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轨 迹 方 程求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。
1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？【解析】设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5 ∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ②由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ◎◎双曲线的两焦点分别是1F 、2F ，其中1F 是抛物线1)1(412++-=x y 的焦点，两点A （-3，2）、B （1，2）都在该双曲线上．（1）求点1F 的坐标； （2）求点2F 的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．【解析】（1）由1)1(412++-=x y 得)1(4)1(2--=+y x ，焦点1F （-1，0）． （2）因为A 、B 在双曲线上，所以||||||||||||2121BF BF AF AF -=-，|||22||||22|22BF AF -=-．①若||22||2222BF AF -=-，则||||22BF AF =，点2F 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，且当y ＝0时，1F 与2F 重合；当y ＝4时，A 、B 均在双曲线的虚轴上． 故此时2F 的轨迹方程为x ＝-1（y ≠0，y ≠4）．②若22||||2222-=-BF AF ，则24||||22=+BF AF ，此时，2F 的轨迹是以A 、B 为焦点，22=a ，2=c ，中心为（-1，2）的椭圆，其方程为14)2(8)1(22=-++y x ，（y ≠0，y ≠4） 故2F 的轨迹是直线x ＝-1或椭圆4)2(8)1(22-++y x 1=，除去两点（-1，0）、（-1，4） 评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法： 1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。
设点。
列式。
化简。
说明等，圆锥曲线标准方程的推导。
1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =u u u r u u u r·，求点P 的轨迹。
26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点试证明你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．1、 若动圆与圆外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是 解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是．选（B ）． 2、一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠．注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.4、设Q 是圆x 2+y 2=4上动点另点A （3。
轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法：1.直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
2.定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t 的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。
设点。
列式。
化简。
说明等，圆锥曲线标准方程的推导。
1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，求点P 的轨迹。
26y x =+，2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅（1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD⊥AE，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k1、k2满足k1·k2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．1、 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并且p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2、一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263BM CM +=⨯=． M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴． ∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.4、设Q是圆x2+y2=4上动点另点A（3。
轨 迹 方 程求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。
1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？【解析】设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5 ∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ②由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ◎◎双曲线的两焦点分别是1F 、2F ，其中1F 是抛物线1)1(412++-=x y 的焦点，两点A （-3，2）、B （1，2）都在该双曲线上．（1）求点1F 的坐标； （2）求点2F 的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．【解析】（1）由1)1(412++-=x y 得)1(4)1(2--=+y x ，焦点1F （-1，0）． （2）因为A 、B 在双曲线上，所以||||||||||||2121BF BF AF AF -=-，|||22||||22|22BF AF -=-．①若||22||2222BF AF -=-，则||||22BF AF =，点2F 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，且当y ＝0时，1F 与2F 重合；当y ＝4时，A 、B 均在双曲线的虚轴上． 故此时2F 的轨迹方程为x ＝-1（y ≠0，y ≠4）．②若22||||2222-=-BF AF ，则24||||22=+BF AF ，此时，2F 的轨迹是以A 、B 为焦点，22=a ，2=c ，中心为（-1，2）的椭圆，其方程为14)2(8)1(22=-++y x ，（y ≠0，y ≠4） 故2F 的轨迹是直线x ＝-1或椭圆4)2(8)1(22-++y x 1=，除去两点（-1，0）、（-1，4） 评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法：1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。
设点。
列式。
化简。
说明等，圆锥曲线标准方程的推导。
1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，求点P 的轨迹。
26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．1、 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2、一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠．注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.4、设Q 是圆x 2+y 2=4上动点另点A （3。
２０２３年４月上半月㊀学法指导㊀㊀㊀㊀求动点轨迹方程最简捷的四种方法◉安徽省全椒县城东中学㊀殷宏林㊀㊀摘要:求符合某种条件的动点轨迹方程,实际上就是利用已知的点的坐标之间的运动规律去寻找变量间的关系．求轨迹方程的常规思路,就是想方设法地把题目中的几何问题转化为代数方程问题来解决．关键词:参数法;复数法;交轨法;相关点法㊀㊀求动点的轨迹方程既是高中数学教学大纲要求掌握的主要内容,也是近年来高考考查的高频考点[１]．这类题型由于涉及到的知识点多,综合性较强,考查的范围广,分值较高,因此学习和掌握求轨迹方程的方法与技巧,已成为考生在高考中夺取高分的必要条件．轨迹是指点的集合,而方程是实数对的集合．二者看似毫不相干,实则它们之间是可以沟通转化的,求轨迹方程运用的就是这种转化思想．由于动点运动规律所给出的条件不同,因此求动点轨迹方程的方法也就不同[２],但其中最简捷㊁最实用的有以下四种．１参数法当所求动点满足的几何条件不易得出,也看不出明显的相关性时,如果经过仔细观察,发现这个动点的运动常常会受到某个变量(时间㊁角度㊁斜率㊁比值等)的制约,那么我们就可以用这个变量作参数,建立轨迹的参数方程,这就是参数法．图１例１㊀动直线l 与单位圆交于不同的两点A ,B ,当l 总保持平行于直线y ＝２x 的条件下移动时,求弦A B 中点轨迹的方程．解:由l 平行于直线y ＝２x ,可设l 的方程为y ＝２x ＋b (b 为参数),将其代入单位圆的方程x ２＋y ２＝１中,整理得５x ２＋４b x ＋b ２－１＝０．如图１,因为l 与单位圆有两个交点,所以Δ＝１６b ２－２０b ２＋２０＝２０－４b ２＞０,则－５＜b ＜５．设弦A B 的中点为P (x ,y ),根据韦达定理可知x ＝x １＋x ２２＝－２５b ,代入l 的方程中,得y ＝b５．所以中点P 的轨迹方程为x ＝－２５b ,y ＝b ５,ìîíïïïï其中－５＜b ＜５．消去参数b ,得x ＋２y ＝０(－２５５＜x ＜２５５),此即为弦A B 中点轨迹的普通方程,其轨迹为单位圆中的一条线段．思路与方法:从本题的解题思路可以看出以下几点．①利用几何直观即可判断出动点轨迹为过原点且垂直于y ＝２x 的含于单位圆中的线段;②当动点位置随着直线的平行移动而变化时,常选择截距作为参数较方便;③在求轨迹方程时,只要参数选择得当,常能使问题获得更简捷的解法．２复数法有些问题可以由复数的几何意义将动点和已知点表示成复数式,然后经过复数运算转化为动点的轨迹,这就是复数法．当涉及有向线段绕定点旋转,长度伸缩变化,或可用复数模的形式给出坐标间关系等问题时,运用复数法求解最简捷．图２例２㊀如图２,以抛物线y ２＝４x 的焦半径F B 为对角线作正方形F A B C (顶点按逆时针方向顺序排列)．求顶点C 的轨迹方程．解:因为抛物线y ２＝４x 中焦参数p ＝２,所以焦点坐标为F (１,０)．设动点C (x ,y ),其相关点B (x ᶄ,yᶄ)．把x 轴看作实轴,y 轴为虚轴,则在复平面上,有z C ＝x ＋y i ,z B ＝x ᶄ＋y ᶄi ,z F ＝１,所以z F Cң＝(x －１)＋y i ,z F Bң＝(x ᶄ－１)＋y ᶄi ．由øB F C ＝π４,F B ＝２F C ,得z F B ң＝z F C ңˑ２c o s (－π４)＋i s i n (－π４)éëêêùûúú,即(x ᶄ－１)＋y ᶄi＝[(x －１)＋y i ] ２(２２－２２i )＝[(x －１)＋y ]＋[y －(x －１)]i ．所以x ᶄ－１＝x －１＋y ,y ᶄ＝y －x ＋１,{即x ᶄ＝x ＋y ,yᶄ＝y －x ＋１．{因为点B 在y ２＝４x 上,所以(yᶄ)２＝４x ᶄ．故(y －x ＋１)２＝４(x ＋y )．整理即得动点C 的轨迹方程为１４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.学法指导２０２３年４月上半月㊀㊀㊀x ２＋y ２－２x y －６x －２y ＝０．思路与方法:本题通过建立复平面,利用复数加法和乘法的几何意义,求出动点对应的复数表达式,然后通过比较实部㊁虚部求得动点的轨迹方程．３交轨法在求动点轨迹时,有时会遇到求两动曲线交点的轨迹问题．这类问题可以通过解方程组求出含参数的交点坐标,再消去参数得出所求轨迹的方程,这就是交轨法．图３例３㊀在直角坐标系中,矩形O A B C 的边O A ＝a ,O C ＝b ,点D 在A O 的延长线上,D O ＝a ,设M ,N 分别是O C ,B C 上的动点,使O M ʒM C ＝B N ʒN C ʂ０,求直线DM 和A N 的交点P 的轨迹方程．解:如图３,建立平面直角坐标系,则各点的坐标分别为A (a ,０),C (０,b ),D (－a ,０),B (a ,b ),设P (x ,y )．设O M ʒM C ＝B N ʒN C ＝λ(ʂ０)．由定比分点公式,得M (０,λb １＋λ),N (a１＋λ,b )．根据两点式,可得直线DM ,A N 的方程分别为㊀㊀㊀㊀y ＝λba (１＋λ)(x ＋a ),①㊀㊀㊀㊀y ＝－b (１＋λ)λa(x －a )．②①ˑ②,得y ２＝－b ２a ２(x ２－a２),即x ２a ２＋y ２b２＝１(０＜x ＜a ,０＜y ＜b )．故点P 的轨迹方程为x ２a ２＋y ２b２＝１其中０＜x ＜a ,０＜b ＜y ．思路与方法:本题中由于动点P 为动直线DM ,A N 的交点,两动直线均有一定点(D ,A )一动点(M ,N ),而两动点又满足O M ʒM C ＝B N ʒN C 这一比值条件,所以设此比值为参数较为方便．从本题的求解过程我们发现,运用交轨法求解时,可以不用求交点的坐标,只要能消掉参数,得出点P 的坐标间的关系即可．这也充分展示了运用交轨法求轨迹方程的便捷性与实用性．４相关点法在求动点轨迹方程的过程中,有时动点满足的条件不方便用等式列出,但动点是随着另外相关点而运动的．如果相关点所满足的条件能够看出,或可分析出,这时就可以用动点的坐标来表示相关点的坐标,根据相关点所满足的方程就能够求得动点的轨迹方程,这就是相关点法．图４例４㊀已知定点O (０,０)和A (６,０),M 为O A 的中点,以O A为一边作菱形O A B C ,M B 与A C 交于点P ,当菱形变动时,求点P 的轨迹方程．解:如图４,设动点P (x ,y ),其相关点B (x ᶄ,yᶄ)．由A (６,０),得M (３,０)．易知M P P B ＝１２．所以由x ＝３＋１２x ᶄ１＋１２,y ＝０＋１２y ᶄ１＋１２,ìîíïïïïïïïïïï得x ᶄ＝３x －６,y ᶄ＝３y ．{由A B ＝O A ＝６,可得(x ᶄ－６)２＋(yᶄ－０)２＝６．即(３x －６－６)２＋(３y －０)２＝６．整理,得(x －４)２＋y ２＝４．因为点P 不可能在x 轴上,所以点P 的轨迹方程为(x －４)２＋y ２＝４(y ʂ０)．思路与方法:本题分析已知点与动点间的关系时,找出相关点是关键的一步．在图４中,若连接O B ,则可知P 为әA B O 的重心,所以选B 为相关点更方便;当然也可由A C 平分øO A B ,推知|B P ||PM |＝２．事实上,求已知曲线关于某定点(或定直线)的中心对称(或轴对称)的曲线方程时,通常选择相关点法较简捷[３]．５结论从上述典型实例可以看出,求动点轨迹方程的方法虽然很多,但上述四种方法最简捷,也非常实用,值得学生借鉴．当然,在求轨迹方程的过程中,要注意以上方法的灵活运用．对同一问题,若几种方法都可解决时,应择优选用;对较复杂的问题,有时需将两种或两种以上的方法结合起来使用．参考文献:[１]钟载硕．求动点轨迹方程八法[J ]．理科考试研究:高中版,２００４(３):１０Ｇ１４．[２]张黎青．求动点轨迹方程的常用方法介绍[J ]．新高考(高二语数外),２０１０(２):３３Ｇ３５．[３]陆钧．浅谈求动点轨迹方程[J ]．理科考试研究:高中版,２００６(１１):１２Ｇ１３．Z ２４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
