条对角线相等的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形5. 已知下列命题：①若00+>；a ba b>>，，则0②若a b≠，则22≠；a b③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；④平行四边形的对角线互相平分．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个．7. 下列命题中，正确命题的个数为（ ）（1）若样本数据3、6、a 、4、2的平均数是4，则其方差为2（2）“相等的角是对顶角”的逆命题（3）对角线互相垂直的四边形是菱形（4）若二次函数23(1)y x k =-+图象上有三个点1)y ，（22y ，），1()y ，则321y y y >>A ．1个B ．3个C ．2个D ．4个8.已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题： ．参考答案1. 答案：D2. 答案：D3. 答案：C4. 答案：C5. 答案：B6. 答案：47. 答案：B8. 答案：如果一个平行四边形是菱形，那么这个平行四边形的两条对角线互相垂直【课后训练】【知识盘点】1．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做________．2．如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的________，这两个定理叫做_________．3．每个命题都有它的________，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．4．线段垂直平分线性质定理的逆定理是_____________________．5．命题“对顶角相等”的逆命题是_____________________，是_____命题．【基础过关】6．下列说法中，正确的是（）A．每一个命题都有逆命题B．假命题的逆命题一定是假命题C．每一个定理都有逆定理D．假命题没有逆命题7．下列命题的逆命题为真命题的是（）A．如果a=b，那么a2=b2 B．平行四边形是中心对称图形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形D．内错角相等8．下列定理中，有逆定理的是（）A．四边形的内角和等于360° B．同角的余角相等C．全等三角形对应角相等 D．在一个三角形中，等边对等角9．写出下面命题的逆命题，并判断其真假．【应用拓展】10．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举反例说明．（1）有两边上的高相等的三角形是等腰三角形．（2）三角形的中位线平行于第三边．11．写出符合下列条件的一个原命题：（1）原命题和逆命题都是真命题．（2）原命题是假命题，但逆命题是真命题．（3）原命题是真命题，但逆命题是假命题．（4）原命题和逆命题都是假命题．【综合提高】12．已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，①AB∥CD，②AO=CO，③，AD=BC，④∠ABC=∠ADC．（1）请从以上条件中选取两个作为命题的条件，结论为四边形ABCD是平行四边形，并使构成的命题为真命题，请对你所构造的一个真命题给予证明．（2）能否从以上条件中选取两个作为命题的条件，结论为四边形ABCD是平行四边形，并使构成的命题为假命题？若能，请写出一个满足条件的假命题，并举反例说明．参考答案:1．互逆命题 2．逆定理，互逆定理 3．逆命题4．到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上5．如果两个角相等，那么它们是对顶角；假6．A 7．C 8．D9．（1）真，如果x（x-2）=0，那么x=2；假（2）真，三边对应相等的两个三角形全等；真（3）真，在一个三角形中，等角对等边；真（4）真，等边三角形是等腰三角形；假（5）假，如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角；假10．（1）等腰三角形两腰上的高相等，是真命题，证明略（2）平行于三角形一边的线段是三角形的中位线，是假命题，反例略11．略12．（1）答案不唯一，如选①和②等，证明略（2）如选①和③，反例略初中数学试卷。

浙教新版八年级上学期《2.5 逆命题和逆定理》同步练习卷一．解答题（共50小题）1．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．2．利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）4．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．5．用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角．6．阅读以下证明过程：已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB＝c，AC＝b，BC＝a．求证：a2+b2≠c2．证明：假设a2+b2＝c2，则由勾股定理逆定理可知∠C＝90°，这与已知中的∠C ≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．请用类似的方法证明以下问题：已知：a，b是正整数，若关于x的一元二次方程x2+2a（1﹣bx）+2b＝0有两个实根x1和x2，求证：x1≠x2．7．（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即；（2）写出命题“一次函数y＝kx+b，若k＞0，b＞0，则它的图象不经过第二象限．”的逆命题，并判断逆命题的真假．若为真命题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明．8．证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．9．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．10．用反证法证明：在△ABC中，如果M、N分别是边AB、AC上的点，那么BN、CM不能互相平分．11．（用反证法证明）已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b．12．用反证法证明“一个三角形中不可能有两个角是钝角”已知：△ABC求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是钝角证明：假设．13．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．证明：假设求证的结论不成立，那么∴∠A+∠B+∠C＞这与三角形相矛盾．∴假设不成立∴．14．用反证法证明（填空）：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2＝180°．求证：l1l2证明：假设l1l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P180°所以∠1+∠2180°，这与矛盾，故不成立．所以．15．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”证明：假设所求证的结论不成立，即∠A60°，∠B60°，∠C60°，则∠A+∠B+∠C＞．这与相矛盾．∴不成立．∴．16．在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝1．求证：∠A≠30°．17．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明．（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．（2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形．18．用反证法证明：若两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行．19．求证：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．20．判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：（1）若，则a＝3；（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，且BE＝CF．则AD 是△ABC的中线．21．反证法证明：如果实数a、b满足a2+b2＝0，那么a＝0且b＝0．22．能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能填，请填出一个例；如果不能填，请说明理由．23．在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素分别相等，这两个三角形也未必全等．（1）试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长．（2）为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰）．24．求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．25．求证：在△ABC中至多有两个角大于或等于60°．26．请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．27．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．28．如图，已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦，求证：AB与CD不能互相平分．29．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2≠180°．求证：l1与l2不平行．证明：假设l1l2，则∠1+∠2180°（两直线平行，同旁内角互补）这与矛盾，故不成立．所以．30．求证：在△ABC中，∠B≠∠C，则AB≠AC（提示：反证法）31．仿照课本中“证明是无理数”的方法求证：是无理数．32．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，请你利用反证法证明∠DAB是一个锐角．33．用反证法证明：三角形中不能有两个角是直角或钝角．34．用反证法证明：△ABC的三个内角中至少有两个锐角．35．用反证法，求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行．36．证明任意四个连续整数之和不可能是384．37．用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于60°．38．用反证法证明：等腰三角形的底角相等．39．用反证法证明：垂直于同一条直线的两条直线互相平行．40．用反证法证明：平行于同一条直线的两条线平行．41．用反证法证明：如果x＞，那么x2+2x﹣1≠0．42．设a，b，c是不全相等的任意实数，若x＝b2﹣ac，y＝c2﹣ab，z＝a2﹣bc．求证：x，y，z至少有一个大于零．43．求证：点（x+1，2x+1）一定不在第二象限．44．用反证法证明：△ABC中至少有两个角是锐角．45．用反证法证明：三角形中的最大角不可能小于60°．46．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于．47．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的中点，且BD≠CE，求证：AB≠AC．48．如图，a⊥b，c与b不垂直．求证：a与c必相交．49．平面上有A、B、C三点，在此平面上能否找到一个点O，使点O到A、B、C三点的距离相等？如果能，请作出这个点；如果不能，请用反证法加以证明．50．已知：如图，在△ABC中，∠BAC的外角平分线与BC的延长线交于点E．求证：AB≠AC．浙教新版八年级上学期《2.5 逆命题和逆定理》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．【分析】当条件较少，无法直接证明时，可用反证法证明；先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．【解答】证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即都大于60°；那么，这个三角形的三个内角之和就会大于180°；这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾，原命题正确．【点评】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．2．利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角．【分析】根据反证法的证明方法假设出命题，进而证明即可．【解答】证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角，不妨设∠A、∠B为钝角，∴∠A+∠B＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立原命题正确．【点评】此题主要考查了反证法，需熟练掌握反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）【分析】运用反证法进行求解：（1）假设结论PB＜PC不成立，即PB≥PC成立．（2）从假设出发推出与已知相矛盾．（3）得到假设不成立，则结论成立．【解答】证明：假设PB≥PC．把△ABP绕点A逆时针旋转，使B与C重合，∵PB≥PC，PB＝CD，∴CD≥PC，∴∠CPD≥∠CDP，又∵AP＝AP，∴∠APD＝∠ADP，∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP，即∠APC≥∠ADC，又∵∠APB＝∠ADC，∴∠APC≥∠APB，与∠APB＞∠APC矛盾，∴PB≥PC不成立，综上所述，得：PB＜PC．【点评】此题主要考查了反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．4．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．【分析】根据反证法的证法步骤知：第一步反设，假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，第二步得出矛盾：A+B+C＝90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；第三步下结论：所以一个三角形中不能有两个直角，从而得出原命题正确．【解答】证明：假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，则∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴∠A＝∠B＝90°不成立；所以一个三角形中不能有两个直角．【点评】此题主要考查了反证法的应用，反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想．相对于直接证明来讲，反证法是一种间接证法．它是数学学习中一种很重要的证题方法．其实质是运用“正难则反”的策略，从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾．5．用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角．【分析】用反证法证明；先设等腰三角形的底角是直角或钝角，然后得出假设与三角形内角和定理相矛盾，从而得出原结论成立．【解答】证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C＝180°，而∠A+∠B+∠C＝180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B+∠C＞180°，而∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．故等腰三角形两底角必为锐角【点评】本题考查的是反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．6．阅读以下证明过程：已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB＝c，AC＝b，BC＝a．求证：a2+b2≠c2．证明：假设a2+b2＝c2，则由勾股定理逆定理可知∠C＝90°，这与已知中的∠C ≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．请用类似的方法证明以下问题：已知：a，b是正整数，若关于x的一元二次方程x2+2a（1﹣bx）+2b＝0有两个实根x1和x2，求证：x1≠x2．【分析】假设x1＝x2，则方程x2﹣2abx+2a+2b＝0有两个相等的实数根，即判别式△＝0，据此即可得到a和b的关系，然后根据a、b是正整数从而得到错误的结论，从而证明△＝0错误，得到所证的结论．【解答】证明：假设x1＝x2，则方程x2﹣2abx+2a+2b＝0有两个相等的实数根，∴△＝4a2b2﹣8a﹣8b＝4a2b2﹣4（2a+2b）＝0，则a2b2＝2a+2b，a2b2＝2（a+b）．∵a、b是正整数，∴2（a+b）是偶数，∴a2b2也是偶数，又∵a、b为正整数，∴a、b中必有一个是2的倍数，不妨设a是偶数，即a是2的倍数，则a2是4的倍数．∴a2b2是4的倍数．∴a+b是2的倍数．∵a是2的倍数，a2b2＝2（a+b），∴＝a+b，＝，＝+．∵a、b是偶数，∴位正偶数，∴+为正整数．又∵a、b位偶数，∴a＝b＝2，此时，a2b2＝16，而2（a+b）＝8，a2b2≠2（a+b）与事实不符．∴△≠0，即x1≠x2．【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．7．（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即三角形内角中全都小于60°；（2）写出命题“一次函数y＝kx+b，若k＞0，b＞0，则它的图象不经过第二象限．”的逆命题，并判断逆命题的真假．若为真命题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明．【分析】（1）直接利用反证法的第一步分析得出答案；（2）利用命题与定理，首先写出假命题进而得出答案；【解答】解：（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即三角形内角中全都小于60°；故答案为：三角形内角中全都小于60°；（2）逆命题：“一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则k＞0，b＞0，”逆命题为假命题，反例：当b＝0时，一次函数图象也不过第二象限（不唯一）．【点评】此题主要考查了反证法以及命题与定理，正确写出逆命题是解题关键．8．证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．【分析】利用反证法的步骤，首先假设原命题错误，进而得出与三角形内角和定理矛盾，从而证明原命题正确．【解答】证明：假设△ABC中每个内角都小于60°，则∠A+∠B+∠C＜180°，这与三角形内角和定理矛盾，故假设错误，即原结论成立，在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．【点评】此题主要考查了反证法，正确把握反证法的证明步骤是解题关键．9．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．【分析】首先假设三角形的一个外角不等于与它不相邻的两个内角的和，根据三角形的内角和等于180°，得到矛盾，所以假设不成立，进而证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．【解答】已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，求证：∠1＝∠A+∠B，证明：假设∠1≠∠A+∠B，在△ABC中，∠A+∠B+∠2＝180°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠2，∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝180°﹣∠2，∴∠1＝∠A+∠B，与假设相矛盾，∴假设不成立，∴原命题成立即：∠1＝∠A+∠B．【点评】本题考查了反证法的运用，反证法的一般解题步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．10．用反证法证明：在△ABC中，如果M、N分别是边AB、AC上的点，那么BN、CM不能互相平分．【分析】首先假设BN、CM能互相平分，利用平行四边形的性质进而求出即可．【解答】已知在△ABC中，M、N分别是边AB、AC上的点，求证：BN、CM不能互相平分．证明：假设BN、CM能互相平分，则四边形BCNM为平行四边形，则BM∥CN，即：AB∥AC，这与在△ABC中，AB、AC交于A点相矛盾，所以BN、CM能互相平分结论不成立，故BN、CM不能互相平分，【点评】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的步骤是解题关键．11．（用反证法证明）已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b．【分析】用反证法进行证明；先假设原命题不成立，然后经过推导得出与已知或定理相矛盾，从而证得原结论正确．【解答】证明：假设a与b相交，则过M点有两条直线平行于直线c，这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾，所以a∥b．【点评】考查了反证法．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，只要否定其一即可．12．用反证法证明“一个三角形中不可能有两个角是钝角”已知：△ABC求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是钝角证明：假设．【分析】根据反证法的证明方法假设出命题，进而证明即可．【解答】证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角，不妨设∠A、∠B为钝角，∴∠A+∠B＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立原命题正确．【点评】此题主要考查了反证法，需熟练掌握反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．13．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°∴∠A+∠B+∠C＞180°这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．【解答】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立，∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．故答案为：三角形中所有角都大于60°；180°；的三内角和为180°；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．【点评】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．14．用反证法证明（填空）：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2＝180°．求证：l1∥l2证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P＝180°（三角形内角和定理）所以∠1+∠2＜180°，这与已知矛盾，故假设不成立．所以l1∥l2．【分析】用反证法证明问题，先假设结论不成立，即l1不平行l2，根据三角形内角和定理，可得∠1+∠2+∠P＝180°，与已知相矛盾，从而证得l1与l2平行．【解答】证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P＝180°（三角形内角和定理），所以∠1+∠2＜180°，这与∠1+∠2＝180°矛盾，故假设不成立．所以结论成立，l1∥l2．【点评】此题主要考查了反证法的证明，反证法证明问题，是常见的证明方法，关键是找出与已知相矛盾的条件．15．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”证明：假设所求证的结论不成立，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，则∠A+∠B+∠C＞180°．这与内角和180°相矛盾．∴假设不成立．∴求证的命题正确．【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．【解答】解：证明：假设所求证的结论不成立，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，则∠A+∠B+∠C＞180°．这与内角和为180°相矛盾．则假设不成立．则求证的命题正确．故答案为：＞，＞，＞，180°，内角和180°，假设，求证的命题正确．【点评】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．16．在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝1．求证：∠A≠30°．【分析】首先假设结论不成立，即∠A＝30°，利用勾股定理逆定理得出∠C＝90°，进而得出矛盾，从而得出结论成立，即∠A≠30°．【解答】证明：假设结论不成立，即∠A＝30°，∵，∴△ABC是Rt△，且∠C＝90°，∵∠A＝30°，∴，这与BC＝1矛盾，∴假设不成立，∴结论成立，即∠A≠30°．【点评】此题主要考查了反证法的证明，利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．17．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明．（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．（2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形．【分析】（1）真命题，不管底角还是顶角为60°，都可推出等腰三角形的每个角都为60°（2）假命题，举一个反例即可．【解答】解：（1）真命题，（2）假命题．假设原命题为真命题，那么在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝30°，∠C＝130°，则△ABC就应该是锐角三角形；而实际上△ABC就应该是钝角三角形，所以假设错误，所以原命题为假命题．【点评】本题考查了命题的判断，可反证法来证明．18．用反证法证明：若两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行．【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此得出假设与已知定理矛盾，进而得出答案．【解答】证明：如图所示：已知l1‖l3，l2‖l3，假设l1不平行于l2，l1‖l3则l2不平行于l3与条件l2‖l3矛盾，所以l1‖l2．【点评】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．19．求证：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．【分析】用反证法进行证明；先设任意三角形的三个外角中有2个直角，然后得出假设与三角形内角和定理相矛盾，从而证得原结论成立．【解答】证明：假设任意三角形的三个外角中有2个直角，因为两个外角为直角，则相邻两个内角也为90°，再加上一个角一定大于180°，与三角形内角和为180°矛盾，所以任意三角形的三个外角中至多有一个直角．【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，这里三角形的三个外角中至多有一个直角反面是三角形的三个外角中有两个或三个为直角．20．判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：（1）若，则a＝3；（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，且BE＝CF．则AD 是△ABC的中线．【分析】（1）利用a＝﹣3时，，但a≠3，得出命题错误；（2）利用已知得出△BED≌△CFD，进而求出BD＝CD，得出AD是△ABC的中线．【解答】（1）解：是假命题，当a＝﹣3时，，但a≠3，所以命题（1）是假命题；（2）是真命题，证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠DFC＝∠DEB＝90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS）∴BD＝CD，∴AD是△ABC的中线，∴所以命题（2）是真命题．【点评】此题主要考查了判断命题的正确性以及全等三角形的判定与性质，得出△BED≌△CFD是解题关键．21．反证法证明：如果实数a、b满足a2+b2＝0，那么a＝0且b＝0．【分析】由于结论a＝0且b＝0的否定为：a≠0或b≠0，由此推理得出矛盾，问题得证．【解答】证明：假设a≠0或b≠0，∵（1）当a≠0且b≠0，∴a2＞0，b2＞0，∴a2+b2＞0，∴与a2+b2＝0出现矛盾，故假设不成立，原命题正确．同理可得：（2）a≠0且b＝0，（3）a＝0且b≠0时，与a2+b2＝0出现矛盾，故假设不成立，原命题正确．【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，从而得到所求，属于基础题．22．能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能填，请填出一个例；如果不能填，请说明理由．【分析】可根据已知假设能填列出相应的等式进行推理，推出与已知相矛盾，说明能填不成立，故不能填．【解答】解：不能填，理由如下：设所填的互不相同的4个数为a，b，c，d；则有①﹣②得c2﹣d2＝d2﹣c2∴c2＝d2因为：c≠d，只能是c＝﹣d④同理可得c2＝b2因为c≠b，只能c＝﹣b⑤比较④，⑤得b＝d，与已知b≠d矛盾，所以题设要求的填数法不存在．【点评】此题是考查运用反证法推理问题，关键是根据已知假设能填列出相应的等式进行推理．23．在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素分别相等，这两个三角形也未必全等．（1）试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长．（2）为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰）．【分析】（1）本题可以举出一个实例，让它满足题目的已知条件而结论不满足．相等的几个元素对应的位置不同，则两个三角形就不全等．（2）要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的，只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的长，再写出另一个△A′B′C′的三边长ka、k2a、k3a；然后根据三角形三边关系定理确定k的取值范围．【解答】解：（1）如下图，△ABC与△A′B′C′是相似的（相似比为），但它们并不全等，显然它们之中有五对元素是对应相等的．（5分）（答案不唯一）（2）容易知道，要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的．（2分）设小△ABC的三边长分别为a、b、c，且不妨设a＜b＜c，由小△ABC到大△A′B′C′的相似比为k，则k＞1．∵△A′B′C′的三边长分别为ka、kb、kc，且a＜ka＜kb＜kc∴在△ABC中，与△A′B′C′中两边对应相等的两条边只可能是b与c∵b＜c＜kc∴在△A′B′C′中，与b、c对应相等的两条边只可能是ka、kb∴．∴由a到b、由b到c应具有相同的放大系数（a、b、c成公比为k的等比数列），这个系数恰为△ABC与△A′B′C′的相似比k．下面考虑相似比k所受到的限制：∵△ABC的三边长分别为a、ka、k2a，且a＞0，k＞1∴a+ka＞k2a解之得1＜k＜（注：≈1.618）（4分）因此构造反例时，只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的长，再设定一个1～1.168之间的放大系数k，从而写出另外两条边的长ka、k2a．然后在△ABC的基础上，以前面的放大系数k为相似比，再写出另一个△A′B′C′的三边长ka、k2a、k3a．通过这种方法，可以构造出大量符合题意的反例．（1分）【点评】本题主要考查了构造反例的方法．是较难把握的问题．24．求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．【分析】先假设它们的对边相等，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证得原结论成立．【解答】证明：假设它们所对的边相等，则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”知它们所对的角也相等，这就与题设两个角不等相矛盾，因此假设不成立，故原结论成立．【点评】本题结合等腰三角形的性质考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．25．求证：在△ABC中至多有两个角大于或等于60°．【分析】用反证法进行证明；先设三角形中，三个内角都大于60°，然后得出假设与三角形内角和定理相矛盾，从而证得原结论成立．【解答】证明：假设一个三角形中有3个内角大于60°，则∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°；∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°相矛盾，故在△ABC中至多有两个角大于或等于60°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理和反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．26．请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．【分析】首先假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1，另一个奇数为2p+1，利用多项式乘以多项式得出（2n+1）（2p+1）＝2（2np+n+p）+l，进而得出矛盾，则原命题正确．【解答】证明：假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1，另一个奇数为2p+1，（n、p为整数），。

浙教版-8年级-上册-数学-第2章《特殊三角形》2.5逆命题和逆定理-每日好题挑选【例1】下列说法中，正确的是（）A．每一个命题都有逆命题B．假命题的逆命题一定是假命题C．每一个定理都有逆定理D．假命题没有逆命题【例2】命题“若a是偶数，则3a是偶数”的逆命题是（）A．若3a是偶数，则a是偶数B．若3a是偶数，则a是奇数C．若3a是奇数，则a是奇数D．若3a是奇数，则a是偶数【例3】命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）A．若一个数是负数，则它的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则它是负数C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数【例4】下列命题的逆命题是假命题的是（）A．等边三角形的三个角都相等B．两直线平行，内错角相等C．等腰三角形的两个底角相等D．对顶角相等【例5】下列命题的逆命题是真命题的是（）A．若a＝b，则a2＝b2B．全等三角形的周长相等C．若a＝0且b＝0，则ab＝0D．有两边相等的三角形是等腰三角形【例6】已知下列命题：①若a≤0，则|a|＝－a；②若ma2＞na2，则m＞n；③同位角相等，两直线平行；④直角都相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【例7】如图所示仪器的示意图中，OD＝OE，CD＝CE.小州把这个仪器往直线l上一放，使点D，E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，他这样判断的理由是（）A．到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【例8】命题“两直线平行，内错角相等”的条件是，结论是，这个命题的逆命题的条件是，结论是。

【例9】命题：“如果m是整数，那么它是有理数”的逆命题为：。

【例10】命题“和为180°的两个角互为补角”的逆命题是。