第2节简谐运动的描述一、描述简谐运动的物理量 1．振幅(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，用A 表示。
(2)物理意义：表示振动的强弱，是标量。
2．全振动图1121类似于O →B →O →C →O 的一个完整振动过程。
3．周期(T )和频率(f )周期频率定义 做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率单位 秒(s)赫兹(Hz)物理含义 表示物体振动快慢的物理量关系式 T ＝1f描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。
1.振幅A 表示振动物体离开平衡位置的最大距离，表示振动的强弱，是标量。
2．振子完成一次全振动的时间总是相等的，一次全振动中通过的总路程为4A 。
3．相位是描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。
4．简谐运动的表达式为：x ＝A sin(ωt ＋φ)。
位移随时间变化的关系满足x ＝A sin(ωt ＋φ)的运动是简谐运动。
二、简谐运动的表达式简谐运动的一般表达式为x ＝A sin(ωt ＋φ) 1．x 表示振动物体相对于平衡位置的位移。
2．A 表示简谐运动的振幅。
3．ω是一个与频率成正比的量，表示简谐运动的快慢，ω＝2πT＝2πf 。
4．ωt ＋φ代表简谐运动的相位，φ表示t ＝0时的相位，叫做初相。
1．自主思考——判一判 (1)振幅就是指振子的位移。
(×) (2)振幅就是指振子的路程。
(×)(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。
(×) (4)振子完成一次全振动的路程等于振幅的4倍。
(√)(5)简谐运动表达式x ＝A sin(ωt ＋φ)中，ω表示振动的快慢，ω越大，振动的周期越小。
(√)2．合作探究——议一议(1)两个简谐运动有相位差Δφ，说明了什么？甲、乙两个简谐运动的相位差为32π，意味着什么？提示：两个简谐运动有相位差，说明其步调不相同。
甲、乙两个简谐运动的相位差为32π，意味着乙(甲)总比甲(乙)滞后34个周期或34次全振动。
(2)简谐运动的表达式一般表示为x ＝A sin(ωt ＋φ)，那么简谐运动的函数表达式能否用余弦函数表示？提示：简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同。
描述简谐运动的物理量及其关系的理解1．对全振动的理解(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动。
(2)全振动的四个特征：①物理量特征：位移(x )、加速度(a )、速度(v )三者第一次同时与初始状态相同。
②时间特征：历时一个周期。
③路程特征：振幅的4倍。
④相位特征：增加2π。
2．简谐运动中振幅和几个物理量的关系(1)振幅和振动系统的能量：对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定。
振幅越大，振动系统的能量越大。
(2)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。
在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。
(3)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。
其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅。
(4)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。
[典例] 弹簧振子以O 点为平衡位置在B 、C 两点间做简谐运动，BC 相距20 cm ，某时刻振子处于B 点，经过0.5 s ，振子首次到达C 点，求：(1)振子的振幅； (2)振子的周期和频率；(3)振子在5 s 内通过的路程及位移大小。
[解析] (1)振幅设为A ，则有2A ＝BC ＝20 cm ，所以A ＝10 cm 。
(2)从B 首次到C 的时间为周期的一半，因此T ＝2t ＝1 s ； 再根据周期和频率的关系可得f ＝1T＝1 Hz 。
(3)振子一个周期通过的路程为4A ＝40 cm ，即一个周期运动的路程为40 cm ，s ＝tT4A ＝5×40 cm＝200 cm 5 s 的时间为5个周期，又回到原始点B ，位移大小为10 cm 。
[答案] (1)10 cm (2)1 s 1 Hz (3)200 cm 10 cm振动物体路程的计算方法(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据：①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅，则在n 个周期内通过的路程必为n ·4A 。
②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。
③振动物体在T4内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，T4内通过的路程才等于振幅。
(2)计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程。
1．如图1122所示，弹簧振子在BC 间振动，O 为平衡位置，BO ＝OC ＝5 cm ，若振子从B 到C 的运动时间为1 s ，则下列说法正确的是( )图1122A ．振子从B 经O 到C 完成一次全振动 B ．振动周期是1 s ，振幅是10 cmC ．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cmD ．从B 开始经过3 s ，振子通过的路程是30 cm解析：选D 振子从B →O →C 仅完成了半次全振动，所以周期T ＝2×1 s＝2 s ，振幅A ＝BO ＝5 cm ，A 、B 错误；振子在一次全振动中通过的路程为4A ＝20 cm ，所以两次全振动振子通过的路程为40 cm ，C 错误；3 s 的时间为1.5T ，所以振子通过的路程为30 cm ，D 正确。
2．质点沿x 轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点O 。
质点经过a 点(x a ＝－5 cm)和b 点(x b ＝5 cm)时速度相同，时间t ab ＝0.2 s ；此时质点再由b 点回到a 点所用的最短时间t ba ＝0.4 s ；则该质点做简谐运动的频率为( )A ．1 HzB ．1.25 HzC ．2 HzD ．2.5 Hz解析：选B 由题意可知，a 、b 两点关于平衡位置O 对称，质点经a 点和b 点时速度相同，则质点由b 点回到a 点所用的最短时间t ba ＝0.4 s 为质点振动周期的12，故T ＝2t b a ＝0.8 s ，质点做简谐运动的频率为f ＝1T＝1.25 Hz ，B 正确。
3．一个质点做简谐运动，振幅是4 cm ，频率为2.5 Hz ，该质点从平衡位置起向正方向运动，经2.5 s ，质点的位移和路程分别是( )A ．4 cm 、24 cmB ．－4 cm 、100 cmC ．0、100 cmD ．4 cm 、100 cm解析：选D 由f ＝1T 得T ＝1f ＝0.4 s ，Δt ＝2.5 s ＝614T 。
每个周期质点通过的路程为4×4cm ＝16 cm ，故质点的总路程s ＝614×16 cm＝100 cm ，质点0时刻从平衡位置向正向位移运动，经过14周期运动到正向最大位移处，即位移x ＝4 cm ，故D 项正确。
对简谐运动表达式的理解做简谐运动的物体位移x 随时间t 变化的表达式：x ＝A sin(ωt ＋φ)(1)x ：表示振动质点相对于平衡位置的位移。
(2)A ：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱。
(3)ω：圆频率，它与周期、频率的关系为ω＝2πT＝2πf 。
可见ω、T 、f 相当于一个量，描述的都是振动的快慢。
(4)ωt ＋φ：表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。
它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。
(5)φ：表示t ＝0时振动质点所处的状态，称为初相位或初相。
(6)相位差：即某一时刻的相位之差。
两个具有相同ω的简谐运动，设其初相分别为φ1和φ2，其相位差Δφ＝(ωt ＋φ2)－(ωt ＋φ1)＝φ2－φ1。
[典例] 物体A 做简谐运动的振动位移为x A ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫100t ＋π2m ，物体B 做简谐运动的振动位移为x B ＝5cos ⎝⎛⎭⎪⎫100t ＋π6m 。
比较A 、B 的运动( ) A ．振幅是矢量，A 的振幅是6 m ，B 的振幅是10 m B ．周期是标量，A 、B 周期相等为100 s C ．A 振动的频率f A 等于B 振动的频率f B D ．A 振动的频率f A 大于B 振动的频率f B [思路点拨](1)物体的振幅、角速度可以直接由简谐运动表达式得出。
(2)角速度与周期、频率的关系：ω＝2πT＝2πf 。
[解析] 振幅是标量，A 、B 的振动范围分别是6 m 、10 m ，但振幅分别是3 m 、5 m ，选项A 错误。
周期是标量，A 、B 的周期T ＝2πω＝2π100s ＝6.28×10－2s ，选项B 错误。
因为ωA ＝ωB ，故f A ＝f B ，选项C 正确，选项D 错误。
[答案] C用简谐运动表达式解答振动问题的方法应用简谐运动的表达式x ＝A sin(ωt ＋φ)解答简谐运动问题时，首先要明确表达式中各物理量的意义，找到各物理量对应的数值，根据ω＝2πT＝2πf 确定三个描述振动快慢的物理量间的关系，有时还需要通过画出其振动图像来解决有关问题。
1．某振子做简谐运动的表达式为x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6cm ，则该振子振动的振幅和周期为( )A ．2 cm 1 sB ．2 cm 2π sC ．1 cmπ6s D ．以上全错解析：选A 由x ＝A sin(ωt ＋φ)与x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6对照可得：A ＝2 cm ，ω＝2π＝2πT，所以T ＝1 s ，A 选项正确。
2．有一弹簧振子，振幅为0.8 cm ，周期为0.5 s ，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是( )A ．x ＝8×10－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4πt ＋π2mB ．x ＝8×10－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4πt －π2mC ．x ＝8×10－1sin ⎝⎛⎭⎪⎫πt ＋3π2mD ．x ＝8×10－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4t ＋π2m解析：选A 由题意知，A ＝0.8 cm ＝8×10－3m ，T ＝0.5 s ，ω＝2πT＝4π，t ＝0时，弹簧振子具有负方向的最大加速度，即t ＝0时，x ＝A ＝8×10－3m ，故A 选项正确。
3．(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝A sin π4t ，则质点( )A ．第1 s 末与第3 s 末的位移相同B ．第1 s 末与第3 s 末的速度相同C ．第3 s 末与第5 s 末的位移相同D ．第3 s 末与第5 s 末的速度相同解析：选AD 根据x ＝A sin π4t 可求得该质点振动周期为T ＝8 s ，则该质点振动图像如图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s 末和第3 s 末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A 正确，B 错误；第3 s 末和第5 s 末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C 错误，D 正确。
