人教版 九年级数学上册 24.1 圆的有关性质(含答案)

24．1圆的有关性质24．1.1圆1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O__旋转一周___，__另一个端点A___所形成的图形叫做圆．这个固定的端点O叫做__圆心___，线段OA叫做__半径___．2．连接圆上任意两点间的线段叫做__弦___．圆上任意两点间的部分叫做__弧___．直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦．3．在同圆或等圆中，能够__互相重合___的弧叫等弧．4．确定一个圆有两个要素，一是__圆心___，二是__半径___，圆心确定__位置___，半径确定__大小___．知识点1：圆的有关概念1．以已知点O为圆心，已知长为a的线段为半径作圆，可以作( A)A．1个B．2个C．3个D．无数个2．下列命题中正确的有( A)①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，图中弦的条数为( B)A．1条B．2条C．3条D．4条4．过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为( A)A．1条B．2条C．3条D．无数条5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，则A，B，C，D四个点是否在同一个圆上？若在，说出圆心的位置，并画出这个圆．解：在，圆心是线段BD的中点．图略知识点2：圆中的半径相等6．如图，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为( C)A．38°B．52°C．76°D．104°,第6题图),第7题图) 7．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD＝( D)A．45°B．60°C．90°D．30°8．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.解：由ASA证△BEO≌△CFO，∴OE＝OF，又∵OC＝OB，∴OC＋OE＝OB＋OF，即CE＝BF9．如图，点A，B和点C，D分别在两个同心圆上，且∠AOB＝∠COD.求证：∠C＝∠D.解：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＋∠AOC＝∠COD＋∠AOC，即∠AOD＝∠BOC，又OA＝OB，OC＝OD，∴△AOD≌△BOC，∴∠C＝∠D10．M，N是⊙O上的两点，已知OM＝3 cm，那么一定有( D)A．MN＞6 cm B．MN＝6 cmC．MN＜6 cm D．MN≤6 cm11．如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形．设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是( B)A．a＞b＞c B．a＝b＝cC．c＞a＞b D．b＞c＞a12．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为( C)A．50°B．60°C．70°D．80°,第12题图),第13题图) 13．如图是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是( D)14．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为__3或4___．15．如图，AB，CD为圆O的两条直径，E，F分别为OA，OB的中点．求证：四边形CEDF为平行四边形．解：∵AO＝BO，E，F分别是AO和BO的中点，∴EO＝FO，又CO＝DO，∴四边形CEDF为平行四边形16．如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．解：OE＝OF.证明：连接OA，OB.∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB，∴∠OBA ＝∠OAB.又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS)，∴OE＝OF17．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E点，已知AB ＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．解：连接OD.∵AB为⊙O的直径，OC，OD为半径，AB＝2DE，∴OC＝OD＝DE，∴∠DOE＝∠E，∠OCE＝∠ODC.又∠ODC＝∠DOE＋∠E，∴∠OCE＝∠ODC＝2∠E.∵∠E ＝18°，∴∠OCE＝36°，∴∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°18．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是内接正方形．(1)求证：OC＝OF；(2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF上．若正方形CDEF的边长为2，求正方形FGHK的面积．解：(1)连接OD，OE，则OD＝OE，又∠OCD＝∠OFE＝90°，CD＝EF，∴Rt△ODC ≌Rt△OEF(HL)，∴OC＝OF(2)连接OH，∵CF＝EF＝2，∴OF＝1，∴OH2＝OE2＝12＋22＝5.设FG＝GH＝x，则(x＋1)2＋x2＝5，∴x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2(舍去)，∴S ＝12＝1正方形FGHK24．1.2 垂直于弦的直径1．圆是__轴对称___图形，任何一条__直径___所在的直线都是它的对称轴．2．(1)垂径定理：垂直于弦的直径__平分___弦，并且__平分___弦所对的两条弧； (2)推论：平分弦(非直径)的直径__垂直___于弦并且__平分___弦所对的两条弧．3．在圆中，弦长a ，半径R ，弦心距d ，它们之间的关系是__(12a)2＋d 2＝R 2___．知识点1：认识垂径定理 1．(2014·毕节)如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是( B ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3,第1题图),第3题图),第4题图)2．CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，则BE 的长是( C )A ．8B ．2C ．2或8D ．3或73．(2014·北京)如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A ＝22.5°，OC ＝4，则CD 的长为( C )A ．2 2B ．4C ．4 2D ．8 4．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点M ，AM ＝18，BM ＝8，则CD 的长为__24___． 知识点2：垂径定理的推论5．如图，一条公路弯道处是一段圆弧(图中的弧AB)，点O 是这条弧所在圆的圆心，点C 是AB ︵的中点，半径OC 与AB 相交于点D ，AB ＝120 m ，CD ＝20 m ，则这段弯道的半径是( C )A ．200 mB ．200 3 mC ．100 mD ．100 3 m,第5题图) ,第6题图)6．如图，在⊙O 中，弦AB ，AC 互相垂直，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则四边形OEAD 为( C )A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．梯形 知识点3：垂径定理的应用7．如图是一个圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面AB 宽为8 cm ，水的最大深度为2 cm ，则输水管的半径为( C )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm,第7题图) ,第8题图)8．古题今解：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE ＝1寸，CD ＝10寸，则直径AB 的长为__26___寸．9．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB 宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？解：连接OA.∵CD ⊥AB ，且CD 过圆心O ，∴AD ＝12AB ＝1米，∠CDA ＝90°.在Rt△OAD 中，设⊙O 的半径为R ，则OA ＝OC ＝R ，OD ＝5－R.由勾股定理，得OA 2＝AD 2＋OD 2，即R 2＝(5－R)2＋12，解得R ＝2.6，故圆拱形门所在圆的半径为2.6米10．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是( C )A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.5,第10题图) ,第11题图)11．(2014·黄冈)如图，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB 于点E ，若∠BAD ＝30°，且BE ＝2，则CD ＝．12．已知点P 是半径为5的⊙O 内一点，OP ＝3，则过点P 的所有弦中，最长的弦长为__10___；最短的弦长为__8___．13．如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为(4，2)，点A 的坐标为(2，0)，则点B 的坐标为__(6，0)___．,第13题图) ,第14题图)14．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为__4___．15．如图，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工人师傅求出AB ︵所在⊙O 的半径r.解：由题意知OA ＝OE ＝r ，∵EF ＝1，∴OF ＝r －1.∵OE ⊥AB ，∴AF ＝12AB ＝12×3＝1.5.在Rt △OAF 中，OF 2＋AF 2＝OA 2，即(r －1)2＋1.52＝r 2，解得r ＝138，即圆O 的半径为138米16．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法找出BAC ︵所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC 是等腰三角形，底边BC ＝8 cm ，腰AB ＝5 cm ，求圆片的半径R.解：(1)分别作AB ，AC 的垂直平分线，其交点O 为所求圆的圆心，图略 (2)连接AO交BC 于E.∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，BE ＝12BC ＝4.在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3.连接OB ，在Rt △BEO 中，OB 2＝BE 2＋OE 2，即R 2＝42＋(R －3)2，解得R ＝256，即所求圆片的半径为256cm17．已知⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ，则AB ，CD 之间的距离为( D )A ．17 cmB ．7 cmC ．12 cmD ．17 cm 或7 cm18．如图，CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点F ，AO ⊥BC ，垂足为E ，BC ＝2 3. (1)求AB 的长； (2)求⊙O 的半径．解：(1)连接AC ，∵CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴AF ＝BF ，∴AC ＝BC.延长AO 交⊙O 于G ，则AG 为⊙O 的直径，又AO ⊥BC ，∴BE ＝CE ，∴AC ＝AB ，∴AB ＝BC ＝23 (2)由(1)知AB ＝BC ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠OAF ＝30°，在Rt △OAF 中，AF ＝3，可求OA ＝2，即⊙O 的半径为224．1.3 弧、弦、圆心角1．圆既是轴对称图形，又是__中心___对称图形，__圆心___就是它的对称中心． 2．顶点在__圆心___的角叫圆心角．3．在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的__弧___相等，且所对的弦也__相等___． 4．在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦中，有一组量是相等的，则它们所对应的其余各组量也分别__相等___．知识点1：认识圆心角1．如图，不是⊙O 的圆心角的是( D ) A ．∠AOB B ．∠AOD C ．∠BOD D ．∠ACD,第1题图) ,第3题图)2．已知圆O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为5 cm ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝__60°___．3．(2014·菏泽)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ︵的度数为__50°___．知识点2：弧、弦、圆心角之间的关系4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵上的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 是( C )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°,第4题图) ,第5题图)5．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( D ) ①AB ︵＝CD ︵； ②BD ︵＝AC ︵；③AC ＝BD ； ④∠BOD ＝∠AOC. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 的度数为( C )A ．100°B ．110°C ．120°D ．135°,第6题图) ,第7题图)7．如图，在同圆中，若∠AOB ＝2∠COD ，则AB ︵与2CD ︵的大小关系为( C ) A .AB ︵＞2CD ︵ B .AB ︵＜2CD ︵ C .AB ︵＝2CD ︵D ．不能确定8．如图，已知D ，E 分别为半径OA ，OB 的中点，C 为AB ︵的中点．试问CD 与CE 是否相等？说明你的理由．解：相等．理由：连接OC.∵D ，E 分别为⊙O 半径OA ，OB 的中点，∴OD ＝12AO ，OE ＝12BO.∵OA ＝OB ，∴OD ＝OE.∵C 是AB ︵的中点，∴AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC ＝∠BOC.又∵OC＝OC ，∴△DCO ≌△ECO(SAS )，∴CD ＝CE9．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝__40°___．,第9题图) ,第10题图)10．如图，AB 是半圆O 的直径，E 是OA 的中点，F 是OB 的中点，ME ⊥AB 于点E ，NF ⊥AB 于点F.在下列结论中：①AM ︵＝MN ︵＝BN ︵；②ME ＝NF ；③AE ＝BF ；④ME ＝2AE.正确的有__①②③___．11．如图，A ，B ，C ，D 在⊙O 上，且AB ︵＝2CD ︵，那么( C )A ．AB ＞2CD B ．AB ＝2CDC ．AB ＜2CDD ．AB 与2CD 大小不能确定12．如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，且AC ＝BD ，求证：AB ＝CD.解：∵AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵，∴AB ︵＝CD ︵，∴AB ＝CD13．如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD ，BC 于E ，F ，延长BA 交⊙A 于G ，求证：GE ︵＝EF ︵.解：连接AF ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠GAE ＝∠B ，∠EAF＝∠AFB.又∵AB ＝AF ，∴∠B ＝∠AFB ，∴∠GAE ＝∠EAF ，∴GE ︵＝EF ︵14．如图，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD.解：(1)△AOC 是等边三角形．理由：∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°.又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形(2)∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°，∴∠BOD ＝180°－(∠AOC ＋∠COD)＝60°.∵OD ＝OB ，∴△ODB 为等边三角形，∴∠ODB ＝60°，∴∠ODB ＝∠COD ＝60°，∴OC ∥BD15．如图，在△AOB 中，AO ＝AB ，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于D ，交AO 于点E ，AD ＝BO.试说明BD ︵＝DE ︵，并求∠A 的度数．解：设∠A ＝x °.∵AD ＝BO ，又OB ＝OD ，∴OD ＝AD ，∴∠AOD ＝∠A ＝x °，∴∠ABO ＝∠ODB ＝∠AOD ＋∠A ＝2x °.∵AO ＝AB ，∴∠AOB ＝∠ABO ＝2x °，从而∠BOD＝2x °－x °＝x °，即∠BOD ＝∠AOD ，∴BD ︵＝DE ︵.由三角形的内角和为180°，得2x ＋2x ＋x ＝180，∴x ＝36，则∠A ＝36°16．如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝2，点A 在⊙O 上，AN ︵的度数为60°，点B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上的一个动点，求PA ＋PB 的最小值．解：作点B 关于MN 的对称点B′.因为圆是轴对称图形，所以点B′在圆上．连接AB′，与MN 的交点为P 点，此时PA ＋PB 最短，ABB ′⌒所对的圆心角为90°，连接OB′，则∠AOB′＝90°，∴AB ′＝AO 2＋OB′2＝2，∴PA ＋PB ＝AB ′＝2，即PA ＋PB 的最小值为224．1.4 圆周角1．顶点在__圆___上，并且两边和圆__相交___的角叫圆周角．2．在同圆或等圆中，__同弧___或__等弧___所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角___的一半．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧__相等___．3．半圆或直径所对的圆周角是__直角___，90°的圆周角所对的弦是__直径___． 4．圆内接四边形对角__互补___，外角等于__内对角___.知识点1：认识圆周角1．下列图形中的角是圆周角的是( B )2．在⊙O 中，A ，B 是圆上任意两点，则AB ︵所对的圆心角有__1___个，AB ︵所对的圆周角有__无数___个，弦AB 所对的圆心角有__1___个，弦AB 所对的圆周角有__无数___个．知识点2：圆周角定理3．如图，已知点A ，B ，C 在⊙O 上，ACB ︵为优弧，下列选项中与∠AOB 相等的是( A ) A ．2∠C B ．4∠B C ．4∠A D ．∠B ＋∠C,第3题图) ,第4题图)4．(2014·重庆)如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠ABC ＋∠AOC ＝90°，则∠AOC 的大小是( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．70°知识点3：圆周角定理推论5．如图，已知AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A ＝35°，则∠B 的度数是( C ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°,第5题图),第6题图),第7题图)6．如图，CD ⊥AB 于E ，若∠B ＝60°，则∠A ＝__30°___．7．如图，⊙O 的直径CD 垂直于AB ，∠AOC ＝48°，则∠BDC ＝__24°___．8．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC.解：∵AB ＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵，∴∠BDC ＝∠ADB ，∴DB 平分∠ADC知识点4：圆内接四边形的对角互补9．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是( B )A ．115°B ．105°C ．100°D ．95°,第9题图) ,第10题图)10．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上顺次四点，若∠AOC ＝160°，则∠D ＝__80°___，∠B ＝__100°___.11．如图，▱ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E ＝36°，则∠ADC 的度数是( B )A ．44°B ．54°C ．72°D ．53°,第11题图) ,第12题图)12．(2014·丽水)如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD.已知DE ＝6，∠BAC ＋∠EAD ＝180°，则弦BC 的弦心距等于( D )A .412B .342C ．4D ．3 13．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上一点，∠BAC ＝70°，则∠OCB ＝__20°___．,第13题图),第14题图),第15题图)14．如图，△ABC 内接于⊙O ，点P 是AC ︵上任意一点(不与A ，C 重合)，∠ABC ＝55°，则∠POC 的取值范围是__0°＜∠POC ＜110°___．15．如图，⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知∠OBA ＝30°，点A 的坐标为(2，0)，则点D 的坐标为．16．如图，在△ABC 中，AB ＝为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，且点D 为边BC 的中点．(1)求证：△ABC 为等边三角形； (2)求DE 的长．解：(1)连接AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵点D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC.又∵AB ＝BC ，∴AB ＝AC ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形 (2)连接BE ，∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴BE ⊥AC.∵△ABC 是等边三角形，∴AE ＝EC ，即E 为AC 的中点．又∵D 是BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝12×2＝117．(2014·武汉)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是AB ︵上两点，AB ＝13，AC ＝5.(1)如图①，若点P 是AB ︵的中点，求PA 的长；(2)如图②，若点P 是BC ︵的中点，求PA 的长．解：(1)连接PB.∵AB 是⊙O 的直径，P 是AB ︵的中点，∴PA ＝PB ，∠APB ＝90°，可求PA ＝22AB ＝1322(2)连接BC ，OP 交于点D ，连接PB.∵P 是BC ︵的中点，∴OP ⊥BC ，BD＝CD.∵OA ＝OB ，∴OD ＝12AC ＝52.∵OP ＝12AB ＝132，∴PD ＝OP －OD ＝132－52＝4.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，由勾股定理可求BC ＝12，∴BD ＝12BC ＝6，∴PB ＝PD 2＋BD 2＝42＋62＝213.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°，∴PA ＝AB 2－PB 2＝132－（213）2＝31318．已知⊙O 的直径为10，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D. (1)如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长； (2)如图②，若∠CAB ＝60°，求BD 的长．解：(1)∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝∠BDC ＝90°.在Rt △CAB 中，AC ＝BC 2－AB 2＝102－62＝8.∵AD 平分∠CAB ，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD.在Rt △BDC 中，CD 2＋BD 2＝BC 2＝100，∴BD 2＝CD 2＝50，∴BD ＝CD ＝52 (2)连接OB ，OD.∵AD 平分∠CAB ，且∠CAB ＝60°，∴∠DAB ＝12∠CAB ＝30°，∴∠DOB ＝2∠DAB ＝60°.又∵⊙O 中OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵⊙O 的直径为10，∴OB ＝5，∴BD ＝5。

人教版九年级数学上册第24章24.1--24.4基础测试题含答案《24.1 圆的有关性质》一．选择题1．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（）A．3mm B．4mm C．5mm D．8mm2．如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，则∠E等于（）A．36°B．30°C．18°D．24°3．在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP为（）cm．A．2B．C．3D．24．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是（）A．B．C．D．3cm5．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°6．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为（）A．B．C．D．7．如图，⊙O中，弦AB与直径CD相交于点P，且P A＝4，PB＝6，PD＝2，则⊙O的半径为（）A．9B．8C．7D．68．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM＝ON；③P A＝PC；④∠BPO＝∠DPO，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．49．如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，∠COB＝40°，则∠BAD等于（）A．80°B．50°C．40°D．20°10．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD＝130°，则∠DCE的度数为（）A．45°B．50°C．65°D．75°11．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠COD＝84°，CA平分∠OCD，则∠ABD+∠CAD ＝（）A．68°B．66°C．60°D．52°12．如图，已知直线l与⊙O相交于点E、F，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D，若∠DAE ＝22°，则∠BAF的大小为（）A．12°B．18°C．22°D．30°二．填空题13．如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是．14．若平行四边形ABCD是圆内接四边形，则∠A的度数为．15．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则P A+PB的最小值为．三．解答题16．如图，AB是半圆O上的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE的延长线于点F，已知BC＝8，DE＝2．（1）求⊙O的半径；（2）求CF的长．17．如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C，且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是劣弧AC上的一点，且＝，连接AB，BC，CD．求证：△CDE≌△ABC．18．如图，已知AB，CG是⊙O的两条直径，AB⊥CD于点E，CG⊥AD于点F．（1）求∠AOG的度数；（2）若AB＝2，求CD的长．19．如图，在⊙O中，弦AC⊥BD于点E，连接AB，CD，BC（1）求证：∠AOB+∠COD＝180°；（2）若AB＝8，CD＝6，求⊙O的直径．20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE．（1）求证：∠A＝∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．参考答案一．选择题1．C．2．D．3．A．4．A．5．B．6．D．7．C．8．D．9．D．10．C．11．B．12．C．二．填空题13．4π．14．90°．15．AC＝．三．解答题16．（1）设⊙O的半径为x，∵E点是的中点，O点是圆心，∴OD⊥BC，DC＝＝4，在Rt△ODC中，OD＝x﹣2，∴OD2+DC2＝OC2∴（x﹣2）2+42＝x2∴x＝5，即⊙O的半径为5；（2）∵FC是⊙O的切线，∴OC⊥CF又∵E是的中点．∴OD⊥BC，∴OC2＝OD•OF，即52＝3•OF∴在Rt△OCF中，OC2+CF2＝OF2∴17．证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＝∠CDE，∵＝，∴∠BAC＝∠DCE，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（AAS）．18．（1）连接OD，∵AB⊥CD，∴＝，∴∠BOC＝∠BOD，由圆周角定理得，∠A＝∠BOD，∴∠A＝∠BOD，∵∠AOG＝∠BOD，∴∠A＝∠AOG，∵∠OF A＝90°，∴∠AOG＝60°；（2）∵∠AOG＝60°，∴∠COE＝60°，∴∠C＝30°，∴OE＝OC＝，∴CE＝＝，∵AB⊥CD，∴CD＝2CE＝．19．（1）证明：延长BO交⊙O于F，连接DF，AD．∵BF是直径，∴∠BDF＝90°，∴DF⊥BD，∵AC⊥BD，∴AC∥DF，∴∠CAD＝∠ADF，∴＝，∴∠COD＝∠AOF，∵∠AOB+∠AOF＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°．（2）解：连接AF．由（1）可知：＝，∴AF＝CD＝6，∵BF是直径，∴∠BAF＝90°，∴BF＝＝＝10，∴⊙O的直径为10．20．证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠DCE+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠AEB，∴∠A＝∠AEB；（2）∵∠A＝∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF＝DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED＝EC，∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB＝60°，∴△ABE是等边三角形．24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题1. 下列说法中，正确的是( )A．垂直于半径的直线是圆的切线B．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线2. 已知半径为10的⊙O和直线l上一点A，且OA＝10，则直线l与⊙O的位置关系是( ) A．相切B．相交C．相离D．相切或相交3. 2020·武汉模拟在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以点A为圆心，4.8为半径的圆与直线BC的公共点的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．不能确定4. 如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD.若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为()A．54° B．36° C．32° D．27°5. 在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点处，半径为2，则下列各点在⊙O上的是() A．(1，1) B．(－1，3)C．(－2，－1) D．(2，－2)6. 如图，在正三角形网格中，△ABC的顶点都在格点上，点P，Q，M是AB与网格线的交点，则△ABC的外心是( )A．点P B．点Q C．点M D．点N7. 一把直尺、含60°角的三角尺和光盘如图所示摆放，A为60°角与直尺的交点，AB＝3，则光盘的直径是()A．3 B．3 3 C．6 D．6 38. 如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位长度)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为( )图A．22＜r≤17 B.17＜r≤3 2C.17＜r≤5 D．5＜r≤299.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是( )A. 1＜r＜4B. 2＜r＜4C. 1＜r＜8D. 2＜r＜810. 如图，数轴上有A，B，C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外、⊙O内、⊙O上，则原点O的位置应该在( )图A．点A与点B之间靠近点AB．点A与点B之间靠近点BC．点B与点C之间靠近点BD．点B与点C之间靠近点C二、填空题11. 如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O相切于点B，CO交⊙O于点D，且BC ＝8，CD＝4，那么⊙O的半径为________．12. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，要使DE是⊙O的切线，则图中的线段应满足的条件是____________．13. 如图0，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA＝6，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于C，D两点，则△PCD的周长是________.14.在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为________．15. 如图，AB是⊙O的直径，OA＝1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D.若BD＝2－1，则∠ACD＝________°.16. 已知l1∥l2，l1，l2之间的距离是3 cm，圆心O到直线l1的距离是1 cm，如果圆O与直线l1，l2有三个公共点，那么圆O的半径为________cm.17. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是______________．三、解答题18. 2018·邵阳如图所示，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为D，连接BC，BC平分∠ABD.求证：CD为⊙O的切线．19. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点O在BC上，⊙O经过点A，C，且交BC于点D，直径EF⊥AC于点G.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若AC＝8，求BD的长．20. 如图，AC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，且∠APB ＝60°.(1)求∠BAC 的度数；(2)若PA ＝1，求点O 到弦AB 的距离．21. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10.点P 在AC 上，AP ＝2.若⊙O的圆心在线段BP 上，且⊙O 与AB ，AC 分别切于点D ，E.求： (1)△BAP 的面积S ； (2)⊙O 的半径．22. 如图所示，P 为正比例函数y ＝32x 图象上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为(x ，y)．(1)求⊙P 与直线x ＝2相切时，点P 的坐标；(2)请直接写出⊙P 与直线x ＝2相交、相离时，x 的取值范围； (3)求当原点O 在⊙P 上时，圆心P 的坐标．人教版 九年级九年级数学 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 突破训练-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D [解析] 若OA ⊥l ，则圆心O 到直线l 的距离就是OA 的长，等于半径，所以直线l 与⊙O 相切；若OA 与直线l 不垂直，根据垂线段最短，可知圆心O 到直线l 的距离小于10，即小于半径，所以直线l 与⊙O 相交．3. 【答案】B4. 【答案】D [解析] ∵AB 为⊙O 的切线，∴∠OAB ＝90°.∵∠ABO ＝36°，∴∠AOB ＝90°－∠ABO ＝54°. ∴∠ADC ＝12∠AOB ＝27°.故选D.5. 【答案】B [解析] A 项，点(1，1)到圆心的距离是2，2＜2，故在圆内；B 项，点(－1，3)到圆心的距离为2，2＝2，故在圆上；C 项，点(－2，－1)到圆心的距离为5，5＞2，故在圆外；D 项，点(2，－2)到圆心的距离为2 2，2 2＞2，故在圆外．故选B.6. 【答案】B [解析] 由题意可知∠BCN ＝60°，∠ACN ＝30°，∴∠ACB ＝∠ACN ＋∠BCN＝90°，∴△ABC 是直角三角形，∴△ABC 的外心是斜边AB 的中点． ∵Q 是AB 的中点， ∴△ABC 的外心是点Q .7. 【答案】D [解析] 设光盘的圆心为O ，连接OA ，OB ，则OB ⊥AB ，∠OAB ＝12×(180°－60°)＝60°.∵AB ＝3，∴OA ＝6，OB ＝3 3，∴光盘的直径是6 3.故选D.8. 【答案】B [解析] 如图，∵AD ＝22，AE ＝AF ＝17，AB ＝3 2，∴AB ＞AE ＝AF ＞AD ， ∴当17＜r ＜3 2时，以点A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内．9.【答案】B 【解析】连接AD ，则AD ＝AC 2＋CD 2＝42＋32＝5，∵⊙A 与⊙D 相交，∴3－r <5<3＋r ，解得2＜r ＜8，又∵点B 在⊙D 外，∴r <BD ，即r <4.∴2<r <4，故选B.解图10. 【答案】C [解析] 如图．二、填空题11. 【答案】6 [解析] 因为BC 是⊙O 的切线，所以∠OBC ＝90°.设⊙O 的半径为x ，则OB ＝x ，OC ＝x ＋4.在Rt △OBC中，由勾股定理，得x2＋82＝(x ＋4)2，解得x ＝6.∴⊙O 的半径为6.12. 【答案】BD ＝CD 或AB ＝AC (答案不唯一)[解析] (1)连接OD .要使DE 是⊙O 的切线，结合DE ⊥AC ，只需OD ∥AC ，根据O 是AB 的中点，只需BD ＝CD 即可；(2)根据(1)中探求的条件，要使BD ＝CD ，则连接AD ，由于∠ADB ＝90°，只需AB ＝AC ，根据等腰三角形的三线合一即可．13. 【答案】12 [解析] ∵PA ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，∴PB ＝PA ＝6，CA ＝CE ，DB ＝DE ，∴△PCD 的周长＝PC ＋CD ＋PD ＝PC ＋CE ＋DE ＋PD ＝PC ＋CA ＋DB ＋PD ＝PA ＋PB ＝12.14.【答案】24【解析】设AB切⊙O于点E，如解图，连接EO并延长交CD于点M，∵C ⊙O ＝26π＝2πr，∴r ＝13，∵AB∥CD，且AB与CD之间的距离为18，∴OM＝18－r＝5，∵AB为⊙O的切线，∴∠CMO＝∠AEO＝90°，∴在Rt △CMO中，CM＝OC 2－OM 2＝12，∴CD＝2CM＝24.解图15. 【答案】112.5 [解析] 如图，连接OC.∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD.∵BD ＝2－1，OA ＝OB ＝OC ＝1，∴OD ＝2，∴CD ＝OD2－OC2＝（2）2－12＝1，∴OC ＝CD ，∴∠DOC ＝45°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OCA ＝12∠DOC ＝22.5°，∴∠ACD ＝∠OCA ＋∠OCD ＝22.5°＋90°＝112.5°.16. 【答案】2或4 [解析] 设圆O 的半径为r cm 如图①所示，r －1＝3，得r ＝4；如图②所示，r ＋1＝3，得r ＝2.17. 【答案】R ＝4.8或6<R ≤8 [解析] 当⊙C 与AB 相切时，如图①，过点C 作CD ⊥AB于点D .根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10.根据三角形的面积公式，得12AB ·CD＝12AC ·BC ，解得CD ＝4.8，所以R ＝4.8；当⊙C 与AB 相交时，如图②，此时R 大于AC 的长，而小于或等于BC 的长，即6<R ≤8.三、解答题18. 【答案】证明：连接OC .∵BC 平分∠ABD ， ∴∠OBC ＝∠DBC .∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ， ∴∠OCB ＝∠DBC ， ∴OC ∥BD .∵BD ⊥CD ，∴OC ⊥CD ，∴CD 为⊙O 的切线．19. 【答案】解：(1)证明：连接OA ，如图所示．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°， ∴∠B ＝∠C ＝30°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠C ＝30°， ∴∠OAB ＝120°－30°＝90°， 即AB ⊥OA.又∵OA 是⊙O 的半径， ∴AB 是⊙O 的切线． (2)∵直径EF ⊥AC ， ∴AG ＝CG ＝12AC ＝4.∵∠OAC ＝30°， ∴OG ＝12OA.在Rt △AOG 中，由勾股定理，得OG2＋AG2＝OA2，∴OG2＋42＝(2OG)2， ∴OG ＝433，∴OA ＝2OG ＝833.∵∠OAB ＝90°，∠B ＝30°， ∴BO ＝2OA ＝2OD ，∴BD ＝BO －OD ＝OD ＝OA ＝833.20. 【答案】解：(1)∵PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，∴PA ＝PB ，∠PAC ＝90°. ∵∠APB ＝60°，∴△APB 是等边三角形，∴∠BAP ＝60°， ∴∠BAC ＝90°－∠BAP ＝30°.(2)过点O 作OD ⊥AB 于点D ，如图所示，则AD ＝BD ＝12AB.由(1)得△APB 是等边三角形， ∴AB ＝PA ＝1，∴AD ＝12.在Rt △AOD 中，∵∠BAC ＝30°， ∴OD ＝12OA.由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2， 即(2OD)2＝OD2＋(12)2，∴OD ＝36，即点O 到弦AB 的距离为36.21. 【答案】解：(1)∵∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10， ∴在Rt △ABC 中，由勾股定理，得BC ＝6， ∴△BAP 的面积S ＝12AP·BC ＝12×2×6＝6.(2)连接OD ，OE ，OA.设⊙O 的半径为r ， 则S △BAP ＝12AB·r ＋12AP·r ＝6r ，∴6r ＝6，解得r ＝1. 故⊙O 的半径是1.22. 【答案】解：(1)当⊙P 在直线x ＝2的左侧与该直线相切时， ∵圆心P 到直线x ＝2的距离等于半径3， ∴2－x ＝3，∴x ＝－1， 此时y ＝－32，P (－1，－32)．当⊙P 在直线x ＝2的右侧与该直线相切时， ∵圆心P 到直线x ＝2的距离等于半径3，∴x －2＝3，∴x ＝5，此时y ＝152，P (5，152)．综上可得，当⊙P 与直线x ＝2相切时，点P 的坐标为(－1，－32)或(5，152)．(2)当－1＜x ＜5时，⊙P 与直线x ＝2相交； 当x ＜－1或x ＞5时，⊙P 与直线x ＝2相离． (3)当点O 在⊙P 上时，OP ＝3. 由勾股定理可得(x －0)2＋(y －0)2＝32. 又∵y ＝32x ，∴x 1＝6 1313，x 2＝－6 1313.代入y ＝32x 可得y 1＝9 1313，y 2＝－9 1313.∴当原点O 在⊙P 上时，圆心P 的坐标为(6 1313，9 1313)或(－6 1313，－9 1313)．24.3 正多边形和圆一、选择题1. 正八边形的中心角是( )A ．45°B ．135°C ．360°D ．1080°2. 下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形3. (2019•贵阳)如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，连接BD ．则∠CBD 的度数是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4. 2019·安徽月考 如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，过点A 作⊙O 的切线交对角线DB的延长线于点F ，则下列结论不成立的是( )A ．AE ∥BFB ．AF ∥CDC ．DF ＝3AFD ．AB ＝BF5. 若正方形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为( )A. 2 B ．2 2 C.22D ．16. 已知正六边形的半径为r ，则它的边长、边心距、面积分别为( )A.233r ，r ，3r 2B ．r ，r2，23r 2C.33r ，r ，3r 2 D ．r ，3r 2，332r 27. 以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形，则该三角形的面积是 ( ) A.38B.34C.24D.288. 如图，将两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a )重合在一起，下面一张纸片保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a 个单位长度，则空白部分与阴影部分的面积之比是( )A．5∶2 B．3∶2 C．3∶1 D．2∶19. 如图0，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断( )A．甲对，乙不对B．甲不对，乙对C．两人都对D．两人都不对10. 如图是由7个全等的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，设定AB边如图所示，则使△ABC是直角三角形的格点有( )A．10个B．8个C．6个D．4个二、填空题11. 一个圆内接正六边形的边长为2，那么这个正六边形的边心距为________．12. 如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.13. 如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝________°.14. 如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形，则原来的纸带宽为________．15. (2019•扬州)如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=__________．16. 如图，AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，而BC恰好是⊙O 内接正n边形的一边，则n等于________．17. 如图为一个半径为4 m的圆形场地，其中放有六个宽为1 m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在场地边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为__________m.三、解答题18. 如图，在正六边形ABCDEF中，点O是中心，AB＝10，求这个正六边形的半径、边心距、周长、面积．19. 如图2，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.(1) 求图①中∠MON的度数；(2) 图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．20. 如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五等分点，连接AC，CE，EB，BD，DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.(1)计算∠CAD的度数；(2)连接AE，求证：AE＝ME.人教版九年级数学上册24.3 正多边形和圆课时训练-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】A[解析] ∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形．故选A.3. 【答案】 A【解析】∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD=(62)1806-⨯︒=120°，BC=CD，∴∠CBD=12(180°-120°)=30°，故选A．4. 【答案】C5. 【答案】A [解析] 如图所示，连接OA ，OE.∵AB 是小圆的切线， ∴OE ⊥AB.∵四边形ABCD 是正方形， ∴AE ＝OE.在Rt △AOE 中，由勾股定理，得OA2＝AE2＋OE2，∴22＝AE2＋OE2， ∴OE ＝ 2.故选A.6. 【答案】D7. 【答案】D [解析] 如图①，∵OC ＝1，∴OD ＝12；如图②，∵OB ＝1，∴OE ＝22； 如图③，∵OA ＝1，∴OD ＝32，则该三角形的三边长分别为12，22，32.∵(12)2＋(22)2＝(32)2，∴该三角形是以12，22为直角边长，32为斜边长的直角三角形， ∴该三角形的面积是12×12×22＝28.故选D.8. 【答案】C [解析] 正六边形的面积＝6×34×(2a)2＝6 3a2，阴影部分的面积＝a·2 3a＝2 3a2，∴空白部分与阴影部分的面积之比是＝6 3a2∶2 3a2＝3∶1.9. 【答案】C [解析] 由甲的作法可知连接OB，BD，OC，CD后，OB＝BD＝OD＝OC＝CD，所以△BOD和△COD都是等边三角形，四边形OBDC是菱形，所以∠BOC＝120°，则∠BAC ＝60°.因为四边形OBDC是菱形，所以AD⊥BC，AD平分BC，所以AB＝AC，所以△ABC 是等边三角形，所以他的作法是正确的．由乙的作法可知∠BOC＝120°，所以∠BAC＝60°.又因为AD⊥BC，所以AD平分BC，所以AB＝AC，所以△ABC是等边三角形，所以他的作法是正确的．故选C.10. 【答案】A [解析] 如图，当AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形；当AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形．综上所述，使△ABC是直角三角形的格点有6＋4＝10(个)．故选A.二、填空题11. 【答案】 312. 【答案】25【解析】 如解图，取圆心为O，连接OA、OC，OC交AB于点D，则OC⊥AB.设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝r，又∵CD＝10，∴OD＝r－10，∵AB＝40，OC⊥AB，∴AD＝2 0.在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝202＋(r－10)2，解得r＝25，即脸盆的半径为25 cm.13. 【答案】48 [解析] 连接AO ，则有∠AOM ＝13×360°＝120°，∠AOB ＝15×360°＝72°，∴∠BOM ＝∠AOM －∠AOB ＝120°－72°＝48°.14. 【答案】3 [解析] 边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度为 3.15. 【答案】15【解析】如图，连接OB ，∵AC 是⊙O 的内接正六边形的一边，∴∠AOC=360°÷6=60°， ∵BC 是⊙O 的内接正十边形的一边，∴∠BOC=360°÷10=36°， ∴∠AOB=60°–36°=24°，即360°÷n=24°，∴n=15，故答案为：15．16. 【答案】12 [解析] 连接OA ，OB ，OC ，如图．∵AB ，AC 分别为⊙O 的内接正四边形与内接正三角形的一边， ∴∠AOB ＝90°，∠AOC ＝120°，∴∠BOC ＝∠AOC －∠AOB ＝30°，∴n ＝360°30°＝12，即BC 恰好是⊙O 内接正十二边形的一边．17. 【答案】－3＋3 72[解析] 设圆心是O ，连接OA ，OB ，过点O 作OC ⊥BC 于点C ，交AD 于点D .设长方形摊位的长是2x m ．在Rt △OAD 中，∠AOD ＝30°，AD ＝x m ，则OD ＝3x m.在Rt △OBC 中，由勾股定理，得OC ＝16－x 2m.∵OC －OD ＝CD ＝1 m ， ∴16－x 2＝3x ＋1，解得x ＝－3＋3 74(负值已舍去)，则2x ＝－3＋3 72，∴长方形摊位的长为－3＋3 72 m.三、解答题18. 【答案】解：连接OB ，OC ，过点O 作OH ⊥BC 于点H.∵正六边形的中心角为360°6＝60°，OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴半径R ＝OB ＝BC ＝AB ＝10.∵OH ⊥BC ，∴∠BOH ＝30°，∴BH ＝12OB ＝5.在Rt △OBH 中，边心距r ＝OH ＝102－52＝5 3，周长l ＝6AB ＝6×10＝60.∵S △OBC ＝12BC·OH ＝12×10×53＝253， ∴正六边形的面积S ＝6S △OBC ＝6×25 3＝1503.19. 【答案】解：(1)方法一：连接OB ，OC .∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM ＝∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120°. 又∵BM ＝CN ，OB ＝OC ，∴△OBM ≌△OCN ，∴∠BOM ＝∠CON ， ∴∠MON ＝∠BOC ＝120°. 方法二：连接OA ，OB . ∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴AB ＝BC ，∠OAM ＝∠OBN ＝30°，∠AOB ＝120°. ∵BM ＝CN ，∴AM ＝BN .又∵OA ＝OB ，∴△AOM ≌△BON ，∴∠AOM ＝∠BON ，∴∠MON ＝∠AOB ＝120°. (2)90° 72° (3)∠MON ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360n °.20. 【答案】解：(1)∵A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 上的五等分点， ∴∠COD ＝360°5＝72°，∴∠CAD ＝12∠COD ＝36°.(2)证明：∵A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 上的五等分点，∴CD ︵＝DE ︵＝AE ︵＝AB ︵＝BC ︵， ∴∠DAE ＝∠AEB ＝∠CAD ＝36°， ∴∠MAE ＝72°，∴∠AME ＝180°－∠MAE －∠AEB ＝72°＝∠MAE ，∴AE ＝ME.24.4 弧长和扇形面积一、选择题（本大题共10道小题）1. 若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为( ) A .πB .2πC .3πD .6π2. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π3. 如图，⊙O的半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC＝36°，则劣弧BC ︵的长是( )A. π5B. 25πC. 35πD. 45π4. (2019•遵义)圆锥的底面半径是5 cm ，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是A ．5 cmB ．10 cmC ．6 cmD ．5 cm5. 2019·唐山乐亭期末 如图，圆锥的底面半径OB ＝6 cm ，高OC ＝8 cm ，则这个圆锥的侧面积是( )A ．30 cm 2B ．60π cm 2C ．30π cm 2D ．48π cm 26. 改编如图①所示物体由两个圆锥组成，在从正面看到的形状图中(如图②)，∠A ＝90°，∠ABC ＝105°.若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为( )A ．2 B. 3C.32D. 27. 如图AB 为半圆O 的直径，AB ＝4，C ，D 为AB ︵上两点，且AC ︵＝15BD ︵.若∠CED ＝ 52∠COD ，则BD ︵的长为( )图A.59πB.78πC.89πD.109π8. 如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD＝30°，CD＝43，则S 阴影＝( )A . 2πB . 83πC . 43πD . 38π9. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.曲线CDEF…叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中CD ︵，DE ︵，EF ︵，…的圆心依次按A ，B ，C ，…循环．如果AC ＝1，那么曲线CDEF 和线段CF 围成图的面积为( )图A .（12＋72）4πB .（9＋52）4π C .（12＋72）π＋24D .（9＋52）π＋2410. 如图在扇形OAB 中，∠AOB ＝150°，AC ＝AO ＝6，D 为AC 的中点，当弦AC 沿AB ︵运动时，点D 所经过的路径长为( )图A ．3πB.3πC.323πD ．4π二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，则图中阴影部分的面积是________．12.如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是________．13. 如图，已知扇形OAB 的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为________．14.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB＝123，OP ＝6，则劣弧AB ︵的长为________．(结果保留π)15. 如图，现有一张圆心角为108°，半径为40 cm 的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面圆半径为10 cm的圆锥形纸帽(接缝处忽略不计)，则剪去的扇形纸片的圆心角θ为________．16. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 2.若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为________．(结果保留π)17. 如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA长为半径作弧交AB于点A，C，交OB于点D.若OA＝3，则阴影部分的面积为________．18. 如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置．若AB＝16 cm，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图所示的粮囤可以看成是圆柱体与圆锥体的组合体，已知其底面圆的半径为6 m，高为4 m，下方圆柱的高为3 m.(1)求该粮囤的容积；(2)求上方圆锥的侧面积(计算结果保留根号).20. 如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，现想用毛毡搭建底面积为9π m 2，高为6 m ，外围高为2 m 的蒙古包，求至少需要多少平方米的毛毡．(结果保留π)21. 如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上的点F 处，点C 落在点A 处，再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG. (1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．22. (2019•襄阳)如图，点E 是ABC △的内心，AE 的延长线和ABC △的外接圆圆O 相交于点D ，过D 作直线DG BC ∥． (1)求证：DG 是圆O 的切线；(2)若6DE =，BC =，求优弧BAC 的长．人教版 九年级数学 24.4 弧长和扇形面积-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C [解析]扇形的圆心角为90°，它的半径为6，即n=90°，r=6，根据弧长公式l=，得l==3π.故选C .2. 【答案】C [解析] 根据扇形的面积公式，S ＝120×π×62360＝12π.故选C.3. 【答案】B 【解析】连接OB、OC.⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫∠BOC是BC⌒所对的圆心角 ∠A是BC⌒所对的圆周角∠A＝36°⇒∠BOC＝2∠A＝72° ⊙O的半径是1⇒劣弧BC⌒的长＝72π×1180＝25π.4. 【答案】A【解析】设圆锥的母线长为R ，根据题意得2π·5180π180R=，解得R=10． 即圆锥的母线长为10 cm 22105-=3cm ．故选A ．5. 【答案】B6. 【答案】D [解析] ∵∠A ＝90°，∠ABC ＝105°，∴∠ABD ＝45°，∠CBD ＝60°，∴△ABD是等腰直角三角形，△CBD 是等边三角形．设AB 的长为R ，则BD 的长为2R.∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝12lR ，∴l ＝2R ，∴下面圆锥的侧面积为12·2R ·2R ＝ 2.故选D.7. 【答案】D8.【答案】B【解析】如解图，连接OC ，设CD 与OB 交于点E ，∵在⊙O 中，弦CD ⊥AB ，∴CE ＝DE ＝23，∵∠BCD ＝30°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝60°，在Rt△EOD 中，OE ＝DEtan60°＝2，∴OD ＝4，∴BE ＝OB －OE ＝4－2＝2，在△DOE 和△CBE 中，CE ＝DE ，∠CEB ＝∠DEO ，OE ＝BE ，∴△DOE ≌△CBE ，∴S 阴影＝S 扇形OBD ＝60×π×42360＝83π.9. 【答案】C [解析] 曲线CDEF 和线段CF 围成的图是由三个圆心不同，半径不同的扇形以及△ABC 组成的，所以根据面积公式可得135π×1＋135π×（2＋1）2＋90π×（2＋2）2360＋12×1×1＝（12＋7 2）π＋24.10. 【答案】C [解析] 如图∵D 为AC 的中点，AC ＝AO ＝6，∴OD ⊥AC ，∴AD ＝12AC ＝12AO ，∴∠AOD ＝30°，OD ＝33.作BF ＝AC ，E 为BF 的中点． 同理可得∠BOE ＝30°， ∴∠DOE ＝150°－60°＝90°，∴点D 所经过的路径长为n πR 180＝90π×3 3180＝3 32π.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】π－2 [解析] ∵在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴S 阴影＝S 半圆AB ＋S 半圆BC －S △ABC ＝12π×(22)2＋12π×(22)2－12×2×2 ＝π－2.12.【答案】3π【解析】∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝2∠C＝2×60°＝120° ，∵⊙O的半径为3，∴阴影部分的面积S 扇形OAB ＝120×π×32360＝3π.13. 【答案】2π [解析] 设扇形的半径是R ，则60·π·R2360＝6π，解得R ＝6(负值已舍去)．设扇形的弧长是l ，则12lR ＝6π，即3l ＝6π，解得l ＝2π.故答案为2π.14.【答案】8π 【解析】∵AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，∴AP＝12AB＝63.如解图，连接OA，OB，∵OA＝OB，∴∠AOB＝2∠AOP.在Rt △AOP中，OA＝OP 2＋AP2＝12，tan ∠AOP＝AP OP＝636＝3，∴∠AOP＝60°.∴∠AOB＝120°，∴劣弧AB的长为120π·12180＝8π.15. 【答案】18°16. 【答案】82π [解析] 过点C 作CD ⊥AB 于点D .在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2 2，∴AB ＝2AC ＝4，∴CD ＝2. 以CD 为半径的圆的周长是4π.故Rt△ABC 绕直线AB 旋转一周所得几何体的表面积是2×12×4π×22＝8 2π.17. 【答案】34π [解析] 如图，连接OC ，过点C 作CN ⊥AO 于点N ，CM ⊥OB 于点M.∵∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°.∵OA ＝OC ，∴△AOC 为等边三角形， ∴∠AOC ＝60°，AC ＝OA. ∵OA ＝3，∴AC ＝OA ＝3.∵CN ⊥OA ，∴AN ＝ON ＝12OA ＝32，∴CN ＝323，∴S △AOC ＝12OA·CN ＝943.∵∠AOB ＝90°，CN ⊥OA ，CM ⊥OB ， ∴四边形CNOM 为矩形， ∴CM ＝ON ＝32.在Rt △AOB 中，∠B ＝30°，OA ＝3， ∴AB ＝2OA ＝6， ∴OB ＝33，∴S △OCB ＝12OB·CM ＝943.∵∠AOC ＝60°，OA ＝3，∴S 扇形OAC ＝60π·32360＝32π.∵∠COD ＝90°－60°＝30°，∴S 扇形OCD ＝30π·32360＝34π， ∴S 阴影＝S 扇形OAC －S △AOC ＋S △OCB －S 扇形OCD ＝34π.18. 【答案】32π cm2 [解析] 由旋转的性质得∠BAB′＝45°，四边形AB′C′D′≌四边形ABCD ， 则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD 的面积＋扇形ABB′的面积－四边形AB′C′D′的面积＝扇形ABB′的面积＝45π×162360＝32π(cm2)．三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)容积V ＝π×62×3＋13×π×62×(4－3)＝108π＋12π＝120π(m3)． 答：该粮囤的容积为120π m3.(2)圆锥的母线长l ＝62＋12＝37(m)，所以圆锥的侧面积S ＝π×6×37＝637π(m2)．20. 【答案】解：∵蒙古包的底面积为9π m 2，高为6 m ，外围(圆柱)高为2 m ，∴底面圆的半径为3 m ，圆锥的高为6－2＝4(m)，∴圆锥的母线长为5 m ，∴圆锥的侧面积为π×3×5＝15π(m 2)，圆锥的底面周长为2π×3＝6π(m)，圆柱的侧面积为6π×2＝12π(m 2)．故至少需要毛毡15π＋12π＝27π(m 2)．21. 【答案】 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°.∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△BFA ，∴△BFA ≌△BEC ，∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°，AF ＝CE ，∴∠AFB ＋∠FAB ＝90°. ∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，∴∠AFB ＋∠CFG ＝∠AFG ＝90°，AF ＝FG ，∴∠CFG ＝∠FAB ＝∠ECB ，CE ＝FG ，∴CE 綊FG ，∴四边形EFGC 是平行四边形，∴EF ∥CG.(2)∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝12AB. ∵△BFA ≌△BEC ，∴BF ＝BE ＝12AB ＝1， ∴AF ＝AB2＋BF2＝ 5.由(1)知四边形EFGC 是平行四边形，FC 为其对角线，∴点G 到FC 的距离等于点E 到FC 的距离，即BE 的长，∴S 阴影＝S 扇形BAC ＋S △ABF ＋S △FGC －S 扇形FAG ＝90π·22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π·（5）2360＝52－π4.22. 【答案】(1)连接OD 交BC 于H ，如图，∵点E 是ABC △的内心，∴AD 平分BAC ∠，即BAD CAD ∠=∠，∴BD CD =，∴ODBC ，BH CH =，∵DG BC ∥，∴OD DG ⊥，∴DG 是圆O 的切线．(2)连接BD 、OB ，如图，∵点E 是ABC △的内心，∴ABE CBE ∠=∠，∵DBC BAD ∠=∠，∴DEB BAD ABE DBC CBE DBE ∠=∠+∠=∠+∠=∠， ∴6DB DE ==，∵12BH BC ==在Rt BDH △中，sin 62BH BDH BD ∠===， ∴60BDH ∠=︒，而OB OD =，∴OBD △为等边三角形，∴60BOD ∠=︒，6OB BD ==，∴120BOC ∠=︒，∴优弧BAC 的长=(360120)π68π180-⋅⋅=．。

人教版 九年级数学上册 24.1 --24.4分节测试题含答案） 24.1 圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图所示的圆规，点A 是铁尖的端点，点B 是铅笔芯尖的端点，已知点A 与点B 的距离是2 cm ，若铁尖的端点A 固定，将铅笔芯尖的端点B 绕点A 旋转一周，则作出的圆的直径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．4 cmD ．π cm2. 如图，AB是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是( )A ．OE ＝BEB.BC ︵＝BD ︵ C ．△BOC 是等边三角形D ．四边形ODBC 是菱形3. 如图，AB是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( )A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°4. 如图，OA是⊙O 的半径，B 为OA 上一点(不与点O ，A 重合)，过点B 作OA的垂线交⊙O 于点C .以OB ，BC 为边作矩形OBCD ，连接BD .若BD ＝10，BC ＝8，则AB 的长为( )A ．8B ．6C ．4D ．25. 在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝3∠COD (∠COD <60°)，则劣弧AB ，劣弧CD 的大小关系是( ) A.AB ︵＝3CD ︵B.AB ︵>3CD ︵C.AB ︵<3CD ︵D ．3AB ︵<CD ︵6. 如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为( )A. 5 B ．2 5 C ．3 D ．2 37. 如图，AB 是⊙O的直径，弦CD ⊥AB 于点E.若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( )A.7 B ．27 C ．6 D ．88. 如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B ，C ，连接AC ，BC.若∠ABC ＝54°，则∠1等于( )A ．36°B ．54°C ．72°D ．73°9. 如图，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB ＝50°，若P 为AB︵上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°10. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C ＝30°，⊙O 的半径为5.若P 是⊙O上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，则PA 的长为( )A ．5 B.5 32C ．5 2D ．5 3二、填空题（本大题共8道小题） 11. 2018·孝感 已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是________cm.12. 2018·毕节如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为半圆的三等分点，CE ⊥AB 于点E ，则∠ACE 的度数为________．13. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(3，0)，⊙M 的半径为2，过点M 的直线与⊙M 的交点分别为A ，B ，则△AOB 的面积的最大值为________，此时A ，B 两点所在直线与x 轴的夹角等于________°.14. 如图所示，OB ，OC是⊙O 的半径，A 是⊙O 上一点．若∠B ＝20°，∠C ＝30°，则∠A ＝________°.15. 如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ，若∠C ＝25°，则∠D ＝________°.16. 如图所示，动点C 在⊙O 的弦AB 上运动，AB ＝23，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为________．17. 如图，圆内接四边形ABCD 中两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝________°.18. 如图所示，在半圆O 中，AB为直径，P 为AB ︵的中点，分别在AP ︵和PB ︵上取其中点A 1和B 1，再在P A ︵1和PB ︵1上分别取其中点A 2和B 2.若一直这样取下去，则∠A n OB n ＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，以BD 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连接EF. (1)求证：∠1＝∠F ；(2)若AC ＝4，EF ＝2 5，求CD 的长．20.如图，△ABC 和△ABD 都是直角三角形，且∠C ＝∠D ＝90°.求证：A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上.21. (2019•包头)如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，120ABC ∠=︒，弦AC =弦BM 平分ABC ∠交AC 于点D ，连接MA MC ，． (1)求⊙O 半径的长； (2)求证：AB BC BM +=．22. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为半圆ACB ︵上的动点(不与点A ，B 重合)，过点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，则点P 的位置有何规律？请证明你的结论．人教版 九年级数学 24.1 圆的有关性质-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】C2. 【答案】B[解析] AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，由垂径定理可以得到CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵，AC ︵＝AD ︵.但并不一定能得到OE ＝BE ，OC ＝BC ，从而A ，C ，D 选项都是错误的． 故选B.3. 【答案】A[解析] ∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠EOD ＝34°，∴∠AOE ＝180°－∠EOD －∠COD －∠BOC ＝78°. 又∵OA ＝OE ，∴∠AEO ＝∠OAE ，∴∠AEO ＝12×(180°－78°)＝51°.4. 【答案】C5. 【答案】A[解析] 把∠AOB 三等分，得到的每一份角所对的弧都等于CD ︵，因此有AB ︵＝3CD ︵.6. 【答案】D[解析] 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA .根据题意，得OD ＝12OA ＝1.再根据勾股定理，得AD ＝ 3.根据垂径定理，得AB ＝2 3.7. 【答案】B[解析] 连接OC ，则OC ＝4，OE ＝3.在Rt △OCE 中，CE ＝OC2－OE2＝42－32＝7.因为AB ⊥CD ，所以CD ＝2CE ＝2 7.8. 【答案】C9. 【答案】B10. 【答案】D[解析] 如图，连接OB ，OA ，OP ，设OB 与AP 交于点D.由PB＝AB 可知PB ︵＝AB ︵，从而可知OB ⊥AP.运用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”及“同圆的半径相等”可知△OAB 为等边三角形，在Rt △OAD 中，运用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理列方程可求得AD 的长，从而可求出AP 的长为5 3.故选D.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】2或14 [解析] ①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点F ，交AB 于点E ，如图①， ∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AE ＝8 cm ，CF ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴EO ＝6 cm ，OF ＝8 cm ， ∴EF ＝OF －OE ＝2 cm ；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点E 并反向延长交AB 于点F ，如图②，∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AF ＝8 cm ，CE ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴OF ＝6 cm ，OE ＝8 cm ， ∴EF ＝OF ＋OE ＝14 cm.∴AB 与CD 之间的距离为2 cm 或14 cm.12. 【答案】30°[解析] 如图，连接OC .∵AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°.∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形， ∴∠A ＝60°.∵CE ⊥OA ，∴∠AEC ＝90°， ∴∠ACE ＝90°－60°＝30°.13. 【答案】6 90 [解析] ∵AB 为⊙M 的直径，∴AB ＝4.当点O 到AB 的距离最大时，△AOB 的面积最大，此时AB ⊥x 轴于点M ， ∴△AOB 的面积的最大值为12×4×3＝6，∠AMO ＝90°. 即此时A ，B 两点所在直线与x 轴的夹角等于90°.14. 【答案】50[解析] 连接OA ，则OA ＝OB ，OA ＝OC ，∴∠OAB ＝∠B ，∠OAC ＝∠C ，∴∠BAC ＝∠OAB ＋∠OAC ＝∠B ＋∠C ＝20°＋30°＝50°.15. 【答案】65[解析] ∵∠C ＝25°，∴∠A ＝∠C ＝25°.∵⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ， ∴AB ⊥CD ，∴∠AED ＝90°， ∴∠D ＝90°－25°＝65°.16. 【答案】3 [解析] 如图，连接OD ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝BH＝12AB ＝ 3.∵CD ⊥OC ，∴CD ＝OD 2－OC 2.∵OD 为⊙O 的半径，∴当OC 最小时，CD 最大．当点C 运动到点H 时，OC 最小，此时CD ＝BH ＝3，即CD 的最大值为 3.17. 【答案】40[解析] ∵∠BCD ＝180°－∠A ＝125°，∠CBF ＝∠A ＋∠E ＝85°，∴∠F ＝∠BCD －∠CBF ＝125°－85°＝40°.18. 【答案】(902n －1)[解析] 当n ＝1时，∠A 1OB 1＝90°；当n ＝2时，∠A 2OB 2＝90°2＝45……所以∠A n OB n ＝(902n －1)°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)证明：如图，连接DE. ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠DEB ＝90°，即DE ⊥AB. 又∵E 是AB 的中点， ∴AD ＝BD ，∴∠1＝∠B. 又∵∠B ＝∠F ，∴∠1＝∠F.(2)∵∠1＝∠F ，∴AE ＝EF ＝2 5， ∴AB ＝2AE ＝4 5.在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，∠C ＝90°， ∴BC ＝AB2－AC2＝8. 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝8－x. 在Rt △ACD 中，∵∠C ＝90°，∴AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2， 解得x ＝3，即CD ＝3.20. 【答案】证明：如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OD.∵△ABC 和△ABD 都是直角三角形，且∠ACB ＝∠ADB ＝90°，∴OC ，OD 分别为Rt △ABC 和Rt △ABD 斜边上的中线，∴OC ＝OA ＝OB ，OD ＝OA ＝OB ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．21. 【答案】(1)连接OA OC 、，过O 作OH AC ⊥于点H ，如图1，∵120ABC ∠=︒，∴18060AMC ABC ∠=-∠=︒︒，∴2120AOC AMC ∠=∠=︒，∴1602AOH AOC ∠=∠=︒， ∵132AH AC ==， ∴2sin60AH OA ==︒， 故⊙O 的半径为2．(2)在BM 上截取BE BC =，连接CE ，如图2，∵120ABC ∠=︒，BM 平分ABC ∠，∴60ABM CBM ∠=∠=︒，∵60MBC BE BC ︒∠==，，∴EBC △是等边三角形，∴60CE CB BE BCE ==∠=︒，， ∴60BCD DCE ∠+∠=︒，∵60ACM ∠=︒，∴60ECM DCE ∠+∠=︒，∴ECM BCD ∠=∠，∴6060CAM CBM ACM ABM ∠︒=∠︒=∠=∠=，， ∴ACM △是等边三角形，∴AC CM =，∴ACB MCE △≌△，∴AB ME =，∵ME EB BM +=，∴AB BC BM +=．22. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫360n m 解：P 为半圆ADB ︵的中点． 证明：如图，连接OP .∵∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，∴∠PCD ＝∠PCO .∵OC ＝OP ，∴∠PCO ＝∠OPC ，∴∠PCD ＝∠OPC ，∴OP ∥CD .∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴AP ︵＝BP ︵，即P 为半圆ADB ︵的中点．24.2.2直线和圆的位置关系一．选择题1．如图，AB 、AC 是⊙O 的切线，B 、C 为切点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C ，则∠BPC 的度数是（ ）A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°2．△ABC中，AB＝13，BC＝5，点O是AC上的一点，⊙O与BC相切于点C，与AB相切于点D，则⊙O的半径为（）A．B．3C．D．53．如图，AB为⊙O的切线，A为切点，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ABO的度数是32°，则∠ADC的度数是（）A．15°B．16°C．29°D．58°4．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）A．100°B．160°C．80°D．130°5．如图，在△ABC中，以AB为直径的圆交AC于点D，⊙O的切线DE交BC于点E，若∠A＝35°，则∠CDE是（）A．35°B．45°C．55°D．65°6．如图，射线BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．707．如图，P A、PB是⊙O切线，A、B为切点，AC是直径，∠P＝40°，则∠BAC＝（）A．40°B．80°C．20°D．10°8．如图，AB是⊙O的直径，BP是⊙O的切线，AP与⊙O交于点C，D为BC上一点，若∠P＝36°，则∠ADC等于（）A．18°B．27°C．36°D．54°9．如图，已知P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①P A＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．410．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且OD∥AC，若∠B＝38°，则∠ODC的度数为（）A．46°B．48°C．52°D．58°二．填空题11．如图，已知圆O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则圆O的半径为．12．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝23°，则∠OCB＝°．13．已知点P是圆外一点，过点P引圆的两条切线P A、PB，切点分别为A、B，点C是圆上异于A、B的点，若∠P＝70°，则∠ACB＝．14．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，若AB＝5，AC＝4，则BD的长为．15．如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB＝AC＝5，BC＝6，则DE的长是．三．解答题16．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为弦作⊙O，交BC的延长线于点D，且DC＝BC，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点E．（1）猜想∠CAB与∠BDE的数量关系，并说明理由；（2）若AB＝BE，则∠E的度数为°．17．如图，在等腰三角形ABD中，AB＝AD，点C为BD上一点，以BC为直径作⊙O，且点A恰好在⊙O上，连接AC．（1）若AC＝CD，求证：AD是⊙O的切线．（2）在（1）的条件下，若CD＝1，求⊙O的直径．18．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且AP＝AC．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若AB＝2+，BC＝4，求⊙O的半径．参考答案1．解：∵AB、AC是⊙O的切线，∴OB⊥AB，OC⊥AC，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，当点P在优弧BC上时，∠BPC＝∠BOC＝65°，当点P′在劣弧BC上时，∠BP′C＝180°﹣65°＝115°，故选：C．2．解：依题意画出图形，连接OD，如图：∵⊙O与BC相切于点C，与AB相切于点D，∴∠ACB＝90°，∠ADO＝90°，∴∠ACB＝∠ADO，又∵∠A＝∠A，∴△ADO∽△ACB，∴＝，在△ABC中，AB＝13，BC＝5，由勾股定理得：AC＝＝12，设⊙O的半径为r，则有：＝，解得：r＝．故选：C．3．解：∵AB为⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝58°，由圆周角定理得，∠ADC＝∠AOB＝29°，故选：C．4．解：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．故选：D．5．解：连接DB，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OA＝OD，∠A＝35°，∴∠ODA＝∠A＝35°，∴∠ODB＝90°﹣35°＝55°，∵DE是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODE＝90°，∴∠BDE＝∠ODE﹣∠ODB＝90°﹣55°＝35°，∴∠CDE＝∠CDB﹣∠BDE＝90°﹣35°＝55°，故选：C．6．解：∵射线BM与⊙O相切于点B，∴BC⊥BM，∴∠MBC＝90°，∴∠ABC＝∠MBA﹣∠MBC＝140°﹣90°＝50°，∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣50°＝40°．故选：A．7．解：连接OB，∵P A、PB是⊙O切线，A、B为切点，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝40°，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠P﹣∠OBP＝140°，∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝20°，故选：C．8．解：连接BC，∵BP是⊙O的切线，∴AB⊥BP，∴∠ABP＝90°，∴∠BAP＝90°﹣∠P＝54°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAP＝36°，由圆周角定理得，∠ADC＝∠ABC＝36°，故选：C．9．解：∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴P A＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，P A＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．10．解：连接OA，∵AB为⊙O的切线，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∴∠AOB＝90°﹣∠B＝52°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝×（180°﹣52°）＝64°，∵OD∥AC，∴∠DOC＝∠OCA＝64°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD＝×（180°﹣64°）＝58°，故选：D．11．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC＝＝5，∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，如图，连接OE，OF，∵OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四边形OECF是正方形，设OE＝OF＝CE＝CF＝x，则AD＝AE＝5﹣x，BF＝BD＝12﹣x，∵AD+BD＝13，∴5﹣x+12﹣x＝13，∴x＝2，则圆O的半径为2．故答案为：2．12．解：连接OB，∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，∴∠OBA+∠CBP＝90°，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO＝90°，∵OA＝OB，∠OAB＝23°，∴∠OAB＝∠OBA＝23°，∴∠APO＝∠CBP＝67°，∵∠APO＝∠CPB，∴∠CPB＝∠APO＝67°，∴∠OCB＝180°﹣67°﹣67°＝46°，故答案为：46．13．解：①当C和P在O的异侧时，如图1，连接OA，OB，∵P A，PB是⊙O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠P AO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠ACB＝∠AOB＝55°；②当C和P在O的同侧时，如图2，连接OA，OB，由①知∠AOB＝110°，∵∠ACB+∠AOB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣∠AOB＝125°；综上所述：∠ACB＝55°或125°，故答案为：55°或125°．14．解：∵AC，AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝4，∵BP，BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝BP＝AB﹣AP＝5﹣4＝1．故答案为：1．15．解：连接OA、OE、OB，OB交DE于H，如图，∵等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∴点A、O、E共线，即AE⊥BC，∴BE＝CE＝3，在Rt△ABE中，AE＝＝4，∵BD＝BE＝3，∴AD＝2，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，AO＝4﹣r，在Rt△AOD中，r2+22＝（4﹣r）2，解得r＝，在Rt△BOE中，OB＝＝，∵BE＝BD，OE＝OD，∴OB垂直平分DE，∴DH＝EH，OB⊥DE，∵HE•OB＝OE•BE，∴HE＝＝＝，∴DE＝2EH＝．故答案为：．16．解：（1）∠CAB＝∠BDE．理由如下：连接AD，如图，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°，∴AD为⊙O的直径，∵DE为切线，∴AD⊥DE，∴∠ADC+∠BDE＝90°，∵DC＝BC，AC⊥BD，∴AD＝AB，∴∠ADC＝∠ABC，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BDE；（2）∵∠ADE＝90°，AB＝BE，∴BD＝AB＝BE，而AD＝AB，∴△ABD为等边三角形，∴∠BAD＝60°，∴∠E＝90°﹣60°＝30°．故答案为30．17．解：（1）如图，连接OA．∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∵AB＝AD，∴∠B＝∠D，∵AC＝CD，∴∠D＝∠CAD，∴∠OAB＝∠CAD，∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠OAD＝90°，即OA⊥AD，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为x，则OA＝OC＝x，BC＝2x，∵∠B＝∠D，AB＝AD，∠BAC＝∠OAD＝90°，∴△BAC≌△DAO，∴BC＝DO，∵CD＝1，∴DO＝OC+CD＝x+1，∴2x＝x+1，∴x＝1，即⊙O的直径为2．18．（1）证明：连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，∴OA⊥P A，∴P A是⊙O的切线；（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝4，∴BE＝BC＝2，CE＝2，∵AB＝2+，∴AE＝AB﹣BE＝，在Rt△ACE中，AC＝＝3，∴AP＝AC＝3．在Rt△P AO中，OA＝OP＝3，∴⊙O的半径为3．24.3正多边形和圆一．选择题1．下列说法错误的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．圆内接四边形的对角互补C．任意三角形都有一个外接圆D．正n边形的中心角等于2．下列说法中正确的是（）A．直角三角形只有一条高B．三角形任意两个内角的和大于第3个内角C．在同圆中任意两条直径都互相平分D．如果一个多边形的各边都相等，那么它是正多边形3．如图，A、B、C是⊙O上顺次3点，若AC、AB、BC分别是⊙O内接正三角形、正方形、正n边形的一边，则n＝（）A．9B．10C．12D．154．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是（）A．18°B．30°C．36°D．40°5．下列说法中，正确的个数为（）①三角形的外角等于两个内角的和；②有两边和一角分别相等的两个三角形全等；③各边都相等的多边形是正多边形；④到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．A．1B．2C．3D．06．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是上的任意一点，则∠APB的大小是（）A．15°B．30°C．45°D．60°7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是上不同于点C的任意一点，则∠BPC的大小是（）A．22.5°B．45°C．30°D．50°8．如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（）A．B．C．D．9．如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6B．8C．10D．1210．已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD 的度数为（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°二．填空题11．如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC的度数为°．12．已知正方形的半径是4，那么这个正方形的边心距是．13．已知正三角形ABC的半径长为R，那么△ABC的周长是．（用含R的式子表示）14．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为BC上一点，连接AF，若∠AFC＝126°，则∠BAF的度数为．15．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠BOQ＝．三．解答题16．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．（1）求∠F AB的度数；（2）求证：OG＝OH．17．如图，⊙O的半径等于4cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O（1）求圆心O到AF的距离；（2）求正六边形ABCDEF的面积．参考答案1．解：A、∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，∴选项A符合题意；B、∵圆内接四边形的对角互补，∴选项B不符合题意；C、∵任意三角形都有一个外接圆，∴选项C不符合题意；D、∵正n边形的中心角等于，∴选项D不符合题意；故选：A．2．解：A、直角三角形有3条高，故原命题错误，不符合题意；B、钝角三角形的两个较小的锐角的和小于最大的钝角，故原命题错误，不符合题意；C、在同圆中任意两条直径都互相平分，正确，符合题意；D、如果一个多边形的各角相等，各边都相等，那么它是正多边形，故原命题错误，不符合题意；故选：C．3．解：如图，连接OA，OC，OB．∵若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，∴∠AOC＝120°，∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，由题意30°＝，∴n＝12，故选：C．4．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AED＝∠EAB＝∠ABC＝108°，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，∴∠EAC＝72°，∴∠AED+∠EAC＝180°，∴DE∥AF，∵AE＝AF＝DE，∴四边形AEDF是菱形，∴∠EDF＝∠EAF＝72°，∵∠EDC＝108°，∴∠FDC＝36°，故选：C．5．解：①三角形的外角等于两个内角的和，错误，应该是三角形的外角等于和它不相邻两个内角的和．②有两边和一角分别相等的两个三角形全等，错误，应该是有两边和夹角分别相等的两个三角形全等．③各边都相等的多边形是正多边形，错误．缺少各个角相等这个条件．④到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．错误，这个点必须在这个角的内部．故选：D．6．解：连接OA、OB、如图所示：∵∠AOB＝＝60°，∴∠APC＝∠AOC＝30°，故选：B．7．解：如图，连接OB、OC，则∠BOC＝90°，根据圆周角定理，得：∠BPC＝∠BOC＝45°．故选：B．8．解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，∵⊙O的周长等于4πcm，∴⊙O的半径为：＝2，∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴OA＝OB＝AB＝2，∵OG⊥AB，∴AG＝BG＝AB＝1，∴OG＝，∴S△AOB＝AB•OG＝2×＝．∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝6（cm2）．故选：C．9．解：连接AO、BO、CO，∵AC是⊙O内接正四边形的一边，∴∠AOC＝360°÷6＝90°，∵BC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∴n＝360°÷30°＝12；故选：D．10．解：连接OC、OD，如图，∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，∴∠COD＝60°，当P点在弧CAD上时，∠CPD＝∠COD＝30°，当P点在弧CD上时，∠CPD＝180°﹣30°＝150°，综上所述，∠CPD的度数为30°或150°．故选：B．11．解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，∴∠ABC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，故答案为：132．12．解：如图，根据正方形的性质知：△BOC是等腰直角三角形，过O作OE⊥BC于E，∵正方形的半径是4，∴BO＝4，∴OE＝BE＝BO＝2，故答案为：2．13．解：如图所示：连接OA、OB、OC，过O作OD⊥BC于D，∵△ABC是半径为R的等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝R，∠ABC＝60°，∴∠OBD＝30°，∵OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，OD＝OB＝R，∴BD＝OD＝R，∴BC＝2BD＝R，∴该三角形的周长为3R，故答案为：3R．14．解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠ABC＝＝108°，∵∠AFC＝126°，∴∠BAF＝∠AFC﹣∠ABF＝126°﹣108°＝18°．故答案为18°．15．解：连结OA，OD，∵△PQR是⊙O的内接正三角形，∴PQ＝PR＝QR，∴∠POQ＝×360°＝120°，∵BC∥QR，OP⊥QR，∵BC∥QR，∴OP⊥BC，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴OP⊥AD，∠AOD＝90°，∴＝，∴∠AOP＝∠DOP，∴∠AOP＝×90°＝45°，∴∠AOQ＝∠POQ﹣∠AOP＝75°．∵∠AOB＝90°，∴∠QOB＝15°，故答案为：15°．16．（1）解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠F AB＝＝120°；（2）证明：连接OA、OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠F AB＝∠CBA，∴∠OAG＝∠OBH，在△AOG和△BOH中，，∴△AOG≌△BOH（SAS）∴OG＝OH．17．解：（1）过O作OH⊥AF于H，连接OA，OF，∵在正六边形ABCDEF中，∠BAF＝120°，∴∠OAF＝60°，∵OA＝4，∴AH＝OA＝2，∴OH＝＝＝2；∴圆心O到AF的距离为2；（2）∵OA＝OF，∠OAF＝60°，∴△OAF是等边三角形，∴AF＝OA＝4，∴S△AOF＝×4×2＝4，∴正六边形ABCDEF的面积＝6S△AOF＝24．24.4 弧长和扇形面积一、选择题1. 如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，O1，O2，O3，O4分别是OA，OB，OC，OD的中点．若⊙O的半径是2，则阴影部分的面积为()A．8 B．4C．4π＋4 D．4π－42. 如图，用一张半径为24 cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子(接缝忽略不计)．如果圆锥形帽子的底面圆半径为10 cm，那么这张扇形纸板的面积是()A．240π cm2B．480π cm2C．1200π cm2D．2400π cm23. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是( )A ．120°B ．180°C ．240°D ．300°4. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)( )A ．8－πB ．16－2πC ．8－2πD ．8－12π5. 如图AB 为半圆O 的直径，AB ＝4，C ，D 为AB ︵上两点，且AC ︵＝15BD ︵.若∠CED ＝52∠COD ，则BD ︵的长为( )图A.59πB.78πC.89πD.109π6. 如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D .若AC ＝BD ＝4，∠A ＝45°，则CD ︵的长度为( )A ．πB ．2πC ．2 2πD ．4π7. 如图0，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，CD ＝2 3，则图中阴影部分的面积为( )A ．4πB ．2πC ．π D.2π38. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB ＝90°.曲线CDEF…叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中CD ︵，DE ︵，EF ︵，…的圆心依次按A ，B ，C ，…循环．如果AC ＝1，那么曲线CDEF 和线段CF 围成图的面积为( )图A .（12＋72）4πB .（9＋52）4πC .（12＋72）π＋24D .（9＋52）π＋249. 如图，点I 为△ABC 的内心，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝2，将∠ACB 平移使其顶点与点I 重合，则图中阴影部分的周长为( )A ．4.5B ．4C ．3D ．210. 如图所示，矩形纸片ABCD 中，AD ＝6 cm ，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形BAF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为( )A．3.5 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm二、填空题11. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为________．12. 如图所示，有一直径是2米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC，则：(1)AB的长为________米；(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为________米．13. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC＝3，∠BOC＝2∠AOC.若用扇形OAC(图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是________．AB=，将半圆绕点A顺时针旋转14. (2019•十堰)如图，AB为半圆的直径，且660︒，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为__________．15. 如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA长为半径作弧交AB于点A，C，交OB于点D.若OA＝3，则阴影部分的面积为________．三、解答题16. 已知扇形的圆心角为120°，面积为300π cm2.(1)求扇形的弧长；(2)若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积是多少？17. 已知一个圆锥的轴截面△ABC(如图0)是等边三角形，它的表面积为75π cm2，求这个圆锥的底面圆的半径和母线长．18. 当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻璃上的雨刷．如图是某汽车的一个雨刷的转动示意图，雨刷杆AB与雨刷CD在B处固定连接(不能转动)，当杆AB绕点A转动90°时，雨刷CD扫过的面积是图中阴影部分的面积，现量得CD＝90 cm，∠DBA＝20°，AC＝115 cm，DA＝35 cm，试从以上信息中选择所需要的数据，求出雨刷扫过的面积．19. 如图是两个半圆，点O 为大半圆的圆心，AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，AB ＝24，求图中阴影部分的面积．20. 如图①，在等腰三角形ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC ，且AD ＝6，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧EF ，交AB 于点E ，交AC 于点F.(1)求由EF ︵及线段FC ，CB ，BE 围成的图形(图中阴影部分)的面积；(2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF ，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠(如图②)，求这个圆锥的高h.人教版 九年级数学 24.4 弧长和扇形面积 针对训练 -答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】A[解析] ∵扇形的弧长l＝2·π·10＝20π(cm)，∴扇形的面积S＝12lR＝12×20π×24＝240π(cm2)．3. 【答案】B[解析] 设母线长为R，底面圆的半径为r，则底面圆的周长＝2πr，底面积＝πr2，侧面积＝πrR.∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2＝πrR，∴R＝2r.设该圆锥侧面展开图的圆心角为n°，则nπR180＝2πr，∴nπR180＝πR，∴n＝180.故选B.4. 【答案】C[解析] 在边长为4的正方形ABCD中，BD是对角线，∴AD＝AB＝4，∠BAD＝90°，∠ABE＝45°，∴S△ABD＝12AD·AB＝8，S扇形BAE＝45·π·42360＝2π，∴S阴影＝S△ABD－S扇形BAE＝8－2π.故选C.5. 【答案】D6. 【答案】B7. 【答案】D[解析] 如图，连接OD.∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝3，∠CEO＝∠DEO＝90°.又∵OE＝OE，∴△COE≌△DOE，故S△COE＝S△DOE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积．∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∴∠OCD ＝30°，∴OE ＝12OC.在Rt △COE 中，CE ＝3，由勾股定理可得OC ＝2，∴OD ＝2.∵△COE ≌△DOE ，∴∠DOE ＝∠COE ＝60°，∴S 扇形OBD ＝60π·22360＝23π，即阴影部分的面积为2π3.故选D.8. 【答案】C [解析] 曲线CDEF 和线段CF 围成的图是由三个圆心不同，半径不同的扇形以及△ABC 组成的，所以根据面积公式可得 135π×1＋135π×（2＋1）2＋90π×（2＋2）2360＋12×1×1＝（12＋7 2）π＋24.9. 【答案】B [解析] 设CA ，CB 平移后分别交AB 于点M ，N ，连接AI ，BI.由平移可知AC ∥MI ，∴∠CAI ＝∠AIM.∵∠CAI ＝∠BAI ，∴∠BAI ＝∠AIM ，∴AM ＝MI.同理BN ＝NI.∴△MNI 的周长＝MI ＋NI ＋MN ＝AM ＋BN ＋MN ＝AB ＝4.故选B.10. 【答案】B [解析] AF ︵的长＝14·2π·AB ，右侧圆的周长为π·D E.∵裁出的扇形和圆恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，∴14·2π·AB ＝π·DE ，∴AB ＝2DE ，即AE ＝2DE.∵AE ＋DE ＝AD ＝6，∴AB ＝4.故选B.二、填空题11. 【答案】4π [解析] 设此圆锥的底面圆的半径为r.由题意可得2πr ＝120π×6180，解得r ＝2，故这个圆锥的底面圆的半径为2，所以底面圆的面积为πr2＝4π.12. 【答案】(1)1 (2)14 [解析] (1)如图，连接BC.∵∠BAC ＝90°，∴BC 为⊙O 的直径，即BC ＝ 2.∵AB ＝AC ，AB2＋AC2＝BC2＝2，∴AB ＝1(米)．(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r 米．根据题意，得2πr ＝90·π·1180，解得r ＝14.13. 【答案】12 [解析] 设这个圆锥底面圆的半径是r.∵∠BOC ＝2∠AOC ，∠BOC ＋∠AOC ＝180°，∴∠AOC ＝60°.又∵OA ＝OC ，∴△OAC 为等边三角形，∴OA ＝OC ＝AC ＝3，∴lAC ︵＝60π×3180＝2πr ，解得r ＝12，∴这个圆锥底面圆的半径是12.14. 【答案】6π【解析】由图可得， 图中阴影部分的面积为：22260π6π(62)π(62)6π36022⨯⨯⨯÷⨯÷+-=，故答案为：6π．15. 【答案】34π [解析] 如图，连接OC ，过点C 作CN ⊥AO 于点N ，CM ⊥OB于点M.∵∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°.∵OA ＝OC ，∴△AOC 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°，AC ＝OA.∵OA ＝3，∴AC ＝OA ＝3.∵CN ⊥OA ，∴AN ＝ON ＝12OA ＝32，∴CN ＝32 3，∴S △AOC ＝12OA·CN ＝94 3.∵∠AOB ＝90°，CN ⊥OA ，CM ⊥OB ，∴四边形CNOM 为矩形，∴CM ＝ON ＝32.在Rt △AOB 中，∠B ＝30°，OA ＝3，∴AB ＝2OA ＝6，∴OB ＝3 3，∴S △OCB ＝12OB·CM ＝94 3. ∵∠AOC ＝60°，OA ＝3，∴S 扇形OAC ＝60π·32360＝32π.∵∠COD ＝90°－60°＝30°，∴S 扇形OCD ＝30π·32360＝34π，∴S 阴影＝S 扇形OAC －S △AOC ＋S △OCB －S 扇形OCD ＝34π.三、解答题16. 【答案】解：(1)设扇形的半径为r cm.由题意，得120π×r2360＝300π，解得r ＝30，∴扇形的弧长＝120π×30180＝20π(cm)．(2)设圆锥的底面圆的半径为x cm ，则2π·x ＝20π，解得x ＝10， ∴圆锥的高＝302－102＝20 2(cm)，∴圆锥的体积＝13·π·102·20 2＝ 2000 23π(cm3)．17. 【答案】解：∵轴截面△ABC 是等边三角形，∴AC ＝BC ＝2OC.由题意，得π·OC·AC ＋π·OC 2＝75π，∴3π·OC2＝75π，∴OC2＝25.∵OC>0，∴OC ＝5 cm ，∴AC ＝2OC ＝2×5＝10(cm)．即这个圆锥的底面圆的半径为5 cm ，母线长为10 cm.18. 【答案】解：由题意可知△ACD ≌△AC′D′，所以可将△AC′D′旋转到△ACD 处，使阴影部分面积成为一部分环形面积，可通过两扇形面积之差求得，即雨刷CD 扫过的面积S 阴影＝S 扇形ACC′－S 扇形ADD′＝90π×1152360－90π×352360＝π4(115＋35)×(115－35)＝3000π(cm2)．答：雨刷扫过的面积为3000π cm2.19. 【答案】 [解析] 小圆向右平移，使它的圆心与大圆的圆心重合，于是阴影部分的面积可转化为大半圆的面积减去小半圆的面积．解：将小半圆向右平移，使两半圆的圆心重合，如图，连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝BC ＝12.∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC 为小半圆的半径，∴S 阴影＝S 大半圆－S 小半圆＝12π·OB2－12π·OC2＝12π(OB2－OC2)＝12π·BC2＝72π.20. 【答案】解：(1)∵在等腰三角形ABC 中，∠BAC ＝120°，∴AB ＝AC ，∠B ＝∠C ＝30°.∵AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD.在Rt △ABD 中，由∠B ＝30°，AD ＝6，可得AB ＝12，BD ＝6 3，∴BC ＝2BD ＝12 3，∴由EF ︵及线段FC ，CB ，BE 围成的图形(图中阴影部分)的面积＝S △ABC －S 扇形AEF ＝12×6×12 3－120·π·62360＝36 3－12π. (2)设圆锥的底面圆的半径为r.根据题意，得2πr ＝120·π·6180，解得r ＝2，∴这个圆锥的高h ＝62－22＝4 2.。

专题24.1圆的有关性质（测试）一、单选题1．下列各角中，是圆心角的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】顶点在圆心，两边和圆相交的角是圆心角，选项D 中，是圆心角， 故选D ．2．一个周长是l 的半圆，它的半径是（ ） A ．l π÷ B ．2l π÷C ．()2l π÷+D ．()1l π÷+【答案】C 【解析】半圆的周长为半径的π倍加上半径的2倍，所以一个周长是l 的半圆，它的半径是()2l π÷+，所以选C. 3．如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为（ ）A ．B ．4C ．D ．4.8【答案】C【解析】∵AB 为直径， ∴90ACB ︒∠=，∴6BC =， ∵OD AC ⊥， ∴142CD AD AC ===，故选C ． 4．如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，30ADC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】D【解析】解：如图，∵30ADC ∠=︒， ∴260AOC ADC ∠=∠=︒． ∵AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，∴AC BC =．∴60AOC BOC ∠=∠=︒． 故选：D ．.5．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65°．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器（ ）台．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】设需要安装n （n 是正整数）台同样的监控器，由题意，得：65°×2×n ≥360°， 解得n ≥3613，∴至少要安装3台这样的监控器，才能监控整个展厅．故选：A ．且10CD m =，则这段弯路所在圆的半径为（ ）A ．25mB ．24mC ．30mD ．60m【答案】A 【解析】解：OC AB ⊥，20AD DB m ∴==，在Rt AOD ∆中，222OA OD AD =+， 设半径为r 得：()2221020r r =-+， 解得：25r m =，∴这段弯路的半径为25m故选：A ．7．若AB 和CD 的度数相等，则下列命题中正确的是（ ） A ．AB =CDB ．AB 和CD 的长度相等C ．AB 所对的弦和CD 所对的弦相等D ．AB 所对的圆心角与CD 所对的圆心角相等 【答案】D【解析】如图，AB 与CD 的度数相等，A 、根据度数相等，不能推出弧相等，故本选项错误；B 、根据度数相等，不能推出两弧的长度相等，故本选项错误；C 、根据度数相等，不能推出所对应的弦相等，故本选项错误；D 、根据度数相等，能推出弧所对的两个圆心角相等，故本选项正确；8．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：①AD=CD=BC；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD ＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【解析】∵C、D为半圆上三等分点，∴»»»AD CD BC==，故①正确，∵在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相，∴AD＝CD＝OC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②③正确，∵OA=OD=OC=OB，∴△AOD≌△COD≌△COB，且都是等边三角形，∴△AOD沿OD翻折与△COD重合．故④正确，∴正确的说法有：①②③④共4个，故选A．9．下列说法：①优弧一定比劣弧长；②面积相等的两个圆是等圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中不正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，所以①错误；面积相等的两个圆半径相等，则它们是等圆，所以②正确；能完全重合的弧是等弧，所以③错误；经过圆内一个定点可以作无数条弦，所以④正确；经过圆内一定点可以作无数条直径或一条直径，所以⑤错误．10．如图所示，AB 是半圆O 的直径。

初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初24.1圆的有关性质一、选择题1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD=5，CE=√13，则AE =()A. 3B. 3√2C. 4√3D. 2√32.如图，在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是()A. 6cmB. 10cmC. 8cmD. 20cm3.如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC=40°，则∠ADC的度数是()A. 130°B. 140°C. 150°D. 160°4.如图，A、B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为()A. √2rB. √3rC. rD. 2r5.下列说法正确的是()1/ 45A. 垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B. 平分弦的直径垂直于弦C. 垂直于直径平分这条直径D. 弦的垂直平分线经过圆心6.下列说法正确的是()A. 相等的圆心角所对的弧相等B. 在同圆中，等弧所对的圆心角相等C. 在同圆中，相等的弦所对的弧相等D. 相等的弦所对的弧相等7.如图，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为()A. 2√15B. 8C. 2√10D. 2√138.如图所示，图中弦的条数为()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条9.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为AB⌢的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为()A. 12B. 5 C. 5√32D. 5√310.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为()A. 6B. 8C. 5√2D. 5√3二、填空题11.如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB=8cm，AC=6cm，那么⊙O的半径OA长为______．12.如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为______．13.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130°，AC//OD交⊙O于C，连接BC，则∠B=________．14.如图，CD是⊙O的直径，CD=4，∠ACD=20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的3/ 45最小值为______．三、计算题15.⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，且∠DEB=60°，求CD的长．四、解答题16.如图，AB是⊙O的直径，点C为BD⌢的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．(1)求证：△BFG≌△CDG；(2)若AD=BE=2，求BF的长．17.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC．18.如图所示，已知⊙O′与平面直角坐标系交于A，O，B三点，点C在⊙O′上，点A的坐标为(0,2)，∠COB=45°，∠OBC= 75°，求⊙O′的直径．5/ 45答案和解析1.【答案】D【解析】解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1=∠2，∵∠1=∠CDA，∠2=∠3，∴∠3=∠CDA，∴AC=AD=5，∵AE⊥CB，∴∠AEC=90°，∴AE=√AC2−CE2=√52−(√13)2=2√3．故选：D．连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1=∠CDA，∠2=∠3，从而得到∠3=∠CDA，所以AC=AD=5，然后利用勾股定理计算AE的长．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).也考查了勾股定理．2.【答案】B【解析】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OC，∵弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cmAB=8cm，∴OE=6cm，AE=12在Rt△AOE中，根据勾股定理得，OA=√OE2+AE2=10cm故选：B．过点O作OE⊥AB于点E.根据垂径定理和勾股定理求解．本题考查了垂径定理和勾股定理的综合应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．【解析】解：由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故选：B．根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．4.【答案】B【解析】解：连接AB，与OC交于点D，如图所示：∵四边形ACBO为菱形，∴OA=OB=AC=BC，OC⊥AB，又OA=OC=OB，∴△AOC和△BOC都为等边三角形，AD=BD，在Rt△AOD中，OA=r，∠AOD=60°，r，∴AD=OAsin60°=√32则AB=2AD=√3r.故选：B．连接AB，与OC交于点D，由ACBO为菱形，根据菱形的性质得到对角线互相垂直，且四条边相等，再由半径相等得到三角形AOC与三角形BOC都为等边三角形，同时得到AD=BD，在直角三角形AOD中，由OA=r，∠AOD为60°，利用余弦函数定义及特殊角的三角函数值求出AD的长，即可求出AB的长．此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，垂径定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．7/ 45【解析】解：A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；B、平分弦(非直径)的直径垂直于弦，所以B选项错误；C、垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；D、弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确．故选：D．根据垂径定理对A、C进行判断；根据垂径定理的推论对B、D进行判断．本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．6.【答案】B【解析】解：A、错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意．B、正确．C、错误．弦所对的弧有两个，不一定相等，本选项不符合题意．D、错误．相等的弦所对的弧不一定相等．故选：B．根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．本题考查圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】D【解析】【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角形中位线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．首先连接BE，由⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，CD=2，根据垂径定理可求得AC=BC=4，然后设OA=R，利用勾股定理可得方程：42+(R−2)2=R2，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得BE的长，又由AE是直径，可得∠B=90°，继而求得答案．【解答】解：如图，连接BE，设⊙O的半径为R，∵OD⊥AB，∴AC=BC=12AB=12×8=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R−CD=R−2，由勾股定理，得OC2+AC2=OA2，∴(R−2)2+42=R2，解得R=5，∴OC=5−2=3，∵O是AE的中点，C是AB的中点，∴OC是三角形ABE的中位线，∴BE=2OC=6，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90∘，在Rt△BCE中，CE=√BC2+BE2=2√13．故选D．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆的有关概念，熟记连接圆上任意两点的线段叫弦是解题的关键．弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答．【解答】解：由图可知，点A、B、D、C是⊙O上的点，9/ 45图中的弦有AB 、DC 一共2条．故选B ．9.【答案】D【解析】【分析】此题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，含30°直角三角形有关知识，连接OC 、OA ，利用圆周角定理得出∠AOC =60°，再利用垂径定理得出AB 即可．【解答】解：连接OC 、OA ，∵∠ABC =30°，∴∠AOC =60°，∵AB 为弦，点C 为AB⏜的中点， ∴OC ⊥AB ，∴∠OAB =30°，在Rt △OAE 中，∵AO =5，∴OE =2.5，∴AE =√AO 2−OE 2=√52−(52)2=5√32， ∴AB =5√3，故选D ．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．延长AO 交⊙O 于点E ，连接BE ，由∠AOB +∠BOE =∠AOB +∠COD 知∠BOE =∠COD ，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．【解答】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD=6，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴AB=√AE2−BE2=√102−62=8，故选B．11.【答案】5cm【解析】解：连接OA，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AE=12AC=12×6=3(cm)，AD=12AB=12×8=4(cm)，∠OEA=∠ODA=90°，∵AB、AC是互相垂直的两条弦，∴∠A=90°，∴四边形OEAD是矩形，∴OD=AE=3cm，在Rt△OAD中，OA=√AD2+OD2=5cm．故答案为：5cm．首先由AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，易证得四边形OEAD是矩形，根据垂径定理，可求得AE与AD的长，然后利用勾股定理即可求得⊙O的半径OA11/ 45长．此题考查了垂径定理，矩形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意特殊图形的性质的应用．12.【答案】30°【解析】解：如图，连接OC．∵AB是直径，AC⏜=CD⏜=BD⏜，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A=60°，∵CE⊥OA，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=90°−60°=30°．故答案为30°想办法证明△AOC是等边三角形即可解决问题．本题考查圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13.【答案】40°【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理及推论，平行线的性质，先求出∠AOD，利用平行线的性质得出∠A，再由圆周角定理求出∠B的度数即可．【解答】解：∵∠BOD=130°，∴∠AOD=50°，又∵AC//OD，∴∠A=∠AOD=50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∴∠B=90°−50°=40°．故答案为40°．14.【答案】2【解析】【分析】本题考查的是轴对称−最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．首先作A关于CD的对称点Q，连接BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和等边三角形的判定和性质解答．【解答】解：作A关于CD的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP+PB=QP+PB= QB，根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，连接OQ，OB，∵点B为弧AD的中点，∴∠BOD=∠ACD=20°，∴∠QOD=2∠QCD=2×20°=40°，∴∠BOQ=20°+40°=60°．∵OB=OQ，∴△BOQ是等边三角形，13/ 45BQ=OB=12CD=2，即PA+PB的最小值为2．故答案为2．15.【答案】解：作OP⊥CD于P，连接OD，∴CP=PD，∵AE=1，EB=5，∴AB=6，∴OE=2，在Rt△OPE中，OP=OE⋅sin∠DEB=√3，∴PD=√OD2−OP2=√6，∴CD=2PD=2√6(cm)．【解析】作OP⊥CD于P，连接OD，根据正弦的定义求出OP，根据勾股定理求出PD，根据垂径定理计算．本题考查的是垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．16.【答案】证明：(1)∵C是BC⏜的中点，∴CD⏜=BC⏜，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴BC⏜=BF⏜，∴CD⏜=BF⏜，∴CD=BF，在△BFG和△CDG中，∵{∠F=∠CDG∠FGB=∠DGC BF=CD，∴△BFG≌△CDG(AAS)；(2)如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵CD⏜=BC⏜，∵CE⊥AB，∴CH=CE，∵AC=AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，∴AE=AH，∵CH=CE，CD=CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，∴DH=BE=2，∴AE=AH=2+2=4，∴AB=4+2=6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BEC=90°，∵∠EBC=∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴BCAB =BEBC，∴BC2=AB⋅BE=6×2=12，∴BF=BC=2√3．【解析】(1)根据AAS证明：△BFG≌△CDG；(2)如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，得AE=AH，再证明Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，得DH=BE=2，计算AE和AB的长，证明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长．此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．17.【答案】证明：∵AB=BC，∴AB⏜=BC⏜，∴∠BDC=∠ADB，15/ 45【解析】本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系.熟练掌握圆周角定理，证出AB⏜=BC⏜是解决问题的关键.由圆心角、弧、弦的关系得出AB⏜=BC⏜，由圆周角定理得出∠BDC=∠ADB，即可得出结论．18.【答案】解：如图，连接AB．∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∵∠C=180°−∠COB−∠OBC=180°−45°−75°=60°，∴∠OAB=∠OCB=60°，∴∠ABO=30°，∵A(0,2)，∴OA=2，∴AB=2OA=4，∴⊙O′的直径为4．【解析】本题考查圆周角定理，坐标由图形的性质，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．如图，连接AB.首先证明AB是直径，解直角三角形求出AB即可．24.2点和圆、直线和圆的位置关系1、在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以A为圆心作圆，如果B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是？2、试述点和圆的位置关系？17 / 453、直线和圆的公共点的数目不能超过 ，这是因为 。

人教版九年级数学上册第24章24.1 ---24.4练习题（有答案）24.1 圆的有关性质一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 下列说法中，正确的是（）A.长度相等的两条弧是等弧B.优弧一定大于劣弧C.任意三角形都一定有外接圆D.不同的圆中不可能有相等的弦2. 如图，AB是⊙O的直径，点A是弧CD的中点，若∠B=25∘，则∠AOC=()A.25∘B.30∘C.40∘D.50∘3. 如图，一座石拱桥是圆弧形其跨度AB=24米，半径为13米，则拱高CD为（）A.3√5米B.5米C.7米D.8米4. 锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中．能组成四点共圆的组数是（）A.4组B.5组C.6组D.7组5. 如图，在⊙O中，∠ABC=130∘，则∠AOC等于()A.50∘B.80∘C.90∘D.100∘6. 如图，在⊙O中，∠BAC=15∘，∠ADC=20∘，则∠ABO的度数为()A.70∘B.55∘C.45∘D.35∘7. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5∘，OC=3√2，CD的长为（）A.2B.4C.6D.88. 如图，四边形ABCD 内接于半径为6的⊙O 中，连接AC ，若AB ＝CD ，∠ACB ＝45∘，∠ACD =12∠BAC ，则BC 的长度为（ ）A.6√3B.6√2C.9√3D.9√29. 高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =12米，净高CD =9米，则此圆的半径OA =( )A.122米B.132米C.142米D.152米10. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点D 是AĈ的中点，点E 是BC ̂上的一点，若∠CED =40∘，则∠ADC =( )A.100∘B.110∘C.95∘D.120∘二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）11. 已知AB 、CD 是⊙O 的两条弦，若AB ̂=CD ̂，且AB =2，则CD =________．12. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，若△COD为直角三角形，则∠E的度数为________∘．13. 如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝62∘，∠E ＝24∘，则∠F＝________．14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=62∘，则∠C=________∘．15. 在△ABC中，∠B=60∘，∠BCA=20∘，∠DAC=20∘，∠BCA的平分线交AB于E，连DE，则∠BDE=________．16. 芳芳家今年搬进了新房，新房外飘的凉台呈圆弧形（如图所示），她测得凉台的宽度AB为8m，凉台的最外端C点离AB的距离CD为2m，则凉台所在圆的半径为________．17. 已知一条弧的度数为120∘，则它所对的圆周角的度数是________∘．18. 如图，在△ABC中，已知∠ACB=130∘，∠BAC=20∘，BC=2，以点C为圆心，CB 为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________．19. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是弧CD上一点，且弧DF=弧BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105∘，∠BAC=25∘，则∠E的度数为________度.20. 如图是比例尺为1:200的铅球场地的示意图，铅球投掷圈的直径为2.135m，体育课上，某生推出的铅球落在投掷区的点A处，他的铅球成绩约为________m（精确到0.1m）．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图，⊙O是△ABC外接圆，AB=AC，P是⊙O上一点．（1）分别出图①和图②中∠BPC的角平分线；（2）结合图②，说明你这样理由．22. 如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．23. 如图，⊙O的弦AC、BD交于点Q，AP、CP是⊙O的切线，O、Q、P三点共线．求证：PA2=PB⋅PD．24. 如图，AB、CD是⊙O中的两条弦，M、N分别是AB、CD的中点，且∠OMN=∠ONM．求证：AB=CD．25. 如图，⊙O的半径长为12cm，弦AB=16cm．（1）求圆心到弦AB的距离；（2）如果弦AB的两端点在圆周上滑动（AB弦长不变），那么弦AB的中点形成什么样的图形？̂上一点，AG、CD的延长线26. 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AD相交于点F，求证：∠FGD=∠AGC．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】A二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】212.【答案】22.513.【答案】32∘14.【答案】11815.【答案】20∘16.【答案】5米17.【答案】6018.【答案】2√319.【答案】5020.【答案】6.1三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：（1）如图①，连接AP，即为所求角平分线；如图②，连接AO并延长，与⊙O交于点D，连接PD，即为所求角平分线（2）∵ AD是直径，∵ 半圆ABD=半圆ACD又∵ AB=AC，̂=AĈ，∵ AB∵ BĈ=BD̂，∵ ∠BPD=∠CPD，即PD平分∠BPC．22.【答案】证明：连结OA、OC，如图，∵ E、F分别为弦AB、CD的中点，∵ OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，∵ AB=CD，∵ AE=CF，在Rt△AEO和Rt△COF中，{AE=CFAO=CO，∵ Rt△AEO≅Rt△COF(HL)，∵ OE=OF．23.【答案】证明：连接OA、OB、OD、OC，设DP交⊙O于E．∵ AP、CP是⊙O的切线，∵ ∠OAP=∠PCO=90∘∵ A、O、C、P四点共圆，∵ OQ⋅PQ=AQ⋅CQ（相交弦定理）；又∵ DQ⋅BQ=AQ⋅CQ（相交弦定理），∵ OQ⋅PQ=DQ⋅BQ，∵ D、O、B、P四点共圆；∵ OD=OB，∵ ∠ODB=∠OBD；又∵ ODPB四点共圆∵ ∠ODB=∠OPB；∠OBD=∠OPD；∵ ∠OPD=∠OPB，∵ PB=PE，∵ PA2=PE⋅PD=PB⋅PD（切割线定理），即PA2=PB⋅PD．24.【答案】证明：∵ M、N分别是AB、CD的中点，∵ OM⊥AB，ON⊥CD，又∵ ∠OMN=∠ONM，∵ OM=ON，∵ AB=CD．25.【答案】解：（1）作OC⊥AB，垂足为C连接AO，则AC=8cm，在Rt△AOC中，OC=√OA2−AC2=√122−82=√80=4√5cm（或OC=8.944cm）；即圆心到弦的距离是4√5cm．（2）形成一个以O为圆心，4√5cm为半径的圆．（答“以O为圆心，OC长为半径的圆”亦可，如果只答“是一个圆”得1分）26.【答案】证明：连接AC，∵ 四边形ACDG是圆内接四边形，∵ ∠FGD=∠ACD．∵ 弦CD⊥AB于点E，∵ AĈ=AD̂，∵ ∠AGC=∠ACD，∵ ∠FGD=∠AGC．24.2 点和圆、直线和圆的位置关系（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 已知⊙O的半径为7cm，OA=5cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.不能确定2. 等边三角形的内切圆与它的外接圆的半径比是（）A.√22B.12C.1D.23. 如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连结OA，若∠ABC=70∘，则∠A等于（）A.10∘B.15∘C.20∘D.30∘4. 如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50∘，则∠AOC的度数为（）A.40∘B.50∘C.80∘D.100∘5. 如图，⊙O的半径为5，△ABC内接于⊙O，且BC＝8，AB＝AC，点D在AĈ上．若∠AOD＝∠BAC，则CD的长为（）A.5B.6C.7D.86. 下列关于圆的切线的说法正确的是（）A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线B.与圆只有一个公共点的射线是圆的切线C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线7. 已知△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC．若用反证法证这个结论，应首先假设（）A.∠B=∠CB.∠A=∠BC.AB=ACD.∠A=∠C8. 如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC=MD=AC，连接AD，现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB=MO；④∠ADM=120∘，其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个9. 如图，在△ABC中，AB=13，AC=5，BC=12，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A.125B.6013C.5D.无法确定10. 如图，AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F，如果AD=20，则△ABC的周长为（）A.20B.30C.40D.50二、填空题（本题共计7 小题，每题3 分，共计21分，）11. 如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________．12. 已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，且⊙O1经过点O1，∠AO1B=100∘，则∠AO2B=________．13. 如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=8，CD=5，则AD+BC的长为________．14. 如图，在边长为54√3的正三角形ABC中，O1为△ABC的内切圆，圆O2与O1外切，且与AC、BC相切；圆O3与O2外切，且与AC、BC相切…如此继续下去，请计算圆O5的周长为________．（结果保留π）15. 已知⊙O是等腰梯形ABCD的内切圆，上底AD=a，下底BC=b，则其内切圆的半径OP为________．16. 已知在直角ABC中，∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm，则△ABC的外接圆半径长为________cm，△ABC的内切圆半径长为________cm，△ABC的外心与内心之间的距离为________cm．17. 如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=2，CD=1，BF= 3，则内切圆的半径r=________．三、解答题（本题共计5小题，共计69分，）18. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作AC的垂直平分线，垂足为D;②以D为圆心，DA长为半径作圆，交AB于E（E异于A），连接CE；（2）探究CE与AB的位置关系，并证明你的结论．19. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，O为AB上一点，BO=x，⊙O的半径为2．（1）当x为何值时，直线BC与⊙O相切？（2）当x在什么范围内取值时，直线BC与⊙O相离、相交？20. 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，且BD=CD，过D作DF⊥AC，垂足为F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AD=5√3，∠CDF=30∘，求⊙O的半径．21. 如图，⊙O的半径为5cm，AB、AC是⊙O的两条弦，AB=6√2cm，AC=8cm．过点O作一个圆与AC相切，则这个圆的半径是多少？它与AB具有怎样的位置关系？为什么？22 如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4．BC=3，点M是AB上一点，以M为圆心作⊙M，（1）若⊙M经过A、C两点，求⊙M的半径，并判断点B与⊙M的位置关系．（2）若⊙M和AC、BC都相切，求⊙M的半径．参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【解答】解：∵ ⊙O的半径为7cm，OA=5cm，∵ d<r，∵ 点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选A．2.【答案】B【解答】解：如图，连接OD、OE；∵ AB、AC切圆O与E、D，∵ OE⊥AB，OD⊥AC，∵ AO=AO，EO=DO，∵ △AEO≅△ADO(HL)，∵ ∠DAO=∠EAO；又∵ △ABC为等边三角形，∵ ∠BAC=60∘，×60∘=30∘，∵ ∠OAC=12∵ OD:AO=1:2．，∵ 等边三角形的内切圆与外接圆半径的比是12故选B．3.【答案】C【解答】解：连接OB，∵ BC是⊙O的切线，∵ OB⊥BC，∵ ∠CBO=90∘，∵ ∠ABC=70∘，∵ ∠OBA=90∘−70∘=20∘，∵ OA=OB，∵ ∠A=∠OBA=20∘，故选C．4.【答案】C【解答】解：∵ 在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，∵ ∠OCD=90∘，∵ ∠BCD=50∘，∵ ∠OCB=40∘，∵ ∠AOC=80∘，故选C．5.【答案】B【解答】连接BD，∵ AB＝AC，∵ ∠ABC＝∠ACB，∵ ∠BAC+2∠ACB＝180∘，∵ ∠BAC＝∠AOD，∵ ∠AOD+2∠ACB＝180∘，∵ ∠AOD＝2∠ACD，∵ 2∠ACD+2∠ACB＝180∘，∵ ∠ACD+∠ACB＝90∘，即∠BCD＝90∘，∵ BD为⊙O的直径，∵ BD＝10，∵ CD=√BD2−BC2=√102−82=6，6.【答案】D【解答】解：A，经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误；B，与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，故原命题错误；C，经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误；D，如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线，正确．故选D.7.【答案】C【解答】解：∵ 已知△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC．∵ 若用反证法证这个结论，应首先假设：AB=AC．故选：C．8.【答案】D【解答】解：如图，连接CO，DO，∵ MC与⊙O相切于点C，∵ ∠MCO=90∘，在△MCO与△MDO中，{MC=MD，MO=MO，CO=DO，∵ △MCO≅△MDO(SSS)，∵ ∠MCO=∠MDO=90∘，∠CMO=∠DMO，∵ MD与⊙O相切，故①正确；在△ACM与△ADM中，{CM =DM ，∠CMA =∠DMA ，AM =AM ，∵ △ACM ≅△ADM(SAS)，∵ AC =AD ，∵ MC =MD =AC =AD ，∵ 四边形ACMD 是菱形，故②正确；如图连接BC ，∵ AC =MC ，∵ ∠CAB =∠CMO ，又∵ AB 为⊙O 的直径，∵ ∠ACB =90∘，在△ACB 与△MCO 中，{∠CAB =∠CMO ，AC =MC ，∠ACB =∠MCO ， ∵ △ACB ≅△MCO(SAS)，∵ AB =MO ，故③正确；∵ △ACB ≅△MCO ，∵ BC =OC ，∵ BC =OC =OB ，∵ ∠COB =60∘，∵ ∠MCO =90∘，∵ ∠CMO =30∘，又∵ 四边形ACMD 是菱形，∵ ∠CMD =60∘，∵ ∠ADM =120∘，故④正确；故正确的有4个.故选D .9.【答案】B【解答】解：∵ 在△ABC中，AB=13，AC=5，BC=12，∵ AB2=AC2+BC2．∵ ∠ACB=90∘，∵ PQ一定是直径．要使过点C且与边AB相切的动圆的直径最小，则PQ即为斜边上的高，则PQ=AC⋅BCAB =6013．故选B．10.【答案】C【解答】解：据切线长定理有AD=AE，BE=BF，CD=CF；则△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BF+CF+AC=AB+BE+AC+CD=AD+AE=2AD=40．故选C．二、填空题（本题共计7 小题，每题 3 分，共计21分）11.【答案】∠ABC=90∘【解答】解：当△ABC为直角三角形时，即∠ABC=90∘时，BC与圆相切，∵ AB是⊙O的直径，∠ABC=90∘，∵ BC是⊙O的切线，（经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线）．故答案为：∠ABC=90∘．12.【答案】130∘或50∘【解答】解：①如图：∵ ∠AO1B=80∘，∠AO1B=50∘，∵ ∠ACB=12∵ A、C、B、O2四点共圆，∵ ∠AO2B+∠ACB=180∘，∵ ∠AO2B=130∘，②如图：∠AO1B=50∘；此时∠AO2B=12故答案为：130∘或50∘．13.【答案】13【解答】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以AD+BC=AB+CD=5+8=13，故选答案是：13．14.【答案】2π3【解答】解：如图过点O2作O2D⊥O1E于D，∵ △ABC是等边三角形，O1为△ABC的内切圆，∵ O1E⊥BC，∠O1BE=∠O1O2D=30∘，BE=12BC=27√3，∵ O1E=27，设⊙O1，⊙O2的半径为R，r，∴O1O2=12O1D，∵ r=13R，同理⊙O3的半径=13r=19R=3，⊙O4=13×3=1，⊙O5=13×1=13，∵ ⊙O5的周长=2×13π=23π．15.【答案】√ab2【解答】解：设⊙O的半径OP=r，过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，过D作MN⊥AD交BC于N，则AE // MN // DF，∵ AD // BC，∵ 四边形AENM和四边形DFNM是平行四边形，∵ AE=NM=DF=2r，AD=EF=b−a，∵ AB=DC，∵ 由勾股定理得：BE=CF=12(b−a)，∵ ⊙O是等腰梯形ABCD的内切圆，∵ AB=DC12(a+b)，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=√[12(a+b)]2−[12(b−a)]2=√ab，∵ OP=√ab2．故答案为：√ab2．16.【答案】5,2,√5【解答】解：(1)∵ ∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm，∵ AB=√82+62=10cm．∵ △ABC的外接圆半径长R=AB2=102=5cm．故答案为：5cm．(2)∵ AC=8cm，BC=6cm，由(1)知AB=10cm，∵ △ABC的内切圆半径长r=a+b−c2，=8+6−10=2cm．故答案为：2cm．(3)连接ID，IE，IF，∵ ⊙I是△ABC的内切圆，∵ ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，∵ ∠CDI=∠CEI=∠C=90∘，又∵ DI=EI，∵ 四边形CDIE是正方形．∵ CD=CE=DI=IE，由(2)知DI=IE=IF2cm，∵ CD=2cm．∵ BC=6cm，∵ BD=4cm．∵ ⊙I是△ABC的内切圆，∵ BD=BF=4cm．∵ BO=5cm，∵ OF=1cm．在Rt△IFO中，IO=√22+12=√5cm．∵ △ABC的外心与内心之间的距离为√5cm．故答案为：√5cm．17.【答案】1【解答】解：∵ ⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∵ AF=AE，EC=CD，DB=BF，∵ AE=2，CD=1，BF=3，∵ AF=2，EC=1，BD=3，∵ AB=BF+AF=3+2=5，BC=BD+DC=4，AC=AE+EC=3，∵ △ABC是直角三角形，=1.∵ 内切圆的半径r=3+4−52故答案为：1．三、解答题（本题共计7 小题，每题10 分，共计70分）18.【答案】（1）解：①如解图，直线DF即为AC的垂直平分线；②如解图，⊙D即为所求作的圆；（2）证明：CE⊥AB．证明：∵ AD是⊙D的半径，点D是线段AC的中点，∵ AC是⊙D的直径，∵ ∠AEC=90∘，∵ CE⊥AB．【解答】（1）解：①如解图，直线DF即为AC的垂直平分线；②如解图，⊙D即为所求作的圆；（2）证明：CE⊥AB．证明：∵ AD是⊙D的半径，点D是线段AC的中点，∵ AC是⊙D的直径，∵ ∠AEC=90∘，∵ CE⊥AB．19.【答案】解：（1）作OD // AC，交BC于点D，∵ ∠C=90∘，∠A=30∘，∵ ∠B=60∘，∠DOB=30∘，∵ BO=x，OD=2，∵ cos30∘=2，x，解得：x=4√33时，直线BC与⊙O相切；即当x为4√33（2）由（1）得：①若圆O与直线BC相离，则有OB大于x，即x>4√3；3．②若圆O与直线CB相交，则有OB小于x，即x<4√33【解答】解：（1）作OD // AC，交BC于点D，∵ ∠C=90∘，∠A=30∘，∵ ∠B=60∘，∠DOB=30∘，∵ BO=x，OD=2，，∵ cos30∘=2x解得：x=4√3，3即当x为4√33时，直线BC与⊙O相切；（2）由（1）得：①若圆O与直线BC相离，则有OB大于x，即x>4√33；②若圆O与直线CB相交，则有OB小于x，即x<4√33．20.【答案】【解答】此题暂无解答21.【答案】解：作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，连接OA，如图所示：则AD=CD=12AC=4cm，AE=BE=12AB=3√2cm，∠ODA=∠OEA=90∘，由勾股定理得：OD=√OA2−AD2=√52−42=3(cm)，OE=√OA2−AE2=√52−(3√2)2=√7(cm)，即过点O作一个圆与AC相切，则这个圆的半径是3cm，这个圆与AB相交，理由如下：∵ √7<3，即d<r，∵ 与CA相切的圆与AB相交．【解答】解：作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，连接OA，如图所示：则AD=CD=12AC=4cm，AE=BE=12AB=3√2cm，∠ODA=∠OEA=90∘，由勾股定理得：OD=√OA2−AD2=√52−42=3(cm)，OE=√OA2−AE2=√52−(3√2)2=√7(cm)，即过点O作一个圆与AC相切，则这个圆的半径是3cm，这个圆与AB相交，理由如下：∵ √7<3，即d<r，∵ 与CA相切的圆与AB相交．22.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CP=16.9cm【解答】（1）如图，连接OD，：BC是○○的直径，________BAC=90∘AD平分么BAC，∵ ________BAC=2∠BAD，BOD=2BAD，．2BOD=∠BAC=90∘DPIIBC，．________ODP=∠BOD=90∘…．PDLOD，：OD是○○半径，…PD是○O的切线；（2）：PDIIBC，∵ ________ACB=2PACB=∠ADB∵ ．ADB=2P________AB+∠ACD=180∘&nbsp∴ ACD+∠DCP=180∘________DCP=∠ABD∵ ΔABD∼△DCP；（3）：BC是○○的直径，∠BDC=∠BAC=90∘在Rt△ABC中，BC=√AB2+AC2=13cm：AD平分么BAC，∵ 2EAD=∠CAD∵ 2BOD=∠COD∵ BD=CE)．在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2∴ BD=CD=√22BC=13√22ΔABD−△DCP∵ABCD=BDCPCP=16x−s&nbsprcm．BK−P22.【答案】解：（1）∵ ⊙M经过A、C两点，∵ M在AC的垂直平分线上，设点D是AC的中点，连接CM，DM，∵ DM // BC，∵ AM:BM=AD:CD=1，∵ M是AB的中点，∵ AM=CM=BM，连接CM，∵ Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，BC=3，∵ AB=√AC2+BC2=5，∵ CM=12AB=2.5，∵ ⊙M的半径为 2.5，点B在⊙M上．（2）连接EM，FM，∵ ⊙M和AC、BC都相切，∵ ME⊥AC，MF⊥BC，CE=CF，∵ ∠C=90∘，∵ 四边形CEMF是正方形，设EM=x，则CE=x，∵ AE=AC−CE=4−x，∵ △AEM∽△ACB，∵ AE:AC=EM:BC，∵ 4−x4=x3，解得：x=127．即⊙M的半径为127．【解答】解：（1）∵ ⊙M经过A、C两点，∵ M在AC的垂直平分线上，设点D是AC的中点，连接CM，DM，∵ DM // BC，∵ AM:BM=AD:CD=1，∵ M是AB的中点，∵ AM=CM=BM，连接CM，∵ Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，BC=3，∵ AB=2+BC2=5，∵ CM=12AB=2.5，∵ ⊙M的半径为 2.5，点B在⊙M上．（2）连接EM，FM，∵ ⊙M和AC、BC都相切，∵ ME⊥AC，MF⊥BC，CE=CF，∵ ∠C=90∘，∵ 四边形CEMF是正方形，设EM=x，则CE=x，∵ AE=AC−CE=4−x，∵ △AEM∽△ACB，∵ AE:AC=EM:BC，∵ 4−x4=x3，解得：x=127．即⊙M的半径为127．24.3正多边形和圆一．选择题1．下面说法正确的个数有（）①若m＞n，则ma2＞nb2；②由三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；③有两个角互余的三角形一定是直角三角形；④各边都相等的多边形是正多边形；⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个2．下列说法，错误的是（）A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法B．一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根C．一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限D．正六边形每个内角的度数是外角度数的2倍3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（）A．45°B．36°C．35°D．30°4．如图，用若n个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为（）A．5B．6C．8D．105．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．60°B．36°C．76°D．72°6．如图，正方形ABCD和正三角形AEF内接于⊙O，DC、BC交EF于G、H，若正方形ABCD的边长是4，则GH的长度为（）A．2B．4﹣C．D．﹣7．如图，⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，则下列结论：①弧DF的度数为90°；②AE＝DF；③S＝AEDF．正八边形ABCDEFGH其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③8．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为（）A．B．C．D．29．如图，正五边形ABCDE与正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，若连接BM，则∠MBC的度数是（）A．12°B．15°C．30°D．48°10．如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题11．正六边形的边长为2，则边心距为．12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是1，则正方形的边长是．13．中心角为36°的正多边形边数为．14．如图，正五边形ABCDE内接于圆O，P为弧DE上的一点（点P不与点D、E重合），则∠CPD的度数为．15．如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转°，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为4，则所得正八边形的面积为．三．解答题16．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．17．如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．18．如图，实线部分是由正方形，正五边形和正六边形叠放在一起形成的，其中正方形和正六边形的边长相同，求图中∠MON的度数．19．中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：①若m＞n，则ma2＞nb2，当a＝0时错误；故不符合题意；②由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，故不符合题意；③有两个角互余的三角形一定是直角三角形，故符合题意；④各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形，故不符合题意．⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形，故不符合题意；故选：A．2．【解答】解：A、为了解一种灯泡的使用寿命，此调查具有破坏性，宜采用抽查的方法；故此选项符合题意；B、一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根；故此选项不符合题意；C、一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限；故此选项不符合题意；D、正六边形每个内角的度数是外角度数的2倍；故此选项不符合题意；故选：A．3．【解答】解：如图，连接OC，OD，∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选：B．4．【解答】解：∵正五边形的每个内角为：＝108°，∴组成的正多边形的每个内角为：360°﹣2×108°﹣24°＝120°，∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，∴组成的正多边形为正n边形，则＝120°，解得：n＝6，故选：B．5．【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，故选：D．6．【解答】解：连接AC交EF于M，连接OF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴AC是⊙O的直径，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AC＝AD＝4，∴OA＝OC＝2，∵△AEF是等边三角形，∴AM⊥EF，∠OFM＝30°，∴OM＝OF＝，∴CM＝，∴∠ACD＝45°，∠CMG＝90°，∴∠CGM＝45°，∴△CGH是等腰直角三角形，∴GH＝2CM＝2．故选：A ．7．【解答】解：设圆心为O ，连接OD ，OF ，∵∠DOE ＝∠EOF ＝＝45°，∴∠DOF ＝90°，∴弧DF 的度数为90°，∴①正确；∵∠DOF ＝90°，OD ＝OF ，∴2OD 2＝DF 2，∴OD ＝， ∵AE ＝2OD ，∴AE ＝DF ， ∴②正确；∵S 四边形ODEF ＝DFOE ，∴S 正八边形ABCDEFGH ＝4S 四边形ODEF ＝2DFOE ，∵OE ＝AE ，∴S 正八边形ABCDEFGH ＝AEDF ，∴③正确；故选：D ．8．【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，设⊙O的半径是r，则OF＝r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF＝60°÷2＝30°，∵OA＝OF，∴∠OF A＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°+30°＝60°，∴FI＝r sin60°＝r，∴EF＝r×2＝r，∵AO＝2OI，∴OI＝r，CI＝r﹣r＝r，∴＝＝，∴GH＝BD＝r，∴＝＝．故选：C．9．【解答】解：连接OA、OC．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∴∠AOC＝72°×2＝144°，∵△AMN是正三角形，∴∠AOM＝＝120°，∴∠COM＝∠AOC﹣∠AOM＝144°﹣120°＝24°，∴∠MBC＝∠COM＝×24°＝12°．故选：A．10．【解答】解：AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长，据此可以确定共有2个点C，位置如图，故选：B．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：如图所示：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，则∠OCA＝90°，AC＝BC＝AB＝1，∠AOB＝60°，∴∠AOC＝30°，∴OC＝AC＝；故答案为：．12．【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB＝1，∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，BC＝＝．∴正方形的边长是，故答案为：．13．【解答】解：由题意可得：∵360°÷36°＝10，∴它的边数是10．故答案为10．14．【解答】解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故答案为：36°．15．【解答】解：如图2所示：将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，由题意得：PM＝MN＝NQ，AM＝AP＝BN＝BQ，则MN＝PM＝AM，∵AM+MN+BN＝AB＝4，∴AM+AM+AM＝4，解得：AM＝4﹣2，则所得正八边形的面积为4×4﹣4××（4﹣2）2＝32﹣32；故答案为：（），32﹣32．三．解答题（共4小题）16．【解答】（1）证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．17．【解答】解：（1）证明：连接CD，∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∵∠E＝∠ACD，∠E＝∠B．∴∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠CAD＝∠B+∠CAD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）如图，连接OD、CE，若∠E＝45°，则∠AOD＝90°，∵AC＝4，∴OA＝OD＝2，∴AD＝2．∴⊙O的内接正四边形的边长为AD的长为2．18．【解答】解：由正方形、正五边形和正六边形的性质得，∠AOM＝108°，∠OBC＝120°，∠NBC＝90°，∴∠AOB＝×120°＝60°，∠MOB＝108°﹣60°＝48°，∴∠OBN＝360°﹣120°﹣90°＝150°，∴∠NOB＝×（180°﹣150°）＝15°，∴∠MON＝33°．19．【解答】（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝F A，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，。

圆24.1 圆的有关性质同步检测题一．选择题（共13 小题）1．已知⊙O 的半径为2，A 为圆内一定点，AO＝1．P 为圆上一动点，以A P 为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG 的最大值为（）A．1+B．1+2C．2+D． 12．如图，AB，BC 是⊙O 的弦，∠B＝60°，点 O 在∠B 内，点 D 为AC上的动点，点 M，N，P分别是A D，D C，C B 的中点．若⊙O 的半径为2，则P N+MN 的长度的最大值是（）A．1+B．1+2C．2+2D．3．如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝10，P 是半径O A 上的一动点，PC⊥AB 交⊙O 于点C，在半径O B 上取点Q，使得O Q＝CP，DQ⊥AB 交⊙O 于点D，点C，D 位于A B 两侧，连接C D 交A B 于点F，点P从点A出发沿A O 向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP 与△DFQ 的面积和的变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先变大后变小D．先变小后变大4．如图，在⊙O 中，弦A B＝6，点C是A B 所对优弧上一点，∠ABC＝120°，BC＝8，点P 为 AB 上方一点，记△PAB 的面积为 S1，△AOB 的面积为 S2，且 S1＝12S2，则 OP+PC的最小值为（）A ．BCD ．105．如图，AB 是⊙O 的直径，点 D ，C 在⊙O 上，∠DOC ＝90°，AD ，BC ＝1，则⊙O的半径为（）A B ．2 C ．2D ．26．如图，在⊙O 中，AB ＝2CD ，那么（）A ． 2CD AB >B ．2CD AB <C ．=2CD ABD ．AB 与2CD 的大小关系无法比较 7．如图，BC 是⊙O 的直径，A ，D 是⊙O 上的两点，连接 A B ，AD ，BD ，若∠ADB ＝70°， 则∠ABC 的度数是（ ）A．20°B．70°C．30°D．90°8．如图，点A、B、C 是⊙O 上的点，OA＝AB，则∠C 的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．30°或60°9．如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是弧AC上的点．若∠BOC ＝500，则∠D 的度数（）A．105°B．115°C．125°D．85°10．如图，四边形A BCD 内接于⊙O，连结O A、OC．若∠AOC＝∠ABC，则∠D 的大小为（）A．50°B．60°C．80°D．120°11．如图，在⊙O 中∠O＝50°，则∠A 的度数为（）A．50°B．20°C．30°D．25°12．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥OB 于E，且点E为半径O B 的中点，连结A C，则∠A 的度数为（）A．20°B．30°C．45°D．60°13．如图，点A、B、C、D 在⊙O 上，OB∥CD．若∠A＝28°，则∠BOD 的大小为（）A．152°B．134°C．124°D．114°二．填空题（共9小题）14．如图，在⊙O 中，弦B C，DE 交于点P，延长B D，EC 交于点A，BC＝10，BP＝2CP，若BDAD＝23，则D P 的长为．15．如图，△ABC 内接于半径为AB 为直径，点 M 是弧AC的中点，连结 BM交AC 于点E，AD 平分∠CAB 交B M 于点D．（1）∠ADB＝°；（2）当点D恰好为B M 的中点时，BC 的长为．16．如图，四边形A BCD 内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．17．如图，点A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，已知∠BCD＝110°，格据推断出∠BAD 的度数为70°，则她判断的依据是点．18．如图，⊙O 的半径为2，点A为⊙O 上一点，如果∠BAC＝60°，OD⊥弦B C 于点D，那么O D 的长是．19．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，点D 是弧AC上的中点，AC＝8，OA＝5，连接AD、BD，则△ABD 的面积是．20．已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，以A B 为直径作圆交B C 于D，交A C 于E．若∠A＝84°，则弧AE的度数为．21．如图，点A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，点B是弧A C 的中点，如果∠ABC＝70°，那∠ADB＝．22．如图，MN 为⊙O 的直径，MN＝10，AB 为⊙O 的弦，已知M N⊥AB 于点P，AB＝8，现要作⊙O 的另一条弦C D，使得C D＝6 且C D∥AB，则P C 的长度为．三．解答题（共3小题）23．如图，AB 是⊙O 的直径，点C、D 是⊙O 上的点，且O D∥BC，AC 分别与B D、OD 相交于点E、F．（1）求证：点D为弧AC的中点；（2）若C B＝6，AB＝10，求D F 的长；（3）若⊙O 的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段A B 上任意一点，试求出P C+PD 的最小值．24．如图，以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其它两边AC，BC 的交点分别为D，E，且弧DE=弧BE（1）试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求B D 的长．25．如图，AB 为半圆O的直径，CD 是半圆上两点，AC＝2BC，F 在B D 上且C F⊥CD，求证：AD＝2BF．。

人教版 九年级上册数学 第24章质量检测（含答案）24.1 圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题） 1. 2018·衢州 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝35°，则∠AOB 的度数是( )A ．75°B ．70°C ．65°D ．35°2. 如图，AB是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是( )A ．OE ＝BEB.BC ︵＝BD ︵C ．△BOC 是等边三角形D ．四边形ODBC 是菱形3. 如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点．若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的度数为 ( )A ．115°B ．105°C ．100°D ．95°4. 2019·梧州如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是( )A ．2 6B ．2 10C ．2 11D ．4 35. (2019•广元)如图，AB ，AC分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．25B ．4C ．213D ．4.86.如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为( ) A . 3 3 B . 4 3 C . 5 3 D . 6 37. 如图，△ABC 的内心为I ，连接AI 并延长交△ABC 的外接圆于点D ，则线段DI 与DB 的关系是( )A ．DI ＝DB B ．DI ＞DBC ．DI ＜DBD ．不确定如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD 的延长线上，则∠CDE的度数为( )A．56°B．62°C．68°D．78°9. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD的度数为()A．70°B．60°C．50°D．40°10. 2019·武汉京山期中在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面宽变为8分米，则油面AB上升()A．1分米B．4分米C．3分米D．1分米或7分米二、填空题（本大题共7道小题）11. 如图，C，D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝________．12. 如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB＝23，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．13. 如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为________．14. 如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE.若∠A＝65°，则∠DOE＝________°.15. 如图，在⊙O中，BD为⊙O的直径，弦AD的长为3，AB的长为4，AC平分∠DAB，则弦CD的长为________．16. 将量角器按图所示的方式放置在三角形纸片上，使顶点C在半圆上，点A，B 的读数分别为100°，150°，则∠ACB的大小为________°.17. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，C 为弧BD 的中点．若∠DAB ＝40°，则∠ABC ＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）18. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，以BD 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连接EF. (1)求证：∠1＝∠F ；(2)若AC ＝4，EF ＝2 5，求CD 的长．19.如图，已知⊙O 上依次有A ，B ，C ，D 四个点，AD ︵＝BC ︵，连接AB ，AD ，BD ，延长AB 到点E ，使BE ＝AB ，连接EC ，F 是EC 的中点，连接BF.求证：BF ＝12BD.20. 如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，AD ⊥OC于点D.求证：AB ＝2AD.21. 2018·牡丹江如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，AD ⊥OC 于点D .求证：AB ＝2AD .人教版 九年级数学 24.1 圆的有关性质 同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】B2. 【答案】B[解析] AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，由垂径定理可以得到CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵，AC ︵＝AD ︵.但并不一定能得到OE ＝BE ，OC ＝BC ，从而A ，C ，D 选项都是错误的．故选B.3. 【答案】B4. 【答案】C5. 【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =-=-=， ∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===， 在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．6.【答案】B【解析】如解图，延长CO 交⊙O 于点A ′，连接A ′B .设∠BAC ＝α，则∠BOC ＝2∠BAC＝2α，∵∠BAC ＋∠BOC ＝180°，∴α＋2α＝180°，∴α＝60°.∴∠BA ′C ＝∠BAC ＝60°，∵CA ′为直径，∴∠A ′BC ＝90°，则在Rt △A ′BC 中，BC ＝A ′C ·sin ∠BA ′C＝2×4×32＝4 3.7. 【答案】A[解析] 连接BI ，如图．∵△ABC 的内心为I ， ∴∠1＝∠2，∠5＝∠6. ∵∠3＝∠1， ∴∠3＝∠2.∵∠4＝∠2＋∠6，∠DBI ＝∠3＋∠5， ∴∠4＝∠DBI ，∴DI ＝DB. 故选A.8. 【答案】C[解析] ∵点I 是△ABC 的内心，∴∠BAC ＝2∠IAC ，∠ACB ＝2∠ICA . ∵∠AIC ＝124°，∴∠B ＝180°－(∠BAC ＋∠ACB )＝180°－2(∠IAC ＋∠ICA )＝180°－2(180°－∠AIC )＝68°.又四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠CDE ＝∠B ＝68°.9. 【答案】D[解析] ∵∠BOC ＝110°，∴∠AOC ＝70°.∵AD ∥OC ，∴∠A ＝∠AOC ＝70°.∵OA ＝OD ，∴∠D ＝∠A ＝70°.在△OAD 中，∠AOD ＝180°－(∠A ＋∠D)＝40°.10. 【答案】D二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】1[解析] ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∵∠B ＝∠ACD ＝30°， ∴AD ＝12AB ＝12×2＝1.12. 【答案】3 [解析] 如图，连接OD ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝BH＝12AB ＝ 3.∵CD ⊥OC ，∴CD ＝OD 2－OC 2.∵OD 为⊙O 的半径，∴当OC 最小时，CD 最大．当点C 运动到点H 时，OC 最小，此时CD ＝BH ＝3，即CD 的最大值为 3.13. 【答案】60°[解析] ∵OA ⊥BC ，∴AB ︵＝AC ︵，∴∠AOB ＝2∠ADC.∵∠ADC＝30°，∴∠AOB ＝60°.14. 【答案】50[解析] 由三角形的内角和定理，得∠B ＋∠C ＝180°－∠A .再由OB ＝OD ＝OC ＝OE ，得到∠BDO ＝∠B ，∠CEO ＝∠C .在等腰三角形BOD 和等腰三角形COE 中，∠DOB ＋∠EOC ＝180°－2∠B ＋180°－2∠C ＝360°－2(∠B ＋∠C )＝360°－2(180°－∠A )＝2∠A ，所以∠DOE ＝180°－2∠A ＝50°.15. 【答案】52 2 [解析] ∵BD 为⊙O 的直径，∴∠DAB ＝∠DCB ＝90°. ∵AD ＝3，AB ＝4，∴BD ＝5.又∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ＝45°， ∴∠DBC ＝∠DAC ＝45°，∠CDB ＝∠BAC ＝45°， 从而CD ＝CB ，∴CD ＝52 2.16. 【答案】25[解析] 设量角器的中心为O ，由题意可得∠AOB ＝150°－100°＝50°，所以∠ACB ＝12∠AOB ＝25°.17. 【答案】70[解析] 如图，连接AC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵C为弧BD 的中点，∴∠CAB ＝12∠DAB ＝20°， ∴∠ABC ＝70°.三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：(1)证明：如图，连接DE. ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠DEB ＝90°，即DE ⊥AB. 又∵E 是AB 的中点， ∴AD ＝BD ，∴∠1＝∠B. 又∵∠B ＝∠F ，∴∠1＝∠F.(2)∵∠1＝∠F ，∴AE ＝EF ＝2 5， ∴AB ＝2AE ＝4 5.在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，∠C ＝90°， ∴BC ＝AB2－AC2＝8. 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝8－x. 在Rt △ACD 中，∵∠C ＝90°，∴AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2， 解得x ＝3，即CD ＝3.19. 【答案】证明：连接AC.∵AB ＝BE ，F 是EC 的中点， ∴BF 是△EAC 的中位线， ∴BF ＝12AC. ∵AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AB ︵＝BC ︵＋AB ︵，即BD ︵＝AC ︵， ∴BD ＝AC ，∴BF ＝12BD.20. 【答案】证明：如图，延长AD 交⊙O 于点E.∵OC ⊥AD ，∴AE ︵＝2AC ︵，AE ＝2AD. ∵AB ︵＝2AC ︵，∴AE ︵＝AB ︵，∴AB ＝AE ，∴AB ＝2AD.21. 【答案】证明：如图，延长AD 交⊙O 于点E ， ∵OC ⊥AD ，∴AE ︵＝2AC ︵，AE ＝2AD . ∵AB ︵＝2AC ︵，∴AE ︵＝AB ︵， ∴AB ＝AE ，∴AB ＝2AD .24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列直线中，一定是圆的切线的是()A ．与圆有公共点的直线B ．垂直于圆的半径的直线C ．到圆心的距离等于半径的直线D ．经过圆的直径一端的直线2. 下列说法中，正确的是()A ．垂直于半径的直线是圆的切线B ．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线C ．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线D ．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线3. 如图，P是⊙O 外一点，OP 交⊙O 于点A ，OA ＝AP .甲、乙两人想作一条经过点P 且与⊙O 相切的直线，其作法如下：甲：以点A 为圆心，AP 长为半径画弧，交⊙O 于点B ，则直线BP 即为所求． 乙：过点A 作直线MN ⊥OP ，以点O 为圆心，OP 长为半径画弧，交射线AM 于点B ，连接OB ，交⊙O 于点C ，直线CP 即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( )A ．甲正确，乙错误B ．乙正确，甲错误C ．两人都正确D ．两人都错误4. 已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．无法确定5. 如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD.若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为()A．54°B．36°C．32°D．27°6. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是()A．DE＝DO B．AB＝ACC．CD＝DB D．AC∥OD7.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠A OD的度数为( )A. 70°B. 35°C．20°D. 40°8. 2020·黄石模拟如图，在平面直角坐标系中，A(－2，2)，B(8，2)，C(6，6)，点P为△ABC的外接圆的圆心，将△ABC绕点O逆时针旋转90°，点P的对应点P′的坐标为()A．(－2，3) B．(－3，2)C．(2，－3) D．(3，－2)9. 如图，数轴上有A，B，C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外、⊙O内、⊙O上，则原点O的位置应该在()图A．点A与点B之间靠近点AB．点A与点B之间靠近点BC．点B与点C之间靠近点BD．点B与点C之间靠近点C10. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为()A．5 B．4 2 C．4.75 D．4.8二、填空题（本大题共7道小题）11. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________.12. 如图，∠APB ＝30°，⊙O 的半径为1 cm ，圆心O 在直线PB 上，OP ＝3 cm ，若⊙O 沿BP 方向移动，当⊙O 与直线PA 相切时，圆心O 移动的距离为__________．13. 如图，半圆的圆心O 与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l 的解析式为y ＝x ＋t .若直线l 与半圆只有一个公共点，则t 的取值范围是________．14. 如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 的对角线长为6，OA ＝4.若将⊙O 绕点A 按顺时针方向旋转360°，则在旋转的过程中，⊙O 与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现( )A ．3次B ．4次C ．5次D ．6次15. 如图所示，在半圆O 中，AB 是直径，D是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，CE ⊥AB 于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE ，CB 于点P ，Q ，连接AC ，有下列结论：①∠BAD ＝∠ABC ；②GP ＝GD ；③点P 是△ACQ 的外心．其中正确的结论是________(只需填写序号)．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为________．17. 如图，⊙M的圆心为M(－2，2)，半径为2，直线AB过点A(0，－2)，B(2，0)，则⊙M关于y轴对称的⊙M′与直线AB的位置关系是________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与P A相切于点C.求证：直线PB与⊙O相切．19.如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，P是CD的延长线上一点，且AP＝AC.(1)求证：P A是⊙O的切线；(2)若PD＝5，求⊙O的直径．20. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5.(1)以点A为圆心，4为半径的⊙A与直线BC的位置关系是________；(2)以点B为圆心的⊙B与直线AC相交，求⊙B的半径r的取值范围；(3)以点C为圆心，R为半径的⊙C与直线AB相切，求R的值．21. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.求证：直线DM是⊙O的切线．人教版九年级数学24.2 点和圆、直线和圆的位置关系同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】B3. 【答案】C[解析] 对于甲的作法：连接OB ，如图①.∵OA ＝AP ，∴OP 为⊙A 的直径， ∴∠OBP ＝90°，即OB ⊥PB ， ∴PB 为⊙O 的切线，∴甲的作法正确．对于乙的作法：如图②，∵MN ⊥OP ，∴∠OAB ＝90°.在△OAB 和△OCP 中，⎩⎨⎧OA ＝OC ，∠AOB ＝∠COP ，OB ＝OP ，∴△OAB ≌△OCP ，∴∠OAB ＝∠OCP ＝90°，即OC ⊥PC ， ∴PC 为⊙O 的切线， ∴乙的作法正确．4. 【答案】B5. 【答案】D[解析] ∵AB 为⊙O 的切线，∴∠OAB ＝90°.∵∠ABO ＝36°，∴∠AOB ＝90°－∠ABO ＝54°. ∴∠ADC ＝12∠AOB ＝27°.故选D.6. 【答案】A7.【答案】D 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，∴∠BAC ＝90°，∵∠C ＝70°，∴∠B＝20°，∴∠AOD＝∠B＋∠BDO＝2∠B＝2×20°＝40°.8. 【答案】A9. 【答案】C[解析] 如图．10. 【答案】D[解析] 如图，设PQ的中点为F，⊙F与AB 的切点为D，连接FD，FC，CD.∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴∠ACB＝90°，∴PQ为⊙F的直径．∵⊙F与AB相切，∴FD⊥AB，FC＋FD＝PQ，而FC＋FD≥CD，∴当CD为Rt△ABC的斜边AB上的高且点F在CD上时，PQ有最小值，为CD 的长，即CD为⊙F的直径．∵S△ABC ＝12BC·AC＝12CD·AB，∴CD＝4.8.故PQ的最小值为4.8.二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】3＜r＜5[解析] 连接BD.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，则BD＝32＋42＝5.由题图可知3＜r＜5.12. 【答案】1 cm或5 cm[解析] 当⊙O与直线PA相切时，点O到直线PA的距离为1 cm.∵∠APB＝30°，∴PO＝2 cm，∴圆心O移动的距离为3－2＝1(cm)或3＋2＝5(cm)．13. 【答案】t＝2或－1≤t＜1[解析] 若直线与半圆只有一个公共点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束(不包括直线过点A)．直线y＝x＋t与x轴所形成的锐角是45°.当点O 到直线l 的距离OC ＝1时，直线l 与半圆O 相切，设直线l 与y 轴交于点D ，则OD ＝2，即t ＝ 2.当直线过点A 时，把A (－1，0)代入直线l 的解析式，得t ＝y －x ＝1. 当直线过点B 时，把B (1，0)代入直线l 的解析式，得t ＝y －x ＝－1. 即当t ＝2或－1≤t ＜1时，直线和半圆只有一个公共点． 故答案为t ＝2或－1≤t ＜1.14. 【答案】B[解析] ∵正方形ABCD 的对角线长为6，∴它的边长为3 2.如图，⊙O 与正方形ABCD 的边AB ，AD 只有一个公共点的情况各有1次，与边BC ，CD 只有一个公共点的情况各有1次，∴在旋转的过程中，⊙O 与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现4次．15. 【答案】②③[解析] ∵在半圆O 中，AB 是直径，D 是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，∴AC ︵＝DC ︵，但不一定等于DB ︵，∴∠BAD 与∠ABC 不一定相等，故①错误． 如图，连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA .∵∠ODA ＋∠GDP ＝90°，∠OAD ＋∠GPD ＝∠OAD ＋∠APE ＝90°，∴∠GPD ＝∠GDP ，∴GP ＝GD ，故②正确． 补全⊙O ，延长CE 交⊙O 于点F . ∵CE ⊥AB ，∴A 为FC ︵的中点，即AF ︵＝AC ︵. 又∵C 为AD ︵的中点，∴CD ︵＝AC ︵，∴AF ︵＝CD ︵， ∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP . ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACQ ＝90°，∴∠ACP ＋∠PCQ ＝90°，∠CAP ＋∠PQC ＝90°， ∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 的斜边AQ 的中点，∴点P为Rt△ACQ的外心，故③正确．16. 【答案】3或4 3[解析] 如图①，当⊙P与CD边相切时，设PC＝PM＝x. 在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2＋BP2，∴x2＝42＋(8－x)2，∴x＝5，∴PC＝5，∴BP＝BC－PC＝8－5＝3.如图②，当⊙P与AD边相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形，∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝4，PM＝8，在Rt△PBM中，BP＝82－42＝4 3.综上所述，BP的长为3或4 3.17. 【答案】相交[解析] ∵⊙M的圆心为M(－2，2)，则⊙M关于y轴对称的⊙M′的圆心为M′(2，2)．因为M′B＝2>点M′到直线AB的距离，所以直线AB与⊙M′相交．三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】证明：如图，连接OC，过点O作OD⊥PB于点D.∵⊙O与P A相切于点C，∴OC⊥P A.∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥P A，OD⊥PB，∴OD＝OC，∴直线PB与⊙O相切．19. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OA.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.又∵AP＝AC，∴∠P＝∠OCA＝30°，∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，∴OA⊥P A.又∵OA是⊙O的半径，∴P A是⊙O的切线．(2)在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴PO＝2OA＝OD＋PD.又∵OA＝OD，∴PD＝OD＝OA.∵PD＝5，∴2OA＝2PD＝2 5，∴⊙O的直径为2 5.20. 【答案】解：(1)∵AC ⊥BC ，而AC ＞4，∴以点A 为圆心，4为半径的⊙A 与直线BC 相离．故答案为相离．(2)BC ＝AB 2－AC 2＝12.∵BC ⊥AC ，∴当⊙B 的半径大于BC 的长时，以点B 为圆心的⊙B 与直线AC 相交，即r ＞12.(3)如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D .∵12CD ·AB ＝12AC ·BC ，∴CD ＝5×1213＝6013.即当R ＝6013时，以点C 为圆心，R 为半径的⊙C 与直线AB 相切．21. 【答案】证明：如图，作直径DG ，连接BG .∵点E 是△ABC 的内心，∴AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∵∠G ＝∠BAD ，∠BDM ＝∠DAC ，∴∠BDM ＝∠G .∵DG 为⊙O 的直径，∴∠GBD ＝90°，∴∠G ＋∠BDG ＝90°，∴∠BDM ＋∠BDG ＝90°，即∠MDG ＝90°.又∵OD 是⊙O 的半径，∴直线DM 是⊙O 的切线．24.3正多边形和圆一．选择题1．下面说法正确的个数有（）①若m＞n，则ma2＞nb2；②由三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；③有两个角互余的三角形一定是直角三角形；④各边都相等的多边形是正多边形；⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个2．下列说法，错误的是（）A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法B．一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根C．一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限D．正六边形每个内角的度数是外角度数的2倍3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C 重合），则∠CPD＝（）A．45°B．36°C．35°D．30°4．如图，用若n个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为（）A．5 B．6 C．8 D．105．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．60°B．36°C．76°D．72°6．如图，正方形ABCD和正三角形AEF内接于⊙O，DC、BC交EF于G、H，若正方形ABCD的边长是4，则GH的长度为（）A．2B．4﹣C．D．﹣7．如图，⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，则下列结论：①弧DF的度数为90°；②AE＝DF；③S正八边形ABCDEFGH＝AEDF．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③8．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为（）A．B．C．D．29．如图，正五边形ABCDE与正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，若连接BM，则∠MBC的度数是（）A．12°B．15°C．30°D．48°10．如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题11．正六边形的边长为2，则边心距为．12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是1，则正方形的边长是．13．中心角为36°的正多边形边数为．14．如图，正五边形ABCDE内接于圆O，P为弧DE上的一点（点P不与点D、E重合），则∠CPD的度数为．15．如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转°，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为4，则所得正八边形的面积为．三．解答题16．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．17．如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．18．如图，实线部分是由正方形，正五边形和正六边形叠放在一起形成的，其中正方形和正六边形的边长相同，求图中∠MON的度数．19．中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D 两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：①若m＞n，则ma2＞nb2，当a＝0时错误；故不符合题意；②由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，故不符合题意；③有两个角互余的三角形一定是直角三角形，故符合题意；④各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形，故不符合题意．⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形，故不符合题意；故选：A．2．【解答】解：A、为了解一种灯泡的使用寿命，此调查具有破坏性，宜采用抽查的方法；故此选项符合题意；B、一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根；故此选项不符合题意；C、一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限；故此选项不符合题意；D、正六边形每个内角的度数是外角度数的2倍；故此选项不符合题意；故选：A．3．【解答】解：如图，连接OC，OD，∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选：B．4．【解答】解：∵正五边形的每个内角为：＝108°，∴组成的正多边形的每个内角为：360°﹣2×108°﹣24°＝120°，∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，∴组成的正多边形为正n边形，则＝120°，解得：n＝6，故选：B．5．【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，故选：D．6．【解答】解：连接AC交EF于M，连接OF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴AC是⊙O的直径，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AC＝AD＝4，∴OA＝OC＝2，∵△AEF是等边三角形，∴AM⊥EF，∠OFM＝30°，∴OM＝OF＝，∴CM＝，∴∠ACD＝45°，∠CMG＝90°，∴∠CGM＝45°，∴△CGH是等腰直角三角形，∴GH＝2CM＝2．故选：A．7．【解答】解：设圆心为O ，连接OD ，OF ， ∵∠DOE ＝∠EOF ＝＝45°，∴∠DOF ＝90°，∴弧DF 的度数为90°，∴①正确；∵∠DOF ＝90°，OD ＝OF ，∴2OD 2＝DF 2，∴OD ＝， ∵AE ＝2OD ，∴AE ＝DF ，∴②正确；∵S 四边形ODEF ＝DFOE ，∴S 正八边形ABCDEFGH ＝4S 四边形ODEF ＝2DFOE ， ∵OE ＝AE ，∴S 正八边形ABCDEFGH ＝AEDF ，∴③正确；故选：D ．8．【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，设⊙O的半径是r，则OF＝r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF＝60°÷2＝30°，∵OA＝OF，∴∠OF A＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°+30°＝60°，∴FI＝r sin60°＝r，∴EF＝r×2＝r，∵AO＝2OI，∴OI＝r，CI＝r﹣r＝r，∴＝＝，∴GH＝BD＝r，∴＝＝．故选：C．9．【解答】解：连接OA、OC．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∴∠AOC＝72°×2＝144°，∵△AMN是正三角形，∴∠AOM＝＝120°，∴∠COM＝∠AOC﹣∠AOM＝144°﹣120°＝24°，∴∠MBC＝∠COM＝×24°＝12°．故选：A．10．【解答】解：AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长，据此可以确定共有2个点C，位置如图，故选：B．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：如图所示：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，则∠OCA＝90°，AC＝BC＝AB＝1，∠AOB＝60°，∴∠AOC＝30°，∴OC＝AC＝；故答案为：．12．【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB＝1，∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，BC＝＝．∴正方形的边长是，故答案为：．13．【解答】解：由题意可得：∵360°÷36°＝10，∴它的边数是10．故答案为10．14．【解答】解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故答案为：36°．15．【解答】解：如图2所示：将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，由题意得：PM＝MN＝NQ，AM＝AP＝BN＝BQ，则MN＝PM＝AM，∵AM+MN+BN＝AB＝4，∴AM+AM+AM＝4，解得：AM＝4﹣2，则所得正八边形的面积为4×4﹣4××（4﹣2）2＝32﹣32；故答案为：（），32﹣32．三．解答题（共4小题）16．【解答】（1）证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．17．【解答】解：（1）证明：连接CD，∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∵∠E＝∠ACD，∠E＝∠B．∴∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠CAD＝∠B+∠CAD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）如图，连接OD、CE，若∠E＝45°，则∠AOD＝90°，∵AC＝4，∴OA＝OD＝2，∴AD＝2．∴⊙O的内接正四边形的边长为AD的长为2．18．【解答】解：由正方形、正五边形和正六边形的性质得，∠AOM＝108°，∠OBC＝120°，∠NBC＝90°，∴∠AOB＝×120°＝60°，∠MOB＝108°﹣60°＝48°，∴∠OBN＝360°﹣120°﹣90°＝150°，∴∠NOB＝×（180°﹣150°）＝15°，∴∠MON＝33°．19．【解答】（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝F A，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，∴四边形PEQB为平行四边形．（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：则∠EAF＝∠AEF＝30°，∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：同法可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，∴AE＝＝6，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36：24.4《弧长和扇形面积》一．选择题1．已知一个扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，则半径为（）A．9B．3C．D．2．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（）A．cm B．cm C．3cm D．cm3．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（）A．B．C．4D．2+4．如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为（）A．πB．πC．D．5．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形OAB沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点O'处，折痕交OB于点C，则弧O'B的长是（）A．πB．πC．2πD．3π6．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A．175πcm2B．350πcm2C．πcm2D．150πcm27．如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A．（30+5）πm2B．40πm2C．（30+5）πm2D．55πm28．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）A．3B．6C．3πD．6π9．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S3＜S2＜S1 10．已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，半圆的直径为6m，则圆心O所经过的路线长是（）m．（结果用含π的式子表示）A．6πB．8πC．10πD．12π二．填空题11．一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是度．12．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为．13．如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为cm．15．如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA＝13cm，则扇形AOC中的长是cm（计算结果保留π）．16．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为．三．解答题17．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．（1）求证：BE＝CE；（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧的长．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A对应，点B'与点B对应．如果A（﹣4，0），B（﹣1，2）．请回答：（1）点B'的坐标为．（2）点A经过的路径的长度为π．（友情提示：已经有π）20．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．21．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DP A＝45°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．22．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，8）、B（﹣8，8）、C（﹣12，4），请在网格图中进行如下操作：（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为（保留根号）．∠ADC的度数为°；（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）参考答案一．选择题1．解：设半径为r，∵扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，∴＝3π，∴r＝，故选：C．2．解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：2πr＝，r＝cm．3．解：如图：BC＝AB＝AC＝1，∠BCB′＝120°，∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′＝2×＝，故选：B．4．解：∵P A、PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，在四边形APBO中，∠P＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝2，∴的长l＝＝π，故选：C．5．解：连接OO′，∴OO′＝OA，∵将扇形OAB沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点O'处，∴OA＝O′A，∴△AOO′是等边三角形，∴∠AOO′＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOO′＝30°，∴的长＝＝π，故选：B．6．解：∵AB＝25，BD＝15，∴AD＝10，∴S贴纸＝2×（﹣）＝2×175π故选：B．7．解：设底面圆的半径为R，则πR2＝25π，解得R＝5，圆锥的母线长＝＝，所以圆锥的侧面积＝•2π•5•＝5π；圆柱的侧面积＝2π•5•3＝30π，所以需要毛毡的面积＝（30π+5π）m2．故选：A．8．解：∵圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，∴2πr＝×2π×10，解得r＝6．故选：B．9．解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA＝60°，∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．∴S扇形AOC＝；S扇形BOC＝．在三角形OCD中，∠OCD＝30°，∴OD＝，CD＝，BC＝R，∴S△OBC＝，S弓形＝＝，＞＞，∴S2＜S1＜S3．故选：B．10．解：∠AOB＝360°﹣270°＝90°，则∠ABO＝45°，则∠OBC＝45°，O旋转的长度是：2×＝π，O移动的距离是：＝π，则圆心O所经过的路线长是：π+π＝6π．故选：A．二．填空题11．解：根据l＝＝＝11π，解得：n＝110，故答案为：110．12．解：∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB＝360°×＝60°，的长为＝．故答案为：．13．解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r＝＝6，∴2πr＝2π×6＝12π，故答案为：12π．14．解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，设圆锥的母线长为R，则：＝4π，解得R＝6．故答案为：6．15．解：∵圆锥的高h为12cm，OA＝13cm，∴圆锥的底面半径为＝5cm，∴圆锥的底面周长为10πcm，∴扇形AOC中的长是10πcm，故答案为：10π．16．解：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE＝＝π，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）＝﹣﹣（π﹣×1×）＝π﹣π+＝+．故答案为：+．三．解答题17．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED；（2）∵OC⊥AD，∴，∴∠ABC＝∠CBD＝36°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，∴．18．（1）证明：如图，连接AE．∵AB是圆O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC．又∵AB＝AC，∴AE是边BC上的中线，∴BE＝CE；（2）解：∵AB＝6，∴OA＝3．又∵OA＝OD，∠BAC＝54°，∴∠AOD＝180°﹣2×54°＝72°，∴的长为：＝．19．解：如图所示：∵A（﹣4，0），B（﹣1，2）．∴A'的坐标为（0，4），B'的坐标为（2，1），∴OA＝OA'＝4，∴点A经过的路径的长度＝＝2π．20．（1）证明：连接OC．∵AC＝CD，∠ACD＝120°，∴∠A＝∠D＝30°．∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°．∴∠OCD＝180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2＝90°．即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠A＝30°，∴∠1＝2∠A＝60°．∴S扇形BOC＝．在Rt△OCD中，．∴．∴图中阴影部分的面积为：．21．解：（1）连接OF，∵直径AB⊥DE，∴CE＝DE＝1．∵DE平分AO，∴CO＝AO＝OE．设CO＝x，则OE＝2x．由勾股定理得：12+x2＝（2x）2．x＝．∴OE＝2x＝．即⊙O的半径为．（2）在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45°，∴∠D＝90°﹣45°＝45°．∴∠EOF＝2∠D＝90°．∴S扇形OEF＝＝π．∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF＝S Rt△OEF＝＝．∴S阴影＝S扇形OEF﹣S Rt△OEF＝π﹣．22．解：（1）点D的坐标为（﹣4，0）；（2）如图，AD＝＝4，即⊙D的半径长为4；∵AD＝CD＝4，AC＝＝4，∴AD2+DC2＝AC2，∴△ACD为直角三角形，∠ADC的度数为90°；故答案为（﹣4，0）；4；90；（3）设该圆锥的底面圆的半径长为r，根据题意得2πr＝，解得r＝，即该圆锥的底面圆的半径长为．。

24.1 圆的有关性质一．选择题（共12小题）1．⊙O中，直径AB＝a，弦CD＝b，则a与b大小为（）A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b2．已知⊙O的半径为6cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长（）A．等于6cm B．等于12cm C．小于6cm D．大于12cm3．下列说法错误的是（）A．圆有无数条直径B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C．过圆心的线段是直径D．能够重合的圆叫做等圆4．如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定5．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（）A．32°B．60°C．68°D．64°6．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（）A．AB＞2AMB．AB＝2AMC．AB＜2AMD．AB与2AM的大小不能确定7．在同圆中，若AB＝2CD，则与的大小关系是（）A．＞B．＜C．＝D．不能确定8．如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．4B．6 C．2D．39．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O 到水面的距离OC是（）A．4 B．5 C．6D．610．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（）A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）13．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为．（只考虑小于90°的角度）14．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是．15．如图所示，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是．16．如图，已知AB是⊙O的直径，PA＝PB，∠P＝60°，则弧CD所对的圆心角等于度．17．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是．18．“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，则直径CD长为寸．19．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝54°，则∠BAD＝．20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为．三．解答题（共5小题）21．如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB．22．已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点．求证：AD＝BC．23．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．24．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？25．已知：如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．（1）∠E的度数为；（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．⊙O中，直径AB＝a，弦CD＝b，则a与b大小为（）A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b【分析】根据直径是弦，且是最长的弦，即可求解．【解答】解：直径是圆中最长的弦，因而有a≥b．故选：B．2．已知⊙O的半径为6cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长（）A．等于6cm B．等于12cm C．小于6cm D．大于12cm【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：根据点和圆的位置关系，得OP＝6，再根据线段的中点的概念，得OA＝2OP ＝12．故选：B．3．下列说法错误的是（）A．圆有无数条直径B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C．过圆心的线段是直径D．能够重合的圆叫做等圆【分析】根据直径、弧、弦的定义进行判断即可．【解答】解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；故选：C．4．如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定【分析】利用半圆的弧长公式，即可分别求得两个路径的长，然后进行比较即可．【解答】解：以AB为直径的半圆的长是：π•AB；设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则a+b+c+d＝AB．则老鼠行走的路径长是：a+πb+πc+πd＝π（a+b+c+d）＝π•AB．故猫和老鼠行走的路径长相同．故选：C．5．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（）A．32°B．60°C．68°D．64°【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由＝得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°．【解答】解：∵＝，∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝32°∴∠COE＝32°+32°＝64°．故选：D．6．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（）A．AB＞2AMB．AB＝2AMC．AB＜2AMD．AB与2AM的大小不能确定【分析】以及等弧所对的弦相等，以及三角形中两边之和大于第三边，即可判断．【解答】解：连接BM．∵M为的中点，∴AM＝BM，∵AM+BM＞AB，∴AB＜2AM．故选：C．7．在同圆中，若AB＝2CD，则与的大小关系是（）A．＞B．＜C．＝D．不能确定【分析】先根据题意画出图形，找出两相同的弦CD、DE，根据三角形的三边关系得到CE 与CD+DE的关系，再比较出AB与CE的长，利用圆心角、弧、弦的关系进行解答即可．【解答】解：如图所示，CD＝DE，AB＝2CD，在△CDE中，∵CD＝DE，∴CE＜CD+DE，即CE＜2CD＝AB，∴CE＜AB，∴＜．故选：A．8．如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．4B．6 C．2D．3【分析】过O作垂直于AB的半径OC，设交点为D，根据折叠的性质可求出OD的长；连接OA，根据勾股定理可求出AD的长，由垂径定理知AB＝2AD，即可求出AB的长度．【解答】解：过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA，Rt△OAD中，OD＝CD＝OC＝2，OA＝4，根据勾股定理，得：AD＝，由垂径定理得，AB＝2AD＝4，故选：A．9．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O 到水面的距离OC是（）A．4 B．5 C．6D．6【分析】根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，∴BC＝AC＝AB＝×16＝8，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，故选：D．10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（）A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝4﹣x，MF＝2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝4，设OF＝x，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2即：（4﹣x）2+22＝x2解得：x＝2.5故选：B．11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】先根据圆内接四边形的性质得出∠ADC＝∠EBC＝65°，再根据AC＝AD得出∠ACD ＝∠ADC＝65°，故可根据三角形内角和定理求出∠CAD＝50°，再由圆周角定理得出∠DBC＝∠CAD＝50°．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠EBC＝65°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝65°，∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝50°，∴∠DBC＝∠CAD＝50°，故选：A．12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（）A．B．C．D．【分析】设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC＝QP•QD．即（r﹣m）（r+m）＝m•QD，所以QD＝．连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，即，解得所以，故选：D．二．填空题（共8小题）13．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为70°．（只考虑小于90°的角度）【分析】设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为B．利用三角形的内角和定理求出∠PBA的度数．然后根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数．【解答】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB＝90°，∠PAB＝20°，因而∠PBA＝90°﹣20°＝70°，在小量角器所求弧所对的圆心角为70°，因而P在小量角器上对应的度数为70°．故答案为：70°；14．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是28°．【分析】根据等腰三角形的性质，可得∠A与∠AOB的关系，∠BEO与∠EBO的关系，根据三角形外角的性质，可得关于∠A的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由AB＝OC，得AB＝OB，∠A＝∠AOB．由BO＝EO，得∠BEO＝∠EBO．由∠EBO是△ABO的外角，得∠EBO＝∠A+∠AOB＝2∠A，∠BEO＝∠EBO＝2∠A．由∠DOE是△AOE的外角，得∠A+∠AEO＝∠EOD，即∠A+2∠A＝84°，∠A＝28°．故答案为：28°．15．如图所示，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是15+5．【分析】因为P在半径为5的圆周上，若使四边形周长最大，只要AP最长即可（因为其余三边长为定值5）．【解答】解：由于AC和BC值固定，点P在弧AD上，而B是圆心，所以PB的长也是定值，因此，只要AP的长为最大值，∴当P的运动到D点时，AP最长，∵弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，∴∠DBA＝90°，∴由勾股定理得AD的长为5，∴周长为5×3+5＝15+5．故答案为：15+5．16．如图，已知AB是⊙O的直径，PA＝PB，∠P＝60°，则弧CD所对的圆心角等于60 度．【分析】先利用PA＝PB，∠P＝60°得出△PAB是等边三角形，再求出△COA，△DOB也是等边三角形，得出∠COA＝∠DOB＝60°，可求∠COD．【解答】解：连接OC，OD，∵PA＝PB，∠P＝60°，∴△PAB是等边三角形，有∠A＝∠B＝60°，∵OA＝OC＝OD＝OB，∴△COA，△DOB也是等边三角形，∴∠COA＝∠DOB＝60°，∴∠COD＝180°﹣∠COA﹣∠DOB＝60度．17．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是 4 ．【分析】方法一、延长CP交⊙O于K，连接DK，求出当DK为直径时符合，再求出PM即可；方法二、求出C，M，O，P，四点共圆，连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM＝CO＝4时PM最大．【解答】解：方法一、延长CP交⊙O于K，连接DK，则PM＝DK，当DK过O时，DK最大值为8，PM＝DK＝4，方法二、连接CO，MO，∵∠CPO＝∠CMO＝90°，∴C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径（E为圆心），连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM＝CO＝4时PM最大．即PM max＝4，故答案为：4．18．“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，则直径CD长为26 寸．【分析】连接OA，设OA＝r，则OE＝r﹣CE＝r﹣1，再根据垂径定理求出AE的长，在Rt △OAE中根据勾股定理求出r的值，进而得出结论．【解答】解：连接OA，设OA＝r，则OE＝r﹣CE＝r﹣1，∵AB⊥CD，AB＝1尺，∴AE＝AB＝5寸，在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，即r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13（寸）．∴CD＝2r＝26寸．故答案为：26．19．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝54°，则∠BAD＝36°．【分析】连接BD，根据AB为直径，得出∠ADB＝90°，∠ABD＝∠ACD＝54°，继而可求得∠BAD．【解答】解：连接BD，如图所示：∵∠ACD＝54°，∴∠ABD＝54°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝36°，答案为：36°．20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为110°．【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案．【解答】解：∵∠B＝110°，∴∠ADE＝110°．故答案为：110°．三．解答题（共5小题）21．如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB．【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由AD＝BC得到＝，把两弧都加上弧AC 得到＝，于是得到DC＝AB．【解答】证明：∵AD＝BC，∴＝，∴+＝+，即＝，∴DC＝AB．22．已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点．求证：AD＝BC．【分析】利用SAS证明△AOD≌△BOC，根据全等三角形的对应边相等得到AD＝BC．【解答】证明：∵OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点，∴OA＝OB，OC＝OD．在△AOD与△BOC中，∵，∴△AOD≌△BOC（SAS）．∴AD＝BC．23．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．【分析】过O作OF垂直于CD，连接OD，利用垂径定理得到F为CD的中点，由AE+EB 求出直径AB的长，进而确定出半径OA与OD的长，由OA﹣AE求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD＝2DF即可求出CD的长．【解答】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF＝DF，∵AE＝2，EB＝6，∴AB＝AE+EB＝2+6＝8，∴OA＝4，∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，∴OF＝OE＝1，在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4，根据勾股定理得：DF＝＝，则CD＝2DF＝2．24．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？【分析】（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；（2）连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．【解答】解：（1）连结OA，由题意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34；（2）连结OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16．∴A′B′＝32．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取紧急措施．25．已知：如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．（1）∠E的度数为600；（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．【分析】（1）连结OD，OC，BD，根据已知得到△DOC为等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，求出∠E的度数；（2）同理解答（2）（3）．【解答】解：（1）如图1，连结OD，OC，BD，∵OD＝OC＝CD＝2∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°∴∠DBC＝30°∴∠EBD＝30°∵AB为直径，∴∠ADB＝90°∴∠E＝90°﹣300＝600∠E的度数为600；（2）①如图2，直线AD，CB交于点E，连结OD，OC，AC．∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴∠EBD＝30°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠E＝90°﹣30°＝60°，（3）如图3，连结OD，OC，∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠CBD＝30°，∴∠ADB＝90°，∴∠BED＝60°，∴∠AEC＝60°．。