数理逻辑命题逻辑共50页文档

解： (1) p ：怕困难， q ：战胜困难，
该命题符号化为： q → ┐ p (2) p ：天下雨， q ：我有时间，r ：我进城。
该命题符号化为： ┐ p ∧ q →r
(3) p ：小王在图书馆看书， q ：小王病了， r ：图 书馆开门。 该命题符号化为： ┐（ q ∨ ┐ r ） → p
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或q恰有一个成立”称为p和q 的异或式，记为p q。 相当于汉语中的“或者” （排斥或 ）。
p 0 0
q 0 1
p q 0 1

1
1
0
1
1
0
p q＝0当且仅当p＝q。
例：张三生于1972年或1973年 解：设p：张三生于1972年。
q：张三生于1973年。
该命题符号化为： p q
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→（蕴涵）：复合命题“如果p， 则q”称为p与q的蕴涵式，记为 p→q，称p为蕴涵式的前件，q 为蕴涵式的后件。 →相当于汉语中的“如果…， 则…”。
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该公式的类型为非永真式的可满足式
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（3）┐(q→p)∧p
p 0 q 0 q→p 1 ┐(q→p) 0 ┐(q→p)∧p 0
0
1 1
1
0 1
0
1 1
1
0 0
0
0 0
该公式的类型为永假式
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练习：判断公式 (p→q)→r 的类型
p 0 0 q 0 0 r 0 1 p→q 1 1 (p→q)→r 0 1
实际上，为了判断公式A与B是否等值，只需分别列 出A和B的真值表，若它们的真值表相同，则A B， 否则它们不等值。
例 由下面的真值表可判定公式p→q与┐p∨q等值 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 ┐p 1 1 0 0 p→q 1 1 0 1 ┐p∨q 1 1 0 1

…
1 2 3 … n n+1
Note：上图说明两个事实：M（1），和对形式（和无约束的，无限的）参数n， M（n）→M（n+1），就可以得到对每个自然数k，有M（k）。
故，我们断言：对所有自然数n，1+2+…+ n之和等于n×（n +1）/2。
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定理：对于所有自然数n，1+2+3+…+ n之和等于n× （n +1）/2。
Note：把∧与∨看作两个变量的函数；
Note：两列φ和ψ的四对真值遍历了所有可能性（T T，T F，F
T，和 F F）
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总结：1）在析取和合取的真值表中，如果交换T和 F，
那么析取是合取的镜像。
即：当且仅当二者都是F析取取F，否则二者至少有一个取T
φ ψ φ∧ψ φ ψ φ∨ψ
二者至少有一个取 T T T T
q
r
∧∧
（┐p）
（（┐p）∧q
┐ qp ∨
（┐r）
（q∨（┐r））
p
q┐
（（ p∧（q∨（┐r））））
（（（┐p）∧q）→（ p∧（q∨（┐r ）））） r
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∧ → ┐ 此此树树不不是是一一个个合合式式公公式式，，字字符符串串为为
∧→p┐∧┐┐ ∧→p┐∧┐┐ ∧ p┐
┐
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例：已知树，求其逻辑公式线性表示
即：1+2+3+…+（n +1）=（n +1）*（（n +1）+1）/2
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因为：1+2+3+…+（n +1）=（1+2+…+ n）+（n +1）

作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的
前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并
规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
注意：1. p与q不一定有内在联系 2. 前件p为假时， pq为真
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联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系： p为 q 的充分条件， q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多： 若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p， 常出现的错误：不分充分与必要条件
(3) p q与(p Biblioteka q)(q p)等值19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6.
(2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数.
(3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 2 + 2 ≠ 4 当且仅当3不是奇数. （6）两圆面积相等当且仅当它们的半径相等.
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合式公式的层次 (续)
例如 公式 p p pq (pq)r ((pq) r)(rs)
0层 1层 2层 3层 4层
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公式的赋值
定义 给公式A中的命题变项 p1, p2, … , pn，给p1, p2, … , pn各指定一个真值（0或1），称为对A 的一个赋值或解释 成真赋值: 使公式为真的赋值 成假赋值: 使公式为假的赋值 说明： 赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1. A中仅出现 p1, p2, …, pn，给A赋值12…n是 指 p1=1, p2=2, …, pn=n A中仅出现 p, q, r, …, 给A赋值123…是指 p=1,q=2 , r=3 … 含n个变项的公式有2n个赋值. 27

➢ 设P、Q为两个命题，复合命题“P而且Q”称为P、Q的合取式，
记为P∧Q，“∧”称为合取联结词。 P∧Q为真当且仅当P 与
Q 为同时为真。
P
Q
P∧Q
T
T
T
F
F
T
F
F
T F F F
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§1 命题与联结词
3、析取联结词
EX4： “期中考试张三或李四中有人考90分。” P 代表：“期中考试张三考了90分”，
➢ 上述诸如“没有”、“如果…那么…”等词称为联结词。
➢ 由联结词和命题连接而成的更加复杂命题称为复合命题；相 对地，不能分解为更简单命题的命题成为简单命题。（命题 的分类）
➢ 复合命题的真假完全由构成它的简单命题的真假所决定。
注：简单命题和复合命题的划分是相对的。
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二、命题联结词
1、否定联结词
然后借助于这些符号、规则、定律，将逻辑推理的过程在形 式上变得像代数演算一样，因此数理逻辑又称符号逻辑。 数理逻辑是传统逻辑的发展，是现代形式逻辑
4
微积分 ——力学、机械工程 ——人类体力劳动自动化 数理逻辑 ——人工智能、知识工程 ——脑力劳动自动化
5
数理逻辑
命题逻辑（数理逻辑的基础，以命题为研究对象，研究基 于命题的符号逻辑体系及推理规律，也称命题演算）。
EX5： ① 张三或者李四考了90分。
② 第一节课上数学课或者上政治课。
③ 去教学楼需要6分钟或8分钟。
差异在于：
当构成他们的简单命题都真时，（1）为真，（2）为假。
➢ （1）称为“可兼或”，（2）称为“排斥或”，（3）非 联结词，表示近似的数。
➢ （1）可表示为P∨Q，（2）却不能。

判断给定句子是否为命题, 应该分两步：
首先判定它是否为陈述句, 其次判断它的真值是 否唯一。
例1.1 判断下例句子是否为命题。
(1) 2 是素数。
(2) 雪是黑色的。
(3) 1+101=110
(4) 十是整数。
(5) 向右看齐！
(6) 今天是十五号。
(7) 这朵花多美啊！ (8) 我们这里四季如春。
命题符号化是很重要的, 一定要掌握好。 在命题推理中常常最先遇到的就是符号化 这个问题, 解决不好, 等于说推理的首要前提 没有了。
在本节结束时, 应强调指出的是: 复合命题的真值只
取决于各原子命题的真值, 而与它们的内容、含义无关, 与原子命题之间是否有关系无关。
理解和掌握这一点是至关重要的, 请认真领会。
2. 在自然语言中, “如果P, 则Q”中的前件P与后件Q往往具有某 种内在联系。而在数理逻辑中, P与Q可以无任何内在联系。
3. 在数学或其它自然科学中, “如果P, 则Q”往往表达的是前件 P为真, 后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中, 作为 一种规定, 当P为假时, 无论Q是真是假, PQ均为真。即: “只有P为真Q为假”使得复合命题PQ为假。
或 0 表示“假”。
(3) 命题中的联结词也符号化: ¬、∧、∨、、。
四、命题常量与命题变元
简单命题可用命题标识符表示。表示命题的符号有双 重作用:
(1) 如果命题标识符表示确定的命题(真值确定)——命题 常元;
(2) 如果命题标识符只表示任意命题的位置标志, 即可表
示任意命题(真值不确定)——命题变元。
由它构成的命题称为简单命题。简单命题是命题逻
辑的基本单位。
三、命题符号化

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推理理论
（三） 间接证明法 1、反证法（归谬法） 、反证法（归谬法）
原理： 原理： 即 A1∧A2∧A3⋅⋅⋅⋅⋅∧An ⇒B ⋅⋅⋅⋅⋅∧ A1∧A2∧A3⋅⋅⋅⋅⋅∧An →B ⇔ T ⋅⋅⋅⋅⋅∧ ¬（A1∧A2∧A3⋅⋅⋅⋅⋅∧An）∨B ⇔ T （ ⋅⋅⋅⋅⋅∧ 即证 A1∧A2∧A3⋅⋅⋅⋅⋅∧An ∧¬B ⇔ F ⋅⋅⋅⋅⋅∧
更一般的有： 更一般的有： 定义2： 是命题公式， 定义 ：设A1、A2…An和B是命题公式，当且仅当 是命题公式 A1∧A2∧A3…∧An ⇒ B，则称 是一组前提 1，A2…An 是一组前提A ∧ ，则称B是一组前提 的有效结论，或称从 推出B。 的有效结论，或称从A1，A2…An推出 。 有时也记为: 有时也记为 A1，A2 ,…,An ⇒ B。 。
第15页
2、附加前提证明法（CP规则） 、附加前提证明法（ 规则 规则） 欲证明: 欲证明 ( A1 ∧ A2 ∧, …, ∧ Ak )→ (A→B) → →
(1)
而 (A1∧A2∧…∧Ak)→(A→B) ∧ → → ⇔ ¬( A1∧A2∧…∧Ak)∨(¬A∨B) ∧ ∨¬ ∨ ⇔ ¬( A1∧A2∧…∧Ak∧A)∨B ∧ ∨ ⇔ (A1∧A2∧…∧Ak∧A)→B (2) ∧ → 在(2) 式中原结论中的前件 已经变成了前提，如 式中原结论中的前件A已经变成了前提 已经变成了前提， 果能证明(2) 式为永真式， 式也是永真式。 果能证明 式为永真式，则(1)式也是永真式。称 式也是永真式 A为附加前提，称这种将结论中的前件作为前提 为附加前提， 为附加前提 的证明方法为附加前提证明法（ 规则 规则）。 的证明方法为附加前提证明法（CP规则）。
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推理理论
二、命题演算的证明方法（推理理论） 命题演算的证明方法（推理理论） （一）真值表法： 真值表法： 检查真值表中使所有A 都取T的那些行 的那些行， ① 检查真值表中使所有 1，A2…An都取 的那些行， 在所有这些行都为真值T， 若B在所有这些行都为真值 ， 在所有这些行都为真值 即证得: 即证得 A1，A2…An ⇒ B。 。 检查真值表中B的取值为 的那些行，若在相应行中， 的取值为F的那些行 ② 检查真值表中 的取值为 的那些行，若在相应行中， 至少有一个A 至少有一个 i（i=1，2，…n）取值为 ， ， ， ）取值为F， 即证得: 即证得 A1，A2…An ⇒ B。 。

题 例：“张三学英语和李四学日语”

两个特殊的命题词
命题常量
T：永远表示真命题 F：永远表示假命题

T和F的两种含义
命题常量 命题的真值


数理逻辑不关心内容
具体的陈述句的真值究竟为什么或在什么环境
下是真还是假

数理逻辑只关心形式
命题可以被赋予真或假这样的可能性，以及规

一个陈述语句
命题
命题是一个非真即假(不可兼)的断言 如果命题是真

命题的真值（Truth Values）为真 真命题 大写字母“T”(1)表示


如果命题是假
命题的真值是假 假命题 大写字母“F”(0)表示

例1:
今天下雪
3+3=6
是偶数而 3 是奇数 1+101=110 明年的今天会下雨 较大的偶数都可表为两个质数之和

命题变元（命题词）
P表示任一命题时，P就称为命题变元（命题词）
命题词不是命题
命题指具体的陈述句，是有确定的真值 命题变元的真值不定，只当将某个具体命题代入命题
变元时，命题变元化为命题，方可确定其真值

复合命题(Compound proposition)
一个或几个简单命题用联结词联结所构成的命

设P表示命题, 那么“P不真”是另一命题, 表示为┐P, 叫做 P的否定, 读做“非P”。 如果P是假, 则┐P是真, 反之亦然。
P
F T
┐P
T F
真值表（Truth Table)
与自然语言中的“不”，“否”，“非”，“没有”，“未必 类似
例4

13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you

数理逻辑—命题逻辑
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)

例： 1) p: 今天大太阳，q: 今天热，p∧q: 今天大太阳且热； 2) p: 今天上课有人迟到，q:2+5>1, p∧q: 今天上课有 人迟到且2+5>1；
离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系 离散数学 中国地质大学 计算机学院
1.1 命题与联结词
• 3 析取式和析取联结词 •
p T T F q T F T F p∨q T T T F
离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系 离散数学 中国地质大学 计算机学院
1.1 命题与联结词
• • • (3) 星期天天气不好，却带儿子去了动物园； (4) 星期天天气不好，也没带儿子去动物园。 显然，(1), (4)两种情况父亲都没有食言；(3)这种情况和 父亲原来的话没有相抵触的地方，当然也不算食言；只 有(2)这种情况，答应的事却没有做，应该算是食言了。 (2)对应着“前件真后件假”的情况，使得蕴涵式为假， 而其它三种情况都使得蕴涵式为真。 • 所以，条件式的真值情况用表格表示为：（下表所示）
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1.2 命题公式及其分类
• • • (e) A=(B→C)，其中B、C的层次同(b)； (f) A=(B↔C)，其中B、C的层次同(b)； (3) 若A的最高层次为k，则称A是k层公式。 (2) ¬q¬(p∨s)
• 示例： • (1) (p→q)∨(r∧(p∨s)) • (1) p, s是0层公式，p∨s是1层公式; r是0层公式, r∧(p∨s) 是2层公式；p,q是0层公式，但p→q是1层公式； (p→q)∨(r∧(p∨s)) 是3层公式。公式层次是3。 • (2) q是0层公式, ¬q是1层公式；p, s是0层公式，p∨s是1 层公式; ¬(p∨s) 是2层公式；但¬q¬(p∨s)不是公式。

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第14页，本讲稿共55页
3个命题变元构成的8个极小项对应情况如下：
极小项
二进制
十进制
┒P∧┒Q∧┒R 0 0 0
┒P∧┒Q∧ R
001
┒P∧ Q ∧┒R 0 1 0
┒P∧Q∧R 0 1 1
P∧┒Q∧┒R
100
P∧┒ Q∧R 1 0 1
P∧Q∧ ┒R 1 1 0
P∧Q∧R
111
0 1 2
3
4 5 6
8 第8页，本讲稿共55页
例1 求下面命题公式的合取范式和析取范式。 解 (1)求合取范式
至此，求出了原公式的合取范式。但上式可再化简，得 ：
⇔(p∨q)∧(┒r∨p)，该式也是原公式的合取范式（最简），这说明与 某个命题公式等价的合取范式是不唯一的。
9 第9页，本讲稿共55页
(2)求析取范式
最后结果为原公式的析取范式，利用交换律和吸收
33
第33页，本讲稿共55页
一般情况下，n个命题变项共产生 个极大项，分别记为 。极大项也有3个性质：
(1)在极大项中，将命题变元记做0，命题变元的否 定记为1，则每个极大项对应一个二进制数，该二进 制数是该极大项唯一的成假赋值。 (2)任意两个不同的极大项的析取式的值永真。例如 ，
(3)全体极大项的合取式的值永假，即
定理 任何命题公式的主析取范式都是存在的，并且是唯一的
。
这是因为任何一个命题公式都可求得它的析取范式（范 式存在定理），而析取范式可化为主析取范式。
21
第21页，本讲稿共55页
求给定命题公式A的主析取范式的步骤如下： 1.求A的最简析取范式A′；
22 第22页，本讲稿共55页
求给定命题公式A的主析取范式的步骤如下： 1.求A的最简析取范式A′； 2.若A′的某简单合取式B中不含命题变元pi 或其否

第一部分数理逻辑王剑A或B A或BA或B岛被问A岛居民被问B岛居民A是是B否否被问战士是诚实人被问战士回答“是”另一战士回答“是”这扇门是死亡门是是是否是否否是否是否否？？形式逻辑⏹形式逻辑的一般格式就是三段论。

⏹例：苏格拉底三段论：所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以，苏格拉底是要死的。

微积分——力学、机械工程——人类体力劳动自动化数理逻辑——人工智能、知识工程——脑力劳动自动化什么是数理逻辑⏹数理逻辑：以数学的方法研究思维规律和推理过程的科学。

⏹它首先引进一套符号体系，规定一些规则，导出一些定律，然后借助于这些符号、规则、定律，将逻辑推理的过程在形式上变得像代数演算一样，因此数理逻辑又称符号逻辑。

数理逻辑⏹命题逻辑（数理逻辑的基础，以命题为研究对象，研究基于命题的符号逻辑体系及推理规律，也称命题演算）。

主要内容：１、命题与联结词２、命题公式、翻译和真值表３、重言式４、命题联结词的扩充５、范式６、命题演算的推理规则和证明方法⏹谓词逻辑（对命题逻辑的深入研究）。

第一章命题逻辑§1 命题与联结词一、命题1、什么是命题？➢命题是陈述客观外界发生事情的陈述句。

➢命题或为真或为假的陈述句。

特征：✓陈述句✓真假必居其一，且只居其一。

①中国是一个发展中国家。

②人是由猴进化而来的。

③早上好！④王侯将相，宁有种乎？⑤己所不欲，勿施于人！⑥宇宙是大爆炸形成的。

⑦我正在说谎。

⑧这道题太难。

2、命题的真值。

➢一个命题的真或假称为命题的真值，简称值。

➢由于命题只有真假两个值，所以命题逻辑也称二值逻辑。

➢以T （或1）表示命题的真值为真，F （或0）表示命题的真值为假√√√悖论模糊逻辑EX1：3、命题的分类与表示➢分类根据其真值分类：•真命题。

•假命题。

根据其复杂程度分类：•简单命题或原子命题。

•复合命题。

➢命题的抽象表示•在数理逻辑中，通常用大写字母表示命题，P、Q、R…，或用带下标的大写字母Pi 、Qi、Ri或者数字（1）、（2）、…。