专题一：极坐标与参数方程(2)

参数方程与极坐标参数方程和极坐标是数学中常用的描述平面曲线的两种方法。

两者分别适用于不同类型的曲线，并且在不同的数学领域中都有广泛的应用。

下面将详细介绍参数方程和极坐标。

1.参数方程参数方程是用参数形式描述曲线的方程。

一条平面曲线可以用参数方程表示为：x=f(t)y=g(t)其中x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。

通过改变参数t的取值，我们可以获得曲线上的各个点。

参数方程的优点是可以轻松地描述一些复杂的曲线，例如椭圆、双曲线、直角坐标系不容易表示的曲线等。

此外，参数方程也常用于描述运动学问题，其中x和y可以表示物体在不同时间点的位置。

然而，参数方程也有一些限制。

一条曲线可以有多种不同的参数方程表示，而同一条曲线也可能存在无穷多个参数方程。

因此，在使用参数方程时，需要选择恰当的参数范围以确保曲线的完整性和正确性。

2.极坐标极坐标是一种描述平面上点的方法，其中每个点由一个距离和一个角度组成。

极坐标系中，坐标轴被称为极轴，原点为极点，极轴正方向为极角为0的方向。

一个点的极坐标可以用(r,θ)表示，其中r是点到极点的距离，θ是点相对极轴的角度。

通过改变r和θ的取值，我们可以获得平面上的各个点。

极坐标的优点在于能够简洁地表示出具有对称特点的曲线，例如圆、椭圆、双曲线等。

此外，极坐标也常用于描述极坐标系下的物体运动，其中r和θ可以表示物体在不同时间点的位置。

然而，极坐标也有一些局限性。

极坐标系不适用于描述直线和垂直于极轴的曲线。

此外，极坐标系下的计算也相对复杂，需要进行数学变换来转换为直角坐标系进行计算。

3.参数方程与极坐标的关系参数方程和极坐标是可以相互转换的。

对于一个曲线的参数方程x=f(t)，y=g(t)，我们可以将x和y转换为极坐标r和θ，从而得到曲线的极坐标方程。

设x=r*cos(θ)，y=r*sin(θ)，则有：r*cos(θ) = f(t)r*sin(θ) = g(t)通过这个转换，我们可以将一个曲线从参数方程转换为极坐标方程，并反过来。

极坐标与参数方程极坐标和参数方程是解析几何中的两种常见的坐标系统。

它们在描述曲线、曲面和图形等数学问题中具有重要的应用。

本文将就极坐标和参数方程的定义、特点以及应用做详细介绍。

一、极坐标1.1 定义极坐标是用一个有序的有序对(r, θ)来表示平面上的点P。

其中r表示点P到原点的距离，θ表示点P与X轴正半轴的夹角。

极坐标可以看做是极径和极角的一种表示方式。

1.2 特点极坐标的主要特点在于其描述了点P与原点之间的极径和极角关系，而不是点的直角坐标。

极坐标有助于描述某些特殊的图形特征，如圆、扇形和螺旋线等。

1.3 转换关系极坐标与直角坐标之间存在一定的转换关系。

对于平面上一点P(x,y)，其转换为极坐标(r,θ)的关系如下：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)二、参数方程2.1 定义参数方程又称参数表示法，是用参数的形式描述平面上点的坐标。

对于平面上点P，可以使用一组参数t来表示其坐标(x,y)，即P(x(t),y(t))。

参数方程可以看做是x和y的函数表达。

2.2 特点参数方程的主要特点在于可以通过参数的变化来描述点的轨迹和运动规律。

参数方程常用于描述曲线、线段和曲面等几何形体，同时也在物理学和工程学中广泛应用。

2.3 转换关系直角坐标和参数方程之间也存在转换关系。

对于平面上一点P(x,y)，其对应的参数方程为：x = x(t)y = y(t)三、极坐标与参数方程的应用3.1 几何图形的描述极坐标和参数方程可以更直观地描述某些几何图形。

比如，圆的极坐标方程为(r,θ) = (a, θ)，其中a为半径；直线可用参数方程表示，利用参数t可以描述直线的起点、终点和运动方向。

3.2 物理学中的应用极坐标和参数方程在物理学中有着广泛的应用。

例如，带电粒子在磁场中的运动可通过参数方程来描述；振动系统中的物体位置随时间的变化也可以通过参数方程来表示。

3.3 工程学中的应用工程学中常常需要处理复杂的曲线和曲面。

极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾(一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0,y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y )为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．错误!．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2． 错误!．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == (θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==)5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． （三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

极坐标与参数方程一、 极坐标1.极坐标系：极坐标系：以直角坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，一个线段长度为极径，逆时针方向为正方向旋转一定的角度建立的坐标系称为极坐标系．设M 为平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角，记为θ，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)，一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2.直角坐标与极坐标的互化：以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度，平面内的任一点P 的直角坐标和极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，或222tan (0)x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩．二、参数方程1．参数方程的定义存在一个参变量t ，使得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )（t 为参变数），即为参数方程． 2．直线的参数方程过定点M 0(x 0，y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M →的方向向下；当点M 与点M 0重合时，t＝0.直线的标准参数方程：若直线的参数方程一般形式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt ( t 为参数)， ①若√a 2+b 2=1，则直线参数方程为标准参数方程； ②若√a 2+b 2≠1，可把它化为标准形式：{x =x 0+√a 2+b 2′y =y 0+√a 2+b 2′ （t ′为参数方程）.此时参数t ′才有如前所说的几何意义． 3．圆的参数方程圆的圆心为O (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos t ，y ＝b ＋r sin t (t 为参数)． 4．椭圆的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ (θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0,2π)． 5．双曲线的参数方程双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ(φ为参数)．规定φ的范围为φ∈[0,2π)，且φ≠π2，φ≠3π2.6．抛物线的参数方程抛物线y 2=2px （p >0）的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在x 轴正半轴上的抛物线参数方程．二、 极参第二问方法1． 直参圆普（利用“t ”的几何意义）①直线：直线化标准参数方程②曲线：曲线化普通方程③联立①②④韦达定理题型1：|PA |+|PB |={|t A −t B | t A ∙t B <0|t A +t B | t A ∙t B >0题型2：|PA |∙|PB |=|t A ∙t B |题型3：|AB |=|t A −t B |题型4：1|PA |+1|PB |=|PA |+|PB ||PA |∙|PB |2． 圆参直普（求范围/最值）①曲线：曲线化参数方程②直线（曲线）：直线化普通方程（曲线化参数方程） ③由曲线参数方程设动点坐标题型1：目标函数型：点代入目标式子求取值范围 题型2：点到直线距离型：点代入点到直线距离公式 d =00√A 2+B 2题型3：两点距离型：代入两点距离公式|AB |=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)23． 极极联立①直线与曲线均化为极坐标方程②联立极坐标方程求交点极坐标③利用极径与夹角几何意义题型1：直线过原点|AB|=|ρA−ρB|（0、A、B三点共线）题型2：两曲线同时过原点题型3：点在曲线上，由夹角设点坐标。

参数方程与极坐标系参数方程和极坐标系是数学中描述曲线的两种不同方式。

本文将介绍参数方程和极坐标系的定义、特点以及它们在数学和物理领域中的应用。

一、参数方程的定义与特点参数方程是通过用一个或多个参数来表示曲线上各点的坐标的一种方法。

具体而言，设曲线上的一点P的坐标为(x, y)，则可以将P的坐标表示为关于参数t的函数形式，即x = f(t), y = g(t)。

这种表示形式可以描述各种各样的曲线，包括直线、圆、椭圆等。

参数方程的优势在于它可以很方便地描述参数对应于曲线上的点的关系。

通过改变参数的取值范围，我们可以得到曲线上的不同点。

参数方程还可以轻松地描述具有重复部分或具有周期性变化的曲线，这在绘制一些复杂图形时非常有用。

二、参数方程的应用1. 几何图形参数方程在几何图形的研究中得到广泛应用。

例如，通过适当选择参数的取值范围，我们可以绘制出各种形状的曲线，包括心形线、螺旋线、双纽线等。

这些曲线在数学和美学上都具有重要的意义。

2. 物理运动参数方程在描述物理运动时也非常有用。

例如，对于物体在三维空间中的运动，可以使用参数方程来描述物体的位置随时间的变化。

这在物理学中研究轨迹、弧线运动等问题时经常使用。

三、极坐标系的定义与特点极坐标系是用极径和极角来描述平面上的点的坐标系统。

对于平面上的一点P，其极坐标可以表示为(P, θ)，其中P代表极径，θ代表极角。

极径表示点P到极点的距离，极角表示点P与极正轴的夹角。

极坐标系的特点在于它可以更直观地表示某一点的位置与极点之间的关系。

通过改变极径和极角，我们可以得到平面上的不同点，从而形成不同的曲线。

极坐标系特别适用于描述对称性较强的曲线，如圆、心形线等。

四、极坐标系的应用1. 绘图极坐标系在绘制对称图形时非常方便。

例如，通过改变极角的取值范围，我们可以绘制出各种形状的曲线，如双纽线、螺旋线等。

极坐标系还在计算机图形学中得到广泛应用，用于生成各种美观的图形。

2. 物理领域极坐标系在物理领域中也具有重要的应用。

《极坐标与参数方程》综合测试题1．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，又已知直线l过点P（1,0），倾斜角为，且直线l与曲线C1交于A，B两点．3（1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求+．2．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．3．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P （x ，y ）是圆C 上动点，试求x +y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．4．若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程是ρ=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l 的参数方程为（t 为参数），，当直线l 与曲线C 3P ,02⎛⎫ ⎪⎝⎭相交于A ，B 两点，求.2AB PA PB⋅5．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为为参数），曲线C 2的极坐标方3cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩程为．（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 1上一点，Q 曲线C 2上一点，求|PQ |的最小值及此时P 点极坐标．6．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2=，点R （2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值．7．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．8．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0）．（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值．9．在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．10．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．11．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．12．设点A为曲线C：ρ=2cosθ在极轴Ox上方的一点，且0≤θ≤，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，（1）求曲线C的参数方程；（2）以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求B点轨迹的极坐标方程．13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．14．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后，曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．15．已知半圆C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，]．（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=，试写出T点的极坐标．16．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）《极坐标与参数方程》综合测试题答案　一．解答题（共16小题）1．在极坐标系中，已知曲线C ：ρ=2cosθ，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，又已知直线l 过点P （1,0），倾斜角为，且直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点．3π（1）求曲线C 1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求+．【解答】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为：x 2+y 2﹣2x=0即（x ﹣1）2+y 2=1．∴曲线C 1的直角坐标方程为=1，∴曲线C 表示焦点坐标为（﹣，0），（，0），长轴长为4的椭圆（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程=1中，得．2134120t t +-=设A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，∴+．　2．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．【解答】解：（I ）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程为参数）化为（x ﹣1）2+y 2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．3．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，所以x2+y2=4x+4y﹣6，所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…（4分）所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…（7分）当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…（9分）x+y取到最大值为6．…（10分）4．若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程是ρ=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l 的参数方程为（t 为参数），，当直线l 与曲线C3P ,02⎛⎫⎪⎝⎭相交于A ，B 两点，求.2ABPA PB⋅【解答】解：（1）∵ρ=，∴ρ2sin 2θ=6ρcosθ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=6x ．曲线为以（，0）为焦点，开口向右的抛物线．（2）直线l 的参数方程可化为，代入y 2=6x 得t 2﹣4t ﹣12=0．解得t 1=﹣2，t 2=6．∴||=|t 1﹣t 2|=8．2AB 2PA PB 3=⋅　5．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为为参数），曲线C 2的极坐标方程3cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为．（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 1上一点，Q 曲线C 2上一点，求|PQ |的最小值及此时P 点极坐标．【解答】解：（1）由消去参数α，得曲线C 1的普通方程为．由得，曲线C2的直角坐标方程为．（2）设P（2cosα，2sinα），则点P到曲线C2的距离为．当时，d有最小值，所以|PQ|的最小值为．6．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，则：曲线C的方程为ρ2=，转化成．点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）．（Ⅱ）设P（）根据题意，得到Q（2，sinθ），则：|PQ|=，|QR|=2﹣sinθ，所以：|PQ|+|QR|=．当时，（|PQ|+|QR|）min=2，矩形的最小周长为4．7．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得：+（y+1）2=9，展开为：x2+y2﹣2x+2y﹣5=0，可得极坐标方程：ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．（II）把直线θ=（ρ∈R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，∴ρ1+ρ2=2，ρ1•ρ2=﹣5，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|===2．8．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0）．（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，化为直角坐标方程：x﹣y﹣2=0．∵x=﹣2+t，∴y=x﹣2=﹣4+t，∴直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），可得直角坐标方程：y2=2px．把直线l的参数方程代入可得：t2﹣（8+2p）t+8p+32=0．∴t1+t2=（8+2p），t1t2=8p+32．不妨设|MP|=t1，|MQ|=t2．|PQ|=|t1﹣t2|===．∵|PQ|2=|MP|•|MQ|，∴8p2+32p=8p+32，化为：p2+3p﹣4=0，解得p=1．9．在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），点A的直角坐标（，1）；椭圆Γ的方程为ρ2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为（θ为参数）；（Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），∵E（0，﹣1），∴=（﹣，﹣2），=（cosθ﹣，sinθ﹣1），∴•=﹣3cosθ+3﹣2（sinθ﹣1）=sin（θ+α）+5，∴•的取值范围是[5﹣，5+]．10．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）曲线的C参数方程为（φ为参数），普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l的极坐标方程为ρ=，直角坐标方程为x﹣y﹣4=0；（2）点P到直线l的距离d==，∴φ﹣=2kπ﹣，即φ=2kπ﹣（k∈Z），距离的最小值为2﹣2，点P的直角坐标（1+，1﹣）．11．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．【解答】解：（I）由可得ρ=x﹣2，∴ρ2=（x﹣2）2，即y2=4（x﹣1）；（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去t得：2x+y+4=0．∴曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0．∵M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，∴|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2（r2﹣1，2r），M2到直线2x+y+4=0的距离为d，则d==≥．∴|M 1M 2|的最小值为．12．设点A 为曲线C ：ρ=2cosθ在极轴Ox 上方的一点，且0≤θ≤，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，（1）求曲线C 的参数方程；（2）以A 为直角顶点，AO 为一条直角边作等腰直角三角形OAB （B 在A 的右下方），求点B 轨迹的极坐标方程．【解答】（1）θ为参数）1cos (0sin 2x y θπθθ=+⎧≤≤⎨=⎩（2）：设A （ρ0，θ0），且满足ρ0=2cosθ0，B （ρ，θ），依题意，即代入ρ0=2cosθ0并整理得，，，所以点B 的轨迹方程为，．13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：（φ为参数，实数a ＞0），曲线C 2：（φ为参数，实数b ＞0）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C 1交于O 、A 两点，与C 2交于O 、B 两点．当α=0时，|OA |=1；当α=时，|OB |=2．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求2|OA |2+|OA |•|OB |的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C 1：（φ为参数，实数a ＞0），化为普通方程为（x ﹣a ）2+y 2=a 2，展开为：x 2+y 2﹣2ax=0，其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a=．曲线C2：（φ为参数，实数b＞0），化为普通方程为x2+（y﹣b）2=b2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ，由题意可得当时，|OB|=ρ=2，∴b=1．（Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．∴2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=+1，∵2θ+∈，∴+1的最大值为+1，当2θ+=时，θ=时取到最大值．14．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），普通方程为（x′﹣1）2+y′2=1，∴C2的极坐标方程为ρ=2cosθ；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，∴圆心到直线的距离d==，∴|PQ|=2=．15．已知半圆C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，]．（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=，试写出T点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）由半圆C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，]，则圆的普通方程为x2+（y﹣1）2=1（0≤x≤1），由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得半圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，]；（Ⅱ）由题意可得半圆C的直径为2，设半圆的直径为OA，则sin∠TAO=，由于∠TAO∈[0，]，则∠TAO=，由于∠TAO=∠TOX，所以∠TOX=，T点的极坐标为（，）．16．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．。

极坐标与参数方程解答题（二（教师版）1．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标4π)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－4π)＝a ，． （1）若点A 在直线l 上，求直线l 的直角坐标方程； （2）圆C 的参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，若直线l 与圆C，求a 的值。

【答案】(1) 20x y +-= (2)2a =或2a = 2．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是1 x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程sin cos 0m θρθ-+=．（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点(,0)P m ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且||||2PA PB ⋅=，求实数m 的值．【答案】（Ⅰ）)y x m =-；（Ⅱ）1m =或1m =-或3m = 3．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为()222cos 4sin 4ρθθ+=，过点()2,1P 的直线l的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB 的值，并求定点P 到A ，B 两点的距离之积.【答案】（Ⅰ）直线l 的普通方程10x y --=，曲线C 的直角坐标方程为22440x y +-=；（Ⅱ）85. 4．直角坐标系中曲线C 的参数方程为4cos {3sin x y θθ==（θ为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）经过点(0,1)M 作直线l 交曲线C 于,A B 两点（A 在B 上方），且满足2BM AM =，求直线l 的方程.【答案】（1）221169x y +=;（2）0x =.5．已知曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 的极坐标方程为3()4R pq r =?，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）记线段MN 的中点为P ，求OP 的值.【答案】（1）2cos 24ρθπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；（2）OP =6．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ（1+cos2θ）=8sinθ． （1）求曲线C 的普通方程；（2）直线l 的参数方程为x tcos αy 1tsin α=⎧⎨=+⎩,t 为参数直线l 与y 轴交于点F 与曲线C 的交点为A ，B ，当|FA|•|FB|取最小值时，求直线l 的直角坐标方程． 【答案】（1）x 2=4y ；（2）y=17．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为10sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭. （1）求曲线C 与直线l 的直角坐标方程.（2）直线l 与x 轴的交点为P ，与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PB ⋅的值.【答案】(1) C 的直角坐标方程为22100x y y +-=，l 的直角坐标方程为3y x =+.(2)||||9PA PB ⋅=8．在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的参数方程为 = +2 =2 +2 为参数）．（1）写出 的普通方程，求 的极坐标方程；（2）若过原点的直线 与 相交于 两点， 中点 的极坐标为 ，，求 的直角坐标．【答案】（1） + +1 = ， +1 = ；（2），.9．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ββ=⎧⎨=⎩（β为参数）.以坐标原点O 为原点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点为P ，过点P 作倾斜角为α的直线m 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB -的最大值.【答案】（1）:10l x y +-=，22:14x C y +=；（2）2 10．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，其中a 为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)B 为圆C 上一点，且B 点的极坐标为()000,,,26ππρθθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，射线OB 绕O 点逆时针旋转3π，得射线OA ，其中A 也在圆C 上，求OA OB +的最大值． 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）11．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin ρθθ=-． （1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ，A 两点，交曲线2C 于O ，B 两点，求||AB 的长． 【答案】（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=；2C的直角坐标方程为：22((1)4x y ++=；（Ⅱ）4-12．在平面直角坐标系 中，已知点 的直角坐标为 1 ，直线 的参数方程为=1+=（ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 sin = cos .（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （2）直线 和曲线 交于 、 两点，求+的值. 【答案】（1） 1= 和 = .（2）113．在平面直角坐标xOy 中，直线l的参数方程为212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，若16AB =，求a 的值．【答案】0x y --=，24y x =（Ⅱ）1a = 14．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为2x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=．（1）求C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求弦长AB ． 【答案】（1）28y x =；（2）323. 15．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=.（1）求椭圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为(1,)2π，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值.【答案】（1）22132x y +=，1x y +=；（216．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩ (t 为参数)．(1)求曲线C 和直线l 的普通方程，(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若1AB =，求直线l 的方程。

选修4－4 极坐标与参数方程一、极坐标1.(1)极坐标系 (2)极坐标2．极坐标与直角坐标的互化 3．简单曲线的极坐标方程二.参数方程 1.概念2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．1. (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)一、极坐标方程与直角坐标方程互化及判断曲线类型【例1】化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。

(1) 2540ρρ-+=； (2) 53cos 4sin ρθθ=+；(3) 523cos ρθ=-； (4）242ππρθθρ-+=, 其中R ρ∈【解析】（1）方程变形为(1)(4)0ρρ--=,∴1ρ=或4ρ=，即221x y +=或2216x y +=， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。

(2) 变形得3cos 4sin 5ρθρθ+=,即3450x y +-=，故原方程表示直线3450x y +-=。

千里之行，始于足下。

极坐标和参数方程知识点总结极坐标是一种表示平面上点位置的坐标系统，它是由点到原点的距离（称为极径）和点与极轴的夹角（称为极角）所确定的。

在极坐标系中，每个点的坐标可以表示为(r,θ)的形式，其中r为极径，θ为极角。

参数方程是一种用一对参数变量来表示曲线上的点的坐标的方法。

对于平面上的曲线，常用的参数方程形式为x=f(t)和y=g(t)，其中t为参数变量，f(t)和g(t)分别表示x和y的函数关系。

以下是极坐标和参数方程的一些重要知识点总结：1. 极坐标的转换关系：- 直角坐标到极坐标的转换：x=r*cos(θ)，y=r*sin(θ)- 极坐标到直角坐标的转换：r=sqrt(x^2+y^2)，θ=tan^(-1)(y/x)2. 常见曲线的极坐标方程：- 直线：θ=常数- 圆：r=常数- 椭圆：r=a*b/sqrt(b^2*cos^2(θ)+a^2*sin^2(θ))3. 参数方程的表示方式：- 曲线方程：(x,y)=(f(t),g(t))- 曲线长度的计算公式：L=∫sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt4. 参数方程的性质：- 曲线方向：随着参数变量的增大，曲线的运动方向- 曲线对称性：参数方程对称性特点取决于函数f(t)和g(t)的对称性第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

- 曲线切线方向：曲线上某点的切线方向由参数方程的导数决定5. 参数方程与极坐标之间的关系：- 参数方程可以转换为极坐标方程，极径r=f(t)，极角θ=g(t)- 极坐标方程可以转换为参数方程，x=f(θ)*cos(θ)，y=f(θ)*sin(θ)需要注意的是，极坐标和参数方程在一些问题中可以更方便地描述曲线的特性，而在其他问题中直角坐标系可能更适用。

因此，在应用中需要根据具体问题选择合适的坐标系表示。

参数方程与极坐标方程的应用在数学中，参数方程和极坐标方程是常用的表示曲线的方法。

它们在多个领域中广泛应用，包括物理学、工程学和计算机图形学等。

本文将探讨参数方程和极坐标方程的基本概念，并介绍它们在实际应用中的一些例子。

一、参数方程参数方程是一种以参数的形式给出曲线上的点的坐标的方程。

一般来说，参数方程由两个函数组成，分别表示曲线上的x坐标和y坐标。

用符号表示，参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，参数t的取值范围可以是实数集。

通过选择不同的参数值，可以得到曲线上不同的点。

参数方程不仅能够表示简单的直线和曲线，还可以表示复杂的曲线和曲面。

参数方程在物理学中的应用非常广泛。

例如，在运动学中，我们可以使用参数方程来描述物体的运动轨迹。

考虑到速度、加速度等因素，可以通过调整参数值来模拟不同的运动路径。

在这种情况下，参数方程能够提供关于物体位置和速度等重要信息。

此外，在计算机图形学中，参数方程也是描述曲线和曲面的重要工具。

通过调整参数，我们可以生成各种各样的图形效果，如圆、椭圆、双曲线等。

参数方程还可以用于图像变形和动画制作等方面。

二、极坐标方程极坐标方程是一种用极坐标表示曲线的方程。

在极坐标系中，点的位置由径向距离和极角两个参数来确定。

一般来说，极坐标方程由两个函数组成，分别表示径向距离和极角。

通常，极坐标方程可以表示为：r = f(θ)其中，r表示径向距离，θ表示极角。

通过调整θ的取值，可以得到曲线上不同的点。

不同于直角坐标系中的笛卡尔坐标，极坐标系更适合描述一些对称性较强的曲线，如圆、螺旋线和对数螺线等。

极坐标方程在工程学和物理学中非常常见。

例如，在天文学中，极坐标方程常用于描述行星和恒星的轨道。

通过调整极角和径向距离，可以准确地预测天体的位置和运动。

此外，在工程学领域，极坐标方程也被广泛应用于机械制图和测量方面。

极坐标方程可以用于描述圆形孔洞的位置和大小，以便进行加工和装配。

总结：参数方程和极坐标方程是数学中常用的描述曲线的方法。