直线方程的教学设计

【课题】8．2 直线的方程（二）【教学目标】知识目标：（1）了解直线与方程的关系；（2）掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程．能力目标：培养学生解决问题的能力与计算能力．【教学重点】直线方程的点斜式、斜截式方程．【教学难点】根据已知条件，选择直线方程的适当形式求直线方程．【教学设计】采用“问题——分析——联系方程”的步骤，从学生熟知的一次函数图像入手，分析图像上的坐标与函数解析式的关系，把函数的解析式看作方程，图像是具有某种特征的平面点集（轨迹）．很自然地建立直线和方程的关系，把函数的解析式看作方程是理解概念的关键．导出直线的点斜式方程过程，是从直线与方程的关系中的两个方面进行的．首先是直线上的任意一点的坐标都是方程的解，然后是以方程的解为坐标的点一定在这条直线上．直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例．直线的斜截式方程与一次函数的解析式具有相同的形式．要强调公式中b的意义．直线的一般式方程的介绍，分两个层次来处理也是唯一的．首先，以问题的形式提出前面介绍的两种直线方程都可以化成一般的二元一次方程的形式．然后按照二元一次方程Ax By C++=的系数的不同取值，进行讨论．对CyB=-与CxA=-只是数形结合的进行说明．这种方式比较适合学生的认知特征．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过 程行为 行为 意图 间*创设情境 兴趣导入 【问题】我们知道，方程10x y -+=的图像是一条直线，那么方程的解与直线上的点之间存在着怎样的关系呢？质疑 引导分析 思考启发 学生思考5 *动脑思考 探索新知 【新知识】 已知直线的倾角为45，并且经过点0(0,1)P ，由此可以确定一条直线l ．设点(,)P x y 为直线l 上不与点0(0,1)P 重合的任意一点（图8－6）．图8－61tan 450-==-y k x ， 即 10x y -+=．这说明直线上任意一点的坐标都是方程10x y -+=的解．设点111(,)P x y 的坐标为方程10x y -+=的解，即1110x y -+=，则111tan 450-==-y k x ，已知直线的倾角为45，并且经过点0(0,1)P ，只可以确定一条直线l ．这说明点111(,)P x y 在经过点0(0,1)P 且倾角为45的直线上．讲解 说明引领 分析思考 理解 思考带领 学生 分析过 程行为 行为 意图 间一般地，如果直线（或曲线）L 与方程(,)0F x y =满足下列关系：⑴ 直线（或曲线）L 上的点的坐标都是二元方程(,)0F x y =的解；⑵ 以方程(,)0F x y =的解为坐标的点都在直线（或曲线）L 上．那么，直线（或曲线）L 叫做二元方程(,)0F x y =的直线（或曲线），方程(,)0F x y =叫做直线（或曲线）L 的方程. 记作曲线L :(,)0F x y =或者曲线(,)0F x y =．例如，直线l 的方程为10x y -+=，可以记作直线:10l x y -+=，也可以记作直线10x y -+=．下面求经过点000(,)P x y ，且斜率为k 的直线l 的方程（如图8－7）．图8－7在直线l 上任取点(,)P x y （不同于0P 点），由斜率公式可得 0y y k x x -=-，即 00()y y k x x -=-．显然，点000(,)P x y 的坐标也满足上面的方程． 方程00()y y k x x -=-， （8．4）叫做直线的点斜式方程．其中点000(,)P x y 为直线上的点，k 为仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆引导 式启 发学 生得 出结 果；1)．，故斜率为α，tan451==，所以直线方程为，过程行为行为意图间30 *动脑思考探索新知【新知识】如图8－8所示，设直线l与x轴交于点(,0)A a，与y轴交于点(0,)B b．则a叫做直线l在x轴上的截距（或横截距）；b叫做直线l在y轴上的截距（或纵截距）．【想一想】直线在x轴及y轴上的截距有可能是负数吗？图8－8【新知识】设直线在y轴上的截距是b，即直线经过点(0,)B b，且斜率为k．则这条直线的方程为(0)y b k x-=-，即y kx b=+．方程y kx b=+（8．5）叫做直线的斜截式方程．其中k为直线的斜率，b为直线在y 轴的截距．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结40*巩固知识典型例题例3设直线l的倾角为60°，并且经过点P（2，3）．（1）写出直线l的方程；（2）求直线l在y轴的截距．解（1）由于直线l的倾角为60°，故其斜率为引领观察通过=．603，由公式(8.4)x-3(2)过 程行为 行为 意图 间0Ax By C ++=就是直线的方程呢？*动脑思考 探索新知 【新知识】（1）当0A ≠，0B ≠时，二元一次方程0Ax By C ++=可化为A C y x B B =--．表示斜率为A k B =-，纵截距Cb B=-的直线．（2）当0A =，0B ≠时，方程为Cy B=-，表示经过点0,C P B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且平行于x 轴的直线（如图8－9）．（3）当0A ≠，0B =时，方程为Cx A=-，表示经过点,0C P A ⎛⎫- ⎪⎝⎭且平行于y 轴的直线（如图8－10）． 所以，二元一次方程0Ax By C ++=（其中A 、B 不全为零）表示一条直线．图8－9 图8－10方程0Ax By C ++=（其中A 、B 不全为零） （8.6）叫做直线的一般式方程．总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语思考 归纳 理解 记忆带领 学生 总结72 *巩固知识 典型例题例4 将方程12(1)2y x -=+化为直线的一般式方程，并分别 说明 强调观察【教师教学后记】。

直线方程的几种形式教学设计教学目标：1.理解直线方程的几种形式：一般式、点斜式、斜截式、截距式。

2.掌握直线方程之间的相互转化。

教学重点：1.直线方程的几种形式。

2.直线方程之间的转化方法。

教学难点：1.理解和运用直线方程的几种形式。

2.掌握直线方程之间的相互转化。

教学准备：1.教材：高中数学教材。

2.工具：黑板、彩色粉笔。

3.素材：直线方程的相关问题。

教学过程：Step 1：导入（5分钟）1.引入直线方程的概念，引发学生对直线方程的思考。

2.提问：你知道直线方程有哪几种形式？Step 2：直线方程的一般式（15分钟）1.介绍直线的一般方程：Ax+By+C=0。

2.提供几个例子，让学生通过观察总结一般式的特点。

3.引导学生进行讨论，指导学生认识到一般式的特点：A、B、C为常数，且A和B不同时为零。

4.给出一个直线的一般式，让学生画出对应的直线。

5.列举一些直线方程，让学生化简为一般式。

Step 3：直线方程的点斜式（15分钟）1.介绍直线的点斜式：y-y1=k(x-x1)。

2.提供几个例子，让学生通过观察总结点斜式的特点。

3.引导学生进行讨论，指导学生认识到点斜式的特点：其中k为斜率，(x1,y1)为直线上一点。

4.给出一个直线的点斜式，让学生画出对应的直线。

5.列举一些直线方程，让学生化简为点斜式。

Step 4：直线方程的斜截式（15分钟）1. 介绍直线的斜截式：y = kx + b。

2.提供几个例子，让学生通过观察总结斜截式的特点。

3.引导学生进行讨论，指导学生认识到斜截式的特点：其中k为斜率，b为截距。

4.给出一个直线的斜截式，让学生画出对应的直线。

5.列举一些直线方程，让学生化简为斜截式。

Step 5：直线方程的截距式（15分钟）1.介绍直线的截距式：x/a+y/b=12.提供几个例子，让学生通过观察总结截距式的特点。

3.引导学生进行讨论，指导学生认识到截距式的特点：其中a为x轴截距，b为y轴截距。

单元教学设计：直线方程教学目标1.理解直线的定义及其特点。

2.掌握直线方程的不同形式，包括斜截式、点斜式和一般式。

3.能够根据已知条件写出直线方程。

4.能够通过直线方程求解与之相关的问题。

教学方法1.演示法：通过具体的例子和图形展示，让学生直观地理解直线的定义和特点。

2.讲解法：对不同形式的直线方程进行逐一讲解，并提供相关的例题进行操练。

3.实践法：通过练习题和问题解决，巩固学生对直线方程的掌握并培养应用能力。

教学内容及安排第一课时：直线的定义和特点1.导入（5分钟）–引导学生回忆什么是直线，并提问其特点。

–展示几个图形，让学生观察并找出其中的直线。

2.演示（15分钟）–通过几个具体例子，展示什么是直线，并介绍其特点（无弯曲、无端点、无宽度）。

3.讲解（20分钟）–介绍直线的定义和特点，包括直线上的任意两点可以唯一确定一条直线，以及直线的斜率是一个常数等。

4.实践（15分钟）–给出一些图形，让学生判断其中的直线并解释原因。

第二课时：斜截式1.导入（5分钟）–回顾上节课学习的内容，并提问学生是否还记得直线方程的不同形式。

2.讲解（20分钟）–介绍斜截式的定义和公式：y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。

–解释截距的意义，并通过具体例子进行说明。

3.实践（20分钟）–给出一些已知条件，让学生写出对应的斜截式方程。

–提供练习题进行操练。

第三课时：点斜式1.导入（5分钟）–回顾上节课学习的内容，并提问学生是否还记得斜截式方程。

2.讲解（20分钟）–介绍点斜式的定义和公式：(y−y1)=k(x−x1)，其中(x1,y1)为已知点，k为斜率。

–解释点斜式的意义，并通过具体例子进行说明。

3.实践（20分钟）–给出一些已知条件，让学生写出对应的点斜式方程。

–提供练习题进行操练。

第四课时：一般式1.导入（5分钟）–回顾上节课学习的内容，并提问学生是否还记得点斜式方程。

2.讲解（20分钟）–介绍一般式的定义和公式：Ax+By+C=0，其中A,B,C为常数且A,B不同时为0。

直线的方程教学设计第一课时1. 引言教学目标：通过本节课的学习，学生能够理解直线的基本概念，学会使用点斜式和截距式两种方法表示直线的方程，并能够在坐标平面上画出直线。

2. 预备知识复习在开始本节课的教学内容之前，首先对学生进行预备知识复习，回顾直角坐标系的表示方法以及坐标平面上的点的表示。

3. 基本概念的引入3.1 直线的定义引导学生回忆直线的定义：直线是由一系列相互连接但无弯曲的点组成的。

并解释直线可以延伸到无限远的两个方向。

3.2 直线的特征探讨直线的特征：直线具有无限延伸性、连续性和无拐弯性。

4. 点斜式表示直线的方程4.1 点斜式的定义解释点斜式的定义：点斜式是指通过直线上的一点和直线的斜率来表示直线的方程。

4.2 点斜式的公式推导推导点斜式的公式：y - y1 = k(x - x1)，其中(x1, y1)是直线上的一点，k是直线的斜率。

4.3 点斜式的例题讲解通过具体的例题讲解，引导学生理解点斜式的使用方法。

5. 截距式表示直线的方程5.1 截距式的定义解释截距式的定义：截距式是通过直线在坐标轴上与x轴和y轴的截距来表示直线的方程。

5.2 截距式的公式推导推导截距式的公式：y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是y轴截距。

5.3 截距式的例题讲解通过具体的例题讲解，引导学生理解截距式的使用方法。

6. 画出直线6.1 画出点斜式表示的直线解释如何使用点斜式画出直线：选取一点作为起点，根据斜率确定直线的斜率方向和倾斜程度，再通过描点连接起来。

6.2 画出截距式表示的直线解释如何使用截距式画出直线：确定直线在坐标轴上的截距点，再通过描点连接起来。

7. 总结总结本节课的主要内容，并指出直线方程的两种表示方法的应用场景。

鼓励学生积极思考和练习，巩固所学知识。

参考资料提供相关教材或参考资料，供学生进一步学习和参考。

“直线的方程”（第一课时）教学设计王少青1 教材分析本节课是江苏教育出版社中职数学第二册第八章“直线与圆的方程”的“§8.3直线的方程”第一课时．本节课的学习任务是建立直线的点斜式方程和斜截式方程，它是继初中阶段研究了一次函数和本章中学习了直线的倾斜角和斜率之后进行研究的．建立和理解直线的点斜式方程和斜截式方程，不仅为直线方程的一般式方程的建立提供方法论的依据，也为研究直线之间的位置关系、直线和圆之间的位置关系提供基础，同时为学生进一步领会解析几何“用代数手段研究几何问题”这一基本方法创造条件。

2 学情分析一方面，学生在初中阶段已经学习了一次函数解析式、图像和性质，并且在本章中学习了直线倾斜角和斜率，具备了探究直线点斜式方程和斜截式方程的知识基础．另一方面，这一阶段的学生具有一定的逻辑思维能力，形成了分类讨论、数形结合等基本的数学思想方法，有探究学习的欲望和积极思考的习惯。

3 教学目标3.1 教学目标（1）经历对直线点斜式方程和斜截式方程的探究过程，能利用这两种直线方程解决问题，认识到这两种方程的局限性，能求出直线方程。

（2）经历由特殊到一般又由一般到特殊的研究过程，引导学生从不同的角度思考问题，在进一步培养数形结合、分类讨论等基本数学思想方法的同时，提升学生思维的严谨性。

（3）通过研究直线的方程，激发学生主动学习数学的欲望和积极性，建立几何与代数间的联系，发现数学多层次的美。

3.2 重难点分析重点：建立直线的点斜式方程和斜截式方程。

难点：直线方程点斜式和斜截式的推导及运用。

4 教学过程4.1 回顾旧知问题1：确定一条直线的位置，需要哪几种条件？生：已知两点，或已知一点与它的斜率。

4.2 引入新知师：当我们用代数的思想方法来研究几何问题时，我们需要建系得到点的坐标。

问题2：已知直线l经过点A(－1，3)，且斜率为－2．（1）你能在直线l上再找一点，并写出它的坐标吗？（2）这条直线上的任意一点P(x，y)的横坐标x和纵坐标y满足什么关系呢？在学生列举出了直线l一些点之后，教师提出下面的问题：师：对于第二问，当点P(x，y)在直线l上运动时，你能根据什么条件确定点P横坐标、纵坐标之间的关系？生：点P与定点A(－1，3)所确定的直线斜率恒等于－2，故有y－3x－(－1)=－2①。

直线方程教学设计方案及反思一、设计目标本次教学的设计目标是使学生能够掌握直线的基本概念和直线方程的求解方法，能够灵活运用直线方程求解与直线相关的问题。

二、教学内容和步骤2.1 教学内容1.直线的基本概念和特征：包括直线的定义、直线的特点（无限延伸、方向等）、直线上的两点确定一条直线等。

2.直线方程的求解方法：包括点斜式、截距式和一般式等直线方程的表示方法，以及如何根据已知条件确定直线方程等。

3.直线的图像和性质：包括直线与坐标轴的交点、直线的斜率和与坐标轴的关系、直线的斜率与平行垂直关系等。

2.2 教学步骤1.导入部分：通过一个日常生活中的例子引出直线的概念，让学生对直线有一个直观的认识。

2.呈现部分：介绍直线特性和直线方程的基本概念，通过图例和实例引导学生理解直线特性和直线方程的含义。

3.讲解部分：详细讲解点斜式、截距式和一般式等直线方程的表示方法，提供求解直线方程的步骤和方法。

4.练习部分：设计一些针对直线方程的练习题，包括计算直线的斜率、确定直线方程等，让学生运用所学的知识进行实践。

5.巩固部分：设计一些综合性的应用题，让学生将直线方程与实际问题结合，培养学生解决问题的能力。

三、教学方法和手段1.示范教学法：通过直观的图例、实例和计算过程等方式，引导学生理解和掌握直线的概念和方程的求解方法。

2.提问引导法：通过提问学生一些具体问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣，培养学生的分析和解决问题的能力。

3.案例分析法：通过分析实际问题的解决过程，将直线方程与实际问题结合起来，培养学生运用知识解决实际问题的能力。

四、教学评估和反思1.教学评估：通过作业、小组讨论和课堂互动等方式，对学生的掌握程度进行评估。

2.教学反思：根据学生的实际情况，及时调整教学内容和教学方法。

检查学生对直线方程的掌握情况，找出问题和不足，及时进行补充和强化。

3.教学改进：根据教学反思的结果，调整教学内容和教学方法，强化学生的学习效果，提高教学质量。

2.2.3直线的一般式方程教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A 版（2019）第二章《直线和圆的方程》的第二节《直线的方程》。

以下是本单元的课时安排：第二章直线和圆的方程课时内容 2.1直线的倾斜角与斜率2.2直线的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式所在位置 教材第51页教材第59页教材第70页新教材 内容 分析直线的倾斜角与斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发，引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定，是今后学习直线方程的必备知识。

在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础. 围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点.“点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．核心素养培养通过直线的倾斜角和斜率的求解，以及在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应用，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

通过直线方程的求法，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。

通过直线交点的求法，距离公式的应用，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。

教学主线 直线的方程的应用在学生亲身体验直线的一般式直线方程的求法，通过典型例子的分析和学生的自主探索活动，促使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，从而体会蕴涵在其中的数学思想方法。

1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系，培养数学抽象的核心素养．2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化，提升数学运算的核心素养.3.能运用直线的一般式方程解决有关问题，培养逻辑推理的核心素养.重点：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式难点：能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化（一）新知导入由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形:(1)斜率是1,经过点A(1,8);(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.同学们,根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,可得到四种情况下的直线方程分别为(1)y-8=x-1;(2)x-7+y7=1;(3)y-69−6=x+12+1;(4)y=x+7.如果我们画出这4条直线的图象,你会惊奇地发现:这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的一般式方程.（二）直线的一般式方程知识点1 一般式方程【探究1】观察我们已经学习的直线的四个方程，点斜式y－y0＝k(x－x0)，斜截式y＝kx＋b，两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1，截距式xa＋yb＝1，你能发现它们都是什么样的方程？【提示】都是关于x，y的二元一次方程．◆直线的一般式方程把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．【点睛】直线一般式方程的结构特征①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y常数的先后顺序排列．③x的系数一般不为分数和负数．④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．【思考1】平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？【提示】都可以．原因如下：(1)任意一条直线l，在其上任取一点P0(x0，y0)，当直线l的斜率为k 时(此时直线的倾斜角α≠90°)，其方程为y－y0＝k(x－x0)，这是关于x，y的二元一次方程．(2)当直线l 的斜率不存在，即直线l的倾斜角α＝90°时，直线的方程为x－x0＝0，可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.方程y－y0＝k(x－x0)和x－x0＝0都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．【思考2】任意一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线吗？为什么？【提示】当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0可变形为y ＝－A B x －C B ，它表示过点(0，－C B )，斜率为－AB 的直线．当B ＝0时，A ≠0，方程Ax ＋By ＋C ＝0可变形为x ＝－C A ，它表示过点(－CA ，0)，且垂直于x 轴的直线．由上可知，关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示一条直线．【做一做】(教材P66练习1改编)过点A (3,2)，B (4,3)的直线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：由两点式可得，过A 、B 的直线方程为y －23－2＝x －34－3，即x －y －1＝0.答案：D【做一做2】 设直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0(m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在x 轴上的截距为－3； (2)直线l 的斜率为1.【解析】(1)令y ＝0得x ＝2m －6m 2－2m －3(m 2－2m －3≠0)，由题知，2m －6m 2－2m －3＝－3，解得m ＝3(舍)，m ＝－53.(2)∵直线l 的斜率为k ＝－m 2－2m －32m 2＋m －1，∴－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43.【做一做3】(教材P65例5改编) 过点A (－1,2)，斜率为2的直线的一般式方程为__________．答案：2x －y ＋4＝0（三）典型例题 1.直线的一般式方程例1.写出满足下列条件的直线的方程：（1）经过点(8,2)A -3 （2）经过点(2,0)B -，且与x 轴垂直； （3）斜率是4-，在y 轴上的截距是7； （4）经过(1,8)A -，(4,2)B -两点； （5）在y 轴上的截距是2，且与x 轴平行； （6）在x 轴、y 轴上的截距分别是4，3-．【分析】根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程．【解析】（1）经过点(8,2)A -3)328y x +=-338360x y --=（2）经过点(2,0)B -，且与x 轴垂直；则直线方程为2x =-（3）斜率是4-，在y 轴上的截距是7；则直线方程为47y x =-+，即470x y +-= （4）经过(1,8)A -，(4,2)B -两点；则斜率()28241k --==---，所以直线方程为()821y x -=-+，即260x y +-=（5）在y 轴上的截距是2，且与x 轴平行；则直线方程为2y = （6）在x 轴、y 轴上的截距分别是4，3-．则直线方程为143x y +=-，即34120x y --=【类题通法】直线的一般式方程的特征求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x 的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x 项、含y 项、常数项的顺序排列.【巩固练习1】已知△ABC 的三个顶点分别为A （﹣3，0），B （2，1），C （﹣2，3），试求： （1）边AC 所在直线的方程；（2）BC 边上的中线AD 所在直线的方程； （3）BC 边上的高AE 所在直线的方程.【解析】（1）∵A （﹣3，0），C （﹣2，3），故边AC 所在直线的方程为3233x y+=-+，即3x ﹣y +9＝0，（2）BC 边上的中点D （0，2），故BC 边上的中线AD 所在直线的方程为132x y+=-， 即2x ﹣3y +6＝0， （3）BC 边斜率k 131222-==-+，故BC 边上的高AE 的斜率k ＝2， 故BC 边上的高AE 所在直线的方程为y ＝2（x +3），即2x ﹣y +6＝0.2.直线的平行与垂直例2. (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？ 【解析】 (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0. l 2：mx ＋3y －2＝0. ①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，则需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3.法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， l 1与l 2不重合，l 1∥l 2，∴m 的值为2或－3. (2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.【类题通法】利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， (1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.【巩固练习2】已知直线l 1:(m+2)x+(m+3)y -5=0和l 2:6x+(2m -1)y=5.当m 为何值时,有: (1)l 1∥l 2? (2)l 1⊥l 2?【解析】 (1)由(m+2)(2m -1)=6(m+3),得m=4或m=-52. 当m=4时,l 1:6x+7y -5=0,l 2:6x+7y=5,即l 1与l 2重合; 当m=-52时,l 1:-12x+12y -5=0,l 2:6x -6y -5=0,即l 1∥l 2. 故当m=-52时,l 1∥l 2.(2)由6(m+2)+(m+3)(2m -1)=0,得m=-1或m=-92. 故当m=-1或m=-92时,l 1⊥l 2.【例3】已知直线l 的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,l'满足 (1)过点(-1,3),且与l 平行; (2)过点(-1,3),且与l 垂直.【解析】(方法1)由题设l 的方程可化为y=-34x+3,∴l 的斜率为-34.(1)∵直线l'与l 平行,∴l'的斜率为-34.又∵直线l'过(-1,3),由点斜式知方程为y-3=-34(x+1),即3x+4y-9=0. (2)由l'与l 垂直,∴l'的斜率为43,又过(-1,3),由点斜式可得方程为y-3=43(x+1),即4x-3y+13=0.(方法2)(1)由l'与l 平行,可设l'方程为3x+4y+m=0. 将点(-1,3)代入上式得m=-9.∴所求直线方程为3x+4y-9=0. (2)由l'与l 垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13. ∴所求直线方程为4x-3y+13=0.【类题通法】与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.【巩固练习3】过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：设直线方程式是x －2y ＋c ＝0，因为直线过点(－1,3)所以-1-6+c=0，解得c=7，故所求直线方程是x －2y ＋7＝0. 答案：B（四）操作演练 素养提升1.（多选）下列说法正确的是（ ）A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 310x y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y += 【答案】ABD【解析】32()y ax a a R =-+∈可化为()23y a x -=-，则直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)，故A 正确；令0x =，则2y =-，即直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确；310x y ++=可化为31y x =--，则该直线的斜率为3-120︒，故C 错误；设过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的斜率为k ，因为直线230x y -+=的斜率为12，所以112k ⋅=-，解得2k =-，则过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的方程为22(1)y x -=-+，即20x y +=，故D 正确；故选ABD.2.已知00ab bc ＜，＜，则直线0ax by c通过( ) 象限A ．第一、二、三B ．第一、二、四C ．第一、三、四D ．第二、三、四3.直线134x y+=的一般式方程为 . 4.若直线()()22224450-+-+=a a x a y a 的倾斜角是4π，则实数a 是_______________. 答案：1.ABD 2.A 3.43120x y +-= 4.23-【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

高中数学直线的方程教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是向高中学生传授直线方程的知识，包括直线的一般式、点斜式、截距式等不同形式的方程及其应用。

此外，还需让学生理解并掌握直线方程的图形特点，例如直线在坐标平面上的位置关系、直线间的交点等。

在完成这些基础知识教学的同时，注重培养学生解决实际问题的能力，通过直线方程解决几何问题，提升其数学逻辑思维和空间想象能力。

2、教学对象本次教学的对象是高中一年级的学生，他们在先前的数学学习中已经掌握了基础的代数运算、函数概念和几何图形的性质等知识点。

因此，学生具备一定的数学基础和逻辑推理能力，但对于直线方程这一较为抽象的概念，可能需要通过具体实例和直观演示来帮助他们形成清晰的认识。

此外，考虑到学生的认知差异，教学过程中应注重因材施教，激发学生的学习兴趣和主动性。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解直线方程的基本概念，掌握直线一般式、点斜式、截距式等不同形式方程的表示方法；（2）掌握直线方程中斜率、截距等参数的几何意义，能通过方程判断直线的位置关系；（3）能运用直线方程解决实际问题，如求直线与直线的交点、点到直线的距离等；（4）通过直线方程的学习，提高代数运算能力和几何图形分析能力。

2、过程与方法（1）通过实例引入直线方程的概念，引导学生观察、思考、总结，培养学生从具体问题中抽象出数学模型的能力；（2）采用对比法、分类法等方式，帮助学生理清不同形式直线方程之间的联系与区别；（3）鼓励学生开展小组讨论、合作探究，培养学生解决问题的能力和团队协作精神；（4）运用现代信息技术，如几何画板等，辅助教学，增强学生对直线方程几何意义的理解；（5）设计具有挑战性的问题和实际应用场景，让学生在解决过程中，学会运用数学知识，提高数学素养。

3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习直线方程的积极性和主动性；（2）通过解决实际问题，让学生体会数学在现实生活中的应用价值，增强学生的数学应用意识；（3）培养学生严谨、细致的学习态度，锻炼学生面对困难和挑战时的坚持和毅力；（4）鼓励学生开展自主探究、合作学习，培养学生勇于探索、善于合作的价值观；（5）引导学生树立正确的数学观念，认识到数学知识的学习不仅是为了应付考试，更是为了培养自己的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

授课题目6.2直线的方程选用教材高等教育出版社《数学》（基础模块下册）授课时长4课时授课类型新授课教学提示本课首先借助几何直观，结合图像认识直线的倾斜角和斜率的定义，直观认识斜率与倾斜角的之间的变化规律以及求直线斜率的计算公式，学习根据条件计算直线的斜率；然后依次介绍点斜式、斜截式、一般式三种形式的直线方程，并分析点斜式、斜截式方程的几何特征；学习根据已知条件求直线的方程，以及将直线方程的点斜式、斜截式和一般式进行相互转化.教学目标通过学习直线的倾斜角与斜率的概念与直线斜率的计算方法，能计算直线的斜率，逐步提升直观想象和数学运算等核心素养；体会直线的点斜式、斜截式方程和一般式方程的推导过程，感知直线的点斜式、斜截式方程和一般式方程之间的互化思想方法，会根据条件求相应形式的直线方程并进行直线的点斜式方程、斜截式方程与一般式方程之间的互化，逐步提升直观想象、数学抽象和逻辑推理等核心素养.教学重点斜率的概念，过两点直线斜率的计算公式；直线的点斜式、斜截式和一般式方程公式的理解及互化.教学难点直线的斜率与其倾斜角之间的关系；直线的点斜式、斜截式和一般式方程公式运用；根据已知条件选择适当形式求直线的方程.教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境导入6.2.1. 直线的点斜式方程与斜截式方程随着科技的不断发展,我国基础设施建设越来越完善,高速公路总里程已超过16万公里,位居世界第一.如果把高速公路的某一段近似看成一条直线,其相对于水平地面的倾斜程度怎样表示呢？提出问题引发思考思考分析回答结合生活常识思考探索新知我们知道，两点可以确定一条直线,若已知两个点的坐标,是否可以用两个点的坐标表示直线的倾斜程度？在平面直角坐标系中,如图,过点P可以做出无数条直线,这些直线相对于x轴来说，其倾斜程度是不同的.在平面直角坐标系中,直线的倾斜程度可以用直线l与x轴所成的角度表示.当直线l与x轴相交时, 直线l向上的方向与x轴正方向所成的最小正角α,称为直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定倾斜角α=0.因此, 直线l的倾斜角α的取值范围是0≤α＜π.讲解说明展示讲解理解思考领会理解结合图像分析问题，逐步提升直观想象核心素养x-y-1=0.归纳总结引导提问回忆反思培养学生总结学习过程能力布置作业1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.说明记录继续探究延伸学习。

“直线的方程”单元教学设计一、内容和及其解析（一）内容对确定直线位置的几何要素的探索，得到直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）.（二）内容解析1.内容本质：直线的方程是直角坐标系中直线的代数表示，是确定直线位置几何要素的完全代数刻画，这种刻画为我们研究直线带来方便.直线的点斜式方程是经过两点的直线斜率公式的一种“变式”表达，表达的是直线上任意一点坐标与直线的斜率以及所经过的定点坐标之间所满足的代数关系式.直线的方程一方面表示直线上点的坐标都满足这个方程，另一方面表示满足这个方程的解为坐标的点都在这条直线上.直线的点斜式方程是直线其他形式方程的基础，两点式一方面是点斜式的“变式”表达，另一方面也是对“两点确定一条直线”的代数刻画.这些方程都以斜率公式为纽带，将直线上任意一点与确定直线位置的几何要素联系起来，表达了直线上的点的坐标所满足的代数关系.直线的一般式方程揭示了直线方程的代数本质.任意一个二元一次方程表示一条直线，任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示.点斜式方程，两点式方程都可以化为一般式方程.2.蕴含的思想方法直线方程的建立过程，本质上是将确定直线的几何要素（点与方向）代数化的过程，坐标法是本单元教学的核心.用方程表示直线，实现对直线的“运算”，将直线方程“形象化”为直线，实现了对方程的直观化表达，蕴含了丰富的数形结合思想.本单元同时还蕴含着特殊与一般、分类与整合、化归与转化等数学思想方法.3.知识的上下位关系：本单元在完成了对直线的重要几何要素之一（方向）完成了代数刻画之后，对直线进行完全的代数刻画.这是学生第一次系统的用坐标法刻画一个几何对象，是学生学习和掌握坐标法的重要一环，是后续用坐标法学习圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程的基础.在后续的学习中，会进一步使用直线方程对直线的交点坐标、点到直线的距离、平行直线间的距离进行定量计算.而对坐标法的进一步掌握，还会在“反哺”函数与向量的学习起到一定的作用.4. 育人价值：通过直线方程概念的学习，发展学生的数学抽象核心素养；通过直线方程及适用范围的学习，发展学生的逻辑推理、数学运算核心素养；通过不同问题对直线的几何特征的关注，采用不同的直线方程求解问题，发展学生的直观想象核心素养.5.教学重点：直线的方程.二、目标及其解析（一）单元目标1.能够完成对确定直线位置的几何要素的探索，掌握直线的点斜式方程及应用；2.能够从直线的点斜式方程出发，完成对直线两点式方程的自主探究；3.能够明了直线与二元一次方程的关系，掌握直线的一般式方程；4.了解直线不同形式方程间的关系，进一步体会坐标法.（二）目标解析1.学生知道点斜式方程是经过两点的直线斜率公式的一种“变式”表达，知道斜截式方程是点斜式方程的特例.会根据已知点的坐标以及直线的斜率写出直线的点斜式方程，并能够与斜截式方程的相互转化.2.学生知道两点式方程是直线点斜式方程的一种“变式”表达，知道截距式方程是两点式方程的特例.会根据两点坐标写出直线的两点式方程，并能够与截距式方程的相互转化.3.学生知道点斜式方程是其他所有形式方程的基础，通过对一般式方程的分析，能够把一般式方程转化为点斜式方程后，认识到任意一个二元一次方程都表示一条直线，任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示.4.知道直线方程是对直角坐标系中直线几何特征的代数刻画.知道直线上所有的点的坐标都满足这个方程，以这个方程的解为坐标的点都在这条直线上.能说出平面直角坐标系中不同直线的几何特征并选择合适的形式写出直线方程.能说出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程中相关要素的几何意义，能进行不同形式方程的转化并解决有关问题.三、教学问题诊断分析（一）教学问题诊断在本单元中学生将第一次在平面直角坐标系中用代数形式刻画一个几何对象，系统地完成对坐标法的完整体验.这一过程中学生对什么是直线的方程，什么是方程的直线，缺乏认知，是本单元教学的难点.为此，应清晰完成一次对以二元一次方程的解为坐标的点都在所求的直线上的证明.学生能否在前面学习直线的倾斜角及斜率时的基础上，形成对坐标法的初步认识，完成对直角坐标系中确定直线位置的几何要素的分析，建立直线上任意一点（所有点）与这些要素之间的关系，得出坐标满足的代数关系式，这对学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养都提出了较高的要求.为此，在第一课时安排学生从直线的斜率公式出发探究直线的点斜式方程.在第二课时，则应引导学生在第一课时的基础上，由直线的点斜式出发，探究直线的两点式方程.学生能否认识到直线的点斜式方程的重要性，能否通过两点的直线斜率公式的“变式”表达建立直线的点斜式方程，进而认识到直线的两点线直线方程是点斜式方程的“变式”表达，而直线斜截式方程、截距式方程则分别是直线的点斜式方程、两点式方程的特例，能否建立起直线方程不同形式的内在联系，是本单元教学需要着重解决的问题.解决了这个问题，学生才会真正系统掌握并应用直线方程的不同形式.在教学上应设置不同的问题背景，引导学生们根据直线上任意一点（所有点）的几何特征，选择不同的直线方程，让学生经历对直线方程的“同解变形”，解决相应问题.要帮助学生建立从分析确定直线位置的几何要素入手，完成对这些几何要素的代数主刻画；结合对直线一般式方程与点斜式方程之间的转化，体会直线的方程和方程的直线之间的关系，形成以数与形两个角度对研究对象进行研究的思维方法.（二）教学难点：1.对直线的点斜式方程的重要性的认识与运用；2.建立起直线与二元一次方程间的对应关系.四、教学支持条件（一）学生在前面的课堂上，完成了对直线的倾斜角及斜率的学习；在高一的数学必修课程中的函数、平面向量、复数等知识的学习，积累了一定的坐标法经验.（二）结合网络画板，呈现并引导学生体验直线的几何要素与直线方程之间的相互影响.五、课时分配.本单元安排3个课时完成.（一）直线的点斜式方程；（二）直线的两点式方程；（三）直线的一般式方程.。