圆周角定理推论2和3

圆周角定理和圆内四边形的性质典例精析一圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

二 圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠利用圆周角定理的推论求角的度数BABA O例1 （2016·四川眉山）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（）A．64° B．58° C．72° D．55°【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．例2 （2016海南）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP=．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】解：由AB和DE是⊙O的直径，可推出OA=OB=OD=4，∠C=90°，又有DE⊥AC，得到OP∥BC，于是有△AOP∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．例3（2016·山东省滨州市）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD 分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤【考点】圆的综合题．【分析】①由直径所对圆周角是直角，②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，③由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC=∠DBC；④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位线得到结论；⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．利用圆周角定理的推论进行推理论证例4 （2015•烟台）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．例5 如图所示，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB=AF，BF和AD相交于点E；求证：BE=AE．分析：由BC是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=90°，又由AD⊥BC，即可得∠BAD=∠C，又由AB=AF，根据圆周角定理，易得∠ABF=∠F=∠C，则可证得∠ABF=∠BAD，继而证得结论．利用圆内接四边形的性质求度数例6（2015湖南邵阳第7题3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC 的大小是（）利用圆内接四边形的性质进行推理证明 例 7 （2015南京）（8分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ，且DC=DE ． (1) 求证：∠A=∠AEB ．(2) 连接OE ，交CD 于点F ，OE ⊥ CD ．求证：△ABE 是等边三角形．圆周角定理与相似三角形的综合例 8 （2016·天津市南开区·一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是上两点，AB=13，AC=5．（1）如图（1），若点P 是的中点，求PA 的长； （2）如图（2），若点P 是的中点，求PA 的长．(第26题)例 9 （肇庆市2012）如图7，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE 、AD 交于点P . 求证： （1）D 是BC 的中点； （2）△BEC ∽△ADC ； （3）AB ⋅ CE=2DP ⋅AD ．圆内接四边形性质的综合应用例10 （2009•内江）如图，四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与BD 相交于点E ，F 在AC 上，AB ＝AD ，∠BFC ＝∠BAD ＝2∠DFC ＝β．求证：（1）∠ABD ＝90°－β （2）CD ⊥DF ； （３）BC=2CD ．圆周角定理与函数的综合例 1 1 如图，AB 是圆O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，（1）求证：△ACE ∽△CBE ；（2）若AB=4，设OE=x （0＜x ＜2），CE=y ，请求出y 关于x 的函数解析式图7。

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。

一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙Ｏ中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。

以下分五种情况证明【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时：图1连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时：图2连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D，连接OB、OC。

解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图3∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠OCA（）∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。

）【证明】情况4：圆心角等于180°：圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC=21∠BOC（BC弧）∠OCB=∠OBC=21∠AOC（AC弧）∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠ＡOC）/2=90度∴∠AO B2=∠ACB【证明】情况5：圆心角大于180°：图5圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E，∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°）∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB ∵∠AOB=2∠AEB∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB二、圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。

《圆周角》讲义一、圆周角的定义在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

需要注意的是，圆周角的两个特征：一是顶点在圆上；二是两边都和圆相交。

例如，在圆 O 中，∠AOB 是圆心角，而∠ACB 就是圆周角。

圆周角与圆心角是不同的概念，圆心角的顶点在圆心，而圆周角的顶点在圆上。

二、圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

例如，在圆 O 中，弧 AB 所对的圆周角是∠ACB，所对的圆心角是∠AOB，那么∠ACB ＝ 1/2∠AOB。

证明圆周角定理可以通过分类讨论的方法：（1）当圆心 O 在圆周角∠ACB 的一边上时，如∠ACB 的一边经过圆心 O，此时很容易证明∠ACB ＝ 1/2∠AOB。

（2）当圆心 O 在圆周角∠ACB 的内部时，连接 CO 并延长交圆于点 D，通过外角定理可以证明∠ACB ＝ 1/2∠AOB。

（3）当圆心 O 在圆周角∠ACB 的外部时，连接 CO 并交圆于点 D，同样通过外角定理可以证明∠ACB ＝ 1/2∠AOB。

三、圆周角定理的推论推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

例如，在圆 O 中，弧 AB 所对的圆周角有∠ACB、∠ADB 等，它们都相等。

推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

这是因为半圆所对的圆心角是 180°，所以圆周角就是 90°。

如果一个圆周角是 90°，那么它所对的弦就是直径。

四、圆周角定理的应用圆周角定理在解决与圆有关的几何问题中有着广泛的应用。

例如，已知圆中的一条弦和它所对的一个圆周角，可以求出圆心角的度数，进而求出其他相关角的度数。

在计算圆中的线段长度、角度大小以及证明一些几何关系时，圆周角定理也经常被用到。

比如，在一个圆中，已知一条弦的长度和它所对的圆周角的度数，可以通过圆周角定理和三角函数求出圆的半径，从而计算出其他相关线段的长度。

1 圆周角定理及其推论一、知识点总结1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等．3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．4．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1 如图，AB 为⊙O 的弦，点C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD 分别交⊙O 于点E 、F ，试证明弧AE=弧BF ．例2 如图，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D ．求证：AB=CD ．例3如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、 OC 、BC ．(1)求证：∠ACO=∠BCD ．(2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．例4 已知，如图，在⊿ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交⊿ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE=DE ．2 三、苏州市中考例举1、如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是2、如图，已知A 、B两点的坐标分别为()、(0，2)，P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P 的坐标为3、如图．AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD=BD ，∠C=70°．现给出以下四个结论：①∠A=45° ②AC=AB ③AE BE = ④CE ·AB=2BD 2．4、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，BM 平分∠ABC 交AC 于M ，以A 为圆心，AM 为半径作OA 交BM 于N ，AN 的延长线交BC 于D ，直线AB 交OA 于P 、K 两点．作MT ⊥BC 于T(1)求证AK=MT ；(2)求证：AD ⊥BC ；(3)当AK=BD 时，求证：BN AC BP BM=．。

圆周角定理的推论2，3要害问答①圆周角定理的推论有哪些？②圆的内接四边形有什么性质？1．从下列三角尺与圆弧的位置干系中，可鉴别圆弧为半圆的是()A B C D图3－4－152.①如图3－4－16，AB是⊙O的直径，C，D是圆周上的两点．已知AC＝7，BC＝24，AD＝15，则BD＝________．图3－4－163.②如图3－4－17，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BAD＝110°，则∠C的度数是________．图3－4－17命题点1利用圆周角的推论2举行谋略与证明[热度：99%]4.③如图3－4－18，▱ABCD的极点A，B，D在⊙O上，极点C在⊙O的直径BE上，相连AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是()图3－4－18A．44° B．54° C．72° D．53°要领点拨③求与圆有关的角的度数时，一般环境下，都是利用圆周角定理及其推论1.特殊地，当题中有直径出现时，往往要用到“直径所对的圆周角是直角”这一性质.5.④如图3－4－19，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB∥CD，若AB＝8，∠ABC＝30°，则弦AD的长为()图3－4－19A. 3 B．4 3 C．2 3 D．8要领点拨④见直径，布局直径所对的圆周角.6．2019·咸宁如图3－4－20，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为( )图3－4－20A ．6B ．8C ．5 2D ．5 37.⑤如图3－4－21，半径为3的⊙A 议决原点O 和点C (0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 的值为( )图3－4－21A.13 B ．22 C.24 D.223要领点拨⑤求一个不在直角三角形中的锐角的三角函数值，一般思路为：布局含有这个角(或与这个角相等的角)的直角三角形，再根据三角函数的定义求解.8．⑥如图3－4－22，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，相连AE ，ED ，则下列结论中不一定正确的是( )图3－4－22A ．AE ⊥BCB ．BE ＝EC C ．ED ＝EC D ．∠BAC ＝∠EDC 知识链接⑥等腰三角形三线合一．9．已知：如图3－4－23，△ABC 的极点都在⊙O 上，AB 为直径，∠CBA 的中分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，相连AD .(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ； (2)求证：P 是线段AF 的中点；(3)若⊙O 的半径为5，AF ＝152，求tan ∠ABF 的值． 图3－4－23命题点 2 圆内接四边形的相关谋略与证明 [热度：92%]10．如图3－4－24所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是弧CD 上一点，且DF ︵＝BC ︵，相连CF 并延长交AD 的延长线于点E ，相连AC ，若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )图3－4－24A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°11.⑦如图3－4－25，已知四边形ABCD 内接于半径为4的⊙O 中，且∠C ＝2∠A ，则BD ＝________．图3－4－25要领点拨⑦谋略弦长，通常需要布局直角三角形，再借助勾股定理或三角函数求解.12．已知：如图3－4－26，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长AD ，BC 相交于点E ，F 是BD 延长线上的点，且DE 中分∠CDF .(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AC ＝3 cm ，AD ＝2 cm ，求DE 的长．图3－4－2613.⑧如图3－4－27所示，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且∠D ＝∠E .(1)求证：∠D ＝∠CBE ； (2)求证：CB ＝CE ；(3)设AD 不是圆O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，求证：△ADE 为等边三角形．图3－4－27要领点拨⑧欲证明一个三角形是等边三角形，可以证明这个三角形的三条边相等或三个角相等或证明这个三角形是有一个角是60°的等腰三角形.14.⑨如图3－4－28，已知⊙O 的半径为2，弦AB 的长为23，点C 与点D 分别是劣弧AB 与优弧AmB 上的任一点(点C ，D 均不与点A ，B 重合)．(1)求∠ACB 的度数； (2)求△ABD 的最大面积．图3－4－28解题突破⑨(1)题中出现半径长和弦长，要遐想到垂径定理，再想办法利用边的干系求角的度数； (2)要求△ABD 的最大面积，AB 是定值，只需使AB 边上的高最大即可. 15.⑩⑪如图3－4－29，在Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4.P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为( )图3－4－29A .12B ．2C .81313D .121313解题突破⑩根据三角形内角和与已知条件求出∠APB ＝90°，由圆周角定理的推论鉴别出动点P 的轨迹为以AB 为直径的圆在△ABC 内的弧，则可把标题转化为圆外一点与圆上动点的隔断最值标题．要领点拨⑪在动态标题中求两点之间隔断的最值标题，一般应先确定动点的运动纪律，再运用相关知识求解.16.⑫如图3－4－30，A ，P ，B ，C 是⊙O 上四点，∠APC ＝∠CPB ＝60°. (1)鉴别△ABC 的形状，并证明你的结论；(2)当点P 位于什么位置时，四边形PBOA 是菱形？并说明理由； (3)求证：PA ＋PB ＝PC.图3－4－30要领点拨⑫探索结论成立的条件，可采取逆向思维，由果索因.详解详析1．B[剖析] 只有B选项相符圆周角为90°时，所对的弦为直径，由此可知该弧为半圆．故选B.2．20[剖析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.∵AC＝7，BC＝24，∴AB ＝25.∵AD＝15，∴BD＝20.3．70°[剖析] ∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD＋∠C＝180°.∵∠BAD＝110°，∴∠C＝70°.4．B[剖析] ∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠ABC＝90°－∠AEB＝54°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝54°.故选B.5. B[剖析] 相连BD，∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC.∵∠ADC＝∠ABC，∠ABC＝30°，∴∠ADC＝30°，∴∠BAD＝30°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB·cos30°＝8×32＝4 3.故选B.6．B[剖析] 如图，延长AO交⊙O于点E，相连BE，则∠AOB＋∠BOE＝180°.∵∠AOB＋∠COD＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6.∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝AE2－BE2＝102－62＝8.故选B.7．C [剖析] 相连CD. ∵∠DOC ＝90°， ∴CD 是⊙A 的直径．在Rt △OCD 中，CD ＝6，OC ＝2， 则OD ＝CD 2－OC 2＝42， ∴tan ∠CDO ＝OC OD ＝24.由圆周角定理，得∠OBC ＝∠CDO ， ∴tan ∠OBC ＝tan ∠CDO ＝24.故选C . 8．D [剖析] ∵AB 为⊙O 的直径，∴AE ⊥BC. ∵AB ＝AC ，∴BE ＝EC ，∠BAE ＝∠CAE ，∠B ＝∠C ， ∴BE ︵＝ED ︵，∴BE ＝ED ， ∴ED ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ， ∴∠EDC ＝∠B.故选D .9．解：(1)证明：∵BD 中分∠CBA ， ∴∠CBD ＝∠DBA.∵∠DAC 与∠CBD 都是CD ︵所对的圆周角， ∴∠DAC ＝∠CBD ，∴∠DAC ＝∠DBA. (2)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. 又∵DE ⊥AB 于点E ， ∴∠DEB ＝90°，∴∠ADE ＋∠EDB ＝∠DBA ＋∠EDB ＝90°， ∴∠ADE ＝∠DBA ＝∠CBD ＝∠DAP ， ∴PD ＝PA.∵∠DFA ＋∠DAC ＝∠ADE ＋∠PDF ＝90°，且∠ADE ＝∠DAC ， ∴∠PDF ＝∠DFA ， ∴PD ＝PF ，∴PA ＝PF ，即P 是线段AF 的中点．(3)∵∠DAF ＝∠DBA ，∠ADB ＝∠FDA ＝90°， ∴△FDA ∽△ADB ，∴AD BD ＝AFAB .在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD BD ＝AF AB ＝15210＝34，即tan ∠ABF ＝34.10．B [剖析] 因为四边形ABCD 内接于⊙O ，所以∠ADC ＝180°－∠ABC ＝180°－105°＝75°.因为DF ︵＝BC ︵，所以∠DCE ＝∠BAC ＝25°.因为∠ADC ＝∠DCE ＋∠E ，所以∠E ＝∠ADC －∠DCE ＝75°－25°＝50°.故选B .11．4 3 [剖析] 相连OD ，OB ，过点O 作OF ⊥BD ，垂足为F. ∵OF ⊥BD ，∴DF ＝BF ，∠DOF ＝∠BOF. ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠A ＋∠C ＝180°.∵∠C ＝2∠A ，∴∠A ＝60°，∴∠BOD ＝120°， ∴∠BOF ＝60°. ∵OB ＝4，∴BF ＝OB·sin ∠BOF ＝4×sin 60°＝2 3， ∴BD ＝2BF ＝4 3.12．解：(1)证明：如图，∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°， ∠2＋∠ADC ＝180°， ∴∠ABC ＝∠2.又∵∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，∴∠ABC ＝∠4，∴AB ＝AC.(2)∵∠3＝∠4＝∠ABE ，∠DAB ＝∠BAE ， ∴△ABD ∽△AEB ， ∴AB AE ＝AD AB. ∵AB ＝AC ＝3 cm ，AD ＝2 cm ，∴AE ＝AB 2AD ＝92 cm ，∴DE ＝92－2＝52(cm )．13．证明：(1)∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC ＋∠D ＝180°. 又∵∠ABC ＋∠CBE ＝180°， ∴∠D ＝∠CBE.(2)∵∠D ＝∠CBE ，∠D ＝∠E ， ∴∠CBE ＝∠E ， ∴CB ＝CE.(3)设BC 的中点为N ，相连MN. ∵MB ＝MC ，∴MN ⊥BC ， ∴圆心O 在直线MN 上．又∵AD 不是圆O 的直径，M 为AD 的中点，∴OM ⊥AD ， 即MN ⊥AD ，∴BC ∥AD ， ∴∠A ＝∠CBE.又∵∠CBE ＝∠D ，∠D ＝∠E ， ∴∠A ＝∠D ＝∠E ， ∴△ADE 为等边三角形．14．解：(1)相连OA ，OB ，过点O 作OE ⊥AB ，E 为垂足，则AE ＝BE.在Rt △AOE 中，OA ＝2，AE ＝3，∴sin ∠AOE ＝32， ∴∠AOE ＝60°，∠AOB ＝2∠AOE ＝120°.又∵∠ADB ＝12∠AOB ，∴∠ADB ＝60°.∵四边形ACBD 为圆内接四边形， ∴∠ACB ＋∠ADB ＝180°， ∴∠ACB ＝180°－∠ADB ＝120°. (2)过点D 作DF ⊥AB ，垂足为F ， 则S △ABD ＝12×23·DF.显然，当DF 议决圆心O 时，DF 取得最大值，从而S △ABD 取得最大值，此时DF ＝DO＋OF ＝DO ＋OE ＝2＋2sin 30°＝3，∴S △ABD ＝12×23×3＝33，即△ABD 的最大面积是3 3.15．B [剖析] 如图，∵AB ⊥BC ， ∴∠ABP ＋∠PBC ＝90°. ∵∠PAB ＝∠PBC ， ∴∠ABP ＋∠PAB ＝90°，∴∠APB ＝90°，∴点P 在以AB 为直径的⊙E 上，当点C ，P ，E 在一条直线上时，CP 长取最小值，此时由勾股定理，得CE ＝32＋42＝5，CP ＝CE －PE ＝5－3＝2.故选B .16．解：(1)△ABC 是等边三角形．证明如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC. 又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°， ∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．(2)当点P 是AB ︵的中点时，四边形PBOA 是菱形．理由：如图①，相连OP.∵∠AOB ＝2∠ACB ＝120°，P 是AB ︵的中点，∴∠AOP ＝∠BOP ＝60°.又∵OA ＝OP ＝OB ，∴△OAP 和△OBP 均为等边三角形，∴OA ＝AP ＝OB ＝PB ， ∴四边形PBOA 是菱形．(3)如图②，在PC上截取PD＝AP.又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝PA＝PD，∠ADP＝60°，∴∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.在△APB和△ADC中，∵∠APB＝∠ADC，∠ABP＝∠ACD，AP＝AD，∴△APB≌△ADC，∴PB＝DC.∵PD＝PA，∴PC＝PA＋PB.[要害问答]①同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的对角互补．第 11 页。

一圆周角定理课标解读1.了解圆心角定理．2.理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题.1．圆周角定理及其推论(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(3)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数． 1．圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】 不一定相等．一般有两种情况：相等或互补，弦所对的优弧与所对劣弧上的点所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补．2．在推论1中，把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话，结论还成立吗？ 【提示】 不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的． 3．“相等的圆周角所对的弧相等”，正确吗？【提示】 不正确．“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图．若AB ∥DG ，则∠BAC ＝∠EDF ，但BC ≠EF .利用圆周角定理和圆心角定理进行计算在半径为5 cm 的圆内有长为5 3 cm 的弦，求此弦所对的圆周角．【思路探究】 过圆心作弦的垂线构造直角三角形．先求弦所对的圆心角度数，再分两种情况求弦所对的圆周角的度数．【自主解答】 如图所示，过点O 作OD ⊥AB 于点D . ∵OD ⊥AB ，OD 经过圆心O ， ∴AD ＝BD ＝532 cm.在Rt △AOD 中，OD ＝OA 2－AD 2＝52cm ，∴∠OAD ＝30°，∴∠AOD ＝60°. ∴∠AOB ＝2∠AOD ＝120°. ∴∠ACB ＝12∠AOB ＝60°.∵∠AOB ＝120°，∴劣弧AEB 的度数为120°，优弧ACB 的度数为240°. ∴∠AEB ＝12×240°＝120°，∴此弦所对的圆周角为60°或120°.1．解答本题时应注意弦所对的圆周角有两个，它们互为补角．2．和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时，还可以通过比例线段，相似比来计算．图2－1－1已知如图2－1－1，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，点D 是BC 上任意一点，AD ＝6 cm ，BD ＝5 cm ，CD ＝3 cm ，求DE 的长．【解】 ∵AB ＝AC ， ∴∠ADB ＝∠CDE . 又∵BD ＝BD ， ∴∠BAD ＝∠ECD . ∴△ABD ∽△CED . ∴AD CD ＝BD ED .即63＝5ED. ∴ED ＝2.5 cm.与圆周角定理相关的证明如图2－1－2，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .图2－1－2(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．【思路探究】 (1)通过证明角相等来证明三角形相似．(2)利用(1)的结论及面积相等求sin ∠BAC 的大小，从而求∠BAC 的大小．【自主解答】 (1)由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC .(2)因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝ADAC，即AB ·AC ＝AD ·AE . 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC 且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°.1．解答本题(2)时关键是利用AB ·AC ＝AD ·AE 以及面积S ＝12AB ·AC sin ∠BAC 确定sin∠BAC 的值．2．利用圆中角的关系证明时应注意的问题(1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁；(2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直角三角形中处理相关问题．如图2－1－3，△ABC 内接于⊙O ，高AD 、BE 相交于H ，AD 的延长线交⊙O 于F ，求证：BF ＝BH .图2－1－3【证明】 ∵BE ⊥AC ，AD ⊥BC ， ∴∠AHE ＝∠C .∵∠AHE ＝∠BHF ，∠F ＝∠C ， ∴∠BHF ＝∠F . ∴BF ＝BH .直径所对的圆周角问题 如图2－1－4所示，AB 是半圆的直径，AC 为弦，且AC ∶BC ＝4∶3，AB ＝10 cm ，OD ⊥AC 于D .求四边形OBCD 的面积．【思路探究】 由AB 是半圆的直径知∠C ＝90°，再由条件求出OD 、CD 、BC 的长可得四边形OBCD 的面积．【自主解答】 ∵AB 是半圆的直径，∴∠C ＝90°. ∵AC ∶BC ＝4∶3，AB ＝10 cm ， ∴AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm. 又∵OD ⊥AC ，∴OD ∥BC . ∴OD 是△ABC 的中位线，∴CD ＝12AC ＝4 cm ，OD ＝12BC ＝3 cm.∴S 四边形OBCD ＝12(OD ＋BC )·DC＝12(3＋6)×4＝18 cm 2. 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等．图2－1－5如图2－1－5，已知等腰三角形ABC 中，以腰AC 为直径作半圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，若∠BAC ＝50°，则EF 的度数为( )A ．25°B ．50°C ．100° D．120° 【解析】 如图，连接AF . ∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠AFC ＝90°， ∴AF ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴∠BAF ＝12∠BAC ＝25°，∴EF 的度数为50°. 【答案】 B(教材第26页习题2.1第3题)图2－1－6如图2－1－6，BC 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB ＝AF ，BF 和AD 相交于E ，求证：AE ＝BE .(2013·陕西高考)如图2－1－7，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.图2－1－7【命题意图】 本题主要考查圆周角定理、三角形相似等知识，证明三角形相似考查了逻辑推理能力，求线段的长度考查了知识的应用能力及转化意识．【解析】 ∵BC ∥PE ，∴∠C ＝∠PED . ∵∠C ＝∠A ，∴∠A ＝∠PED . 在△PED 和△PAE 中， ∠PED ＝∠A ，∠P ＝∠P ， ∴△PED ∽△PAE ，∴PE PA ＝PD PE. ∵PA ＝PD ＋DA ＝3，PD ＝2， ∴PE 2＝PA ·PD ＝3×2＝6， ∴PE ＝ 6. 【答案】61．如图2－1－8，在⊙O 中，∠BAC ＝60°，则∠BDC ＝( )图2－1－8A ．30°B ．45°C ．60° D．75°【解析】 ⊙O 中，∠BAC 与∠BDC 都是BC 所对的圆周角，故∠BDC ＝∠BAC ＝60°. 【答案】 C2．在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，则AB 所对的圆心角为( ) A ．22.5° B．45° C ．90° D．不确定【解析】 ∵∠ACB ＝45°，∴AB 所对的圆心角为2∠ACB ＝90°. 【答案】 C3．(2013·焦作模拟)如图2－1－9，A 、B 、C 是⊙O 的圆周上三点，若∠BOC ＝3∠BOA ，则∠CAB 是∠ACB 的________倍．图2－1－9【解析】∵∠BOC＝3∠BOA，∴BC＝3AB，∴∠CAB＝3∠ACB.【答案】 34．如图2－1－10所示，两个同心圆中，CmD的度数是30°，且大圆半径R＝4，小圆半径r＝2，则AnB的度数是________．图2－1－10【解析】AnB的度数等于∠AOB，又CmD的度数等于∠AOB，则AnB的度数是30°.【答案】30°一、选择题图2－1－111．如图2－1－11所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有( ) A．1对B．2对C．3对 D．4对【解析】由推论知：∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.【答案】 B2．在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是( )A．30° B．30°或150°C．60° D．60°或120°【解析】弦所对的圆心角为60°，又弦所对的圆周角有两个且互补，故选B.【答案】 B3．如图2－1－12所示，等腰△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠A ＝40°，D 是BC 的中点，E 是AC 的中点，分别连接BD 、DE 、BE ，则△BDE 的三内角的度数分别是( )图2－1－12A ．50°，30°，100° B．55°，20°，105° C ．60°，10°，110° D．40°，20°，120° 【解析】 如图所示，连接AD . ∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD 过圆心O . ∵∠A ＝40°，∴∠BED ＝∠BAD ＝20 °， ∠CBD ＝∠CAD ＝20°. ∵E 是AC 的中点， ∴∠CBE ＝12∠CBA ＝35°，∴∠EBD ＝∠CBE ＋∠CBD ＝55°. ∴∠BDE ＝180°－20°－55°＝105°， 故选B. 【答案】 B4．如图2－1－13，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝30°，则圆O 的面积等于( )图2－1－13A ．4π B．8π C ．12π D．16π 【解析】 连接OA ，OB . ∵∠ACB ＝30°， ∴∠AOB ＝60°， 又∵OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形． 又AB ＝4，∴OA ＝OB ＝4.∴S ⊙O ＝π·42＝16π. 【答案】 D 二、填空题图2－1－145．(2013·平顶山模拟)如图2－1－14，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BDDA＝________. 【解析】 连接CD ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠CDA ＝90°.由射影定理得BC 2＝BD ·BA ，AC 2＝AD ·AB ，∴BC 2AC 2＝BD DA ，即BD DA ＝169. 【答案】1696．如图2－1－15，AB 为⊙O 的直径，弦AC ，BD 交于点P ，若AB ＝3，CD ＝1，则sin ∠APD ＝__________.图2－1－15【解析】 由于AB 为⊙O 的直径，则∠ADP ＝90°， 所以△APD 是直角三角形． 则sin ∠APD ＝AD AP ，cos ∠APD ＝PD AP， 由题意知，∠DCP ＝∠ABP ，∠CDP ＝BAP ， 所以△PCD ∽△PBA . 所以PD AP ＝CD AB ，又AB ＝3，CD ＝1，则PD AP ＝13.∴cos ∠APD ＝13.又∵sin 2∠APD ＋cos 2∠APD ＝1，∴sin ∠APD ＝223.【答案】223三、解答题7．如图2－1－16，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD 、AD .(1)求证：DB 平分∠ADC ；(2)若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长．图2－1－16【解】 (1)证明：∵AB ＝BC ，∴AB ＝BC ， ∴∠BDC ＝∠ADB ， ∴DB 平分∠ADC . (2)由(1)可知AB ＝BC . ∴∠BAC ＝∠ADB . ∵∠ABE ＝∠ABD .∴△ABE ∽△DBA .∴AB BE ＝BD AB. ∵BE ＝3，ED ＝6，∴BD ＝9. ∴AB 2＝BE ·BD ＝3×9＝27. ∴AB ＝3 3.8．如图2－1－17, △ABC 是圆O 的内接等边三角形，AD ⊥AB ，与BC 的延长线相交于点D ，与圆O 相交于点E ，若圆O 的半径r ＝1，求DE 的长度．图2－1－17【解】 连接BE ，∴AD ⊥AB ， ∴BE 为⊙O 的直径，且BE ＝2r ＝2. 又∵∠AEB ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABE ＝30°，∠EBD ＝30°. 又∵∠ABD ＝60°， ∴∠D ＝∠EBD ＝30°， ∴DE ＝BE ＝2.9．如图2－1－18①所示，在圆内接△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的一点，E 是直线AD 和△ABC 外接圆的交点．图2－1－18(1)求证：AB 2＝AD ·AE ；(2)如图2－1－18②所示，当D 为BC 延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由．【解】 (1)证明：如右图①，连接BE.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠ACB＝∠AEB，∴∠ABC＝∠AEB.又∠BAD＝∠EAB.∴△ABD∽△AEB.∴AB∶AE＝AD∶AB，即AB2＝AD·AE.(2)如图②，连接BE，结论仍然成立，证法同(1)．10.已知：如图，BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是BF的中点，AD ⊥BC于点D，BF交AD于点E.(1)求证：BE·BF＝BD·BC；(2)试比较线段BD与AE的大小，并说明道理．【解】(1)证明：连接FC，则BF⊥FC.在△BDE和△BCF中，∵∠BFC＝∠EDB＝90°∠FBC＝∠EBD，∴△BDE∽△BFC.∴BEBC＝BDBF.即BE·BF＝BD·BC.(2)连接AC、AB，则∠BAC＝90°.∵AF＝AB，∴∠1＝∠2.又∵∠2＋∠ABC＝90°，∠3＋∠ABD＝90°，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.∴AE＝BE.在Rt△EBD中，BE>BD，∴AE>BD.。

圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。

本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。

一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。

一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。

二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。

证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。

由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。

2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。

证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。

则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。

3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。

连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。

因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。

设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。

将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。

4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。