第3讲 复杂的一次方程组的解法

第3讲: 待定系数法及方程的思想★ 【概述】待定系数法指的是：为了达到解决的问题的目的，先假定、构想一个问题模式，其中存在一个或一个以上的未知字母，通常把这些未知字母称为待定系数，综合利用问题中的条件和已知的定理、公理、法则来求出未知系数的方法，就是待定系数法。

待定系数法在初中范围里主要用途是解决“因式分解”、“方程”和“函数”问题，成都市的中考，重点放在函数题中考察，分值一般在15分左右。

Ⅰ、运用在因式分解时，通常利用 给予解决；Ⅱ、运用在方程问题时，通常利用 给予解决； Ⅲ、运用在函数问题时，分三种情况区别对待：（1）正比例、反比例函数：因为只有一个待定系数，所以利用或挖掘题目中 个已知条件即可解决问题；（2）一次函数：因为y kx b =+中有两个待定系数k 、b ，所以利用或挖掘题目中 个已知条件即可解决问题；（3）二次函数：因为二次函数有 种表达式，所以利用或挖掘题目中 个或 个已知条件即可解决问题。

Ⅳ、中考在给出求函数解析式的条件时，一般有三种设置： ①、直接给出——没有难度；②、间接给出（如交点的坐标、与坐标轴围成图形的面积等）——稍有难度； ③、利用几何要素通过计算或推理给出——难度较大。

★★ 【典例精析与运用】一、待定系数法运用举例1.在整式乘法与因式分解中的运用【例1】是否存在常数q p ,使得q px x ++4能被522++x x 整除？如果存在，求出q p ,的值，否则请说明理由；【例2】(成都市理科实验班考题)如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +， 则a b += 。

◆目标训练一：1、已知1)1(112222-++=--+x Cx B x A x x x x ，其中A 、B 、C 为待定系数，求A B C ++的值。

2、(成都市理科实验班考题)：k 为何值时，多项式222352x xy ky x y -++-+能分解成两个一次因式的积？★2、在方程或不等式中的运用【例3】（江苏）已知关于x 的不等式组153223x x x x a +⎧>+⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有4个整数解，则a 的取值范围时（ ）A.3145-≤≤-xB.3145-<≤-xC.1453x -<≤- D.3145-<<-x★3.用函数思想解决几何问题【例4】如图，A 、B 、C 是一条公路上的三个村庄，A 、B 间的路程为100千米，A 、C 间的路程为40千米，现在A 、B 之间设一个车站P ，设P 、C 之间的路程为x 千米。

第3讲一元一次方程——例题一、第3讲一元一次方程（例题部分）1.解方程：【答案】解：两边同时乘以2，得移项合并同类项，得两边同时乘以-3.得移项合并同类项，得两边同时乘以-4.得移项合并同类项，得未知数系数化为1，得【解析】【分析】题中有大、中、小三类括号，可由外而内，逐步去掉大、中、小括号，然后移项、合并同类项、系数化为1的步骤即可求解。

或由内而外，逐步去掉小、中、大括号，然后移项、合并同类项、系数化为1的步骤即可求解。

2.解方程【答案】解：两边同时6得2（2x+1）-3（x-1）=64x-3x=6-2-3所以x=1【解析】【分析】按照解一元一次方程的解题步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解。

3.小张在解方程3a-2x=15(x为未知数)时，误将-2x看作+2x，得方程的解为x=3．请求出常数a的值和原方程的解．【答案】解：由题意，小张解的方程实际上是：3a+2x=15．因为这个方程有一个解x=3，将x=3代入这方程，得所以a=3原方程应为9-2x=15即原方程的解应为x=-3【解析】【分析】方法（1）本题利用已知条件，先求出a，从而得到原方程及它的解．方法（2）是由题意可得关于a、x的方程组即可求解；即3a-2x=15相减消去a得6+2x=0从而x=-3。

4.解关于x的方程其中【答案】解：两边同时乘以ab，得即移项，得因为，即，所以【解析】【分析】将方程整理成ax=b的形式，即(a−b)x=，因为a≠0,b≠0,a≠b，所以a-b≠0，系数化为1即可。

5.解关于x的方程mx-1=nx【答案】解：移项整理后得（ 1 ）当即时，方程有唯一解（ 2 ）即m=n,由于，故原方程无解【解析】【分析】在解含参数的一元一次方程时，应分类进行讨论．讨论必须完整，不能漏掉任何一种情况。

将方程整理成ax=b的形式，分两种情况讨论：（1）在a ≠ 0 时，方程ax=b有唯一解x=，（2）在a=0且b≠0时，方程ax=b无解.6.解关于x的方程【答案】解：移项的即（ 1 ）当即，方程有唯一解：（ 2 ），即，由于，故方程有无数多解，解可为任意数【解析】【分析】将方程整理成ax=b的形式，分三种情况讨论：（1）在a ≠ 0 时，方程ax=b有唯一解x=，(2)在a=0且b=0时，方程ax=b有无穷多解，x可为任意数;(3)在a=0且b≠0时，方程ax=b无解.7.解关于x的方程【答案】解：去分母得4mx-4mn=3x+6m移项，合并同类型得（4m-3）x=4mn+6m所以（1）当，即时，原方程有唯一解x=.（2）当，即时，又分为两种情况：若4mn+6m=0，即时，方程有无数多解，解为任意数若4mn+6m 0，即时，原方程无解综上所述当，n为任意数时，方程有唯一解当，n=-，方程有无数多解，解为任意数当，n -时，方程无解【解析】【分析】将方程整理成ax=b的形式，分三种情况讨论：(1)在a ≠ 0 时，方程ax=b有唯一解x=，(2)在a=0且b=0时，方程ax=b有无穷多解，x可为任意数;(3)在a=0且b≠0时，方程ax=b无解.8.已知关于x的方程2a（x-1）=（5-a）x+3b有无数多解，试求a,b的值【答案】解：移项合并得由于原方程有无数多解，所以解得【解析】【分析】将关于x的方程2a（x-1）=（5-a）x+3b整理得：(3a−5)x=3b+2a，根据一元一次方程有无数多解的意义可得3a−5=0，3b+2a=0；解这个方程组即可求解。

北师大版数学八年级上册8《三元一次方程组》教学设计2一. 教材分析《三元一次方程组》是北师大版数学八年级上册第8章的内容。

本节内容是在学生已经掌握了二元一次方程组的基础上进行学习的，通过解决实际问题引出三元一次方程组的概念，并学习其解法。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了二元一次方程组，对解方程组有一定的基础。

但面对三元一次方程组，学生可能会感到复杂和困惑。

因此，在教学过程中，需要引导学生将三元一次方程组转化为二元一次方程组，利用已有的知识解决问题。

三. 教学目标1.理解三元一次方程组的概念，掌握其解法。

2.能够运用三元一次方程组解决实际问题。

3.提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重难点：三元一次方程组的解法和实际应用。

2.难点：如何引导学生将三元一次方程组转化为二元一次方程组，以及如何运用已有的知识解决问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究三元一次方程组的解法。

2.通过实例讲解，让学生了解三元一次方程组在实际问题中的应用。

3.利用小组合作学习，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。

4.以学生为主体，教师为引导者，充分发挥学生的主动性和积极性。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示例题和练习题。

2.准备黑板，用于板书解题过程。

3.准备练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何解决三元一次方程组。

例如，假设一个长方体的长、宽、高分别为x、y、z，且长方体的表面积为S，体积为V，如何求出x、y、z的值。

2.呈现（15分钟）介绍三元一次方程组的概念，并通过例题讲解其解法。

例如，解方程组：x + y + z = 5x - y + 2z = 3x + 2y - z = 2引导学生将三元一次方程组转化为二元一次方程组，利用已有的知识解决问题。

沪科版七年级数学上册《第3章一次方程与方程组3.1一元一次方程及其解法（第2课时）》教学设计一. 教材分析《第3章一次方程与方程组3.1一元一次方程及其解法（第2课时）》这一节的内容，主要是一元一次方程的解法。

一元一次方程是数学中基础的部分，也是非常重要的一部分。

它贯穿于整个数学学科，对于学生以后的学习有着至关重要的作用。

本节课的教学内容，主要是让学生掌握一元一次方程的解法，并能够灵活运用。

二. 学情分析学生在进入七年级之前，已经学习过一些数学知识，对于方程的概念有一定的了解。

但是对于一元一次方程的解法，他们可能还不太熟悉。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握一元一次方程的解法。

三. 教学目标1.让学生理解一元一次方程的概念。

2.让学生掌握一元一次方程的解法。

3.培养学生解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：一元一次方程的解法。

2.难点：对于一些特殊的一元一次方程，如何快速准确地找到解。

五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，通过引导学生自主探究、合作交流，让学生在解决问题的过程中，理解和掌握一元一次方程的解法。

六. 教学准备1.准备一些关于一元一次方程的例子。

2.准备PPT，用于展示和解说一元一次方程的解法。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一些实际问题，引导学生进入一元一次方程的世界，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT，呈现一元一次方程的定义和一些基本的解法。

让学生对一元一次方程有一个直观的认识。

3.操练（10分钟）让学生通过自主探究和合作交流，解决一些关于一元一次方程的问题。

教师在这个过程中，给予适当的引导和帮助。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固刚刚学得一元一次方程的解法。

5.拓展（10分钟）让学生思考一些特殊的一元一次方程，如何快速准确地找到解。

教师可以给予一些提示，引导学生深入思考。

6.小结（5分钟）让学生总结一下，今天学得一元一次方程的解法，有什么收获和感悟。

整式知识点梳理考点01 方程的有关概念一、等式1.等式：用“=”来表示相等关系的式子叫作等式。

2.等式的性质：（1）性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（如果b a =，那么c b c a ±=±（c 为一个数或式子））。

（2）性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等（如果b a =，那么bc ac =.如果）（0≠=c b a ，那么cb c a =） 3.等式性质的延伸：（1）对称性：等式左右两边互换，所得结果仍相等，即如果b a =，那么a b =。

（2）传递性：如果b a =，c b =，那么c a =。

二、方程的概念和方程的解1.方程的概念：含有未知数的等式叫作方程。

2.方程与等式的区别：方程是等式，但等式中不一定含有未知数，即等式不一定是方程。

3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。

4.判断一个数（或一组数）是不是某方程的解，只需看两点：（1）它是方程中的未知数的值.（2）将它分别代入方程的左右两边，若左边等于右边，则它是方程的解，否则不是。

5.解方程：求方程解的过程叫作解方程。

6.方程的解和解方程的区别：方程的解是一个结果，解方程则是得到这个结果的一个过程。

7.一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，这样的整式方程叫作一元一次方程。

8.一元一次方程知识拓展：（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数.（2）一元一次方程满足3个条件：①是整式方程.②只含有一个未知数.③未知数的次数是1.（3）一元一次方程的标准形式：),0(0是已知数、b a a b ax ≠=+。

考点02 解一元一次方程与一元一次方程的应用一、解一元一次方程1.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项，注意移项要变号。

2.解一元一次方程的步骤：（1）去分母：把方程两边都乘以各分母的最小公倍数（去分母时，若分子是多项式，要添括号）.（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（不要漏乘括号里的项，不要弄错符号）.（3）移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边（注意移项要变号）.（4）合并同类项：把等号两边的同类项分别合并，化成“b ax =”的形式（0≠a ）.（5）系数化为1：方程两边同除以未知数的系数a 得方程的解为ab x =。

第3章一次方程与方程组3.1 一元一次方程及其解法第1课时一元一次方程和等式的基本性质【知识与技能】1.经历对实际问题中数量关系的分析，建立一元一次方程的过程，体会学习方程的意义在于解决实际问题.2.通过观察，归纳一元一次方程的概念.3.理解等式的基本性质，并利用等式的基本性质解一元一次方程.4.初步认识方程模型，体会数学模型思想，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力.【过程与方法】从一个学生熟悉的实例引入一元一次方程，并通过各种师生活动加深学生对“一元一次方程”的概念和等式的基本性质的理解；并使学生会利用等式的基本性质解方程，逐步提高学生解决问题的能力.【情感态度】从学生的生活实际中提出问题，既体现知识的学习过程，又体现知识的应用过程，同时还有利于激发学生的学习兴趣，培养学生思维严谨的良好素养.【教学重点】重点是对一元一次方程概念的理解，会运用等式的基本性质解简单的一元一次方程.【教学难点】难点是对等式基本性质的理解与运用.一、情境导入,初步认识【情境1】实物投影，并呈现问题：判断下列各式是不是方程.（1）m＝0；（2）-2+5=3；（3）x>3；（4）x＋y＝8；（5）2a+b；（6）2x2-4x＋1=0.你能说出什么是方程吗？【情境2】实物投影，并呈现问题：（1）情境漫画：好马和劣马沿同一条路径旅行，好马每天走240里，劣马每天走150里，劣马先走12天，好马若干天可以追上劣马.你能列出相应的方程吗？（2）学生问老师多少岁，老师说我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就41岁了.请你算算老师、学生各多少岁？你能列出方程吗？你能说出以上两个方程的共同点吗？【教学说明】学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生正确地列出方程，从而得出一元一次方程的概念.情境1中（1）（4）（6）是方程，含有未知数的等式叫做方程.情境2中（1）设好马x天追上劣马，列方程240x=150×12+150xx岁，则老师（2x-2）岁，列出方程2x-2+x-2=41.两个方程都含有一个未知数，未知数的次数是1，且方程的两边都是整式.【教学说明】通过现实情景再现，让学生体会到数学模型的意义，发展学生的应用意识.通过前面的情景引入，激发学生的探究欲望，并使学生获得大量的感性材料，有趣的情境也激发了学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知问题1什么是一元一次方程？问题2什么是一元一次方程的解？【教学说明】学生通过阅读教材和观察生活，在经过观察、分析后能得出结论.【归纳结论】只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程.使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.一元一次方程的解也叫一元一次方程的根.问题1等式的基本性质的内容是什么？问题2什么是等量代换？【教学说明】一方面让学生经历用字母表示数，在用字母表示数和数量关系的过程中体会用字母表示数的意义，另外发展学生运用符号的意识.【归纳结论】等式的基本性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.用式子形式表示为：如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，a-c＝b-c.性质2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式.用式子形式表示为：如果a＝b，那么ac＝bc，a b=c c(c≠0).性质3：如果a＝b，那么b＝a.(对称性).性质4：如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(传递性).在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换.三、运用新知，深化理解（）.A.S＝12ab B.x-y＝0 C.x＝0D.123x＝1 E.3-1＝2 y-5＝1x2＋2x＋1＝0 H.x＋2.2.说明下列变形是根据等式的哪一条基本性质得到的？（1）如果5x+3=7，那么5x=4；（2）如果-8x=16，那么x=-2；（3）如果3x=2x+1，那么x=1；（4）如果-8＝y，那么y＝-8.x+1=9的解.（1）x=2（2）x=3.4.利用等式的性质解方程：（1）2x-4=18（2）2y+8=5y【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好地巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认识.F2.（1）等式的基本性质1（2）等式的基本性质2（3）等式的基本性质1（4）等式的基本性质33.（1）把x=2分别代入方程的左边和右边，得左边=4×2+1=9，右边=9，因为左边=右边，所以x=2是方程4x+1=9的解.（2）把x=3分别代入方程的左边和右边，得左边＝4×3+1=13，右边=9，因为左边≠右边，所以x=3不是方程4x+1=9的解.4.（1）x=11（2）y=8 3四、师生互动，课堂小结1.什么叫一元一次方程？等式的基本性质是什么？2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.1.布置作业：从教材第87页“练习”和教材第90页“”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.“等量关系”，体会建立数学模型的思想.通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力.。