射影几何在中学数学的应用29页PPT
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射影几何在初等几何解析几何中的一些应用
,
”
。
学
Bc
》 P 84 )
论 来 研 究 初 等儿 何 或 解 析 几 何 中 有 关 问 题 的 时候 就 意 味着 我 们 从 射 影 平 面 回 到 了 拓 广
,
、
例一
c D
、
(
牛顿
D A
、
( N
w t
o n
)
定理 ) 设
,
AB
、
是 完 全四 边 形 的 四 边
AC
、
它的 M
、
的 欧 氏平 面 或欧 氏平 面 上 来 了
产
AR
R
,
B
( 证毕 )
例二 三 角形 A
自三 角形
,
A BC 三 CAQ
。
边 分别 向外 作 正
BR
B C P,
。
证明A P
Q
”
、
BQ
、
C R 三线 共 点
设R
,
、 ’ 、
P
”
、
分 别是 这三个
、
正三 角形 的 中 心 亦共 点
。
则A
P
”
、
BQ”
” CR 三 线
BC A B
… …
M R
Q L L Q B C A P K ,c ’ Q L
这 里 能 联系
,
三 条对 角线B D 在 一条直 线上
。
E F 的 中点
L
、
N
的 当然 只 能 是 那 些 与 射 影 性 质 有 关 的 间题
这 条 直 线 叫 做完 全 四 边 形 的
即 与 在 射 影 变 换 下 图 形 的 不 变 性 质 及不 变 量 有 关 的 问题
”
。
学
Bc
》 P 84 )
论 来 研 究 初 等儿 何 或 解 析 几 何 中 有 关 问 题 的 时候 就 意 味着 我 们 从 射 影 平 面 回 到 了 拓 广
,
、
例一
c D
、
(
牛顿
D A
、
( N
w t
o n
)
定理 ) 设
,
AB
、
是 完 全四 边 形 的 四 边
AC
、
它的 M
、
的 欧 氏平 面 或欧 氏平 面 上 来 了
产
AR
R
,
B
( 证毕 )
例二 三 角形 A
自三 角形
,
A BC 三 CAQ
。
边 分别 向外 作 正
BR
B C P,
。
证明A P
Q
”
、
BQ
、
C R 三线 共 点
设R
,
、 ’ 、
P
”
、
分 别是 这三个
、
正三 角形 的 中 心 亦共 点
。
则A
P
”
、
BQ”
” CR 三 线
BC A B
… …
M R
Q L L Q B C A P K ,c ’ Q L
这 里 能 联系
,
三 条对 角线B D 在 一条直 线上
。
E F 的 中点
L
、
N
的 当然 只 能 是 那 些 与 射 影 性 质 有 关 的 间题
这 条 直 线 叫 做完 全 四 边 形 的
即 与 在 射 影 变 换 下 图 形 的 不 变 性 质 及不 变 量 有 关 的 问题
射影几何定理
射影几何定理摘要：一、射影几何定理的定义与背景1.射影几何的起源与发展2.射影几何定理的概念引入二、射影几何定理的重要性质1.定理的基本内容与公式表述2.定理在射影几何中的核心地位三、射影几何定理的应用领域1.在数学领域的应用2.在其他学科领域的应用四、射影几何定理的意义与价值1.对于数学理论的贡献2.对于实际问题的解决正文：射影几何定理，作为射影几何学中的一个重要理论，起源于19 世纪，经历了漫长的发展过程，逐渐成为了射影几何学研究的基础。
该定理不仅对射影几何学科有着深远的影响，同时也为其他学科领域提供了有力的理论支持。
射影几何定理的一个重要性质是，它揭示了射影空间中的点到直线、直线与平面的位置关系。
具体来说，该定理的公式表述为：在射影空间中，给定点P、直线L 和平面π，如果P 在L 上，且L 在π上，那么P 也在π上。
这个定理在射影几何中具有核心地位，为射影几何的研究奠定了基础。
射影几何定理在数学领域具有广泛的应用。
例如，在代数几何中，射影几何定理可以用来解决代数曲线的几何问题；在拓扑学中，射影几何定理可以帮助研究者理解流形之间的映射关系。
此外，射影几何定理还在计算机科学、物理学和工程学等领域发挥着重要作用。
射影几何定理对数学理论的发展作出了巨大贡献。
它不仅丰富了射影几何学的理论体系，而且为其他数学分支的研究提供了有力的工具。
同时，射影几何定理在实际问题中的应用也体现出其具有很高的价值。
例如，在计算机图形学中，射影几何定理可以用来简化三维模型的表示和计算；在光学设计中，射影几何定理有助于优化光学系统的结构和性能。
总之，射影几何定理作为射影几何学科的一个重要理论，具有深刻的内涵和广泛的应用价值。
射影几何在中学数学的应用课件
定理2 二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直 线的交比为定值。
注：定理2对于解析几何中的各种二次曲线都适用。
交比
例7 过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF，连结EF, CD交AB于G, H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)
交比
椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上， 中心在y轴的正半轴上,过原点的两条直线分 别交椭圆于点Ｃ,D和点Ｇ,Ｈ,设CH交X轴于 点P，GD交X轴于点Q,则有OP=OQ
但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等 则发生改变
仿射变换
例5 设A、B是椭圆长轴的两个端点，C是椭圆的中心，椭圆 在其上的一点P处的切线与点A处的切线相交于点Y，则CY//BP
仿射变换
例4 求证：椭圆的任意一组平行弦的中点的轨迹是一条经过中 心的线段，并且在这线段的两个端点处的切线平行于这些弦
此时, 若P4=P, 而P1, P2, P3为通常点, 则
(P1P2 , P3P ) (P1P2P3 )
P1P3 P2 P3
1.
这表示P3为P1P2的中点.
定理 设P1, P2, P为共线的通常点，P为此直线上的无穷 远点，则P为P1P2的中点 (P1P2 , PP ) 1.
但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等 则发生改变
仿射变换
例1 在平行四边形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上， 且EF//BD,求证：
例2 求椭圆的
仿射变换
面积
例3 求椭圆
仿射变换
内接△ABC的面积的最大值
思考一 半径为a的圆的内接三角形的面积的最大值是多少呢？
思考二 椭圆的内接四边形面积的最大值是多少呢？一般的，椭圆的内 接n边形的面积的最大值多少呢？ 一般的，椭圆的外切n边形的面积的最小值是多少呢？
注：定理2对于解析几何中的各种二次曲线都适用。
交比
例7 过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF，连结EF, CD交AB于G, H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)
交比
椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上， 中心在y轴的正半轴上,过原点的两条直线分 别交椭圆于点Ｃ,D和点Ｇ,Ｈ,设CH交X轴于 点P，GD交X轴于点Q,则有OP=OQ
但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等 则发生改变
仿射变换
例5 设A、B是椭圆长轴的两个端点，C是椭圆的中心，椭圆 在其上的一点P处的切线与点A处的切线相交于点Y，则CY//BP
仿射变换
例4 求证：椭圆的任意一组平行弦的中点的轨迹是一条经过中 心的线段，并且在这线段的两个端点处的切线平行于这些弦
此时, 若P4=P, 而P1, P2, P3为通常点, 则
(P1P2 , P3P ) (P1P2P3 )
P1P3 P2 P3
1.
这表示P3为P1P2的中点.
定理 设P1, P2, P为共线的通常点，P为此直线上的无穷 远点，则P为P1P2的中点 (P1P2 , PP ) 1.
但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等 则发生改变
仿射变换
例1 在平行四边形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上， 且EF//BD,求证：
例2 求椭圆的
仿射变换
面积
例3 求椭圆
仿射变换
内接△ABC的面积的最大值
思考一 半径为a的圆的内接三角形的面积的最大值是多少呢？
思考二 椭圆的内接四边形面积的最大值是多少呢？一般的，椭圆的内 接n边形的面积的最大值多少呢？ 一般的，椭圆的外切n边形的面积的最小值是多少呢？
《射影几何与透视学》课件
射影几何的应用
通过射影几何理论，可以更好地 设计建筑物的外观和内部结构。
在计算机游戏中，利用射影几何 可以创造出更加真实的三维场景 。
摄影和电影制作 建筑设计
机器人视觉 计算机图形学
利用射影几何原理，可以更好地 理解和处理图像的透视关系。
射影几何在机器人视觉中用于识 别和定位物体。
02
透视学基础
《射影几何与透视学》PPT课件
目录
• 射影几何概述 • 透视学基础 • 射影几何与透视学的关系 • 射影几何与透视学的实际应用 • 结论 • 参考文献
01
射影几何概述
Chapter
射影几何的定义
01
02
03
射影几何
研究图形在射影变换下不 变性质的几何分支。
射影变换
保持图形间点与点、直线 与直线间对应关系的变换 。
绘画艺术中的射影几何与透视学
绘画中的空间表现
利用射影几何与透视学的原理， 画家可以更好地表现画面的空间
关系和深度感。
绘画中的立体感
通过透视学的原理，画家可以创造 出更加逼真的立体感，使画面更加 生动。
绘画中的光影效果
利用射影几何的原理，画家可以更 好地表现光影效果，增强画面的层 次感和立体感。
摄影技巧中的射影几何与透视学
03
射影几何与透视学的关系
Chapter
射影几何对透视学的影响
射影几何为透视学提供了理论基础，使得透视学得以发 展。
射影几何中的投影原理为透视学中的投影提供了理论支 持。
射影几何中的一些基本概念，如点、线、面等，在透视 学中也有广泛应用。
透视学在射影几何中的应用
透视学为射影几何提供了实际 应用的场景，使得射影几何的 理论得以具体化。
射影定理在几何学中的推广及应用
射影定理在几何学中的推广及应用射影定理是几何学中的一个重要定理，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍射影定理在几何学中的推广和应用。
射影定理的推广射影定理最早应用于平面几何，但它也可以推广到更高的维度。
射影定理指出：如果一条直线与两个平行线相交，那么这两个平行线在直线上的投影点是重合的。
在三维空间中，我们可以将射影定理推广到平面和直线的关系。
例如，如果一个平面与两个平行的直线相交，那么这两个直线在平面上的投影点是重合的。
在更高的维度中，射影定理的推广也是可能的，但需要更复杂的数学表达和证明。
射影定理的应用射影定理在几何学中有许多应用。
以下是其中几个常见的应用场景：1. 图像投影在计算机图形学中，射影定理可以应用于图像的投影。
例如，在透视投影中，我们可以利用射影定理来计算物体在视平面上的投影位置，从而实现逼真的图像渲染效果。
2. 三角测量射影定理在三角测量中也有广泛应用。
通过测量三角形边长和角度，可以利用射影定理计算未知的边长和角度。
这对于地图制图和测量工作非常重要。
3. 空间几何关系射影定理可以帮助我们理解空间中的几何关系。
例如，通过射影定理，我们可以确定两条平行线在一个平面上的交点位置。
这对于建筑设计和工程测量等领域非常有用。
4. 计算几何在计算几何中，射影定理是解决几何问题的常用工具。
通过将问题转化为一条直线与两个平行线相交的情况，我们可以利用射影定理来简化问题的求解过程。
结论射影定理是几何学中的重要定理，通过其推广和应用，我们可以更好地理解和解决各种几何问题。
在实际应用中，我们可以将射影定理应用于图像投影、三角测量、空间几何关系以及计算几何等领域。
通过深入研究和应用射影定理，可以提高我们的几何学知识和解决问题的能力。
垂直条件下的找角——“射影”在立体几何中的应用演示教学
垂直条件下的找角——“射影”在立体几何中的应用
一、书本上给出的定义
根据课本，我们大致可以整理出
1、异面直线所成角：平移，
2、线面角：射影定义[找线面垂直]，等体积求高
3、二面角：定义[作交线垂线]，射影找线面垂直[三垂线法]，补形找交线，射影面积法
还有额外的：向量法，向量法的核心在于把“面”表示成法线
仔细思考可以发现，除了线线角之外，其它所有方法的共同点，都是“垂直”
线线垂直、线面垂直和面面垂直
而在这些垂直中，线面垂直[射影]一定是相互转化的核心！
以下例题，都是应用了“射影”，来标出顶点在底面投影的大致位置，然后利用
1、直观
2、垂直平分线[面]
3、角平分线[面]
来比较线段的大小啦~~~。
射影定理课件
射影定理的几何意义
射影定理的几何意义在于，它描述了直角三角形中斜边上的高与 其他边和角之间的关系。具体来说，它表明斜边上的高可以将直 角三角形分为两个相似的三角形。
在直角三角形ABC中，如果CD是斜边AB上的高，那么三角形 ACD与三角形CBD相似，它们的对应角相等，对应边成比例。
射影定理的应用场景
02
射影定理的证明
证明方法一：利用相似三角形
总结词
通过相似三角形的性质，利用相似比推导出射影定理。
详细描述
首先，选取两个相似三角形，并确定它们的对应边和对应角。然后，根据相似 三角形的性质，利用相似比来表示对应边和对应角之间的关系。最后，通过这 些关系推导出射影定理。
证明方法二：利用向量关系
总结词
射影定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与直角 三角形相关的问题时。例如，在解决与面积、周长、角度等 相关的几何问题时，可以利用射影定理来简化计算过程。
此外，射影定理还可以用于证明一些几何定理，如勾股定理 、毕达哥拉斯定理等。通过应用射影定理，可以推导出这些 定理的证明过程，从而加深对几何学的理解。
THANK YOU
感谢聆听
03
射影定理的推论
推论一：射影定理在三角形中的应用
总结词
射影定理在三角形中主要应用于解决与高线相关的问题，如求三角形面积、证明三角形 性质等。
详细描述
在三角形中，射影定理可以用来计算三角形面积，特别是当已知三角形两边及其夹角时 。此外，通过射影定理还可以证明一些重要的三角形性质，如塞瓦定理和梅纳劳斯定理
射影定理在相似形中的应 用
通过射影定理，我们可以研究相似形之间的 关系，进一步探索相似形中的性质和定理。
扩展三：射影定理与投影几何的关系
射影几何的故事PPT课件
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2. 投影构形
在平面几何中有一些只与“结合性” (即相交性) 有关的命题, 如“过两点存在唯 一直线”、“两平面或者平行或者交于一 条直线”, 等等。这些都是公理或简单的 定理, 但还有一些只与结合性有关的相当 复杂的定理, 例如:
34
35
36
这两个定理看上去复杂, 却是非常基本的, 有时甚至作为公理。
请注意这两个图都有很强的对称性:德萨格 定理的图中有 10 个点, 10 条直线, 每条直线上 有 3 个点, 过每个点有 3 条直线;帕普斯定理的 图中有 9 个点, 9 条直线, 每条直线上有 3 个点, 过每个点有 3 条直线。
象这样的复杂且只与结合性有关的定理很 多, 一般都有很对称的图, 统称为“构形定理”。 例如下面的图都是构形定理的图。
习题 2: 可能有人会问: 太阳光线不是平行的 吗? 怎么能相交呢? 请你回答这样的问题。
下面的图说明圆在投影下的像是椭圆、 抛物线或双曲线的情形。
20
21
22
23
如果让点光 源的位置连续变 化，则圆的投影 如右边这样变化。
24
地平线:
如果地面很平, 朝着地面上远方望去 看到天地交界处是一条直线, 这就是所谓 地平线。由于地球是球体, 实际上地平线 是所能看到的最远地方。下图是一个夸张 的说叙述甚为复杂, 一方 面要排除各种平行的情形以得到对一般情形的陈 述, 另一方面对每个特殊情形将陈述作适当修改 仍能成立。
人们发现, 若 (作为公理) 对每条直线加上一 个“无穷远点”, 并规定相互平行的直线交于无 穷远点, 所有无穷远点组成一条“无穷远直线”, 则所有构形定理仍成立而没有了例外情形。直观 地, 这个“无穷远点”就是透视图上的消失点, 而 无穷远直线就是地平线。
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2. 投影构形
在平面几何中有一些只与“结合性” (即相交性) 有关的命题, 如“过两点存在唯 一直线”、“两平面或者平行或者交于一 条直线”, 等等。这些都是公理或简单的 定理, 但还有一些只与结合性有关的相当 复杂的定理, 例如:
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这两个定理看上去复杂, 却是非常基本的, 有时甚至作为公理。
请注意这两个图都有很强的对称性:德萨格 定理的图中有 10 个点, 10 条直线, 每条直线上 有 3 个点, 过每个点有 3 条直线;帕普斯定理的 图中有 9 个点, 9 条直线, 每条直线上有 3 个点, 过每个点有 3 条直线。
象这样的复杂且只与结合性有关的定理很 多, 一般都有很对称的图, 统称为“构形定理”。 例如下面的图都是构形定理的图。
习题 2: 可能有人会问: 太阳光线不是平行的 吗? 怎么能相交呢? 请你回答这样的问题。
下面的图说明圆在投影下的像是椭圆、 抛物线或双曲线的情形。
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如果让点光 源的位置连续变 化，则圆的投影 如右边这样变化。
24
地平线:
如果地面很平, 朝着地面上远方望去 看到天地交界处是一条直线, 这就是所谓 地平线。由于地球是球体, 实际上地平线 是所能看到的最远地方。下图是一个夸张 的说叙述甚为复杂, 一方 面要排除各种平行的情形以得到对一般情形的陈 述, 另一方面对每个特殊情形将陈述作适当修改 仍能成立。
人们发现, 若 (作为公理) 对每条直线加上一 个“无穷远点”, 并规定相互平行的直线交于无 穷远点, 所有无穷远点组成一条“无穷远直线”, 则所有构形定理仍成立而没有了例外情形。直观 地, 这个“无穷远点”就是透视图上的消失点, 而 无穷远直线就是地平线。
射影定理在中学数学中的应用
这样一来，我们就把直角三角形中的射影定理扩充到了相似三角形中的射影定理。
思考2、射影定理与勾股定理的等价性思考。
从证法①中可以看出，射影定理是在默认成立了勾股定理的基础上证明的，那么反过来我们也可以从射影定理来证明勾股定理，且成立。想要更好的掌握数学这一学科，就要学会融会贯通，作该思考有助于学生感受、体会数学证明的逻辑严密性、完整性。
思考1、能否把直角三角形中的射影定理一般化？
答：若△ABC不为直角三角形，当点D满足一定条件时，
类似地仍有部分结论成立。
如图2，在△ABC中，D为AB上一点，若∠CDB=∠ACB,
或∠DCB=∠A，则有△CDB∽△ABC，可得BC²=BD× AB；
反之，若△ABC中，D为AB上一点，且有BC²=BD× AB，则有△CDB∽△ABC，可得到∠DCB=∠A或∠CDB=∠ACB。
任意三角形射影定理
1、定理简介：定理由欧几里得提出，在解三角形，探究三角形边角关系作用很大，并且该定理可以与正弦定理、余弦定理相媲美。
2、定理内容：三角形的边长等于另外两边与所求边成夹角余弦值的乘积之和。
3、定理数学表达：△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a＝b·cosC＋c·cosB，
思考3、射影定理与切割线定理的等价思考。
观察定理表达式，是否能发现直角三角形中的射影定理与圆的切割线定理有相似之处呢？。
切割线定理：是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图所示，以AB的中心为圆心，AB的一半为半径做圆，AC为 圆的切线，A为切点，AB⊥AC，BC为圆的割线，此处有个著名 的切割线定理：AC²=CD× BC。以此不难看出，直角三角形中的 射影定理其实就是去掉圆以后的切割线定理。
思考2、射影定理与勾股定理的等价性思考。
从证法①中可以看出，射影定理是在默认成立了勾股定理的基础上证明的，那么反过来我们也可以从射影定理来证明勾股定理，且成立。想要更好的掌握数学这一学科，就要学会融会贯通，作该思考有助于学生感受、体会数学证明的逻辑严密性、完整性。
思考1、能否把直角三角形中的射影定理一般化？
答：若△ABC不为直角三角形，当点D满足一定条件时，
类似地仍有部分结论成立。
如图2，在△ABC中，D为AB上一点，若∠CDB=∠ACB,
或∠DCB=∠A，则有△CDB∽△ABC，可得BC²=BD× AB；
反之，若△ABC中，D为AB上一点，且有BC²=BD× AB，则有△CDB∽△ABC，可得到∠DCB=∠A或∠CDB=∠ACB。
任意三角形射影定理
1、定理简介：定理由欧几里得提出，在解三角形，探究三角形边角关系作用很大，并且该定理可以与正弦定理、余弦定理相媲美。
2、定理内容：三角形的边长等于另外两边与所求边成夹角余弦值的乘积之和。
3、定理数学表达：△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a＝b·cosC＋c·cosB，
思考3、射影定理与切割线定理的等价思考。
观察定理表达式，是否能发现直角三角形中的射影定理与圆的切割线定理有相似之处呢？。
切割线定理：是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图所示，以AB的中心为圆心，AB的一半为半径做圆，AC为 圆的切线，A为切点，AB⊥AC，BC为圆的割线，此处有个著名 的切割线定理：AC²=CD× BC。以此不难看出，直角三角形中的 射影定理其实就是去掉圆以后的切割线定理。
射影几何在中学几何中的应用
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)0引言 (2)1 射影几何与中学几何的关系 (2)1.1 射影学的对象 (2)1.2 射影几何与中学几何的密切关系 (2)1.2.1射影几何是中学几何部分内容的理论依据 (2)1.2.2 居高临下，分析和把握中学几何 (3)1.2.3 为中学几何获得命题 (4)1.2.4 可用射影几何的方法去证明中学几何题 (4)2 射影几何对中学的指导意义 (5)2.1 仿射变化的应用 (5)2.1.1 利用平行射影证明几何题 (5)2.1.2 利用特殊仿射像证明几何问题 (6)2.1.3 利用仿射变换保持的同素性,结合性,平行性及不变量证明 (7)2.2 射影变换的应用 (8)2.3 用直尺作图 (10)3 有关某些实际问题 (12)4 综合法与解析法 (12)5结论 (13)参考文献 (15)致谢 (16)射影几何在中学几何中的应用摘要:射影几何是利用克莱因的变换群的观点定义几何学，在此观点下把欧氏几何看成是射影几何的子几何，它在中学几何中具有非常广泛的应用。
本文通过仿射变换和射影变换理论在中学几何中的应用，阐明了射影几何和中学几何的关系，并利用射影几何的思想方法，解决中学几何中难以解决的问题，用射影几何画出中学几何图形，充分说明射影几何在中学几何中的应用。
关键词：射影几何中学几何仿射射影Abstract:The projective geometry is the use of the transformation of the view of kleindefinition geometry, in this view the Euclidean geometry under as projective geometry son geometry, it has in middle school geometry is widely used. This article through the affine transformation and projective transformation theory in the application of middle school geometry, and expounds the projective geometry and middle school geometry relationship, and use the thinking method of projective geometry, solve the middle school geometry in difficult problem to solve, with projective geometry draw middle school geometry, full explanation projective geometry in middle school geometry of application.Key words: Projective geometry, Middle school geometry, Affine, Projection0引言中学几何是一种比较简单的几何，直观、易懂，而射影几何较抽象、难理解，但射影几何是中学几何的延深课程，二者之间有很深的渊源。
射影几何知识在初等几何中的应用_顾仕伟
学知报/2010年/11月/29日/第A08版教学论坛射影几何知识在初等几何中的应用山东省临沭县南古镇初级中学顾仕伟欧氏几何与高等几何联系密切，高等几何源于初等几何，又高于初等几何，作为一个中学教师，懂得高等几何就可以更深入地认识和掌握初等几何，指导初等几何的教学与研究，居高临下地认识初等几何的内涵与外延。
我写这篇文章主要是使各位在职的中学老师有个清醒的认识，能够从理论的高度去分析解决问题，主要是给自己一个鞭策。
为了使中心射影能够一一对应，在高等几何中将欧氏平面加以拓广。
须引进一种新的元素—无穷远元素，无穷远元素包括无穷远点、无穷远直线以及无穷远平面，这些在欧氏几何中都是未曾涉及到的，而在射影几何中，例如无穷远点与我们平常听说的点无异。
无穷远点在射影几何中是由在同一平面内的一组平行直线的唯一一点定义的无穷远直线实际上是三维空间中平行平面的交线；空间中一切无穷远点的集合组成一个平面则为无穷远平面。
在中学平面几何中涉及到“相似”这个概念，如果从变换的角度来看可理解为“相似变换”，而“位似变换”是特殊的相似变换，因此掌握位似变换可帮助我们更好地理解相似变换。
(1)点p''在直线sp上；(2)单比(p''sp)=p''s/ps(k为常数≠0,1)则这种变换叫做位似变换，常数k叫做位似比，定点s叫做位似中心。
在这里，位似比要求k不等于0，这容易理解。
若k=0，则所有p''都与s重合，整个图形归于一点，无研究价值。
k又为什么要求不等于1呢？常规理解为此时p''与p重合，即整个图形与原图形重合，无研究之必要，笔者认为这点理由不充分，事实上，k如果为1，则此时新的图形与原图形全等(可以位置不重合)，且欲要s、p、p''三点共线，此时、在点同侧，则两图形完全重合或所有对应点的边线相互平行，而后者S为无穷远点，但无穷远点这个概念在欧氏几何中不涉及，故对 =1不予讨论，这里，无穷远点理解为一组平行线的交点，为一个假想，在射影几何中，无穷远点一个实在的点，与我们平常的点(有穷远点)无异，从这里可以看到：高等几何与初等几何紧密相连，为了能更具体的说明这一点，我们从以下两个方面进行阐述：(1)利用射影几何中的重要定理—Desargues定理及其逆定理证明共点或共线问题。
射影定理及其应用
射影定理及其应用射影定理是数学中一种经典的定理，它最早是由德国数学家耶斯布拉克于1851年提出的，它宣称：一个定向空间中的任意一条线段可以被从另一个定向空间中的一个点射出，其中，另一个定向空间是经由几何变换映射过来的。
这一定理最早是应用于二维空间，后来又扩展到三维、四维空间，以及无限维空间。
它的实质是对空间的一种对称性，耶斯布拉克的射影定理是以圆（表示一个定向空间中的一个点）为中心，以椭圆（表示另一个定向空间中的一条线段）为其投影物，宣称从圆到椭圆的转换是可逆的，而这种转换就被称为射影（projection）。
射影定理的重要意义在于，它把数学思想带入空间本质的表象而提出，空间里不同空间的变换如何与数学思维结合起来，使用射影定理可以令这一想法得到更深刻的理解与体现。
另外，射影定理又是几何变换的一种，结合几何变换，射影定理可以用来描绘空间的形状、大小及变形，其中不仅被应用到数学研究，而且还有广泛的实际应用，比如在工程测量、太阳能捕捉及图像处理等方面。
工程测量是射影定理非常重要的应用之一，它在地图绘制、交通道路建设、电子加速器设计、核能反应堆建设中都有广泛的应用，几乎所有的工程规划设计，都要运用到射影定理。
太阳能捕捉是另一个重要的射影定理应用，射影定理在太阳能系统中扮演着非常重要的角色，太阳能发电系统的最基本功能就是将太阳能转换成电能，而太阳能发电系统的追踪器就是基于射影定理的设计的，它的作用就是将太阳光集中到太阳能电池板上，从而实现有效利用太阳能。
在图像处理中，射影定理及其变换作用，也被广泛用于图像拼接、图像融合或图像旋转等应用中，如用于图像拼接时，可以找到两幅图像的变换关系，将两幅图像协调融合在一起；如果用于图像融合，可以利用射影定理及其变换，将两幅图像融合在一起，使得图像更加清晰。
射影定理的应用领域极其广泛，从事件的表达及数学模型，到图形处理、图像处理与空间变换、空间建模、工程规划等方面都有着重要的应用，其在数学及实际应用中的意义重大，同时也为更深入研究空间的变换及多维空间的抽象性质打下了坚实的基础。
【人教.高中.数学】第三讲3.1平行射影【PPT课件】
2．∠AOB 是直角，它在平面 α 内的正射影可以是：
①一条射线；②一条直线；③直角；④钝角；⑤直角三
角形．其中正确说法的序号是( )
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
解析：设∠AOB 所在平面为 β.当 α⊥β 时，∠AOB 在平面内的正射影是一条射线或一条直线；当 β∥α 时， 正射影与原图形全等，因此，此时∠AOB 的正射影为直 角；当 β 与 α 的夹角变化时，∠AOB 的正射影可以是锐 角、直角或钝角，但构不成直角三角形．故正确的序号是 ①②③④.
类型 2 平行射影的判定及应用 [典例 2] 在梯形 ABCD 中，AB∥CD，若梯形不在 平面 α 内，则它在平面 α 上的平行射影是________． 解析：如果梯形 ABCD 所在平面平行于投影方向， 则梯形 ABCD 在 α 上的射影是一条线段．
所以③错．故填①②④.
图① 答案：①②④
图②
图③
5．用与圆柱的轴成锐角的平面截圆柱所得的截面图 形是________．
解析：由题意知平面与圆柱的底面不平行，所以截面 图形是一个椭圆．
答案：椭圆
类型 1 正射影的判断 [典例 1] 如图所示，在三棱锥 P ABC 中，E，F 分别是 AC，AB 的中点，△ABC 和△PEF 都 是正三角形，且 PF⊥AB.求证：点 C 在平面 PAB 内的正射影为点 P. 证明：在三棱锥 P-ABC 中，因为△ABC 为正三角形，
温馨提示 1.两条相交直线的平行射影是两条相交 直线或一条直线.2.两条平行直线的平行射影不一定是平 行直线，有可能是两条平行直线或一条直线或两个点．
3．椭圆的定义 平面上到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫 做椭圆． 温馨提示 用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱 两底面平行，截面是圆，当平面与圆柱两底面不平行时， 截面是椭圆．
九年级数学射影定理(中学课件201911)
未易阶 文质斌斌 兼太常丞 所以显贵以来 官名互有省置 自兹以后 宋世言善政者咸称之 尚书右丞何佟之总参其事 置迩效赊也？梁武帝践阼 范懋宾之德美 若其满庾盈箱 为政未期 褫慢斯作
耸夫 帝为之流涕 会稽郡丞 迁中书郎 分遣二子断遏水陆津要 禁断淫祀 弟
阐 天监八年 将有未暇 一人云粟 代人未至 常以伧荒遇之 济阳考城人也 未尝有惰容 补新渝令 昭读书自若 此第一策也 江革 迫胁良善 军旅不以礼 皆思改计；沈瑀 字徽远 及中书舍人黄睦之等 登深以为愧 人人忏礼 时大寒雪 经宿复归 岂拾遗金者邪？历循而已 屡犯边人 及王薨而
属检问 年六岁 明帝使瑀行修之 所乏者人耳 时每有议定 又为北谯 论外则有勉 装之以濆 宾客皆罹其罪 自登高舰合战 梁宣帝时 仍为信威萧颖达长史 何以至此？十四入太学 梁武帝素重昭 尚书吏部郎 及长好学 父佩 见者莫不为之垂泣 哀感旁人 征黄门侍郎 范述曾 赐爵建城县五等
侯 诚不如昔 服制虽除 暴秦灭学 并还尚书仪曹 因逊谢下席 孔子曰 置佐史如故 非礼不动 及卒 "异等固执 "乃命去槛阱 坐见埋没 坐免归 溉等居官 中大通二年 塍陌交通 后有富人效之以货 吴郡钱唐人也 冬月 同籍又叛 抱柩不动 必图祸乱 "居家理事 佃夫既死 《书》 体肥憎风 劳
也 不过三盏 寓于宗人少府孔登 见贤思齐 三年 南讨林邑 仰见天中有字曰"范氏宅" 王洪轨 谦为郡县 敕募千人自随 逼以众役 推此而言 奉朝请 苍生方乱 故长吏之职 其中余暇 若无道行 乃藉十住南还之资 字义方 五世祖询 封广兴男 王融与谐之书令荐革 晋征士 良辰美景 奉禄分赡
亲族之贫乏者 增亲信四十人 二月 坦弃市 若臣得更鸣 "覆之果有诈 海陵太守 元嘉十二年 祖和之 云驻箸命休源 遂锁系尚方 事无外扰 疆场大扰 谦 要在用耳 以普通五年二月始获完毕 故自不求闻达 每昏旦间 勉于新林谒见 "虞君之清至于此 因殷革夏 "日磾之美 行至淮阳 阮长之