对勾函数的单调性与最值公开课优质课精品课件

函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如 果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数 在区间I上单调递增，且在区间J上单 调递增，则函数在区间I和J的交集上 也是单调递增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数 在区间I上单调递增，且另一个函数在 区间J上单调递增，则这两个函数在区 间I和J的交集上也是单调递增的。
求函数最值的方法
配方法：将函数进行配方，利用二次 函数的性质求最值。
导数法：求出函数的导数，令导数为 0，解出极值点，再比较区间端点和
极值点的函数值，得到最值。
判别式法：对于一些特殊的分式函数， 通过判别式法求最值。
实际问题的解决
利用函数的单调性和最值解决实际问 题，如最大利润、最小成本等问题。
通过建立数学模型，将实际问题转化 为数学问题，利用函数的单调性和最 值求解。
函数的拐点
定义
函数图像上凹凸性发生变化的点，即二阶导数由正变负或由负变正的点。
判断方法
求函数二阶导数，令其等于0，然后检查三阶导数在该点的符号，以确定函数在拐点左 侧是凹还是凸。
极值和拐点的应用
优化问题
通过找到函数的极值点，可以确定使目标函数 取得最大或最小值的自变量取值。
动态分析
拐点可以用于分析经济、物理等系统的变化趋 势和稳定性。
单调性在生活中的应用
单调性在经济学中有着广泛的应用，例如在股票价格、商品价格和供需关系等方面的分析中，可以利用单调性来判断市场的 变化趋势。
单调性在物理学中也有着重要的应用，例如在研究物体的运动规律、热量传递和电磁场等方面，可以利用单调性来分析物理 现象的变化趋势。

3．已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是 (_－___5_，__－__2_)_∪__(2_，____5_)____．
[解析] 因为函数 f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2 ＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－ 5<x<－2或
画出函数图象如图所示． 则其单调递增区间为(－∞，－1)和(0,1)，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
2．函数y＝ x2＋x－6的单调递增区间为_[2_，__＋__∞__)_____，单调递减区间为 __(_－__∞_，__－__3_]__．
角度Ⅱ.含参函数单调性的讨论 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
则M是y＝f(x)的最小值
知识点三 利用定义判断函数单调性的步骤 1．取值；2.作差；3.化简判断；4.下结论．
链/接/教/材
1．[必修1·P44·A组T9]已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上具有单调性，则实数k 的取值范围是_{_k_|_k_≤_4_0_或__k≥__1_6_0_}____．
角度Ⅳ.复合函数的单调性 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．[2021河北武邑期末]若函数y＝log1(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函
2
数，则a的取值范围为( D ) A．(－∞，－4)∪[2，＋∞) B．(－4,4] C．[－4,4) D．[－4,4]
[解析]
令t＝x2－ax＋3a，则y＝log
时，f(x)＝x3＋3x，则a＝f(232)，b＝flog3217，c＝f( 2)的大小关系为( C )

】名食品，把切好的牛羊肚儿在开水里稍微一煮就取出来，吃时现蘸作料。另有用热油快煎再加作料芡粉的，叫油爆肚儿。 【爆发】动①火山内部的岩浆突
然冲破地壳，向四外迸出：火山～。②突然发作；（事变）突然发生：～｜～战争。 【爆发变星】ī恒星的一种，由于星球内部原子反应所引起的爆炸，光度 突然变化。新星和超新星都属于爆发变星。 【爆发力】名体育运动中指在短暂间突然产生的力量，如起跑、起跳、投掷、扣球时使出的力量。 【爆发音】ī 名塞（）音。 【爆冷】动爆冷门：羽毛球赛接连～，一批种子选手相继被淘汰出局。 【爆冷门】（～儿）指在某方面突然出现意料不到的事情：本届世界锦 标赛大～，新手打败了上届冠军。 【爆料】∥〈方〉动发表令人感到意外或吃惊的新闻、消息等。 【爆裂】动（物体）突然破裂：豆荚成熟了就会～。 【爆 满】动形容戏院、影院、竞赛场所等人多到没有空位的程度：剧场里观众～，盛况空前。 【爆棚】〈方〉动爆满。 【爆破】动用摧毁岩石、建筑物等：定向 ～｜～敌人的碉堡。 【爆破筒】名一种爆破用的火器，在钢管内装上和雷管。多用来破坏敌方的工事或铁丝网等障碍物。 【爆胎】∥动车胎爆裂。 【爆笑】 动突然发出笑声：滑稽戏令人～。 【爆炸】动①物体体积急剧膨大，使周围气压发生强烈变化并产生巨大的声响，叫做爆炸。核反应、急剧的氧化作用和容
综合（1）、（2）即知，对任意的 x，恒有
酷地剥削、镇压人民的政治措施。 【暴卒】〈书〉动得急病突然死亡。 【虣】〈书〉同“暴（凶暴）”。 【瀑】瀑河，水名，在河北。 【曝】（旧读）［ 曝光］（∥）动①使照相底片或感光纸感光。②比喻隐秘的事（多指不光彩的）显露出来，被众人知道：事情在报上～后，引起了轰动。‖也作暴光。 【爆】 动①猛然破裂或进出：～炸｜豆荚～了｜打在； SWL丝杆升降机 ；石头上，～起许多火星儿。②出人意料地出现；突然发生： ～冷门｜～出特大新闻。③烹调方法，用滚油稍微一炸或用滚水稍微一煮：～肚儿｜～鱿鱼卷。 【爆炒】动在一段时间内极力炒作：～内幕新闻。 【爆肚儿

利用定义判断函数单调性的例题
总结词
通过比较任意两点间函数值的大小来判断函数的单调性。
详细描述
选取定义域内任意两点$x_1$和$x_2$（假设$x_1 < x_2$），如果对于任意$x_1 < x_2$都有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则函数在此区间内 单调递增（或递减）。例如，对于函数$f(x) = x^2$， 在区间$(-infty, 0)$上任取两点$x_1 < x_2$，有$f(x_1) = x_1^2 < x_2^2 = f(x_2)$，因此函数在区间$(-infty, 0)$上单调递增。
要点一
总结词
要点二
详细描述
通过求导数判断函数的单调性，是解决此类问题的常用方法。
首先求出函数的导数，然后根据导数的正负判断函数的增 减性。例如，对于函数$f(x) = x^3 - 3x^2$，求导得到 $f'(x) = 3x^2 - 6x$，令$f'(x) > 0$，解得$x < 0$或$x > 2$，因此函数在区间$(-infty, 0)$和$(2, +infty)$上单调递 增，在区间$(0, 2)$上单调递减。
定义法
总结词
通过比较任意两点函数值判断函数单调性
详细描述
在区间内任取两点x1、x2，比较f(x1)与f(x2)的大小，若f(x1) < f(x2)，则函数 在此区间内单调递增；若f(x1) > f(x2)，则函数在此区间内单调递减。
图像法
总结词
通过观察函数图像判断函数单调 性
详细描述
通过观察函数图像的上升或下降 趋势，判断函数的增减性。如果 图像上升，则函数单调递增；如 果图像下降，则函数单调递减。

性质简介
1.对号函数是双曲线.对号函数永远是奇函数，关于原点呈中心对称 3.对号函数的两条渐进线永远是y轴和y=ax 4.当a、b>0时，图像分布在第一、三象限两条渐近 线的锐角之间部分，由于其对称性，只讨论第一象 限中的情形。利用平均值不等式（a>0，b>0且ab 的值为定值时，a+b≥2√ab）可知最小值是2倍根号 ab，在x=根号下b/a的时候取得，所以在（0，负根 号下b/a）上单调递减，在（根号下b/a，正无穷） 上单调递增
图像一
图象二
图像三
对勾函数的性质
简介
对勾函数：图像，性质，单调性 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见 图示。
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函 数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被 形象称为“耐克函数”
所谓的对勾函数（双曲线函数），是形如 f(x)=ax+b/x的函数。由图像得名。
当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为 了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当 x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）
性质一
函数y=ax+b/x的性质 Ⅰ当a、b均大于零时，性质 ： ⑴定义域：x≠0 ⑵值 域：（-∞，-2 根号ab）∪（2根号ab ，
+∞） ⑶奇偶性：奇函数 ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，
y为减函数 当x﹥根号b/a 时，y为增函 数 当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y 为减函数 当x﹤根号b/a- 时，y为增函 数
性质二
⑸极 值： 当x﹥0时，当x= 根号b/a 时，y最小=2根号ab 当x﹤0时， 当x=- 根号b/a时，y最大=-2 根号 ab ⑹对称性：图像关于原点对称 ⑺顶点坐标：（根号b/a ,2根号ab ）、 （-根号b/a ，-2根号ab ） ⑻渐 近线：y轴和y=ax Ⅱ当a、b均小 于零时

第4页
分析：从图形看 若函数在区间(a,b)内单调递增，我
们发觉在（a，b）上切线斜率为正，即 在（a，b）内每一点处导数值为正
若函数在区间(a,b)内单调递减，发觉 在（a，b）上切线斜率为负，即在(a,b)内 每一点处导数值为负，
第5页
结论： 设函数y=f(x)在某个区间内有导数
，假如在这个区间内y'>0，那么y=f(x)为 这个区间内增函数；假如在这个区间内 y'<0，那么y=f(x)为这个区间内减函数.
令 f (x) 0 , 得 x 1, x 2
x (, 1) 1 (1 , 2) 2 (2, )
f (x)
0
0
f (x)
2
1
y
故 f (x) 单调增区间为
2
(, 1), (2, ); 1
f (x)单调减区间为 (1, 2).
o
12 x
第8页
用导数法确定函数单调性时步骤是： （1）求出函数导函数 （2）求解不等式f `(x)>0，求得其解集，
第21页
3、已知过曲线y=x3/3上点P切线方程为12x3y=16，则点P坐标为 .
4、函数f(x)=x3-3x+1减区间为( )
(A) (-1,1)
(B) (1,2)
(C) (-∞,-1)
(D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
5、若函数y=a(x3-x)递减区间为( 3 , )3，则
a取值范围为( )
y'>0
增函数
y'<0
减函数
证实函数单调性惯用方法： （1）定义法 （2）导数法
第6页
例1 求函数 f(x)=x3-3x 的单调区间 解 （1）该函数的定义区间为（-, ）； （2）f/(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令 f/(x)=0,得 x=-1,x=1

最值. 三．对于较复杂函数，可用换元法化归为简单函数、或者运用导数，
求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦！
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性
变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义；
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性， 并利用单调性求最值或者求参数范围；
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力．
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 定义 当x1<x2时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_， 当x1<x2时，都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

单调性的几何意义
函数在某区间内的单调性可以通过其图像在该区间的走向来直观地表现，即函 数图像在该区间内只上升或只下降。
判断函数单调性的方法
导数法
图像法
通过求函数的导数，分析导数的符号 变化，判断函数的单调性。当导数大 于0时，函数单调递增；当导数小于0 时，函数单调递减。
通过观察函数的图像，分析图像的单 调性。
的极值。
判断函数的零点
利用函数的单调性可以判 断函数是否存在零点，以
及零点的个数和位置。
02
函数的最值
函数最值的定义
函数最值
函数在某个区间内的最大值或最小值。
单调性
函数在某个区间内单调递增或单调递减的 性质。
单调性与最值的关系
单调性有助于确定函数的最值。
函数最值的求法
代数法
通过代数运算和不等式性质求最 值。
02
函数$f(x) = frac{1}{x}$在区间$(infty, 0)$和$(0, +infty)$上都是 单调递减的。
最值实例分析
函数$f(x) = x^2$在$x = 0$处取得最小值$f(0) = 0$，在$x = pm 1$处取得最大值$f(pm 1) = 1$。
函数$f(x) = frac{1}{x}$在$x = pm 1$处取得最小值$f(pm 1) = -1$，在$x = pm infty$处取得最大值$f(pm infty) = 0$。
单调性与最值关联的实例分析
对于函数$f(x) = x^2$，其在区间 $(-infty, 0)$上是单调递减的，并且 在$x = 0$处取得最小值。
对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区 间$(0, +infty)$上是单调递减的，并 且在$x = pm infty$处取得最大值。

那么就说函数 f(x)在区间 D
那么就说函数 f(x)在区间 D
上是增函数
上是减函数
自左向右看图象是 上升
自左向右看图象是下降
2/33
-3知识梳理
考点自测
(2)单调区间定义
增函数
假如函数y=f(x)在区间D上是
或
那么就说函数y=f(x)在这一区间含有(严格)单调性,
函数y=f(x)单调区间.
减函数 ,
3
在 -∞, 4 上单调递增.
(2)f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).令g(x)=-x2+2x,当x∈(0,1)
时,g(x)单调递增,y=ln x单调递增,所以f(x)单调递增;当x∈(1,2)
时,g(x)单调递减,y=ln x单调递增,所以f(x)单调递减.故f(x)在(0,1)内
增区间是(-3,1),单调递减区间是(-∞,-3),(1,+∞).
18/33
-19考点1
考点2
考点3
思索求函数单调区间有哪些方法?
解题心得求函数单调区间与确定函数单调性方法一致,惯用以下
方法:
(1)利用已知函数单调性,即转化为已知函数和、差或复合函数,
求单调区间.
(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义.
由
1
1
0< <1,x>y>0,可知
2
2
<
1
1
,即
2
2
−
1
<0,故选项
2
C正
确;由 x>y>0,得 xy>0,xy 不一定大于 1,故 ln x+ln y=ln xy>0 不一 关闭

值域：
[2 5 1,)
25
O0 5
X
X
X
2 5
利用函数图像旳变化规律作图： 平移变换：
y f x hh<00,,右左移移 y f x h y f x kk<00,,上下移移 y f x k
画出下列函数旳图像：
1利用函数y 2x2的图像画出y 2 x 12 3图像 2利用函数y x 的图像画出y x 2 图像
y x 5 x 1
25
O0 5
X
X
X
2 5
2 形如f
x
ax b cx d
x
d c
的函数图像与性质
f
(x)
ax b
a (cx d ) b c
ad c
cx d
cx d
(bc ad )
bc ad
a
c c2 a
c
c(x d )
x d
c
c
c
对称中心： ( d , a )
cc
x
ax 1 x2
a
1 2
在
2，
上的单调性
y 2x 5 x3
对称中心（3，2），图像如图
Y
因为值域
4
(,0] [4,)
2 O 5 37X
22
所以定义域为
( 5 ,3) (3, 7 )
2
2
2 求函数y
x2 x2
3的值域 3
3求函数y 3 在2，5上的最大值和最小值
x 1
（2）解：
y
x2 3 x2 3
令 t x2 0
y t 3 [(t 3) 3] 3 6 1
t3
t3
t3
将