河南省项城一中七年级数学 2.1《余角与补角》学案(无答案) 北师大版

2019-2020学年七年级下册2-1《余角与补角》学案北师大版一、学习目标：1、认识并理解余角、补角的定义；（重点）2、探究余角、补角性质；（难点）3、会用定义和性质进行数学表达。

设计意图：本节课针对我们七年级学生的基础知识和学习能力较薄弱，制定了上述学习目标。

将对顶角和补充邻补角的知识放在第二课时。

二、知识衔接：1、1直角= °，1平角= °。

2、如果两条直线相交所成的角中有一个角是角（或等于°），那么称这两条直线互相垂直。

设计意图：回忆直角，平角和垂直的定义，是为接下来学习余角、补角做知识准备。

三、质疑探究：（一）、余角和补角定义的理解1、情景引入光的反射定律设计意图：利用光的反射现象的摸拟实验导入，充分利用物理学科的课程资源，创设轻松愉悦的学习情景，激发学生的学习兴趣。

如图，∠1 +∠3= ∠2 +∠4=设计意图：细化的问题填空帮助学生解读教材定义：如果两个角的和是(或等于90°)，那么称这两个角互为余角，简称“互余”。

数学语言：∵∠1+∠3=90°∴∠1与∠3互余思考：图中与∠3互余的角还有谁呢？与∠4互余的角还有谁呢？如图，∠3 + ∠AOE = ∠4 + ∠BOD =定义：如果两个角的和是(或等于180°)，那么称这两个角互为补角，简称“互补”。

数学语言：∵∠3+∠AOE=180°∴∠3与∠AOE互补2、即时练习：①、若∠1 = 40°，则∠1的余角等于，∠1的补角等于。

②、若∠A 的余角是70°，则∠A= 。

③、若∠A 的补角是70°，则∠A= 。

⑤、余角和补角的表示：∠α的余角表示为（α<90°）∠α的补角表示为（α<180°）。

设计意图：余角、补角的定义的应用，帮助学生掌握余角、补角的定义。

（二）余角和补角的性质探索1，小组交流，讨论下面问题：已知∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°则∠1与∠2有何关系？为什么？设计意图：通过小组的合作学习，培养学生简单的几何推理能力。

新北师大版七年级上册数学《余角和补角》导学案年级 科目 数学 执笔 审核、经历观察、操作、推理、交流等活动，发展学生的空间观念，培养学生的推理活动中的困难，建立学好数学的自信心展学生的空间观念，培育学生的教学过程 一、自主学习 （一）、自学课文：P 1.什么是余角？什么是补角？ 2。

余角与补角有什么性质？ （二）、导学练习：1、 量角器理出图中的两个角的度数，并求出这两个角的和。

2．说出一副三角尺中各个角的度数。

1、余角与补角的概念在一副三角尺中，每块都有一个角是90度，而其他两个角的和是90度。

一般 我们就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．例如，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角的余角．同样， ，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2、余角与补角的性质问题1：如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，并且∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？问题2，如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，并且∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？学生分组讨论、交流，说出各自的理由，最后师生共同归纳余角与补角的性质： 等角的余角相等；等角的补角相等。

（三）自学疑难摘要： 二、合作探究问题1．比一比，看谁填得快。

问题2。

已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角。

*问题3．如图所示，已知OE 平分∠AOB ，OD 平分∠BOC ，∠AOB 为直角，∠EOD=70°，则∠BOC 的度数为________．*问题4．如图所示，AB 是直线，O 是AB 上一点，∠AOE 是直角，∠FOD=90°，OB•平分∠DOC ，则图中与∠DOE 互余的角有哪些？与∠DOE 互补的角有哪些？三、展示提升1.已知∠α,用两种不同的方法,画出∠α的余角∠β 和∠α的补角∠γ.A EBCD O _A _E _B_C _D_O _FD FA EBα α2.如图,长方形ABCD 沿AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处, 如果∠BAF=60°,则∠DAE 等于( )A.15°B.30°C.45°D.60°3．一个角的补角加上1°后等于这个角的余角的3倍，求这个角的余角．四、反馈与检测一、填空：1.已知∠1=200,∠2=300,∠3=600,∠4=1500,则∠2是____的余角,_____是∠4的补角. 2.如果∠α=39°31°,∠α的余角∠β =_____,∠α的补角∠γ=_____,∠α-∠β=___. 3.若∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠1=40°,则∠3=______°, 依据是_______。

北师大版七年级数学下册精品教案《2.1 第1课时对顶角、余角和补角》.pdf一. 教材分析本节课的主题是对顶角、余角和补角。

这是初中数学的基础知识，对于学生掌握数学的基本概念和几何知识具有重要意义。

通过本节课的学习，学生可以了解到对顶角、余角和补角的定义和性质，并能够运用这些知识解决实际问题。

二. 学情分析学生在进入本节课的学习之前，已经掌握了角的初步知识，对于角的分类和度量有一定的了解。

但是，对于对顶角、余角和补角的概念和性质可能还不够清晰，需要通过本节课的学习来进一步深化理解。

三. 教学目标1.了解对顶角、余角和补角的定义和性质。

2.能够运用对顶角、余角和补角的知识解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.对顶角、余角和补角的定义和性质。

2.运用对顶角、余角和补角的知识解决实际问题。

五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、小组合作法等多种教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论等方式，自主探索对顶角、余角和补角的知识。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.几何图形模板。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的几何图形，引导学生观察其中的对顶角、余角和补角，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题。

2.呈现（10分钟）讲解对顶角、余角和补角的定义和性质，通过PPT展示相关的几何图形，让学生直观地理解这些概念。

3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用几何图形模板，自己动手操作，验证对顶角、余角和补角的性质。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，巩固对顶角、余角和补角的知识。

教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。

5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用对顶角、余角和补角的知识解决。

教师引导学生进行分析，指导解题方法。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行简要回顾，强调对顶角、余角和补角的定义和性质，提醒学生注意在实际问题中的运用。

对顶角、余角和补角-北师大版七年级数学下册教案一、教学目标1.掌握对顶角、余角和补角的定义及性质。

2.能够灵活运用对顶角、余角和补角的性质进行简单的计算。

二、教学内容1.对顶角、余角和补角的概念2.对顶角、余角和补角的性质3.对顶角、余角和补角的应用三、教学重点和难点1.教学重点：掌握对顶角、余角和补角的概念及性质。

2.教学难点：灵活运用对顶角、余角和补角的性质进行计算。

四、教学方法1.归纳法2.探究法3.演示法4.讨论法五、教学过程1. 导入新知识通过展示两条平行线及其上的两个等角的情形，引出对顶角的概念，引导学生进行探究活动，通过师生互动来总结出对顶角的定义及性质。

2. 讲解对顶角的概念和性质通过对对顶角的定义及性质进行讲解，加深学生对对顶角的认识。

3. 练习对顶角现场出示几个图形，让学生手绘出其中的对顶角，并说明理由。

通过练习，提高学生对对顶角的掌握。

4. 讲解余角和补角的概念和性质讲解余角和补角的定义及性质，并通过实际例子说明，加深学生对余角和补角的理解。

5. 练习余角和补角让学生手绘出具有余角和补角的图形，并通过练习，提高学生对余角和补角的掌握，进而灵活运用其性质进行计算。

6. 总结和归纳通过回顾概念及性质，总结并归纳对顶角、余角和补角的定义及性质，并对其应用进行总结。

六、教学评价1.课堂笔记和作业评分。

2.能否熟练运用对顶角、余角和补角的性质进行计算。

3.课堂参与度评分。

七、教学反思1.应注意让学生自主探究知识，培养其探究能力，学生才能更好地掌握知识点。

2.教师应注重教学过程中的实际案例及练习，让学生通过练习巩固所学内容，进而提高其理解和运用能力。

北师大版七年级数学下册精品教学设计《2.1 第1课时对顶角、余角和补角》一. 教材分析《2.1 第1课时对顶角、余角和补角》这一课时主要讲述了对顶角、余角和补角的定义及性质。

对顶角是指两个角位于两条相交直线的对立位置，它们的度数相等。

余角是指两个角的度数之和为90度，而补角是指两个角的度数之和为180度。

本节课通过实例和图形，让学生理解和掌握对顶角、余角和补角的性质，并能够运用它们解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习这一课时前，已经学习了角的概念，对角度有一定的认识。

但是，对于对顶角、余角和补角的概念和性质可能还不够清晰，需要通过实例和图形进行进一步的解释和引导。

此外，学生可能对解决实际问题的方法和技巧还不够熟练，需要通过练习和指导来提高。

三. 教学目标1.知识与技能：理解和掌握对顶角、余角和补角的定义及性质，能够运用它们解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例和图形，培养学生的观察能力和推理能力。

3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细心。

四. 教学重难点1.对顶角、余角和补角的定义及性质。

2.如何运用对顶角、余角和补角解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过提问和实例，引导学生思考和探索，培养学生的观察能力和推理能力。

同时，通过练习和指导，帮助学生掌握解决实际问题的方法和技巧。

六. 教学准备1.准备相关的实例和图形，用于解释和展示对顶角、余角和补角的性质。

2.准备一些练习题，用于巩固学生的理解和应用能力。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问，引导学生回顾角的概念，并引入对顶角、余角和补角的概念。

2.呈现（10分钟）通过实例和图形，呈现对顶角、余角和补角的性质，引导学生观察和推理，让学生理解和掌握这些性质。

3.操练（10分钟）让学生进行一些相关的练习题，巩固他们对对顶角、余角和补角的理解和应用能力。

4.巩固（5分钟）通过一些实际问题，让学生运用对顶角、余角和补角的性质进行解决，巩固他们的理解和应用能力。

余角、补角教学目标：1．在具体情境中了解余角、补角,知道等角(同角)的余角相等、等角(同角)的补角相等. 2．会运用互为余角、互为补角的性质来解题.教学重难点：灵活运用等角(同角)的余角相等、等角(同角)的补角相等. 教学过程： 一、情境创设：用一副三角尺,在实物投影仪下,演示课本中的图6--15.∠α与∠β的度数之间有什么特殊的关系? 二、新知展开：（一）互为余角、互为补角的概念.如果两个角的和是一个直角,这两个角叫做 。

简称 。

其中一个角叫做另一个角的 。

如果两个角的和是一个平角,这两个角叫做 。

简称 。

其中一个角叫做另一个角的 。

注:⑴∠α的余角表示为 ；∠α的补角表示为 。

⑵互余、互补是指两角在数量(度数)上存在着一种特殊关系。

与角的 无关。

（二）做一做。

1.填表想一想,同一个角的补角与它的余角之间有怎样的数量关系?2.已知3组角：(1) 对A 组中的每一个角,在B 组中找出它的补角,并用线连接； (2) B 组中有哪些角的余角在C 组中?分别找出这些角, 并用线连接。

3.若一个角为35°35′35″，它的余角是 、补角是 ． （三）例题解析：例1.如图,如果∠1与∠2互余, ∠1与∠3互余,那么∠2与∠3相等吗?为什么?想一想:如果∠1与∠2互补, ∠3与∠4互补, ∠1=∠3,那么∠2与∠4有怎样的关系?为什么?互为余角、互为补角的性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等。

例2.如图，点O 为直线AB 上一点，∠AOC = 90°,OD 平分∠BOC。

图中有哪些角互补？有哪些角互余？说明你的理由。

例3.已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求①这个角的度数；②求这个角的余角的度数。

课堂练习1.若∠α=50º，则它的余角是 ，它的补角是 。

2.若∠β=110º，则它的补角是 ，它的补角的余角是 。

3.已知一个角的补角和这个角的余角互补,求这个角的度数。

余角、补角-北京版七年级数学下册教案一、教学目标1.知识与技能：掌握余角、补角的概念及相关概念。

2.过程与方法：通过自学、交流合作、实践探究等方式，培养学生的数学思维能力。

3.情感、态度与价值观：促进学生的数学兴趣，增强对数学学科的认知和理解。

二、教学重点1.余角、补角的概念、性质及应用。

2.不同情境中的余角、补角。

三、教学难点1.如何理解余角、补角的应用意义。

2.不同情境中如何利用余角、补角的性质解决问题。

四、教学过程1. 导入新知识教师通过板书的方式向学生介绍余角、补角的概念。

并通过实际例子向学生演示，解释如何应用余角、补角解决实际问题。

2. 提供自主学习的机会提供一些相关资源，如教材、网络资料等，让学生自主学习余角、补角的概念及应用。

在课堂上，教师与学生共同讨论，梳理相关知识，并对不理解的问题进行解答。

3. 合作交流，加深理解学生分组进行合作任务。

通过实例演示和策略探讨，学生之间相互交流和学习。

教师不断引导，提供帮助和反馈。

4. 拓展应用根据实际情境，提供一些复杂的应用问题，让学生能够熟练地应用余角、补角的概念和技巧，解决实际问题，拓展思路。

5. 归纳总结在课程结束时，教师带领学生总结和归纳余角、补角的概念，性质和应用。

同时，通过学生反馈，教师对教学过程进行反思和改进，不断提高教学质量。

五、教学评估通过对学生课堂表现、课后作业以及小测验进行综合评估，评估学生对余角、补角的掌握程度，以及掌握的技能运用情况。

六、课后拓展1.了解平行线和交角的关系。

2.具有自主创新能力和发散思维能力。

七、教学反思在本节课的教学中，通过提供不同的学习方式和策略，使学生能够充分发挥自己的主体性，有效地掌握余角、补角的概念和应用。

但是，实践中也发现了一些问题，需要在今后的教学工作中不断完善。

例如，如何让学生在语境中合理灵活应用技巧、加深对知识的理解和适当扩展知识应用等。

在今后的教学工作中，需要更加注重学生的实践能力的培养，鼓励学生在实际生活中积极运用数学知识。

2．1 两条直线的位置关系第1课时对顶角、补角和余角1．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题；2．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题．(重点，难点)一、情境导入如图，若把剪刀看成是两条相交的直线构成的，那么形成的角中小于平角的角有几个，你能发现它们之间的联系吗？二、合作探究探究点一：对顶角及其性质【类型一】对顶角的概念下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )解析：选项A中的两个角的顶点没有公共；选项B、D中的两个角的两边没有在互为反向延长线的两条直线上，只有选项C中的两个角符合对顶角的定义．故选C.方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角．【类型二】直接运用对顶角的性质求角度如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数．解析：结合图形，由∠1和∠BOC求得∠BOF的度数，根据“对顶角相等”可得∠2的度数．解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°.因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)，所以∠2＝70°(等量代换)．方法总结：两条相交直线构成对顶角，这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论．在图形中正确找到对顶角，利用角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系，然后结合已知条件进行转化．探究点二：补角和余角【类型一】 利用补角和余角计算求值已知∠A 与∠B 互余，且∠A 的度数比∠B 度数的3倍还多30°，求∠B 的度数． 解析：根据∠A 与∠B 互余，得出∠A ＋∠B ＝90°，再由∠A 的度数比∠B 度数的3倍还多30°，从而得到∠A ＝3∠B ＋30°，再把两个算式联立即可求出∠2的值．解：∵∠A 与∠B 互余，∴∠A ＋∠B ＝90°.又∵∠A 的度数比∠B 度数的3倍还多30°，∴设∠B ＝x ，∴∠A ＝3∠B ＋30°＝3x ＋30°，∴3x ＋30°＋x ＝90°，解得x ＝15°，故∠B 的度数为15°.方法总结：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程来解决．【类型二】 补角、余角和角平分线的综合计算如图，已知∠AOB 在∠AOC 内部，∠BOC ＝90°，OM 、ON 分别是∠AOB ，∠AOC 的平分线，∠AOB 与∠COM 互补，求∠BON 的度数．解析：根据补角的性质，可得∠AOB ＋∠COM ＝180°.根据角的和差，可得∠AOB ＋∠BOM＝90°.根据角平分线的性质，可得∠BOM ＝12∠AOB .根据解方程，可得∠AOB 的度数．根据角的和差，可得答案．解：∵∠AOB 与∠COM 互补，∴∠AOB ＋∠COM ＝180°，即∠AOB ＋∠BOM ＋∠COB ＝180°.∵∠COB ＝90°，∴∠AOB ＋∠BOM ＝90°.∵OM 是∠AOB 的平分线，∴∠BOM ＝12∠AOB ，即∠AOB ＋12∠AOB ＝90°，解得∠AOB ＝60°，∴∠AOC ＝∠BOC ＋∠AOB ＝90°＋60°＝150°.∵ON 平分∠AOC 得∠AON ＝12∠AOC ＝12×150°＝75°.由角的和差，∴∠BON ＝∠AON －∠AOB ＝75°－60°＝15°.方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．【类型三】 补角和余角的性质如图，将一副直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起．(1)如图①，若CE 是∠ACD 的角平分线，那么CD 是∠ECB 的角平分线吗？并简述理由；(2)如图②，若∠ECD＝α，CD在∠BCE的内部，请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等？并简述理由；(3)在(2)的条件下，请问∠ECD与∠ACB的和是多少？并简述理由．解析：(1)首先根据直角三角板的特点得到∠ACD＝90°，∠ECB＝90°.再根据角平分线的定义计算出∠ECD和∠DCB的度数即可；(2)∠ACE与∠DCB相等，根据“等角的余角相等”即可得到答案；(3)根据角的和差关系进行等量代换即可．解：(1)CD是∠ECB的角平分线．理由如下：∵∠ACD＝90°，CE是∠ACD的角平分线，∴∠ECD＝45°.∵∠ECB＝90°，∴∠DCB＝90°－45°＝45°，∴∠ECD＝∠DCB，∴CD是∠ECB的角平分线；(2)∠ACE＝∠DCB.理由如下：∵∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，∠ECD＝α，∴∠ACE＝90°－α，∠DCB＝90°－α，∴∠ACE＝∠DCB；(3)∠ECD＋∠ACB＝180°.理由如下：∠ECD＋∠ACB＝∠ECD＋∠ACE＋∠ECB＝∠ACD＋∠ECB＝90°＋90°＝180°.方法总结：此题主要查考了角的计算，关键是根据图形分清角之间的和差关系．三、板书设计1．对顶角相等；2．同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．本节课学习了对顶角及其性质．教学中可让学生自己画这些角，结合图形说出对顶角的特征．对顶角的识别是易错点，可以结合例题进行练习，让学生在学习中不断纠错，不断进步。

余角与补角教学目标：1、 知识与技能了解余角、补角的概念及性质2、 过程与方法经历观察、操作、推理、交流等过程，发展推理能力和表达能力3、 情感态度与价值观结合实际生活，体验学数学的乐趣教学重、难点：掌握互余、互补角的性质及应用教法：指导探索、研究、发现法学法：自主探索、研究、发现法教具：投影仪教学流程：一、前提测评角的定义：有两条边一个公共顶点角的分类：直角 90，平角 180，周角 360，锐角小于90°，钝角大于90°角的度数的加减：69°+30°=99° 85°37′+45°24′=131°1′二、展示、实施目标观察下列各对角30°和60° 30°和150°43°和47° 45°和135°20°和70° 70°20′和109°40′1、两角和为90° 两角和为180°2、若两角和为90°，则 若两角和为180°，则 两角互为余角（互余） 两角互为补角（互补）3、同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等 问：1、在下图中，∠1=∠2，哪些角互为余角、互为补角？答：互余的角：1∠与3∠ 2∠与3∠ 1∠与4∠ 2∠与4∠互补的角：3∠与ABF ∠ 4∠与CBE ∠2、上图中除∠1=∠2外还有哪些角相等？CD AE B F答：∠3=∠4 439042903121∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∠=∠CBE ABF ∠=∠ CBEABF CBE ABF ∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∠=∠ 1804,180343总结：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等3、若一个角是65°30′，求这个角的余角和补角？解：余角：90°-65°30′=24°30′补角：180°-65°30′=114°30′总结：锐角∂的余角90°-∂ 补角180°-∂三、课堂反馈1、是不是所有的角都有余角和补角呢？答：不一定，钝角没有余角有补角2、锐角的补角比余角大多少？答：设这个锐角为∂，则补角为180°-∂，余角为90°-∂（180°-∂）-（90°-∂）=90°则锐角的补角比余角大90°四、课堂小结1、 两角和为90°的两个角互余，两角和为180°的两个角互补。

第二章 相交线与平行线课题 对顶角、余角和补角【学习目标】1．经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念，推理能力和有条理的表达能力． 2．在具体情景中了解余角、补角、对顶角及其性质，并能运用这些性质解决一些生活中的实际问题． 【学习重点】余角、补角、对顶角的性质及应用． 【学习难点】补角、余角的性质．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．方法指导：在图形中正确找到对顶角，利用对顶角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系，然后结合已知条件进行转化．一、情景导入 生成问题旧知回顾：1．同一平面内，两条直线的位置关系是怎样的？ 答：相交或平行．2．如图，两条直线AB ，CD 相交于O ，图中小于平角的角有几个？它们之间有何联系？答：图中小于平角的角有四个：∠AOC 、∠BOC 、∠BOD 、∠AOD ，每相邻两角互补．二、自学互研 生成能力知识模块一 对顶角的定义及性质阅读教材P 38－39，完成下列问题： 1．什么是相交线？什么是平行线？答：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．2．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？解：∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线，∠1＝∠2，理由：∵∠1＋∠BOC ＝180°，∠2＋∠BOC ＝180°，∴∠1＝∠2.【归纳】在两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点并且两边互为反向延长线的两个角叫对顶角．范例1.如下图所示的各图中，∠1和∠2是对顶角的图形是( D )A B C D 仿例1.如图，三条直线相交于点O ，则∠1＋∠2＋∠3＝( C )A.90° B ．120° C ．180° D ．360°学习笔记：同角或等角的补(余)角相等时用等式基本性质可证明．仿例2中设出这个角并表示余角或补角是常用解题方法．行为提示：在群学后期，教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．有展示、有补充、有质疑、有评价穿插其中．学习笔记：检测可当堂完成．仿例2.如图，直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，∠1＝40°，∠BOC ＝110°，求∠2的度数．解：∠2＝70°.知识模块二 余角和补角什么是互为补角？什么是互为余角？答：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角．范例2.如图，∠DON ＝∠90°，且∠1＝∠2. (1)有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？ (2)∠3与∠4有什么关系？为什么？(3)∠AOC 与∠BOD 有什么关系？为什么？解：(1)互为补角：∠1与∠AOC ，∠2与∠BOD ；互为余角：∠1与∠3，∠2与∠3，∠2与∠4，∠1与∠4；(2)∠3＝∠4.理由：∵∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，且∠1＝∠2，∴∠3＝∠4；(3)∠AOC ＝∠BOD .理由： ∵∠AOC ＋∠1＝180°，∠BOD ＋∠2＝180°，且∠1＝∠2，∴∠AOC ＝∠BOD .【归纳】同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等． 仿例1.(重庆中考)已知∠A ＝65°，则∠A 的补角等于( C ) A ．125° B ．105° C ．115° D ．95° 仿例2.一个角的余角与这个角的补角之和为180°，则这个角的度数为__45°__．三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 对顶角的定义及性质 知识模块二 余角和补角四、检测反馈 达成目标 见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺 1．收获：________________________________________ 2．存在困惑：______________________________________。

初一年级数学学科导学案复备人所在单位上课时间 3.29复备人课型新授课复备时间 3.28 课时1课题 2.1 两条直线的位置关系(2)教学目标知识能力(1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。

(2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。

(3)初步尝试进行简单的推理。

过程方法经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。

善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。

情感态度价值观激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性。

学习重点垂线的意义、性质和画法学习难点垂线的画法教学、教具（课件）准备多媒体教学，课件教法、学法自主合作探究自主学习（一）预习准备：预习书P41，回答下列问题：(1) 在平面内的两条直线有和两种位置关系，而垂直是位置关系中的一种特殊情况。

(2) ,那么称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫．（3）通常用符号表示两条直线互相垂直，“⊥”读作“垂直于”，如AB⊥CD于M，含义是直线AB与直线CD垂直，垂足是M。

（4）如图，若AB⊥CD于O，则∠AOC= °；若∠BOC=90°，则。

（二）学习过程：（1）自主探究：垂线的画法，完成书P41的做一做。

巩固练习：如图，在方格纸上，分别过A画AD的垂线、过B画EF的垂线、过C画GF的垂线.（2）自主探究：垂线的性质，完成书P41、42想一想。

结论：平面内，过一点与已知直线垂直。

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，。

叫点到直线的距离。

巩固练习：如图，通过画图并量得点A到直线l的距离等于厘米.（精确到0.1厘米）自我评价：我得了（）颗★小组长评价：你得了（）颗★合作探究1、按照题目的要求，分别画出图形，并回答有关问题.（1）画长3cm的线段AB，取AB的中点O，过O作线段AB的垂线l，在l上任取一点P，连接PA，PB，量一量线段PA，PB的长度，你发现什么结论？（2）画一个∠ABC，作出∠ABC的角平分线BD，在BD上任取一点P（除B 点外），过P分别作PM⊥BA，PN⊥BC，垂足分别是M，N，量一量线段PM，PN的长度，你发现什么结论？2、按题目要求画图，并回答相关问题.（1）画两条直线m，n，使m∥n，在直线m上任取两点A，B，分别过A，B 作直线n的垂线，垂足分别为C，D，量一量线段AC，BD的长，你发现了什么结论？（2）如图，点P是∠AOB内一点，过点P作PM⊥OA，垂足为M，作PN⊥OB，垂足为N，量一量∠MPN和∠O，你发现了什么结论？形成 结论 1.两条直线互相垂直的概念两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直（perpendicular ），其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。

2.1余角和补角基础练习1.如果两个角的和是90º，那么这两个角互为_________.如果两个角的和是______,那么这两个角互为补角.2.32º的余角为_______,137º的补角为_______.3.若∠1=∠2，且∠1与∠2互余，则∠1=∠2=________度.4.若∠A ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠C ＝180°，则∠A ______∠C ，理由是_________________;5.下列说法正确的是（ ）.A .一个锐角的余角是一个锐角B .一个锐角的余角是一个钝角C .一个锐角的补角是一个锐角D .一个钝角的补角是一个钝角6.下列图形中∠1与∠2是对顶角的是（ ）7.你能正确认识对顶角的性质吗？下面是四个同学的观点，其中正确的是( )A .有公共顶点的角是对顶角B .相等的角是对顶角C .对顶角必相等D .不是对顶角的角不相等8.如图2，已知∠AOE =∠COD =90º.（1）写出图中∠EOD 互余的角；（2）∠1与∠2的关系是什么？为什么？（3）写出与∠2互补的角.9.一个角的余角等于这个角的2倍，试求这个角的度数以及其补角的度数.10.图3是一个长方形台球桌面，如果∠1=∠2=30°，那么∠3等于多少度？∠1与∠3有什么关系？综合运用11.∠1与∠2互余，∠1=38°12′，∠2=_____，∠2的补角等于_________.图2图1 1 111 222 2 图3 1 2 312．如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角是 ．13.如图4，三条直线相较于点O ，则∠2=_______，理由是__________，再写出图中两对对顶角：_______和______，________和_______. 14.小民说：如果四个角之间有这样的关系：∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，∠1=∠3，那么一定有∠2=∠4.小民能得出这样一个结论的依据是（ ） A .同角的余角相等 B .等角的余角相等C .同角的补角相等D .等角的补角相等15.下列说法正确的是( )A .一个角的补角一定大于这个角B .任何一个角都有余角C .若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1、∠2、∠3互余D . 一个角如有余角，则这个角的补角与它的余角的差为90°16．一个角的余角比这个角的补角的31还小10°，求这个角的度数． 17．小明和同学们到郊外游玩，发现了一口井，他们很想知道井底的情况．于是，他们找来了一面镜子．当时太阳光线跟水平方向成20°角（如图5），试问：要想使太阳光线垂直射向井底，小明他们应当把镜子放在跟水平面成多大角的位置上？拓展提升18．如图6，∠AOC 与∠EOC 有公共端点O ，OC 是它们的公共边，我们把这样的两个角叫做邻补角．（1）试再写出图中的一对邻补角；（2）邻补角一定互补吗？互补的两个角一定是邻补角吗？为什么？（3）如果OB 、OD 分别是∠AOC 与∠EOC 的平分线，那么OB 与OD 之间有何关系？试说明理由．A B C D E F 图4 O A O B C D E 图6 图58．如图10，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOD的度数等于。

2.1 余角和补角《两条直线的位置关系》共分三课时，第一课时，主要内容是探索两条直线的位置关系，了解对顶角、邻补角的定义及其性质；第二课时，主要内容是余角和补角的定义及其性质；第三课时，主要内容是垂直的定义、表示方法、性质及其简单应用.学生起点分析学生的知识技能基础：学生在已经认识了平行线、相交线；掌握了两条直线相交构成的四个角的关系，了解了对顶角、邻补角的定义，理解了对顶角相等这一重要的结论，初步了解推理过程的书写。

这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能。

学生活动经验基础：在前面知识的学习过程中，教师为学生提供了广阔的可供探讨和交流的空间，学生已经经历了一些动手操作，探索发现的数学活动，积累了初步的数学活动经验，具备了一定的图形认识能力和借助图形分析问题解决问题的能力；能够将直观与简单推理相结合；在合作探究的过程中，学生在以前的数学学习中学生已经经历了小组合作的学习过程，积累了大量的方法和经验，具备了一定的合作与交流能力。

教学任务分析针对七年级学生的学情，本节从学生熟悉的、感兴趣的情境出发，引导学生自主提炼归纳出同一平面内两直线的位置关系，了解补角、余角的概念及其性质并能够进行简单的应用；通过“让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程”，发展学生的空间观念及推理能力；能从实际情境中抽象出数学模型，为后续学习“空间与图形”这一数学领域而打下坚实的基础;激发学生从数学的角度认识现实，能够敏锐的发现问题、提出问题，并运用所掌握的数学知识初步解决问题；引导学生在思考、交流、表达的基础上逐步达成有关情感与态度目标. 本节内容在教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。

因此，本节课的目标是：1．知识与技能：在具体情境中了解补角、余角的定义，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等，并能解决一些实际问题。

2．过程与方法：经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。

2.1 两条直线的位置关系(1)一、学习目标：1、知识目标：在具体情景中了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角等角的补角相等，并能解决一些实际问题。

2、能力目标：（1）经历观察、操作、推理、交流等过程，发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力。

（2）能运用互为余角、互为补角、对顶角等相关的知识解决一些实际问题。

3、情感目标：在活动中培养学生乐于探究、合作的习惯，体验探索成功、感受创新的乐趣，从而培养学习数学的主动性；进一步体会“数学就在我们身边”，增强学生用数学解决实际问题的意识。

二、学习重点：了解补角、余角、对顶角，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等。

三、学习难点：学生探索同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等的过程以及对其意义的理解，并能解决一些实际问题。

初步的“说理”也是难点之一。

四、学习设计：（一）预习准备：预习书38、39页，回答下列问题：（1）在内，两条直线的位置关系有和两种。

（2）若两条直线，我们称这两条直线为相交线。

（3）在内，不相交的两条直线叫。

（4）下列图形中是对顶角的有个。

（5）预习作业：①已知∠1＝36°，∠2＝54°，那么∠1+∠2＝_________②已知∠1＝144°，∠2＝36°，那么∠1+∠2＝_________（二）学习过程：1、创设情境，引入课题完成书P38议一议，填空：（1）对顶角具有的特点是①②。

（2）对顶角的性质是。

2、展示新知：完成书P39想一想，填空：⑴如果两个角的和等于，我们就说这两个角互为余角，简称互余；如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角，简称互补。

3、注：（1）“互为”这个词语，与“互为相反数”、“互为倒数”等词语中的含义有联系，均表示成对出现；例如∠1和∠2互余，即∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角。

（2）互为余角以及互为补角的角，主要反映了角的数量关系，而不是角的位置关系。

2.1 余角与补角●教学目标(一)教学知识点1.余角、补角及对顶角的定义.2.余角、补角及对顶角的性质.(二)能力训练要求1.经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.2.在具体情境中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题.(三)情感与价值观要求通过在具体情境下的讨论，让学生理解基础知识的同时，提高他们理论联系实际的观念.●教学重点1.互为余角、互为补角的定义及其性质.2.对顶角的定义及性质.●教学难点互为余角、互为补角、对顶角的定义的理解.●教学方法讲练结合法教师在充分发挥学生的主观能动性的同时，来与学生进行交流、讨论，使之能运用本节内容解决一些实际问题.●教具准备一些与本节内容有关的图片.投影片四张第一张：想一想(记作投影片§2.1 A)第二张：议一议(记作投影片§2.1 B)第三张：议一议(记作投影片§2.1 C)第四张：练习(记作投影片§2.1 D)●教学过程Ⅰ.创设现实情景，引入新课［师］在上册第四章“平面图形及其位置关系”中，我们学习了“平行”与“垂直”，大家想一想：什么是平行线？［生］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.［师］很好，在日常生活中，我们随处可见道路、房屋、山川、桥梁……等这些大自然的杰作和人类的创造物.这其中蕴涵着大量的平行线和相交线.下面大家来看几幅图片：(出示投影片：桥的图片，宫殿、建筑物、门等的图片)你能从这些图案中找出平行线和相交线吗？(同学们踊跃发言，都能准确地找出其中的平行线和相交线)［师］同学们找得都对，说明大家掌握了所学内容.从今天开始，我们将深入学习这方面的内容：第二章平行线与相交线.在这一章里，我们将发现平行线和相交线的一些特征，并探索两条直线平行的条件，我们还将利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案.相信大家，一定会学得很好.那我们今天就来研究一下：“余角与补角”.Ⅱ．讲授新课［师］光的反射是一种常见的物理现象，如图所示，图1表示的是经过平面镜光的反射中光线的路径情况，并且可以验证光的反射定律：反射角等于入射角，即∠AON=∠BON，其中ON是法线，ON⊥DE.图1 图2光的反射现象可以表示为图2所示，其中ON与DE垂直，各个角与∠3有什么关系？大家来分组讨论一下.［生甲］因为ON与DE垂直，所以∠DON=∠EON=90°，因此，∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°.又因为∠1=∠2，所以∠3=∠4.［生乙］因为平面镜是平的所以∠DOE=180°.因此，∠3+∠AOE=180°，∠4+∠BOD=180°.又因为∠3=∠4,所以∠3+∠BOD=180°.［师］很好，同学们经过讨论分析，得到了与∠3有关系的角.看：∠3+∠1=90°，我们就可以称∠1与∠3是互为余角.再看：∠3+∠2=90°，我们也可以称∠1与∠2是互为余角.由此，我们得到了一个新的概念：互为余角.即：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角(complementary angle),也就是说其中一个角是另一个角的余角.只要有∠3+∠1=90°，就可知道∠1与∠3互为余角，反过来知道∠1与∠3是互为余角，就一定知道∠1与∠3的和为直角.再之：∠1与∠3是互为余角就是说：∠1是∠3的余角，∠3也是∠1的余角.大家看老师手里拿两个三角板(一边演示，一边叙述)：这一个三角板的60°的角与另一个三角板的30°的角加起来正好是90°，那么我们说这两个角是互为余角.同学们应注意：(强调)(1)互为余角是对两个角而言的.(2)互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系.［生］老师，我们知道了：两个角的和是直角，则这两个角是互为余角.刚才我们还讨论了：∠3+∠AOE=180°,∠3+∠BOD=180°.那么这样的两个角又叫什么呢？［师］这位同学问得好，这就是我们要学习的另一个概念：互为补角.即：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角(supplementary angle).互为补角的概念的理解与互为余角的理解基本一样.哪些同学能尝试的说一下呢？［生甲］只要满足∠3+∠AOE=180°，就可知道∠3与∠AOE是互为补角.反之知道∠3与∠AOE是互为补角，就一定可知道∠3与∠AOE的和是平角.［生乙］∠3与∠AOE是互为补角，就是说：∠3是∠AOE的补角，∠AOE 也是∠3的补角.［生丙］互为补角也是对两个角而言的.与角的大小有关，而与位置无关.［生丁］∠BOD与∠3也是互为补角.［师］同学们回答得真棒.互为余角、互为补角都是针对两个角而言的，仅仅表示了两个角之间的数量关系，并没有限制角的位置关系.好，下面大家来想一想.在下图中，CD与EF垂直，∠1=∠2.(1)哪些角互为余角？哪些角互为补角？(2)∠ADC与∠BDC有什么关系？为什么？(3)∠ADF与∠BDE有什么关系？为什么？图2－2(同学们分组讨论，得结论)［生甲］在图中：∠1与∠ADC、∠2与∠ADC、∠BDC与∠1、∠BDC与∠2都是互为余角.∠1与∠ADF、∠EDB与∠1、∠ADF与∠2、∠EDB与∠2都是互为补角.［生乙］∠ADC与∠BDC相等，因为：∠ADC+∠1=90°，∠BDC+∠1=90°所以：∠ADC=90°－∠1=∠BDC.［生丙］∠ADC与∠BDC相等的理由还可以这样说：因为∠ADC+∠1=90°，∠BDC+∠2=90°，所以∠ADC=90°－∠1，∠BDC=90°－∠2，又因为∠1=∠2，所以∠ADC=∠BDC.［生丁］老师，是不是这样：∠ADC是∠1的余角，∠BDC也是∠1的余角，所以∠ADC与∠BDC就相等.因此可以说：同一个角的余角相等.∠ADC是∠1的余角，∠BDC是∠2的余角，而∠1与∠2相等.所以∠ADC与∠BDC相等.因此可以说：相等的角的余角相等.［师］丁同学总结得很好.大家的意见怎么样？［生齐声］丁同学总结得对.［师］很好，这就得出互为余角的性质：同角或等角的余角相等.接下来看第三个问题:(同学们踊跃发言，得出结论)［生］∠ADF与∠BDE相等.因为∠1+∠ADF=180°，∠1+∠BDE=180°，所以，∠ADF=180°－∠1=∠BDE.还可以这样说：因为∠1+∠ADF=180°，∠2+∠BDE=180°，所以∠ADF=180°－∠1，∠BDE=180°－∠2，又因为∠1=∠2，所以∠ADF=∠EDB.因此得出结论：同角或等角的补角相等.［师］同学们表现得很好，通过讨论，得出互为余角、互为补角的性质：同角或等角的余角相等.同角或等角的补角相等.接下来，我们议一议.(可用电脑演示，也可用实物剪刀实际操作，然后提问.)(1)用剪刀剪东西时，哪对角同时变大或变小？(2)如果将剪刀的图形简单表示为下图，请问：∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？为什么？图2－3［生甲］(1)用剪刀剪东西时，相对的角同时变大或变小.［生乙］图中的∠1与∠2有公共的顶点O，且角的两边互为反向延长线.∠1与∠2相等，因为∠1是∠BOC的补角，∠2也是∠BOC的补角.由同角的补角相等，可得∠1与∠2相等.［师］很好，像这样，直线AB与直线CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫对顶角.如图中的∠AOD与∠BOC也是对顶角.由对顶角的概念可知,对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线.所以要在图形中准确地找出对顶角，需两看：(1)看是不是两条直线相交所得的角;(2)看是不是有公共顶点而没有公共边(或不相邻)的两个角.另外，从对顶角的定义还可知：对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个.接下来大家想一想：对顶角有什么性质？［生齐声］对顶角相等.［师］好，“对顶角相等”是对顶角的重要性质.下面大家来议一议(出示投影片§2.1 C)如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？［生甲］根据对顶角相等，可以得出所量角的度数是40°.［生乙］我利用补角可得出所量角的度数是180°－140°=40°.［师］同学们能利用学过的有关事实解决实际问题，这很好.下面我们来做一练习，以巩固所学内容.Ⅲ.课堂练习补充(出示投影片§2.1 D)1.下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由.图2－4答案：图(1)、(2)、(3)中没有对顶角，因为这三个图形中的∠1、∠2不是两条直线相交所形成的.图(4)中有对顶角，分别是∠1与∠3；∠2与∠4.2.判断对错(1)顶点相对的角是对顶角.( )(2)有公共顶点，并且相等的角是对顶角.( )(3)两条直线相交，有公共顶点的角是对顶角.( )(4)两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角.( )答案：× × × √(举反例说明)Ⅳ.课时小结这节课我们学习了三个定义、三个性质，现在来总结一下：定义：互为余角：如果两个角的和是直角，则这两个角互为余角.互为补角：如果两个角的和是平角，则这两个角互为补角.对顶角：像这样直线AB 与直线CD 相交于O ，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.注意：(1)互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关.(2)对顶角的判断条件：⎪⎩⎪⎨⎧无公共边有公共顶点两条直线相交性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.对顶角相等.Ⅴ．课后作业1.课本习题2.1 1、2、32.预习提纲(1)直线平行的条件是什么？(2)同位角的概念.(3)会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.Ⅵ.活动与探究两条直线相交于一点，有对对顶角，三条直线相交于一点，有对对顶角.……n条直线相交于一点，共可组成对对顶角.［过程］让学生在讨论的过程中，学会归纳.两条直线相交于一点和三条直线相交于一点较简单，可得出.那n条直线呢？设n条直线为a1,a2,…,a n以a1为边所得到的对顶角数为2(n－1).以a2为边所得到的新对顶角数为2(n－2).…为边得到的新对顶角数为2×2.以a n－2以a n为边得到的新对顶角数为2×1.－1加起来得n(n－1)对对顶角.［结果］两条直线相交于一点，有2对对顶角，三条直线相交于一点，有6对对顶角，n条直线相交于一点，共有n(n－1)对对顶角.。