第六章 计数原理--复习与小结 -B 提高练一、选择题1．（2021·北京大兴区高二月考）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市联合举行，本次冬奥会设有冬季两项、雪车、冰壶、冰球、雪橇、滑冰、滑雪7个大项．为确保冬奥会顺利举办，奥组委欲招募一批志愿者，甲、乙两名大学生审请报名时，计划在7个大项的服务岗位中随机选取3项，则两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（ ） A ．420种 B ．1225种 C ．441种 D ．735种【答案】A【详解】根据题意可知，可分三步考虑：第一步，在7项中选取2项，共有27C 21=种不同的方法； 第二步，甲在剩下5项中选取1项，共有15C 5=种不同的方法；第三步，乙在剩下4项中选取1项，共有14C 4=种不同的方法．根据分步乘法计数原理可知，两人恰好选中相同2项的不同报名情况有2154420⨯⨯=（种），故选：A ． 2．（2021·安徽肥东高二月考）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ ） A ．3- B ．2-C ．2D ．3【答案】D 【详解】的展开式通项为：，由2100r -=得=5r ，所以的常数项系数为；由2102r -=-得4r =，所以的项系数为，所以的展开式的常数项是,故选D.3．（2021·浑源县第七中学校高二月考）我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹!脱贫攻坚取得胜利后，我国建立了防止返贫检测和帮扶机制，继续现固脱贫成果.为进一步推进乡村振兴，某市扶贫办在A 乡镇的3个脱贫村与B 乡镇的4个脱贫村中，随机抽取两个村庄进一步实施产业帮扶，则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为（ ） A ．37B ．1021C ．47D ．57【答案】A【详解】从7个村子中选2个共有2721C =(种)方法，两个村子来自同一乡镇的方法数为22439C C +=，∴所求概率为93217P ==.故选：A 4.（2021·重庆市蜀都中学校高二月考）已知20212012(1)x a a x a x +=++3202132001a x a x ++⋅⋅⋅+，则2000201920182017234a a a a +++1020202021a a +⋅⋅⋅++=（ ）A ．202120212⨯B ．202020212⨯C ．202120202⨯D ．202020202⨯【答案】B【详解】依题意，2021(1)x +的展开式中各项系数(,2021)i a i N i ∈≤就是对应项的二项式系数，即()2021,2021ii a C i N i =∈≤,由二项展开式中二项式系数的对称性202120212021i iC C -=知：2021(,2021)i i a a i N i -=∈≤， 所以原等式为20212202019202020212021191200022()(1)a a a f x x x a x a a x x x =+=++++++ 求导得20202201920120192020201208032020()2021(1)22021a x f x x a x a x a a x '=+=+++++，取x =1得20202019201820120027102021224320202021a a a a a a +⨯+++=++，所以20202019201820171200203202202021420212a a a a a a +++=⨯+++.故选：B5. （多选题）（2021·江苏苏州市高二期中）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（ ）A ．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法B ．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法C ．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法D ．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法 【答案】BC【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有2615C =种选法，女生的选法有24C 6=种选法，则4人中男生女生各有2人选法有15690⨯=种选法，A 错误；对于B ，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有2828C =种选法，B 正确；对于C ，在10人中任选4人，有410C 210=种选法，甲乙都不在其中的选法有7870C =，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有21070140-=种，C 正确；对于D ，在10人中任选4人，有410210C =种选法，只有男生的选法有4615C =种，只有女生的选法有441C =种，则4人中必须既有男生又有女生的选法有210151194--=种，D 错误；故选：BC .6.（多选题）（2021·海口市·海南中学高二）已知2233nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，则下列结论正确的是（） A ．展开式中的有理项是第2项和第5项B ．展开式中没有常数项C ．展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项D ．展开式中系数最大的项是第5项【答案】BCD【详解】对选项A ,由题意可得42992n n -=，求得232n =或231n =-（舍），5n ∴=． 所以2253(3)x x +的展开式的通项公式为1043153rr r r T C x++=，(0,1,2,3,4,5)r =，所以当2r或=5r 时，10+43r是整数， 所以展开式中的有理项是第3项和第6项，所以选项A 错误； 对选项B ，令10+450,32r r =∴=-，所以展开式中没有常数项，所以选项B 正确； 对选项C ，因为5n =，故展开式中二项式系数最大的项为第三项或第四项，所以选项C 正确； 对选项D ，第1r +项的系数为53r r C ，(0,1,2,3,4,5)r =，计算得展开式各项的系数依次为115,90,270,405,243,， 所以展开式第5项的系数最大．所以选项D 正确.故答案为：BCD. 二、填空题7．（2021·重庆南开中学高二月考）某地为了庆祝建党100周年，将在7月1日举行大型庆典活动.为了宣传报道这次活动，当地电视台准备派出甲、乙等4名记者进行采访报道，工作过程中的任务划分为“摄像”、“采访”、“剪辑”三项工作，每项工作至少有一人参加.已知甲、乙不会“剪辑”但能从事其他两项工作，其余两人三项工作都能胜任，则不同安排方案的种数是___________. 【答案】14【详解】若参与“剪辑”工作的有1人，则不同的分配方法数为()322212⨯-=； 若参与“剪辑”工作的有2人，则不同的分配方法数为2种. 综上所述，不同安排方案的种数是12214+=种.8．（2021·湖南师大附中高二月考）在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）． 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C =9．（2021·山东泰安一中高二月考）劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.该校派遣甲、乙，丙、丁、戊五个小组到A 、B 、C 三个街道进行打扫活动，每个街道至少去1个小组，则不同的派遣方案有____________________种. 【答案】150【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有335360C A =种不同的方案；当按照2:2:1进行分配时，则有2134532290C C A A =种不同的方案.故共有150种不同的派遣方案.10．（2021·湖北襄阳高二月考）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则 （1）4位回文数有 个； （2）位回文数有 个．【答案】（1）90（2）【详解】由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90＝9×10个，4位回文数有1001,1111,1221，…，1991,2002，…，9999，共90个，故归纳猜想2n ＋2位回文数与2n ＋1位回文数个数相等，均为9×10n 个． 三、解答题11．（2021·苏州市第三中学校高二月考）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？（2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？（3）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 【答案】（1）360；（2）504；（3）504.【详解】（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有66226543213602A A ⨯⨯⨯⨯⨯==种； （2）如果体育排在最后一节，有55120A =种， 体育不排在最后一节有114444384C C A =种，所以共有120384504+=种，（3）若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有9966987504A A =⨯⨯=种12．已知()(23)n f x x =-展开式的二项式系数和为512，且2012()2311)1)((()n n n x a a x a x a x =++++----．（1）求2a 的值； （2）求123n a a a a ++++的值；（3）求(20)20f -被6整除的余数． 【答案】(1)144-，（2）2，（3）5【详解】解：（1）因为()(23)nf x x =-展开式的二项式系数和为512， 所以2512n =，解得9n =，因为99(23)[2(1)1]x x -=--，所以722792(1)144a C =-=-，（2）在9920129(23111)()()()x a a x a x a x ---+++-=+中，令1x =，则90(213)1a =⨯-=-，令2x =，可得01201299(223)1n a a a a a a a a ++++=++++=⨯-=，所以120129031(1)2n a a a a a a a a a +++++++=-=--+=（3）9(20)20(361)20f -=+-09182789999993636363620C C C C C =+++⋅⋅⋅++-， 091827899993636363619C C C C =+++⋅⋅⋅+-，因为（0918278999936363636C C C C +++⋅⋅⋅+）能被6整除，而19(4)65-=-⨯+，即19-被6整除余数为5，所以(20)20f -被6整除的余数为5。
