浙教版《一元一次不等式》知识要点典型例题习题讲解

一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34.x x >⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．【：第二讲 一元一次不等式组的解法370096 例2】举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______； (2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______； (3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______． 【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2.（2016•莆田）解不等式组：． 【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】 解：解：．由①得x ≤1；由②得x ＜4；所以原不等式组的解集为：x ≤1．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．【变式】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x ＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x 名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树； 第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式. 到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（）， 不等式(1)的解集是：x ＜2121；不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121，因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4. “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元， 可得：， 解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：， 解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．【：实际问题与一元一次不等式组409416 例2】举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤， 又x 为整数，所以5x =或6或7，∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．。

一元一次不等式组的知识点及其经典习题讲解知识点一：一元一次不等式组由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。

如：，。

要点诠释：在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：(1)不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；(2)在同一不等式组中的未知数必须是同一个，不能在这个不等式中是这个未知数，而在另一个不等式中是另一个未知数。

知识点二：一元一次不等式组的解集组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.(1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分。

(2)用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，一般可分为以下四种情况：知识点三：一元一次不等式组的解法求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

解一元一次不等式组的一般步骤为：(1)分别解不等式组中的每一个不等式；(2)将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分；(3)根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集(若没有公共部分，说明这个不等式组无解).要点诠释：用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。

知识点四：利用不等式或不等式组解决实际问题列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式或不等式组；（5）解：解出所列的不等式或不等式组的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案。

要点诠释：在以上步骤中，审题是基础，是根据不等关系列出不等式的关键，而根据题意找出不等关系又是解题的难点，特别要注意结合实际意义对一元一次不等式或不等式组的解进行合理取舍，这是初学者易错的地方。

【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：一元一次不等式（组）常见题型类型一“程序”类问题1．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（）A．12.75＜x≤24.5B．x＜24.5C．12.75≤x＜24.5D．x≤24.5【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，第三次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可．【解答】解：由题意得：，解不等式①得，x≤48，解不等式②得，x≤24.5，解不等式③得，x＞12.75，所以，x的取值范围是12.75＜x≤24.5．故选：A．2．如图所示的是一个运算程序：例如：根据所给的运算程序可知：当x＝10时，5×10+2＝52＞37，则输出的值为52；当x＝5时，5×5+2＝27＜37，再把x＝27代入，得5×27+2＝137＞37，则输出的值为137．若数x需要经过三次运算才能输出结果，则x的取值范围是（）A．x＜7B．﹣≤x＜7C．﹣≤x＜1D．x＜﹣或x＞7【分析】根据该程序运行三次才能输出结果，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：依题意得：，解得：﹣≤x＜1．故选：C．3．如图是一个运行程序，从“输入整数x”到“结果是否＞19”为一次操作程序，若输入x后程序操作仅进行了二次就停止，则输入整数x的值可能是（）A．7B．7或9C．9或11D．13【分析】根据程序操作仅进行了二次就停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再对照四个选项即可找出可能输入的整数值．【解答】解：依题意得：，解得：7＜x≤11．又∵x为整数，∴x可以为8，9，10，11，故选：C．4．按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是．【分析】利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出656，可得方程5x+1＝656，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案．【解答】解：我们用逆向思维来做：第一个数就是直接输出其结果的：5x+1＝656，解得：x＝131；第二个数是（5x+1）×5+1＝656，解得：x＝26；同理：可求出第三个数是5；第四个数是，∴满足条件所有x的值是131或26或5或．故答案为：131或26或5或．类型二“字母系数”类问题5．根据不等式的基本性质，可将“mx＜2”化为“x”，则m的取值范围是．【分析】利用不等式的基本性质求出m的范围即可．【解答】解：∵根据不等式的基本性质，可将“mx＜2”化为“x”，∴m＜0，故答案为：m＜06．解关于x的不等式ax﹣x﹣2＞0．解：移项、合并同类项，得（a﹣1）x＞2．当a﹣1＞0，即a＞1 时，不等式的解集为；当a﹣1＝0，即a＝1时，0＞2 不成立，所以原不等式无解；当 a ﹣1＜0，即 a ＜1 时，不等式的解集为x ＜．【解决问题】（1）解关于x 的不等式 ax ﹣x ﹣2＜0；（2）若关于x 的不等式 a （x ﹣1）＞x +1﹣2a 的解集是 x ＜﹣1，求a 的取值范围．【分析】（1）由ax ﹣x ﹣2＜0知（a ﹣1）x ＜2，再分a ﹣1＞0、a ﹣1＝0和a ﹣1＜0三种情况分别求解即可；（2）原不等式依次去括号、移项、合并同类项得出（a ﹣1）x ＞﹣（a ﹣1），结合不等式的解集为x ＜﹣1得出关于a 的不等式，解之即可．【解答】解：（1）∵ax ﹣x ﹣2＜0，∴（a ﹣1）x ＜2，当a ﹣1＞0，即a ＞1时，x ＜； 当a ﹣1＝0，即a ＝1时，0＜2恒成立，不等式的解集为全体实数；当a ﹣1＜0，即a ＜1时，x ＞；（2）∵a （x ﹣1）＞x +1﹣2a ，∴ax ﹣a ＞x +1﹣2a ，∴ax ﹣x ＞1﹣a ，则（a ﹣1）x ＞﹣（a ﹣1），∵不等式的解集为x ＜﹣1，∴a ﹣1＜0，解得a ＜1．类型三 “双向不等式”类问题 7.解下列双向不等式5-1214233- +≤-≤x x x x ＜②＜①【分析】双向不等式其实就是不等式组，当只有中间有未知数时，可以直接解答，不需要拆分成不等式组；但是当两边或者三边都有未知数时，通常转化为普通一元一次不等式组来求解 【解答】解：①∵14233-＜-≤x ；2310-6310-243212-412343-≤≤∴≤≤+≤≤+⨯-≤⨯x x x x 即＜②原不等式可转化为⎩⎨⎧+≤②①＜5-1-12x x x x ； 解不等式①得：31＜x ；解不等式②得：2≥x ； ∴该不等式的解集为：312-＜x ≤类型四 “新定义”类问题 8．新定义：对非负数x “四舍五入”到个位的值记为（x ）．即当n 为非负整数时，若，则（x ）＝n ．如（0.46）＝0，（3.67）＝4．下列结论：①（2.493）＝2；②（3x ）＝3（x ）；③若，则x 的取值范围是6≤x ＜10；④当x ≥0，m 为非负整数时，有（m +2022x ）＝m +（2022x ）；其中正确的是 （填写所有正确的序号）．【分析】对于①可直接判断，②可用举反例法判断，③、④我们可以根据题意所述利用不等式判断．【解答】解：①（2.493）＝2，故①符合题意；②（3x ）≠3（x ），例如当x ＝0.3时，（3x ）＝1，3（x ）＝0，故②不符合题意；③若（x ﹣1）＝1，则，解得：6≤x ＜10，故③符合题意；④m 为非负整数，故（m +2020x ）＝m +（2020x ），故④符合题意；综上可得①③④正确．故答案为：①③④．9．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．（1）在不等式①2x ﹣1＜0，②x ≤2，③x ﹣（3x ﹣1）＜﹣5中，不等式x ≥2的“云不等式”是 ；（填序号）（2）若关于x 的不等式x +2m ≥0不是2x ﹣3＜x +m 的“云不等式”，求m 的取值范围；（3）若a ≠﹣1，关于x 的不等式x +3≥a 与不等式ax ﹣1＜a ﹣x 互为“云不等式”，求a 的取值范围．【分析】（1）根据云不等式的定义即可求解；（2）解不等式x +2m ≥0可得x ≥﹣2m ，解不等式2x ﹣3＜x +m 得x ＜m +3，再根据云不等式的定义可得﹣2m ＞m +3，解不等式即可求解；（3）分两种情况讨论根据云不等式的定义得到含a 的不等式，解得即可．【解答】解：（1）不等式2x ﹣1＜0和不等式x ≥2没有公共解，故①不是不等式x ≥2的“云不等式”； 不等式x ≤2和不等式x ≥2有公共解，故②是不等式x ≥2的“云不等式”；不等式x ﹣（3x ﹣1）＜﹣5和不等式x ≥2有公共解，故③是不等式x ≥2的“云不等式”；故答案为：②③；（2）解不等式x +2m ≥0可得x ≥﹣2m ，解不等式2x ﹣3＜x +m 得x ＜m +3，∵关于x 的不等式x +2m ≥0不是2x ﹣3＜x +m 的“云不等式”，∴﹣2m ≥m +3，解得m≤﹣1，故m的取值范围是m≤﹣1；（3）①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，依题意有a﹣3＜1，即a＜4，故﹣1＜a＜4；②当a+1＜0时，即a＜﹣1时，始终符合题意，故a＜﹣1；综上，a的取值范围为a＜﹣1或﹣1＜a＜4．10．设x为实数，我们用{x}表示不小于x的最小整数，如：{3.2}＝4，{﹣2}＝﹣2．在此规定下，任一实数都能写成x＝{x}﹣a的形式．（1）若﹣1.2＝{﹣1.2}﹣a，则a＝；（2）直接写出{x}、x与x+1这三者的大小关系：；（3）满足{2x+5}＝4的x的取值范围是；满足{2.5x﹣3}＝4x﹣的x的取值是．【分析】（1）利用{x}表示不小于x的最小整数，可得方程﹣1.2＝﹣1﹣a，解方程即可求解；（2）利用x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1得出0≤{x}＜x+1，进而得出答案；（3）利用（2）中所求得出2x+5≤4＜2x+5+1，进而得出即可；利用（2）中所求得出2.5x﹣3≤4x﹣＜（2.5x﹣3）+1，进而得出即可．【解答】解：（1）∵﹣1.2＝{﹣1.2}﹣a，∴﹣1.2＝﹣1﹣a，解得a＝0.2；（2）x≤{x}＜x+1，理由：∵x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1，∴b＝{x}﹣x，∴0≤{x}＜x+1，∴x≤{x}＜x+1；（3）依题意有2x+5≤4＜2x+5+1，解得：﹣1＜x≤﹣；依据题意有2.5x﹣3≤4x﹣＜（2.5x﹣3）+1且4x﹣为整数，解得：﹣≤x＜﹣，∴﹣≤4x﹣＜﹣，∴整数4x﹣为﹣6，﹣5，解得：x＝﹣或x＝﹣．故答案为：0.2；x≤{x}＜x+1；﹣1＜x≤﹣，﹣或﹣．11．阅读与思考请仔细阅读材料，并完成相应任务．好学善思的小明和小亮同学阅读数学课外书时，看到这样一道题：解关于x的不等式：＞0两位同学认为这道题虽然没学过，但是可以用已学的知识解决．小明的方法：根据“两数相除，同号得正”，可以将原不等式转化为或解得……小亮的方法：将原不等式两边同时乘以（3x﹣2），得x+1＞0，解得……任务一：你认为小明和小亮的方法正确吗？若正确请补充完整解题过程；若不正确，请说明理由．任务二：请尝试利用已学知识解关于x的不等式：＜2．【分析】根据两数相除，同号得正，分类讨论求出不等式的解集即可．【解答】解：任务一：小明的方法正确，根据“两数相除，同号得正”，可以将原不等式转化为或，解得x＞或x＜﹣1；小亮的方法错误；不符合不等式的性质．任务二：＜2，整理得﹣2＜0，即＞0，根据“两数相除，同号得正”，可以将原不等式转化为或，解得x＞﹣3或x＜﹣8．类型五“含字母参数”类不等式解的问题12．已知不等式2（x+3）﹣5x+a＞0的解集中恰有3个非负整数，则a的取值范围为（）A．2＜a≤3B．2≤a＜3C．0＜a≤3D．0≤a＜3【分析】先求出不等式的解集，再根据其非负整数解列出不等式，解此不等式即可．【解答】解：解不等式2（x+3）﹣5x+a＞0得到：x＜a+2，∵不等式2（x+3）﹣5x+a＞0的解集中恰有3个非负整数，∴3个非负整数解是0，1，2，∴2＜a+2≤3，解得0＜a≤3．故选：C．13．下面说法错误的个数有（）①若m＞n，则ma2＞na2；②如果＞，那么a＞b；③x＞4是不等式x+3≥6的解的一部分；④不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变；⑤不等式x+3＜3的整数解是0．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用不等式的基本性质，解集与解的定义判断即可．【解答】解：①若m＞n且a≠0，则ma2＞na2，故错误，符合题意；②如果＞，那么a＞b，故正确，不符合题意；③∵不等式x+3≥6的解集为x≥3，∴x＞4是不等式x+3≥6的解的一部分，故正确，不合题意；④不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，故错误，符合题意；⑤∵不等式x+3＜3的解集为x＜0，故错误，符合题意．故选：C．14．关于x的不等式3x﹣m+2＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（）A．5≤m＜8B．5＜m＜8C．5≤m≤8D．5＜m≤8【分析】解出不等式，然后根据不等式的最小整数解为2，即可列出关于m的不等式，从而求出m的取值范围．【解答】解：3x﹣m+2＞0，3x＞m﹣2，，∵不等式的最小整数解为2，∴，解得：5≤m＜8，故选：A．15．已知关于x的不等式组恰有4个整数解，则m的取值范围为（）A．＜m＜B．≤m＜C．＜m≤D．≤m≤【分析】根据关于x的不等式组的解集和整数解的个数确定关于m的不等式组，再求出解集即可．【解答】解：关于x的不等式组有解，其解集为8＜x≤4m﹣2，∵关于x的不等式组恰有4个整数解，∴12≤4m﹣2＜13，解得≤m＜，故选：B．16．已知关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣5，则m的取值范围为（）A．﹣6＜m≤﹣3或3＜m≤6B．﹣6≤m＜﹣3或3≤m＜6C．﹣6≤m＜﹣3D．﹣6＜m≤﹣3【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的情况列出关于m的不等式，解之即可．【解答】解：由3x﹣m＜0，得：x＜，又x＞﹣4，且不等式组所有整数解的和为﹣5，∴不等式组的整数解为﹣3、﹣2或﹣3、﹣2、﹣1、0、1，∴﹣2＜≤﹣1或1＜≤2，解得﹣6＜m≤﹣3或3＜m≤6，故选：A．17．若实数m使得关于x的不等式组无解，则关于y的分式方程的最小整数解是．【分析】先求出每个不等式的解集，然后根据不等式组无解求出m的取值范围，再解分式方程，从而确定y的取值范围，即可得到答案．【解答】解：解不等式2x＞2得：x＞1，解不等式3x＜m+1得：，∵不等式组无解，∴，解得m≤2；，去分母得2y＝4﹣m，解得，∵m≤2，∴4﹣m≥2，∴，又∵y﹣1≠0，∴y＞1，∴y的最小整数解为2，故答案为：2．18．若关于x的不等式组有解，且关于x的方程kx＝2（x﹣2）﹣（3x+2）有非负整数解，则符合条件的所有整数k的和为．【分析】先根据不等式组有解得k的取值，利用方程有非负整数解，将k的取值代入，找出符合条件的k值，并相加．【解答】解：，解①得：x≥4k+1，解②得：x＜5k+5，关于x的不等式组有解，∴5k+5＞4k+1，∴k＞﹣4，解关于x的方程kx＝2（x﹣2）﹣（3x+2）得，x＝﹣，因为关于x的方程kx＝2（x﹣2）﹣（3x+2）有非负整数解，当k＝﹣3时，x＝3当k＝﹣2时，x＝6，∴﹣2﹣3＝﹣5；故答案为：﹣5．类型六“分配”问题19．有一家人参加登山活动，他们要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人带2瓶，则剩余3瓶；若每人带3瓶，则有一人带了矿泉水，但不足2瓶，则这家参加登山的人数为（）A．4人B．5人C．3人D．5人或6人【分析】设这家参加登山的人数为x人，则矿泉水有（2x+3）瓶，根据题意列出不等式组，再解即可．【解答】解：设这家参加登山的人数为x人，则矿泉水有（2x+3）瓶，由题意得：，解得：4＜x＜6，∵x为整数，∴x＝5，故选：B．20．我校团委组织团员志愿者在重阳节乘车前往敬老院慰问孤寡老人，参加的团员志愿者不足50人，联系“小白”车若干辆，每辆车如果坐6人，就剩下18人无车可坐；每辆车坐10人，那么其余的车坐满后，仅有一辆车不空也不满．则参加次活动的团员志愿者有（）名．A．54B．48C．46D．45【分析】设联系“小白”车x辆，则参加次活动的团员志愿者有（6x+18）名，根据“参加的团员志愿者不足50人，每辆车坐10人，那么其余的车坐满后，仅有一辆车不空也不满”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之取其正整数值即可得出结论．【解答】解：设联系“小白”车x辆，则参加次活动的团员志愿者有（6x+18）名，依题意，得：，解得：＜x＜．∵x为正整数，∴x＝5，∴6x+18＝48．故选：B．21．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（）A．8（x﹣1）＜5x+12＜8B．0＜5x+12＜8xC．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8D．8x＜5x+12＜8【分析】设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有（5x+12）个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是苹果数5x+12﹣8（x﹣1）大于0，并且小于8，根据不等关系就可以列出不等式【解答】解：设有x人，则苹果有（5x+12）个，由题意得：0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8，故选：C．22．在“新冠肺炎”这场没有硝烟的战争中，各行各业都涌现出了一批“最美逆行者”，其中抗疫最前沿的就是护士．某医院安排护士若干名负责护理新冠病人，每名护士护理4名新冠病人，有20名新冠病人没人护理，如果每名护士护理8名新冠病人，有一名护士护理的新冠病人多于1人不足8人，这个医院安排了名护士护理新冠病人．【分析】设医院安排了x名护士，由题意列出不等式组，则可得出答案．【解答】解：设医院安排了x名护士，由题意得，1＜4x+20﹣8（x﹣1）＜8，解得，5＜x＜6，∵x为整数，∴x＝6．故答案为：6．23．把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．这些书有多少本？学生有多少人？【分析】设有x个学生，根据“每人分3本，还余8本”用含x的代数式表示出书的本数；再根据“每人分5本，最后一人就分不到3本”列不等式．【解答】解：设有x个学生，那么共有（3x+8）本书，则：，解得5＜x≤6.5，所以x＝6，共有6×3+8＝26本．答：有26本书，6个学生．类型七“方案设计类”问题24．2020年7月27日，金华城东东湖畈地力提升项目现场，金色的早稻田一望无际．大型收割机依次排开，在田间来回穿梭，伴随着机器轰鸣的声音，金灿灿的稻谷被尽数收入“囊中”．已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割水稻2.5公顷．（1）每台大型收割机和小型收割机1小时可收割水稻多少公顷？（2）大型收割机每小时费用300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共10台，要求2小时完成8公顷水稻的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用【分析】（1）设每台大型收割机1小时可收割水稻x公顷，每台小型收割机1小时可收割水稻y公顷，根据“1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割水稻2.5公顷”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设参加收割的大型收割机有m台，则小型收割机有（10﹣m）台，根据要求2小时完成8公顷水稻的收割任务且总费用不超过5400元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出方案的个数，设总费用为w元，根据总费用＝每台机器1小时所需费用×使用机器的数量×2，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设每台大型收割机1小时可收割水稻x公顷，每台小型收割机1小时可收割水稻y公顷，依题意得：，解得：．答：每台大型收割机1小时可收割水稻0.5公顷，每台小型收割机1小时可收割水稻0.3公顷．（2）设参加收割的大型收割机有m台，则小型收割机有（10﹣m）台，依题意得：，解得：5≤m≤7．又∵m为整数，∴m可以取5，6，7，∴共有3种方案．设总费用为w元，则w＝2×[300m+200（10﹣m）]＝200m+4000，∵200＞0，∴当m＝5时，w取得最小值，最小值＝200×5+4000＝5000（元），即当使用5台大型收割机、5台小型收割机时，总费用最低，最低费用为5000元．25．小华是花店的一名花艺师，她每天都要为花店制作普通花束和精致花束，她每月工作20天，每天工作8小时，她的工资由基本工资和提成工资两部分构成，每月的基本工资为1800元，另每制作一束普通花束可提2元，每制作一束精致花束可提5元．她制作两种花束的数量与所用时间的关系见下表：制作普通花束（束）制作精致花束（束）所用时间（分钟）10256001530750请根据以上信息，解答下列问题：（1）小华每制作一束普通花束和每制作一束精致花束分别需要多少分钟？（2）2019年11月花店老板要求小华本月制作普通花束的总时间x不少于3000分钟且不超过5000分钟，则小华该月收入W最多是多少元？此时小华本月制作普通花束和制作精致花束分别是多少束？【分析】（1）设小华每制作一束普通花束需要m分钟，每制作一束精致花束需要n分钟，根据小华制作两种花束的数量与所用时间的关系表，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据小华本月的总收入＝基本工资+制作花束的数量×每束的提成，即可得出W关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设小华每制作一束普通花束需要m分钟，每制作一束精致花束需要n分钟，依题意，得：，解得：．答：小华每制作一束普通花束需要10分钟，每制作一束精致花束需要20分钟．（2）20×8×60＝9600（分钟）．依题意，得：W＝1800+2×+5×＝﹣+4200（3000≤x≤5000）．∵﹣＜0，∴W的值随x值的增大而减小，∴当x＝3000时，W取得最大值，最大值为4050元．3000÷10＝300（束），（9600﹣3000）÷20＝330（束）．答：小华该月收入W最多是4050元，此时小华本月制作普通花束300束，制作精致花束330束．26．某网红蛋糕店的蛋糕十分畅销，供不应求，主原料为鸡蛋和面粉，一份蛋糕含鸡蛋和面粉共390克，鸡蛋比面粉多90克，再添加不同的辅料，做成A、B、C三款蛋糕，毛利润分别为6元、9元、8元．（1）求一份蛋糕含鸡蛋、面粉各多少克？（2）若一天卖出500份蛋糕，A款与B款的份数之和比C款多60份，毛利润为3800元，求A款、B款、C款各卖了多少份？（3）若一天卖出n份蛋糕，A款与B款的份数之比为3：4，毛利润为4200元，且每款蛋糕的份数不少于145份，则n的最小值是（直接写出答案）．【分析】（1）设一份蛋糕含鸡蛋x克，面粉y克，根据“一份蛋糕含鸡蛋和面粉共390克，鸡蛋比面粉多90克”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A款蛋糕卖了a份，B款蛋糕卖了b份，C款蛋糕卖了c份，根据“三款蛋糕共卖出500份，A款与B 款的份数之和比C款多60份，毛利润为3800元”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论；（3）设卖出A款蛋糕3m份，则卖出B款蛋糕4m份，卖出C款蛋糕（n﹣7m）份，根据毛利润为4200元，即可得出关于m，n的二元一次方程，变形后可用含m的代数式表示出n值，结合每款蛋糕的份数不少于145份，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合3m，4m，（525+m）均为正整数，即可得出m的值，进而可得出n的值，取n的最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设一份蛋糕含鸡蛋x克，面粉y克，依题意得：，解得：．答：一份蛋糕含鸡蛋240克，面粉150克．（2）设A款蛋糕卖了a份，B款蛋糕卖了b份，C款蛋糕卖了c份，依题意得：，解得：．答：A款蛋糕卖了160份，B款蛋糕卖了120份，C款蛋糕卖了220份．（3）设卖出A款蛋糕3m份，则卖出B款蛋糕4m份，卖出C款蛋糕（n﹣7m）份，依题意得：6×3m+9×4m+8（n﹣7m）＝4200，∴n＝525+m．又∵每款蛋糕的份数不少于145份，∴，即，解得：≤m≤，又∵3m，4m，（525+m）均为正整数，∴m可以为52，56，∴n的值为538或539．答：n的最小值为538．27．某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金8400元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金13800元．（1）求甲、乙型号手机每部进价各为多少元？（2）该店计划购进甲乙两种型号的手机销售，预计用不多于5.52万元且不少于5.28万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？（3）若甲型号手机的售价为4500元，乙型号手机的售价为4200元，为了促销，无论采取哪种进货方案，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客相同现金a元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求a的值．【分析】（1）设甲型号手机每部进价为x元，乙型号手机每部进价为y元，根据“若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金8400元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金13800元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲型号手机m部，则购进乙型号手机（20﹣m）部，根据总价＝单价×数量结合总价不多于5.52万元且不少于5.28万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m的整数即可得出进货方案的数量；（3）设获得的利润为w元，根据总利润＝单部利润×数量，即可得出w关于m的函数关系式，由w的值与m 无关，即可求出a值．【解答】解：（1）设甲型号手机每部进价为x元，乙型号手机每部进价为y元，依题意，得：，解得：．答：甲型号手机每部进价为3000元，乙型号手机每部进价为2400元．（2）设购进甲型号手机m部，则购进乙型号手机（20﹣m）部，依题意，得：，解得：8≤m≤12，∵m为整数，∴m＝8，9，10，11，12，∴共有5种进货方案．（3）设获得的利润为w元，依题意，得：w＝（4500﹣3000）m+（4200﹣2400﹣a）（20﹣m）＝（a﹣300）m+36000﹣20a，∵w的值与m无关，∴a﹣300＝0，解得：a＝300．答：a的值为300．28．在利川市开展“六城同创”城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米．（1）求运往两地的数量各是多少立方米？（2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往D、E两地哪几种方案？（3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如表：A地B地C地运往D地（元/立方米）222020运往E地（元/立方米）202221在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？【分析】（1）设运往E地x立方米，由题意可列出关于x的方程，求出x的值即可；（2）根据C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍，其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米列出关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围，再根据a是整数可得出a的值，进而可求出答案；（3）根据（2）中的两种方案分别求出其费用，比较即可．【解答】解：（1）设运往E地x立方米，由题意得，x+2x﹣10＝140，解得：x＝50，则2x﹣10＝90．答：共运往D地90立方米，运往E地50立方米；（2）由题意可得，，解得：20＜a≤22，∵a是整数，∴a＝21或22，∴有如下两种方案：第一种：A地运往D地21立方米，运往E地29立方米；C地运往D地39立方米，运往E地11立方米；第二种：A地运往D地22立方米，运往E地28立方米；C地运往D地38立方米，运往E地12立方米；（3）第一种方案共需费用：22×21+20×29+30×20+22×10+39×20+11×21＝2873（元），第二种方案共需费用：22×22+28×20+30×20+22×10+38×20+12×21＝2876（元），所以，第一种方案的总费用最少．29．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖的纸盒．（1）现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设竖式纸盒x个，需要长方形纸板张，正方形纸板张（请用含有x的式子表示）；（2）在（1）的条件下，有哪几种生产方案？（3）若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290＜a＜300，求a 的值．【分析】（1）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒（100﹣x）个，根据每个长方形、正方形纸板使用长方形、正方形纸板的数量，即可得出结论；（2）根据使用正方形纸板不超过162张、长方形纸板不超过340张，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数，即可得出各生产方案；（3）设可以生产竖式纸盒m个，横式纸盒个，得出a关于m的函数关系式，结合290＜a＜300，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出结论．【解答】解：（1）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒（100﹣x）个，∴长方形纸板用了（x+300）张，正方形纸板用了（200﹣x）张．故答案为：（x+300），（200﹣x）；（2）依题意得：，解得38≤x≤40．∵x为整数，∴x＝38，39，40，∴共有3种生产方案，方案1：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；方案2：生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；方案3：生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个；（3）设可以生产竖式纸盒m个，横式纸盒个，依题意得：a＝4m+＝m+243．∵290＜a＜300，∴，解得18.8＜m＜22.8，∵m为正整数，∴m＝20，22，∴a＝293，298．答：a的值为293或298．。

专题3.3 一元一次不等式（组）含参问题（12大类型）（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【题型目录】【题型1】已知含参方程的解的正负性，求参数取值范围............................1；【题型2】已知含参一元一次不等式的解集，求参数取值范围........................2；【题型3】已知含参一元一次不等式整数解，求参数取值范围........................2；【题型4】已知含参一元一次不等式组有解，求参数取值范围........................2；【题型5】已知含参一元一次不等式组无解，求参数取值范围........................2；【题型6】已知含参一元一次不等式组有且只有几个整数解，求参数取值范围......3；【题型7】已知含参一元一次不等式组至少（多）有几个整数解，求参数取值范围......3；【题型8】已知含参一元一次不等式组解集，求参数值或取值范围.............3；【题型9】由含参一元一次不等式组解集和分式方程解的情况，求参数取值范围........4；【题型10】由含参一元一次不等式组解集和二元一次方程解的情况，求参数取值范围...4；【题型11】直通中考...........................................................5；【题型12】拓展延伸...........................................................5.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】已知含参方程的解的正负性，求参数取值范围【例1】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）1．关于x 的分式方程32211x mx x -=+++的解为负数，则m 的取值范围是（ ）A ．0m <B ．4m >-C ．4m <-D ．4m <-且5m ¹-【变式1】（20-21八年级下·江苏扬州·期中）2．已知关于x 的方程232x mx -=-的解是非负数，则m 的取值范围为 ．【变式2】（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）3．若关于x 的方程528x a -=的解是非正数，则a 的取值范围是（ ）A ．4a >-B ．4a <-C ．4a ³-D ．4a £-【题型2】已知含参一元一次不等式的解集，求参数取值范围【例2】（23-24七年级下·全国·期中）4．已知关于x 的不等式 413x a +>的解都是不等式 2103x +>的解，则a 的取值范围是（ ）A ．5a £B ．<5a C ．3a £D ．>5a 【变式1】（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）5．如果关于x 的不等式(1)1a x -³解集为11x a³-，则a 的取值范围是 ．【变式2】6．如果关于x 的不等式()11a x a +>+的解集为1x <，那么a 的取值范围是 ．【题型3】已知含参一元一次不等式整数解，求参数取值范围【例3】（2024七年级下·江苏·专题练习）7．若关于x 的一元一次不等式1x m +£只有1个正整数解，则m 的取值范围是 ．【变式1】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）8．若关于x 的不等式57x m x +³的正整数解是1234、、、．则m 的取值范围为（ ）A ．10m <B ．8m ³C ．810m ££D ．810m £<【变式2】（23-24六年级下·上海浦东新·期末）9．若关于x 的不等式0x m -³的最小整数解是2x =，则m 的取值范围是⋯（ ）A ．12m £<B ．12m <£C ．23m <£D ．23m £<【题型4】已知含参一元一次不等式组有解，求参数取值范围【例4】（23-24七年级下·河南南阳·期末）10．已知关于x 的不等式组()12432x mx x -ì<-ïíï-£-î有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．2m ≥C ．1m <D ．1m £-【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）11．若不等式组12x x k <£ìí>î有解，则k 的取值范围是（ ）A ．2k <B ．2k ³C ．1k <D ．12k £<【变式2】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）12．关于x 的不等式组3284a x x a ->ìí+>î有解且每一个x 的值均不在26x -££的范围中，则a 的取值范围是 ．【题型5】已知含参一元一次不等式组无解，求参数取值范围【例5】（23-24八年级下·陕西西安·期末）13．若关于x 的一元一次不等式组11340x xx a ì-³-ïíï->î无解，则a 的取值范围是 ．【变式1】（23-24六年级下·上海杨浦·期末）14．若关于x 的不等式组62x x m m -<<ìí-<î无解，那么m 的取值范围是【变式2】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）15．已知不等式组40329x a x x -<ìí-³-+î无解，则a 的取值范围是．【题型6】已知含参一元一次不等式组有且只有几个整数解，求参数取值范围【例6】（24-25八年级上·湖南衡阳·开学考试）16．若关于x 的不等式组()()324122x x x m x ì-<-í-£-î，恰好有三个整数解，则m 的取值范围是 ．【变式1】（22-23八年级下·四川达州·期中）17．若关于x 的不等式组()213644x x m x +<ìí-³+î只有3个整数解，则m 的取值范围是 ．【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）18．关于x 的不等式组()1023544133x x k x x k +ì+>ïïí+ï+>++ïî恰有三个整数解，则k 的取值范围是（ ）A ．112k <£B ．112k £<C ．312k £<D ．312k <£【题型7】已知含参一元一次不等式组至少（多）有几个整数解，求参数取值范围【例7】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）19．如果关于x 的不等式组2030x m n x -³ìí-³î仅有四个整数解；1-、0、1、2，那么适合这个不等式组的整数m 、n 组成的有序实数对()，m n 最多共有( )A ．4个B ．6个C ．8个D ．9个【变式】（23-24七年级下·四川资阳·期末）20．已知关于x 的不等式组0217x a x -<ìí-³î至少有两个整数解，且存在以3，a ，6为边的三角形，则整数a 的值有个【题型8】已知含参一元一次不等式组解集，求参数值或取值范围【例8】（2024·湖北·模拟预测）21．若关于x 的一元一次不等式组63(1)51x x x m -+<-ìí->-î的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m …C ．3m <D ．3m …【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）22．若关于x 的不等式组220x a b x ->ìí->î的解集为11x -<<，则2019()a b +的值是（ ）A ．1B ．12C ．1-D ．12-【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）23．不等式组29612x x x k +>+ìí-<î的解集为2x <．则k 的取值范围为 ．【题型9】由含参一元一次不等式组解集和分式方程解的情况，求参数取值范围【例9】（22-23八年级下·重庆忠县·期中）24．如果关于x 的不等式组441113(22m x x x ->ìïí-<+ïî有且仅有三个整数解，且关于x 的分式方程26122mx x x --=--有非负数解，则符合条件的所有整数m 的和为 ．【变式1】（23-24七年级下·重庆北碚·期末）25．已知关于y 的分式方程52211a y y --=---解为非负整数，且关于y 的不等式组2311122y a y ->ìïí+£ïî有解且至多三个整数解，则所有满足条件的整数a 的和为（ ）A ．6B ．5C ．9D ．13【变式2】（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）26．已知方程21144a a a +=--，且关于x 的不等式组x a x b>ìí£î只有2个整数解，那么b 的取值范围是（ ）A ．13b -<£B ．23b <£C ．45b £<D ．34b £<【题型10】由含参一元一次不等式组解集和二元一次方程解的情况，求参数取值范围【例10】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）27．若存在一个整数m ，使得关于,x y 的方程组432173453x y m x y m +=+ìí+=-î的解满足1x y +£，且让不等式5041x m x ->ìí-<-î只有3个整数解，则满足条件的所有整数m 的和是（ ）A ．12B ．6C ．—14D ．—15【变式】（23-24七年级下·山东威海·期末）28．已知关于x ，y 的方程组3454331x y m x y m +=-ìí+=+î的解满足0,0x y x y +<->，求m 的取值范围．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型11】直通中考【例1】（2024·四川南充·中考真题）29．若关于x 的不等式组2151x x m -<ìí<+î的解集为3x <，则m 的取值范围是（ ）A ．m>2B ．2m ≥C ．2m <D ．2m £【例2】（2023·四川眉山·中考真题）30．关于x 的不等式组35241x m x x >+ìí-<+î的整数解仅有4个，则m 的取值范围是（ ）A ．54m -£<-B ．54m -<£-C ．43m -£<-D ．43m -<£-【题型12】拓展延伸【例1】（22-23七年级下·重庆江津·期中）31．已知关于x 、y 的方程组3453x y ax y a +=-ìí-=î，下列结论中正确的个数有（ ）① 当3a =时，41x y =ìí=î是方程组的解；② 不存在一个实数a ，使得x 、y 的值互为相反数；③ 当方程组的解是52x y =ìí=-î时，方程组()()()()391232106m n m n a m n m n a ì++-=-ïí+--=ïî的解为3272m n ì=ïïíï=ïî；④ x 、y 都为自然数的解有3对．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例2】（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）32．关于x 的分式方程23133a x x x -+=++的解为整数，且关于y 的不等式组1313212y y a y y +ì+³ïïí+ï<-ïî有解且最多有六个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ．1．D【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程的解为负数的条件是有解且解为负数，解题的关键是能正确解分式方程并理解分式方程的解为负数的条件为有解且解为负数．【详解】解：322,11x mx x -=+++方程两边同乘以()1x +得：()3221,x x m -=++解得：4,x m =+∵关于x 的分式方程32211x mx x -=+++的解为负数，10x \+¹且 0,x <即410m ++¹且40,m +<解得：4m <-且 5.m ¹-故选：D ．2．6m £且4m ¹##4m ¹且6m £【分析】本题考查了分式方程的解，解不等式等知识，首先求出关于x 的方程232x mx -=-的解，然后根据解是非负数，再解不等式求出m 的取值范围．．【详解】解：关于x 的方程232x mx -=-得6x m =-+，20x -¹Q ，2x \¹，Q 方程的解是非负数，60m \-+³且62m -+¹，解这个不等式得6m £且4m ¹．故答案为：6m £且4m ¹．3．D【分析】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，熟练掌握解方程和不等式的方法是解题的关键．先解一元一次方程，再根据题意构建一元一次不等式，最后解不等式即可．【详解】∵528x a -=，∴825ax +=，∵关于x 的方程528x a -=的解是非正数，∴8205ax +=£，解得4a £-，故选：D ．4．A【分析】考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的求法是解题的关键． 先把a 看作常数求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出不等式求解即可．【详解】解：解不等式 413x a +>得，34ax ->，解不等式2103x +>得，12x >-，Q 关于x 的不等式 413x a +>的解都是不等式 2103x +>的解，3142a -\³-，解得：5a £，故选：A ；5．1a <【分析】本题考查了不等式的性质，根据题意可知关于x 的不等式(1)1a x -³解集为11x a³-，则x 的系数的正数，再根据这个结果求出a 的取值范围，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：∵关于x 的不等式(1)1a x -³解集为11x a³-，∴10a ->，∴1a <，故答案为：1a <．6．1a <-【分析】本题考查了不等式的性质和解不等式，根据不等式的性质求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】∵关于x 的不等式()11a x a +>+的解集为1x <，∴10a +<，解得：1a <-，故答案为：1a <-．7．2<3m £【分析】先解一元一次不等式可得x ≤m−1，然后根据题意可得11<2m £-，进行计算即可解答．本题考查了一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．【详解】解：1x m +£，解得x ≤m−1，∵一元一次不等式1x m +£只有1个正整数解，∴11<2m £-，∴2<3m £，故答案为：2<3m £．8．D【分析】本题考查解不等式，解57x m x +³得2m x £，再由题意可得452m£<，解这个不等数组即可得出答案．【详解】解：解57x m x +³得2mx £，∵该不等式的正整数解为1、2、3、4，∴452m £<解得810m £<．故选：D ．9．B【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解关于x 的不等式求得x m ³，根据不等式的最小整数解是2x =即可作答．【详解】解：0x m -³，移项，得：x m ³，Q 不等式的最小整数解是2x =，12m \<£，故选：B ．10．A【分析】本题考查了求不等式的解集及其参数，先求出不等式组的解集，再根据不等式组有解的情况得到关于m 的不等式，求解即可，理解题意，熟练掌握求不等式组的解集是解题的关键．【详解】解：()12432x mx x -ì<-ïíï-£-î①②，解不等式①得，2x m <-，解不等式②得，1x ³，∵关于x 的不等式组()12432x mx x -ì<-ïíï-£-î有解，∴21m ->，解得：3m >故选：A ．11．A【分析】本题考查已知不等式的解集求参数，根据求不等式组解集的方法“大中取大，小中取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的原则求解即可．【详解】Q 不等式组有解，\两个不等式的解有公共部分，2.k \<故选：A ．12．1a <【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解的情况求参数的取值范围，先求出不等式组的解集为243a x a -<<-，再结合题意得出243246a a a -<-ìí-³î或24332a a a -<-ìí-£-î，求解即可得出答案．【详解】解：3284a x x a ->ìí+>î①②，解不等式①得：3x a <-，解不等式②得：24x a >-，Q 不等式组有解，243a x a \-<<-，Q 每一个x 的值均不在26x -££的范围中，\243246a a a -<-ìí-³î或24332a a a -<-ìí-£-î，解得：1a <，故答案为：1a <．13．0a ³【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组解集的情况求参数，先对不等式进行求解，再根据关于x 的一元一次不等式组11340x x x a ì-³-ïíï->î无解即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：11340x x x a ì-³-ïíï->î①②解不等式①得，0x £，解不等式②得，x a >，∵关于x 的一元一次不等式组11340x x x a ì-³-ïíï->î无解，∴0a ³，故答案为：0a ³．14．3m £-【分析】本题考查了不等式的解集，先解不等式x m m -<，然后根据不等式组无解，即可求出m 的取值范围．【详解】解：解不等式x m m -<，得2x m <，∵62x x m m -<<ìí-<î无解，∴26m £-，∴3m £-，故答案为：3m £-．15．16a £【分析】本题考查了解一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．解40x a -<得4a x <，解329x x -³-+得4x ³，由不等式组40329x a x x -<ìí-³-+î无解，可得44a £，计算求解即可．【详解】解：40329x a x x -<ìí-³-+î，40x a -<，解得，4a x <，329x x -³-+，解得，4x ³，∵不等式组40329x a x x -<ìí-³-+î无解，∴44a £，解得，16a £，故答案为：16a £．16．14m £<##41m >³【分析】本题考查不等式组的整数解问题，正确理解恰有3个整数解得意义是解题的关键．先解不等式组，写出不等式组的解集，再根据恰有三个整数解，可求出m 的范围．【详解】解：()()324122x x x m x ì-<-í-£-î①②解不等式①得：2x >-，解不等式②得：23m x +£，Q 不等式组有解，\不等式组的解集是：223m x +-<£．Q 不等式组恰好有3个整数解，则整数解是1,0,1-，\2123m +£<．14m \£<，故答案为：14m £<．17．5433m -<£-【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数的取值范围，先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集只有3个整数解可得3322m -<+£-，解不等式即可求解，掌握解一元一次不等式组是解题的关键．【详解】解：()213644x x m x +<ìïí-³+ïî①②，由①得，x <1，由②得，32x m ³+，∴不等式组的解集为321m x +£<，∵关于x 的不等式组()213644x x m x +<ìí-³+î只有3个整数解，∴3322m -<+£-，即322323m m +£-ìí+>-î，解得5433m -<£-，故答案为：5433m -<£-．18．D【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组中两个不等式得解集，再根据原不等式组只有三个整数解建立关于k 的不等式组，解之即可得到答案．【详解】解：()1023544133x x k x x k +ì+>ïïí+ï+>++ïî①② 解不等式①得：25x >-，解不等式②得：2x k <，∵原不等式组恰有三个整数解，∴223k <£，∴312k £＜，故选：D ．19．B【分析】先求出不等式组的解，得出关于m 、n 的不等式组，求出整数m 、n 的值，即可得出答案．【详解】解：∵解不等式20x m -³得：2m x ³，解不等式30n x -³得：3n x £，∴不等式组的解集是23m n x ££，∵关于x 的不等式组的整数解仅有1-，0，1，2，∴212m -<-≤，233n £<，解得：4269m n -<£-£<，，即m 的值是32--，，n 的值是6，7，8，即适合这个不等式组的整数m ，n 组成的有序数对()，mn 共有6个，是()()()()()()363738262728------，，，，，，，，，，，．故选：B ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出m 、n 的值．20．3【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a 5>，再根据存在以3，a ，6为边的三角形，可得39a <<，进而得出a 的取值范围是59a <<，即可得到a 的整数解有3个．【详解】解：解不等式组得：4x a £<，∵至少有两个整数解，则整数解至少为4和5，∴5a >，又∵存在以3，a ，6为边的三角形，∴39a <<，∴a 的取值范围为59a <<，∴整数a 的值为：6，7，8，有3个故答案为：3．21．D【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”即可确定m 的范围．【详解】解：解不等式63(1)5x x -+<-得x >2，解不等式1x m ->-得1x m >-，∵解集是2x >，∴12m -£，解得3m £，故选D ．22．C【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得到a 、b 的值，代入计算即可．【详解】解：220x a b x ->ìí->î①②，解①得：2x a >+，解②得：2b x <，∵不等式组220x a b x ->ìí->î的解集为11x -<<，∴2112a b +=-ìïí=ïî，解得：32a b =-ìí=î，∴()20192019()321a b +=-+=-．故选：C ．23．0k ³##0k £【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，先分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出22k £+，求解即可．【详解】解：29612x x x k +>+ìí-<î①②，由①可得：2x <，由②可得：2x k <+，∵该不等式组的解集为2x <，∴22k £+，解得：0k ³，故答案为：0k ³．24．5【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分式方程的综合，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法，解分式方程的方法是解题的关键．根据不等式的性质分别求解，根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”及不等式组的解集的情况可得04m <£，再根据解分式方程的方法得到61x m =-，由分式方程有非负数解，可得14m <<，由此即可求解．【详解】解：441113(22m x x x ->ìïí-<+ïî，解不等式44m x ->，得：44m x -<，解不等式111322x x æö-<+ç÷èø，得：72x >-，∵不等式组有且仅有三个整数解，∴4104m --<£，解得：04m <£，解关于x 的分式方程26122mx x x --=--，得：61x m =-，∵分式方程有非负数解，∴601m ³-，且621m ¹-，10m -¹，解得：1m ³且4m ¹且1m ¹，综上，14m <<，所以所有满足条件的整数m 的值为2，3，∴符合条件的所有整数m 的和为235+=．故答案为：5．25．A【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式方程组，首先解得不等式方程组的解，根据题意找到a 的范围，再解的分式方程的解，结合分式方程的解和a 的范围求得a 的可能值即可．【详解】解：2311122y a y ->ìïí+£ïî由23y a ->，解得32a y +>，由11122y +£，解得5y £，则不等式方程组的解为，352a y +<£，∵关于y 的不等式组2311122y a y ->ìïí+£ïî有解且至多三个整数解，∴3252a +££，解得17a ££，52211a y y --=---，去分母得，()()2152y a ---=，去括号、移项得，25y a -=-，系数化为1得，52a y -=，∵1y =为分式方程的增根，∴512a -¹，解得3a ¹，∵y 的分式方程52211a y y --=---解为非负整数，∴502a y -=³，解得5a £，∴15a £<且3a ¹，∴当1a =时，2y =；当2a =时，32y =，舍去；当3a =时，1y =，舍去；当4a =时，12y =，舍去；当5a =时，0y =；则所有满足条件的整数a 的和为156+=．故选：A ．26．D【分析】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先解分式方程，得到a 的值，代入不等式组确定出b 的范围即可．【详解】解：解方程21144a a a+=--，得1a =，经检验，1a =是该分式方程的解，∵关于x 的不等式组x a x b >ìí£î，即1x x b >ìí£î只有2个整数解，∴34b £<．故选：D ．27．D【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出m 的取值范围，再进行求解即可．本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键．【详解】解：432173453x y m x y m +=+ìí+=-î①②，+①②，得：77714x y m +=+，∴2x y m +=+，∵1x y +£，∴21m +£， 解得：1m £-，解不等式50x m ->，得：5m x >， 解不等式41x -<-，得：3x <，故不等式组的解集是：35m x <<∵不等式组只有3个整数解，∴105m -£<，解得50m -£<，∴51m -££-，∴符合条件的整数m 的值的和为5432115-----=-，故选：D ．28．31m -<<【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于m 的不等式组，求解即可．【详解】解：3454331x y m x y m +=-ìí+=+î①②，+①②得：7744x y m +=-，即447m x y -+=，-②①得：26x y m -=+，∵00x y x y +-，，∴4407260m m -ì<ïíï+>î∴31m -<<，故答案为：31m -<<．29．B【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可．【详解】解：解2151x x m -<ìí<+î，得：31x x m <ìí<+î，∵不等式组的解集为：3x <，∴13m +³，∴2m ≥；故选B ．30．A【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m 的范围即可．【详解】解：35241x m x x >+ìí-<+î①②，由②得：3x <，解集为33m x +<<，由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，1-，∴231m -£+<-，∴54m -£<-；故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到231m -£+<-是解此题的关键．31．B【分析】此题考查了二元一次方程组的解，一元一次不等式组，①把3a =代入方程组求出解，即可做出判断；②根据题意得到0x y +=，代入方程组求出a 的值，即可做出判断；③()()()()391232106m n m n a m n m n aì++-=-ïí+--=ïî的各项和原方程成比例，故可得方程52m n m n +=ìí-=-î，即可解答；④用a 表示,x y ，可得一元一次不等式组，再根据a 的取值范围，即可解答，熟知方程的各项成比例时，两个方程的解相同，是解题的关键．【详解】解：当3a =时，原方程为343533x y x y +=-ìí-=´î，解得41x y =ìí=-î，故①错误；x 、y 的值互为相反数时，可得0x y +=，可得方程3453y y a y y a-+=-ìí--=î，方程无解，故②正确；()()()()391232106m n m n a m n m n a ì++-=-ïí+--=ïîQ 的各项和原方程成比例，故可得52m n m n +=ìí-=-î，解得3272m n ì=ïïíï=ïî，故③正确；解3453x y a x y a +=-ìí-=î，可得5212a x a y +ì=ïïí-ï=ïî，当,x y 为自然数时，可得502102a a +ì³ïïí-ï³ïî，解得51a -££且a 为奇数，故5,3,1,1a =---，即x 、y 都为自然数的解有4对，故④错误；故选：B ．32．20-【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，由分式方程得12a x +=，由一元一次不等式组得23a y +<£-，根据不等式组1313212y y a y y +ì+³ïïí+ï<-ïî有解且最多有六个整数解，即可得到125a -<<-，再由12a x +=为整数，即可得到a 的值，正确掌握解一元一次不等式组和解分式方程得方法是解题的关键．【详解】解：∵23133a x x x-+=++，∴12a x +=，由1313212y y a y y +ì+³ïïí+ï<-ïî得23a y +<£-，∵不等式组1313212y y a y y +ì+³ïïí+ï<-ïî有解且最多有六个整数解，∴125a -<<-，∵12a x +=为整数，∴11a =-或9-或―7，又∵30x +¹，∴1302a ++¹，∴7a ¹-，∴11a =-或9-，∴所有满足条件的整数a 的值之和()11920=-+-=-，故答案为：20-．。

第三章不等式重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。

难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。

知识点一：不等式的概念1. 不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释：(1)不等号的类型:①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

要点诠释：由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。

3．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程叫做解不等式。

如：不等式x－4＜1的解集是x＜5.不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。

要点诠释：不等式的解集必须符合两个条件：(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。

一元一次不等式（组）及应用考点一、不等式的性质【例1】 1。

如果a＜b，那么下列不等式中一定正确的是( )A．a﹣2b＜﹣b B．a2＜ab C．ab＜b2 D．a2＜b22。

不等式（a﹣5)x＞5﹣a的解集为x＜﹣1，则a的取值范围是．举一反三 1.下列命题中：①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；②若，则a＜0，b＞0；③若ac2＞bc2，则a＞b;④若a＜b＜0，则；⑤若，则a＞b．正确的有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜，则nx﹣m＜0的解集是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3考点二、不等式(组）的解集的数轴表示【例2】不等式16－4x＞0的解集在数轴上表示正确的是（）举一反三1。

不等式组里每个不等式的解集表示在同一数轴上如图,则此不等式组的解集用x 表示为．2.已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a≥2 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1,或a＞2考点三、不等式(组)的解法【例3】 1.解不等式,并把它们的解集表示在数轴上．2。

不等式组的所有正整数解的和为．举一反三 1.求满足不等式组错误!错误!的整数解．2。

已知a，b为实数，则解可以为–2<x<2的不等式组是( ）A。

ax>1bx>1⎧⎨⎩B。

ax>1bx<1⎧⎨⎩C。

ax<1bx>1⎧⎨⎩D.ax<1bx<1⎧⎨⎩考点四、含参数不等式问题【例4】 1.若不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a≤2 C．a≥2 D．无法确定2.已知不等式组的解集中共有5个整数,则a的取值范围为（）A．7＜a≤8 B．6＜a≤7 C．7≤a＜8 D．7≤a≤8举一反三 1.若不等式组有解，则实数a的取值范围是( ）A．a＜﹣36 B．a≤﹣36 C．a＞﹣36 D．a≥﹣362.若a+b=﹣2,且a≥2b，则（）A．有最小值B．有最大值1 C．有最大值2 D．有最小值3。

一、解不等式的通法与技巧解一元一次不等式的五个基本步骤和根据如下：同学们在熟练掌握一元一次不等式解法的五个步骤后，可结合一元一次不等式的特点，采取一些灵活、简捷的方法与技巧，能使解题事半功倍。

二、单纯解不等式组1、 165()7510542352x x x x x ⎧-->-⎪⎪⎨--⎪-≥⎪⎩2、⎪⎩⎪⎨⎧->+≥--13214)2(3x x x x3、2(3)4(1)22x x x x x -->⎧⎪⎨-+≤-⎪⎩4、165()7510542352x x x x x ⎧-->-⎪⎪⎨--⎪-≥⎪⎩5、若⎪⎩⎪⎨⎧<<><<c x b x a x x c b a 的不等式组则关于,的解集是（ ）A 、a <x <bB 、a <x <cC 、b <x <cD 、无解6、若a 2>a ，则a 的取值范围是____________；例3、若关于x 的方程组⎩⎨⎧-=++=+134123p y x p y x 的解满足x >y ，则p 的取值范围是_________.例4、如果不等式组⎩⎨⎧>-<+n x x x 737的解集是x ＞7，则n 的取值范围是（ ） A 、n ≥7 B 、n ≤7 C 、n=7 D 、n ＜7例5、如果关于x 的不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x<，求关于x 的不等式ax>b 的解集。

（同类模仿）已知关于x 的不等式组只有四个整数解，则实数的取值范围是 ____1070521x a x -⎧⎨->⎩≥，a()（同类模仿）已知不等式4x －a ≤0，只有四个正整数解1，2，3，4，那么正数a 的取值范围是什么？五、不等式与不等式组的应用题例1、某校为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决定举办“读书节”活动，在这次读书活动中，小明受到老师的鼓舞，每天所看的书比原计划多5 页，因而他在2天内读书超过28页，后来他真正体会到读书的乐趣，积极性大增，每天比原计划多读了10页，但照此速度4天他所读的页数还没有达到84页。

第7讲一元一次不等式(组) 考纲要求命题趋势1．了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的根本性质．2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法．3．会列方程(组)解决实际问题.一元一次方程在各省市的中考试题中表达的不突出，个别省市仅以填空题、选择题、列方程解应用题的方式出现．二元一次方程组在中考中一般以填空题、选择题考查定义与解法，以解答题考查列方程组解应用题.一、等式及方程的有关概念1．等式及其性质(1)用等号“＝〞来表示相等关系的式子，叫做等式．(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．2．方程的有关概念(1)含有未知数的等式叫做方程．(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程．二、一元一次方程1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数都是一次，系数不等于零的整式方程叫做一元一次方程，其标准形式为ax=b，其解为x＝b/a.2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1.三、二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程(1)概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是一次，这样的整式方程叫做二元一次方程．(2)一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．(3)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．2．二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)一般形式：⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2(a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)．(3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的解，叫做二元一次方程组的解． 四、二元一次方程组的解法解二元一次方程组的根本思想是消元，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有代入消元法和加减消元法．1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤(1)从方程组中选定一个系数比拟简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示出y(或x)，即变成y ＝ax ＋b(或x ＝ay ＋b)的形式；(2)将y ＝ax ＋b(或x ＝ay ＋b)代入另一个方程，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；(4)把x(或y)的值代入y ＝ax ＋b(或x ＝ay ＋b)中，求y(或x)的值． 2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤(1)在二元一次方程组中，假设有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，那么可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；(2)在二元一次方程组中，假设不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比拟简单的方程内，求出另一个未知数． 五、列方程(组)解应用题的一般步骤审：审清题意，分清题中的量、未知量．设：设未知数，设其中某个未知量为x ，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数．列：根据题意寻找等量关系列方程(组)． 解：解方程(组)．验：检验方程(组)的解是否符合题意． 答：写出答案(包括单位)． 六、常见的几种方程类型及等量关系1．行程问题中的根本量之间的关系路程＝速度×时间；相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；追及问题：假设甲为快者，那么被追路程＝甲走的路程－乙走的路程； 流水问题：v 顺＝v 静＋v 水，v 逆＝v 静－v 水． 2．工程问题中的根本量之间的关系 工作效率＝工作总量工作时间.(1)甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率． (2)通常把工作总量看作“1〞．1.以下不等式变形正确的选项是( )A ．由a ＞b ，得ac －2＞bc －2B ．由a ＞b ，得－2a ＜－2bC ．由a ＞b ，得－a －1＞－b －1D ．由a －1＞b －1，得a －2＜b －2 2.不等式〔m ﹣2〕x ＞2﹣m 的解集为x ＜﹣1，那么m 的取值范围是 ． 3.不等式组的解集在数轴上表示为〔 〕A ．B ．C ．D ．4.假设不等式组的解集是x ＜2，那么a 的取值范围是〔 〕A ．a ＜2B ．a ≤2C ．a ≥2D ．无法确定5.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．6.某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：甲乙 进价〔元/件〕 15 35 售价〔元/件〕 2045〔1〕假设商店方案销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？〔2〕假设商店方案投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．答案：1. B2. A3.C4.m＜25.解：∵解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，在数轴上表示不等式组的解集为：．6.解：〔1〕设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．根据题意得：．解得：．答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．〔2〕设甲种商品购进a件，那么乙种商品购进〔160﹣a〕件．根据题意得．解不等式组，得65＜a＜68．∵a为非负整数，∴a取66，67．∴160﹣a相应取94，93．方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件．方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件．答：有两种购货方案，其中获利最大的是方案一．。

一元一次不等式考点一、不等式的概念 （3分）1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质 （3~5分）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立； 考点三、一元一次不等式 （6--8分）1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x 项的系数化为1 考点四、一元一次不等式组 （8分）1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

6、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

一元一次不等式 考点一、不等式的概念 1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

例 判断如下各式是否是一元一次不等式？ word-x≥5 2x-y＜02x 34x 5x22 x532、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数二 不等式的解 ：的值，都叫做这个不等式的解。

三 不等式的解集：3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简 例 判断如下说法是否正确，为什么？称这个不等式的解集。

X=2 是不等式 x+3＜2 的解。

X=2 是不等式 3x＜7 的解。

不等式 3x＜7 的4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

解是 x＜2。

X=3 是不等式 3x≥9 的解5、用数轴表示不等式的方法四 一元一次不等式：考点二、不等式根本性质例 判断如下各式是否是一元一次不等式1、不等式两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变。

－ｘ＜５ ２ｘ－ｙ＜０2x 3x22 x 5 ≥３ｘ3、不等式两边都乘以〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改变。

例 五．不等式的根本性质问题4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运 例 1 指出如下各题中不等式的变形依据算改变。

②如果不等式乘以 0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的 数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的1〕由 3a>2 得 a> 2 32) 由 3+7>0 得 a>-7数就不等为 0，否如此不等式不成立； 考点三、一元一次不等式3〕由-5a<1 得 a>- 1 54)由 4a>3a+1 得 a>11、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1， 例 2 用>〞或<〞填空，并说明理由且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

浙教版《一元一次不等式》知识要点及典型例题、习题讲解一、知识点要求1、理解不等式的概念和基本性质、一元一次不等式的概念、不等式的解集（不等式的解）2、会解一元一次不等式，并能在数轴上表示不等式的解集；熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤和根据；掌握一元一次不等式的应用题的解法3、理解一元一次不等式组的概念，及不等式组的解的概念（组成不等式组的各个不等式的解的公共部分）；会解一元一次不等式组，并能在数轴上表示不等式组的解，进一步得出不等式组解的规律：①同大取大，②同小取小，③比大得小，比小得大取中间，④比大得大，比小得小，不等式组无实数解；掌握一元一次不等式组的应用题。

二、重要的数学思想：1、通过将实际生活问题转化成不等式等数学模型，领会转化的数学思想。

2、通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集，进一步领会数形结合的思想。

3、类比思想：把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

这种数学思想通常称为“类比”，它体现了“不同事物之间存在内部联系”的唯物辩证观点，是发现数学真理和解题方法的重要手段之一，在数学中有着广泛的运用。

在本章中，类比思想的突出运用有：1、不等式与等式的性质类比。

2、不等式的解与方程的解的类比3、不等式解法与方程的解法类比。

注意：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同，但是要注意如果乘数或除数是负数时，解不等式时要改变不等号的方向。

典型例题一、解不等式的通法与技巧解一元一次不等式的五个基本步骤和根据如下：同学们在熟练掌握一元一次不等式解法的五个步骤后，可结合一元一次不等式的特点，采取一些灵活、简捷的方法与技巧，能使解题事半功倍。

（一）、凑整法例1．解不等式。

分析：根据不等式性质，两边同乘以适当的数，将小数转化为整系数。

解：两边同乘以-4，得x+30<-2-x.∴ x<-16.（二）、化分母为整数例2．解不等式。

浙教版八年级数学上册专题03《一元一次不等式》考点1：不等式1.不等式：用符号，≠连接的式子叫做不等式.知识要点（1）不等式的解：能使叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个的不等式，它的所有解组成这个不等式的．解集的表示方法一般有两种：一种是用表示，例如x a >，x a ≤等；另一种是用表示，如下图所示：（3）解不等式：的过程叫做解不等式．2.不等式的性质：不等式的基本性质1：a<b,b<c 则a<c.这个性质也叫做不等式的不等式的基本性质2：不等式两边，所得到的不等式仍成立．如果a＞b，那么a±c＞b±c 如果a<b，那么a±c<b±c不等式的基本性质3：不等式两边，所得到的不等式仍成立；不等式两边，必须改变不等号的方向，所得到的不等式成立.如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc,a b c c >;如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc,a bc c<．考点2：一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，知识要点叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：知识要点不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定二是定，三是定.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的；（3）找：找出题中的关系，要抓住题中的，如“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出；（5）解：解出所列的不等式的；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.知识要点列一元一次不等式解应用题时，经常用到“”、“至少”、“”、“不超过”、“”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.考点3：一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.知识要点（1）不等式组的解集：不等式组中叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在上，取所有解集的，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．考点1：不等式的性质【例1】（2012•常州）已知a、b、c、d都是正实数，且＜，给出下列四个不等式：①＜；②＜；③；④＜其中不等式正确的是（）A．①③B．①④C．②④D．②③【变式1-1】（2009•厦门）已知ab＝2．①若﹣3≤b≤﹣1，则a的取值范围是；②若b＞0，且a2+b2＝5，则a+b＝．考点2：不等式的解集【例2】（2004•十堰）不等式组的解集为x＜6m+3，则m的取值范围是（）A．m≤0B．m＝0C．m＞0D．m＜0【变式2-1】（2017•呼和浩特）已知关于x的不等式＞x﹣1．（1）当m＝1时，求该不等式的解集；（2）m取何值时，该不等式有解，并求出解集．考点3：在数轴上表示不等式的解【例3】（2017•贵阳）关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为．考点4：解一元一次不等式【例4】（2020•盘锦）不等式4x+1＞x+7的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【变式4-1】（2020•长春）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．考点5：一元一次不等式的应用【例5】（2020•宜宾）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（）A．2种B．3种C．4种D．5种考点6：解一元一次不等式组【例6】（2020•阜新）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【变式6-1】（2020•盐城）解不等式组：．考点7：一元一次不等式组的应用【例7】（2020•郴州）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.一．选择题（共7小题，满分14分，每小题2分）1．（2分）（2020秋•朝阳区校级月考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．2．（2分）（2020秋•沙坪坝区校级月考）关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣33．（2分）（2020秋•苍南县期中）在数轴上表示不等式组﹣1＜x≤3，正确的是（）A．B．C．D．4．（2分）（2020春•汉阳区期末）如果关于x，y的方程组的解是正数，那a的取值范围是（）A．﹣4＜a＜5B．﹣5＜a＜4C．a＜﹣4D．a＞55．（2分）（2020春•渝中区校级期末）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（）A．2＜x≤4B．2≤x＜4C．2＜x＜4D．2≤x≤46．（2分）（2020春•丛台区校级期末）把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，则共有学生（）A．11人B．12人C．11或12人D．13人7．（2分）（2018•巴彦淖尔）若关于x，y的方程组的解满足x﹣y＞﹣，则m的最小整数解为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）8．（2分）（2020秋•南岗区期末）不等式组的解集是．9．（2分）（2020秋•沙坪坝区校级月考）已知关于x的方程9x﹣3＝kx+14有整数解，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k为．10．（2分）（2020秋•南岗区校级月考）不等式组的解集是．11．（2分）（2020秋•温江区校级月考）若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则k的取值范围是．12．（2分）（2020春•邹平市期末）不等式组的解集是．13．（2分）（2020春•武昌区校级期中）不等式组有解且解集是2＜x＜m+7，则m的取值范围为．14．（2分）（2020春•大石桥市期末）去年大石桥市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要超过75%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加天．15．（2分）（2020春•大同期末）一种苹果的进价是每千克1.9元，销售中估计有5%的苹果正常损耗，商家把售价至少定为元，才能避免亏本．16．（2分）（2020•港南区三模）已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是．17．（2分）（2019春•武邑县校级月考）某班男女同学分别参加植树劳动，要求男女同学各种8行树，男同学种的树比女同学种的树多，如果每行都比预定的多种一棵树，那么男女同学种树的数目都超过100棵；如果每行都比预定的少种一棵树，那么男女同学植树的数目都达不到100棵．这样原来预定男同学种树棵；女同学种树棵．三．解答题（共13小题，满分86分）18．（6分）（2020秋•嵊州市期中）解不等式（组）并把解表示在数轴上（1）3x+2＞14；（2）﹣≤1．19．（5分）（2020春•市中区校级月考）解不等式组﹣2≤+2＜5，并在数轴上表示出它的解集．20．（5分）（2020秋•越城区期中）解不等式2x﹣11＜4（x﹣3）+3，并把它的解集在数轴上表示出来．21．（6分）（2020春•南岗区校级月考）“端午节”将至，某商家预测某种粽子能够畅销，就准备购进甲、乙两种粽子．若购进甲种400个，乙种200个，需要用2800元；若购进甲种粽子700个，乙种粽子300个，需要4500元．（1）该商家购进的甲、乙两种粽子每个进价多少元？（2）该商家准备2500元全部用来购买甲乙两种粽子，计划销售每个甲种粽子可获利3元，销售每个乙种粽子可获利5元，且这两种粽子全部销售完毕后总利润不低于1900元，那么商家至少应购进甲种粽子多少个？22．（6分）（2020秋•雨花区月考）入汛以来，我国南方地区发生多轮降雨，造成的多地发生较重洪涝灾害．某爱心机构将为一受灾严重地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件．（1）求打包成件的帐篷和食品各多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区．已知甲种货车最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件．安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费2000元，乙种货车每辆需付运输费1800元，应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？23．（6分）（2020春•宜春期末）某小区为激励更多居民积极参与“分类适宜，垃圾逢春”活动，决定购买拖把和扫帚作为奖品，奖励给垃圾分类表现优异的居民．若购买3把拖把和2把扫帚共需80元，购买2把拖把和1把扫帚共需50元．（1）请问拖把和扫帚每把各多少元？（2）现准备购买拖把和扫帚共200把，且要求购买拖把的费用不低于购买扫帚的费用，所有购买的资金不超过2690元，问有几种购买方案，哪种方案最省钱？24．（6分）（2020春•汉阳区期末）解不等式（组），并在数轴上表示它的解集．（1）6x+16＞2x﹣4；（2）．25．（6分）（2020春•岳麓区校级期末）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向武汉运送爱心物资．两次满载的运输情况如表：甲种货车辆数乙种货车辆数合计运物资吨数第一次3431第二次2634（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；（2）由于疫情的持续，该公司安排甲乙货车共10辆进行第三次物资的运送，运送的物资不少于48.4吨，其中每辆甲车一次运送花费500元，每辆乙车一次运送花费300元，请问该公司应如何安排车辆最节省费用？26．（6分）（2020秋•三水区校级月考）现计划把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地．已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，如果每辆A型货车最多可装甲种货物7吨和乙种货物3吨，每辆B型货车最多可装甲种货物5吨和乙种货物7吨．（1）装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案？（2）使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元．在上述方案中，哪个方案运费最省？最省的运费是多少元？（3）在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元．每辆B 型车奖金为n元，38＜m＜n．且m、n均为整数，求此次奖金发放的具体方案．27．（8分）（2020春•遵义期末）受新冠疫情扩散的影响，市场上防护口罩出现热销，某药店购进一批A、B两种不同型号的口罩进行销售．如表是甲、乙两人购买A．B两种型号口罩的情况：A型口罩数量（个）B型口罩数量（个）总售价（元）甲1326乙3229（1）求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？（2）某同学准备用不超过300元的资金购买两种型号的口罩，其中A型口罩数比B型口罩的3倍还要多5个，则A型口罩最多购买多少个？28．（8分）（2020春•大同期末）“直播带货，助农增收”．前不久，一场由央视携手部分直播平台，以“秦晋之‘好’，晋陕尽美”为主题的合作直播，将我市的部分农产品推向网络，助农增收．已知购买2袋大同黄花、3袋阳高杏脯，共需130元；购买1袋大同黄花、2袋阳高杏脯，共需80元．（1）求每袋大同黄花和每袋阳高杏脯各多少元；（2）某公司根据实际情况，决定购买大同黄花和阳高杏脯共400袋，要求购买总费用不超过10000元，那么至少购买多少袋大同黄花？29．（8分）（2020春•大石桥市期末）某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建了中、小两种图书馆．若建立3个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆需要19万元．（1）建立每个中型图书馆和每个小型图书馆各需要多少万元？（2）现要建立中型图书馆和小型图书馆共10个，小型图书馆数量不多于中型图书馆数量，且总费用不超过44万元，那么有哪几种方案？30．（10分）（2020春•博兴县期末）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元．（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于124万元，请通过求解给出所有的购车方案．。

一元一次不等式(组)典型例题分类讲解一元一次不等式(组)典型例题分类讲解类型一：不等式性质1.若，则的大小关系为（ ） A ． B ． C ． D ．不能确定2.若x y >，则下列式子错误的是（ ）A ．33x y ->-B ．33x y ->-C ．32x y +>+D ．33x y > 类型二：比较大小1.若01x <<，则21x x x ，，的大小关系是（ ） A ．21x x x << B ．21x x x << C ．21x x x << D ．21x x x <<2.实数在数轴上对应的点如图所示，则，，的大小关系正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．类型三：解一元一次不等式 1.不等式的解集为 ．2.解不等式：2（x ＋）－1≤－x ＋9类型四：不等式中字母的取值范围1.关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是2.已知2ab =．（1）若3-≤b ≤1-，则a 的取值范围是____________．（2）若0b >，且225a b +=，则a b +=____________．3.关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图2所示，则a 的取值是（ ）。

A 、0B 、－3C 、－2D 、－1类型五：解一元一次不等式组1.不等式组3(2)412 1.3x x x x --⎧⎪+⎨>-⎪⎩≥，的解集是 ．2.解不等式组：3221317.22x x x x ->+⎧⎪⎨--⎪⎩，≤ 类型六：解一元一次不等式组及解集在数轴上的表示1.不等式组2201x x +>⎧⎨--⎩≥的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ． 0 1 -1-2 (图2) 1 2 3 －10 1 2 3 －1 0 －2 1 2 3 －1 0 1 2 3 －1 0 －2C ．D ．2.不等式组213351x x +>⎧⎨-⎩≤的解集在数轴上表示正确的是（ ）类型七：不等式组的整数解1.不等式组2752312x x x x -<-⎧⎪⎨++>⎪⎩的整数解是 ． 2.不等式组26623212x x x x -<-⎧⎪⎨++>⎪⎩的整数解是（ ）A ．1，2B ．1，2，3C ．331<<x D ．0，1，2 3.解不等式组并写出该不等式组的最1 2 0 A ． B ． 1 2 0 C ． 1 2 0 D ． 1 2 0大整数解.4.解不等式组并求出所有整数解的和．类型八：已知不等式组的整数解，求字母的取值范围1.已知关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨->⎩≥，只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ．2.若不等式组有实数解，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 3.若不等式组的解集为，则a 的取值范围为（ ） A ． a ＞0 B ． a ＝0 C ． a ＞4D ． a ＝44.如果一元一次不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集为3x >．则a 的取值范围是( )A ．3a >B ．a ≥3C ．a ≤3D ．3a <类型九：利用不等式组的解集求值1.如果不等式组2223x a x b ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x <≤，那么a b+的值为 ．2.若不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集是11x -<<，则2009()a b += ．3.若不等式组， 的整数解是关于x 的方程的根，求a 的值4.已知不等式组的解集为－1＜x ＜2，则(m ＋n)2008＝_______________．类型十：不等式应用题1：一般不等式应用题1.在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三（1）班同学去栽种．如果每人分2棵，还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．（1）设初三（1）班有x 名同学，则这批树苗有多少棵？（用含x 的代数式表示）．（2） 初三（1）班至少有多少名同学？最多有多少名2.北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=⨯利润成本）3.某校积极推进“阳光体育”工程，本学期在九年级11个班中开展篮球单循环比赛（每个班与其它班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛）．比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场得1-分．（1）如果某班在所有的比赛中只得14分，那么该班胜负场数分别是多少？（2）假设比赛结束后，甲班得分是乙班的3倍，甲班获胜的场数不超过5场，且甲班获胜的场数多于乙班，请你求出甲班、乙班各胜了几场．4.已知一件文化衫价格为18元，一个书包的价格是一件文化衫的2倍还少6元．（1）求一个书包的价格是多少元？（2）某公司出资1800元，拿出不少于350元但不超过400元的经费奖励山区小学的优秀学生，剩余经费还能为多少名山区小学的学生每人购买一个书包和一件文化衫？5. 1月底，某公司还有11000千克椪柑库存，这些椪柑的销售期最多还有60天，60天后库存的椪柑不能再销售，需要当垃圾处理，处理费为0.05元/吨。

第十八讲一元一次不等式3.3 一元一次不等式【学习目标】1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；2.能够熟练解一元一次不等式；3. 掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.【基础知识】一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．要点：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．二、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.要点：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．三、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．要点：3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x ≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x ＞a 或x ≥a 向右画；对边界点a 而言，x ＜a 或x ≤a 向左画．注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．【考点剖析】例1．在数学表达式：，，，，，23x y +>+中，是一元一次不等式的有（ ）． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【分析】一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式；根据一元一次不等式的定义，对各个表达式逐一分析，即可得出答案． 【解析】-3＜0是不等式，不是一元一次不等式； 是整式，不是一元一次不等式； x =3是方程，不是一元一次不等式； x 2+2xy +y 2是整式，不是一元一次不等式； x ≠5是一元一次不等式；x +2＞y +3是二元一次不等式，不是一元一次不等式； ∴是一元一次不等式的有1个 故选：A ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，从而完成求解． 例2．与不等式的解集相同的不等式是（ ）A ．B ．342x +>C ．D ．342x +≤【答案】A 【分析】利用不等式的性质进行计算求解，逐项判断． 【解析】 由，解得：，A 、由，解得：，故符合题意；B 、由342x +>，解得：，故不符合题意；C 、由，解得：，故不符合题意；D 、由342x +≤，解得：，故不符合题意； 故选A ． 【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是关键． 例3．不等式4－2x ＞0的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】移项，得：-2x ＞-4， 系数化为1，得：x ＜2， 故选D ． 【点睛】考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 例4．下列说法正确的是（ ）A ．方程4+x ＝8和不等式4+x ＞8的解是一样的B ．x ＝2不是不等式4x ＞5的解C ．x ＝2是不等式4x ＞15的一个解D ．不等式x ﹣2＜6的两边都减去3，则此不等式仍成立 【答案】D 【解析】A 、方程的解只有一个，而不等式的解有无数个；故本选项不合题意．B 、不等式4x ＞5的解集是x ＞，故本选项不合题意．C 、不等式4x ＞15的解集是x ＞不包括2，故本选项不合题意．D 、不等式x ﹣2＜6的两边都减去3，则此不等式仍成立，正确，依据是不等式的基本性质． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的解集及解法，熟练掌握一元一次不等式的解集及解法是解题的关键． 例5．解不等式时，去分母步骤正确的是（ ） A ．1121x x +≤++ B ．1126x x +≤++ C ． D ．【答案】D 【解析】解:不等式两边都乘以6得， 故选: D. 【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质: (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变; (2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变; . (3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变. 例6．使不等式436x x +<+成立的最大整数解是 （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．以上都不对【答案】B 【分析】移项、合并同类项、系数化为1得出不等式的解集，继而得出答案． 【解析】解：436x x +<+ ∴463x x ，， ，则不等式的最大整数解为0，故选：．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．例7．不等式的解集为( ).A．B．C．D．【答案】B【分析】两边都除以将的系数化为1，即可求得不等式的解集，由于，一定要改变不等号的方向.【解析】两边都除以，且∴对分母进行有理化得：.故选：B.【点睛】本题主要考查不等式和分母有理化，注意不等式两边同时乘除负数时不等号要变方向.例8．某商品的标价比成本价高，根据市场需要，该商品需降价．为了不亏本，应满足（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价，进而得出不等式即可．【解析】解：设成本为x元，由题意可得：，b ab a，整理得：100100∴，故选：B．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．例9．若关于的二元-一次方程组的解集满足x+y＜2，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先把两式相加求出x+y的值，再代入x+y＜2中得到关于a的不等式，求出a的取值范围即可．【解析】解：，由①+②得，x+y=1+，∵x+y＜2，∴1+＜2，解得a＜4．故选：B．【点睛】本题考查的是解二元一次方程组及解二元一次不等式组，解答此题的关键是把a当作已知条件表示出x、y 的值，再得到关于a的不等式．例10．设a，b是常数，不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据不等式的解集为x＜即可判断a,b的符号,则根据a,b的符号,即可解不等式bx-a<0【解析】解不等式,移项得:∵解集为x<∴，且a<0∴b=-5a>0，解不等式,移项得:bx＞a两边同时除以b得:x＞,即x＞-故选C【点睛】此题考查解一元一次不等式，掌握运算法则是解题关键例11．若关于x的方程3m(x＋1)＋5＝m(3x－1)－5x的解是负数，则m的取值范围是()A．m＞－B．m＜－C．m＞D．m＜【答案】A【解析】解：去括号得，3mx+3m+5=3m−mx−5x，移项得，3mx+mx+5x=3m−3m−5，合并同类项得,(4m+5)x=−5，系数化为1,得∵方程3m(x+1)+1=m(3−x)−5x的解是负数，∴∴4m+5>0，解得故选A.【点睛】先解方程，再根据解为负数，求得的取值范围即可．例12．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为=ad﹣bc，例如=1×4﹣2×3=﹣2，如果＞0，则x的解集是（）A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x＞3 D．x＜﹣3【答案】A【分析】根据二阶行列式直接列出关系式，解不等式即可；【解析】根据题意得：2x-(3-x)>0，整理得：3x>3，解得：x>1.故选A.【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，根据二阶行列式列出不等式是解题关键.【过关检测】一、单选题1．在数学表达式：，，，，，23x y +>+中，是一元一次不等式的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【解析】一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式；根据一元一次不等式的定义，对各个表达式逐一分析，即可得出答案．-3＜0是不等式，不是一元一次不等式；是整式，不是一元一次不等式； x =3是方程，不是一元一次不等式； x 2+2xy +y 2是整式，不是一元一次不等式； x ≠5是一元一次不等式；x +2＞y +3是二元一次不等式，不是一元一次不等式； ∴是一元一次不等式的有1个 故选：A ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，从而完成求解． 2．不等式x ﹣3≤3x+1的解集在数轴上表示如下，其中正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B x ﹣3≤3x+1， 移项，得x-3x≤1+3， 合并同类项，得-2x≤4， 系数化为1，得x≥﹣2，其数轴上表示为：．故选B.3．不等式2﹣3x≥2x﹣8的非负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】试题分析：首先移项，合并同类项，然后系数化成1，即可求得不等式的解集，然后确定非负整数解即可．解：移项，得：﹣3x﹣2x≥﹣8﹣2，合并同类项，得：﹣5x≥﹣10，则x≤2．故非负整数解是：0，1，2共有3个．故选C．点评：本题考查了一元一次不等式的解法，理解解不等式的基本依据是不等式的基本性质是关键．4．如图，是关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集，则a的取值是（）A．a≤﹣1 B．a≤﹣2 C．a=﹣1 D．a=﹣2【答案】C【解析】先解不等式求出其解集，然后由数轴可得不等式的解集为x≤﹣1，进而可得关于a的方程，解方程即得答案．解：解不等式2x﹣a≤﹣1，得，由不等式的解集在数轴上的表示可得不等式的解集是x≤﹣1，所以，解得：a=﹣1．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法和不等式的解集在数轴上的表示，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题关键．5．下列命题正确的是（）A．是不等式的解B．是不等式的解C．不等式的解集是D．是不等式的解【答案】B 【解析】对于A 、B 、D 选项，可分别把x 的值代入即可判断，C 选项解出不等式的解集，即可判断．解：因为当是2354+=>，故A 选项说法错误；因为当是3267⨯=<，故B 选项说法正确； 解得，故C 选项说法错误；因为当是3269⨯=<，故B 选项说法错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查了不等式的解集和解不等式．满足不等式的所有未知数的值组成的集合叫不等式的解集． 6．已知关于的不等式(1)2a x ->的解集为，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】化系数为1时，不等号方向改变了，利用不等式基本性质可知1-a ＜0，所以可解得a 的取值范围．∵不等式（1-a ）x ＞2的解集为， 又∵不等号方向改变了， ∴1-a ＜0， ∴a ＞1； 故选：B ． 【点睛】此题考查解一元一次不等式，解题关键在于掌握在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．7．若方程3(1)1(3)5m x m x x ++=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】本题首先要解这个关于x 的方程，然后根据解是负数，就可以得到一个关于m 的不等式，最后求出m 的范围．原方程可整理为：3mx ＋3m ＋1＝3m−mx−5x ，（3m ＋m ＋5）x ＝−1，两边同时除以（4m ＋5）得，x ＝， ∵方程3m （x ＋1）＋1＝m （3−x ）−5x 的解是负数，∴＜0，∴4m ＋5＞0，解得：．故选：C ．【点睛】本题考查一次方程与不等式，解关于x 的不等式是解题的关键．8．若关于的不等式mx m nx n +<-+的解集为，则关于的不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先解出不等式，根据已知条件求出m ，n 的式子计算即可；；解不等式mx m nx n +<-+得， ()m-n ＜n m x --，∵，∴，得到：3322mn m n -=+，解得：，整理不等式，得，解得：．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法，准确计算是解题的关键．9．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为=ad ﹣bc ，例如=1×4﹣2×3=﹣2，如果＞0，则x 的解集是（ ）A ．x ＞1B ．x ＜﹣1C ．x ＞3D ．x ＜﹣3 【答案】A【解析】根据二阶行列式直接列出关系式，解不等式即可；根据题意得：2x-(3-x)>0，整理得：3x>3，解得：x>1.故选A.【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，根据二阶行列式列出不等式是解题关键.10．某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【解析】根据15名工人前期的工作量+12名工人后期的工作量<2160，列出不等式进行解答即可.设原计划m天完成，开工x天后3人外出培训，则有15am=2160，得到am=144，由题意得15ax+12(a+2)(m-x)<2160，即：ax+4am+8m-8x<720，∵am=144，∴将其代入得：ax+576+8m-8x<720，即：ax+8m-8x<144，∴ax+8m-8x<am，∴8(m-x)<a(m-x)，∵m>x，∴m-x>0，∴a>8，∴a至少为9，故选B.【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，有一定的难度，解题的关键在于灵活掌握设而不求的解题技巧.二、填空题11．不等式5x-9≤3(x+1)的解集是________.【答案】x≤6试题分析：计算题．解这个不等式的过程中注意去括号时不要漏乘，移项要变号．解不等式首先要去括号，然后移项合并同类项即可求得不等式的解集．解：不等式去括号，得5x ﹣9≤3x+3，移项合并同类项，得2x≤12，系数化1，得x≤6．所以，不等式5x ﹣9≤3（x+1）的解集是x≤6．考点：解一元一次不等式．12．已知不等式-的正整数解恰是1，2，3，4，那么的取值范围是_________________.【答案】1215a ≤<【解析】用含a 的式子表示出不等式的解集，由不等式的正整数解，得到x 的范围，再根据x 与a 的关系列不等式(组)求解.因为3x －a ≤0，所以x ≤，因为原不等式的正整数解恰是1，2，3，4，即，解得12≤x ＜15.故答案为12≤x ＜15.【点睛】由不等式(组)的整数解确定所含字母的取值范围的解法是：①解不等式(组)，用字母系数表示出解集；②由不等式(组)的整数解确定不等式(组)的解集；③综合①②列出关于字母系数的不等式(注意是否可取等于)求解. 13．不等式的正整数解的个数为___________________．【答案】2个【解析】先求出一元一次不等式的解，再找出其正整数解即可得．，，，，则不等式的正整数解为，共2个，故答案为：2个．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．14．当x_____________时，的值小于的值．【答案】【解析】代数式2x-1的值小于即＜，解不等式即可求得x的取值范围．解：由题意可知：＜，去分母得，4x-2<x+3移项得， 3x＜3+2，系数化为1：，故答案为：．【点睛】本题考查关于x的一元一次不等式的解法，解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．15．不等式的最小整数解为_____．【答案】5．【解析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的最小整数解即可．，x-4＞8-2x，3x＞12，x＞4，故不等式的最小整数解为5．故答案为5．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．16．某商贩卖出两双皮鞋，相比进价，一双盈利30%，另一双亏本10%，两双共卖出200元．商贩在这次销售中要有盈利，则亏本的那双皮鞋的进价必须低于_________元【答案】【解析】设亏本的那双皮鞋的进价为x元，则亏本的那双皮鞋的售价为（1-10%）x元，盈利的那双皮鞋的售价为[200-（1-10%）x]元，盈利的那双皮鞋的进价为元，根据商贩在这次销售中要有盈利，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．解：设亏本的那双皮鞋的进价为x元，则亏本的那双皮鞋的售价为（1-10%）x元，盈利的那双皮鞋的售价为[200-（1-10%）x]元，盈利的那双皮鞋的进价为元，依题意，得：（1-10%）x-x+[200-（1-10%）x]＞0，解得：x＜150．故答案为：150．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．17．甲从一个鱼摊买三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是___（填a＞b或a＜b或a＝b）．【答案】a＞b．【解析】根据题意首先表示出5条鱼的平均价格，分析当a=b，a＞b，a＜b时三种情况，进而分析得出正确的结果．解：∵5条鱼的平均价格为元，分析当a＝b，＝＝a，当a＞b，＝0.6a+0.4b，＝0.5a+0.5b，∴0.6a+0.4b﹣（0.5a+0.5b）＝0.1a﹣0.1b∵a＞b，∴0.1a﹣0.1b＞0∴＞，把鱼全部卖给了乙，一定赔钱．当a＜b时，＜.故答案为：a＞b．【点睛】本题主要考查运用不等式的基本性质比较代数式的大小关系，根据题意得出买价与卖价的大小关系是解决问题的关键．18．（1）已知的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是________．（2）已知的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是________．【答案】【解析】（1）根据不等式的解集中最大的整数是3，可得答案．（2）根据不等式的解集中最小整数为-2，可得答案．解：（1）∵的解集中的最大整数为3，∴，故答案为：.（2）∵的解集中最小整数为-2，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集是解题关键．19．若不等式中的最大值是m ，不等式317x --≤-中的最小值为n ，则不等式nx mn mx +<的解集是________．【答案】【解析】解不等式2x-1≤13得到x 的范围，就可以求出m 的值；同理可以求出n 的值，这样所求的不等式就是已知的，就可以解不等式．解：解不等式，解得，则．解不等式317x --≤-，解得，则．∴不等式nx mn mx +<为：2147x x +<，解得：．故答案为：.【点睛】此题考查了解一元一次不等式，利用不等式的最值求相关系数，正确的理解不等式的解是本题的关键． 20．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为< x >，即已知n 为正整数，如果n －≤x ＜n ＋，那么< x >＝n ．例如：< 0 >＝< 0.48 >＝0，< 0.64 >＝< 1.493 >＝1，< 2 >＝2，< 3.5 >＝< 4.12 >＝4，…则满足方程< x >＝的非负实数x 的值为____.【答案】2.8【解析】设x+1.6=k ，k 为非负整数，则x=2k-3.2，根据定义得到共有k 的不等式，即可求出k 的取值范围，由k 为非负整数确定k 的值进而确定x 的值即可.设x+1.6=k ，k 为非负整数，则x=2k-3.2，由< 2k-3.2 >=k 可得：k-≤2k -3.2<k+(k≥0)解得：2.7≤k<3.7，∵k 为非负整数，∴k=3，∴x=2×3-3.2=2.8.故答案为：2.8【点睛】考查了一元一次不等式的应用，理解定义，列出不等式得出k 的取值范围是解题关键.三、解答题21．解一元一次不等式．【答案】【解析】先去分母，然后通过移项、合并同类项，化未知数系数为1来解不等式即可求解．解：，去分母得：5232x x +-<+，移项合并得：，系数化为1得：．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，解答不等式这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．22．解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来．（1）6327x x ->-；（2）．【答案】（1），在数轴上表示见解析；（2），在数轴上表示见解析【解析】（1）先按照移项、合并同类项和系数化为1的步骤求出不等式的解集，进一步即可将不等式的解集在数轴上进行表示；（2）先按照去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1的步骤求出不等式的解集，进一步即可将不等式的解集在数轴上进行表示．解：（1）移项，得6237x x ->-，合并同类项，得，系数化为1，得；不等式的解集在数轴上表示如下：（2）去分母，得，去括号，得，移项，32266x x --≤--，合并同类项，得510x --≤，系数化为1，得．不等式的解集在数轴上表示如下：【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，属于基础题目，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 23．已知，关于x 的不等式（2a-b ）x+a-5b ＞0的解集为x ＜．（1）求的值．（2）求关于x 的不等式ax ＞b 的解集．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先通过移项将不等式变形为(2)5a b x b a ->-，再根据不等式的解集可得一个关于a 、b 的等式，然后化简即可得；（2）先根据20a b -<和（1）的结论可得，再解不等式即可得．（1）不等式(2)50a b x a b -+->可变形为(2)5a b x b a ->-，此不等式的解集为，，则解不等式(2)5a b x b a ->-得：，，整理得：3572010b a a b -=-，解得；（2）由（1）可知，20a b -<，，则，解得，故关于x 的不等式的解集，即．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．24．（1）解不等式()311x x -≥+，并将其解集在数轴上表示出来．（2）若不等式的最小整数解是关于x 的方程24x ax -=的解，求a 的值．【答案】（1），数轴见解析；（2）3【解析】（1）解不等式，然后根据数轴与解集的关系画出数轴即可；（2）首先解出不等式的解集，从中找到最小整数解，然后代入方程24x ax -=中，得到一个关于a 的方程，解方程即可．（1）()311x x -≥+331x x -≥+313x x -≥+数轴如下：（2）()()332256x x -<-+394106x x -<-+341069x x -<-++∴不等式的最小整数解为-4．∵不等式的最小整数解是关于x 的方程24x ax -=的解，∴()2444a ⨯-+=解得．【点睛】本题主要考查不等式与方程的结合，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．25．某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，再次购买奖品总支出不超过400元．其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？【答案】（1）17；（2）100.【解析】根据题意设小明原计划购买文具袋个，则实际购买了个，则可列方程()1010.851017x x +⨯=-，解得x 的值即可解答.据题意设小明可购买钢笔支，则购买签字笔支，则可列不等式，解得．即最多可以购买100支.解：（1）设小明原计划购买文具袋个，则实际购买了个，依题意得：()1010.851017x x +⨯=-．解得．答：小明原计划购买文具袋17个．（2）设小明可购买钢笔支，则购买签字笔支，依题意得：．解得．即100y =最大值．答：明最多可购买钢笔100支．【点睛】本题考查一次函数及不等式，熟练掌握计算法则是解题关键.26．若关于的方程()3425x a +=+的解小于关于的方程的解，求的取值范围．【答案】【解析】先把两个方程的解求出来，然后根据题意列出不等式求解即可．解：由题意得：∵方程()3425x a +=+的解为，方程的解为，∴，解得．【点睛】本题主要考查一元一次方程与不等式的解，熟练掌握求解方法是解题的关键．27．关于x 的方程的解不小于6，求a 的取值范围．【答案】【解析】由题意可以得到关于a 的不等式，解之可以得到a 的取值范围．解：可解得原方程的解为：()59x a =-+， 由题意有：()596a -+≥，所以有596,515,3a a a +≤-≤-≤-．【点睛】本题考查一元 一次方程与一元一次不等式的综合应用，灵活求解 一元 一次方程与一元一次不等式是解题关键． 28．已知关于x 的不等式＜7的解也是不等式－1的解，求a 的取值范围．【答案】－≤a ＜0【解析】解关于x 的不等式，可得其解为x ；而已知关于x 的不等式7的解也是不等式的解，故a ＜0，所以不等式7的解是x ＞7a ；从而得到7a ； 解可得a ；结合a ＜0，可得答案．关于x 的不等式，解得：x ．∵关于x 的不等式7的解也是不等式的解，故a ＜0，所以不等式7的解集是x ＞7a ．所以7a ，解得：a ．∵a ＜0，∴a ＜0．【点睛】当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成已知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．。

第十九讲 一元一次不等式组3.3一元一次不等式组【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；【基础知识】一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组． 要点：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集． 要点：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.利用数轴确定不等式组的解集．1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＞4，x ＞2 x ＞42.⎩⎪⎨⎪⎧x ＜4，x ＞2 2＜x ＜43.⎩⎪⎨⎪⎧x ＞4，x ＜2 无解4.⎩⎪⎨⎪⎧x ＜4，x ＜2 x ＜2 上面的表示可以用口诀来概括：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到． 注意：如果不等号中带有等号，空心圆就要变成实心圆．3.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．【考点剖析】例1．有下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式组的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】根据两个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1次的，可得答案． 【解析】①是一元一次不等式组，故①正确； ②是一元一次不等式组，故②正确； ③是一元二次不等式组，故③错误；④，含有分式，不是一元一次不等式组，故④错误； ⑤是二元一次不等式组，故⑤错误； ⑥是一元一次不等式组，故⑥正确. 故选：C ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组．例2．不等式组的解集是（ ）A ．3x ≥B ．3x ≤C ．3x =D ．无解【答案】C 【分析】由题意直接根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集即可． 【解析】解：不等式组的解集是3x =． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．例3．不等式组的解集是（ ）．A ．B ．15x >C ．5x ≥D ．【答案】B 【分析】分别求解不等式组中的不等式，再取公共解集，即可得到答案． 【解析】 ∵ ∴ ∴ 即∴解集为15x > 故选：B ． 【点睛】本题考察了不等式及不等式组的知识；求解的关键是熟练掌握不等式的性质，从而完成求解．例4．若不等式组无解，则a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．1a <C ．1a ≥D ．1a ≤【答案】D 【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组无解，求出a 的取值范围． 【解析】由（1）得：4x a <， 由（2）得：5x a >-， ∵不等式组无解， ∴54a a -≥， ∴1a ≤， 故选：D ． 【点睛】本题考查了求不等式组的解集．弄清不等式组无解的意义是解本题的关键．例5．若不等式组的解 为31x -<<，则值为（ ）A ．6-B ．C ．D ．9【答案】C 【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集1322a b x ++<<，根据不等式组的解集得出323b +=-，且112a +=，求出1a =，3b =-，即可解答． 【解析】 解：，解不等式①得：12a x +<， 解不等式②得：32x b >+， 不等式组的解集为1322a b x ++<<， 若不等式组解为31x -<<， 323b ∴+=-，且112a +=， 解得：1a =，3b =-， ，故选：C ． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组)，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是根据不等式组解集得出关于a 和b 的方程，题目比较好，综合性比较强．例6．下列不等式组无解的是（ ）A ．a b <时，B ．a b <时，C ．a b <时，D ．a b <时，【答案】A 【分析】根据一元一次不等式组的解法即可得． 【解析】A 、当a b <时，无解，此项符合题意；B 、当a b <时，的解集为x a <，此项不符题意；C 、当a b <时，的解集为a x b <<，此项不符题意；D 、当a b <时，的解集为x b >，此项不符题意； 故选：A ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．例7．不等式组的非负整数解的个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解，即可得出答案． 【解析】 解：∵解不等式①得：53x - 解不等式②得：x ＜5， ∴不等式组的解集为553x -< ∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，共5个， 故选：B ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．例8．已知关于x 的不等式组无解，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤-B ．2a ≤C ．1a 2-<<D ．1a <-或2a >【答案】B 【分析】先整理不等式组的解集为，根据“大大小小”无解，可得出a 的取值范围． 【解析】 ∵ ∴∵不等式组无解，即无解故选B ． 【点睛】本题考查不等式组无解问题，熟记“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小取不到”是解题的关键．例9．不等式组的解集为2x <．则k 的取值范围为（ ）A ．1k <B ．1kC ．1k >D ．1k <【答案】B 【分析】求出不等式组的解集，根据已知得出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可． 【解析】解：解不等式组，得． ∵不等式组的解集为x ＜2， ∴k ＋1≥2， 解得k≥1． 故选：B ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式组的解集和已知得出关于k 的不等式，难度适中．例10．若不等式恰有3个整数解，那么a 取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．01a <≤C ．D ．0a >【答案】C 【分析】先根据不等式组解出x 的取值范围，恰有3个整数解，写出整数解，确定出a-1的取值范围即可求出a 取值范围. 【解析】 根据得，恰有3个整数解为2，1，0， 所以知，即， 故选C.本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键找到整数解然后在求出a 的取值范围．例11．若不等式的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式3(1)552()xx m x +++﹣＞成立，则m 的取值范围是（ ） A ．35m >-B ．15m <-C ．35m <-D ．15m >-【答案】C 【分析】求出不等式的解，求出不等式3（x-1）+5＞5x+2（m+x ）的解集，得出关于m 的不等式，求出m 即可． 【解析】解：解不等式得：4x 5≤， 不等式的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式3x 155x 2m x +++（﹣）＞（）成立， 1m x 2-∴＜，，解得：3m 5-＜， 故选C ． 【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m 的不等式是解此题的关键．例12．使得关于x 的不等式组有解，且使得关于y 的方程()()122m y y +-=-有非负整数解的所有的整数m 的个数是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D 【分析】解不等式组中的不等式，根据不等式组有解，确定m 的取值范围．解方程，用含m 的代数式表示出y ，根据方程的非负整数解求出m ． 【解析】解： 解①，得x≥m -2，解②，得x≤-2m+1，因为关于x的不等式有解，∴m-2≤-2m+1，∴m≤1．由方程1+（m-y）=2（y-2），得y=，∵关于y的方程1+（m-y）=2（y-2）有非负整数解，∴m=-5，-2，1，4，…∵m≤1，∴m=-5，-2，1.故选D.【点睛】题考查了一元一次不等式组的解法、一元一次方程的解法．解答本题的关键是明确题意，求出m的值．【过关检测】一、单选题1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．解不等式3x＜2x+2，得：x＜2，解不等式113xx-≤﹣，得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，故选A．【点睛】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．2．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ，则物体的质量m(g)的取值范围，在数轴上可表示为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A 【解析】∵由图可知，1g<m<2g ， ∴在数轴上表示为： ． 故选A..3．不等式组的解集是4x >，那么m 的取值范围（ ） A ．4m ≤ B ．4m ≥C ．4m <D ．4m =【答案】A 【解析】先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集得出答案即可． 解不等式①，得：x 4> ∵不等式组 的解集是x 4> ∴m 4≤ 故选择：A. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和不等式组的解集得出关于m 的不等式是解此题的关键． 4．若不等式组的解 为31x -<<，则值为（ ） A ．6- B ．C ．D ．9【答案】C 【解析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集1322a b x ++<<，根据不等式组的解集得出323b +=-，且112a +=，求出1a =，3b =-，即可解答．解：， 解不等式①得：12a x +<，解不等式②得：32x b >+， 不等式组的解集为1322a b x ++<<， 若不等式组解为31x -<<，323b ∴+=-，且112a +=， 解得：1a =，3b =-， ，故选：C ． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组)，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是根据不等式组解集得出关于a 和b 的方程，题目比较好，综合性比较强． 5．不等式组的整数解的和为 ( )． A ．1 B ．0C ．－1D ．－2【答案】A 【解析】分别求出不等式组的解集，然后在解集中选择整数解，求出其和即可．解：由题意知：， 解(1)得：x>-1， 解(2)得：x≤1，故不等式组的解集为：-1＜x≤1， 其整数解为：0和1，它的和为1， 故选：A ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键． 6．若不等式组有解，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．36a <- B ．36a -≤C ．36a -≥D ．36a >-【答案】D 【解析】通过求解不等式组，结合题意，可得关于a 的不等式，经计算即可得到答案．∵ ∴∴371x a -≤<-∴137a ->- ∴36a >- 故选：D ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式和不等式组的性质，从而完成求解．7．下列不等式组无解的是（ ） A ．a b <时， B ．a b <时， C ．a b <时， D ．a b <时，【答案】A 【解析】根据一元一次不等式组的解法即可得．A 、当a b <时，无解，此项符合题意； B 、当a b <时，的解集为x a <，此项不符题意； C 、当a b <时，的解集为a x b <<，此项不符题意； D 、当a b <时，的解集为x b >，此项不符题意； 故选：A ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 8．若不等式组无解，则a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．1a <C ．1a ≥D ．1a ≤【答案】D 【解析】解出不等式组的解集，根据不等式组无解，求出a 的取值范围．由（1）得：4x a <， 由（2）得：5x a >-， ∵不等式组无解， ∴54a a -≥， ∴1a ≤， 故选：D ． 【点睛】本题考查了求不等式组的解集．弄清不等式组无解的意义是解本题的关键．9．已知关于 x 的不等式组 恰有5个整数解，则t 的取值范围是（ ） A ．﹣6＜t ＜112- B ．1162t -≤<-C ．1162t -<≤-D ．1162t -≤<-【答案】C 【解析】本题首先求解不等式组的公共解集，继而按照整数解要求求解本题．∵2553x x +->-， ∴20x <； ∵32x t x +->， ∴32x t >-；∴不等式组的解集是：． ∵不等式组恰有5个整数解，∴这5个整数解只能为 15，16，17，18，19，故有， 求解得：1162t -<≤-． 故选：C ． 【点睛】本题考查含参不等式组的求解，解题关键在于求解不等式时需将参数当做常量进行运算，其次注意运算仔细即可． 10．对于三个数字a ，b ，c ，用max{a ，b ，c}表示这三个数中最大数，例如max{﹣2，﹣1，0}＝0，max{﹣2，﹣1，a}＝如果max{3，8﹣2x ，2x ﹣5}＝3，则x 的取值范围是（ ） A ．23≤x≤92B ．52≤x≤4 C ．23＜x ＜92D ．52＜x ＜4 【答案】B 【解析】根据max{a ，b ，c}表示这三个数中最大数，对于max{3，8﹣2x ，2x ﹣5}＝3，可得不等式组，可得结论.∵max{3，8﹣2x ，2x ﹣5}＝3， 则，∴x 的取值范围为：52≤x≤4， 故选：B ． 【点睛】本题考查了不等式的应用及新定义问题，理解新定义，得到不等式组是解题的关键．二、填空题11．不等式组的解是_________． 【答案】32x -<≤．【解析】根据题意，分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分，即可得到答案．解： 解不等式①，得：3x >-， 解不等式②，得：2x ≤， ∴不等式组的解集为：32x -<≤；故答案为：32x -<≤．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法进行解题． 12．不等式组42223x--≤<的解集为_______________________． 【答案】 【解析】根据题意直接利用不等式的基本性质进行分析运算即可求出不等式组的解集．解：42223x--≤< 不等式同时乘以3得：6426x -≤-<， 不等式同时减去4得：， 不等式同时除以-2得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查连续不等式组的解集，注意掌握解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．13．关于x 的不等式组的解是3x <，那么a 的取值范围是______． 【答案】a≥3 【解析】先解第一个不等式得到x ＜3，由于不等式组的解集为x ＜3，则利用同大取大可得到a 的范围．解：， 解①得x ＜3，而不等式组的解集为x ＜3， 所以a≥3．故答案为：a≥3． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．14．已知关于x 的不等式组的整数解有且只有2个，则m 的取值范围是__________． 【答案】0≤m ＜1 【解析】首先解每个不等式，然后根据不等式组的整数的个数，确定整数解，从而确定m 的范围．解： ， 解①得52x <， 解②得x ＞m ，则不等式组的解集是m ＜x ＜52． 不等式组有2个整数解，则整数解是1，2． 则0≤m ＜1． 故答案是：0≤m ＜1． 【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 15．已知3a ≤，则负整数a =_____．【答案】1-，，3-． 【解析】直接根据绝对值的概念可得a 的取值范围，然后列举出负整数即可．∵3a ≤，∴33a -≤≤． ∵a 为负整数， ∴a 为1-，，3-． 故答案为：1-，，3-．此题主要考查绝对值的概念及一元一次不等式组的整数解，正确理解绝对值的概念是解题关键． 16．若不等式组 -的解集中的任何一个x 的值均不在2≤x ≤5的范围内，则a 的取值范围为________． 【答案】a ≤1或a ≥5 【解析】解不等式组，求出x 的范围，根据任何一个x 的值均不在2≤x≤5范围内列出不等式，解不等式得到答案．解：不等式组的解集为：a ＜x ＜a+1，∵任何一个x 的值均不在2≤x≤5范围内， ∴x ＜2或x ＞5， ∴a+1≤2或a≥5， 解得，a≤1或a≥5，∴a 的取值范围是：a≤1或a≥5， 故答案为：a≤1或a≥5． 【点睛】本题考查的是不等式的解集的确定，根据不等式的解法正确解出不等式是解题的关键，根据题意列出新的不等式是本题的重点．17．已知关于x 的方程231x k +=的解是负数，则k 的取值范围是____________．【答案】13k > 【解析】解出x ，根据题意列出不等式求出k 即可；解方程得：132kx -=， ∵关于x 的方程231x k +=的解是负数，∴，解得13k >． 故答案是13k >．【点睛】本题主要考查了一元一次方程与不等式的结合，准确计算是解题的关键． 18．不等式3x ﹣2≥4（x ﹣1）的所有非负整数解的和为__． 【答案】3.试题解析：3x﹣2≥4（x﹣1），3x﹣2≥4x﹣4，x≤2，所以不等式的非负整数解为0，1，2，0+1+2=3，【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式的非负整数解的应用，解此题的关键是能求出不等式的非负整数解，难度适中．19．若不等式组无解，则m的取值范围是______．m≥【答案】3【解析】根据不等式组无解得到m+1≤2m-2，解关于m的不等式即可．解：∵不等式组无解，∴，∴m≥3，m≥.故答案为：3【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的方法：分别解几个不等式，它们解的公共部分即为不等式组的解；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的为空集”得到公共部分．20．已知关于x的不等式组（a为整数）的所有整数解的和S满足21.6≤S<33.6，则所有这样的a的和为_____．【答案】5【解析】先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．，∵解不等式①得：x＞a﹣1，解不等式②得：x≤a+5，∴不等式组的解集为a﹣1＜x≤a+5，∴不等式组的整数解a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，∵所有整数解的和S满足21.6≤S＜33.6，∴21.6≤6a+15≤33.6，∴1.1≤a≤3.1，∴a的值为2，3，∴2+3＝5，故答案为5．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．三、解答题21．【答案】171 9x-<≤【解析】先分别求解两个不等式，再综合取解集即可．由①可得：66x≤1x≤由②可得：3312146x x+--<917x-<179x>-∴不等式组的解集为171 9x-<≤．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的求解方法并按照取解集的方法准确求解集是解题关键．22．解不等式组：把解集在数轴上表示出来，并写出所有整数解．【答案】13x，解集在数轴上表示见解析；整数解为：0，1，2．【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解集，然后确定这个范围内的整数解即可．解不等式①得3x<，解不等式②得1x>-，∴不等式组的解集为13x，数轴表示∴整数解为：0，1，2． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 23．解不等式组：，并求出最小整数解与最大整数解的和． 【答案】38x -<，6【解析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，即可求出答案．解：， 由①得：8x，由②得：3x >-， 不等式组的解集为38x -<，x 的最小整数为，最大整数为8， x 的最小整数解与最大整数解的和为6．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．24．已知关于x 的不等式组的解集是1x >，求a 的取值范围． 【答案】1a ≤ 【解析】根据不等式组的解集同大取大的原理，求a 的取值范围．解：已知不等式组的解集是1x >，根据同大取大的原理，a 要小于等于1， 所以a 的取值范围是1a ≤ ． 【点睛】本题考查不等式组的解集，解题的关键是要根据不等式组的解集反推不等式中的未知参数． 25．求不等式组的非负整数解． 【答案】x =0、1、2、3、4 【解析】先求出每一个不等式解集，再找公共部分，最后找出非负整数解解：， 由①得：2(-1)3x x +＜，解得：5x ＜，由②得：4-414-x x x +≥，解得：-14x ≥， ∴原不等式组的解集为：，所以非负整数解为：x =0、1、2、3、4． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．26．某校六（1）班在春游分组时，同学们这样安排：各小队长任春游小组长，每人负责7名同学这样有一组人数不足，若每组减少一人则多出3人．已知六（1）班人数在30~50之间，问该班总人数可能是多少？ 【答案】该班总人数可能是31人或38人或45人． 【解析】设该班春游分了x 组，从而可得该班总人数为人，再根据“六（1）班人数在30~50之间”可建立关于x 的一元一次不等式组，然后解不等式组即可得．设该班春游分了x 组，则该班总人数为人， 由题意得：307350x ≤+≤， 解得，即， 因为x 为正整数，所以x 的所有可能取值为4,5,6， 则当4x =时，7374331x +=⨯+=， 当5x =时，7375338x +=⨯+=， 当6x =时，7376345x +=⨯+=， 答：该班总人数可能是31人或38人或45人． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，依据题意，正确建立不等式组是解题关键．27．对x ，y 定义一种新运算T ，规定：T （x ，y ）=ax+2by ﹣1（其中a 、b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T （0，1）=a•0+2b•1﹣1=2b ﹣1． （1）已知T （1，﹣1）=﹣2，T （4，2）=3． ①求a ，b 的值；②若关于m 的不等式组恰好有2个整数解，求实数p 的取值范围；（2）若T （x ，y ）=T （y ，x ）对任意实数x ，y 都成立（这里T （x ，y ）和T （y ，x ）均有意义），则a ，b 应满足怎样的关系式？【答案】（1）①a=1，b=3；②-2≤p＜-13；（2）a=2b．【解析】（1）①按题意的运算可得方程组，即可求得a、b的值；②按题意的运算可得不等式组，即可求得p的取值范围；（2）由题意可得ax+2by-1= ay+2bx-1，从而可得a="2b" ；（1）①由题意可得，解得；②由题意得，解得，因为原不等式组有2个整数解，所以，所以；（2）T（x，y）="ax+2by-1," T（y，x）="ay+2bx-1" ，所以ax+2by-1= ay+2bx-1,所以（a-2ba）x-（a-2b）y=0,（a-2b）（x-y）=0,所以a=2b28．为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）35 30租金（元/辆）400 320学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为辆；（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？【答案】（1）参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．（2）8；（3）学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．【解析】（1）设参加此次研学活动的老师有x 人，学生有y 人，根据题意列出方程组即可求解；（2）利用租车总辆数=总人数÷35，再结合每辆车上至少要有2名老师，即可求解； （3）设租35座客车m 辆，则需租30座的客车辆，根据题意列出不等式组即可求解.解：（1）设参加此次研学活动的老师有x 人，学生有y 人，依题意，得：，解得：．答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．（2）(23416)357+÷=（辆）（人），1628÷=（辆），租车总辆数为8辆．故答案为8．（3）设租35座客车m 辆，则需租30座的客车辆，依题意，得：， 解得：1252m ≤≤． m 为正整数，2,3,4,5m ∴=，共有4种租车方案．设租车总费用为w 元，则400320(8)802560w m m m =+-=+，800>，w ∴的值随m 值的增大而增大，当2m =时，w 取得最小值，最小值为2720．学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．【点睛】本题考查的是二元一次方程组和不等式组的实际应用，熟练掌握两者是解题的关键.。