2008年北京理工大学管理与经济学院858运筹学考研真题及详解【圣才出品】
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其对偶问题为
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
min 2400 y1 3200 y2 1800 y3 3y1 2 y2 y3 25 2y1y1 23y2y31142 4 y1 3y2 2 y3 15 y1, y2 , y3 0
1585
0
0
1
5/8 -3/4 7/8 1/2
25
x1
15
1
0
0
7/8
3/4 -3/8 -1/2
-z
-29705 0
0
0 -161/8 -21/4 -35/8 -1/2
所以原料甲增加后的最优解为 X * 15, 595,1585, 0, 0, 0, 0T ，原料甲、乙、丙的影
子价格分别为 21/4，35/8，1/2。
问题的最优解为 X * 0, 400,1600, 0, 0, 0, 600T 。
2 1 0
最优基为 B P2 , P3, P7 0 2 0
3 0 1
1/ 2 1/ 4 0
最优基的逆
B 1
0
1/ 2 0
3 / 2 3 / 4 1
对偶问题的最优解为 y1 6, y2 4, y3 0
（2）解释最优生产计划中有的产品不安排生产的原因；
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台
2008 年北京理工大学管理与经济学院 858 运筹学考研真题及详解
北京理工大学 2008 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
科目代码：858 科目名称：运筹学
一、（10 分）现有一求最大值的线性规划问题，对应下列含有未知变量的表，试讨沦 下表中 a1，a2，c1，c2，d 为何范围值时，表现为下列情况：（北京理工大学 2008 年研）
试求解这个的运输问题。（北京理工大学 2008 年研）
解：这是一个产销不平衡的运输问题，销量大于产量，构造一个虚拟的产地己，其产
量为 10。由于 B 地区的需求必须满足，所以产地己到 B 地区的单位运价为 M（无穷大的
数），产地己到其他地区的单位运价为 0。建立产销平衡表如下：
产
销地
甲
乙
丙
丁
戊
己
销量
Cj
25
12
14
15
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
12
x2
610
1
1
0
5/4
1/2 -1/4
0
14
x3
1600
1
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1
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0
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x7
-30
[-2]
0
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-7/4 -3/2 3/4
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-z
-29720 -1
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0
-21
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0
12
x2
595
0
1
0
3/8 -1/4 1/8 1/2
14
x3
（4）若原料甲增加 420 吨，影子价格是否变化，求原料甲增加后的最优解和各原料
的影子价格。
答：原材料甲增加 420 吨后
1/ 2
b
'
0
3 / 2
1/ 4 1/ 2 3/4
0 2820 610
0 1
3200 1800
163000
b ' 中有负分量，所以最优解发生变化。用对偶单纯形法进行求解如下：
求使总利润最大的生产计划。现求得最优单纯形表为：
请解答下列问题：（北京理工大学 2008 年研） （1）写出此问题的线性规划模型及其对偶问题，并写出问题的最优解、最优基、最 优基的逆和对偶问题的解；
解：设产品 A、B、C、D 分别生产 x1, x2 , x3, x4 万件，则可建立如下线性规划模型： max z 25x1 12x2 14x3 15x4 3x1 2x2 x3 4x4 2400 2x1x1 3x22x3 23x4x418302000 x1, x2 , x3, x4 0
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从上表中可以看出，各非基变量的检验数均大于 0，所以已求得最优解。总运费为 330。
四、（25 分）某厂计划连续生产 B 产品，每月初开始生产。B 的生产成本费为每吨 X2
则
1 25 c2 14 0
4
15
5 4
c2
21
0
5
0
c2
/
2
0
6 0 c2 / 4 7 0
解得11 c2 28 ，所以当11 c2 28 时，最优解不发生变化，否则最优解发生变化。
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（1）表中的解为唯一最优解；
解：c1<0 且 c2<0， d 0 .
（2）表中解为无穷多最优解之一；
解： d 0 ；c1=0,c2≤0 或 c2=0,c1≤0.
（3）表中解为退化的可行解： 解：d=0. （4）下一步迭代将以 xl 代替基变量 x5；
解： c1 0,且c且1 c2; d 0, a1 0 d / 4 3 / a1 .
解：产品 A 和 D 没有安排生产，原因是：虽然他们单位产品的利润高，但是生产时消
耗的原料也多，这两种产品三种原料都消耗，而产品 B 和 C 都只消耗两种原料，在原料有
限的情况下，生产 A 和 D 较生产 B 和 C 不划算，所以没有安排他们的生产。
（3）对产品 B 的利润进行灵敏度分析；
解：设产品 B 的利润 c2 未知，则在最终单纯形表中，要满足各非基变量的检验数非正，
三、（15 分）现有某集团公司下属甲、乙、丙、丁、戊五个生产企业，生产同一种产 品，价格、质量都相同。需要供应 A、B、C 三个地区。单位运输费用、各企业的产量、各
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地区的需求如下表。其中 B 地区的需求必须满足。集团公司的目标是使总运输费用最低。
地
A
7
3
9
4
11
0
30
B
4
2
5
6
10
M
24
C
6
8
12
2
5
0
36
产量
12
18
21
14
15
10
首先，用伏格尔法寻找得到初始基可行解。
产
销地
甲
乙
丙
丁
戊
己
销量
地
A
2
18
10
30
B
3
21
24
C
7
14
15
36
产量
12
18
21
14
15
10
用位势法计算各空格处的检验数为：
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（5）该线性规划问题具有无界解；
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解： d 0, c2 0, a2 0 .
（6）该线性规划问题无可行解。
解： d 0, a2 0 .
二、（35 分）某企业用甲、乙、丙三种原料生产 A、B、C、D 四种产品，每种产品消 耗原料定额以及三种原料的数量如下表所示：
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其对偶问题为
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min 2400 y1 3200 y2 1800 y3 3y1 2 y2 y3 25 2y1y1 23y2y31142 4 y1 3y2 2 y3 15 y1, y2 , y3 0
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5/8 -3/4 7/8 1/2
25
x1
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0
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3/4 -3/8 -1/2
-z
-29705 0
0
0 -161/8 -21/4 -35/8 -1/2
所以原料甲增加后的最优解为 X * 15, 595,1585, 0, 0, 0, 0T ，原料甲、乙、丙的影
子价格分别为 21/4，35/8，1/2。
问题的最优解为 X * 0, 400,1600, 0, 0, 0, 600T 。
2 1 0
最优基为 B P2 , P3, P7 0 2 0
3 0 1
1/ 2 1/ 4 0
最优基的逆
B 1
0
1/ 2 0
3 / 2 3 / 4 1
对偶问题的最优解为 y1 6, y2 4, y3 0
（2）解释最优生产计划中有的产品不安排生产的原因；
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2008 年北京理工大学管理与经济学院 858 运筹学考研真题及详解
北京理工大学 2008 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
科目代码：858 科目名称：运筹学
一、（10 分）现有一求最大值的线性规划问题，对应下列含有未知变量的表，试讨沦 下表中 a1，a2，c1，c2，d 为何范围值时，表现为下列情况：（北京理工大学 2008 年研）
试求解这个的运输问题。（北京理工大学 2008 年研）
解：这是一个产销不平衡的运输问题，销量大于产量，构造一个虚拟的产地己，其产
量为 10。由于 B 地区的需求必须满足，所以产地己到 B 地区的单位运价为 M（无穷大的
数），产地己到其他地区的单位运价为 0。建立产销平衡表如下：
产
销地
甲
乙
丙
丁
戊
己
销量
Cj
25
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CB
XB
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x1
x2
x3
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（4）若原料甲增加 420 吨，影子价格是否变化，求原料甲增加后的最优解和各原料
的影子价格。
答：原材料甲增加 420 吨后
1/ 2
b
'
0
3 / 2
1/ 4 1/ 2 3/4
0 2820 610
0 1
3200 1800
163000
b ' 中有负分量，所以最优解发生变化。用对偶单纯形法进行求解如下：
求使总利润最大的生产计划。现求得最优单纯形表为：
请解答下列问题：（北京理工大学 2008 年研） （1）写出此问题的线性规划模型及其对偶问题，并写出问题的最优解、最优基、最 优基的逆和对偶问题的解；
解：设产品 A、B、C、D 分别生产 x1, x2 , x3, x4 万件，则可建立如下线性规划模型： max z 25x1 12x2 14x3 15x4 3x1 2x2 x3 4x4 2400 2x1x1 3x22x3 23x4x418302000 x1, x2 , x3, x4 0
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从上表中可以看出，各非基变量的检验数均大于 0，所以已求得最优解。总运费为 330。
四、（25 分）某厂计划连续生产 B 产品，每月初开始生产。B 的生产成本费为每吨 X2
则
1 25 c2 14 0
4
15
5 4
c2
21
0
5
0
c2
/
2
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6 0 c2 / 4 7 0
解得11 c2 28 ，所以当11 c2 28 时，最优解不发生变化，否则最优解发生变化。
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（1）表中的解为唯一最优解；
解：c1<0 且 c2<0， d 0 .
（2）表中解为无穷多最优解之一；
解： d 0 ；c1=0,c2≤0 或 c2=0,c1≤0.
（3）表中解为退化的可行解： 解：d=0. （4）下一步迭代将以 xl 代替基变量 x5；
解： c1 0,且c且1 c2; d 0, a1 0 d / 4 3 / a1 .
解：产品 A 和 D 没有安排生产，原因是：虽然他们单位产品的利润高，但是生产时消
耗的原料也多，这两种产品三种原料都消耗，而产品 B 和 C 都只消耗两种原料，在原料有
限的情况下，生产 A 和 D 较生产 B 和 C 不划算，所以没有安排他们的生产。
（3）对产品 B 的利润进行灵敏度分析；
解：设产品 B 的利润 c2 未知，则在最终单纯形表中，要满足各非基变量的检验数非正，
三、（15 分）现有某集团公司下属甲、乙、丙、丁、戊五个生产企业，生产同一种产 品，价格、质量都相同。需要供应 A、B、C 三个地区。单位运输费用、各企业的产量、各
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地区的需求如下表。其中 B 地区的需求必须满足。集团公司的目标是使总运输费用最低。
地
A
7
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B
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10
M
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C
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产量
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首先，用伏格尔法寻找得到初始基可行解。
产
销地
甲
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丙
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用位势法计算各空格处的检验数为：
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（5）该线性规划问题具有无界解；
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解： d 0, c2 0, a2 0 .
（6）该线性规划问题无可行解。
解： d 0, a2 0 .
二、（35 分）某企业用甲、乙、丙三种原料生产 A、B、C、D 四种产品，每种产品消 耗原料定额以及三种原料的数量如下表所示：
