1.2 集合的基本关系●三维目标1．知识与技能(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)理解子集、真子集的概念．(3)能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．2．过程与方法让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义．3．情感、态度与价值观(1)树立数形结合的思想．(2)体会类比对发现新结论的作用．●重点难点重点：集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念．难点：属于关系与包含关系的区别．本节的重点是理解集合间包含与相等的含义，其突破方法是让学生多结合实例，类比实数间的大小关系来学习集合间的包含关系．●教学建议教材从学生熟悉的实例出发，通过类比引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集、Venn图、真子集、空集等概念．在安排这部分内容时，教材注重体现逻辑思考的方法，如类比等．值得注意的问题：在讲解集合间的关系时，建议重视使用Venn图，这有助于学生体会直观图示对理解抽象概念的作用．随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与⊆的区别．●教学流程创设情境提出问题，思考：实数有相等关系，大小关系，类比实数之间的关系，联想集合之间是否具备类似的关系⇒概念形成．分析示例：给出集合的包含关系的相关定义，完成例1及变式训练⇒师生合作得出集合相等的概念. 通过实例的共性探究、理解相等概念，完成例2及互动探究⇒巩固深化，发展思维，加深对集合间关系的理解，完成例3及变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正课标解读1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(重点)2.理解子集、真子集的概念．(易混点)3.能使用Venn 图表达集合间的关系，体会直观图对理解抽象概念的作用．(难点)知识1子集与Venn 图给出下列集合：(1)A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2,3,4,5}．(2)设集合A 为衡水中学高一·三班全体男生组成的集合，集合B 为高一·三班全体学生组成的集合．集合A 中的元素与集合B 有什么关系？ 【提示】 集合A 中的每一个元素都属于集合B . 1．子集含义一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即若a ∈A 则a ∈B ，我们就说集合A 包含于集合B 或集合B 包含集合A ，记作A ⊆B (或B ⊇A )，就说集合A 是集合B 的子集．为了直观地表示集合间的关系，常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn 图.知识2集合相等给定两个集合A ＝{0,1}，B ＝{x |x 2＝x }．1．集合B能否用列举法表示出来？【提示】能．B＝{0,1}．2．集合A中的元素与集合B中的元素，有什么关系？【提示】元素完全一样．对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B 中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时，我们就说集合A与集合B相等，记作A＝B.知识3真子集【问题导思】对于集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．1．集合A是集合B的子集吗？【提示】是．2．集合B是集合A的子集吗？【提示】不是．3．集合A与集合B相等吗？【提示】不相等．1．真子集(1)含义：对于两个集合A与B，如果A⊆B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A B或B A.(2)当集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A时，记作A⃘B或B⊉A.2．性质(1)空集是任何集合的子集，对于任何一个集合A，都有∅⊆A.(2)对于集合A、B、C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.类型1子集、真子集的概念已知集合M＝{x|x＜2且x∈N}，N＝{x|－2＜x＜2且x∈Z}．(1)试判断集合M、N间的关系．(2)写出集合M的子集、集合N的真子集．【思路探究】把用描述法表示的集合用列举法表示出来，以便于观察集合的关系写出子集与真子集．【自主解答】M＝{x|x＜2且x∈N}＝{0,1}，N ＝{x |－2＜x ＜2且x ∈Z}＝{－1,0,1}． (1)MN .(2)M 的子集为：∅，{0}，{1}，{0,1}，N 的真子集为：∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}．1．写有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集：∅和自身；其次按含一个元素的子集，含两个元素的子集…依次写出，以免重复或遗漏．2．若集合A 含n 个元素，那么它的子集个数为2n ；真子集个数为2n －1，非空真子集个数为2n －2.若{1,2,3}A ⊆{1,2,3,4,5}，则集合A 的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 集合{1,2,3}是集合A 的真子集，同时集合A 又是集合{1,2,3,4,5}的子集，所以集合A 只能取集合{1,2,3,4}，{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}．【答案】 B集合相等若{0，a 2，a ＋b }＝{1，a ，ba}，求a 2 013＋b 2 013的值．【思路探究】 由0∈{1，a ，ba }先求出b ，再根据集合相等求a .【自主解答】 因为{0，a 2，a ＋b }＝{1，a ，ba }，所以0∈{1，a ，ba}．所以b ＝0，此时有{1，a,0}＝{0，a 2，a }． 所以a 2＝1，a ＝±1.当a ＝1时，不满足互异性，所以a ＝－1. ∴a 2 013＋b 2 013＝－1.1．计算出a ＝±1后，易忽视集合中元素的互异性致误． 2．解决此类问题的步骤：(1)利用集合相等的条件，建立方程或方程组，求得参数；(2)把所得数值依次代入集合验证，若满足元素的三个特性，则所求是可行的，否则应舍去．若本例改为“{0，a ，ba }＝{1，－a 2，a ＋b }”，则a 2 013＋b 2 013的值为多少？【解】 ∵0∈{1，－a 2，a ＋b } ∴－a 2＝0或a ＋b ＝0当－a 2＝0，即a ＝0时，{0，a ，ba}中矛盾．当a ＋b ＝0，即a ＝－b 时，{0，a ，ba }＝{0，a ，－1}，{1，－a 2，a ＋b }＝{1，－a 2,0}，即{0，a ，－1}＝{1，－a 2,0}， ∴a ＝1，b ＝－1. ∴a 2 013＋b 2 013＝0.类型3 已知集合间的关系求参数的取值范围设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}，已知B ⊆A .求实数m的取值范围【思路探究】 由B ⊆A 可得集合B ＝∅或B 中的任何一个元素都在集合A 中，可借助数轴解决．【自主解答】 当m －1>2m ＋1，即m <－2时，B ＝∅，符合题意． 当m －1≤2m ＋1，即m ≥－2时，B ≠∅. 由B ⊆A ，借助数轴表示如图所示．则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－1，2m ＋1≤6，解得0≤m ≤52.综上所述，实数m 的取值范围是{m |m <－2或0≤m ≤52}．1．当已知一个集合是另一个集合的子集时，首先要考虑这个集合是否为空集．2．已知集合间的关系，求参数范围的步骤：(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合间的关系，列出关于参数的不等式(组)；(4)求解．设集合A＝{x|1<x≤2}，B＝{x|x<a}，若A B，则a的取值范围是()A．{a|a≥2}B．{a|a<1}C．{a|a>2} D．{a|a≤1}【解析】在数轴上表示两个集合A、B，要使A B，则a >2.【答案】 C忽略空集的情况而致误已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B⊆A，求实数m的值．【错解】据题意知A＝{1,3}，B＝{3m}，∵B⊆A，∴3m＝1或3m＝3.即m＝3或m＝1.【错因分析】忽略B＝∅时的情况，直接认为m≠0.【防范措施】解答集合中有包含关系的题目时，一定要警惕“∅”这一陷阱，往往造成不必要的失分．【正解】据题意知集合A＝{1,3}，当B＝∅，即m＝0时，满足B⊆A.当B≠∅，即m≠0时，B＝{x|mx－3＝0}＝{3m}．∵B⊆A，∴3m＝1或3m＝3，即m＝3或m＝1.综上所述，所求m的集合为{0,1,3}．1．集合与集合之间的关系有包含关系，相等关系，其中包含关系有：包含于(⊆)、包含(⊇)，真包含于()、真包含()等，用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的，但A⊆B，B⊆A是不同的．2．不能把“A⊆B”、“A B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.3．由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在遇到“A⊆B”或“A B 且B≠∅”时，一定要讨论A＝∅和A≠∅两种情况，A＝∅的情形易被忽视，应引起足够的重视．。
