灰色系统预测模型的建立及其改进

行 描述 。 对 于 ＧＭ （ １ ， １ ） 模 型 来说 ， 设 效列 ｘ 共 有 ｎ个观 察 值 ｘ 、 （ １ ） ， ｘ ’ （ ２ ） ， …， ｘ 心（ ｎ ） ． 对ｘ ㈣作 累 加生 成 ， 得 到 新 的 数列 ｘ ， 其元 素 ｘ （ ｊ ） 为 ．
ｘ … （ ｉ ） ：∑ ｘ （ （ ｍ ） ， ： １ ， ２ ． …， ｎ
ＧＭ 模 型适 用 于广 义的 能量 系统 ， 有较大 的 应 用范 目 ， ＧＭ 模 型是 微 分方 程模 型 ， 可对 所 描 述 的对象 作 长
期、 连续 、 动 态的反 映 目前 人 们常 用回归 分析 洼 建 立经 济 序列 的各 种指 敷 函数 方程 ， 但这 种静 态 的描 述 ． 难
兹
兰 州 商 学 院 学 报
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ｌ ９ ９ ６年 第 ２期 （ 总 第三十 七期）
］ ， ， ５ １ 灰 色 系 统 预 测 模 型 的建 立 及 其 改进
● 谢承 华
一
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、
灰 色 系 统及 ＧＭ 模 型 的建 模 机 理 和 适 用 条 件
性 较强 的 曲线后 ． 用 指散 曲线 去 拟 台得 到模 型 ， 所以 ， 也就 是说 ， ＧＭ （ １ ， １ ） 模 型在 其适 用条 件 上存 在着 一 定的 限制 ， 它是 描述 接指 效规律 变 化 的事物 的模型 ， 困此 ． 它 适用 于呈 指散规 律发 展变 化 的系统 进 行预测 ， 但是 ， 即 使 某一 系统 是呈 指散规 掉 发 展的 ． 但 其发 展速 度却 由于 各 种 因紊 的影 响 而 出现 阶 段性 增 长 的特 征 ， 呈 波 浪 型发展 ， 那 么利 用 ＧＭ （ １ ， １ ） 模蛩 进行 预 测时 ， 由于累 也 会对 其 发展 的规 律 性产 生影 响 ， 削 ■■ｌ ， 加生 成散 列的缘 故 ， 弱 系统 发展 的阶段 性规 律 在 现 实 中， 社会， 经 济系 统受 到各种 不步 预测 因素 的制约 ， 不少 能永 远按 照某 一进 度 发屉 ， 有 时发 展较 快 ， 有 时发 展较 慢 ， 呈现 一 定的 阶段 性特 征 ． 因此 ． 用 ＧＭ （ １ ． １ ） 模 型进行 预测 时 ， 往 往 无法
后 结果 ． 最 终外 在表 征 总能 碍到 一些 资料与 信 息 。铡如 ， 一 个 生产 系统 ， 它 的投入 和产 出等 信 息总是 可 以收集
到的； ～个 经济 系统 在单 位 时 间的经 济效益 一般 也是 可 以知 道的 。
但是 一 对上 述的 系统进 行 量化 、 模型化、 实体 化 的研 究时 ． 能 怍为 依据 的数 据种类 毕竞 是不 多 的 ， 而且这 些 能 得 到 的数 据是 否 真 实 、 是 否能确 实反 映 系统 的 主 要特征 ， 都 不是 根 有把 握的 ， 所以， 我 们称 这 种描 述 系统 的 逆 过 程为 灰色 的逆 过程 ． 通 过这 种逆 过程 所获 得 的 模型 ， 称为灰 色模 型 （ Ｇｒ ｅ ｙ Ｍｏ ｄ ｅ １ ） ， 简称 ＧＭ 模 型 。
要去 追求 高 阶累 加 生成运 算得 到 规律 性很 强 的曲线
尽管 如此 ． 用 灰色 建模方 法 进行 预测还 是 有其特 有 的 优越 之处 ． 它还 存在 着要求 的样 本数 据少 ， 计 算简 单
的优 点 ， 如 果能 够对 ＧＭ 模 型在 适用 中的缺 陷加 以 弥补 和 修 正 ＋ 必将 在经 济 预测 中得 到更 广 泛 的应 用 ． 发 挥 更大 的作 用 。
ｍ 一 １
（ １ ）
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有
ｘ ｘ Ｘ
ｘ ’ （ ｎ） 一Ｘ …（ ｎ １ ） ＋ｘ ‘ （ ｎ ）
．
ｉ
＾ ＾
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对 数 列 ｘ … ． 可 建 立 预 测 模 型 的 白 化 形 式 方 程 号 一 ａ ｘ ＝ ｎ ． 式 中 ． ａ ， ｎ 为 待 估 计 参 数 ． ａ 为 发 展 灰 数 ． ｎ
预测 ， 即 对 系统行 为特 征指 标 观测值 所形 成 的序 列 的灰色 预 测 如国 民生 产总值 预测 等 。
在数 列臻 涮方法 中 ， Ｇ Ｍ 模型 可分为 Ｇ Ｍ（ １ ． １ ） 模型 、 Ｇ Ｍ（ １ ． １ ） 硅差 模型 和 Ｇ Ｍ（ １ ． Ｎ ） 模型。 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模型
是 一 阶单 序 列线 性 动态 模型 ， 主要 用于 时 间序 列 预测 ； ＧＭ（ １ ， １ ） 残 差 模型 则适 用于 当按 原 始敷 列 建立 的 ＧＭ
（ １ — １ ） 模 型检验 不 合格 时 ， 对其 进行修 正 ． 同时 ， 也可用 Ｇ Ｍ（ １ ． １ ） 残差 模型 来提 高原 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型 的精 度 ． 可
从原 则 上讲 ｔ 某 种系 统无 论 内部机翻 如何 ， 只要 能将 该 系统 原始 表征 量表 为时 间序列 ：
｛ ｘ 。 、 （ ｔ ） ） ． 并有： ｛ ｘ ’ （ ｔ ） ， ｔ ＥＮ） ， ｖ ｔ ∈Ｎ， ｘ （ ｔ ） ≥０ ． （ Ｎ 表 示 自然数 集 ） ， 即可 用 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型对 系统 进
二、 对 ＧＭ （ １ ， １ ） 模 型 建 模 的改 进设想
前面 已经提 到 。 在 运用 ＧＭ （ １ ＋ Ｌ ） 模型 时 会遇到适 用 条 件方 面 问题 的影 响而 导致 预测 精 度的 降低 ． 这 方面
的问 题是指 实 际 经济 系统 的发 展变 化受 到各 种 因素 的制 约 ， 不可 能 持续 地 以 某一 速 度 发展 ， 而 是 呈“ 波浪 型
（ ｉ ） 一 “ （ ｉ ） 一 “ （ １ ） ， 把 它 作 为预 测模 型 琏 行预 测 ， 这样 ， 即使 能 得到 最佳 的 生成模 型 ． 还 原所 得到 的
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原始 模型 也并 非 拟 台精 度最好 的 模 型 ， 因此 可以说 ， 累 加生 成运 算仅 仅 只能作 为 一种建 横的 基本过 程 ， 没 有必
’ （ １ ） 一 （ ｉ ） 一 Ⅲ （ ｉ —１ ） （ １）
式 中：
（ ｉ ） 为ｉ 期 预测 值 ；
’ （ ｉ ） ， （ ｉ —１ ） 为 生 成效 列预测 值 。
如 果所 建 立的 ＧＭ （ １ ． １ ） 模 型 未通 过检 验 ， 呱 ４ 应 当 用 ＧＭ（ Ｌ ， １ ） 残 差 模型 进 行修 正 ， 以提 高原 模 型 的预 测 精度 。 ＧＭ （ Ｌ ， １ ） 残差模 型是 对原 ＧＭ （ １ ． １ ） 模 型 的模拟 值 “ ’ 与 生成数 列 把 此残 差模 型加 到原 ＧＭ （ １ ， １ ） 模蛩 上即 可 ， 可表 示为 ： 的残 差 ｔ “ ’ 建立 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模型， 并
系统 论 、 信息 论 、 控制 论 是 现 １ 弋人类 文 明三太 重 要 支 挂 ． 在某 种意 义 上来 讲 ， 灰色 系统 处于这 三 论 的 交
叉点上， 是 一 门典 型 的新 兴 的边缘 学科
所 谓灰 色 系统 一 是 指 信息 部丹 明 确、 部 分 不 明确 的 系统 。 （ 相应 地 ， 我 们称 信 息完垒 明确 的系 统 为 白色 系
（ ＋ １ ） ＝ （ （ １ ） 一 詈 ） ｅ ＿ 田 ＋ 詈 ＋ － － ｔ ） （ａ ） （ Ｉ 【 Ｄ （ １ 。 ） 一 ｝ ） ｅ － ａ ｉ 式 中 ・ 一 ｔ ） 为 修 正 参 效 ，
－【 ） 一
ｆ ；
【 ０ ｉ ＜ｔ
从 以上 模 型 的隶解 过 程可 以 看 出 ． 灰 色预测 模 型建 立 的实 质是通 过 对 原始 效 据进 行 累加 生成 ， 得 到规 律
以反 映经 济 系统 发 展速 度与 已达到 的经 济水 平之 同 的 动态关 系 因此 ， ＧＭ 模 型此 回归分 析法 建立 的模型具 有 更大 的 优越 性 ， 灰色 系 统的 理 论能 更准确 地 描 述 社 会经 济 系坑的 状态 和 行 为 ， 甚于 灰色 系统 理 论 的灰色 预 测模 型 ， 则对于 社 会经 济系 统顼 测具 有重要 意义 。 灰 色预 测 分为 五类 ， 即： 数列 臻测 、 灾变预测、 季 节灾 变 预测 、 拓扑预测、 系统 综合 预测 这 里 只讨论 敷 列
） ｅ … ＋ 旦．
（ ５ ）
（ ６ ）
将（ ３ ） 式求 得 的 代入 （ ２ ） 式， 并解微 分 方程 ， 有 ＧＭ （ １ ， １ ） 预 测模 型为 ：
ｆ ｌ 、 （ ｉ ＋１ ） 一ｘ （ １ ）一
ｘ
３
上 式 即 ＧＭ（ １ ． １ ） 预测 模 型 。 ＧＭ （ Ｌ ， １ ） 模 型经 残差 检验 ， 关 联度 检验 和后验 差 检验合 格后 可用 于 预测 ， 其 预测公 式为 ：
获得 较 为理 攮的预 测结 果 。
从方 法 上讲 ， 通过 对原 始 数据 进行 累加 生成 ． 可 以弱 化随机 性 ， 得到 指效 规律 较 强的 曲线 ， 这是 很 明显 的 ， 但关 键 问题 是 进行 预测 时 ． 由模 型 得到 的数 据 还必 须通 过 累加 生 成的逆 运 算 —— 累减 生成 得 到还 原模 型 ， 即
设 为 待 估 计 参 数 向 量， 则； 一 ［ ｝］ ， 按 最 小 二 乘 法 隶 解， 有； 一 （ Ｂ Ｂ ） 一 Ｂ ｎ （ ３ ＝ Fra bibliotekｘ ｘ
一
ｘ 为 内生拉釉 灰数 。
｝
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Ｘ
吉 （ （ １ ） － － ） ）
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ｘ
一 ＋ ｘ 式