历年高考理科数列真题汇编含答案解析

安徽省历年高考理科数学试题及答案汇编十一数列试题1、14．（4分）（2008安徽）在数列{a n}中，，a1+a2+…a n=an2+bn，n∈N*，其中a，b为常数，则的值是．2、5．（5分）（2009安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．183、10．（5分）（2010安徽）设{a n}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（）A．X+Z=2Y B．Y（Y﹣X）=Z（Z﹣X）C．Y2=XZ D．Y（Y﹣X）=X（Z﹣X）4、4．（5分）（2012安徽）公比为的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a16=A．4B．5C．6D．712n12n分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是．6、12．（5分）（2014安徽）数列{a n}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= ．7、14．（5分）（2015安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于．解答题1、21．（13分）（2008安徽）设数列{a n}满足a1=0，a n+1=ca n3+1﹣c，n∈N*，其中c为实数（1）证明：a n∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；（2）设，证明：a n≥1﹣（3c）n﹣1，n∈N*；（3）设，证明：．2、21．（13分）（2009安徽）首项为正数的数列{a n}满足a n+1=（a n2+3），n∈N+．（1）证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，a n都是奇数；（2）若对一切n∈N+都有a n+1＞a n，求a1的取值范围．3、20．（13分）（2010安徽）设数列a1，a2，…，a n，…中的每一项都不为0．证明：{a n}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N，都有++…+=．4、18．（13分）（2011安徽）在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n，再令a n=lgT n，n≥1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=tana n•tana n+1，求数列{b n}的前n项和S n．5、21．（13分）（2012安徽）数列{x n}满足x1=0，x n+1=﹣x2n+x n+c（n∈N*）．（Ⅰ）证明：{x n}是递减数列的充分必要条件是c＜0；（Ⅱ）求c的取值范围，使{x n}是递增数列．6、21．（13分）（2014安徽）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1=a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．答案1、解：∵，∴，从而．∴a=2，，则．答案：1．2、解：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴S n=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，S n达到最大值400．故选：B．3、解：取等比数列1，2，4，令n=1得X=1，Y=3，Z=7代入验算，只有选项D满足．故选D4、解：∵公比为的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，∴，∴a7=4，∴=32，∴log2a16=log232=5．故选B．5、解：设，∵OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴==，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S．故梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S．∵所有A n B n相互平行，∴所有△OA n B n（n∈N*）都相似，∴，，，…，∵，∴，，…．∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．∴．因此数列{a n}的通项公式是．故答案为．6、解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，得：，整理得：，即+5a1+a1+4d．化简得：（d+1）2=0，即d=﹣1．∴q==．故答案为：1．7、解：数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，∴8=1×q3，q=2，数列{a n}的前n项和为：=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．解答题1、解：（1）必要性：∵a1=0，∴a2=1﹣c，又∵a2∈[0，1]，∴0≤1﹣c≤1，即c∈[0，1]充分性：设c∈[0，1]，对n∈N*用数学归纳法证明a n∈[0，1]当n=1时，a1=0∈[0，1]．假设a k∈[0，1]（k≥1）则a k+1=ca k3+1﹣c≤c+1﹣c=1，且a k+1=ca k3+1﹣c≥1﹣c=≥0∴a k+1∈[0，1]，由数学归纳法知a n∈[0，1]对所有n∈N*成立（2）设，当n=1时，a1=0，结论成立，当n≥2时，∵a n=ca n﹣13+1﹣c，∴1﹣a n=c（1﹣a n﹣1）（1+a n﹣1+a n﹣12）∵，由（1）知a n﹣1∈[0，1]，所以1+a n﹣1+a n﹣12≤3且1﹣a n﹣1≥0∴1﹣a n≤3c（1﹣a n﹣1）∴1﹣a n≤3c（1﹣a n﹣1）≤（3c）2（1﹣a n﹣2）≤≤（3c）n﹣1（1﹣a1）=（3c）n﹣1∴a n≥1﹣（3c）n﹣1（n∈N*）（3）设，当n=1时，，结论成立当n≥2时，由（2）知a n≥1﹣（3c）n﹣1＞0∴a n2≥（1﹣（3c）n﹣1）2=1﹣2（3c）n﹣1+（3c）2（n﹣1）＞1﹣2（3c）n﹣1∴a12+a22+…+a n2=a22+…+a n2＞n﹣1﹣2[3c+（3c）2+…+（3c）n﹣1]=n﹣1﹣2×=n﹣1﹣2×=2、（1）证明：已知a1是奇数，假设a k=2m﹣1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得a k+1==m（m﹣1）+1是奇数．根据数学归纳法，对任何n≥2，a n都是奇数．（2）法一：由a n+1﹣a n=（a n﹣1）（a n﹣3）知，a n+1＞a n当且仅当a n＜1或a n＞3．另一方面，若0＜a k＜1，则0＜a k+1＜=1；若a k＞3，则a k+1＞=3．根据数学归纳法得，0＜a1＜1⇔0＜a n＜1，∀n∈N+；a1＞3⇔a n＞3，∀n∈N+．综上所述，对一切n∈N+都有a n+1＞a n的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．法二：由a2=＞a1，得a12﹣4a1+3＞0，于是0＜a1＜1或a1＞3．a n+1﹣a n=﹣=，因为a1＞0，a n+1=，所以所有的a n均大于0，因此a n+1﹣a n与a n﹣a n﹣1同号．根据数学归纳法，∀n∈N+，a n+1﹣a n与a2﹣a1同号．因此，对一切n∈N+都有a n+1＞a n的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．3、证明：先证必要性设数列a n的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立．若d≠0，则===．再证充分性：用数学归纳法证明：①设所述的等式对一切n∈N都成立，首先在等式①两端同时乘a1a2a3，即得a1+a3=2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2=a1+d．②假设a k=a1+（k﹣1）d，当n=k+1时，观察如下二等式=②，=，将②代入③得，在该式两端同时乘a1a k a k+1，得（k﹣1）a k+1+a1=ka k，把a k=a1+（k﹣1）d代入后，整理得a k+1=a1+kd．由数学归纳法原理知对任何n∈N，都有++…+=．所以，{a n}是公差为d的等差数列．4、解：（I）∵在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，又∵这n+2个数的乘积计作T n，∴T n=10n+2又∵a n=lgT n，∴a n=lg10n+2=n+2，n≥1．（II）∵b n=tana n•tana n+1=tan（n+2）•tan（n+3）=，∴S n=b1+b2+…+b n=[]+[]+…+[]=5、当c＜0时，x n+1=﹣x2n+x n+c＜x n，∴{x n}是单调递减数列充分条件当{x n}是单调递减数列时x1=0＞x2=﹣x21+x1+c∴c＜0综上{x n}是从递减数列的充分必要条件是c＜0；（Ⅱ）由（I）得，c≥0①当c=0时，x n=x1=0，此时数列为常数列，不符合题意；②当c＞0时，x2=c＞x1=0，x3=﹣c2+2c＞x2=c∴0＜c＜1⇔⇔0=x1≤x n＜，=﹣（x n+1﹣x n）（x n+1+x n﹣1），当0＜c时，⇒x n﹣x n+1+1＞0⇔x n+2﹣x n+1﹣1＜0，⇔x n+2﹣x n+1与x n+1﹣x n同号，由x2﹣x1=c＞0⇒x n+1﹣x n＞0⇔x n+1＞x n．=⇔．当c时，存在N使x N⇒x N+x N+1＞1⇒x N+2﹣x N+1与x N+1﹣x N异号，与数列{x n}是从递减数列矛盾．所以当0＜c时，数列{x n}是递增数列．6、证明：（Ⅰ）令f（x）=（1+x）p﹣（1+px），则f′（x）=p（1+x）p﹣1﹣p=p[（1+x）p﹣1﹣1]．①当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0，∴（1+x）p﹣1＜（1+x）0=1，∴（1+x）p﹣1﹣1＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0]上为减函数，∴f（x）＞f（0）=（1+0）p﹣（1+p×0）=0，即（1+x）p﹣（1+px）＞0，∴（1+x）p＞1+px．②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）p﹣1＞（1+x）0=1，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）=0，∴（1+x）p＞1+px．综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证．（Ⅱ）先证a n+1＞．∵a n+1=a n+a n1﹣p，∴只需证a n+a n1﹣p＞，将写成p﹣1个相加，上式左边=，当且仅当，即时，上式取“=”号，当n=1时，由题设知，∴上式“=”号不成立，∴a n+a n1﹣p＞，即a n+1＞．再证a n＞a n+1．只需证a n＞a n+a n1﹣p，化简、整理得a n p＞c，只需证a n＞c．由前知a n+1＞成立，即从数列{a n}的第2项开始成立，又n=1时，由题设知成立，∴对n∈N*成立，∴a n＞a n+1．综上知，a n＞a n+1＞，原不等式得证．。

word 格式文档历年高考《数列》真题汇编1、 (2011 年新课标卷文)已知等比数列 { a n} 中，a111，公比 q．33（ I ）S n为{ a n}的前 n 项和，证明：S n 1a n 2（ II）设 b n log 3 a1log 3 a2log 3 a n，求数列 { b n} 的通项公式．1 ( 1)n 111(1 1 )11解：（Ⅰ）因为 a n. S n33n3n,333n1123所以 S n1a n,2（Ⅱ） b n log 3 a1log 3 a2log 3 a n(1n(n 1) 2 ....... n)n(n1) .2所以 {b n } 的通项公式为b n22、 (2011全国新课标卷理）等比数列a n的各项均为正数，且2a13a21,a329a2 a6 .（1）求数列a n的通项公式.(2)设 b n log 3 a1 log 3 a2......log 3 a n , 求数列1的前项和 .b n解：（Ⅰ）设数列 {a n} 的公比为 q，由a329a2a6得 a339a42所以 q21。

有条件可知 a>0,19故 q。

311n。

由 2a13a21得2a13a2q 1 ，所以a1。

故数列 {a n} 的通项式为 a n=33（Ⅱ） b n log1 a1log1 a1...log1 a1(1 2 ...n)n(n 1)2故122(11) b n n( n1)n n1word 格式文档1 1 ... 1 2((1 1 ) ( 1 1) ...(11))2n b 1 b 2 b n2 2 3n n 1n 1所以数列 { 1} 的前 n 项和为2nb nn 13、（ 2010 新课标卷理）设数列a n 满足 a 1 2, a n 1 a n3 22n 1（1）求数列 a n 的通项公式；（2）令 b nna n ，求数列的前 n 项和 S n解（Ⅰ）由已知，当n ≥ 1 时，an 1[( a n 1 a n ) (a n a n 1 ) (a 2 a 1)] a 13(2 2n 122 n 32) 222( n1) 1。

高考数学真题汇编4 数列 理（ 解析版）一、选择题1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25【答案】B【解析】因为12=a ，54=a ，所以64251=+=+a a a a ，所以数列的前5项和156252)(52)(542515=⨯=+=+=a a a a S ,选B. 2.【2012高考真题浙江理7】设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D. 若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列【答案】C【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立．故选C 。

3.【2012高考真题新课标理5】已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【答案】D【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a ，又274=+a a ，所以2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a ，综上选D.4.【2012高考真题上海理18】设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S中，正数的个数是（ ）A ．25B ．50C ．75D ．100【答案】D【解析】当1≤n ≤24时，n a ＞0，当26≤n ≤49时，n a ＜0，但其绝对值要小于1≤n≤24时相应的值，当51≤n ≤74时，n a ＞0，当76≤n ≤99时，n a ＜0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值，∴当1≤n ≤100时，均有n S ＞0。

高考理科数学试题(带答案解析)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的（1）在等差数列{}n a 中,241,5a a ==,则{}n a 的前5项和5S =（A）7（B）15（C）20（D）25【答案】：B【解析】：422514,d a a =-=-=2d =,1252121,3167a a d a a d =-=-=-=+=+=155()5651522a a S +⨯⨯===【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式,解题时要认真审题,仔细解答．（2）不等式1021x x -≤+的解集为（A）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦（B）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C）[)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭（D）[)1,1,2⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦（3）对任意的实数k ,直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（A）相离（B）相切（C）相交但直线不过圆心（D）相交且直线过圆心（4）8+的展开式中常数项为（A）3516（B）358（C）354（D）105【答案】B【解析】：8821881()2rrr r r r r T C C --+==令820r -=解得4r =展开式中常数项为4458135()28T C ==【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开式的常数项（5）设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两根,则tan()αβ+的值（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】：A【解析】：tan tan 3,tan tan 2αβαβ+==,则tan tan 3tan()31tan tan 12αβαβαβ++===---【考点定位】本此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值．（6）设,,x y R ∈向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===- ,且,//a c b c ⊥ ,则||a b +=（C）（D）10（7）已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减函数”的（A）既不充分也不必要的条件（B）充分而不必要的条件（C）必要而不充分的条件（D）充要条件【答案】：D【解析】：由()f x 是定义在R 上的偶函数及[0,1]上的增函数可知在[-1,0]减函数,又2为周期,所以[3,4]上的减函数【考点定位】本题主要通过常用逻辑用语来考查函数的奇偶性和对称性,进而来考查函数的周期性．根据图象分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答本题的关键．（8）设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示,则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -（D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f（9）设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a ,且长为a 的棱与长为2的棱异面,则a 的取值范围是（A ）(0,2)（B ）(0,3)（C ）(1,2)（D ）(1,3)【答案】：A【解析】：2221()22BE =-=,BF BE <,22AB BF =<,【考点定位】本题考查棱锥的结构特征,考查空间想象能力,极限思想的应用,是中档题．（10）设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭,则A B 所表示的平面图形的面积为（A ）34π（B ）35π（C ）47π（D ）2π[【答案】：D【解析】：由对称性：221,,(1)(1)1y x y x y x≥≥-+-≤围成的面积与221,,(1)(1)1y x y x y x≤≥-+-≤围成的面积相等得：A B 所表示的平面图形的面积为22,(1)(1)1y x x y ≤-+-≤围成的面积即2122R ππ⨯=25115112lim lim 555n n n n nn n→∞→∞++++===【考点定位】本题考查极限的求法和应用,n 都没有极限,可先分母有理化再求极限；（13）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =【答案】：c =145【解析】：由35cos ,cos 513A B ==得412sin ,sin ,513A B ==由正弦定理sin sin a bA B=得43sin 13512sin 513b A a B ⨯===由余弦定理22a c =2+b -2cbcosA 得22590c -c+56=0则c =145【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系．同时要求学生牢记特殊角的三角函数值．（14）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点,若25,,12AB AF BF =<则AF =。

历年高考理科数学真题汇编+答案解析专题4 数列（2020年版）考查频率：一般为2个小题或1个大题 考试分值：10分~12分 知识点分布：必修5一、选择题和填空题（每题5分）1．（2019全国I 卷理9）记为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意有⎩⎨⎧=+=+5406411d a d a ，解之得⎩⎨⎧=-=231d a .∴1(1)25n a a n d n =+-=-，21(1)42n n n S na d n n -=+=-. 【答案】A【考点】必修5 等差数列2. （2019全国I 卷理14）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．【解析】由246a a =可得，26511a q a q =，11a q =，∴3q =.∴551(13)1213133S -==-. 【考点】必修5 等比数列3．（2019全国III 卷理5）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ．16B ．8C ．4D ．2【解析】由题意可得，23142111(1)1534a q q q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得2q =，11a =. ∴2314a a q ==. 【答案】C【考点】必修5 等比数列n S4．（2019全国III 卷理14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【解析】∵12103a a a =≠，，∴2113a a d a =+=，即12d a =.∵1011111091010901002S a d a a a ⨯=+=+=，51111545520252S a d a a a ⨯=+=+=. ∴1054S S =. 【答案】4【考点】必修5 等差数列5．（2018全国I 卷理4）记为等差数列的前项和.若，，则 A ． B ． C ． D ． 【解析】由4213S S S +=得，)64()2()33(3111d a d a d a +++=+，解得3231-=-=a d ， ∴10122415-=-=+=d a a .【答案】B【考点】必修5 等差数列6．（2018全国I 卷理14）记为数列的前项和.若，则_____________． 【解析】当n ＝1时，1121a a =+，解得11a =-；当n ≥2时，有1121n n S a --=+，21n n S a =+，二式相减，得122n n n a a a -=-，化简得12n n a a -=. 所以{a n }是一个以－1为首项，以2为公比的等比数列.所以661(12)6312S -⨯-==--.【答案】－63【考点】必修5 等比数列7．（2017全国I 卷理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】由题意得4512724a a a d +=+=，6161548S a d =+=，解得4d =. 【答案】C【考点】必修5 等差数列n S {}n a n 3243S S S =+12a ==5a 12-10-1012n S {}n a n 21n n S a =+6S =8．（2017全国I 卷理11）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推. 求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂. 那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110【解析】第1组有1个数：20，其和为21－1；第2组有2个数：20、21，其和为22－1； 第3组有3个数：20、21、22，其和为23－1； ……第k 组有k 个数：20、21、…、2k －1，其和为2k －1； 于是，前k 组共(1)122++++=L k k k 个数， 其和为1212(12)2222(2)12+-+++-=-=-+-L k kk k k k ，即1(1)2(2)2++⎛⎫=-+⎪⎝⎭k k k S k ，设第k +1组有n 个数（n ≤k +1），其和为2n －1， 则(1)2+=+k k N n ，()12(2)(21)+=-++-k n S N k ， ∵ 数列的前N 项和为2的整数幂，∴ 212-=+n k ，由(1)1002+>k k 得，14≥k ，∴n ＝5，k =29， 则29(291)54402⨯+=+=N .【答案】A【考点】必修5 等差数列、等比数列9. （2017全国II 卷理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 【解析】设这个塔顶层有a 盏灯，∴ 宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴ 从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a 为首项的等比数列， ∴ 总共有灯381盏，∴7(12)38112a -=-，解得3a =. 【答案】B【考点】必修5 等比数列10. （2017全国II 卷理15）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． 【解析】等差数列{}n a 的公差为d ，则有11234(23)102a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1=11a d =，． ∴ (1)2n n n S +=，∴ 12112(1)1nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则1111111122121223111nk kn S n n n n =⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑L . 【答案】21nn + 【考点】必修5 等差数列11．（2017全国III 卷理9）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．－24B ．－3C ．3D ．8【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵ a 2，a 3，a 6成等比数列，∴ 2326=a a a ，即2(12)(1)(15)+=++d d d ，解得2=-d ；∴ {}n a 前6项的和为1666()3(1110)242+==+-=-a a S . 【答案】A【考点】必修5 等差数列12．（2017全国III 卷理14）设等比数列{}n a 满足a 1＋a 2 ＝ –1, a 1 – a 3 ＝ –3，则a 4 ＝ ___________． 【解析】设等比数列{}n a 的公差为q ，∵ a 1＋a 2 ＝ –1, a 1 – a 3 ＝ –3，∴ 1(1)1+=-a q ，21(1)3-=-a q ，解得11,2==-a q ，∴ 3418==-a a q .【答案】－8【考点】必修5 等比数列二、简单题（每题12分）13．（12分）（2019全国II 卷理19）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434+-=+n n n a a b ，1434+-=-n n n b b a . （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.【解析】（1）由题设得114()2()+++=+n n n n a b a b ，即111()2+++=+n n n n a b a b ． 又因为a 1+b 1=l ，所以{}+n n a b 是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得114()4()8++-=-+n n n n a b a b ，即112++-=-+n n n n a b a b ． 又因为a 1–b 1=l ，所以{}-n n a b 是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，112-+=n n n a b ，21-=-n n a b n ． 所以 111[()()]222=++-=+-n n n n n n a a b a b n ， 111[()()]222=+--=-+n n n n n n b a b a b n ．【考点】必修5 等差数列、等比数列14.（2018全国II 卷理17）（12分）记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值．【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15．由a 1＝－7得d ＝2．所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9． （2）由（1）得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16．所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16．【考点】必修5 等差数列15．（2018全国III 卷理17）等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．【解析】（1）设的公比为，由题设得.由已知得，解得（舍去），或.故或.（2）若，则.由得，此方程没有正整数解.若，则.由得，解得.综上，.【考点】必修5 等比数列n S {}n a n 17a =-315S =-{}n a n S n S {}n a 15314a a a ==，{}n a n S {}n a n 63m S =m {}n a q 1n n a q -=424q q =0q =2q =-2q =1(2)n n a -=-12n n a -=1(2)n n a -=-1(2)3n n S --=63m S =(2)188m-=-12n n a -=21n n S =-63m S =264m=6m =6m =。

历年高考《数列》真题汇编1、(2011 年新课标卷文 )已知等比数列 { a n } 中， a 11，公比 q 1 ．33 （I ） S n 为 { a n } 的前 n 项和，证明： S n 1 a n2（II ）设 b nlog 3 a 1 log 3 a 2 Llog 3 a n ，求数列 { b n } 的通项公式．111解：（Ⅰ）因为 a n1(1 ) n 11 . S n 3 (13n ) 1 3n ,3 33n1 123所以 S n1 an,2（Ⅱ） b nlog 3 a 1log 3 a 2log 3 a n(1 2n(n 1)....... n)n( n 1) .2所以 { b n } 的通项公式为 b n22、 (2011 全国新课标卷理）等比数列 a n 的各项均为正数，且 2a 1 3a 2 1,a 3 2 9a 2a 6.（1）求数列 a n 的通项公式 .(2) 设 b n log 3 a 1 log 3 a 2 ...... log 3 a n , 求数列 1 的前项和 .b n解：（Ⅰ）设数列 {a n } 的公比为 q ，由 a 329a 2a 6 得 a 339a 42 所以 q 21。

有条件可知 a>0, 故1 。

9q3由 2a 1 3a 2 1得 2a 1 3a 2q 1，所以 a 11。

故数列 {a n } 的通项式为 a n =1。

33n（Ⅱ ?） b n log 1 a 1 log 1 a 1 ... log 1 a 1故1 22(11 )b nn( n 1)n n 1所以数列 { 1} 的前 n 项和为2nb nn 13、（2010 新课标卷理）数列a n足a12, a n 1a n3g22n 1（1）求数列a n的通公式；（2）令b n na n，求数列的前n 和S n解（Ⅰ）由已知，当 n≥ 1 ，a n 1 [( a n 1 a n ) (a n a n 1 ) L (a2 a1 )] a1 3(2 2n 1 22n 3 L 2) 2 22( n 1) 1 。

高考数列选择题部分（2016全国I ）（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97（2016上海）已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ） （A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a（2016四川）5. 【题设】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）（ A ）2018年 （B ）2019年 （C ）2020年 （D ）2021年（2016天津）（5）设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n ?1+a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件（2016浙江）6. 如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、62.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．93.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->4.【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D.140,0a d dS <>1.【2014年重庆卷（理02）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列2.【2014年全国大纲卷（10）】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．35.【2014年福建卷（理03）】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．14高考数列填空题部分（2016全国I ）（15）设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ．（2016上海）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.（2016北京）12.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______..（2016江苏）8. 已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ .（2016浙江）13.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= .5.【2015高考安徽，理14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .6.【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．7.【2015高考广东，理10】在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += .8.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．9.【2015江苏高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为3.【2014年广东卷（理13）】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= 。