河北省石家庄市2017-2018学年高三数学二模试卷(文科) Word版含解析

2017届石家庄市高中毕业班第二次模拟考试数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数y =ln(2)y x =-的定义域分别为M 、N ，则MN =（ ）A ．(1,2]B ．[1,2)C ．(,1](2,)-∞+∞D ．(2,)+∞2.若2iz i=+，则复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知向量(1,)a m =，(,1)b m =，则“1m =”是“//a b ”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.从编号为1,2,…，79,80的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的样本，若编号为10的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为（ ） A ．72B ．73C ．74D ．755.已知角α（0360α︒≤<︒）终边上一点的坐标为(sin150,cos150)︒︒，则α=（ ） A ．150︒ B ．135︒C ．300︒D ．60︒6.函数ln ||()||x x f x x =的大致图象是（ ）7.如图是计算11113531++++…的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是（ ）A ．2n n =+,16?i >B ．2n n =+,16?i ≥C ．1n n =+,16i >?D ．1n n =+,16?i ≥8.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ．34π B ．24π+ C ．12π+ D ．324π+ 9.实数x ，y 满足1|1|12x y x +≤≤-+时，目标函数z mx y =+的最大值等于5，则实数m的值为（ ） A ．1-B ．12-C ．2D ．510.三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．643π B ．2563π C ．4363π D 11.已知动点P 在椭圆2213627x y +=上，若点A 的坐标为(3,0)，点M 满足||1AM =，0PM AM ⋅=，则||PM 的最小值是（ ）ABC ．D ．312.已知函数2|2ln |,0,()21,0x x f x x x x +>⎧=⎨--+≤⎩存在互不相等实数a ，b ，c ，d ，有()()()()f a f b f c f d m ====．现给出三个结论：（1）[1,2)m ∈； （2）314[2,1)a b c d ee e ---+++∈+--，其中e 为自然对数的底数；（3）关于x 的方程()f x x m =+恰有三个不等实根． 正确结论的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.观察下列式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，…，根据上述规律，第n 个不等式可能为 ．14.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的图象如图所示，则(0)f 的值为 ．15.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点M 关于渐进线的对称点恰为右焦点2F ，则该双曲线的离心率为 ．16.在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积S =里1()2p a b c =++．已知在ABC ∆中，6BC =，2AB AC =，则ABC ∆面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 满足1122(1)22n n a a na n ++++=-+…，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若2211log log n n n b a a +=⋅，12n n T b b b =+++…，求证：对任意的*n N ∈，1n T <.18.在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=︒，四边形ADEF 为等腰梯形，//EF AD ，已知AE EC ⊥，2AB AF EF ===，4AD CD ==．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ADEF ； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.19.天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.（Ⅰ）天气预报说，在今后的三天中，每一天降雨的概率均为40%，该营销部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天降雨的概率，利用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，并用1,2,3,4,表示下雨，其余6个数字表示不下雨，产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 求由随机模拟的方法得到的概率值；（Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小x （单位：毫米）与其出售的快餐份数y 成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：试建立y 关于x 的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数）附注：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-20.已知圆C ：222(1)x y r -+=（1r >），设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上．（Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）延长MC 交曲线E 于点N ，曲线E 在点N 处的切线与直线AM 交于点B ，试判断以点B 为圆心，线段BC 长为半径的圆与直线MN 的位置关系，并证明你的结论． 21.已知函数1()(1)1xax f x a x e +=-+-，其中0a ≥． （Ⅰ）若1a =，求函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若0x ≥，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos a ρθ=（0a >），Q 为l 上一点，以OQ 为边作等边三角形OPQ ，且O 、P 、Q 三点按逆时针方向排列.（Ⅰ）当点Q 在l 上运动时，求点P 运动轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线C ：222x y a +=，经过伸缩变换'2'x xy y =⎧⎨=⎩得到曲线'C ，试判断点P 的轨迹与曲线'C 是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2|1||1|f x x x =+--.（Ⅰ）求函数()f x 的图象与直线1y =围成的封闭图形的面积m ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数a 、b 满足2a b abm +=，求2a b +的最小值.2017届石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（文科）答案 一、选择题1-5:BAACC 6-10:BADBB 11、12：CC二、填空题13.22211121123(1)1n n n +++++<++…14.216.12三、解答题17. 解：（Ⅰ）当1n >时，1121212(1)222-1)(2)22n n nn a a na n a a n a n +-+++=-++++=-+①（②①-②得1(1)2(2)22n n n n na n n n +=---=⋅,2n n a =，当1n =时，12a =，所以2,*nn a n N =∈．（Ⅱ）因为2nn a =，2211111log log (1)1n n n b a a n n n n +===-⋅++.因此1111112231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+， 所以n T 1<.18.（Ⅰ）证明：取AD 中点M ，连接EM ，AF =EF =DE =2，AD =4，可知EM =12AD ，∴AE ⊥DE ， 又AE ⊥EC ，DEEC E = ∴AE ⊥平面CDE ，∵CD CDE ⊂平面 ，∴AE ⊥CD ，又CD ⊥AD ，AD AE A = ,∴CD ⊥平面ADEF ．（Ⅱ）由(1)知 CD ⊥平面ADEF ，CD ⊂ 平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ADEF ；作EO ⊥AD，∴EO ⊥平面ABCD，EO 连接AC ，则ABCDEF C-ADEF F ABC V V V -=+111(24)4332C-ADEF ADEF V S CD ==⨯⨯+=11124332F-ABC ABC V S OE ==⨯⨯⨯=△， ∴ABCDEF V ==．19.解：（Ⅰ）上述20组随机数中恰好含有1，2，3，4中的两个数的有191 271 932 812 393 ，共5个，所以三天中恰有两天下雨的概率的近似值为51==204P .（Ⅱ）由题意可知1234535x ++++==，50+85+115+140+160=1105y =，51521()()275==27.510()iii ii x x y y b x x ==--=-∑∑， ==27.5a y bx -所以，y 关于x 的回归方程为：ˆ27.527.5yx =+． 将降雨量6x =代入回归方程得：ˆ27.5627.5192.5193y=⨯+=≈. 所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份．20.解：（Ⅰ）设(,)M x y ，由题意可知，(1,0)A r -，AM 的中点(0,)2yD ，0x >， 因为(1,0)C ，(1,)2y DC =-，(,)2y DM x =． 在⊙C 中，因为CD DM ⊥，∴0DC DM ⋅=，所以204y x -=，即24y x =（0x >）， 所以点M 的轨迹E 的方程为：24y x =（0x >）．（Ⅱ） 设直线MN 的方程为1x my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线BN 的方程为222()4y y k x y =-+，2214404x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，可得12124,4y y m y y +==-， 11r x -=，则点A 1(,0)x -，所以直线AM 的方程为1122y y x y =+， 22222222()44044y y k x y ky y y ky y x ⎧=-+⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩，0∆=，可得22k y =， 直线BN 的方程为2222y y x y =+，联立11222,22,2y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可得21111441,222B B y my x y m y y -=-===， 所以点(1,2)B m -，||BC =2d ===∴B e 与直线MN 相切．21. 解：（Ⅰ）当1=a 时，xex x f -+-=)1(1)(，当1=x 时，ex f 21)(-=， 1'(1)f e=，所以所求切线方程为：131y x e e =+-．（Ⅱ）首先xe a ax a xf --++-=)1()1()('，令其为)(x g ，则xe a ax x g --+-=)12()('．1）当12≤a 即210≤≤a 时，,0)('≤x g )(x g 单调递减，即)('x f 单调递减， 0)('≤x f ，)(x f 单调递减，0)(≤x f ，所以210≤≤a 成立；2）当21>a 时，0)12()('=-+-=-xe a ax x g 解得：a x 12-=，当)12,0(a x -∈时，,0)('>x g )(x g 单调递增，即)('x f 单调递增， 0)('>x f ，)(x f 单调递增，0)(>x f ，所以21>a 不成立． 综上所述：210≤≤a ． 22. 解：（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)ρθ， 则由题意可得点Q 的坐标为(,)3πρθ+，再由点Q 的横坐标等于a ，0a >， 可得cos()3a πρθ+=，可得1cos sin 2a ρθρθ-=， 故当点Q 在l 上运动时点P的直角坐标方程为20x a --=． （Ⅱ)曲线C ：222x y a +=，全优试卷'2'x x y y =⎧⎨=⎩，即'2'x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，代入22''4x y a +=，即2224x y a +=， 联立点P 的轨迹方程，消去x得270y +=，0,0a >∴∆>有交点，坐标分别为2(,),(2,0)77a a a -． 23. 解：（Ⅰ）函数3,1,()21131,11,3, 1.x x f x x x x x x x --≤-⎧⎪=+--=+-<<⎨⎪+≥⎩它的图象如图所示：函数)(x f 的图象与直线1=y 的交点为(4,1)-、(0,1)，故函数)(x f 的图象和直线1=y 围成的封闭图形的面积14362m =⨯⨯=． （Ⅱ）ab b a 62=+ ,621=+∴ab 844244)21)(2(=+≥++=++ab b a a b b a ， 当且仅当ab b a 4=， 可得31,32==b a 时等号成立， b a 2+∴的最小值是34。

2016-2017学年度石家庄市第二次模拟考试数学文科一、选择题1-5BAACC 6-10 BADBB 11-12CC二、填空题13. 1n 12n )1(131211222++<+++++n 14.22 15.5 16．12三、解答题17. 解：(1) 当1n >时，1121212(1)222-1)(2)22n n n n a a na n a a n a n +-+++=-++++=-+①（②…………………2分 ① -②得1(1)2(2)22n n n n na n n n +=---=⋅,2n n a =，当1n =时，12a =,………………………4分 所以2nn a =，*n N ∈……………………5分(2)因为2n n a =，2211111log log (1)1n n n b a a n n n n +===-⋅++.……………7分 因此 1111112231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………9分 111n =-+……………………11分 所以n T 1<……………12分18：(1)证明取AD 中点M ，连接EM ，AF =EF =DE =2，AD =4，可知EM =12AD ，∴AE ⊥DE ， ………………………………2分 又AE ⊥EC ，DE EC E = ∴AE ⊥平面CDE ，∵CD CDE ⊂平面 ，∴AE ⊥CD ，又CD ⊥AD ， AD AE A = ,∴CD ⊥平面ADEF ；………………………………5分(2)由(1)知 CD ⊥平面ADEF ，CD ⊂ 平面ABCD ，作EO ⊥AD ，∴EO ⊥平面ABCD ，EO =3 ，………………………………7分 连接AC ，则ABCDEF C-ADEF F ABC V V V -=+…………………………9分111(24)3443332C-ADEF ADEF V S CD ==⨯⨯+⨯⨯=， 111432433323F-ABC ABC V S OE ==⨯⨯⨯⨯=△，………………………………11分 ∴4316343ABCDEF V =+=．………………………………12分19.（1）上述20组随机数中恰好含有1，2，3，4中的两个数的有191 271 932 812 393 ，共5个，所以三天中恰有两天下雨的概率的近似值为51==204P .………………………4分 （2）由题意可知1234535x ++++==， …………………………………………5分 50+85+115+140+160=1105y = …………………………………………………………6分 51521()()275==27.510()i ii ii x x y y b x x ==--=-∑∑，………………………………………………………8分 ==27.5a y bx -所以，y 关于x 的回归方程为：ˆ27.527.5y x =+. ………………10分将降雨量6x =代入回归方程得：ˆ27.5627.5192.5193y=⨯+=≈. 所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份. ………………………12分20（Ⅰ）方法一：设M （x ，y ），由题意可知，A （1-r ，0），因为弦AM 的中点恰好落在y 轴上，所以x=r-1>0,即r=x+1, ………………2分所以222(1)(1)x y x -+=+，化简可得y 2=4x （x >0）所以，点M 的轨迹E 的方程为：y 2=4x （x >0）………………………4分方法二：设M （x ，y ），由题意可知，A （1-r ，0），AM 的中点,x >0， 因为C （1，0），，．………………………2分在⊙C 中，因为CD ⊥DM ，所以，， 所以． 所以，y 2=4x （x >0）所以，点M 的轨迹E 的方程为：y 2=4x （x >0）………………………4分 （Ⅱ） 设直线MN 的方程为1x my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线BN 的方程为222()4y y k x y =-+ 2214404x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，可得12124,4y y m y y +==-，…………………6分 11r x -=，则点A 1(,0)x -，所以直线AM 的方程为1122y y x y =+， 22222222()44044y y k x y ky y y ky y x ⎧=-+⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩，0∆=，可得22k y =， 直线BN 的方程为2222y y x y =+，………………………8分 联立11222,22,2y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可得21111441,222B B y my x y m y y -=-===， 所以点B （-1，2m ）………………………10分2||44BC m =+222244211d m m m ==+=++B ∴e 与直线MN 相切………………………12分21解：（1）当1=a 时，x e x x f -+-=)1(1)(，当1=x 时，ex f 21)(-=， 1'(1)f e=，所以所求切线方程为： ex e y 311-+=................................................5分（2）首先x e a ax a x f --++-=)1()1()('，令其为)(x g ，则x e a ax x g --+-=)12()('................................................7分1）当12≤a 即210≤≤a 时，,0)('≤x g )(x g 单调递减，即)('x f 单调递减， 0)('≤x f ，)(x f 单调递减，0)(≤x f ，所以210≤≤a 成立；.....................9分 2）当21>a 时，0)12()('=-+-=-x e a ax x g 解得：a x 12-=，当)12,0(a x -∈时， ,0)('>x g )(x g 单调递增，即)('x f 单调递增，0)('>x f ，)(x f 单调递增，0)(>x f ，所以21>a 不成立。

河北省石家庄市2017-2018 学年高三第二次模拟考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的. ）1. 设会集A x x 2 ，会集 B x y3x ，则 A B（）A．x x 2B．x x 2C． x x 3D．x x 3【答案】 B考点：会集的运算 .2. 设i是虚数单位，复数a i为纯虚数，则实数 a 的值为（）1i．1A．1B． 1C D． 22【答案】 A【解析】试题解析：依据复数的运算有a i(a i )(1i ) a 1a 1 i， a i为纯虚数，即实部1i(1i)(1i )221i为零，因此有a10 a 1，故本题的正确选项为 A. 2考点：复数的运算.3. 设函数 f ( x) sin x x ，则 f ( x) （）A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是增函数且有零点D．是减函数且没有零点【答案】 A【解析】试题解析：第一函数的定义域为实数，又f ( x) sin( x) ( x)sin x x[sin x x] f ( x) ，因此函数为奇函数，由于f ( x) cos x 1 0 ，由导函数的性质可知函数在定义域上为减函数，存在独一零点x 0 ，因此本题正确选项为A.考点：函数的奇偶性与导函数的运用.4. p : xy 2 xy ， q : 在 ABC 中，若 sin Asin B ，则 A B . 以下为真的是（）A ． pB．qC． p qD ． p q【答案】 C考点：判断的真假及逻辑词语.2 cos x, x0, 4) 的值为（5. 已知 f ( x)1) 1, x则f (）f (x 0,3A ． 1B． 1C．32D ．52【答案】 B【解析】试题解析：由于4 0 ，因此 f ( 4) f (1) 1f ( 2) 2 ，当 x 0 时， f (x) 2 cos x ， 3 333因此 f (2) 2 cos( 2)1 ，因此有f ( 4) f ( 2) 2 1，本题正确选项为 B.333 3考点：分段函数求函数的值 .6. 设 S n 为等差数列a n 的前 n 项和，若 a 11，公差 d 2, S n 1 S n 15 ，则 n 的值为（ ）A. 5B.6C.7D. 8【答案】 C【解析】试题解析：由于数列的前 n 项和 S n 与 a n 满足关系式 a n 1 S n 1 S n ，因此有 a n 1 15，又 a n为等差数列，因此1 2157，因此本题的正确选项为 C.an 1nn考点：等差数列前n 项和的性质 .7. 一个几何体的三视图以以以下图，则该几何体的体积为（）A ． 1B．1C．2433D ． 1【答案】 B【解析】试题解析：有三视图可知，该几何体为四周体，其下表面为一等腰直角三角形，直角边为1, 此中一条与底面垂直的棱长为2 ，因此四周体的体积为 V1 底面积为 SSh23题的正确选项为 B.1，1, 故本3考点：三视图与几何体的体积.xy 2x y 的最小值为（）8. 若实数 x, y 满足1，则 z94A ．18B．4C． 4D ．2 10【答案】 A考点：线性拘束.【方法点睛】对于线性规划问题，共有两种状况：1, 直线过定点时在可行域中旋转时的最大斜率， 2，直线斜率必但是在可行域中平移时的截距的最值. 可以再直角坐标系中画出可行域，此后在画出直线，经过观察求出待求量的最值；由于直线在可行域中的最值都是在围成可行域的极点处获得，因此也可以先求得可行域极点坐标，将这些坐标分别代入待求量的表达式中，从中选择最大值或最小值，本题中需要将含绝对值不等式转变为不等式组，在依据线性拘束条件来求目标函数的最值.9. 运转下边的程序框图，输出的结果是（）A．7B． 4C． 5D．6【答案】 D考点：程序框图.10. 设 S n 是数列a n 的前 n 项和，且 a 1 1, a n 1S nSn 1，则使nS n 2 获得最大值时n 的10S n 21值为（）A. 2B.5C.4D. 3【答案】 D【解析】试题解析： 由于a n 1 S n 1S n，因此有S n1S nS n 1S n1 11 ，即1为首S n 1S nS n项等于 1公差为 1 1 n1 的等差数列因此S n S n，则n2n( 1)21 n 1nS nnnn 2 1 10S n21 10(1)21 10( 1) 2n 2 10 101 nn n10 2 10, 当且仅当 n 10 时取等号，由于 n 为自然数，因此依据函10，由于 nnnn数的单调性可从与n10 相邻的两个整数中求最大值， n 3, S n1nS n 23 ,，3 1 10S n 219n 4, S n1 , nS n22 ，因此最大值为 3，此时 n3 ，故本题正确选项为 D.4 1 10S n 21319考点：数列的通项，重要不等式与数列的最值.11. 在正四棱锥 V ABCD 中（底面是正方形，侧棱均相等） ， AB2,VA6 ，且该四棱锥可绕着 AB 作任意旋转， 旋转过程中 CD ∥ 平面 . 则正四棱锥 V ABCD 在平面内的正投影的面积的取值范围是（）． [2,4]B． (2,4]C．[ 6,4]AD ． [2,2 6]【答案】A【解析】试题解析：由题可知正四棱锥V ABCD在平面内的正投影图形为平面截 V ABCD所得横截面图形，此中平面是平行于CD的平面，四棱锥底面积为S1AB2 4 ,任意一个侧面的高为(6) 212 5 ，则侧面面积为S2 5 ,四棱锥的高为( 6)2(2) 2 2 ，所以过 V且垂直于底面的截面面积为S3 2 ,经解析可知四棱锥绕AB旋转过程当底面与平面平行时，投影面积最大，当底面与平面垂直时，投影面积最小，因此投影面积的取值范围为[ 2,4]，故本题正确选项为 A.考点：投影.【思路点睛】解答本题要清楚平面与 AB 的关系，由于两者平行，因此可以直接把四棱锥底面ABCD看做平面，这样可以便于研究投影的面积，当四棱锥没有转动时，投影为底面正方形，当逆时针旋转且不超出时，投影由矩形变为三角形，此中三角形面积愈来愈小；2当旋转角度超出时，投影逐渐由三角形变为矩形，最后为正方形，因此只要求得中间三个2特其余投影面积，即可求得投影的取值范围.12. 已知实数p0 ，直线 4x 3 y 2 p 0 与抛物线y2 2 px 和圆(x p )2y2p2从上24到下的交点挨次为AC的值为（）A,B, C,D ，则BDA．1B．5C．3 8168D．716【答案】 C考点：函数的图象.【思路点睛】本题主要观察函数图象的的交点间线段的比值问题. 第一要分别求得直线与两曲线的交点横坐标，即联立方程组，并解方程，即可求得交点横坐标. 依据横坐标的大小确立A, B, C , D 的横坐标，（也可经过两曲线的交点，来判断抛物线与圆的地点关系，从而确立A, B, C , D 的坐标）再利用相似三角形的性质，即可经过线段在水平方向上的投影比值来求得AC.BD第Ⅱ卷（非选择题共90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分20 分．）13. 已知双曲线x2y21的一条渐近线方程为y3x，则实数 m 的值为______. 2m m 4【答案】45【解析】试题解析：由于双曲线x2y2 1 的两条渐近线为 y b x，因此 x2y 21的渐近a2b2a2m m4线为y m 4x ，则有m4 3 m 4 . 2m2m5考点：双曲线的渐近线.14.将一枚硬币连续扔掷三次，它落地时出现“两次正面向上，一次正面向下” 的概率为 ______. 【答案】【解析】试题解析：抛出的硬币落地式正面向上与朝下的概率是相等的，设向上为p0.5 ，则朝下为q 1p0.5 ，扔掷三次，两次正面向上的概率为C32 p2 q30.475 .考点：独立事件的概率及组合的运用.15. 在Rt ABC 中，AB4, AC2，点P为斜边BC 上凑近点 B 的三均分点，点 O 为ABC 的外心，则 AP AO 的值为_____.【答案】 6考点：向量的运算.【思路点睛】依据向量的运算，分别求得AP，AO ，即可求得其数目积，第一依据向量垂直的性质有 AB AC 0 ，其次点 P 为斜边 BC 上凑近点 B 的三均分点，因此要求先求得BC ,才能进一步求得, BP而依据三角形外心是三角形中线的三均分点，及三角形中线为两邻边向量和的一半，即可求得向量 AO ,分别代入AP AO 即可求得数目积.16. 已知函数f ( x)x3 3x ，若过点M (2, t)可作曲线y f ( x) 的两条切线，则实数t 的值为______.【答案】6或 2【解析】试题解析： f ( x)x33x的导函数为 f ( x) 3x2 3 假设过点M (2, t )的切线斜率为k，则有k 3x023x033x0t，可得 2 x036x02 6 t 0 ，有两条切线，即x022x03 6 x02 6 t0 有两个不等的数根，可令 y 2x 3 6x 26t ，函数恰好有两个零点， y6x212x ，有函数的性可知函数存在两个极点x10, x2 2, 极分y16t , y2 t2,当且当极点零点函数才好有两个零点，因此有y1 6 t0或y2t 2 0 t1 6或t2 2 因此 t 的6或2 .考点：函数的运用，直的斜率.【方法点睛】某点可做函数象的切，可依据函数的性，即函数等于切的斜率，求得切的斜率，可通两点式来求得切的斜率，所求的两个斜率相等即可建立有关切点横坐的方程，中明有两条切，即有两个切点，也就是方程有两个不等的数解，再利用函数的零点个数与函数的性（函数性，极点）即可求得t 的.三、解答（本大共 6 小，共70 分 . 解答写出文字明、明程或演算步. ）17.（本小分 12 分）在ABC 中， a、 b、 c 分是角 A、 B、 C 所的，且足a3b cosC .（Ⅰ）求tanC的；tan B（Ⅱ）若 a 3, tan A 3 ，求ABC 的面.【答案】（Ⅰ） 2 ；（Ⅱ）3.a b c2R可得：解析：（ I ）由正弦定理sin B sin Csin A2R sin A=32R sin B cosC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分A B C sin A sin( B C)=3sin B cosC ，-------------------------3分即 sin B cosC cos B sin C =3sin B cosCcos B sin C =2sin B cosC cos B sin C =2故tan C=2．-------------------------sin B cosC5分tan B（ II ）（法一）由A B C得 tan(B C )tan(A) 3 ,即tan B tanC3,将tan C 2 tan B代入得：3t Ba n3，tan B tan C2211t Ba n-------------------------7分解得 tan B1或 tan B 1，2依据 tan C 2 tan B 得 tan C、tan B 同正，因此 tan B1, tanC 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分tan A 3 ，可得 sin B2，sin C25，sin A310 ，2510代入正弦定理可得3=b，b 5 ，-------------------------10分3102102因此 S ABC 1ab sin C1 3 5253.-------------------------12分225（法二）由 A B C得tan(B C )tan(A)3,即tan B tanC3,将tan C 2 tan B代入得：3t Ba n3，tan B tan C2211t Ba n-------------------------7分解得 tan B1或 tan B 1，依据 tan C 2 tan B 得 tan C、tan B 同正，2因此 tan B1, tanC 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分又因 a3b cosC 3 因此 b cosC 1 ，ab cosC3ab cosC tan C 6．-------------------------10分SABC 1ab sin C 1 6 3 ．-------------------------12分22考点：正弦定理的运用，三角函数的恒等.18.（本小分 12 分）了某地区成年人血液的一指，随机抽取了成年男性、女性各10人成的一个本，他的血液指行了，获得了以下茎叶. 依据医学知，我此指大于40为偏高，反之即为正常 .（Ⅰ）依据上述样本数据研究此项血液指标与性其余关系，完成以下2 2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超出 0.10 的前提下以为此项血液指标与性别有关系？正常偏高合计男性女性合计（Ⅱ）现从该样本中此项血液指标偏高的人中随机抽取 2 人去做其余检测，求男性和女性被抽到的概率 .参照数据：P(K 2k0 )k0（参照公式：K2n(ad bc) 2，此中 n a b c d ）(a b)(c d )(a c)(b d )【答案】（ I ）列联表见解析，能犯错误的概率不超出0.10 的前提下以为此项血液指标与性别有关系；（ II ）1 . 3【解析】试题解析：（ I ）由茎叶图可得男性数据5,7,19,22,23,24,25,36,37,45 ，女性数据2,13,14,16,21,42,44,46,48,53 可知正常数据男性为9 ，女性为 5 ，将列表数据代入K2=n( ad bc)22与 2.706 比，可知在犯的概率不超求，并用k(a b)(c d )(a c)(b d )的前提下此血液指与性有关系；（ II ）血液指偏高的人中间有男性1人，女性 5 人，分列出所抽取两人的可能事件共有15 种，而有男性的事件 5 种，因此抽到男性与女性的概率1 . 3解析：（ I ）由茎叶可得二列表正常偏高合男性9110女性5510合14620⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（填一个数，扣 2 分，两个以上扣 4 分）n( ad bc)2= 20（9552K 2 =）1(a b)(c d )(a c)(b d )1010146因此能在犯的概率不超的前提下此血液指与性有关系 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分考点：茎叶与概率的合运用.19.（本小分 12 分）如，四棱P ABCD 的底面 ABCD 矩形， AB 2 2 ， BC 2 ，点P在底面上的射影在 AC 上，E， F 分是AB,BC的中点.（Ⅰ）明：DE平面PAC；（Ⅱ）在 PC 上能否存在点M ，使得 FM ∥平面 PDE ？若存在，求出PM的；若不PC存在，明原由 .【答案】（Ⅰ）明解析；（Ⅱ）存在，原由解析.解析：（ I ）在矩形ABCD中，AB : BC 2 :1，且E是AB的中点，∴ tan ∠ ADE = tan ∠CAB 1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分2∴∠ ADE =∠CAB,∵∠CAB∠ DAC90, ∴∠ADE∠ DAC90, 即AC ⊥DE .⋯⋯⋯⋯ 3 分由可知面PAC面 ABCD，且交AC ，∴DE面 PAC. ⋯⋯⋯⋯ 5 分PMDGHCFAEB（ II）作DC 的中点G ，GC 的中点H，GB 、 HF . ⋯⋯⋯⋯⋯6 分∵DG ∥EB ，且DGEB∴四 形EBGD平行四 形，∴DE ∥GB∵ F 是 BC 的中点， H 是GC 的中点，∴ HF ∥GB ，∴ HF ∥ DE .⋯⋯⋯⋯ 8分作H 作HM ∥PD 交PC 于M ， FM ，∵ HF ∥ DE , HM ∥ PD ，∴平面 HMF ∥平面 PDE ，∴ FM ∥平面 PDE . ⋯⋯⋯ 10 分由 HM ∥ PD 可知：∴PMDH3 ⋯⋯⋯⋯ 12 分MCHC考点：直 与平面的垂直（平行）的性 与判断.20. （本小 分 12 分）已知 E :x 2y 2 1( a b 0) 的左、右焦点分F 1、 F 2 ， D 上任意一点，a 2b 2且DF 1 DF 2的最大a 2.4（Ⅰ）求E 的离心率；（Ⅱ）已知 的上 点 A(0,1) ， 直 l : ykx m(m 1) 与 E 交于不一样样的两点B 、C ，且AB AC ， 明： 直 l 定点，并求出 定点坐 .【答案】（ I ） e3 3 ) .；（ II ） 明 解析， (0,25解析：（ I ）2DF 1 DF 2 ( cx 0 , y 0 )(c x 0 , y 0 )x 02c2y 02c2 x 02b 2c 2 ，⋯⋯⋯ 2 分a因 0 x 02 a 2 ，因此当 x 02 a 2 ， DF 1DF 2 得最大 b 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分因此 b 2a 2 , 故离心率 e 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分42（ II）由 意知 b1，可得 方程 ：x 2 y 21，4B( x 1, y 1 )C (x 2 , y 2 )由y kx m，得 (1 4k 2 ) x 2 8kmx 4(m 2 1) 0 ，x 2 4 y 24x 1 x 28kmx2 ， x 1 x 24(m 2 1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分1 4k1 4k 2由 AB AC 0 得： x 1x 2 ( y 1 1)(y 2 1) 0即 (1k 2 ) x 1 x 2 k(m 1)(x 1x 2 ) (m 1)2 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分将 达定理代入化 可得：m3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分5因此 直 l 的方程 ： y kx3，即直 恒 定点 (0,312 分) ⋯⋯⋯⋯⋯ 5 5河北省石家庄市2017-2018学年高三第二次模拟考试文数试题Word版含解析考点：的离心率，向量的运算，函数象的交点.21.（本小分 12 分）函数 f ( x) (e x 1)(x a), e 自然数的底数.（Ⅰ）当 a 1 ，函数 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 的切l，明：除切点(1, f (1)) 外，函数 y f ( x) 的像恒在切 l 的上方；（Ⅱ）当 a0 ，明： f ( x) x ln x10 . e【答案】（ I ）明解析；（ II ）明解析 .【解析】解析：（ I ）当a 1 ，f ( x)(e x1)( x 1) ， f (x) (e x1) e x ( x 1) xe x1，可求得点 (1, f (1)) 及点切的斜率，获得切的方程，函数象在切上方，即(e x1)( x 1) ( x 1)(e 1) 因此只要明(e x1)( x 1) (x 1)(e 1) 在x 1 恒建立，1数象在切上方；（II）明f ( x) x ln x 0建立，即明e(e x1) x x ln x10 恒建立，构造两函数p(x) (e x1)x,q( x)x ln x1，有e ep(x) q( x) 恒建立，利用函数的性分求得p( x)，q( x) 在 x0 的最小，最大，即可明 p( x)q( x) 建立，从而得 (e x1) x x ln x10建立.e解析：（Ⅰ）当 a 1 ，f ( x)(e x 1)(x1)，f (1)0 ，f(1) e1因此在 (1, f (1))的切方程是y(e1)(x 1) ⋯⋯⋯⋯2分所等价于 (e x 1)(x1)(e1)(x1),( x1) ⋯⋯⋯⋯3分即(x)(1)0,(1)e e x x当 x 1 ，x0,10,(x)(1)0e e x e e x当 x1x0,10,(x)(1)0e e x e xe得！⋯⋯⋯⋯ 5 分考点：函数的单调性，最值，导函数的运用.【思路点睛】证明 f ( x) 的图象素来切线的上方，即要证明函数的值素来大于也许等于切线的函数值，因此可由函数 f ( x) 减去切线方程构成一个新的函数，证明该函数的最小值为非负即可 . 在此要注意： f (x) 图象在切线上方，其实不表示函数在切点处有最小值；对于不等式的证明，可以观察不等式形式，构造两个新的函数，从而将不等式恒建立问题转变为两个函数最值的大小问题.请考生在第22、 23、 24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分. 解答时请写清题号 .22.（本小题满分 10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲如图， RT ABC 内接于⊙O， C 90 ，弦BF交线段AC于E，E为AC的中点，在点 A 处作圆的切线与线段 OE 的延长线交于 D ，连接 DF .（Ⅰ）求证：DE EO FE EB ；（Ⅱ）若CEB 45 ，⊙O的半径 r 为 2 5 ，求切线AD的长.【答案】 (I)明解析；（II）4 5 .【解析】解析：（I ）由订交弦定理有EF EB AE EC ,又E中点，因此FE EB AE 2，只要明AE2DE EO 即可得 DE EO FE EB 建立，在直角三角形ADO 中，由射影定理即可得 AE 2DE EO ；（II）CEB45 ，E AC的中点，可知 AC2BC ,由半径 r 2 5 ，即可求得BC 4 ，从而求得AE, OE 在合AE2DE EO 求得DE,利用勾股定理即可求得AD .解析：（ I ）明：在O 中，弦 AC、 BF 订交于E，FE EB AE EC，又 E AC的中点，因此FE EB AE2，-------------------------2分又因 OA AD,OE AE ，依据射影定理可得AE 2DE EO ,-------------------------4分DE EO FE EB，------------------------5分（ II ）因AB直径，因此C=900，又因CBE 45o，因此BCE 等腰直角三角形．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分AC 2BC，依据勾股定理得 AC2BC 25BC280，解得BC 4 ，-------------------8分因此 AE4， OE2，由（I）得 AE2DE EO 因此 DE8，因此 AD AE2DE 2428245 ．------------------------10分考点：射影定理，勾股定理，订交弦的性.23.（本小分 10 分）修 4-4 ：坐系与参数方程在极坐系中，曲C1的极坐方程cos2 3 sin，以极点 O 坐原点，极x 非半C 2x 2 cos,建立平面直角坐系，曲的参数方程2 sin ( 为参数）.y（Ⅰ）求曲C1的直角坐方程；（Ⅱ）若3，曲 C 2上点P ，点P 作C2的切与曲C1订交于A, B两点的，求段AB中点M与点P 之的距离.【答案】（ I ）x23y ；（II） 3 .【解析】解析：（ I ）由cos23sin ，得2 cos23sin，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分曲 C1的直角坐方程x23y ，-----------------------------------4分（II ）将=代入 C2x2cos :2sin3y得 P(1,3) ，由题意可知切线AB 的倾斜角为5，--------------------------6 6分x 1 3 t设切线 AB的参数方程为2（ t 为参数），1y3t2代入x23y 得：(1 3 t )23( 31t ) ，22即3t 2 3 3t 2 0 ，--------------------------8分42设方程的两根为t1和 t2可得：t1t2 2 3 ，因此 x M 1[ 23(t1t2 )]1 222112因此 MP 3 --------------------------10分32考点：极坐标系，参数方程的运用.2x2y 2【思路点睛】直角坐标系与极坐标系转变时满足关系式tan y，代入极坐标系方程，x进行化简单可求得直角坐标系方程；对于直线上两点间距离，可以先求得两点横坐标（也许纵坐标）间的差值，再利用三角函数来求得两点间的距离，本题中利用了参数法直接求得A, B 两点的坐标关系，从而获得中点M 的坐标.24.（本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲已知实数 a0, b 0，函数 f ( x) x a x b 的最大值为 3 .（Ⅰ）求 a b 的值；（Ⅱ）设函数g x x2ax b，若对于x a，均有g(x) f ( x)，求 a 的取值范围.( )【答案】（I ）3；（II ）1a 3 . 2河北省石家庄市2017-2018学年高三第二次模拟考试文数试题Word版含解析【解析】（ II）当x a时， f ( x)| x a || xb | =x a ( x )b，ab ---------------------6分对于 x a ，使得g( x) f ( x) 等价于x a ， g max ( x) 3 建立，g(x) 的对称轴为x aa ，2g ( x) 在 x [ a,) 为减函数，g(x) 的最大值为g( a)a2a2b2a2 a 3 ，--------------------------8分2a2 a 3 3 ，即 2a2a0 ，解得a0 或 a1，3，因此12又由于 a0, b0, a b a 3 ．--------------------------10分2考点：绝对值不等式的应用，函数的单调性与最值.。

【关键字】考试2017届石家庄市高中毕业班第二次模拟考试数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数与的定义域分别为、，则（）A． B．C．D．2.若，则复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量，，则“”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.从编号为1,2,…，79,80的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的样本，若编号为10的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为（）A．72 B．73 C．74 D．755.已知角（）终边上一点的坐标为，则（）A． B．C．D．6.函数的大致图象是（）7.如图是计算的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是（）A．, B．,C．, D．,8.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A． B．C．D．9.实数，满足时，目标函数的最大值等于5，则实数的值为（）A． B．C．D．10.三棱锥中，侧棱底面，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A． B．C．D．11.已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，，则的最小值是（）A． B．C．D．12.已知函数存在互不相等实数，，，，有．现给出三个结论：（1）；（2），其中为自然对数的底数；（3）关于的方程恰有三个不等实根．正确结论的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.观察下列式子：，，，…，根据上述规律，第个不等式可能为．14.已知函数（，）的图象如图所示，则的值为．15.双曲线（，）上一点关于渐进线的对称点恰为右焦点，则该双曲线的离心率为．16.在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为，，，其面积，这里．已知在中，，，则面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，求证：对任意的，.18.在如图所示的多面体中，为直角梯形，，，四边形为等腰梯形，，已知，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求多面体的体积.19.天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.（Ⅰ）天气预报说，在今后的三天中，每一天降雨的概率均为，该营销部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天降雨的概率，利用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，并用1,2,3,4,表示下雨，其余6个数字表示不下雨，产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989求由随机模拟的方法得到的概率值；（Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小（单位：毫米）与其出售的快餐份数成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：试建立y 关于x 的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数）附注：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-20.已知圆C ：222(1)x y r -+=（1r >），设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上．（Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）延长MC 交曲线E 于点N ，曲线E 在点N 处的切线与直线AM 交于点B ，试判断以点B 为圆心，线段BC 长为半径的圆与直线MN 的位置关系，并证明你的结论． 21.已知函数1()(1)1xax f x a x e+=-+-，其中0a ≥． （Ⅰ）若1a =，求函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若0x ≥，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos a ρθ=（0a >），Q 为l 上一点，以OQ 为边作等边三角形OPQ ，且O 、P 、Q 三点按逆时针方向排列.（Ⅰ）当点Q 在l 上运动时，求点P 运动轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C ：222x y a +=，经过伸缩变换'2'x xy y=⎧⎨=⎩得到曲线'C ，试判断点P 的轨迹与曲线'C 是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2|1||1|f x x x =+--.（Ⅰ）求函数()f x 的图象与直线1y =围成的封闭图形的面积m ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数a 、b 满足2a b abm +=，求2a b +的最小值.2017届石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（文科）答案 一、选择题1-5:BAACC 6-10:BADBB 11、12：CC二、填空题13.22211121123(1)1n n n +++++<++…16.12三、解答题17. 解：（Ⅰ）当1n >时， ①-②得1(1)2(2)22n n n n na n n n +=---=⋅,2n n a =，当1n =时，12a =，所以2,*nn a n N =∈．（Ⅱ）因为2nn a =，2211111log log (1)1n n n b a a n n n n +===-⋅++.因此1111112231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+， 所以n T 1<.18.（Ⅰ）证明：取AD 中点M ，连接EM ，AF =EF =DE =2，AD =4，可知EM =12AD ，∴AE ⊥DE ， 又AE ⊥EC ，DEEC E = ∴AE ⊥平面CDE ，∵CD CDE ⊂平面 ，∴AE ⊥CD ，又CD ⊥AD ，AD AE A = ,∴CD ⊥平面ADEF ．（Ⅱ）由(1)知 CD ⊥平面ADEF ，CD ⊂ 平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ADEF ；作EO ⊥AD ，∴EO ⊥平面ABCD ，EO连接AC ，则ABCDEF C-ADEF F ABC V V V -=+111(24)4332C-ADEF ADEF V S CD ==⨯⨯+= 11124332F-ABC ABC VS OE ==⨯⨯⨯=△， ∴ABCDEF V ==． 19.解：（Ⅰ）上述20组随机数中恰好含有1，2，3，4中的两个数的有191 271 932 812 393 ，共5个，所以三天中恰有两天下雨的概率的近似值为51==204P . （Ⅱ）由题意可知1234535x ++++==，50+85+115+140+160=1105y =，51521()()275==27.510()iii ii x x y y b x x ==--=-∑∑， ==27.5a y bx -所以，y 关于x 的回归方程为：ˆ27.527.5yx =+． 将降雨量6x =代入回归方程得：ˆ27.5627.5192.5193y=⨯+=≈. 所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份．20.解：（Ⅰ）设(,)M x y ，由题意可知，(1,0)A r -，AM 的中点(0,)2yD ，0x >， 因为(1,0)C ，(1,)2y DC =-，(,)2y DM x =． 在⊙C 中，因为CD DM ⊥，∴0DC DM ⋅=，所以204y x -=，即24y x =（0x >）， 所以点M 的轨迹E 的方程为：24y x =（0x >）．（Ⅱ） 设直线MN 的方程为1x my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线BN 的方程为222()4y y k x y =-+，2214404x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，可得12124,4y y m y y +==-， 11r x -=，则点A 1(,0)x -，所以直线AM 的方程为1122y y x y =+， 22222222()44044y y k x y ky y y ky y x ⎧=-+⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩，0∆=，可得22k y =， 直线BN 的方程为2222y y x y =+， 联立11222,22,2y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可得21111441,222B B y my x y m y y -=-===， 所以点(1,2)B m -，||BC =2d ===∴B 与直线MN 相切．21. 解：（Ⅰ）当1=a 时，xe x xf -+-=)1(1)(，当1=x 时，ex f 21)(-=， 1'(1)f e=，所以所求切线方程为：131y x e e =+-．（Ⅱ）首先xe a ax a xf --++-=)1()1()('，令其为)(x g ，则xe a ax x g --+-=)12()('．1）当12≤a 即210≤≤a 时，,0)('≤x g )(x g 单调递减，即)('x f 单调递减， 0)('≤x f ，)(x f 单调递减，0)(≤x f ，所以210≤≤a 成立；2）当21>a 时，0)12()('=-+-=-xe a ax x g 解得：a x 12-=，当)12,0(a x -∈时，,0)('>x g )(x g 单调递增，即)('x f 单调递增， 0)('>x f ，)(x f 单调递增，0)(>x f ，所以21>a 不成立．综上所述：210≤≤a ． 22. 解：（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)ρθ， 则由题意可得点Q 的坐标为(,)3πρθ+，再由点Q 的横坐标等于a ，0a >， 可得cos()3a πρθ+=，可得1cos sin 2a ρθρθ-=， 故当点Q 在l 上运动时点P的直角坐标方程为20x a --=． （Ⅱ)曲线C ：222x y a +=，'2'x x y y =⎧⎨=⎩，即'2'x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，代入22''4x y a +=，即2224x y a +=， 联立点P 的轨迹方程，消去x得270y +=，0,0a >∴∆>有交点，坐标分别为2(,),(2,0)77a a a -． 23. 解：（Ⅰ）函数3,1,()21131,11,3, 1.x x f x x x x x x x --≤-⎧⎪=+--=+-<<⎨⎪+≥⎩它的图象如图所示：函数)(x f 的图象与直线1=y 的交点为(4,1)-、(0,1)， 故函数)(x f 的图象和直线1=y 围成的封闭图形的面积14362m =⨯⨯=． （Ⅱ）ab b a 62=+ ,621=+∴ab 844244)21)(2(=+≥++=++a bb a a b b a ，当且仅当a bb a 4=，可得31,32==b a 时等号成立，b a 2+∴的最小值是34此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

2018年河北省石家庄市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|y＝log2（x﹣2）}，B＝{x|﹣3＜x＜3，x∈R}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．[2，3）C．（3，+∞）D．（2，+∞）2．（5分）若复数z满足z（1﹣i）＝2i，其中i为虚数单位，则共轭复数＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（5分）已知命题p：1＜x＜3，q：3x＞1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的正三角形（直角边长之比为）围成的一个大正方形，中间部分是一个小正方形，如果在大正方形内随机取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（）A．B．C．D．29．（5分）将函数f（x）＝2sin x图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到y＝g（x）图象，若关于x的方程g（x）＝a在上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，2）C．[1，2）D．[﹣1，2）10．（5分）若函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足f（x）+2g （x）＝e x，则（）A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜g（﹣1）B．g（﹣1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜g（﹣1）＜f（﹣3）D．g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）11．（5分）已知F1，F2分别为椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的点，延长PF2交椭圆于点Q，若PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率为（）A．2B．C．D．12．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf'（x）lnx+f（x）＞0（其中f'（x）为f （x）的导函数），若a＞1＞b＞0，则下列各式成立的是（）A．a f（a）＞b f（b）＞1B．a f（a）＜b f（b）＜1C．a f（a）＜1＜b f（b）D．a f（a）＞1＞b f（b）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量与的夹角是，，，则向量与的夹角为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝6，S15＝15，则公差d＝．15．（5分）设变量x，y满足约束条件，则（x﹣1）2+y2的取值范围是．16．（5分）三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两成60°，且P A＝1，PB＝PC＝2，则该三棱锥外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a cos B+b sin A＝c．（1）求角A的大小；（2）若，△ABC的面积为，求b+c的值．18．（12分）2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．（1）完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率．附表：19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC⊥平面ABCD，PB⊥PD．（1）证明：平面P AB⊥平面PCD；（2）若PB＝PC，E为棱CD的中点，∠PEA＝90°，BC＝2，求四面体A﹣PED的体积．20．（12分）已知点，直线l：，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为H，且满足．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F作直线l'与轨迹C交于A，B两点，M为直线l上一点，且满足MA⊥MB，若△MAB的面积为，求直线l'的方程．21．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）记函数y＝f（x）的极值点为x＝x0，若f（x1）＝f（x2），且x1＜x2，求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2＝4，直线l的参数方程（t为参数），若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线C2．（1）写出曲线C2的参数方程；（2）设点，直线l与曲线C2的两个交点分别为A，B，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x+1|+|3x﹣1|，M为不等式f（x）＜6的解集．（1）求集合M；（2）若a，b∈M，求证：|ab+1|＞|a+b|．2018年河北省石家庄市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|y＝log2（x﹣2）}，B＝{x|﹣3＜x＜3，x∈R}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．[2，3）C．（3，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：A＝{x|x＞2}，且B＝{x|﹣3＜x＜3，x∈R}；∴A∩B＝（2，3）．故选：A．2．（5分）若复数z满足z（1﹣i）＝2i，其中i为虚数单位，则共轭复数＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【解答】解：由z（1﹣i）＝2i，得z＝，∴，故选：C．3．（5分）已知命题p：1＜x＜3，q：3x＞1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：q：3x＞1，可得x＞0，又命题p：1＜x＜3，∴p是q的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，故选：A．5．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，可得，①，椭圆的焦点为（±2，0），可得c＝2，即a2+b2＝8，②由①②可得a＝，b＝，则双曲线的方程为．故选：D．6．（5分）三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的正三角形（直角边长之比为）围成的一个大正方形，中间部分是一个小正方形，如果在大正方形内随机取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设每一个直角三角形的较短直角边长为1，则大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为﹣1，面积为4﹣2，则在大正方形内随机取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是P＝，故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝的值，由退出循环的条件为n＞50，故最后一次进行循环的循环变量的值：k＝n＝50，故输出的S值为，故选：B．8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（）A．B．C．D．2【解答】解：由已知可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，三棱锥的原题侧棱与底面的一个顶点垂直，其体积V＝×（×1×2）×2＝，故选：B．9．（5分）将函数f（x）＝2sin x图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到y＝g（x）图象，若关于x的方程g（x）＝a在上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，2）C．[1，2）D．[﹣1，2）【解答】解：将函数f（x）＝2sin x图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝2sin2x，然后向左平移个单位长度，得到y＝g（x）图象，z即g（x）＝2sin2（x+）＝2sin（2x+），∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x≤，∴﹣≤2x+≤，当2x+＝时，g（x）＝2sin＝2×＝1，函数的最大值为g（x）＝2，要使g（x）＝a在上有两个不相等的实根，则1≤a＜2，即实数a的取值范围是[1，2），故选：C．10．（5分）若函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足f（x）+2g （x）＝e x，则（）A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜g（﹣1）B．g（﹣1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜g（﹣1）＜f（﹣3）D．g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）【解答】解：函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足f（x）+2g（x）＝e x，可得f（﹣x）+2g（﹣x）＝e﹣x，即有f（x）﹣2g（x）＝e﹣x，解得f（x）＝（e x+e﹣x），g（x）＝（e x﹣e﹣x），可得g（﹣1）＝（﹣e）＜0，f（﹣2）＝（e﹣2+e2）＞0，f（﹣3）＝（e﹣3+e3）＞0，f（﹣2）﹣f（﹣3）＝（e﹣1）（e﹣3﹣e2）＜0，即有g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3），故选：D．11．（5分）已知F1，F2分别为椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的点，延长PF2交椭圆于点Q，若PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，可得△PQF1为等腰直角三角形，设|PF1|＝t，|QF1|＝m，由椭圆的定义可得|PF2|＝2a﹣t，|QF2|＝2a﹣m，即有t＝4a﹣t﹣m，m＝t，则t＝2（2﹣）a，在直角三角形PF1F2中，可得t2+（2a﹣t）2＝4c2，4（6﹣4）a2+（12﹣8）a2＝4c2，化为c2＝（9﹣6）a2，可得e＝＝﹣．故选：D．12．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf'（x）lnx+f（x）＞0（其中f'（x）为f （x）的导函数），若a＞1＞b＞0，则下列各式成立的是（）A．a f（a）＞b f（b）＞1B．a f（a）＜b f（b）＜1C．a f（a）＜1＜b f（b）D．a f（a）＞1＞b f（b）【解答】解：令g（x）＝f（x）lnx，x＞0，∴g′（x）＝f′（x）lnx+＝＞0恒成立，∴g（x）在（0，+∞）上单调的递增，∵a＞1＞b＞0，∴g（a）＞g（1）＞g（b），∴f（a）lna＞f（1）ln1＞f（b）lnb，∴f（a）lna＞0＞f（b）lnb，∵lna＞0，lnb＜0，∴f（a）＞0，f（b）＞0，∴a f（a）＞a0＝1，b f（b）＜b0＝1，∴a f（a）＞1＞b f（b）故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量与的夹角是，，，则向量与的夹角为．【解答】解：；∴×＝，＝；∴；∴＝；∴向量与的夹角为．故答案为：．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝6，S15＝15，则公差d＝．【解答】解：∵a6＝6，S15＝15，∴a1+5d＝6，15a1+d＝15，∴d＝﹣．故答案为：﹣．15．（5分）设变量x，y满足约束条件，则（x﹣1）2+y2的取值范围是．【解答】解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（5，﹣1）．z＝（x﹣1）2+y2可看作可行域内的点到（1，0）的距离的平方，从而有z min＝（）2＝，z max＝52+（﹣1）2＝26，∴z∈．故答案为：．16．（5分）三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两成60°，且P A＝1，PB＝PC＝2，则该三棱锥外接球的表面积为．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两成60°，且P A＝1，PB＝PC＝2，∴AB＝AC＝＝，BC＝2，∴P A2+AB2＝PB2，P A2+AC2＝PC2，∴P A⊥AB，P A⊥AC，又AB∩AC＝A，∴P A⊥平面ABC，取BC中点D，连结AD，则AD＝＝，设该三棱锥外接球的球心为O，连结OP、OA、OB，则OP＝OA＝OB＝R，过O作OE⊥平面ABC，交AD于E，过O作OF⊥AP，交AP于F，设OE＝h，AE＝x，则OF＝x，PF＝1﹣h，DE＝，∴R2＝OP2＝OA2＝OB2，∴R2＝（1﹣h）2+x2＝x2+h2＝，解得h＝，x＝，R2＝，∴该三棱锥外接球的表面积为S＝4πR2＝4＝．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a cos B+b sin A＝c．（1）求角A的大小；（2）若，△ABC的面积为，求b+c的值．【解答】解：（1）△ABC中，a cos B+b sin A＝c，由正弦定理得：sin A cos B+sin B sin A＝sin C，又sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin B sin A＝cos A sin B，又sin B≠0，∴sin A＝cos A，又A∈（0，π），∴tan A＝1，A＝；（2）由S△ABC＝bc sin A＝bc＝，解得bc＝2﹣；又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴2＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣（2+）bc，∴（b+c）2＝2+（2+）bc＝2+（2+）（2﹣）＝4，∴b+c＝2．18．（12分）2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．（1）完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率．附表：【解答】解：（1）根据已知数据得到如下列联表根据列联表中的数据，得到K2＝＝≈3.030∵3.030＞2.706所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．（2）记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C，对冰球没有兴趣的2人为m、n，则从这5人中随机抽取3人，共有（A，m，n）（B，m，n）（C，m，n）（A、B、m）（A、B、n）（B、C、m）（B、C、n）（A、C、m）（A、C、n）（A、B、C）10种情况，其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A、B、C）1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A、B、m）（A、B、n）（B、C、m）（B、C、n）（A、C、m）（A、C、n）6种，所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，因此，所求事件的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC⊥平面ABCD，PB⊥PD．（1）证明：平面P AB⊥平面PCD；（2）若PB＝PC，E为棱CD的中点，∠PEA＝90°，BC＝2，求四面体A﹣PED的体积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC．∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，则CD⊥PB．∵PB⊥PD，CD∩PD＝D，CD、PD⊂平面PCD，∴PB⊥平面PCD．∵PB⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面PCD；（2）解：取BC的中点O，连接OP、OE．∵PB⊥平面PCD，∴PB⊥PC，∴，∵PB＝PC，∴PO⊥BC．∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC，∴PO⊥平面ABCD，∵AE⊂平面ABCD，∴PO⊥AE．∵∠PEA＝90°，∴PE⊥AE．∵PO∩PE＝P，∴AE⊥平面POE，则AE⊥OE．∵∠C＝∠D＝90°，∴∠OEC＝∠EAD，∴Rt△OCE～Rt△EDA，则．∵OC＝1，AD＝2，CE＝ED，∴，∴＝．20．（12分）已知点，直线l：，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为H，且满足．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F作直线l'与轨迹C交于A，B两点，M为直线l上一点，且满足MA⊥MB，若△MAB的面积为，求直线l'的方程．【解答】解：（1）设P（x，y），则，∴，（﹣x，﹣y），+＝（﹣x，﹣2y），∵，∴x2﹣2y＝0，即轨迹C的方程为x2＝2y．（II）显然直线l′的斜率存在，设l′的方程为y＝kx+，由，消去y可得：x2﹣2kx﹣1＝0，设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），M（t，﹣），∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1，∴＝（x1﹣t，y1+），＝（x2﹣t，y2+），∵MA⊥MB，∴，即（x1﹣t）（x2﹣t）+（y1+））+（y2+）＝0，∴x1x2﹣（x1+x2）t+t2+（kx1+1）（kx2+1）＝0，∴﹣1﹣2kt+t2﹣k2+2k2+1＝0，即t2﹣2kt+k2＝0，∴t＝k，即M（k，﹣），∴|AB|＝＝2（1+k2），∴M（k，﹣）到直线l′的距离d＝＝，∴S△MAB＝|AB|d＝（1+k2）＝2，解得k＝±1，∴直线l′的方程为x+y+或x﹣y+＝0．21．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）记函数y＝f（x）的极值点为x＝x0，若f（x1）＝f（x2），且x1＜x2，求证：．【解答】解：（1），令f'（x）＝0，则x＝1，当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，则函数f（x）的增区间为（﹣∞，1），减区间为（1，+∞）．（2）由可得f'（x）＝（1﹣x）e﹣x＝0，所以y＝f（x）的极值点为x0＝1．于是，等价于2x1+x2＞e，由f（x1）＝f（x2）得且0＜x1＜1＜x2．由整理得，lnx1﹣x1＝lnx2﹣x2，即lnx1﹣lnx2＝x1﹣x2．等价于（2x1+x2）（lnx1﹣lnx2）＜e（x1﹣x2），①令，则0＜t＜1．式①整理得（2t+1）lnt＜e（t﹣1），其中0＜t＜1．设g（t）＝（2t+1）lnt﹣e（t﹣1），0＜t＜1．只需证明当0＜t＜1时，g（t）max＜0．又，设h（t）＝，则当时，h'（t）＜0，h（t）在上单调递减；当时，h'（t）＞0，h（t）在上单调递增．所以，；注意到，，g'（1）＝3﹣e＞0，所以，存在，使得g'（t1）＝g'（t2）＝0，注意到，，而，所以．于是，由g'（t）＞0可得或t2＜t＜1；由g'（t）＜0可得，g（t）在上单调递增，在上单调递减．于是，，注意到，g（1）＝0，，所以，g（t）max＜0，也即（2t+1）lnt＜e（t﹣1），其中0＜t＜1．于是，．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2＝4，直线l的参数方程（t为参数），若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线C2．（1）写出曲线C2的参数方程；（2）设点，直线l与曲线C2的两个交点分别为A，B，求的值．【解答】解：（1）∵曲线C1的方程为x2+y2＝4，直线l的参数方程（t为参数），若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线C2．∴曲线C2的直角坐标方程为，整理得，∴曲线C2的参数方程（θ为参数）．（2）将直线l的参数方程化为标准形式为（t'为参数），将参数方程代入，得，整理得．∴，，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x+1|+|3x﹣1|，M为不等式f（x）＜6的解集．（1）求集合M；（2）若a，b∈M，求证：|ab+1|＞|a+b|．【解答】解：（1）f（x）＝|3x+1|+|3x﹣1|＜6当时，f（x）＝﹣3x﹣1﹣3x+1＝﹣6x，由﹣6x＜6解得x＞﹣1，∴；当时，f（x）＝3x+1﹣3x+1＝2，2＜6恒成立，∴；当时，f（x）＝3x+1+3x﹣1＝6x由6x＜6解得x＜1，∴综上，f（x）＜6的解集M＝{x|﹣1＜x＜1}；证明：（2）（ab+1）2﹣（a+b）2＝a2b2+2ab+1﹣（a2+b2+2ab）＝a2b2﹣a2﹣b2+1＝（a2﹣1）（b2﹣1）由a，b∈M得|a|＜1，|b|＜1，∴a2﹣1＜0，b2﹣1＜0，∴（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，∴|ab+1|＞|a+b|．。

石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二） 文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}2|log (2)A x y x ==-，{}|33,B x x x R =-<<∈，则A B =（ ）A ．(2,3)B ．[2,3)C ．(3,)+∞D ．(2,)+∞2.若复数z 满足(1)2z i i -=，其中i 为虚数单位，则共轭复数z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i --D ．1i -+3.已知命题p ：13x <<，q ：31x>，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.函数2sin ()1xf x x =+的部分图像可能是（ ）5.已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）与椭圆221124x y +=有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22162x y -=D ．22126x y -=6.三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的正三角形（直角边长之比为1:一个小正方形，如果在大正方形内随机取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是（ ）A． B． C．1 D．17.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A．4849B．5051C．4951D．49508.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（）A．83B．23C．43D．29.将函数()2sinf x x=图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，然后向左平移6π个单位长度，得到()y g x=图象，若关于x的方程()g x a=在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．[]2,2-B．[2,2)-C．[1,2)D．[1,2)-10.若函数()f x，()g x分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足()2()xf xg x e+=，则（）A ．(2)(3)(1)f f g -<-<-B ．(1)(3)(2)g f f -<-<-C ．(2)(1)(3)f g f -<-<-D ．(1)(2)(3)g f f -<-<-11.已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ⊥，且1||||PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ）A．2BC1 D12.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足'()l n ()0x f x x f x +>（其中'()f x 为()f x 的导函数），若10a b >>>，则下列各式成立的是（ ）A ．()()1f a f b ab >> B ．()()1f a f b a b <<C ．()()1f a f b a b << D ．()()1f a f b a b >>第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a 与b 的夹角是3π，||1a =，1||2b =，则向量2a b -与a 的夹角为 ． 14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若66a =，1515S =，则公差d = ．15.设变量x ，y 满足约束条件4,326,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩则22(1)x y -+的取值范围是 ．16.三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两成60︒，且1PA =，2PB PC ==，则该三棱锥外接球的表面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin a B b A c +=． （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC ∆的面积为，求b c +的值．18.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．（1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣 没兴趣 合计 男55女合计（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率． 附表：20()P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.0100k2.072 2.7063.841 5.024 6.63522()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若PB PC =，E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，2BC =，求四面体A PED -的体积．20.已知点1(0,)2F ，直线l ：12y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ，且满足()0HF PH PF ⋅+=．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作直线'l 与轨迹C 交于A ，B 两点，M 为直线l 上一点，且满足MA MB ⊥，若MAB ∆的面积为'l 的方程．21.已知函数()x xf x e =.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）记函数()y f x =的极值点为0x x =，若12()()f x f x =，且12x x <，求证：0122x x x e +>请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2,x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ．（1）写出曲线2C 的参数方程；（2）设点(P -，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11||||PA PB +的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|31||31|f x x x =++-，M 为不等式()6f x <的解集. （1）求集合M ；（2）若a ，b M ∈，求证：|1|||ab a b +>+.石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）文科数学答案 一、选择题1-5:ACAAD 6-10:CBBCD 11、12：DD 二、填空题13.3π 14.52- 15.9,1713⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 16.112π 三、解答题17.解：(1)由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin in cos sin Bs A A B ∴=，sin 0sin cos B A A≠∴=(0,)4A A ππ∈∴=(2)1sin 22ABCSbc A bc ====又22222cos 2()(2a b c bc A b c bc =+-∴=+- 所以，2()4, 2.b c b c +=+=． 18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表根据列联表中的数据，得到所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．(2)记5人中对冰球有兴趣的3人为A 、B 、C ，对冰球没有兴趣的2人为m 、n ，则从这5人中随机抽取3人，共有（A ，m ，n ）（B ，m ，n ）（C ，m ，n ）（A 、B 、m ）（A 、B 、n ）（B 、C 、m ）（B 、C 、n ）（A 、C 、m ）（A 、C 、n ）（A 、B 、C ）10种情况，其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A 、B 、C ）1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A 、B 、m ）（A 、B 、n ）（B 、C 、m ）（B 、C 、n ）（A 、C 、m ）（A 、C 、n ）6种， 所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，因此，所求事件的概率710p =.19.（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC.∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD=BC ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PB.∵PB ⊥PD ，CD ∩PD=D ，CD 、PD ⊂平面PCD ，∴PB ⊥平面PCD. ∵PB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD. （Ⅱ）取BC 的中点O ，连接OP 、OE. ∵PB ⊥平面PCD ，∴PB PC ⊥，∴112OP BC ==，∵PB PC =，∴PO BC⊥．∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD=BC ，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∵AE ⊂平面ABCD,∴PO ⊥AE.∵∠PEA=90O, ∴PE ⊥AE. ∵PO ∩PE=P ，∴AE⊥平面POE ，∴AE ⊥OE.∵∠C=∠D=90O, ∴∠OEC=∠EAD, ∴Rt OCERt EDA ∆∆，∴OC CEED AD =．∵1OC =，2AD =，CE ED =，∴CE ED ==111332A PED P AED AED V V S OP AD ED OP --==⋅=⨯⋅⋅112132=⨯⨯=．20.解：（1）设(,)P x y ，则1(,)2H x -，1(,1),(0,),2HF x PH y ∴=-=-- 1(,)2PF x y =--，(,2)PH PF x y +=--，()0HF PH PF +=，220x y ∴-=，即轨迹C 的方程为22x y =.（II ）法一：显然直线l '的斜率存在，设l '的方程为12y kx =+，由2122y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去y 可得：2210x kx --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，1(,)2M t -，121221x x k x x +=⎧∴⎨⋅=-⎩， 112211(,),(,)22MA x t y MB x t y =-+=-+MA MB ⊥，0MA MB ∴=，即121211()()()()022x t x t y y --+++=2121212()(1)(1)0x x x x t t kx kx ∴-+++++=， 22212210kt t k k ∴--+-++=，即2220t kt k -+=∴2()0t k -=，t k ∴=，即1(,)2M k -，∴212|||2(1)AB x x k =-==+，∴1(,)2M k -到直线l '的距离2d ==，3221||(1)2MABS AB d k ∆==+=，解得1k =±，∴直线l '的方程为102x y +-=或102x y -+=．PCB AEDO法2：（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 的中点为()00,y x E则211121212120212222()()2()2AB x y y y x x x x y y x k x x x y ⎧=-⎪⇒-+=-⇒==⎨-=⎪⎩直线'l 的方程为012y x x =+，过点A,B 分别作1111B 于，于l BB A l AA ⊥⊥，因为,⊥MA MB E 为AB 的中点，所以在Rt AMB 中，11111||||(||||)(||||)222==+=+EM AB AF BF AA BB故EM 是直角梯形11A B BA 的中位线，可得⊥EM l ，从而01(,)2M x - 点M 到直线'l的距离为：2d ==因为E 点在直线'l 上，所以有20012y x =+，从而21200||1212(1)AB y y y x =++=+=+由2011||2(22MABSAB d x ==⨯+=01x =± 所以直线'l 的方程为12y x =+或12y x =-+． 21.解：(1)'21()()x x x xe xe xf x e e --==，令'()0f x =，则1x =， 当(,1)x ∈-∞时，'()0f x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <， 则函数()f x 的增区间为(,1)-∞，减区间为(1,)+∞.（2）由可得()()10x f x x -'=-=e ，所以()y f x =的极值点为01x =.于是，0122x x x +>e 等价于122x x +>e ,由()()12f x f x =得1212x x x x --=e e 且1201x x <<<.由1212x x x x --=e e 整理得，1122ln ln x x x x -=-，即1212ln ln x x x x -=-.等价于()()()1212122ln ln x x x x x x +-<-e ，① 令12x t x =，则01t <<.式①整理得()()21ln 1t t t +<-e ，其中01t <<.设()()()21ln 1g t t t t =+--e ,01t <<. 只需证明当01t <<时，()max 0g t <.又()12ln 2g t t t '=++-e ，设()h t =()12ln 2g t t t '=++-e，则()222121t h t t t t -'=-=当10,2t 骣÷çÎ÷ç÷ç桫时，()0h t '<，()h t 在10,2骣÷ç÷çç÷桫上单调递减；当1,12t 骣÷çÎ÷ç÷ç桫时，()0h t '>，()h t 在1,12骣÷ç÷ç÷ç桫上单调递增.所以,()min 142ln 202g t g ⎛⎫''==--< ⎪⎝⎭e ；注意到，()222212ln 220g e e e e e ---'=++-=-->e ，()130g '=->e ，所以，存在12110,,,122t t ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()120g t g t ⅱ==， 注意到，10g ⎛⎫'= ⎪⎝⎭e ，而110,e 2骣÷çÎ÷ç÷ç桫，所以11t e =. 于是，由()0g t ¢>可得10e t <<或21t t <<；由()0g t ¢<可得21e t t <<. ()g t 在()210,,,1t ⎛⎫ ⎪⎝⎭e 上单调递增，在21,t ⎛⎫⎪⎝⎭e上单调递减.于是，()(){}max 1max ,1g t g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭e ，注意到，()10g =，1220g ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭e e e ，所以，()max 0g t <，也即()()21ln 1t t t +<-e ，其中01t <<.于是，0122x x x +>e .22解：（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的23，则曲线2C 的直角坐标方程为222()43x y +=，整理得22149x y+=，∴曲线2C 的参数方程2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（2）将直线l的参数方程化为标准形式为''1222x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t '为参数），将参数方程带入22149x y +=得221(2))22149t ''--+=整理得27()183604t t ''++=. 12727PA PB t t ''+=+=，121447PA PB t t ''==，72111714427PA PB PA PB PA PB++===．23.解:（1）()31316f x x x =++-<当13x <-时，()31316f x x x x =---+=-，由66x -<解得1x >-，113x ∴-<<-；当1133x -≤≤时，()31312f x x x =+-+=，26<恒成立，1133x ∴-≤≤； 当13x >时，()31316f x x x x =++-=由66x <解得1x <，113x ∴<<综上，()6f x <的解集{}11M x x =-<<（2）()()222222121(2)ab a b a b ab a b ab +-+=++-++22221a b a b =--+22(1)(1)a b =--由,a b M ∈得1,1a b <<2210,10a b ∴-<-<22(1)(1)0a b ∴--> 1ab a b∴+>+.。

2017年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二)高三数学（文科答案） 一、 选择题：1-5CCDCA 6-10DACCB 11-12DC 二、 填空题:13. 6 14. - 15． 9(2,2015)_______ 三、解答题：（解答题按步骤给分，本答案只给出一或两种答案，学生除标准答案的其他解法，参照标准酌情设定,且只给整数分） 17.解：(1)由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,C A B B A --= ……………………………………2分2sin cos sin()0,sin (2cos 1)0C B A B C B ∴-+=∴-=…………4分1sin 0,cos ,23C B B π≠∴=∴=……………………………………6分(2)22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--…………………………8分7,13,3b ac B π=+== 40ac ∴=………………………………10分1sin 2S ac B ∴==12分18. 解：（Ⅰ）由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有103010060%n ++=⨯，20n =；…………………………………2分()1002030201020m =-+++=.……………………3分该商场每日应准备纪念品的数量大约为6050003000100⨯=.………………5分 （II ）设购物款为a 元当[50,100)a ∈时，顾客有500020%=1000⨯人， 当[100,150)a ∈时，顾客有500030%=1500⨯人， 当[150,200)a ∈时，顾客有500020%=1000⨯人，当[200,)a ∈+∞时，顾客有500010%=500⨯人，…………………………7分 所以估计日均让利为756%1000+1258%150017510%100030500⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯…………10分52000=元……………12分19. 解：（1）取AB 中点Q ，连接MQ 、NQ ，∵AN=BN ∴AB NQ ⊥， ……………2分 ∵⊥PA 面ABC ，∴AB PA ⊥，又PA MQ ∥ ∴AB MQ ⊥，………………4分 所以AB ⊥平面MNQ ，又MN ⊂平面MNQ ∴AB ⊥MN ………………6分（2）设点P 到平面NMA 的距离为h ， ∵M 为PB 的中点，∴PAM △S =4121PAB =△S 又AB NQ ⊥，PA NQ ⊥，∴B PA NQ 面⊥， ∵︒=∠30AB C ∴63=NQ ……………………………7分 又3322=+=MQ NQ MN ，33=AN ，22=AM ， (9)分可得△NMA 边AM 上的高为1230， ∴241512302221=⋅⋅=NMA S △………………10分 由PAM N NMA P V V --= 得 =⋅⋅h S NMA △31NQ S PAM ⋅⋅△31 ∴55=h ……………………12分 20．解：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为(,)C x y ，根据题意得=，……………………2分化简得24x y =. …………4分（Ⅱ）解法一：设直线PQ 的方程为y kx b =+，由24x y y kx bìï=ïíï=+ïî消去y 得2440x kx b --= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x k x x bì+=ïïíï=-ïî，且21616k b D =+……………6分以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即2111124y x x x =- 同理过点Q 的切线的方程为2221124y x x x =- 设两条切线的交点为(,)A A A x y 在直线20x y --=上，12x x ¹Q ，解得1212224A A x x x k x x y b ì+ïï==ïïïíïï==-ïïïî，即(2,)A k b - 则：220k b +-=，即22b k =-……………………………………8分 代入222161616323216(1)160k b k k k D =+=+-=-+>12||||PQ x x \=-=(2,)A k b -到直线PQ的距离为2d =…………………………10分32221||4||4()2APQS PQ d k b k b D \=?+=+3322224(22)4[(1)1]k k k =-+=-+\当1k =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). …………12分解法二：设00(,)A x y 在直线20x y --=上，点1122(,),(,)P x y Q x y 在抛物线24x y =上，则以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即1112y x x y =- 同理以点Q 为切点的方程为2212y x x y =-…………………………6分 设两条切线的均过点00(,)A x y ，则010101011212y x x y y x x y ìïï=-ïïíïï=-ïïïî，\点,P Q 的坐标均满足方程0012y xx y =-，即直线PQ 的方程为：0012y x x y =-……………8分 代入抛物线方程24x y =消去y 可得：200240x x x y -+=12|||PQ x x \=-=00(,)A x y 到直线PQ的距离为2001|2|x y d -=………………10分32220000111|||4|(4)222APQS PQ d x y x y D \=?-=-33222200011(48)[(2)4]22x x x =-+=-+ \当02x =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0).…………12分21.解：（Ⅰ）依题意1(),f x a x '=+1()202f a '=+=，则2,a =-………………2分经检验，2a =-满足题意.…………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()ln 22,f x x x =-+则2()ln ,F x x x x λ=--2121'()21x x F x x x xλλ--=---=.………………………6分令2()21t x x x λ=--。

2017年河北省石家庄市高考数学二模试卷（文科）一、选择题本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设U=R，A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩∁U B=（）A．{1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．在复平面中，复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．“x＞1”是“x2+2x＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若sin（π﹣α）=，且≤α≤π，则cosα=（）A．B．﹣C．﹣D．5．执行如图的程序框图，则输出K的值为（）A．98 B．99 C．100 D．1016．李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．16 B．20 C．52 D．608．已知函数f（x）=sin（2x+）+cos2x，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．[，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，] 9．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（）A．6 B．5 C．D．10．若x，y满足约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣D．11．已知函数f（x）=，若f（﹣a）+f（a）≤2f（1），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B．[﹣1，0]C．[0，1]D．[﹣1，1]12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF2、BF2分别交y轴于P、Q两点，若△PQF2的周长为12，则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．设样本数据x1，x2，…，x2017的方差是4，若y i=2x i﹣1（i=1，2，…，2017），则y1，y2，…y2017的方差为．14．等比数列{a n}中，若a1=﹣2，a5=﹣4，则a3=．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a=，b=2，B=45°，tanA•tanC ＞1，则角C的大小为．16．非零向量，的夹角为，且满足||=λ||（λ＞0），向量组，，由一个和两个排列而成，向量组，，由两个和一个排列而成，若•+•+•所有可能值中的最小值为42，则λ=．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣4，S m=0，S m+2=14（m≥2，且m∈N*）（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若数列{b n}满足=log2b n（n∈N+），求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE=，BC=，点F在平面ABED内的正投影为G，且G在AE上，FG=，点M在线段CF上，且CM=CF．（1）证明：直线GM∥平面DEF；（2）求三棱锥M﹣DEF的体积．19．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：（Ⅰ）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商店内有六辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两辆车中恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值．20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，且长轴长为8，T为椭圆上一点，直线TA、TB的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，过点M（0，2）的动直线与椭圆C交于P、Q两点，求•+•的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=mlnx，g（x）=（x＞0）．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）•g（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数F（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上的单调性．四、请考生在22-23两题中，任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a ＞0，β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程ρcos（θ﹣）=．（Ⅰ）若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；（Ⅱ）A，B为曲线C上的两点，且∠AOB=，求△OAB的面积最大值．23．设函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m．（Ⅰ）作出函数f（x）的图象；（Ⅱ）若a2+2c2+3b2=m，求ab+2bc的最大值．2017年河北省石家庄市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设U=R，A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩∁U B=（）A．{1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0，1}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，写出∁U B与A∩∁U B即可．【解答】解：因为全集U=R，集合B={x|x≥1}，所以∁U B={x|x＜1}=（﹣∞，1），且集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，所以A∩∁U B={﹣2，﹣1，0}故选：C【点评】本题考查了集合的定义与计算问题，是基础题目．2．在复平面中，复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数对应的点的坐标得答案．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（），在第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．“x＞1”是“x2+2x＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别讨论能否由x＞1推出x2+2x＞0，能否由x2+2x＞0推出x＞1，即可得到正确答案．【解答】解：当x＞1时，x2+2x＞0成立，所以充分条件成立当x2+2x＞0时，x＜﹣1或x＞0，所以必要条件不成立故选A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判定，间接考查一元二次不等式的解法，属简单题．4．若sin（π﹣α）=，且≤α≤π，则cosα=（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据三角函数在各个象限中的符号，利用同角三角函数的基本关系，求得cosα的值．【解答】解：∵sin（π﹣α）=sinα=，且≤α≤π，则cosα=﹣=﹣，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．5．执行如图的程序框图，则输出K的值为（）A．98 B．99 C．100 D．101【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的K，S的值，观察规律，可得当K=99，S=2，满足条件S≥2，退出循环，输出K的值为99，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得K=1，S=0S=lg2不满足条件S≥2，执行循环体，K=2，S=lg2+lg=lg3不满足条件S≥2，执行循环体，K=3，S=lg3+lg=lg4…观察规律，可得：不满足条件S≥2，执行循环体，K=99，S=lg99+lg=lg100=2满足条件S≥2，退出循环，输出K的值为99．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．6．李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即方田面积减去水池面积为13.75亩，方田的四边到水池的最近距离均为二十步，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．从而建立关系求解即可．【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．方田面积减去水池面积为13.75亩，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圆池直径20步那么：方田边长为40步+20步=60步．故选B．【点评】本题考查了对题意的理解和关系式的建立．读懂题意是关键，属于基础题．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．16 B．20 C．52 D．60【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，根据图中数据，计算体积即可．【解答】解：由题意，几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如图体积为=20；故选B．【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体，利用三视图的数据求体积．8．已知函数f（x）=sin（2x+）+cos2x，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．[，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】利用两角和与差和辅助角公式化简，结合三角函数的图象及性质求解即可．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）+cos2x，化简可得：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），由（k∈Z）．解得：≤x≤（k∈Z）．则f（x）的单调递减区间为[，]（k∈Z）∴f（x）的一个单调递减区间为[，]．故选：A．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．9．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（）A．6 B．5 C．D．【考点】L3：棱锥的结构特征．【分析】由球的球心在四棱锥P﹣的高上，把空间问题平面化，作出过正四棱锥的高作组合体的轴截面，利用平面几何知识即可求出高．【解答】解：由题意，四棱锥P﹣ABCD是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PH上；过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图所示：其中PE，PF是斜高，A为球面与侧面的切点，设PH=h，由几何体可知，RT△PAO∽RT△PHF，∴=，即=，解得h=．故选：D．【点评】本题主要考查了球内切多面体、几何体的结构特征，把空间问题平面化，是解题的关键．10．若x，y满足约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由z=的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率，结合直线与圆的位置关系求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，z=的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．设过P的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x+3），即kx﹣y+3k+2=0．由，解得k=0或k=﹣．∴z=的最小值为﹣．故选；C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．11．已知函数f（x）=，若f（﹣a）+f（a）≤2f（1），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B．[﹣1，0]C．[0，1]D．[﹣1，1]【考点】5B：分段函数的应用．【分析】判断f（x）为偶函数，运用导数判断f（x）在[0，+∞）的单调性，则f（﹣a）+f（a）≤2f（1）转化为|a|≤1，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：函数f（x）=，将x换为﹣x，函数值不变，即有f（x）图象关于y轴对称，即f（x）为偶函数，有f（﹣x）=f（x），当x≥0时，f（x）=xln（1+x）+x2的导数为f′（x）=ln（1+x）++2x≥0，则f（x）在[0，+∞）递增，f（﹣a）+f（a）≤2f（1），即为2f（a）≤2f（1），可得f（|a|））≤f（1），可得|a|≤1，解得﹣1≤a≤1．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用：解不等式，注意运用导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF2、BF2分别交y轴于P、Q两点，若△PQF2的周长为12，则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意，△ABF2的周长为24，利用双曲线的定义，可得=24﹣4a，进而转化，利用导数的方法，即可得出结论．【解答】解：由题意，△ABF2的周长为24，∵|AF2|+|BF2|+|AB|=24，∵|AF2|+|BF2|﹣|AB|=4a，|AB|=，∴=24﹣4a，∴b2=a（6﹣a），∴y=a2b2=a3（6﹣a），∴y′=2a2（9﹣2a），0＜a＜4.5，y′＞0，a＞4.5，y′＜0，∴a=4.5时，y=a2b2取得最大值，此时ab取得最大值，b=，∴c=3，∴e==，故选：D．【点评】本题考查双曲线的定义，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．设样本数据x1，x2，…，x2017的方差是4，若y i=2x i﹣1（i=1，2，…，2017），则y1，y2，…y2017的方差为16．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】根据题意，设数据x1，x2，…，x2017的平均数为，由方差公式可得=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]=4，进而对于数据y i=2x i ﹣1，可以求出其平均数，进而由方差公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设样本数据x1，x2，…，x2017的平均数为，又由其方差为4，则有= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]=4，对于数据y i=2x i﹣1（i=1，2，…，2017），其平均数=（y1+y2+…+y2017）=[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）+…+（2x2017﹣1）]=2﹣1，其方差= [（y1﹣）2+（y2﹣）2+（y3﹣）2+…+（y2017﹣）2]= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]=16，故答案为：16．【点评】本题考查数据的方差计算，关键是掌握方差的计算公式．14．等比数列{a n}中，若a1=﹣2，a5=﹣4，则a3=．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由题意，{a n}是等比数列，a1=﹣2，设出公比q，表示出a5=﹣4，建立关系，求q，可得a3的值【解答】解：由题意，{a n}是等比数列，a1=﹣2，设公比为q，∵a5=﹣4，即﹣2×q4=﹣4，可得：q4=2，则那么a3=故答案为．【点评】本题考查等比数列的第3项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a=，b=2，B=45°，tanA•tanC ＞1，则角C的大小为75°．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用正弦定理求得sinA的值，可得A的值，再利用三角形内角和公式求得C的值．【解答】解：△ABC中，∵a=，b=2，B=45°，tanA•tanC＞1，∴A、C都是锐角，由正弦定理可得==，∴sinA=，∴A=60°．故C=180°﹣A﹣B=75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查正弦定理，三角形内角和公式，属于基础题．16．非零向量，的夹角为，且满足||=λ||（λ＞0），向量组，，由一个和两个排列而成，向量组，，由两个和一个排列而成，若•+•+•所有可能值中的最小值为42，则λ=．【考点】9R：平面向量数量积的运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】列出向量组的所有排列，计算所有可能的值，根据最小值列出不等式组解出．【解答】解：=||×λ||×cos=2，=λ22，向量组，，共有3种情况，即（，，），（），（），向量组，，共有3种情况，即（），（），（，），∴•+•+•所有可能值有2种情况，即++=（λ2+λ+1），3=，∵•+•+•所有可能值中的最小值为42，∴或．解得λ=．故答案为．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•晋中一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣4，S m=0，S m+2=14（m≥2，且m∈N*）（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若数列{b n}满足=log2b n（n∈N+），求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（I）计算a m，a m+1+a m+2，利用等差数列的性质计算公差d，再代入求和公式计算m；（II）求出a n，b n，得出数列{（a n+6）•b n}的通项公式，利用错位相减法计算．【解答】解：（Ⅰ）∵S m﹣1=﹣4，S m=0，S m+2=14，∴a m=S m﹣S m﹣1=4，a m+1+a m+2=S m+2﹣S m=14，设数列{a n}的公差为d，则2a m+3d=14，∴d=2．∵S m=×m=0，∴a1=﹣a m=﹣4，∴a m=﹣4+2（m﹣1）=4，解得m=5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=﹣4+2（n﹣1）=2n﹣6，∴n﹣3=log2b n，即b n=2n﹣3．∴（a n+6）•b n=2n•2n﹣3=n•2n﹣2．设数列{（a n+6）•b n}的前n项和为T n，∴T n=1×+2×1+3×2+…+…n•2n﹣2，①∴2T n=1×1+2×2+3×22+…+n•2n﹣1，②①﹣②，得﹣T n=+1+2+…+2n﹣2﹣n•2n﹣1=﹣n•2n﹣1=（1﹣n）•2n﹣1﹣．∴T n=（n﹣1）•2n﹣1+．【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，数列求和，属于中档题．18．（12分）（2017•晋中一模）如图，三棱柱ABC﹣DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE=，BC=，点F在平面ABED内的正投影为G，且G在AE上，FG=，点M在线段CF上，且CM=CF．（1）证明：直线GM∥平面DEF；（2）求三棱锥M﹣DEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）由已知可得AE=2，求解直角三角形可得EG=，则AG：HG=1：3，过G作SH∥AD，交AB于S，交DE于H，则SG：GH=1：3，再由已知可得CM：MF=1：3，得到MG∥FH，由线面平行的判定可得直线GM∥平面DEF；（2）设过MG且平行于平面DEF的平面交三棱柱于MNK，得三棱柱DEF﹣MNK，，由等积法求得三棱锥M﹣DEF的体积．可得=V M﹣NEK【解答】（1）证明：如图，∵面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE=，∴△ABE为正三角形，且AE=2，∵FG⊥GE，FG=，EF=BC=，∴EG=，则AG：HG=1：3，过G作SH∥AD，交AB于S，交DE于H，则SG：GH=1：3，连接CS、FH，∵CM=CF，∴CM：MF=1：3，∴MG∥FH，又FH⊂平面DEF，MG⊄平面DEF，∴直线GM∥平面DEF；（2）解：设过MG且平行于平面DEF的平面交三棱柱于MNK，得三棱柱DEF﹣MNK，可得=V M，﹣NEK∵NK=2，NE=，∴．则．【点评】本题考查线面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19．（12分）（2017•晋中一模）交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：（Ⅰ）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商店内有六辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两辆车中恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】解：（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式，能求出一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的概率．（Ⅱ）①由统计数据可知，该销售商店内的六辆该品牌车龄已满三年的二手车有两辆事故车，设为b1，b2，四辆非事故车设为a1，a2，a3，a4．利用列举法求出从六辆车中随机挑选两辆车的基本事件总和其中两辆车恰好有一辆事故车包含的基本事件个数，由此能求出该顾客在店内随机挑选的两辆车恰好有一辆事故车的概率．②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，由此能求出一辆车盈利的平均值．【解答】解：（Ⅰ）一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为p=．…（4分）（Ⅱ）①由统计数据可知，该销售商店内的六辆该品牌车龄已满三年的二手车有两辆事故车，设为b1，b2，四辆非事故车设为a1，a2，a3，a4．从六辆车中随机挑选两辆车共有（b1，b2），（b1，a1），（b1，a2），（b1，a3），（b1，a4），（b2，a1），（b2，a2），（b2，a3），（b2，a4），（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4），总共15种情况．…（6分）其中两辆车恰好有一辆事故车共有（b1，a1），（b1，a2），（b1，a3），（b1，a4），（b2，a1），（b2，a2），（b2，a3），（b2，a4），总共8种情况．所以该顾客在店内随机挑选的两辆车恰好有一辆事故车的概率为p=．…（8分）②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，…（10分）所以一辆车盈利的平均值为 [（﹣5000）×40+10000×80]=5000元．…（12分）【点评】本题考查概率的求法及应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式、列举法的合理运用．20．（12分）（2017•晋中一模）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，且长轴长为8，T为椭圆上一点，直线TA、TB的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，过点M（0，2）的动直线与椭圆C交于P、Q两点，求•+•的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）求得直线TA，TB的斜率，由•=﹣，即可求得椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线PQ方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标，求函数的单调性，即可求得•+•的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设T（x，y），则直线TA的斜率为k1=，直线TB的斜率为k2=，．…（2分）于是由k1k2=﹣，得•=﹣，整理得；…（4分）（Ⅱ）当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+2，点P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线PQ与椭圆方程联立，得（4k2+3）x2+16kx﹣32=0．所以，x1+x2=﹣，x1x2=﹣．…（6分）从而•+•=x1x2+y1y2+[x1x2+（y1﹣2）（y2﹣2）]，=2（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4==﹣20+．…（8分）﹣20＜•+•≤﹣，…（10分）当直线PQ斜率不存在时•+•的值为﹣20，综上所述•+•的取值范围为[﹣20，﹣]．…（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量数量积的坐标运算，函数单调性及最值与椭圆的综合应用，属于中档题．21．（12分）（2017•晋中一模）已知函数f（x）=mlnx，g（x）=（x＞0）．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）•g（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数F（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上的单调性．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）利用导数的运算法则可得切线的斜率，利用点斜式即可得出．（Ⅱ）f′（x）=，g′（x）=，F′（x）=f′（x）﹣g′（x）=﹣=，对m分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）当m=1时，曲线y=f（x）g（x）=．y′==，…（2分）x=1时，切线的斜率为，又切线过点（1，0）．所以切线方程为y=（x﹣1），化为：x﹣2y﹣1=0．…（4分）（Ⅱ）f′（x）=，g′（x）=，F′（x）=f′（x）﹣g′（x）=﹣=，当m≤0时，F′（x）＜0，函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；…（6分）当m＞0时，令k（x）=mx2+（2m﹣1）x+m，△=（2m﹣1）2﹣4m2=1﹣4m，当△≤0时，即m≥，k（x）≥0，此时F′（x）≥0，函数F（x）在（0，+∞）上单调递增；…（8分）当△＞0时，即，方程mx2+（2m﹣1）x+m=0有两个不等实根x1＜x2，（x1=，x2=）．∴x1+x2==﹣2＞2，x1•x2=1，…（10分）所以0＜x1＜1＜x2，此时，函数F（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增；在（x1，x2）上单调递减综上所述，当m≤0时，F（x）的单减区间是（0，+∞）；当时，F（x）的单减区间是（x1，x2），单增区间是（0，x1），（x2，+∞）上单调递增；当时，F（x）单增区间是（0，+∞）．…（12分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、切线的斜率、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．四、请考生在22-23两题中，任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）（2017•晋中一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a＞0，β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程ρcos（θ﹣）=．（Ⅰ）若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；（Ⅱ）A，B为曲线C上的两点，且∠AOB=，求△OAB的面积最大值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）根据sin2β+cos2β=1消去β为参数可得曲线C的普通方程，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，直线l的极坐标方程化为普通方程，曲线C与l只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，可得a的值．（Ⅱ）利用极坐标方程的几何意义求解即可．【解答】（Ⅰ）曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；直线l的直角坐标方程为由直线l与圆C只有一个公共点，则可得解得：a=﹣3（舍）或a=1所以：a=1．（Ⅱ）由题意，曲线C的极坐标方程为ρ=2acosθ（a＞0）设A的极角为θ，B的极角为则：==∵cos=所以当时，取得最大值∴△OAB的面积最大值为．解法二：因为曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆，且由正弦定理得：，所以|AB=由余弦定理得：|AB2=3a2=|0A|2+|OB|2﹣|OA||OB|≥|OA||OB|则：≤×=．∴△OAB的面积最大值为．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，属于中档题23．（2017•石家庄二模）设函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m．（Ⅰ）作出函数f（x）的图象；（Ⅱ）若a2+2c2+3b2=m，求ab+2bc的最大值．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）利用分段函数，化简函数的解析式，从而作函数的图象，结合图象，求得函数的最大值m．（Ⅱ）由题意可得a2+2c2+3b2=m==（a2+b2）+2（c2+b2），利用基本不等式求它的最值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|=，画出图象如图，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=﹣时，函数f （x ）取得最大值为m=．∵a 2+2c 2+3b 2=m==（a 2+b 2）+2（c 2+b 2）≥2ab +4bc ，∴ab +2bc ≤，当且仅当a=b=c=1时，取等号，故ab +2bc 的最大值为．【点评】本题主要考查分段函数的应用，作函数的图象，利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．。