[考研类试卷]考研数学二(微分方程)模拟试卷6.doc

[考研类试卷]考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编6一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设A是三阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为( )2 设A为三阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵。

记，则A=( )（A）P1P2。

（B）P1－1P2。

（C）P2P1。

（D）P2P1－1。

3 设，其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )（A）α1，α2，α3。

（B）α1，α2，α4。

（C）α1，α3，α4。

（D）α2，α3，α4。

4 设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（A）α1一α2，α2一α3，α3一α1。

（B）α1+α2，α2+α3，α3+α1。

（C）α1一2α2，α2—2α3，α3—2α1。

（D）α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1。

5 设矩阵。

若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为( )6 矩阵相似的充分必要条件为( )（A）a=0，b=2。

（B）a=0，b为任意常数。

（C）a=2，b=0。

（D）a=2，b为任意常数。

7 设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22一y32，其中P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，一e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为( )（A）2y12—y22+y32。

（B）2y12+y22一y32。

（C）2y12一y22一y32。

（D）2y12+y22+y32。

二、填空题8 设三阶方阵A，B满足A2B一A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=，则｜B｜=_________。

9 设A，B为三阶方阵，且｜A｜=3，｜B｜=2，｜A－1＋B｜=2，则｜A+B－1｜=_________。

10 设A=，E为四阶单位矩阵，且B=(E+A)－1(E—A)则(E+B)－1=_________。

考研数学二（常微分方程）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知微分方程y’’+by’+y=0的每个解都在区间(0，+∞)上有界，则实数b 的取值范围是( )A．[0，+∞)．B．(一∞，0]．C．(一∞，4]．D．(一∞，+∞)．正确答案：A解析：方程y’’+by’+y=0的特征方程为r2+6r+1=0，特征根为(1)b2＜4时，原方程通解为(2)b2=4时，原方程通解为(3)b2＞4时，原方程通解为由以上解的形式可知，当b≥0时，每个解都在[0，+∞)上有界，故选A．知识模块：常微分方程2．具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是( )A．y’’’一y’’一y’+y=0．B．y’’’+y’’一y’一y=0．C．y’’’一6y’’+11y’一6y=0．D．y’’’一2y’’一y’+2y=0．正确答案：B解析：由y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，r=一1，一1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r —1)(r+1)2=0，即r3+r2一r—1=0，对应的微分方程为y’’’+y’’一y’一y=0，故选B．知识模块：常微分方程3．函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是( )A．y’’一y’一2y=3xex．B．y’’一y’一2y=3ex．C．y’’+y’一2y=3xex．D．y’’+y’一2y=3ex．正确答案：D解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为λ1=1，λ2=一2．因此对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0．故对应的齐次微分方程为y’’+y’一2y=0．又因为y*=xex为原微分方程的一个特解，而λ=1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形为f(x)=Cex(C为常数)．比较四个选项，应选D．知识模块：常微分方程4．设是微分方程的解，则的表达式为( )A．1B．1C．1D．1正确答案：A解析：1 知识模块：常微分方程5．微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2=1的特解为( )A．xy2=4．B．xy=4．C．x2y=4．D．一xy=4．正确答案：C解析：原微分方程分离变量得，两端积分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，将y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解为x2y=4．应选C．知识模块：常微分方程6．已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( )A．y=Cy1(x)．B．y=Cy2(x)．C．y=C1y1(x)+C2y2(x)．D．y=C(y1(x)一y2(x))．正确答案：D解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则y=C(y1(x)一y2(x))为该方程的解．知识模块：常微分方程7．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是( ) A．C1y1+C2y2+y3．B．C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．C．C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3．D．C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．正确答案：D解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y1一y3)，(y2一y3)都是齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y1一y3)与(y2一y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)．比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选D．知识模块：常微分方程8．已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )A．y=C1x+C2x2+ex．B．y=C1x2+C2ex+x．C．y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x．D．y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)．正确答案：C解析：方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x 一x2)+C2(x一ex)+x，故选C．知识模块：常微分方程填空题9．微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解为____________．正确答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex解析：对应的特征方程为r2一2r+2=0，解得其特征根为r1,2=1±i．由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Ae2，代入原方程解得A=1．因此所求的通解为y=C1exeosx+C2exsinx+ex．知识模块：常微分方程10．二阶常系数非齐次线性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解为y=______________．正确答案：y=C1ex+C2e3x－2e2x解析：特征方程为r2一4r+3=0，解得r1=1，r2=3．则对应齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x．设非齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=2e2x 的特解为y*=ke2x，代入非齐次方程可得k=-2．故通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x．知识模块：常微分方程11．微分方程满足初始条件y｜x=2=1的特解是___________．正确答案：x=y2+y解析：将x看作未知函数，则上式为x对y的一阶线性方程，又因y=1＞0，则将x=2，y=1代入，得C=1．故x=y2+y．知识模块：常微分方程12．微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=____________．正确答案：(x+C)cosx，C是任意常数解析：直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知知识模块：常微分方程13．已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=_____________．正确答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x，C1，C2为任意常数解析：显然y1一y3=e3x和y2－y2=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解．且y*=一xe2x是非齐次微分方程的一个特解．由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2e一xe2x，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程14．设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为____________.正确答案：y’’-2y’+2y=0解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是r1，r2=1±i，因此特征方程为(r-r1)(r—r2)=r一(r1+r2)r+r1r2=r2一2r+2=0．故，所求微分方程为y’’一2y’+2y=0．知识模块：常微分方程15．微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=_____________.正确答案：xe1-x解析：此方程为一阶齐次微分方程，令y=ux，则有，所以原方程可化为解此微分方程得ln｜lnu一1｜=ln｜C1x｜，去绝对值可得lnu=C1x+1，u=eC1x+1，将u｜x=1=1代入，得C1=一1，u=e1-x，因此原方程的解为y=xe1-x．知识模块：常微分方程16．微分方程xy’’+3y’=0的通解为_______________．正确答案：解析：令p=y’，则原方程化为，其通解为p=Cx-3．因此，知识模块：常微分方程17．微分方程的通解是____________．正确答案：y=Cxe-x(x≠0)解析：原方程等价为两边积分得lny=lnx—x+C1．取C=eC1，整理得y=Cxe-x(x ≠0)．知识模块：常微分方程18．微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解为__________．正确答案：解析：将已知微分方程变形整理得，知识模块：常微分方程19．微分方程的通解为____________．正确答案：解析：二阶齐次微分方程的特征方程为知识模块：常微分方程20．微分方程满足y｜x=1=1的特解为_____________．正确答案：解析：知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（常微分方程）模拟试卷24(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设线性无关的函数y 1．y 2，y 3都是二阶非齐次线性微分方程y”+py’+qy=f(x)的解，C 1、C 2是任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 2 +C 2 y 2一(C 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2一(1一C 1—C 2 )y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1一C 1—C 2 )y 3√解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)3.—x+y—1)的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：4.微分方程(y 2 +x)dx一2xydy=0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y 2 =x(ln|x|+C)）解析：5. 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：6.方程y"一3y’+2y=2e x的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x +C 2 e 2x一2xe x）解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：8.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：9.求下列方程通解或满足给定初始条件的特解：1)y’+1=xe x+y．4)(1+x)y”+y’=0 5)yy”一(y’) 2 =y 4，y(0)=1．y’(0)=0 6)y"+4y’+1=0 7)y"+9y=cos(2x+5) 8)y"'一3y”+9y’+13y=e 2x sin2x（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：2)x(csc(x+y)一cot(x+y))=C 3)y=(x+C)cosx 4)y=C 1ln|1+x|+C 2) 解析：10.已知y 1 =3，y 2 =3+x 2，y 3 =3+e x．是二阶线性非齐次方程的解，求方程通解及方程．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：所求方程为(2x一x 2)y”+(x 2一2)y’+2(1一x)y=6(1-x)．通解为： y=C 1 x 2 +C 2 e x +3)解析：11.已知函数y=e 2x +(x+1)e x是二阶常系数线性非齐次方程y”+ay’+by=ce x的一个特解，试确定常数a，b，c及该方程的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：a=一3，b=2,c=一1．y=C 1 e 2x +C 2 e x +xe x)解析：12.设有微分方程y’一2y=φ(x)，其中φ试求在(一∞,+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(一∞，1)，(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：13.已知y"+(x+e 2y )y '3 =0。

考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x0，y0)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有A．②→③→①．B．③→②→①．C．③→④→①．D．③→①→④．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学2．设有三元方程xy－zlny＋exz＝1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z＝z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y＝y(x，z)和z＝z(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数z＝x(y，x)和z＝z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x＝x(y，z)和y＝y(x，2)．正确答案：D 涉及知识点：多元函数微分学3．已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且，则A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学4．设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是A．f(x0，y)在y＝y0处的导数等于零．B．f(x0，y)在y＝y0处的导数大于零．C．f(x0，y)在y＝y0处的导数小于零．D．f(x0，y)在y＝y0处的导数不存在．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学填空题5．设z＝ex－f(x－2y)，且当y＝0时，z＝x2，则＝________。

考研数学二（微分方程）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设线性无关的函数y1(x)，y2(x)，y3(x)均是方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该方程的通解是( )A．C1y1+C2y2+y3B．C1y1+C2y2一(C1+C2)y3C．C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3D．C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3正确答案：D解析：由于C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3，其中y1一y3和y2一y3是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又y3是原方程的一个特解，所以(D)是原方程的通解．知识模块：微分方程2．设二阶线性常系数齐次微分方程y”+by’+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是( )A．[0，+∞)B．(一∞，0]C．(-∞，4]D．(一∞，+∞)正确答案：A解析：因为当b≠±2时，y(x)=，所以，当b2—4＞0时，要想使y(x)在区间(0，+∞)上有界，只需要即b＞2．当b2—4＜0时，要想使y(x)在区间(0，+∞)上有界，只需要的实部大于等于零，即0≤b＜2．当b=2时，y(x)=C1e-x+C2xe-x 在区间(0，+∞)上有界．当b=一2时，y(x)=C1ex+C2xex(C12+C22≠0)在区间(0，+∞)上无界．综上所述，当且仅当b≥0时，方程y”+by’+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，故选(A)．知识模块：微分方程3．具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶线性常系数齐次微分方程是( )A．y”‘一y”一y’+y=0B．y”‘+y”一y’一y=0C．y”‘一6y”+11y’一6y=0D．y”‘一2y”一y’+2y=0正确答案：B解析：根据题设条件，1，一1是特征方程的两个根，且一1是重根，所以特征方程为(λ一1)(λ+1)2=λ3+λ2一λ一1=0，故所求微分方程为y”‘+y”一y’一y=0，故选(B)．或使用待定系数法，具体为：设所求的三阶线性常系数齐次微分方程是y”‘+ay”+by’+cy=0．由于y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex 是上述方程的解，所以将它们代入方程后得解得a=1，b=一1，c=一1．故所求方程为y”‘+y”一y’一y=0，即选项(B)正确．知识模块：微分方程4．函数(其中C是任意常数)对微分方程而言，( )A．是通解B．是特解C．是解，但既非通解也非特解D．不是解正确答案：C解析：(1)因原方程阶数为二，通解中应包含两个任意常数(可求出通解为C1+(2)特解中不含有任意常数满足原方程，故选项(A)，(B)，(D)都不对，应选(C)．知识模块：微分方程5．微分方程y”一6y’+8y=ex+e2x的一个特解应具有形式(其中a，b为常数) ( )A．aex+be2xB．aex+bxe2xC．axex+be2xD．axex+bxe2x正确答案：B解析：由原方程对应齐次方程的特征方程r2-6r+8=0得特征根r1=2，r2=4．又f1(x)=ex，λ=1非特征根，对应特解为y1*=aex；f2(x)=e2x，λ=2为特征单根，对应特解为y2*=bxe2x．故原方程特解的形式为aex+bxe2x，即选(B)．知识模块：微分方程6．微分方程y”+2y’+2y=e-xsin x的特解形式为( )A．e-x(Acos x+Bsin x)B．e-x(Acos x+Bxsin x)C．xe-x(Acos x+Bsin x)D．e-x(Axcos x+Bsin x)正确答案：C解析：特征方程r2+2r+2=0即(r+1)2=一1，特征根为r1.2=一1±i，而λ±i ω=一1±i是特征根，特解y*=xe-x(Acosx+Bsin x)．知识模块：微分方程7．微分方程的通解是( )A．2e3x+3ey2=CB．2e3x+=CC．2e3x一=CD．e3x—=C正确答案：C解析：原方程写成，分离变量有．积分得知识模块：微分方程8．微分方程y”一4y’+4y=x2+8e2x的一个特解应具有形式(其中a，b，C，d为常数) ( )A．ax2+bx+ce2xB．ax3+bx+C+dx2e2xC．ax2+bx+cxe2xD．ax2+(bx2+cx)e2x正确答案：B解析：对应特征方程为r2一4r+4=0，特征根是r1,2=2而f1=x2，λ1=0非特征根，故y1*=ax2+bx+c：又f2=8e2x，λ2=2是二重特征根，所以y2*=dx2e2x．y1*与y2*合起来就是特解，选(B)．知识模块：微分方程填空题9．设y1=ex，y2=x2为某二阶线性齐次微分方程的两个特解，则该微分方程为__________．正确答案：解析：由于方程形状已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可．设所求的二阶线性齐次微分方程为y”+p(x)y’+q(x)y=0分别以y1=ex，y2=x2代入，得知识模块：微分方程10．设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶线性非齐次方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x) ①的3个解，且则式①的通解为_______正确答案：y=C1(y1—y2)+C2(y2一y3)+y1，其中C1，C2为任意常数解析：由线性非齐次方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关便可．y1一y2与y2一y3均是式①对应的线性齐次方程y”+p(x)y’+q(x)y=0 ②的两个解．今证它们线性无关．事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数k1与k2使k1(y1一y2)+k2(y2一y3)=0．③设k1≠0，又由题设知y2-y3≠0，于是式③可改写为矛盾．若k1=0，由y2一y3≠0，故由式③推知k2=0矛盾．这些矛盾证得y1一y2与y2-y3线性无关．于是Y=C1(y1一y2)+C2(y2一y3) ④为式②的通解，其中C1，C2为任意常数，从而知y=C1(y1一y2)+C2(y2-y3)+y1 ⑤为式①的通解．知识模块：微分方程11．微分方程满足初值条件y(0)=0，y’(0)=的特解是______．正确答案：x=ey一e-y一解析：熟悉反函数的导数的读者知道，原方程可化为x关于y的二阶常系数线性方程．将式①代入原方程，原方程化为解得x关于y的通解为x=C1ey+C2e-y一②以x=0时，y=0代入上式，得0=C1+C2．再将式②两边对y求导，有解得C1=1，C2=一1，于是得特解x=ey—e-y一知识模块：微分方程12．设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(一∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)，成立f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，且f’(0)存在等于a，a≠0，则f(x)=________．正确答案：axex解析：由f’(0)存在，设法去证对一切x，f’(x)存在，并求出f(x)．将y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得f(x)=f(x)+f(0)ex，所以f(0)=0．令△x→0，得f’(x)=f(x)+exf’(0)=f(x)+aex，所以f’(x)存在．解此一阶微分方程，得f(x)=ex[∫aex．e-xdx+C]=ex(sx+C)．因f(0)=0，所以C=0，从而得f(x)=axex，如上所填. 知识模块：微分方程13．设f(x)在(一∞，+∞)上可导，且其反函数存在为g(x)．若∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex-ex+1，则当一∞＜x＜+∞时．f(x)=______．正确答案：解析：未知函数含于积分之中的方程称积分方程．现在此积分的上限为变量，求此方程的解的办法是将方程两边对x求导数化成微分方程解之．注意，积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中，读者应自行设法挖掘之．将所给方程两边对x求导，有g(f(x))f’(x)+f(x)=xex．因g(f(x))≡x，所以上式成为xf’(x)+f(x)=xex．以x=0代入上式，由于f’(0)存在，所以由上式得f(0)=0．当x≠0时，上式成为解得由于f(x)在x=0处可导，所以连续．令x→0，得从而知C=1．于是得知识模块：微分方程14．微分方程y’+ytan x=cos x的通解为y=_______．正确答案：(x+C)cos x，其中C为任意常数解析：属于一阶线性非齐次方程，直接根据一阶线性非齐次方程的方法即可得出答案．知识模块：微分方程15．微分方程y”一4y=e2x的通解为y=______．正确答案：-其中C1，C2为任意常数解析：y”一4y=0的特征根λ=±2，则其通解为y=C1e-2x+C2e2x．设其特解y*=Axe2x代入y”*4y=e2x，可解得所以y”-4y=e2x的通解为C1e-2x+，其中C1，C2为任意常数．知识模块：微分方程16．微分方程3extan ydx+(1一ex)sec2ydy=0的通解是__________．正确答案：tan y=C(ex一1)3，其中C为任意常数解析：方程分离变量得．积分得ln(tan y)=3ln(ex一1)+lnC．所以方程有通解为tan y=C(ex一1)3，其中C为任意常数．知识模块：微分方程17．微分方程y’tan x=yln y的通解是_________．正确答案：y=eCsinx，其中C为任意常数解析：原方程分离变量，有．积分得ln(ln y)=ln(sin x)+ln C，通解为ln y=Csin x，或y=eCsinx，其中C为任意常数．知识模块：微分方程18．微分方程(6x+y)dx+xdy=0的通解是_________．正确答案：3x2+xy=C，其中C为任意常数解析：原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程．原方程化为①由一阶线性方程的通解公式得，其中C为任意常数，即3x2+xy=C，其中C 为任意常数．知识模块：微分方程19．微分方程的通解是_________．正确答案：y=C1e3x+C2e2x，其中C1，C2为任意常数解析：原方程是二阶常系数线性齐次微分方程．其特征方程为r2—5r+6=0，即(r一3)(r一2)=0．解出特征根r1=3，r2=2，即得上述通解．知识模块：微分方程20．微分方程的通解是_______．正确答案：y=(C1+C2x)ex+1，其中C1，C2为任意常数解析：原方程为二阶常系数线性非齐次微分方程．其通解为y=y齐+y*，其中y齐是对应齐次方程的通解，y*是非齐次方程的一个特解．因原方程对应齐次方程的特征方程为r2一2r+1=0，即(r一1)2=0，特征根为r1,2=1．故y齐=(C1+C2x)ex，其中C1，C2为任意常数．又据观察，显然y*=1与y齐合并即得原方程通解．知识模块：微分方程21．微分方程的通解_________包含了所有的解．正确答案：不一定解析：例如方程(y2一1)dx=(x一1)ydy，经分离变量有积分得通解y2-1=C(x 一1)2，但显然方程的全部解还应包括y=±1和x=1(实际上在分离变量时假定了y2一1≠0，x一1≠0)．知识模块：微分方程22．微分方程(y2+1)dx=y(y一2x)dy的通解是________．正确答案：．其中C为任意常数解析：知识模块：微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（微分方程）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设非齐次线性微分方程y’＋P(x)y＝Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是A．C[y1(x)－y2(x)]．B．y1(x)＋C[y1(x)－y2(x)]．C．C[y1(x)＋y2(x)]．D．y1(x)＋C[y1(x)＋y2(x)]．正确答案：B 涉及知识点：微分方程2．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”＋p(x)y’＋q(x)y＝f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．C1y1＋C2y2＋y3．B．C1y1＋C2y2－(C1＋C2)y3．C．C1y1＋C2y2－(1－C1—C2)y3．D．C1y1＋C2y2＋(1－C1－C2)y3．正确答案：D 涉及知识点：微分方程3．若连续函数f(x)满足关系式，则f(x)等于A．exln2．B．e2xIn2．C．ex＋ln2．D．e2x＋ln2．正确答案：B 涉及知识点：微分方程填空题4．微分方程y’＋ytanx＝cosx的通解为________．正确答案：y＝(x＋C)cosx；涉及知识点：微分方程5．微分方程xy’＋y＝0满足初始条件y(1)＝2的特解为_______．正确答案：xy＝2；涉及知识点：微分方程6．微分方程xy”＋3y’＝0的通解为_______．正确答案：y＝C1x－2＋C1；涉及知识点：微分方程7．微分方程y”＝2y’＋2y＝e2的通解为________．正确答案：y＝ex(C1cosx＋C1sinx)＋ex；涉及知识点：微分方程8．设Y＝ex(C1sinx＋C1cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_______．正确答案：y”－2y’＋2y＝0．涉及知识点：微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）模拟试卷16一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设C，C1，C2，C3是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是（A）y=C1x2+C2x+C3．（B）x2+y2=C．（C）y=ln(C1x)+ln(C1sinx)．（D）y=C1sin2x+C2cos2x．2 设y1(x)、y2(x)为二阶变系数齐次线性方程y"+p(x)y'+q(x)y=0的两个特解，则C1y1(x)+C2y2(x)(C1，C2为任意常数)是该方程通解的充分条件为（A）y1(x)y2'(x)－y2(x)y1'(x)=0．（B）y1(x)y2'(x)－y2(x)y1'(x)≠0．（C）y1(x)y2'(x)+y2(x)y1'(x)=0．（D）y1(x)y2'(x)+y2(x)y1'(x)≠0．二、填空题3 已知(x－1)y"－xy'+y=0的一个解是y1=x，又知y=e x－(x2+x+1)，y*=－x2－1均是(x－1)y"－xy'+y=(x－1)2的解，则此方程的通解是y=________．4 微分方程y"+6y'+9y=0的通解y=________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

5 求解下列方程： (Ⅰ)求方程xy"=y'lny'的通解； (Ⅱ)求yy"=2(y'2－y')满足初始条件y(0)=1，y'(0)=2的特解．6 设f(x)连续，且满足∫01f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．7 求下列方程的通解：(Ⅰ) y"－3y'=2－6x； (Ⅱ)y"+y=cosxcos2x．8 设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，若L过点，求L的方程．9 设热水瓶内热水温度为T，室内温度为T0，t为时间(以小时为单位)．根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与T－T0成正比．又设T0=20％，当t=0时，T=100℃，并知24小时后水瓶内温度为50℃，问几小时后瓶内温度为95℃?10 要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为h，上底面直径为2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数p．设水泥的比重为ρ，试求桥墩的形状．11 求下列方程的通解：(Ⅰ) y'=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y； (Ⅱ) xy'=+y．12 求解二阶微分方程的初值问题13 求微分方程xy"－y'=x2的通解。

考研数学真题数二试卷考研数学真题数二试卷是针对中国研究生入学考试数学科目的模拟试题集。

数二通常指的是数学二，是理工科专业考研数学科目的一种类型，涉及的数学内容主要包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计。

试卷结构：数二试卷一般包括选择题、填空题、解答题等题型。

选择题和填空题主要考查考生对基础知识的掌握程度和基本运算能力，而解答题则更侧重于考查考生的逻辑推理和综合解题能力。

内容范围：1. 高等数学：包括微分学、积分学、级数、多元函数微分学、多元函数积分学等内容。

2. 线性代数：涉及矩阵理论、线性空间、线性变换、特征值问题等。

3. 概率论与数理统计：包括随机事件的概率、随机变量及其分布、多维随机变量、大数定律、中心极限定理、统计量的分布、参数估计、假设检验等。

试题特点：- 试题难度适中，旨在检验考生对数学概念、原理和方法的理解和应用能力。

- 试题设计注重基础与应用相结合，既考查理论知识，也考查实际应用。

- 试题形式多样，既有直接考查计算能力的题目，也有需要考生进行推理和证明的题目。

复习建议：- 系统复习数学基础知识，确保对概念、定理和公式有清晰的理解。

- 通过大量练习，提高解题速度和准确率，尤其是对解答题的解题思路和方法要熟练掌握。

- 注重历年真题的练习，了解考试的出题规律和重点，针对性地进行复习。

- 在复习过程中，注意总结和归纳解题技巧，形成自己的解题体系。

结语：考研数学真题数二试卷是考生备考过程中的重要参考资料。

通过认真分析和练习真题，考生可以更好地掌握考试要求，提高应试能力。

同时，也要注意调整心态，合理安排复习计划，确保在考试中能够发挥出最佳水平。

1. 一个数的七分之一加上4等于18，这个数是多少？- A. 84- B. 90- C. 96- D. 102- （答案）2. 如果一个正方形的面积是64平方厘米，那么它的边长是多少厘米？- A. 6- B. 7- C. 8- D. 9- （答案）3. 已知2x - 6 = 14，求x 的值。

- A. 8- B. 9- C. 10- D. 11- （答案）4. 一个等腰三角形的底角为40°，那么顶角的度数为多少？- A. 80°- B. 90°- C. 100°- D. 110°- （答案）5. 某商品打九折后的价格是180元，那么原价是多少元？- A. 185- B. 190- C. 200- D. 210- （答案）6. 等差数列3, 7, 11, 15, ... 的第4项是多少？- A. 18- B. 19- C. 20- D. 21- （答案）7. 一个小球从10米高的地方落下，每次弹起高度为原来的三分之一，那么第二次弹起的高度是多少米？- A. 2.22- B. 3.33- C. 4.44- D. 5.55- （答案）8. 一个半径为6厘米的圆，其周长是多少厘米？（取π=3.14）- A. 30.84- B. 36.84- C. 37.68- D. 38.68- （答案）9. 如果\( x - 4 = 12 \)，那么\( x \) 的值为多少？- A. 15- B. 16- C. 17- D. 18- （答案）10. 一个长方形的周长是36厘米，如果长是10厘米，那么宽是多少厘米？- A. 5- B. 6- C. 7- D. 8- （答案）。

考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷6(题后含答案及解析)全部题型 2. 填空题3. 解答题填空题1．设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ，σ2，σ2，0)，则E(XY2)=__________，E[(X+Y)2]=__________。

正确答案：μσ2+μ3，2σ2+4μ2．解析：由于(X，Y)服从正态分布N(μ，μ，σ2，σ2，0)，所以X服从N(μ，σ2)，Y也服从N(μ，σ2)，而ρ=0，所以X与Y是相互独立的．因此E(XY2)=E(X).E(Y2)=E(X)[D(Y)+(EY)2]=μ(σ2+μ2)=μσ2+μ3．E[(X+Y)2]=E(X2+2XY+Y2)=E(X2)+2E(X)E(Y)+E(Y2) =D(X)+[E(X)]2+2E(X)E(Y)+D(Y)+[E(Y)]2 =σ2+μ2+2μ2+σ2+μ2=2σ2+4μ2．知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2．设X和Y是相互独立的且均服从正态分布N(0，)的随机变量，求Z=｜X—Y｜的数学期望。

正确答案：由于X和Y是相互独立的且均服从正态分布N(0，)的随机变量，所以T=X—Y服从N(0，1)，其概率密度为解析：本题考查独立条件下正态分布的性质及其函数的期望的计算．需要先判断X-Y的概率分布，然后再选择恰当的公式计算．知识模块：概率论与数理统计3．设X1和X2是相互独立的且均服从正态分布N(μ，σ)的随机变量，求E(max(X1，X2))．正确答案：设X1，X2的分布函数为F(x)，Z=max{X1，X2}，则fZ(x)=2F(x)d(x)，涉及知识点：概率论与数理统计4．设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)．(1)求V的概率密度fV(v)；(2)E(U+V)，E(UV)．正确答案：由于X和Y相互独立，都服从参数为1的指数分布，所以E(X)=E(Y)=1，且X的分布函数为(1)设V的分布函数为Fmin(v)，则Fmin(v)=1一[1-F(v)]2=1=e-2v，v＞0．故fV(v)=(2)E(U+V)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2．E(UV)=E(X)E(Y)=1×1=1．解析：本题考查独立同分布条件下最大值和最小值的分布．先写出V的分布函数，再求导得到其概率密度．注意到U+V=X+Y，UV=XY，利用性质和指数分布期望的结果得到E(U+V)，E(UV)．知识模块：概率论与数理统计5．设(X，Y)在区域D={(x，y)｜1≤x≤3，1≤y≤3}上服从均匀分布，事件A={X≤a}，B={Y＞a}．(1)若P(A∪B)=，求a；(2)设D0为事件A∪B所占的区域，随机地向D投点4次，Z为落入D0内的次数，求E(Z2)．正确答案：解析：本题考查将问题提炼为几何型概率和伯努利概率模型的能力．首先利用加法公式求出常数a，而D0为事件A∪B所占的区域，随机地向D投点4次，因此该试验是4次伯努利试验，由于Z为落入D0内的次数，因此意识到Z服从B(4，P(A∪B))，进而可利用方差的计算公式求出E(Z2)．知识模块：概率论与数理统计6．随机变量X的概率密度为f(x)=对X独立重复地观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求E(Y2)．正确答案：于是E(Y2)=D(Y)+(EY)2=5．解析：本题仍然是考查常用分布之二项分布的数字特征．对X独立重复地观察4次，用Y表示观察值大于．知识模块：概率论与数理统计7．设X服从N(1，4)，Y服从N(2，9)，且X与Y相互独立，如果服从N(0，1)，求常数a，b．正确答案：由已知，E(X)=1，D(X)=4，E(Y)=2，D(Y)=9，由于X与Y 相互独立，所以解得a=一2，b=±5．解析：考查正态分布的数字特征．根据期望和方差的运算性质或独立条件下正态分布的性质求出a，b．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X3，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从N(0，4)，X3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X1-2X2+3X3，求D(Y)．正确答案：由已知条件，D(X1)==3，D(X2)=4，D(X3)=3．又X1，X2，X3相互独立，从而D(Y)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+4×4+9×3=46．涉及知识点：概率论与数理统计9．设(x)表示标准正态分布函数，随机变量X的分布函数F(x)=(x一1)，求(1)a、b应满足的关系式；(2)E(X)．正确答案：(1)F(+∞)=1，有a+b=1．(2)以φ(x)表示标准正态分布的概率密度，则E(x)=∫-∞+∞xdF(x)=∫-∞+∞x[aφ(x)+bφ(x一1)]dx．=a ∫-∞+∞xφ(x)dx+b∫-∞+∞xφ(x一1)dx．注意到∫-∞+∞xφ(x)dx=0，从而有E(x)=b∫-∞+∞xφ(x一1)dx=b∫-∞+∞(x一1+1)φ(x一1)dx =b∫-∞+∞(x一1)φ(x一1)dx+b∫-∞+∞φ(x—1)dx．令x一1=t，有E(x)=b∫-∞+∞tφ(t)dt+b∫-∞+∞φ(t)dt =b×0+b×1=b．解析：考查分布函数的性质和计算数学期望的方法．由于X的分布已知，可以利用公式结合分布的性质出E(X)．知识模块：概率论与数理统计10．设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X，Y)=12，求(X，Y)的概率密度．正确答案：解析：本题考查二维正态分布的参数含义和概率密度的形式，将参数代入到概率密度表达式可得到概率密度的具体形式．知识模块：概率论与数理统计11．已知随机变量X和Y分别服从正态分布N(1，32)和N(0，42)，且X 与Y的相关系数ρXY=．(1)求E(Z)和D(Z)；(2)求X与Z的相关系数ρXY；(3)问X与Z是否相互独立，为什么?正确答案：(3)X与Z不一定相互独立．因为Z未必服从正态分布，(X，Z)也未必服从二维正态分布，X与Z不相关，但X与Z不一定是独立的．解析：综合考查正态分布，二维正态分布的关系和数字特征．利用数字特征的性质直接求出E(Z)，D(Z)和ρXY．判断X与Z是否相互独立则需要利用正态分布的性质．知识模块：概率论与数理统计12．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)相互独立同分布，且期望均为μ，方差均为σ2(σ2＞0)，令的相关系数ρ．正确答案：解析：本题考查正确使用公式和性质计算数字特征的能力及Xi与的关系，是基本问题．中含有Xi，因此与Xi一般是不独立的．知识模块：概率论与数理统计13．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立，且均服从N(0，1)，记，i=1，2，…，n．求(1)D(Yi)；(2)coy(Y1，Yn)．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计14．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞2)的期望都为0，方差都为1，且任意两个的相关系数都为ρ，设U=X1+X2+…+Xn，Y=Xn+1+Xn+2+…+X2n，求U 和V的相关系数ρXY。