高中数学人教A版选修2-1人教A版选修2-1期末综合测试题.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块综合测评 选修2－1(A 版)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0(x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真． 答案：B2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当α＝π6＋2k π(k ∈Z )时，cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋π3＝cos π3＝12. 反之当cos2α＝12时，有2α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒α＝k π＋π6(k ∈Z )，故应选A.答案：A3．若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是( )A ．b ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．b ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．b ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．b ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：若l ∥α，则b·n ＝0.将各选项代入，知D 选项正确． 答案：D4．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析：∵|a |＝|b |＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°.答案：A5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.答案：B6．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为()A.63B.255C.155D.105解析：建立如图所示空间直角坐标系，得D (0,0,0)，B (2,2,0)，C 1(0,2,1)，B 1(2,2,1)，D 1(0,0,1)，则DB →＝(2,2,0)，DD 1→＝(0,0,1)，BC 1→＝(－2,0,1)． 设平面BD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DD 1→＝z ＝0，∴取n ＝(1，－1,0)．设BC 1与平面BD 1所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，BC 1→〉＝|BC 1→·n ||BC 1→|·|n |＝25·2＝105.答案：D7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程是( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a2. ∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8. 答案：B8．三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3解析：AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos90°－2×2×cos60°＝－2.答案：A9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5D. 6解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，∵y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：双曲线的离心率e 21＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 21e 22＝1，即a 2＋b 2a 2×m 2－b 2m2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2.∴以a 、b 、m 为边长的三角形为直角三角形．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是__________．解析：依题意a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝16，c ＝4,2c ＝8.答案：812．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的有__________．解析：依题意可知p 假，q 真，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真．答案：“p ∨q ” “綈p ”13．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线x 2＝y 上的点到直线AB 的最短距离为__________．解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x 上的点P (t ，t 2)， d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝(t －1)2＋35≥35＝355.答案：35 5.14．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为__________．解析：建立空间直角坐标系如图，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)，C (0,1,0)，∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，CN →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12.∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.即直线AM 与CN 所成角的余弦值为25. 答案：25三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知命题p ：方程x 22m ＋y 29－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2，若命题p 、q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．解：若p 真，则有9－m ＞2m ＞0， 即0＜m ＜3.若q 真，则有m ＞0， 且e 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 5∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，即52＜m ＜5. 若p 、q 中有且只有一个为真命题， 则p 、q 一真一假．(4分) ①若p 真、q 假，则0＜m ＜3，且m ≥5或m ≤52，即0＜m ≤52；(6分) ②若p 假、q 真，则m ≥3或m ≤0，且52＜m ＜5， 即3≤m ＜5.(8分)故所求m 的范围为：0＜m ≤52或3≤m ＜5.(12分)16．(12分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，与另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上一动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．解：(1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2， 圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2，∴||CF 1|－|CF ||＝4. ∵|F 1F |＝25＞4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(6分)(2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时， |MP |－|FP |取得最大值|MF |， 且|MF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫355－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫455－02＝2. 直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎨⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0.解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655. 此时y ＝－255.∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫655，－255.(12分)17．(12分)如图，点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c 于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的标准方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点． 解：(1)方法一：由条件知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .故直线PF 2的斜率为 kPF 2＝b 2a －0－c －c ＝－b 22ac .∵PF 2⊥F 2Q .∴直线F 2Q 的方程为y ＝2ac b 2x －2ac 2b 2.故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，2a . 由题设知，a 2c ＝4,2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1. 则b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(6分)方法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于点M .由条件知，P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . ∵△PF 1F 2∽△F 2MQ ，∴|PF 1||F 2M |＝|F 1F 2||MQ |. 即b 2a a 2c －c＝2c |MQ |，解得|MQ |＝2a .∴⎩⎨⎧a 2c ＝4，2a ＝4.解得a ＝2，c ＝1.则b 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2)直线PQ 的方程为y －2a b 2a －2a ＝x －a 2c －c －a 2c，即y ＝c a x ＋a .将上式代入椭圆方程得，x 2＋2cx ＋c 2＝0，解得x ＝－c ，y ＝b 2a .∴直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．(12分)18．(14分)如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(2)证明平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求二面角A -CD -E 的余弦值．解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12. (1)BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.∴异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(4分)(2)证明：由AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，CE →＝(－1,0,1)， AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0. 因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(8分)(3)设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0. 令z ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又∵由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．∴cos 〈u ，v 〉＝u·v |u |·|v |＝0＋0＋13×1＝33. ∵二面角A -CD -E 为锐角，∴其余弦值为33.(14分)。

梅州中学2010－2011学年高二第一学期期末试题理科数学（本试卷满分150分；考试时间120分钟）一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1.不等式01032>++-x x 的解集为()),5()2,( .+∞--∞Y A ),2()5,( .∞--∞Y B )2,5( .-C )5,2( .-D2、在ABC ∆中，33,3,120a b A ===︒，则角B 的值为()A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒3、在同一坐标系中，方程2222210(0)x y ax by a b a b+=+=>>与的曲线大致是（）4、抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（） A ．1716B ．1516C ．78D ．05、设双曲线焦点在y 轴上，两条渐近线为12y x =±，则该双曲线离心率e =（）A ．5B ．2C ．546、木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的() A ．60倍 B ．6030倍 C ．120倍 D ．12030倍7.正四面体P-ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面结论不成立．．．的是()A ．平面PDF ⊥平面ABCB ．DF ⊥平面PAEC ．BC//平面PDFD ．平面PAE ⊥平面ABC8．若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“F 点”，下列曲线中存在“F 点”的是（）A ．1151622=+y x B ．1242522=+y x C ．11522=-y x D ．122=-y x二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9.已知向量(2,4,),(2,,2)a x b y ==r r ,若||6a =r,且a b ⊥r r ,则x y += .10.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若246,30,S S ==，则6S = 。

慈溪市2011学年度第一学期高二年级期末考试数学（理科）参考答案及评分标准（考试时间：120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCABCACDDC二、填空题（本大题共7小题,每小题4分,共28分）11.若两条直线互相垂直，则这两条直线的斜率不一定互为负倒数；真[①写成否命题形式的：若两条直线不互相垂直，则这两条直线的斜率不互为负倒数，真，可给2分； ②写成这种形式的：若两条直线互相垂直，则这两条直线的斜率不互为负倒数，假，可给2分．] 12.255 13. 35514. 20x y +-= 15. 16π 16.①②④⑤[若出现③，则本题不给分；每少一个扣1分] 17. 24(0)y x x =≠[不写0x ≠，则扣1分] 三、解答题（本大题共5小题，共72分）18.(本小题满分14分）解.（1）在图2中，过D 作DG AC ⊥，垂足为G ……………………………………2分 Q 平面ACD ⊥平面ABC ，且平面ACD I 平面ABC =AC ， DG ⊂平面ACD∴DG ⊥平面ABC ………………………………………………………………4分又Q BC ABC ⊂平面，∴DG ⊥BC 即BC DG ⊥ ………………………………5分Q 90ACB ∠=︒即BC AC ⊥Q AC DG G ⋂=，且,AC DG ACD ⊂平面 ∴BC ⊥平面ADC ….…………7分（2）连结BG ，Q DG ⊥平面ABC ，∴DBG ∠为直线BD 与平面ABC 所成的角，且DG BG ⊥ ………………….………9分 在Rt ACD V 中，=2DG ，2AG =在Rt ABC V 中,AB=4,2222cos 4510BG AG AB AG AB =+-⋅︒=,10BG = …10分在Rt DGB V 中，5tan 5DG DBG BG ∠==………………………………………………11分（3）1133D ABC ABC V sh DG S -==⋅V 423= ………………………………..……. 14分[公式1分,结论2分]19.(本小题满分14分）解.（1）设圆N 的圆心(,)N a b ,则(,)N a b 和点M (2,2)--关于直线20x y ++=对称∴222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得0a =,0b = (4)分∴圆N 的方程为222x y r +=Q 圆N 过点(1,1)P ，∴由(1,1)P 代入圆N 方程得22,2λλ== …………...………6分 ∴圆N 的方程为222x y +=…………………………………………………………..……7分（2）设(,)Q x y ，Q (2,2)M --∴(1,1)PQ x y =--u u u r ，(2,2)MQ x y =++u u u u r∴(1)(2)(1)(2)PQ MQ x x y y ⋅=-++-+u u u r u u u u r224x y x y =+++- (10)分又Q Q 在圆N 上，∴222x y +=∴2PQ MQ x y ⋅=+-u u u r u u u u r (11)分Q222()22x y x y ++≥当且仅当x y =时取“=” ∴22x y -≤+≤ (13)分故PQ MQ ⋅u u u r u u u u r的最小值为4-（此时1x y ==-）[不写“此时1x y ==-”不扣分了！] (14)分20.(本小题满分14分）解.以A 为原点，AF u u u r 为z 轴，AB u u u r 为x 轴，AD u u u r为y 轴，建立空间直角坐标系，……1分设1AB =∴(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,1,1)E ，(0,0,1)F ，11(,1,)22M ……………………………………………………………………………..….…3分（1）Q (1,0,1)BF =-u u u r ，11(,1,)22DM =-u u u u r ………………………………………5分Q 110022BF DM ⋅=-++=u u u r u u u u r∴BF DM ⊥u u u r u u u u r，即BF DM ⊥………………………………………….………………..…7分（2）设平面CDE 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则0n CE n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r…………………..……9分 又(1,0,1)CE =-u u u r ，(0,1,1)DE =-u u u r∴00x z y z -+=⎧⎨-+=⎩，又可令1x =，则(1,1,1)n =r (11)分又易证平面ACD 的一个法向量为(0,0,1)v =r………………………………………….…12分∴0013cos ,3||||31u v u v u v ⋅++<>===⋅⨯r rr r r r 故二面角A CD E --的余弦值为33………………………………………………….…14分 21.(本小题满分15分）解.(1)由直线的截距式方程可知，线段AB 的方程为133x y+=，即30(03)x y x +-=≤≤…………………………………………..…………3分 (2)当直线l 的斜率不存在时，符合条件，此时公共点的横坐标为0x =…………………4分当直线l 的斜率存在时，设为k ，则:3(0)l y k x -=-，即3y kx =+…………………5分由223()401y kx x k m x y x mx =+⎧⇒+-+=⎨=-+-⎩ 由条件必有0=V ，即2()160k m --=，4k m -=±…………………………….…..…8分∴此时2440x x ±+=，2x =±…………………………………………………………..10分故当直线l 与抛物线C 只有一个公共点时，此公共点的横坐标为0或2-或2. .………11分 (3)必要性：Q 抛物线C 和线段AB 有两个不同交点∴方程组213(03)y x mx x y x ⎧=-+-⎨+=≤≤⎩有两个不同的实数解消去y 得2(1)40(03)x m x x -++=≤≤∴方程2(1)40x m x -++=在03x ≤≤上有两个不同的实数根令2()(1)4f x x m x =-++∴必须有2(1)160(0)0(3)01032m f f m ⎧=+->⎪≥⎪⎪⎨≥⎪+⎪<<⎪⎩V 即22(1)43100016m m m ⎧+>⎪-+≥⎨⎪<+<⎩，解得1033m <≤……………...…14分充分性：当1033m <≤时，对方程:2(1)40x m x -++= Q 2211(1)161(1)022m m m m x +-+-+-+=>=22210101(1)161(1)1633322m m x +-+-+++-=≤=∴方程2(1)40x m x -++=有两个不同实数根，且满足1203x x <<≤即方程组213(03)y x mx x y x ⎧=-+-⎨+=≤≤⎩有两个不同实数解故综上讨论得，所求的充要条件为1033m <≤.…………………………………………..15分 【或（3）另解：Q 抛物线C 和线段AB 有两个不同交点的充要条件是方程组213(03)y x mx x y x ⎧=-+-⎨+=≤≤⎩有两个不同的实数解 (12)分即方程2(1)40x m x -++=在03x ≤≤有两个不同的实数根 令二次函数2()(1)4f x x m x =-++∴方程2(1)40x m x -++=在03x ≤≤上有两个不同实数根的充要条件是二次函数()y f x =与x 轴有两个不同交点，且交点均在区间[0,3]内…………………………...13分 Q 二次函数()y f x =与x 轴在区间[0,3]上有两个不同交点的充要条件是2(1)160(0)0(3)01032m f f m ⎧=+->⎪≥⎪⎪⎨≥⎪+⎪<<⎪⎩V ，即22(1)43100016m m m ⎧+>⎪-+≥⎨⎪<+<⎩，解之得1033m <≤………………………15分故所求的充要条件为1033m <≤.】 22.(本小题满分15分）解.（1）由已知得： 22222325c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩∴2,1a b ==，∴椭圆C 的方程为2214x y +=….5分 （2）αβπ+=为定值. ……………………………………………………………………6分 由（1）知：1(2,0)A -，2(2,0)A ，1(0,1)BQ 21//l A B ∴2112l A B k k ==-故可设直线l 的方程为12y x m =-+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ………………….……7分由221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得222220x mx m -+-= ∴2244(22)0m m =-->V ，即22m -<<…………………………………………8分12212222x x mx x m +=⎧⎨=-⎩………………………………………………………………..………….…9分Q ,P Q 异于椭圆C 的顶点，∴,22ππαβ≠≠∴111tan 2A P y k x α==+，1221tan B Q y k x β-==…………………………………………11分 ∴tan tan αβ+=121212y y x x -+=+211212(2)(1)(2)x y x y x x ++-=+2112211222(2)x y x y y x x x +---+ Q 1112y x m =-+，2212y x m =-+……………………………………………...………12分 ∴tan tan αβ+=21122112111()()2()2222(2)x x m x x m x m x x x -++-+--+--+121212(1)()22(2)m x x x x m x x -+-+-=+2122(1)(22)22(2)m m m m x x ---+-=+0= ……………………………… 13分 ∴tan tan tan()01tan tan αβαβαβ++==- (1)4分又Q ,(0,)αβπ∈，∴ (0,2)αβπ+∈故αβπ+= .……………………………………………………………….………….....15分[理科考试范围： 必修②：1、空间几何体；2、点、直线、平面之间的位置关系；3、直线与方程；4、圆与方程．选修2-1：1、常用逻辑用语；2、圆锥曲线与方程；3、空间向量与立体几何．]。

2011学年第一学期温州市十校联合体期末考试高二数学试卷（理科）说明：本试卷满分120分，考试时间100分钟。

学生答题时不可使用计算器。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．“232>+-x x ”是 “2>x ” 成立的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知点)1,1(-A 及圆 044422=++-+y x y x ，则过点A ，且在圆上截得的弦为最长的弦所在的直线方程是（ ▲ ）A.01=-xB.0=+y xC.01=+yD.02=--y x 3. 在同一坐标系中，方程22221a x b y +=与20ax by +=（a ＞ｂ＞０）的曲线大致是（ ▲ ）4． 设b a 、是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ▲ ）A ． 若αα//,,b a b a 则⊥⊥B ．βαβα⊥⊥⊥⊥则若,,,b a b aC ．若αβαβ//,,a a 则⊥⊥D ．若ββαα⊥⊥a a 则,,//5．已知A B C 、、三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A B、、一定共面的是（▲）A．OM OA OB OC =++B ．2OM OA OB OC =-- C ．1123OM OA OB OC =++D ．111236OM OA OB OC =++ 6．过点(4,0)C 的直线与双曲线221412x y -=的右支交于A B 、两点，则直线AB 的斜率k的取值范围是（ ▲ ）A.1k ≥B.3k >C.3k ≤D.1k < 7．设),2(ππθ∈，则直线01sin cos =++θθy x 的倾斜角α为（ ▲ ）A.2πθ-B. θC. 2πθ+D. θπ-8．已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，S A ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，则球O 的表面积等于（ ▲ ）A.2πB.3π C .4π D.π 9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB和BM 所成的角的大小是（ ▲ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ． 2π正视图 3 22 侧视图俯视图210．点P 在椭圆22143x y +=上运动，Q 、R 分别在两圆22(1)1x y ++=和22(1)1x y -+=上运动，则PQ PR+的取值范围为（ ▲ ）A ．[3，5]B [2，5]C [3，6]D [2，6] 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．命题”，“032>++∈∀x x R x 的否定是 ▲ . 12．已知直线01)4()3(:1=+-+-y k x k l 与032)3(2:2=+--y x k l 平行，则k 的值为 ▲ .13．抛物线x y 42=的一条弦被点)2,4(A 平分,那么这条弦所在的直线方程是为 ▲ .14．已知三棱锥O-ABC 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN = ▲ . (结果用cb a ,,表示)15．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积是 ▲ .16．过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 ▲ .17．已知AC ，B D 为圆O ：x 2+y 2=4的两条互相垂直的弦，垂足为M （1，2），则四边形ABCD 的面积最大值为 ▲ .三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 18．（本小题8分）已知命题p ：“函数xa x f )21()(+=是R 上的增函数” ，命题q ：“方程012=++ax x 有两个不相等的负实数根”. 若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．19．（本小题8分）已知抛物线E 的顶点在原点，焦点在x 轴上，开口向左，且抛物线上一点M 到其焦点的最小距离为41，抛物线E 与直线l ：(1)()y k x k R =+∈相交于A 、B 两点。

高中数学选修2-1测试题全套及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．给出命题：“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．若命题p ∨q 与命题p ⌝都是真命题，则( )A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 的真假相同3．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则（ ）A ．⌝p ：∀x ∈A ，2x ∉B B ．⌝p ：∀x ∉A ，2x ∉BC ．⌝p ：∃x 0∉A ，2x 0∈BD ．⌝p ：∃x 0∈A ，2x 0∉B4．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数5．设U 为全集，A,B 是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题（ ） A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题7．若“0＜x ＜1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是（ ）A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．(－1，0)C ．[－1，0]D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)8．命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p ∨q ”是真命题B ．“p ∧q ”是假命题C ．⌝p 为假命题D ．⌝q 为假命题9．下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数10．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要的条件是（ ）A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 311．已知A ：13x -<，B ：(2)()0x x a ++<，若A 是B 的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是( )A ．(4，+∞)B ．[4，+∞)C ．(-∞，4]D ．(-∞，-4)12．已知命题p:不等式(x -1)(x -2)>0的解集为A ，命题q:不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集为B ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[－3,1]D ．[－2，＋∞)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上） 13若关于x 的不等式|x －m |＜2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值X 围是________．14．若命题“∪x ∪R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值X 围是________．15．关于x 的方程x 2－(2a －1)x ＋a 2－2＝0至少有一个非负实根的充要条件的a 的取值X 围是________．16．给出下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题；③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件； ④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．17．已知命题p ：∀x ∈[1,2]都有x 2≥a ．命题q ：∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立，若命题p ∧q 是真命题，则实数a 的取值X 围是________．18．如果甲是乙的必要不充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则丁是甲的__________条件．三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知命题p:若,0≥ac 则二次方程02=++c bx ax 没有实根.(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假, 并证明你的结论.20．（10分）已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝φ”是假命题，XX 数m 的取值X 围．21．（10分）已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∪P 是x ∪S 的充要条件，若存在，求出m 的X 围；若不存在，请说明理由；(2)是否存在实数m ，使x ∪P 是x ∪S 的必要条件，若存在，求出m 的X 围；若不存在，请说明理由．22．（10分）已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；命题q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若命题p ∧q 为假，命题p ∨q 为真，XX 数c 的取值X 围．23．（10分）已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题p ∨q 是假命题，求a 的取值X 围．24．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列． 证明：数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3.参考答案一、选择题1.D2.B3.D4.B5.C6.D7.C8.B9.D 10.A 11.D 12.A提示：1．逆命题为：若x ＝y ＝0，则x 2＋y 2＝0，是真命题．否命题为：若x 2＋y 2≠0，则x ≠0或y ≠0，是真命题．逆否命题为：若x ≠0或y ≠0，则x 2＋y 2≠0，是真命题．2．“p ⌝”为真命题，则命题p 为假，又p 或q 为真，则q 为真，故选B.3．由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得．命题p 是全称命题：∀x ∈A ，2x ∈B ，则⌝p 是特称命题：∃x 0∈A ，2x 0∉B .故选D.4．原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是B 选项．5．6．原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 7．(x －a )[x －(a ＋2)]≤0⇒a ≤x ≤a ＋2，由集合的包含关系知：⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋2≥1，⇒a ∈[－1，0]． 8．因为当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，所以命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p 或q ”是假命题. 9．对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题. 10.a >b ＋1⇒a －b >1>0⇒a >b ，但a ＝2，b ＝1满足a >b ，但a ＝b ＋1，故A 项正确．对于B ，a >b －1不能推出a >b ，排除B ；而a 2>b 2不能推出a >b ，如a ＝－2，b ＝1，(－2)2>12，但－2<1，故C 项错误；a >b ⇔a 3>b 3，它们互为充要条件，排除D.11．由题知1324x x -<⇔-<<，当2a <时，(2)()02x x a x a ++<⇔-<<-，若A 是B 的充分不必要条件，则有A B ⊆且B A ≠，故有4a ->，即4a <-；当2a =时，B=φ，显然不成立；当2a >时，(2)()02x x a a x ++<⇔-<<-，不可能有A B ⊆，故(),4a ∈-∞-.12.不等式（x -1）（x -2）>0，解得x >2或x <1，所以A 为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x 2＋(a －1)x －a >0可以化为(x －1)(x ＋a )>0，当－a ≤1时，解得x >1或x <－a ，即B 为(－∞，－a )∪(1，＋∞)，此时a ＝－1；当－a >1时，不等式(x －1)(x ＋a )>0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a <2，即－2<a <－1.综合知－2<a ≤－1.二、填空题13.(1，4) 14.[－8,0] 15.⎣⎡⎦⎤－2，9416.①② 17.(－∞，－2]∪{1} 18.充分不必要提示：13．由|x －m |＜2得－2＜x －m ＜2，即m －2＜x ＜m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2＜x ＜m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＜2m ＋2＞3，由此解得1＜m ＜4，即实数m 的取值X 围是(1，4)．14．由题意知，x 为任意实数时，都有ax 2－ax －2≤0恒成立．当a ＝0时，－2≤0成立．当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0得－8≤a ＜0， 所以－8≤a ≤0.15.设方程的两根分别为x 1，x 2，当有一个非负实根时，x 1x 2＝a 2－2≤0，即－2≤a ≤2；当有两个非负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2a －1）2－4（a 2－2）≥0，x 1＋x 2＝2a －1＞0，x 1x 2＝a 2－2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤9，a ＞12，a ≤－2或a ≥ 2.即2≤a ≤94.综上，得－2≤a ≤94. 16.①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．17.若p 是真命题，即a ≤(x 2)min ，x ∈[1,2]，所以a ≤1；若q 是真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有解，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.命题“p 且q ”是真命题，则p 是真命题，q 也是真命题，故有a ≤－2或a ＝1.三、解答题19.解：(1)命题p 的否命题为:若,0<ac 则二次方程02=++c bx ax 有实根.(2)命题p 的否命题是真命题. 证明如下: ,04,0,02>-=∆>-<ac b ac ac 所以所以因为所以二次方程02=++c bx ax 有实根.故该命题是真命题.20.解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}． 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0⇒m ≥32. 又集合{m |m ≥32}关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}， 所以实数m 的取值X 围是{m |m ≤－1}．21.解：(1)不存在.由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为x ∈P 是x ∈S 的充要条件，所以P ＝S ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在．(2)存在.由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3. 又1+m ≥1-m,所以m ≥0.综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．22.解：因为函数y ＝c x 在R 上单调递减，所以0<c <1.即p ：0<c <1，因为c >0且c ≠1，所以⌝p ：c >1.又因为f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，所以c ≤12.即q ：0<c ≤12，因为c >0且c ≠1， 所以⌝q ：c >12且c ≠1. 又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，所以p 真q 假或p 假q 真．①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∪. 综上所述，实数c 的取值X 围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. 23.解：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0,所以x ＝a 2或x ＝－a ， 所以当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，所以|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，所以Δ＝4a 2－8a ＝0，所以a ＝0或a ＝2.所以当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.所以命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.因为命题“p 或q ”为假命题，所以a >2或a <－2.即a 的取值X 围为{a |a >2或a <－2}．24.证明: 因为数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列，所以S n ＋1＝S 1＋1·2n －1，即S n ＋1＝(a 1＋1)·4n －1.因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，3（a 1＋1）·4n －2，n ≥2，显然，当n ≥2时，a n ＋1a n ＝4. ①充分性：当a 1＝3时，a 2a 1＝4，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝4，即数列{a n }是等比数列． ②必要性：因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝4， 即3（a 1＋1）a 1＝4，解得a 1＝3. 综上，数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3.第二章 圆锥曲线与方程 测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，那么抛物线的方程是（ ）A ．y 2＝－16xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝－12x2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝5，则|PF 2|＝（ ）A ．5B ．3C ．7D ．3或73．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1，F 2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的焦距为4，一个顶点是抛物线y 2＝4x 的焦点，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．32D ．26．已知点A （3，4），F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|AM |＋|MF |最小时，M 点坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（3，26）C ．（3，－26）D ．（2，4）7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的离心率为52，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为（ ）A ．12B ．33C ．32D ．228．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ）A ．42B ．83C ．24D ．489．已知点A （1，2）是抛物线C ：y 2＝2px 与直线l ：y ＝k （x ＋1）的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是（ ）A ．22B ．2C ．322D ．2210．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．811．已知以F 1（－2，0），F 2（2，0）为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．32B ．26C ．27D ．712．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，且|BC|=|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y=±3xB ．y=±22xC ．y=±（1+3）xD ．y=±（3－1）x 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）13．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离是＿＿＿＿＿．14．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是＿＿＿＿＿．15．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：（x －5）2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：（x ＋5）2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是＿＿＿＿＿．16．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A （72，4），则|PA |＋|PM |的最小值是＿＿＿＿＿．17．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，则|F 1A |＋|F 1B |的值为＿＿＿＿＿．18．过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点作斜率为3的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在y 轴上的正射影分别为D ，C ，若梯形ABCD 的面积为103，则p=＿＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，求双曲线方程．20．（10分）已知点P （3，4）是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上的一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1⊥PF 2．试求：（1）椭圆的方程；（2）△PF 1F 2的面积．21．（10分）抛物线y 2＝2px （p >0）有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．22．（10分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线的方程．23．（10分）设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1（a >0）与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A 、B ． （1）求双曲线C 的离心率e 的取值X 围；（2）设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值．24．（10分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）的离心率为63，且经过点（32，12）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，2）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最大值．参考答案一、选择题1．C 2．D 3．D 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．A 11．C 12．C 提示：1．由题设知直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点（4，0）即为抛物线的焦点，故其方程为y 2＝16x ．2．因为双曲线的定义可得||PF 1|－|PF 2||＝2，所以|PF 2|＝7或3．3．由题意知|MF 2|＝10－|MF 1|＝8，ON 是△MF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|MF 2|＝4． 4．若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，所以2<m <6且m ≠4，故2<m <6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件． 5．依题意，得c ＝2，a ＝1，所以e ＝ca ＝2．6．由题知点A 在抛物线内．设M 到准线的距离为|MK |，则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MK |，当|MA |＋|MK |最小时，M 点坐标是（2，4）．7．因为在双曲线中，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，在椭圆中，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝1－14＝34，所以椭圆的离心率e ＝32．8．由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24．9．将点（1，2）代入y 2＝2px 中，可得p ＝2，即得抛物线y 2＝4x ，其焦点坐标为（1，0），将点（1，2）代入y ＝k （x ＋1）中，可得k ＝1，即得直线x －y ＋1＝0，所以抛物线C 的焦点到直线l 的距离d ＝|1－0＋1|2＝2．10．由椭圆方程得F （－1，0），设P （x 0，y 0），则OP →·FP →＝（x 0，y 0）·（x 0＋1，y 0）＝x 20＋x 0＋y 20，因为P 为椭圆上一点，所以x 204＋y 203＝1，所以OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3（1－x 204）＝x 204＋x 0＋3＝14（x 0＋2）2＋2，因为－2≤x 0≤2，所以OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6．11．根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1（b >0），则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4（b 2＋1）y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，因为椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，所以Δ＝（83b 2）2－4×4（b 2＋1）（－b 4＋12b 2）＝0，即（b 2＋4）·（b 2－3）＝0，所以b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27．12．根据双曲线的定义有|CF 1|－|CF 2|=2a ，而|BC|=|CF 2|，那么2a=|CF 1|－|CF 2|=|CF 1|－|BC|=|BF 1|，而又由双曲线的定义有|BF 2|－|BF 1|=2a ，可得|BF 2|=4a ，由于过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，那么sin ∠BF 1F 2=c a ，那么cos ∠BF 1F 2=cb，根据余弦定理有cos ∠BF 1F 2=c b =ca a c a 222)4()2()2(222⨯⨯-+，整理有b 2－2ab －2a 2=0，即（a b）2－2a b －2=0，解得a b =1+3（a b =1－3<0舍去），故双曲线的渐近线方程为y=±abx=±（1+3）x ．二、填空题13．1814．x 281＋y 272＝115．10 16．9217．82318．3 提示：13．由x 2＝14y 知，p ＝18，所以焦点到准线的距离为p ＝18．14．依题意知：2a ＝18，所以a ＝9，2c ＝13×2a ，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，所以椭圆方程为x 281＋y 272＝1．15．依题意得，点F 1（－5，0）、F 2（5，0）分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|（|PF 2|＋1）－（|PF 1|－1）|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10．16．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F （12，0），又点A （72，4）在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12，又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|PA |＋|PM |≥92．17．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x －1，消去y 整理得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43，易得点A （0，－1）、B （43，13）．又点F 1（－1，0），因此|F 1A |＋|F 1B |＝12＋(－1)2＋(73)2＋(13)2＝823．18．由抛物线y 2=2px （p>0）得其焦点F （2p ，0），直线AB 的方程为y=3（x －2p ），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（假定x 2>x 1），由题意可知y 1<0，y 2>0，联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(32，整理有3y 2－2py －3p 2=0，可得y 1+y 2=32p，y 1y 2=－p 2，则有x 1+x 2=35p ，而梯形ABCD的面积为S=21（x 1+x 2）（y 2－y 1）=65p212214)(y y y y -+=103，整理有p 2=9，而p>0，故p=3．三、解答题19．解：设双曲线的方程为42·x 2－32·y 2＝λ（λ≠0）， 从而有（|λ|4）2＋（|λ|3）2＝100，解得λ＝±576， 所以双曲线的方程为x 236－y 264＝1和y 264－x 236＝1． 20．解：（1）因为P 点在椭圆上，所以9a 2＋16b 2＝1，① 又PF 1⊥PF 2，所以43＋c ·43－c ＝－1，得：c 2＝25，②又a 2＝b 2＋c 2，③ 由①②③得a 2＝45，b 2＝20，则椭圆方程为x 245＋y 220＝1； （2）S 21F PF ∆＝12|F 1F 2|×4＝5×4＝20．21．解：设抛物线y 2＝2px （p >0）的内接直角三角形为AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ； 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 的坐标为（8p ，－4p ）．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513， 所以⎝⎛⎭⎫p24＋p 2＋（64p 2＋16p 2）＝325， 所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x ．22．解：设抛物线的方程为y 2＝2px （p >0），其准线方程为x ＝－p2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为|AF |＋|BF |＝8， 所以x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8，即x 1＋x 2＝8－p ，因为Q （6，0）在线段AB 的中垂线上，所以QA ＝QB ，即（x 1－6）2＋y 21＝（x 2－6）2＋y 22，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以（x 1－x 2）（x 1＋x 2－12＋2p ）＝0， 因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝12－2p ，故8－p ＝12－2p ，所以p ＝4， 所以所求抛物线方程是y 2＝8x ．23．解：（1）联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1，消y 得x 2－a 2（1－x ）2－a 2＝0，即（1－a 2）x 2＋2a 2x －2a 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a 2.因为与双曲线交于两点A 、B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，可得0<a 2<2且a 2≠1，所以e 的取值X 围为（62，2）∪（2，＋∞）； （2）由（1）得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a2.因为P A →＝512PB →，所以x 1＝512x 2，则1712x 2＝－2a 21－a 2，①512x 22＝－2a 21－a 2，② 由①2②得，a 2＝289169，结合a >0，则a ＝1713． 24．解：（1）由e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝23，得b a ＝13，①由椭圆C 经过点（32，12），得94a 2＋14b 2＝1，②联立①②，解得b ＝1，a ＝3， 所以椭圆C 的方程是x 23＋y 2＝1；（2）易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得（1＋3k 2）x 2＋12kx ＋9＝0， 令Δ＝144k 2－36（1＋3k 2）>0，得k 2>1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2，所以S △AOB ＝|S △POB －S △POA |＝12×2×|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|，因为（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝（－12k 1＋3k 2）2－361＋3k 2＝36(k 2－1)(1＋3k 2)2，设k 2－1＝t （t >0）， 则（x 1－x 2）2＝36t(3t ＋4)2＝369t ＋16t＋24≤3629t ×16t＋24＝34， 当且仅当9t ＝16t ，即t ＝43时等号成立，此时k 2＝73，△AOB 面积取得最大值32．第三章 空间向量与立体几何一、选择题1．若A (0，－1，1)，B (1，1，3)，则|AB |的值是()． A ．5B ．5C ．9 D ．32．化简AB ＋CD －CB －AD ，结果为()．A ．0B ．ABC ．ACD ．3．若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不成立的是()． A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m b D ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )4．已知＋＝(2，－1，0)，a －b ＝(0，3，－2)，则cos<，>的值为()． A ．31B ．－32C ．33D ．375．若P 是平面α 外一点，A 为平面α 内一点，n 为平面α 的一个法向量，且<，n >＝40º，则直线PA 与平面α 所成的角为()．A ．40ºB ．50ºC ．40º或50ºD ．不确定6．若A ，B ，C ，D 四点共面，且 ＝ ＋ 3＋ 2＋ x ，则x 的值是()．A ．4B ．2C ．6D ．－67．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90º，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60º，则AC 1的长等于()．A ．85B ．50C ．85D ．528．已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－4，2，x )，c ＝（1，－x ，2），若(a ＋b )⊥c ，则x 等于()．A ．4B ．－4C ．21D ．－6 9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，考虑下列命题①(A A 1＋11D A ＋11B A )2＝3(11B A )2；②A 1·(11B A －A A 1)＝0；③向量1AD 与向量A 1的夹角为60º；④正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为|··|． 错误命题的个数是()．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知四边形ABCD 满足·＞0，·＞0，·＞0，·＞0，则该四边形为()．A ．平行四边形B ．梯形C ．任意的平面四边形D ．空间四边形 二、填空题11．设a ＝(－1，1，2)，b ＝(2，1，－2)，则a －2b ＝．1AA12．已知向量a ，b ，c 两两互相垂直，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，s ＝a ＋b ＋c ，则|s |＝． 13．若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b 所成角的大小．14．若n 1，n 2分别为平面α，β 的一个法向量，且<n 1，n 2>＝60º，则二面角α－l －β 的大小为．15．设A (3，2，1)，B (1，0，4)，则到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 应满足的条件是 ．16．已知向量n A A 1＝2a ，a 与b 夹角为30º，且|a |＝3，则21A A ＋32A A ＋…＋n n A A 1-在向量b 的方向上的射影的模为．三、解答题17．如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是平行四边形， O 是B 1D 1的中点．求证：B 1C //平面ODC 1．18．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底边CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90º，棱AA 1＝2，M ，N 分别是11B A 、的中点．A A 1ABA 1B 1D CD 1C 1O（第17题）(1)求BN ·M C 1；(2)求cos<1BA ，1CB >．19．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．ACBA 1C 1B 1N M（第18题）(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； (3)AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4．20．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB //CD ，AD ＝CD ＝2AB ，E ，F 分别为PC 、CD 中点．ABA 1D B 1C D 1C 1E（第19题）(1)试证：CD ⊥平面BEF ；(2)设PA ＝k ·AB ，且二面角E —BD —C 的平面角大于30º，求k 的取值X 围．参考答案一、选择题 1．D2．A3．D 4．B解析：两已知条件相加，得 a ＝（1，1，-1），再得 b ＝（1，－2，1），则cos<a ，b >＝||||b a •＝－32． 5．B6．D7．C8．B9．B 10．D解析：由AB ·BC ＞0得∠ABC ＞90º，同理，∠BCD ＞90º，∠CDA ＞90º，∠DAB ＞90º，若ABCD 为平面四边形，则四个内角之和为360º，这与上述得到结论矛盾，故选D ．二、填空题11．(－5，－1，6) ．12．14． 13．90°．BACPE FD（第20题）14．60º或120º． 15．4x ＋4y －6z ＋3＝0． 16．3． 三、解答题17．提示：∵C B 1＝D A 1＝11C A ＋D C 1＝21OC ＋D C 1． ∴ 直线B 1C 平行于直线OC 1与C 1D 所确定的平面ODC 1． 18．(1)0．提示：可用向量计算，也可用综合法得C 1M ⊥BN ，进而得两向量数量积为0． (2)1030． 提示：坐标法，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴．19．(1)提示：以D 为原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，可得1·E D 1＝0．(2)31． 提示：平面ACD 1的一个法向量为n 1＝(2，1，2)，d ＝11n n | |1·E D ＝31． (3)2－3．提示：平面D 1EC 的一个法向量为n 2＝（2－x ，1，2）（其中AE ＝x ），利用 cos 4x ＝2－3．20．(1)提示：坐标法，A 为原点，直线AD ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴．(2)k ＞15152．提示：不妨设AB ＝1，则PA ＝k ，利用cos<n 1，n 2>＜23，其中n 1，n 2分别为面EBD ，面BDC 的一个法向量．。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）综合测评(A)(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出两个命题:p:|x|=x的充要条件是x为正实数,q:不等式|x-y|≤|x|+|y|取等号的条件是xy<0,则下列命题是真命题的是( ).A.p∧qB.p∨qC.(┐p)∧qD.(┐p)∨q答案:D解析:命题p为假,∵x=0时,也有|x|=x成立;命题q也为假,∵当x=0或y=0时,|x-y|≤|x|+|y|也成立,∴(┐p)∨q为真命题.故选D.2.下列命题的逆否命题中,真命题的个数为( ).①若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根②若x2+y2=0,则x,y全为零③如果两圆相切,那么圆心距等于两圆半径之和④奇数不能被2整除A.1B.2C.3D.4答案:C3.命题“存在x0∈R,≤0”的否定是( ).A.不存在x∈R,>0B.存在x∈R,≥0C.对任意的x∈R,2x≤0D.对任意的x∈R,2x>0答案:D4.已知菱形ABCD边长为1,∠DAB=60°,将这个菱形沿AC折成60°的二面角,则B,D两点间的距离为( ).A. B. C. D.答案:B5.已知向量=(1,2,3),=(4,5,6),则平面ABC的一个单位法向量是( ).A. B.C. D.答案:A6.设α,β是两个不重合的平面,l,m是两条不重合的直线,则α∥β的充分条件是( ).A.l⊂α,m⊂β且l∥β,m∥αB.l⊂α,m⊂β且l∥mC.l⊥α,m⊥β且l∥mD.l∥α,m∥β且l∥m答案:C7.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°,则AC1的长为( ).A.2B.C.D.答案:D8.设P为椭圆上一点,F1,F2为椭圆的左、右焦点,若∠PF1F2=60°,∠PF2F1=30°,则此椭圆的离心率为( ).A. B.-1 C. D.答案:B9.设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过其焦点的直线交于A,B两点,则=( ).A. B.- C.3 D.-3答案:B10.已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在y轴上,焦距为8,它的一条渐近线为y=-x,则此双曲线方程为( ).A.x2-y2=96B.y2-x2=160C.x2-y2=80D.y2-x2=24答案:D11.已知F1,F2是双曲线=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( ).A.4+2B.-1C. D.+1答案:D12.已知命题p:存在x∈(-∞,0),2x<3x;命题q:△ABC中,若sin A>sin B,则A>B,则下列命题中为真命题的是( ).A.p且qB.p或(┐q)C.(┐p)且qD.p且(┐q)答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.命题:“若ab不为零,则a,b都不为零”的逆否命题是.答案:若a,b至少有一个为零,则ab=014.已知点P在曲线(y-2)2=16(2-x)上运动,点Q与点P关于点(1,1)对称,则点Q的轨迹方程为.答案:y2=16x15.已知F1,F2为双曲线=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足|PF1||PF2|=32,则∠F 1PF2=.答案:90°16.有下列命题:①双曲线=1与椭圆+y2=1有相同的焦点;②“-<x<0”是“2x2-5x-3<0”必要不充分条件;③若a,b共线,则a,b所在的直线平行;④若a,b,c三向量两两共面,则a,b,c三向量一定也共面;⑤∀x∈R,x2-3x+3≠0.其中是真命题的有:.(填正确命题的序号)答案:①⑤三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)已知a>0,且a≠1,设命题p:函数y=log a(x+1)在x∈(0,+∞)内单调递减;q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点,如果p和q有且只有一个为真命题,求a 的取值范围.解:当0<a<1时,函数y=log a(x+1)在(0,+∞)内单调递减;当a>1时,y=log a(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减;曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点,等价于(2a-3)2-4>0,即a<或a>.(1)若p真且q假,即y=log a(x+1)在(0,+∞)内单调递减,曲线y=x2+(2a-3)x+1与x 轴不交于不同的两点,因此a∈(0,1),且≤a<1或1<a≤,即≤a<1.(2)若p假且q真,则y=log a(x+1)在(0,+∞)上不是单调递减,曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点,因此a∈(1,+∞)且a∈,∴a>.综上所述,a的取值范围为.18.(12分)如图,椭圆C0:=1(a>b>0,a,b为常数),动圆C1:x2+y2=,b<t1<a.点A1,A2分别为C 0的左,右顶点,C1与C相交于A,B,C,D四点.(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程;(2)设动圆C2:x2+y2=与C相交于A',B',C',D'四点,其中b<t2<a,t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等,解:为定值.(1)解:设A(x1,y1),B(x1,-y1),又知A1(-a,0),A2(a,0),则直线A1A的方程为y=(x+a),①直线A2B的方程为y=(x-a).②由①②得y2=(x2-a2).③由点A(x1,y1)在椭圆C上,故=1.从而=b2,代入③得=1(x<-a,y<0).(2)解:设A'(x2,y2),由矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等,得4|x1||y1|=4|x2||y2|,故.因为点A,A'均在椭圆上, 所以b2=b2.由t1≠t2,知x1≠x2,所以=a2.从而=b2,因此=a2+b2为定值.19.(12分)在三棱柱ABC - A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长;(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.(1)解:连结AO,在△AOA1中,作OE⊥AA1于点E,因为AA1∥BB1,得OE⊥BB1,因为A 1O ⊥平面ABC,所以A 1O ⊥BC. 因为AB=AC,OB=OC,得AO ⊥BC, 所以BC ⊥平面AA 1O,所以BC ⊥OE, 所以OE ⊥平面BB 1C 1C. 又AO==1,AA 1=, 得AE=.(2)解:如图,分别以OA,OB,OA 1所在直线为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A 1(0,0,2), 由得点E 的坐标是,由(1)得平面BB 1C 1C 的法向量是, 设平面A 1B 1C 的法向量n =(x ,y ,z ), 由令y=1,得x=2,z=-1,即n =(2,1,-1),所以cos <,n >=,即平面BB 1C 1C 与平面A 1B 1C 的夹角的余弦值是.20.(12分)正方形ABCD 的顶点A ,C 在抛物线y 2=4x 上,一条对角线BD 在直线y=-x+2上. (1)求AC 所在直线的方程; (2)求正方形ABCD 的面积. 解:(1)由题意,可知AC ⊥BD.设AC 所在的直线方程为:y=2x+b, 由得4x 2+4(b-1)x+b 2=0. 设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2), ∴x 1+x 2=1-b,. ∴AC 的中点M.又M ∈BD,∴=1.∴b=-3. 经检验符合题意.∴AC 所在的直线方程为y=2x-3. (2)设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2), 由(1),得x 1+x 2=4,x 1x 2=.∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=7. ∴|x 1-x 2|=.∴|AC|=|x 1-x 2|=. ∴S 正方形ABCD =|AC|2=.∴正方形ABCD 的面积为.21.(12分)如图,矩形ABCD 所在的平面和正方形ADD 1A 1所在的平面互相垂直,AD=AA 1=1,AB=2,点E 在棱AB 上移动.(1)当E 为AB 的中点时,求点E 到平面ACD 1的距离; (2)AE 等于何值时,二面角D-EC-D 1的大小为?解:(1)由题意得AD 1=,D 1C=,AC=,. h=h.S △AEC =×1×1=S △AEC ·DD 1=. 又,∴h=,h=.点E 到平面ACD 1的距离为.(2)以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴,AA 1为z 轴建立空间直角坐标系,设E(x,0,0),则C(2,1,0),D 1(0,1,1),=(2-x,1,0),=(-2,0,1). 设平面D 1EC 的法向量为n =(1,t 1,t 2), 则n ⊥,n ⊥, 则解得∴n =(1,x-2,2).又平面DEC 的一个法向量为(0,0,1), ∵二面角D-EC-D 1的大小为, ∴cos ,解得x=2±. 又x ≤2,∴当AE=2-时,二面角D-EC-D 1的大小为.22.(14分)平面内与两定点A 1(-a,0),A 2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹,加上A 1,A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线. (1)求曲线C 的方程,并讨论C 的形状与m 值的关系.(2)当m=-1时,对应的曲线为C 1;对给定的m ∈(-1,0)∪(0,+∞),对应的曲线为C 2,设F 1,F 2是C 2的两个焦点.试问:在C 1上,是否存在点N ,使得△F 1NF 2的面积S=|m|a 2.若存在,求tan ∠F 1NF 2的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)设动点为M,其坐标为(x,y).当x ≠±a 时,由条件可得··=m. 即mx 2-y 2=ma 2(x ≠±a).又A 1(-a,0),A 2(a,0)的坐标满足mx 2-y 2=ma 2, 故依题意,曲线C 的方程为mx 2-y 2=ma 2.当m<-1时,曲线C 的方程为=1,C 是焦点在y 轴上的椭圆;当m=-1时,曲线C 的方程为x 2+y 2=a 2,C 是圆心在原点的圆; 当-1<m<0时,曲线C 的方程为=1,C 是焦点在x 轴上的椭圆; 当m>0时,曲线C 的方程为=1,C 是焦点在x 轴上的双曲线. (2)由(1)知,当m=-1时,C 1的方程为x 2+y 2=a 2;当m∈(-1,0)∪(0,+∞)时, C2的两个焦点分别为F 1(-a,0),F2(a,0).对于给定的m∈(-1,0)∪(0,+∞),C1上存在点N(x,y)(y≠0)使得S=|m|a2的充要条件是由①得0<|y0|≤a,由②得|y|= .当0<≤a,即≤m<0,或0<m≤时,存在点N,使S=|m|a2; 当>a,即-1<m<,或m>时,不存在满足条件的点N.当m∈时,由=(-a-x0,-y),=(a-x,-y),可得·-(1+m)a2+=-ma2.令||=r1,||=r2,∠F1NF2=θ.则由·=r1r2cosθ=-ma2,可得r1r2=-,从而S=r1r2sinθ=-=-ma2tanθ,于是由S=|m|a2,可得-ma2tanθ=|m|a2,即tanθ=-.综上可得:当m∈时,在C1上存在点N,使得S=|m|a2,且tan∠F1NF2=2;当m∈时,在C1上存在点N,使得S=|m|a2,且tan∠F1NF2=-2;当m∈时,在C1上不存在满足条件的点N.。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作综合测评(B)(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题中,真命题是( ).A.∃x∈R,≤0B.∀x∈R,2x>x2C.a+b=0的充要条件是=-1D.a>1,b>1是ab>1的充分条件答案:D解析:∵a>1>0,b>1>0,∴由不等式的性质得ab>1,即a>1,b>1⇒ab>1.2.已知命题p:∀x∈R,x2-x+>0,则┐p为( ).A.∀x∈R,x2-x+≤0B.∃x∈R,x2-x+≤0C.∃x∈R,x2-x+>0D.∀x∈R,x2-x+≥0答案:B3.双曲线=1的焦距是( ).A.4B.2C.8D.与m有关答案:C解析:依题意a2=m2+12,b2=4-m2,所以c==4.所以焦距2c=8.4.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若2a-b与b垂直,则|a|等于( ).A. B. C. D.答案:D解析:由已知可得2a-b=(2,2n,4)-(-2,1,2)=(4,2n-1,2).又(2a-b)⊥b,∴-8+2n-1+4=0.∴2n=5,n=.∴|a|=.5.椭圆=1上一点到两焦点的距离分别为d1,d2,焦距为2c,若d1,2c,d2成等差数列,则椭圆的离心率为( ).A. B. C. D.答案:A解析:依题意d1+d2=2a.而d1,2c,d2成等差数列,所以d1+d2=4c.而2a=4c,所以e=.6.对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,有如下关系:6+2+3,则( ).A.四点O,A,B,C必共面B.四点P,A,B,C必共面C.四点O,P,B,C必共面D.五点O,P,A,B,C必共面答案:B解析:由已知得,而=1,∴四点P,A,B,C共面.7.若命题“∃x∈R,使x2+(a-1)x+1<0”是假命题,则实数a的取值范围为( ).A.1≤a≤3B.-1≤a≤3C.-3≤a≤3D.-1≤a≤1答案:B解析:根据题意可得∀x∈R,都有x2+(a-1)x+1≥0,∴Δ=(a-1)2-4≤0,∴-1≤a≤3.8.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( ).A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2答案:B解析:∵y2=2px的焦点坐标为,∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p.∴=p=2.∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.9.如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足,则||2的值为( ).A. B.2 C. D.答案:D解析:由题可知||=1,||=1,||=.<>=45°,<>=45°,<>=60°.∴||2==···+2-×1×1×+1×-1×.10.已知命题p:“若a>b>0,则lo a<lo b+1”,则命题p的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( ).A.0B.1C.2D.4答案:B解析:对于命题p,当a>b>0时,有lo a<lo b,则必有lo a<lo b+1,因此原命题正确,逆否命题也正确;但当lo a<lo b+1时,得lo a<lo,得a>>0,不一定有a>b>0,因此逆命题不正确,故否命题也不正确,故选B.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为( ).A. B. C. D.答案:C解析:建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A 1(1,0,1),B(1,1,0),C 1(0,1,1). ∴=(1,0,1),=(1,1,0),=(-1,0,1). 设平面A 1BD 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则n ·=0,n ·=0.∴令x=1,则n =(1,-1,-1), ∴cos <n ,>=.∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为. ∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为.12.过M(-2,0)的直线m 与椭圆+y 2=1交于P 1,P 2两点,线段P 1P 2的中点为P,设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0),直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为( ). A .2 B .-2 C . D .- 答案:D解析:设直线m:y=k 1(x+2),代入+y 2=1得:x 2+2(x+2)2-2=0,整理,得(1+2)x 2+8x+8-2=0,Δ=(8)2-4(1+2)(8-2)>0,解得.设P 1P 2的中点P(x 0,y 0),则x 0=,y 0=k 1(x 0+2)=.∴k 2=-.∴k 1k 2=-.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.在四面体OABC 中,=a ,=b ,=c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则= .(用a ,b ,c 表示)答案:a +b +c 解析:)==a +b +c .14.命题p :若a ,b ∈R ,则ab=0是a=0的充分条件,命题q :函数y=的定义域是[3,+∞),则“p ∨q”“p ∧q”“┐p”中是真命题的有 .答案:p ∨q,┐p解析:依题意可知p 假,q 真,所以“p∨q”为真,“p∧q”为假,“┐p”为真. 15.设F 1,F 2是椭圆=1的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF 1|-|PF 2|=1,则cos ∠F 1PF 2= . 答案:解析:椭圆焦点在y 轴上,a 2=4,b 2=3,c=1,又P 在椭圆上,所以|PF 1|+|PF 2|=4,因为|PF 1|-|PF 2|=1,所以|PF 1|=,|PF 2|=.又|F 1F 2|=2c=2,所以cos ∠F 1PF 2=.16.如图,已知A(-3p,0)(p>0),B,C 两点分别在y 轴和x 轴上运动,并且满足=0,,则动点Q 的轨迹方程为 .答案:y2=4px(p>0)解析:设Q(x,y),因为,所以B.又A(-3p,0),所以.由已知·=0,所以3px-y2=0,即y2=4px(p>0).三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)已知命题p:不等式|x-1|>m-1的解集为R,命题q:f(x)=-(5-2m)x是减函数,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.解:由于不等式|x-1|>m-1的解集为R,所以m-1<0,m<1;因为f(x)=-(5-2m)x是减函数,所以5-2m>1,m<2.即命题p:m<1,命题q:m<2.因为p或q为真,p且q为假,所以p和q中一真一假.当p真q假时应有m无解.当p假q真时应有1≤m<2.故实数m的取值范围是1≤m<2.18.(12分)已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c.求:(1)a,b,c;(2)(a+c)与(b+c)所成角的余弦值.解:(1)因为a∥b,所以,解得x=2,y=-4,这时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).(2)由(1)得(a+c)=(5,2,3),(b+c)=(1,-6,1),因此(a+c)与(b+c)所成角的余弦值为cosθ==-.19.(12分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且a2=2b.(1)求椭圆的方程;(2)若直线l:x-y+m=0与椭圆交于A,B两点,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值. 解:(1)由题意得解得所以b2=a2-c2=1,故椭圆的方程为x2+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x,y).联立直线与椭圆的方程得即3x2+2mx+m2-2=0,所以x0==-,y=x+m=,即M.又因为M点在圆x2+y2=5上,所以=5,解得m=±3.20.(12分)如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点.(1)解:直线MN∥平面OCD;(2)求异面直线AB与MD所成的角的大小.解:作AP ⊥CD 于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),P,D,O(0,0,2),M(0,0,1),N. (1),设平面OCD 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则n ·=0,n ·=0,即 取z=,解得n =(0,4,). ∴·n =·(0,4,)=0.又MN ⊄平面OCD,∴MN ∥平面OCD.(2)设异面直线AB 与MD 所成的角为θ, ∵=(1,0,0),, ∴cos θ=.∴θ=,即异面直线AB 与MD 所成的角的大小为.21.(12分)如图,椭圆E:=1(a>b>0)的左焦点为F 1,右焦点为F 2,离心率e=.过F 1的直线交椭圆于A,B 两点,且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程;(2)设动直线l:y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ 为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.解法一:(1)因为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=8,即|AF 1|+|F 1B|+|AF 2|+|BF 2|=8, 又|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a, 所以4a=8,a=2.又因为e=,即,所以c=1. 所以b=.故椭圆E 的方程是=1.(2)由得(4k 2+3)x 2+8kmx+4m 2-12=0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P(x 0,y 0),所以m ≠0且Δ=0, 即64k 2m 2-4(4k 2+3)(4m 2-12)=0,化简得4k 2-m 2+3=0.(*) 此时x 0=-=-,y 0=kx 0+m=, 所以P.由得Q(4,4k+m).假设平面内存在定点M 满足条件,由图形对称性知,点M 必在x 轴上. 设M(x 1,0),则·=0对满足(*)式的m,k 恒成立. 因为=(4-x 1,4k+m), 由·=0,得--4x1++3=0,整理,得(4x1-4)-4x1+3=0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m,k恒成立,所以解得x1=1.故存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M. 解法二:(1)同解法一.(2)由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y),所以m≠0且Δ=0,即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0, 化简得4k2-m2+3=0.(*)此时x0=-=-,y=kx+m=,所以P.由得Q(4,4k+m).假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上.取k=0,m=,此时P(0,),Q(4,),以PQ为直径的圆为(x-2)2+(y-)2=4,交x轴于点M 1(1,0),M2(3,0);取k=-,m=2,此时P,Q(4,0),以PQ为直径的圆为,交x轴于点M 3(1,0),M4(4,0).所以若符合条件的点M存在,则点M的坐标必为(1,0).以下证明M(1,0)就是满足条件的点:因为M的坐标为(1,0),所以=(3,4k+m),从而·=--3++3=0,故恒有,即存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.22.(14分)如图,在四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,CD=,AB=AC.(1)证明AD⊥CE;(2)设CE与平面ABE所成的角为45°,求二面角C-AD-E的余弦值.(1)解:作AO⊥BC,垂足为O,则AO⊥底面BCDE,且O为BC的中点.以O为坐标原点,射线OC为x轴正方向,建立如图①所示的直角坐标系Oxyz.①设A(0,0,t).由已知条件知C(1,0,0),D(1,,0),E(-1,,0),=(-2,,0),=(1,,-t),所以·=0,得AD⊥CE.(2)解:作CF⊥AB,垂足为F,连结FE,如图②所示.②设F(x,0,z),则=(x-1,0,z),=(0,,0),·=0,故CF⊥BE.又AB∩BE=B,所以CF⊥平面ABE,故∠CEF是CE与平面ABE所成的角,∠CEF=45°.由CE=,得CF=.又CB=2,所以∠FBC=60°,所以△ABC为等边三角形,因此A(0,0,).作CG⊥AD,垂足为G,连结GE.在Rt△ACD中,求得|AG|=|AD|.故G,.又=(1,,-),·=0,·=0,所以的夹角等于二面角C-AD-E的平面角.故二面角C-AD-E的余弦值cos<>==-.。

新课标人教A 版选修2-1期末综合测试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列语句中是命题的是 ( )A.周期函数的和是周期函数吗?B.sin45°=1C.x 2+2x-1>0D.梯形是不是平面图形呢?2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是 ( )A.y 2=-8xB.y 2=8xC.y 2=-4xD.y 2=4x 3.已知空间向量b a ,,则0,=b a 是b a ⊥的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要4.设x,y ∈R,向量)0,4,2(),0,,1(),10,(-===c y b x a 且,//,c b c a ⊥,则|b a +|=( )A.5B.10C.52D.105.若命题p 的逆命题是q,命题q 的否命题是x,则x 是p 的 ( )A.原命题B.逆命题C.否命题D.逆否命题6.方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是 ( ) A.-16<m<25 B.-16<m< C.<m<25 D.m>7.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则AC 与AB 的夹角为 ( )A.30°B.45°C.60°D.90°8.已知下列四个命题:①“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题; ②“正方形是菱形”的否命题;③“若ac 2>bc 2,则a>b ”的逆命题; ④若“m>2,则不等式x 2-2x+m>0的解集为R ”.其中真命题的个数为 ( )A.0B.1C.2D.3 9.如图,E 为正方体的棱AA 1的中点,F 为棱AB 上的一点,且∠C 1EF=90°,则AF ∶FB= ( )A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.1∶410.在△ABC 中，AB=2，AC=3，1=⋅AC AB ，则BC=（ ）(A)3 (B)7 (C)22 (D)2311.过点P(-4,0)的直线l 与曲线C:x 2+2y 2=4交于A,B 两点;则AB 中点Q 的轨迹方程为 ( )A.(x+2)2+2y 2=4B.(x+2)2+2y 2=4(-1<x ≤0)C.x 2+2(y+2)2=4D.x 2+2(y+2)2=4(-1<x ≤0) 12.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x ,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M,N 两 点,O 为坐标原点,若OM ⊥ON,则双曲线的离心率为 ( )A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.已知抛物线x 2=4y 上一点P 到焦点F 的距离是5,则点P 的横坐标是 .14.已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=AA 1=1,则直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为 . 15.椭圆14922=+y x 的两个焦点为F 1,F 2,点P 为其上的动点,当∠F 1PF 2为钝角时,点P 横坐标的取 值范围是 .16.有下列命题:①双曲线192522=-y x 与椭圆13522=+y x 有相同的焦点; ②“-<x<0”是“2x 2-5x-3<0”的必要不充分条件;③若b a ,共线,则b a ,所在的直线平行;④若c b a ,,三向量两两共面,则c b a ,,三向量一定也共面;⑤∀x ∈R,x 2-3x+3≠0. 其中是真命题的有: .(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题17.(10分)已知三点P(5,2),F 1(-6,0),F 2(6,0).(1)求以F 1,F 2为焦点且过点P 的椭圆的标准方程.(2)设点P,F 1,F 2关于直线y=x 的对称点分别为P ',21,F F '',求以21,F F ''为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.18.(12分)如图,已知长方体ABCD-D C B A ''''的边长为AB=12,AD=8,5='A A .以这个长方体的顶点A 为坐标原点,射线AB,AD,AA ′分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,(1)求长方体顶点C ′的坐标.(2)计算A,C ′两点间的距离.19.(12分)设命题p:实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,其中a>0;命题q:实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0820622x x x x (1)若a=1,且p ∧q 为真,求实数x 的取值范围.(2)若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.20.已知直线y=-2上有一个动点Q ，过点Q 作直线1l 垂直于x 轴，动点P 在1l 上，且满足OP ⊥ OQ(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C.(1)求曲线C 的方程.(2)若直线2l 是曲线C 的一条切线，当点(0，2)到直线2l 的距离最短时，求直线2l 的方程.21.如图所示,正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E 为AB 的中点.(1)求证:BD 1∥平面A 1DE.(2)求证:D 1E ⊥A 1D.(3)在线段AB 上是否存在点M,使二面角D 1-MC-D 的大小为?若存在,求出AM 的长;若不存在,请说明理由. 22.(12分)已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x ,左焦点)0,3(-F ,且离心率23=e , (1)求椭圆C 的方程.(2)若直线l :y=kx+m(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M,N(M,N 不是左、右顶点),且以MN 为直径的 圆经过椭圆C 的右顶点A.求证:直线l 过定点,并求出定点的坐标.新课标人教A 版选修2-1期末综合测试题参考答案1选B.只有B 是可以判断真假的陈述句.2.B.因为抛物线的准线方程为x=-2,所以抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为y 2=2px(p>0), 则其准线方程为x=-,所以-=-2,解得p=4.所以抛物线的标准方程为y 2=8x.3. 选B.因为向量a ,b 中有可能为零向量,所以a ·b =0时,推不出a ⊥b .若a ⊥b ,所以a ·b =0,所 以a ·b =0是a ⊥b 的必要不充分条件.4.选B.因为a ⊥c ,所以2x-4=0,解得x=2,又b ∥c ,所以2y+4=0,所以y=-2,所以a +b =(x+1,1+y,0)=(3,-1,0), 所以|a +b |=10,选B.5.选D.根据四种命题的关系知,命题x 是p 的逆否命题.6.选C.根据题意知16+m>25-m>0,解得<m<25.7.选C.=AB (0,3,3),=AC (-1,1,0).设<AC AB ,,>=θ,则cos θ===,21题所以θ=60°.8.选B.①假,应该把且改为或;②其否命题为若一个四边形不是正方形则也不是菱形,假;③其逆命题为若a>b,则ac 2>bc 2,若c=0时取等号,假,④为真.9.选C.以点D 为原点,建立直角坐标系.设该正方体的棱长为2a,则点E(2a,0,a),C 1(0,2a,2a),设F(2a,y,0),则=E C 1(2a,-2a,-a),=FE (0,-y,a),由已知:01=⋅FE E C ,所以2ay-a 2=0,即y=.即:AF=,FB=,所以AF ∶FB=1∶3.10. 选B.如图共有区域为矩形ABCD.又双曲线12222=-by a x 中a<b, 且1<e=<5,所以有1<<5,即a,b 满足关系式为⎪⎩⎪⎨⎧>><<0,02b a a b b a其对应区域为图形中阴影区域A(1,2),E(2,2),F(5,5),G(3,6),故P==.11.选B.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),Q(x,y),则x 1+x 2=2x,y 1+y 2=2y,⇒-=-2(-) ⇒=-⇒k AB =-⇒k PQ ==-⇒(x+2)2+2y 2=4, AB 中点Q 的轨迹方程为(x+2)2+2y 2=4(-1<x ≤0).12. 选D.由题意知三角形OMN 为等腰直角三角形,所以|MF|=|OF|=c,所以点M(c,c),代入双曲线方程-=1,当x=c 时,-=1,得|y|=,所以由|y|==c,得b 2=ac,即c 2-a 2=ac,c 2-ac-a 2=0,所以e 2-e-1=0,解得离心率e=,选D. 13.由抛物线的定义可知PF=PP 1=5,又准线方程为y=-1,所以P 点纵坐标为4.代入抛物线x 2=4y, 得x=±4.答案:±414.以点D 为原点,建立直角坐标系.则A(1,0,0),B(1,2,0),D 1(0,0,1).因为AB ⊥平面BCC 1B 1,所以AB 为平面BCC 1B 1的法向量. 10题设直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角为θ,则有sin θ= |cos<1,BD AB >|===.答案: 15、不妨设|PF 1|>|PF 2|,则|PF 1|-|PF 2|=2a,|PF 1|+|PF 2|=6a,得|PF 1|=4a, |PF 2|=2a,|F 1F 2|=2c,则在△PF 1F 2中,∠PF 1F 2=30°,由余弦定理得(2a)2=(4a)2+(2c)2-2·4a ·2c ·cos30°,整理得(e-3)2=0,所以e=3.答案:3 16、①中的两曲线的焦点均为(±34,0),正确;对于②不等式2x 2-5x-3<0的解集为-<x<3,所以不正确;③中a ,b 所在的直线也可能重合;④举反例如空间直角坐标系中x,y,z 轴的方向向量;⑤∀x ∈R,x 2-3x+3=(x-)2+>0,正确.答案:①⑤三、解答题17.解析：(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0), 其半焦距c=6,2a=|PF 1|+|PF 2|=56212112222=+++,所以a=3,b 2=a 2-c 2=9. 所以所求椭圆的标准方程为+=1.(2)点P(5,2),F 1(-6,0),F 2(6,0)关于直线y=x 的对称点分别为点P ′(2,5),F ′1(0,-6),F ′2(0,6).设所求双曲线的标准方程为-=1(a 1>0,b 1>0),由题意知,半焦距c 1=6,2112F P F P a ''-''==54212112222=+-+.a 1=2,=-=36-20=16.所以所求双曲线的标准方程为-=1. 18.【解析】(1)因为AB=12,AD=8,AA ′=5,点A 在坐标原点,即A(0,0,0),且B,D,A ′分别在x 轴、 y 轴、z 轴上,所以它们的坐标分别为B(12,0,0),D(0,8,0),A ′(0,0,5).点C,B ′,D ′分别在 xOy 平面、zOx 平面和yOz 平面内,坐标分别为C(12,8,0),B ′(12,0,5),D ′(0,8,5).点C ′在 三条坐标轴上的射影分别是点B,D,A ′,故点C ′的坐标为(12,8,5).(2)由空间两点间的距离公式得AC ′2335812222=++=,即A,C ′两点间的距离为233. 19. 解析:(1)由x 2-4ax+3a 2<0得(x-3a)(x-a)<0,又a>0,所以a<x<3a,当a=1时,1<x<3,即p 为真时实数x 的取值范围是1<x<3.由⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0820622x x x x 得2<x ≤3,即q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真,则p 真且q 真,所以实数x 的取值范围是2<x<3. (2)p 是q 的充分不必要条件,即p ⇒q,且q ⇒p, 设A={x|p},B={x|q},则A ÜB,又A={x|p}={x|x ≤a 或x ≥3a},B={x|q}={x ≤2或x>3},则0<a ≤2,且3a>3,所以实数a 的取值范围是1<a ≤220. 解析：(1)设点P 的坐标为(x,y)，则点Q 的坐标为(x,-2).∵OP ⊥OQ,∴当x=0时，P,O,Q 三点共线，不符合题意，故x ≠0.当x ≠0时， 得k OP ·k OQ =-1,即y 21x x -=-g，化简得x 2=2y ， ∴曲线C 的方程为x 2=2y(x ≠0).(2)∵直线l 2与曲线C 相切，∴直线l 2的斜率存在.设直线l 2的方程为y=kx+b, 由2y kx b,x 2y,=+⎧⎨=⎩得x 2-2kx-2b=0. ∵直线l 2与曲线C 相切，∴Δ=4k 2+8b=0，即2k b .2=- 点(0，2)到直线l 2的距离2222b 1d 2k 1k 1-+==++g 2222113(k 1)2k 1 3.22k 1k 1=++≥⨯+=++g 当且仅当22k 1,k 2k 1+==±+即时，等号成立.此时b=-1.21. 解析:由题意可得D 1D ⊥平面ABCD,以点D 为原点,DA,DC,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,2,0),A 1(1,0,1),D 1(0,0,1),B(1,2,0),E(1,1,0).(1)1DA =(1,0,1),DE =(1,1,0),设平面A 1DE 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1), 则111DA 0DE 0⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u r g u u u r g ，，n n 得⎩⎨⎧=+=+001111y x z x 取x 1=1,则n 1=(1,-1,-1)是平面A 1DE 的一个法向量,又1BD =(-1,-2,1),且1BD ·n 1=(-1,-2,1)·(1,-1,-1)=0, 故1BD ⊥n 1,又BD 1⊄平面A 1DE.故BD 1∥平面A 1DE.(2)由题意得E D 1=(1,1,-1),1DA =(1,0,1), E D 1·1DA =(1,1,-1)·(1,0,1)=0,E D 1⊥1DA ,故D 1E ⊥A 1D.(3)设M(1,y 0,0)(0≤y 0≤2),因为MC =(-1,2-y 0,0),C D 1=(0,2,-1),设平面D 1MC 的法向量为v 1=(x,y,z),则111MC 0D C 0⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u u r g ，，v v 得⎩⎨⎧=-=-+-020)2(0z y y y x 取y=1,则v 1=(2-y 0,1,2)是平面D 1MC 的一个法向量,而平面MCD 的一个法向量为v 2=(0,0,1),要使二面角D 1-MC-D 的大小为,则cos =|cos<v 1,v 2>|=1212||g g v v v v ==, 解得y 0=2-(0≤y 0≤2)当AM=2-时,二面角D 1-MC-D 的大小为.22.解析:(1)由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222233c b a a c e c ,解得a=2,b=1, 所以椭圆的方程为+y 2=1. (2)由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0, Δ=(8km)2-4(1+4k 2)(4m 2-4)>0, 整理得4k 2-m 2+1>0,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2) 则x 1+x 2=-,x 1x 2=, 由已知,AM ⊥AN 且椭圆的右顶点为A(2,0),所以(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=0, y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2, 即(1+k 2)x 1x 2+(km-2)(x 1+x 2)+m 2+4=0, 即(1+k 2)·+(km-2)·+m 2+4=0. 整理得5m 2+16mk+12k 2=0, 解得m=-2k 或m=-均满足4k 2-m 2+1>0. 当m=-2k 时,直线l 的方程为y=kx-2k,过定点(2,0),与题意矛盾舍去, 当m=-时,直线l 的方程为y=k(x-),过定点(,0),故直线l 过定点,且定点的坐标为(,0).。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学选修2-1综合测试卷B （含答案）一、选择题1．平面α 外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α 内的射影分别是m ＇和n ＇，给出下列四个命题：①m ＇⊥n ＇⇒m ⊥n ；②m ⊥n ⇒m ＇⊥n ＇；③m ＇与n ＇相交⇒m 与n 相交或重合；④m ＇与n ＇平行⇒m 与n 平行或重合，其中不正确的命题个数是( ) (A)1(B)2(C)3(D)42．抛物线y 2＝4x 上的点A 到其焦点的距离是6，则点A 的横坐标是( ) (A)5(B)6(C)7(D)83．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，则双曲线12222=-by a x 的离心率为( )(A)45(B)25 (C)23 (D)45 4．若向量(1，0，z )与向量(2，1，2)的夹角的余弦值为32，则z 等于( ) (A)0(B)1(C)－1(D)25．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，CC 1的中点，P 为AD 上一动点，记α 为异面直线PM 与D 1N 所成的角，则α 的取值范围是( )(A)}2π{(B)}2π6π|{≤≤αα(C)}2π4π|{≤≤αα(D)}2π3π|{≤≤αα 6．已知α 是三角形的一个内角，且51cos sin =+αα，则方程x 2sin α －y 2cos α ＝1表示( ) (A)焦点在x 轴上的双曲线 (B)焦点在y 轴上的双曲线 (C)焦点在x 轴上的椭圆(D)焦点在y 轴上的椭圆7．如图，在正四棱锥P －ABCD 中，23=PA AB ，E 是AB 的中点，G 是△PCD 的重心，则在平面PCD 内过G 点且与PE 垂直的直线有( )(A)0条 (B)1条 (C)2条(D)无数条8．设p ：f (x )＝e x ＋ln x ＋2x 2＋mx ＋1在(0，＋∞)内单调递增，q ：m ≥－5，则p 是q 的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件9．已知A (4，1，3)，B (2，3，1)，C (3，7，－5)，点P (x ，－1，3)在平面ABC 内，则x 的值为( ) (A)－4(B)1(C)10(D)1110．命题p ：函数1)6π2sin()(+-=x x f 满足)3π()3π(x f x f -=+，命题q ：函数g (x )＝sin(2x ＋θ )＋1可能是奇函数(θ 为常数)．则复合命题“p 或q ”“p 且q ”“非q ”为真命题的个数为( ) (A)0(B)1(C)2(D)311．如图所示，已知正四面体A －BCD 中，AE ＝41AB ，CF ＝41CD 则直线DE 和BF 所成角的余弦值为( )(A)134 (B)133 (C)134-(D)133-12．设抛物线y 3＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) (A)]21,21[- (B)[－2，2] (C)[－1，1] (D)[－4，4]二、填空题13．已知空间四边形OABC ，如图所示，其对角线为OB ，A C ．M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基向量OC OB OA ,,表示向量OG ，并设OC z OB y OA x OG ++=，则x ，y ，z 之和为______．14．已知椭圆x 2＋2y 2＝12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3144，则点A 的坐标是______． 15．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则BE 与平面B 1BD 所成角的余弦值为______．16．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为______．三、解答题17．设命题p ：函数xxa x f -+=1ln)(是奇函数，命题q ：集合A ＝{x ‖x ｜≤1，x ∈R }，B ＝{x ｜｜x ＋2a ｜≥a ，a ＞0}满足A ⊆B ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．18．如图，棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E ，F ，G 分别是DD 1，BD ，BB 1的中点．(1)求证：EF ⊥CF ；(2)求EF 与CG 所成角的余弦值； (3)求CE 的长．19．在直角坐标平面上给定一曲线y 2＝2x ．设点A 的坐标为)0,32(，求曲线上距点A 最近的点P 的坐标及相应的距离｜P A ｜．20．已知椭圆12550:22=+y x D 与圆M ：x 2＋(y －m )2＝9(m ∈R )，双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切．当m ＝5时，求双曲线G 的方程．21．如图，四面体P－ABC中，P A，PB，PC两两垂直，P A＝PB＝2，PC＝4，E是AB的中点，F是OE的中点．(1)建立合适的直角坐标系，写出B，C，E，F的坐标；(2)求BF与底面ABP所成的角的余弦值．22．如图，曲线G的方程为y2＝2x(y≥0)，以原点为圆心，以t(t＞0)为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴交于点A与点B．直线AB与x轴相交于点C．(1)求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；(2)设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值．参考答案一、选择题 1．D 2．A 3．B 4．A5．A 点拨：取C 1D 1中点E ，连结ME ，DE ，AM ，则四边形AMED 为矩形，PM ⊂面AMED ，可证D 1N ⊥DE ，D 1N ⊥AD ，故D 1N ⊥面AMED ，又PM ⊂面AMED ，所以D 1N ⊥PM ，故PM 与D 1N 所成角为90°．故选A ． 6．D 点拨：由sin α＋cos α＝51，得1＋sin2α＝251，所以sin2α＝2524-，所以2π2π<<α，所以π2π<<α，所以sin α ＞0，cos α ＜0，－cos α ＞0，因此方程1cos 1sin 122=-+ααy x 表示椭圆．又由sin α+αcos ＝51 知，sin α ＞｜cos α ｜，所以4π32π<<α，所以sin α ＞－cos α ＞0，所以ααcos 1sin 1-<,所以椭圆的焦点在y 轴上．应选D ． 7．D 点拨：取CD 的中点F ，设AB ＝1，则PE ＝PF ＝22，EF ＝1，所以PE ⊥PF ．又PE ⊥DC ，DC ∩PF ＝F ，所以PE ⊥平面PCD ． 8．A 点拨：p 中041e )(≥+++='m x x x f x在(0，＋∞)上恒成立．m ≥－(x xx41e ++)，设a ＝x xx41e ++54e >+≥x 则－a ＜－5．所以m ≥－a ，所以{m ｜m ≥－a }{m ｜m ≥－5}，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A ．9．D 点拨：因为A (4，1，3)，B (2，3，1)，C (3，7，－5)，P (x ，－1，3)，所以AP ＝(x －4，－2，0)AB (－2，2，－2)AC (－1，6，－8)由于点P 在平面ABC 内，所以P ，A ，B ，C 四点共面．所以AP ，AB ，AC 三个向量共面．故由共面向量定理，知存在有序实数对(m ，n )，使AP ＝m AB ＋n AC 即(x －4，－2，0)＝m (－2，2，－2)＋n (－1，6，－8)，所以⎪⎩⎪⎨⎧--=+=---=-n m n m n m x 820622,24解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=.11,1,4x n m 所以选D ．10．C 点拨：1)6π2s i n ()(+-=x x f 的一条对称轴是直线3π=x ，则f (x )满足)3π()3π(x f x f -=+，故命题p 为真命题；g (x )＝sin(2x ＋θ )＋1不可能是奇函数，命题q 为假命题，则“p 或q ”“非q ”均为真命题，故选C ． 11．A 点拨: CD Br CF BC BF h A BA AD EA ED 41,41+=+=+=+=， >=<BF ED ,cos 134)41()41()41()41(||||22=+++⋅+=⋅CD BC AD BA CD BC AD BA BF ED BF ED ． 12．C 点拨：抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，则Q 的坐标为(－2，0)，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)与抛物线方程联立得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，①，当k ＝0时，l 即为x 轴，与抛物线只有一个交点(0，0)；②当k ≠0时，要使直线l 与抛物线只有一个公共点，需∆＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝0，解得k ＝±1．所以k 的取值范围是[－1，1]． 二、填空题 13．65 点拨：)2121(32213221CB OC OA OA MN OA MG OM OG ++-+=+=+=OA 21=OC OB OA OC OB OC OA 31316131313231++=-++-.所以,31,61==y x 31=z ．所以65=++z y x ． 14．(2，0) 点拨：设A (x 0，0)(x 0＞0)，则直线l 的方程为y ＝x －x 0，设直线l 与椭圆相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，由y ＝x －x 0可得3x 2－4x 0x ＋220x －12＝0，由根与系数的关系，有3122,342021021-==+⋅x x x x x x ，则|x 1－x 2|＝=-+212214)(x x x x22020236323488916x x x -=--．所以||13144212x x k -⋅+=，即=3144 322⋅·2236x -．所以420=x .又x 0>0，所以x 0＝2，所以A (2，0)．15．515点拨：如图所示建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则D (0，0，0)，B (2，2，0)，B 1(2，2，2)，E (0，2，1)，BD (－2，－2，0)，1BB (0，0，2)，BE (－2，0，1)．设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，因为n BD ⊥，n 1BB ⊥所以⎪⎩⎪⎨⎧===--=⋅⋅,02,0221z BB y x BD n n所以⎩⎨⎧=-=.0,z y x 令1=y ，则n ＝(－1，1，0)，510||||,cos =⋅>=<BE BE BE n n n ， 设BE 与平面B 1BD 所成角为θ ，则515,sin cos >=<=BE n θ， 即BE 与平面B 1BD 所成角的余弦值为515． 16．112422=-y x三、解答题17．解：函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0．所以01ln 1ln=+-+-+x x a x x a ，解得a ＝±1．当a ＝1时，应满足011>-+xx，得－1＜x ＜1，此时函数f (x )为奇函数；当a ＝－1时，应满足011>-+-xx，不等式无解．故a ＝－1舍去．综上知，a ＝1时，f (x )为奇函数，因为A ＝{x ｜－x ≤x ≤1，x ∈R }，B ＝{x ｜x ≤－3a 或x ≥－a }且A ⊆B (a ＞0)，所以－a ≤－1，即当a ≥1时，A ⊆B ．若p 正确，q 不正确，这样的a 不存在．若p 不正确，q 正确，则a ＞1，故a ＞1时，p 和q 有且仅有一个正确．18．(1)证明：建立如图所示的空间直有坐标系Dxyz ，则D (0，0，0)，E (0，0，21)，C (0，1，0)，F (21，21，0)，G(1，1，21) 所以EF ＝(21，21，－21)，CF (21，－21，0)，CG (1，0，21)，CE (0，－1，21)．因为CF EF ⋅00)21()21(212121=⨯-+-⨯+⨯=，所以CF EF ⊥，即EF ⊥CF ．(2)解：因为4121)21(021121(=⨯-+⨯+⨯=⋅CF EF ， 23)21()21()21(||222=-++=EF ，25)21(01||222=++=CG ．所以151525.2341||||,cos ==⋅>=<CG EF CG EF CG EF (3)解：25)21()1(0||222=+-+=CE ．19．解：设M (x ，y )为曲线y 2＝2x 上任意一点，则=++=+-=9432)32(||2222x x y x MA 31)31(2++x 因为x ∈[0，＋∞)，当x ＝0时，9431)31(||2m i n 2=+=MA ，即32||m i n =MA ．所以距点A 最近的点P 的坐标为(0，0)，这时32||=PA ．20．解：椭圆12550:22=+y x D 的两焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5．设双曲线G 的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，则G 的渐近线方程为x aby ±=，即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25．当m ＝5时，圆心为(0，5)，半径为r ＝3．所以⇒=+3|5|22ba a a ＝3，b ＝4所以双曲线G 的方程为116922=-y x ．21．解：(1)以P A 所在直线为x 轴，PB 所在直线为y 轴，PC 所在直线为z 轴，P 为原点建立空间直角坐标系如图所示，则B 点坐标为(0，2，0)，C 点坐标为(0，0，4)，A 点坐标为(2，0，0)，因为E 为AB 中点，所以E (1，1，0)．因为F 为CE 的中点，所以)2,21,21(F ．(2)连结PE ，设G 为PE 中点，连结FG 、BG ，则21,21(G 0)．因为P A 、PB 、PC 两两互相垂直，所以PC ⊥面ABP ，因为F 、G 分别为CE 、PE 的中点，所以FG ∥PC ，所以FG ⊥面ABP ．故∠FBG 为BF 与面ABP 所成的角． 所以cos ∠FBG ＝><BG BF ,cos ，)2,23,21(-=BF ，)0,23,21(-=BG .所以26525||||,cos =>=<⋅BG BF BGBF BG BF 1365=， 即BF 与底面ABP 所成的角的余弦值为1365． 22．(1)解：由题意知，)2,(a a A ，因为｜OA ｜＝t ，所以a 2＋2a ＝t 2．由于t ＞0，故有t＝a a 22+①，由点B (0，t )，C (c ，0)的坐标知，直线BC 的方程为1=+tyc x 又因点A 在直线BC 上，故有12=+t a c a ，将①代入上式，得1)2(2=++a a a c a ，解得c ＝a ＋2＋)2(2+a ．(2)证明：因为D (a ＋2，)2(2+a )，所以直线CD 的斜率为=-++=ca a k CD 2)2(21)2(2)2(2))2(22(2)2(2-=++-=+++-++a a a a a a ，所以直线CD 的斜率为定值．马鸣风萧萧。

人教A 版选修2-1模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“a ∉A 或b ∉B ”的否定形式是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．a ∈A 或b ∈B C ．a ∉A 且b ∉BD ．a ∈A 且b ∈B2．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54B.52C.32D.544．已知空间向量a ＝(t ，1，t )，b ＝(t －2，t ，1)，则|a －b |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．45．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( ) A ．相同短轴 B ．相同长轴 C ．相同离心率D ．以上都不对6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1­AB ­C 为( )A.π3B.2π3C.3π4D.π47．命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤58．已知p ：1x ＋2<0，q ：lg(x ＋2)有意义，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9.如图1，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线，分别交抛物线的准线l 、y 轴、抛物线于A ，B ，C 三点，若AB →＝3BC →，那么直线AF 的斜率是( )图1A ．－ 3B ．－33 C ．－22D ．－110．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13 B.13 C ．±13D ．±1211．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且|AF |，4，|BF |成等差数列，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 512．若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A.55B.155C.2155 D.1520二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知空间三点的坐标为A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ＋q ＝________．14．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．15．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，若点A ，B 是该抛物线上的点，∠AFB ＝π2，线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N ，则|MN ||AB |的最大值为______.16．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．【解】 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}， 由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件．∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}． 则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12. 综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12.18. (本小题满分12分)如图2，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM→与PN →的夹角为120°，QC →²QM →＝2.图2(1)求圆C 的方程；(2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程．【解】 (1)连结CQ ，建立如图坐标系，由题意得△CQM 为正三角形．∴QC →·QM →＝r 2·cos 60°＝2， ∴r ＝2，∴圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)易知M (2，0)，N (－2，0)，Q (1，3)， 2a ＝|QN |＋|QM |＝23＋2.∴c ＝2，a ＝3＋1，b 2＝a 2－c 2＝2 3. ∴椭圆的方程为x 24＋23＋y 223＝1.19. (本小题满分12分)如图3，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M .图3(1)求证：AM ⊥PD ；(2)求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值．【解】 (1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AB .∵AB ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ，∴AB ⊥平面P AD . ∵PD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PD .∵BM ⊥PD ，AB ∩BM ＝B ，∴PD ⊥平面ABM .∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD .(2)如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (1，0，0)，C (1，2，0)，D (0，2，0)，M (0，1，1)，于是AC→＝(1，2，0)，AM →＝(0，1，1)，CD →＝(－1，0，0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AC →，n ⊥AM →可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1，于是n ＝(2，－1，1)． 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α， 则sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n |CD →||n |＝63，cos α＝33. 故直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.20. (本小题满分12分)如图4，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．图4(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值． 【解】 (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图(1)．图(1)∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD . 又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A (4k ，0，0)，C (0，6k ，0)，B 1(4k ，3k ，1)，A 1(4k ，0，1)，图(2)∴AC →＝(－4k ，6k ，0)，AB 1→＝(0，3k ，1)，AA 1→＝(0，0，1)． 设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧AC→²n ＝0，AB 1→²n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0. 取y ＝2，得n ＝(3，2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→²n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1.21. (本小题满分12分)如图5，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．图5(1)用p 表示|AB |；(2)若OA→²OB →＝－3，求这个抛物线的方程． 【解】 (1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2. ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .22. (本小题满分12分)如图6，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .图6(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．【解】 (1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2，∵点C 在椭圆上，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴169a 2＋19b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2， 则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，又F 1为(－c ，0)，kF 1C ＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c ＝b 33a 2c ＋c 3，又k AB ＝－b c ，由F 1C ⊥AB ，得b 33a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1， 即b 4＝3a 2c 2＋c 4，所以(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4，化简得e ＝c a ＝55.人教A 版选修2-1模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“a ∉A 或b ∉B ”的否定形式是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．a ∈A 或b ∈B C ．a ∉A 且b ∉BD ．a ∈A 且b ∈B【解析】 “p 或q ”的否定为“非p 且非q ”，D 正确． 【答案】 D2．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2. ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件． 【答案】 B3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54B.52C.32D.54【解析】 由题意，1－b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52.【答案】 B4．已知空间向量a ＝(t ，1，t )，b ＝(t －2，t ，1)，则|a －b |的最小值为( )A. 2B. 3C ．2D ．4【解析】 |a －b |＝2（t －1）2＋4≥2，故选C. 【答案】 C5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( ) A ．相同短轴 B ．相同长轴 C ．相同离心率D ．以上都不对【解析】 对于x 2a 2＋y 29＝1，因a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D.【答案】 D6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1­AB ­C 为( )A.π3B.2π3C.3π4D.π4【解析】 以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0，0，1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0，1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1­AB ­C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D.【答案】 D7．命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5【解析】 ∵∀x ∈[1，2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C.【答案】 C8．已知p ：1x ＋2<0，q ：lg(x ＋2)有意义，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 不等式1x ＋2<0的解集为{x |x <－2}，则綈p ：x ≥－2.q ：x >－2.故綈p ⇒/q ，q ⇒綈p ，故选C.【答案】 C9.如图1，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线，分别交抛物线的准线l 、y 轴、抛物线于A ，B ，C 三点，若AB →＝3BC →，那么直线AF 的斜率是( )图1A ．－ 3B ．－33 C ．－22D ．－1【解析】 过点B ，C 分别作准线l 的垂线，垂足分别为B 1，C 1，设|BC |＝a .因为O 是EF 的中点，BO ∥AE ，所以|AB |＝|BF |＝3a ，|CF |＝|CC 1|＝2a ，在△ACC 1中，|AC 1|＝23a ，tan ∠AFO ＝tan ∠ACC 1＝3，故直线AF 的斜率是－3，故选A.【答案】 A10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13 B.13 C ．±13D ．±12【解析】 由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C. 【答案】 C11．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且|AF |，4，|BF |成等差数列，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 5【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＝64(1＋k )>0，解得k >－1，且x 1＋x 2＝4（k ＋2）k 2.由|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋2，且|AF |，4，|BF |成等差数列，得x 1＋2＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝4，所以4（k ＋2）k 2＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2，故选C.【答案】 C12．若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A.55B.155C.2155D.1520【解析】 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知空间三点的坐标为A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ＋q ＝________．【解析】 由已知，得AC →＝kAB →，所以(p －1，－2，q ＋4)＝k (1，－1，3)，得到p ＝3，q ＝2，p ＋q ＝5.【答案】 514．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 因为命题p 为假命题，所以命题“∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0”为真命题．当a ＝0时，取x ＝－1，则不等式不成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，令ax 2＋x ＋12＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－2a <0，所以⎩⎨⎧a >0，a >12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞16．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，若点A ，B 是该抛物线上的点，∠AFB ＝π2，线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N ，则|MN ||AB |的最大值为______.【解析】 如图所示，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，则|AB |＝a 2＋b 2，而根据抛物线的定义可得|MN |＝a ＋b 2，又a ＋b2≤a 2＋b 22，所以|MN ||AB |＝a ＋b2a 2＋b2≤22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即|MN ||AB |的最大值为22.【答案】 2216．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．【解析】 如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0，0，1)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，则重心G ⎝⎛⎭⎪⎫23，23，0，因此DP →＝(0，0，1)，GP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717.【答案】 31717。

惠州市2011-2012学年第一学期高二期末考试理科数学参考解答及评分标准一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案BCACADDAA1、【解析】由全称命题的否定可得p ⌝为00,2x R x ∃∈≤，故选B 。

2、【解析】①正确 ，因为f （3）>0，f （2）<0故区间为（2，3）②错；两条直线没有公共点，可以平行或者异面③错；两条直线都和第三条直线垂直，可以平行，也可以相交，还可以异面。

3、【解析】设AD u u u r ＝λAC u u u r ，又AC u u u r ＝(0,4，－3)．则AD u u u r＝(0,4λ，－3λ)．AB u u u r ＝(4，－5,0)，BD u u u r＝(－4,4λ＋5，－3λ)，由AC BD ⋅u u u r u u u r ＝0，得λ＝－45，∴BD u u u r ＝(－4，95，125)，∴|BD u u u r |＝5.4、【解析】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到，故五班在每次抽样中被抽到的可能性都是310.5、【解析】由已知916aa c 916ab 34a b 22222=-⇒=⇒=35e 925e 2=⇒=⇒故选A 。

6、【解析】回归直线必过样本点的中心(x －，y －)，∵x －＝1.5，y －＝4，∴选D. 7、【解析】有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体， 其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。

答案：D 8、【解析】由椭圆的定义知12||||210PF PF a +==,1||6PF =,故2||4PF =。

答案： A 9、【解析】将P 点到直线l 1:x=－1的距离转化为P 到焦点F(1,0)的距离，过点F 作直线l 2垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，P 到两直线的距离之和的最小值为=2,故选A 。

章末评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是( ) A ．2a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －a ，b ＋2a C ．a ，2b ，b －c D ．c ，a ＋c ，a －c答案：C2．空间直角坐标中A (1，2，3)，B (－1，0，5)，C (3，0，4)，D (4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定 解析：因为AB →＝(－2，－2，2)，CD →＝(1，1，－1)， 又因为AB →＝－2CD →，所以AB →∥CD →，即AB ∥CD .答案：A3．已知a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12 C ．x ＝16，y ＝－32 D ．x ＝－16，y ＝32答案：C4．已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于( ) A ．－15 B ．－5 C ．－3D ．－1解析：a ＝(3，2，－1)，b ＝(1，－1，2)，所以5a ·3b ＝15a ·b ＝－15. 答案：A5．已知a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，则λ等于( ) A.32B ．－32C ．±32D ．1答案：A6．已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1，1，0) B ．(1，－1，0) C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1)解析：利用向量数量积公式的变形公式cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|求向量的夹角，各项逐一验证．选项B 中cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝1×12×2＝12，所以〈a ，b 〉＝60°.答案：B7．在平行六面体ABCD -EFGH 中，若AG →＝xAB →－2yBC →＋3zDH →，则x ＋y ＋z 等于( )A.76B.23C.56D ．1解析：AG →＝AB →＋BC →＋DH →，又AG →＝xAB →－2yBC →＋3zDH →，则x ＝1，y ＝－12，z ＝13，则x ＋y ＋z ＝1－12＋13＝56，故选C.答案：C8．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是( )A ．(1，－2，4)B ．(－4, 1，－2)C ．(2，－2，1)D ．(1，2，－2)答案：B9．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°解析：由条件知，|BA1→|＝2a ，|AC →|＝2a ，BA1→·AC →＝(AA1→－AB →)·(AB →＋AD →)＝AA1→·AB →－|AB →|2＋AA1→·AD →－AB →·AD →＝－|AB →|2－AB →·AD →＝－a 2，所以cos 〈BA1→，AC →〉＝BA1→·AC →|BA1→||AC →|＝－a22a·2a ＝－12.所以向量BA1→与AC →所成的角为120°，故选D.答案：D10．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对解析：由已知a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ，则(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，由此可得a ·b ＝32.从而cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝14.结合选项易知选D.答案：D11．如图，在正方体ABCD ­A1B 1C 1D 1中，下面结论错误的是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．向量AD →与CB1→的夹角为60°答案：D12．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°解析：由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.所以|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|3＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，所以cos 〈CA →， BD →〉＝－12，〈CA →，BD →〉＝120°，所以二面角的大小为60°.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知a ＝(2，－1，0)，b ＝(k ，0, 1)，若〈a ，b 〉＝120°，则k ＝________．解析：因为cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝2k 5×k2＋1＝－12＜0，所以k ＜0，且k 2＝511.所以k ＝－5511.答案：－551114．已知a ＝(x ，2，－4)，b ＝(－1，y ，3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________．答案：(－64，－26，－17)15．非零向量e 1，e 2不共线，使ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线的k 的值是________．解析：若ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线，则ke 1＋e 2＝λ(e 1＋ke 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1，所以k ＝±1.答案：±116．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0， B (0，1，0)，B 1(0，1，1)，C 1(0，0，1)，则C1A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1，C1B1→＝(0，1，0)，C1B →＝(0，1，－1)，设平面ABC 1的法向量为n ＝(x ，y ，1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧C1A →·n＝0，C1B →·n＝0.解得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1，1，则d ＝|C1B1→·n||n|＝113＋1＋1＝217. 答案：217三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知四边形ABCD 的顶点分别是A (3，－1，2)，B (1，2，－1)，C (－1，1，－3)，D (3，－5，3)．求证：四边形ABCD 是一个梯形．证明：因为AB →＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，CD →＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，因为－24＝3－6＝－36，所以AB →和CD →共线，即AB ∥CD .又因为AD →＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，BC →＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，因为0－2≠－4－1≠1－2，所以AD →与BC →不平行，所以四边形ABCD 为梯形．18．(本小题满分12分)已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．解：a ＝AB →＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)， b ＝AC →＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)．(1)cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010，所以a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)ka ＋b ＝(k ，k ，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，ka －2b ＝(k ，k ，0)－(－2，0，4)＝(k ＋2，k ，－4)，所以(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0，所以k ＝－52或k ＝2.19．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)证明：AC ⊥BC 1；(2)求二面角C 1­AB ­C 的余弦值大小．解：直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，故AC ，BC ，CC 1两两垂直，建立空间直角坐标系(如图)，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)，B 1(0，4，4)．(1)证明：AC →＝(－3，0，0)，BC1→＝(0，－4，4)， 所以AC →·BC1→＝0.故AC ⊥BC 1.(2)解：平面ABC 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，设平面C 1AB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，AC1→＝(－3，0，4)，AB →＝(－3，4，0)， 由⎩⎨⎧n·AC1→＝0，n·AB →＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4z ＝0，－3x ＋4y ＝0，令x ＝4，则y ＝3，z ＝3，n ＝(4，3，3)， 故cos 〈m ，n 〉＝334＝33434.即二面角C 1­AB ­C 的余弦值为33434. 20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝3，AB ＝5，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1； (2)求证：AC 1∥平面CDB 1.证明：因为直三棱柱ABC -A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，所以AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)，B 1(0，4，4)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0.(1)因为AC →＝(－3，0，0)，BC1→＝(0，－4，4)， 所以AC →·BC1→＝0，所以AC ⊥BC 1.(2)因为CB 1与C 1B 的交点为E ，所以E (0，2，2)．因为DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，2，AC1→＝(－3，0，4)， 所以DE →＝12AC1→，所以DE →∥AC1→.因为DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， 所以AC 1∥平面CDB 1.21．(本小题满分12分)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝60°.(1)求证：EF ⊥PB .(2)试问：当点E 在线段AB 上移动时，二面角P ­FC ­B 的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．(1)证明：在Rt △ABC 中，因为EF ∥BC ，所以EF ⊥AB ，所以EF ⊥EB ，EF ⊥EP ， 又因为EB ∩EP ＝E ，EB ，EP ⊂平面PEB ，所以EF ⊥平面PEB . 又因为PB ⊂平面PEB ，所以EF ⊥PB .(2)解：在平面PEB 内，过点P 作PD ⊥BE 于点D ， 由(1)知EF ⊥平面PEB ，所以EF ⊥PD ，又因为BE ∩EF ＝E ，BE ，EF ⊂平面BCFE ，所以PD ⊥平面BCFE . 在平面PEB 内过点B 作直线BH ∥PD ，则BH ⊥平面BCFE .如图所示，以B 为坐标原点，BC →，BE →，BH →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．设PE ＝x (0＜x ＜4)，又因为AB ＝BC ＝4， 所以BE ＝4－x ，EF ＝x . 在Rt △PED 中，∠PED ＝60°， 所以PD ＝32x ，DE ＝12x ，所以BD ＝4－x －12x ＝4－32x ， 所以C (4，0，0)，F (x ，4－x ，0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，4－32x ，32x . 从而CF →＝(x －4，4－x ，0)，CP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，4－32x ，32x .设n 1＝(x 0，y 0，z 0)是平面PCF 的一个法向量，所以⎩⎨⎧n1·CF →＝0，n1·CP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x0（x －4）＋y0（4－x ）＝0，－4x0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32x y0＋32xz0＝0，所以⎩⎨⎧x0－y0＝0，3y0－z0＝0，取y 0＝1，得n 1＝(1，1，3)是平面PFC 的一个法向量． 又平面BFC 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)， 设二面角P ­FC ­B 的平面角为α， 则cos α＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n1·n2|n1||n2|＝155. 因此当点E 在线段AB 上移动时，二面角P ­FC ­B 的平面角的余弦值为定值，且定值为155. 22．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成的角为60°.(1)求证：AC ⊥平面BDE ； (2)求二面角F ­BE ­D 的余弦值；(3)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论． (1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ， 因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ， 又DE ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面BDE . (2)解：因为DE ⊥平面ABCD ，所以∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角，即∠EBD ＝60°， 所以ED BD＝3.由AD ＝3，得DE ＝36，AF ＝6.如图，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (3，0，0)，F (3，0，6)，E (0，0，36)，B (3，3，0)，C (0，3，0)，所以BF →＝(0，－3，6)，EF →＝(3，0，－26)．设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n·BF →＝0，n·EF →＝0，即⎩⎨⎧－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0.令z ＝6，则n ＝(4，2，6)． 因为AC ⊥平面BDE ，所以CA →＝(3，－3，0)为平面BDE 的一个法向量， 所以cos 〈n ，CA →〉＝n·CA →|n||CA →|＝626×32＝1313.故二面角F ­BE ­D 的余弦值为1313. (3)解：依题意，设M (t ，t ，0)(t ＞0)，则AM →＝(t －3，t ，0)，因为AM ∥平面BEF ，所以AM →·n ＝0，即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.所以点M 的坐标为(2，2，0)，此时DM →＝23DB →，所以点M 是线段BD 上靠近点B 的三等分点．。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）数学·选修2－1(人教A版)模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是()A．对任意实数x, 都有x＞1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x, 都有x≤1D．存在实数x，使x≤1解析：将“存在”改为“任意”，将“x＞1”改为“x≤1”，则命题的否定为“对任意实数x, 都有x≤1”．故选C.答案：C2．已知非零向量a、b，则“a＋b＝0”是“a∥b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件解析：若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b，反之若a∥b，不一定有a＋b＝0.故选A.答案：A3．若椭圆两焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，椭圆的弦AB过点F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的方程为()A.x225＋y29＝1 B.x29＋y225＝1C.x225＋y216＝1 D.x216＋y29＝1答案：A4．设|a|＝3，|b|＝6, 若a·b＝9，则〈a，b〉等于() A．90°B．60°C．120°D．45°答案：B5．以双曲线x29－y216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是()A．x2＋y2－10x＋9＝0 B．x2＋y2－10x＋16＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＋16＝0D ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝0解析：因为c ＝a 2＋b 2＝5，所以双曲线的右焦点为(5,0)，渐近线为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0，点(5,0)到渐近线的距离为d ＝|4×5|42＋32＝4，所以所求圆的半径为r ＝d ＝4，所以圆的方程为(x －5)2＋y 2＝16.故选A.答案：A6．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是( )A.OM→＝OA →＋OB →＋OC → B.OM →＝2OA →－OB →－OC → C.OM →＝OA →＋12OB →＋13OC → D.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →答案：D7．已知向量a ＝(1,1，－2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，1x ，若a·b ≥0，则实数x的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 答案：C8．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，若在椭圆上存在一点P ，使∠F 1PF 2＝120°，则椭圆离心率的范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1解析：设椭圆一个短轴的顶点为B ，则∠F 1PF 2是椭圆上的点与焦点连线所成角的最大角，依题意有60°≤∠F 1PF 2<90°，所以sin∠F 1PF 2≥ sin 60°＝32，即c a ≥32，又c a ＜1，所以32≤ca＜1.故选D.答案：D二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)9．椭圆x 225＋y 216＝1的离心率为________．答案：3510．已知a ＝(2，－3,1)，b ＝(4，－6，x )，若a ⊥b ，则x 等于________．答案：－2611．命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝1或x ＝3”的逆否命题为______________________．答案：若x ≠1且x ≠3，则x 2－4x ＋3≠012．以下命题：①以直角三角形的边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③一个平面截圆锥．得到一个圆锥和一个圆台． 其中真命题的个数是________个． 答案：013．若圆C 以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是________．解析：抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1，则圆心到准线的距离为2，则圆的半径为22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝13，所以圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝13.答案：(x －1)2＋y 2＝1314. 下列四个命题：①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0；②∀x ∈Q ，12x2＋x －13是有理数；③∃α，β∈R ，使sin (α＋β)＝sin α＋sin β；④∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10.所有真命题的序号是________．解析：①②显然正确；对于③，若α＝π2，β＝0，则sin(α＋β)＝1，sin α＋sin β＝1＋0＝1，等式成立，所以③正确；对于④，x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10成立，所以④正确．故填①②③④.答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分12分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4≥0对于一切x ∈R 恒成立，命题q ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数的取值范围．解析：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对于一切x ∈R 恒成立，所以g (x )函数的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0，所以－2＜a ＜2.若q 为真命题，a ≤x 2恒成立，即a ≤1.由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 、q 一真一假.①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ＞1，所以1＜a ＜2；②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ≤1，所以a ≤－2；综上可知，所求实数a 的取值范围是{a |1＜a ＜2或a ≤－2}．16．(本小题满分12分)直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆C ：x 2＋y 22＝1交于A 、B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB (O 为坐标原点)，如右图所示．(1)当k ＝－1时，求AB 的长； (2)当k 变化时，求点P 的轨迹方程．解析：(1)当k ＝－1时，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，2x 2＋y 2＝2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝43，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，即A 、B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，43，(1,0)．∴ |AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－432＝423.(2)设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x 2＋y 2＝2，整理得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 由此得x 1＋x 2＝－2kk 2＋2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 由点E 是AB 的中点，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2k k 2＋2，y ＝4k 2＋2，消去k 得2x 2＋y 2－2y ＝0，这就是点P 的轨迹方程．17．(本小题满分14分)如右图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、 CD 的中点.(1)证明：AD⊥D1F；(2)求AE与D1F所成的角；(3)证明：面AED⊥面A1FD1.方法一以点D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴，建立如下图的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)．→＝(0,1，－2)，AE→＝(0,2,1).∴AD→＝(－2,0,0)，D1F→＝0，(1)证明：∵AD→·D1F∴ AD⊥D1F.→＝0，(2)解析：∵AE→·D1F∴AE与D1F所成的角为90°.(3)证明：由(1)知AD⊥D1F，由(2)知AE⊥D1F，又AD∩AE＝A，所以D1F⊥面AED.又因为D1F⊂面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.方法二(1)证明：∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴AD⊥面CDD1C1，又D1F⊂面CDD1C1，∴AD⊥D1F.(2)解析：如下图，取AB中点G，连接A1G，FG.因为F是CD的中点，所以GF与AD平行且相等．又A1D1与AD平行且相等，所以GF与A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，∴A1G∥D1F.设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角或其补角．因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE.所以∠GA1A＝∠GAH，从而∠AHA1＝90°，即直线AE与D1F所成的角为直角．(3)证明：由(1)知AD⊥D1F，由(2)知AE⊥D1F，又AD∩AE＝A，所以D1F⊥面AED.又因为D1F⊂面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.18．(本小题满分14分)(2013·广东卷)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′BCDE，其中A′O＝ 3.(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值．答案：(1)证明：在图2中连接AO交DE于点G，在图2中连接A′G，因为A′G⊥DE，OG⊥BC，BC∥DE，A′G∩OG＝G，所以BC⊥平面A′OG，又A′O⊂平面A′OG，所以BC⊥A′O.连接OD，在△OCD中，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos 45°＝32＋2－2×3×2×22＝5，所以OD ＝5，因为AC ＝AB ＝32，所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2， 所以A ′O ⊥OD ，OD ∩OG ＝O ， 所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)解析：以O 点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示．则A ′(0,0，3)，C (0，－3,0)，D (1，－2,0)，所以CA ′→＝(0,3，3)，DA ′→＝(－1,2，3)，设平面A ′CD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·CA ′→＝0，n ·DA ′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋3z ＝0，－x ＋2y ＋3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，z ＝3x ，令x ＝1，得n ＝(1，－1，3)．由图2知，OA ′→＝(0,0，3)为平面CDB 的一个法向量， 所以cos 〈n ，OA ′→〉＝n ·OA ′→|n |·|OA ′→|＝33×5＝155，所以二面角A ′CDB 的平面角的余弦值为155.19.(本小题满分14分)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，它的一个顶点为M (0,1)，离心率e ＝63. (1)求椭圆方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝3.求证：直线AB 过定点，并求出直线AB 的斜率k 的取值范围．解析：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b2a＝63，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋t ，代入椭圆方程，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3(t 2－1)＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6kt 3k 2＋1，x 1·x 2＝t 2－3k 2＋1，由k 1＋k 2＝3，得y 1－t x 1＋y 2－tx 2＝3，①又y 1＝kx 1＋t ，y 2＝kx 2＋t ，②由①，②得2k ＋(t －1)·2kt 3＝3，化简，得t ＝2k －33.则直线AB 的方程为y ＝kx ＋2k －33＝k (x ＋23)－1， 所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－1.又由于直线AB 和椭圆有两个不同的交点， 则Δ＝36k 2t 2－12(3k 2＋1)(t 2－1)＞0，又t ＝2k －33，解得直线AB 的斜率的取值范围是k ＜－1223或k ＞0 .20．(本小题满分14分)(2013·福建卷)如图，在抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心|OC |为半径作圆，设圆C 与准线l 的交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径．解析：(1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1，由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝ 5. 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 416＋y 20， 即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 20－4⎝⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0， 所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆的半径为332.。

选修2-1综合检测（A 卷）时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a)2＋(y －b)2＝2相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 [答案] A[解析] 圆心(a ，b)，半径r ＝2，若a ＝b ，则圆心(a ，b)到直线y ＝x ＋2的距离d ＝2＝r.∴直线与圆相切；若直线与圆相切，则|a －b ＋2|2＝2，此时a ＝b 或a －b ＝－4，∴是充分不必要条件，故应选A .2．设直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，则直线l 1、l 2的夹角是( )A ．arccos 1515 B ．π－arcsin 21015 C ．arcsin 21015D ．arccos(－1515) [答案] A[解析] a ·b ＝－4，|a |＝23，|b |＝25， cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－1515，∴l 1与l 2夹角为arcocs1515. 3．(2010·陕西文，9)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12B ．1C ．2D ．4[答案] C[解析] 本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系． 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p 2，由题意知，3＋p2＝4，p ＝2.4．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则ΔPF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[答案] B[解析] ∵|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，又有|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213∵(213)2＝62＋42，∴∠F 1PF 2＝90° ∴S △PF 1F 2＝12×6×4＝12.5．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，集合B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B 是A 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．[3，＋∞)C ．[0,3]D ．(－∞，3][答案] D[解析] A ＝{x |－2≤x ≤5}，由条件知B ⊆A ， 当B ＝∅时显然适合题意，即m ＋1>2m －1得m <2 当B ≠∅时需⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ＋1≥－22m －1≤5解得2≤m ≤3，故m ∈(－∞，3]，选D.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④[答案] A[解析] ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→ ＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→＝－(DB →＋DD 1→)－DD 1→＝－DB 1→－DD 1→＝－(DB 1→＋DD 1→)≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝(B 1D 1→＋B 1B →)＋DD 1→ ＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→.7．(2010·上海文，16)“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查了任意角的三角函数值及充要条件问题． ∵tan(2k π＋π4)＝1，而tan x ＝1⇒x ＝k π＋π4k ∈Z ，故选A.8．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，A 、B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率是( )A.12B.55C.13D.22[答案] B[解析] 点P 的坐标(－c ，b 2a )，于是k AB ＝－b a ，kPF 2＝－b 22ac ，由k AB ＝kPF 2得b ＝2c ，故e ＝c a ＝55.9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2[答案] B[解析] 由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，又点P 在抛物线上，则k 2＝4p ∵|PF |＝4∴p2＋2＝4，即p ＝4，∴k ＝±4.10．设有语句p ：x ＝－9，綈q ：x 2＋8x －9＝0，则下面给出的命题中是真命题的一个是( )A ．若p 则qB ．若綈p 则綈qC ．若q 则綈pD ．若綈p 则q[答案] C[解析] p ：x ＝－9，綈q ：x 2＋8x －9＝0， 即綈q ：x ＝1或x ＝－9. ∴p ⇒綈q ，即q ⇒綈p .11．如图，在正三棱锥P —ABC 中，D 是侧棱P A 的中心，O 是底面ABC 的中点，则下列四个结论中正确的是( )A ．OD ∥平面PBCB ．OD ⊥P AC ．OD ⊥AC D ．P A ＝2OD [答案] D[解析] PO ⊥底面ABC ，即△P AO 为直角三角形．又D 为P A 中点，则P A ＝2OD . 12．双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F 1，点P 在双曲线左支下半支上(不含顶点)，则直线PF 1的斜率为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) [答案] B[解析] 如图l 1与渐近线平行，l 2与x 轴垂直，当过F 1的直线由l 1逆时针转到l 2时，与左下支相交，此时k >1；当过F 1的直线逆时针由l 2转到x 轴时，与左下支相交，此时k <0，故选B.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线；以上两个命题中，逆命题为真命题的是______________．(把符合要求的命题序号都填上)．[答案] ②[解析] ①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC 1做模型来观察：上底面A 1B 1C 1D 1中任何三点都不共线，但A 1B 1C 1D 1四点共面．所以①中逆命题不真．②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点． 由异面直线的定义可知，成异面直线的这两条直线不会有公共点． 所以②中逆命题是真命题．14．如图所示，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________．[答案]24[解析] 解法一：∵四边形ABCD 与四边形ABEF 都是正方形，∴CB ⊥AB ，EB ⊥AB ， ∴∠CBE ＝60°.连结CE ，如图所示，设正方形的边长为1， ∵BC ＝BE ，∠CBE ＝60°，∴△CEB 为正三角形，CE ＝BC ＝1. 连结CF ，∵BC ∥AD ，∴∠CBF 就是两异面直线AD 与BF 所成的角． 又∵AB ⊥平面CBE ，∴AB ⊥CE .又FE ∥AB ，∴FE ⊥CE ，∴CF ＝CE 2＋EF 2＝ 2. 又在△CBF 中，CB ＝1，BF ＝2， ∴cos ∠CBF ＝CB 2＋BF 2－CF 22CB ·BF ＝122＝24.解法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AF →＝c ，设正方形边长为1，则由题意知a ·b ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |＝1，∵AD ⊥AB ，AF ⊥AB ，∴∠DAF ＝60°，∴b ·c ＝12.|BF →|2＝(c －a )2＝|c |2＋|a |2－2a ·c ＝2， ∴|BF →|＝2，BF →·AD →＝(c －a )·b ＝b ·c －a ·b ＝12，∴cos 〈BF →，AD →〉＝BF →·AD →|BF →|·|AD →|＝24，即异面直线AD 与BF 所成角的余弦值为24. 15．椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1，P 2，……，P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于1100的等差数列，则n 的最大值为________．[答案] 200[解析] 欲使n 取最大值，则|P 1F |应取最小值|P n F |应取最大值，∴|P 1F |＝a －c ＝1，|P n F |＝a ＋c ＝3，|P n F |＝|P 1F |＋(n －1)·d ， 当d ＝1100时，n ＝201.而d >1100，∴n 的最大值为200. 16．与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为________．[答案] x 2－y 2＝52[解析] 椭圆焦点(±5，0)，由条件知，双曲线的焦点为(±5，0)，渐近线方程为y ＝±x ， 故设双曲线方程为x 2－y 2＝λ (λ>0)，∴2λ＝5，∴λ＝52.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．[解析] 设△ABC 重心为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)由重心坐标公式得 ⎩⎨⎧x ＝－2＋0＋x13y ＝0－2＋y 13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2. 代入y 1＝3x 21－1，得3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1.∴y ＝9x 2＋12x ＋3即为所求轨迹方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，且PB ＝4PM ，PB 与平面ABC 成30°角．(1)求证：CM ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AD .[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系C －xyz . (1)∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABC 所成的角，∠PBC ＝30°. ∵|PC |＝2，∴|BC |＝23，∴|PB |＝4，得D (0,1,0)、B (23，0,0，)、A (23，4,0)、P (0,0,2)， 又|PB |＝4|PM |，∴|PM |＝1，M (32，0，32)， ∴CM →＝(32，0，32)，DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，设CM →＝λDP →＋μDA →， 则23μ＝32，－λ＋3μ＝0,2λ＝32， ∴λ＝34，μ＝14，即CM →＝34DP →＋14DA →，∴CM →，DP →，DA →共面．∵C ∉平面P AD ，∴CM ∥平面P AD . (2)作BE ⊥P A 于E ，|PB |＝|AB |＝4， ∴E 为P A 的中点，∴E (3，2,1)，∴BE →＝(－3，2,1)．∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， BE →·DP →＝(－3，2,1)·(0，－1,2)＝0， ∴BE ⊥DA ，又BE ⊥DP ，∴BE ⊥平面P AD ，由于BE ⊂平面P AB ，则平面P AB ⊥平面P AD .[点评] ①证明线面平行，既可以用判定定理直接求证，也可以用向量证，用向量证明时，既可以证明两向量共线，也可以证明向量共面，还可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．②证明面面垂直，既可以应用判定定理直接证，也可以用向量证用向量证明时，可证明其法向量垂直．③常常将几何证明方法与代数证明方法结合使用．19．(本小题满分12分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．[解析] (1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 2＋8a 2(1－a 2)>0.解得0<a <2且a ≠1，双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0<a <2且a ≠1，∴e >62，且e ≠2， 即离心率e 的取值范围为(62，2)∪(2，＋∞) (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，∵P A →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2，由于x 1、x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2.消去x 2得，－2a 21－a2＝28960.由a >0，所以a ＝1713.20．(本小题满分12分)已知条件p ：|5x －1|>a 和条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A ，B 构造命题：若A 则B .使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，并说明为什么这一命题是符合要求的命题．[解析] 已知条件p 即5x －1<－a 或5x －1>a ，∴x <1－a 5或x >1＋a5.已知条件q 即2x 2－3x ＋1>0，∴x <12或x >1.令a ＝4，则p 即x <－35或x >1，此时必有p ⇒q 成立，反之不然，故可以选取的一个实数是a ＝4.由以上过程可知，这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题的假命题．[点评] 只要使P Q 的a 的值都满足题设要求，∴⎩⎨⎧1－a 5≤121＋a 5≥1，(等号不同时成立)∴a ≥4.因此选取的a 的值满足a ≥4的都可以．21．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，面A 1ACC 1⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C ，求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成的锐二面角的大小．[解析] 过A 1作A 1O ⊥AC ，∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∴A 1O ⊥平面ABC ，以O 为原点，OC 、OA 1分别为y 轴、z 轴建立坐标系，易证A (0，－3，0)，B (263，33，0)，A 1(0,0，3)，则AB →＝(263，433，0)，AA 1→＝(0，3，3)，则平面ABC 的法向量n 1＝(0,0，3)．则平面A 1ABB 1的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·AB →＝(263，433，0)·(x ，y ，z )＝263x ＋433y ＝0，∴x ＝－2y .∵n 2·AA 1→＝(0，3，3)·(x ，y ，z )＝3y ＋3z ＝0， ∴y ＝－z .令z ＝1，则x ＝2，y ＝－1，∴n 2＝(2，－1,1)． 又设平面A 1ABB 1与平面ABC 所成的二面角的大小为θ， 则cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝12，∴θ＝60°.∴面ABC 与面A 1ABB 1所成的锐二面角的大小为60°.22．(本小题满分14分)(2010·安徽理，19)已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程；[解析] 本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式．点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识．解题思路是：(1)利用待定系数法求标准方程．(2)利用向量法或角平分线的性质求直线方程．(3)利用平方差法或代数法判定是否存在这样一点．解：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >b >0)由e ＝12，即c a ＝12，a ＝2c ，得b 2＝a 2－c 2＝3c 2.∴椭圆的方程具有形式x 24c 2＋y 23c2＝1.将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c ＝2，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)解法1：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以直线AF 1的方程为：y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0.直线AF 2的方程为：x ＝2.由点A 的椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数． 设P (x ，y )为l 上任一点，则 |3x －4y ＋6|5＝|x －2|. 若3x －4y ＋6＝5x －10，得x ＋2y －8＝0(因其斜率为负，舍去)． 于是，由3x －4y ＋6＝－5x ＋10得2x －y －1＝0， 所以直线l 的方程为：2x －y －1＝0. 解法2：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)．∴AF 1→|AF 1→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3)＝－45(1,2)．∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学选修2-1综合测试卷A （含答案）一、选择题（每小题5 分，共10小题，满分50分）1．对抛物线24y x =，下列描述正确的是A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为1(0,)16C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为1(0,)16 2．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的 A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为A ．25-B ．25C ．1-D ．1 4．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =, b D A =11，c A A =1，则下列向量中与M B 1相等的向量是A ．c b a ++-2121B ．c b a ++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--2121 5．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为 A ．平面 B ．直线 C ．圆 D ．线段 6．已知a =(1,2,3),b =（3，0，-1），c =⎪⎭⎫ ⎝⎛--53,1,51给出下列等式： ①∣c b a ++∣=∣c b a --∣ ②c b a ⋅+)( =)(c b a +⋅ ③2)(c b a ++=222c b a ++④c b a ⋅⋅)( =)(c b a ⋅⋅其中正确的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．设[]0,απ∈，则方程22sin cos 1x y αα+=不能表示的曲线为 A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 8．已知条件p ：1-x <2，条件q ：2x -5x -6<0，则p 是q 的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件9．已知函数f(x)=3472+++kx kx kx ，若R x ∈∀，则k 的取值范围是 A ．0≤k<43 B ．0<k<43 C ．k<0或k>43 D ．0<k ≤4310．下列说法中错误．．的个数为 ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；④a b =与a b =是等价的；⑤“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作选修2-1综合检测（A 卷）时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a)2＋(y －b)2＝2相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 圆心(a ，b)，半径r ＝2，若a ＝b ，则圆心(a ，b)到直线y ＝x ＋2的距离d ＝2＝r.∴直线与圆相切；若直线与圆相切，则|a －b ＋2|2＝2，此时a ＝b 或a －b ＝－4，∴是充分不必要条件，故应选A .2．设直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，则直线l 1、l 2的夹角是( )A ．arccos1515 B ．π－arcsin 21015 C ．arcsin21015 D ．arccos(－1515) [答案] A[解析] a ·b ＝－4，|a |＝23，|b |＝25，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－1515， ∴l 1与l 2夹角为arcocs 1515.3．(2010·陕西文，9)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12B ．1C ．2D ．4 [答案] C[解析] 本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p 2，由题意知，3＋p 2＝4，p ＝2. 4．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则ΔPF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24 [答案] B[解析] ∵|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，又有|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4又∵|F 1F 2|＝2c ＝213∵(213)2＝62＋42，∴∠F 1PF 2＝90°∴S △PF 1F 2＝12×6×4＝12. 5．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，集合B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B 是A 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．[3，＋∞)C ．[0,3]D ．(－∞，3] [答案] D[解析] A ＝{x |－2≤x ≤5}，由条件知B ⊆A ，当B ＝∅时显然适合题意，即m ＋1>2m －1得m <2当B ≠∅时需⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2m ＋1≥－22m －1≤5解得2≤m ≤3，故m ∈(－∞，3]，选D.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④[答案] A[解析] ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→＝－(DB →＋DD 1→)－DD 1→＝－DB 1→－DD 1→＝－(DB 1→＋DD 1→)≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝(B 1D 1→＋B 1B →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→.7．(2010·上海文，16)“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查了任意角的三角函数值及充要条件问题．∵tan(2k π＋π4)＝1，而tan x ＝1⇒x ＝k π＋π4k ∈Z ，故选A. 8．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，A 、B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率是( )A.12B.55C.13D.22 [答案] B[解析] 点P 的坐标(－c ，b 2a )，于是k AB ＝－b a ，kPF 2＝－b 22ac，由k AB ＝kPF 2得b ＝2c ，故e ＝c a ＝55. 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2 [答案] B[解析] 由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，又点P 在抛物线上，则k 2＝4p∵|PF |＝4∴p 2＋2＝4，即p ＝4，∴k ＝±4. 10．设有语句p ：x ＝－9，綈q ：x 2＋8x －9＝0，则下面给出的命题中是真命题的一个是( )A ．若p 则qB ．若綈p 则綈qC ．若q 则綈pD ．若綈p 则q [答案] C[解析] p ：x ＝－9，綈q ：x 2＋8x －9＝0，即綈q ：x ＝1或x ＝－9.∴p ⇒綈q ，即q ⇒綈p .11．如图，在正三棱锥P —ABC 中，D 是侧棱P A 的中心，O 是底面ABC 的中点，则下列四个结论中正确的是( )A ．OD ∥平面PBCB ．OD ⊥P AC ．OD ⊥ACD ．P A ＝2OD[答案] D[解析] PO ⊥底面ABC ，即△P AO 为直角三角形．又D 为P A 中点，则P A ＝2OD .12．双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F 1，点P 在双曲线左支下半支上(不含顶点)，则直线PF 1的斜率为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)[答案] B[解析] 如图l 1与渐近线平行，l 2与x 轴垂直，当过F 1的直线由l 1逆时针转到l 2时，与左下支相交，此时k >1；当过F 1的直线逆时针由l 2转到x 轴时，与左下支相交，此时k <0，故选B.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线；以上两个命题中，逆命题为真命题的是______________．(把符合要求的命题序号都填上)．[答案] ②[解析] ①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC 1做模型来观察：上底面A 1B 1C 1D 1中任何三点都不共线，但A 1B 1C 1D 1四点共面．所以①中逆命题不真．②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的这两条直线不会有公共点．所以②中逆命题是真命题．14．如图所示，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________．[答案] 24[解析] 解法一：∵四边形ABCD 与四边形ABEF 都是正方形，∴CB ⊥AB ，EB ⊥AB ， ∴∠CBE ＝60°.连结CE ，如图所示，设正方形的边长为1，∵BC ＝BE ，∠CBE ＝60°，∴△CEB 为正三角形，CE ＝BC ＝1.连结CF ，∵BC ∥AD ，∴∠CBF 就是两异面直线AD 与BF 所成的角．又∵AB ⊥平面CBE ，∴AB ⊥CE .又FE ∥AB ，∴FE ⊥CE ，∴CF ＝CE 2＋EF 2＝ 2.又在△CBF 中，CB ＝1，BF ＝2，∴cos ∠CBF ＝CB 2＋BF 2－CF 22CB ·BF ＝122＝24. 解法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AF →＝c ，设正方形边长为1，则由题意知a ·b ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |＝1，∵AD ⊥AB ，AF ⊥AB ，∴∠DAF ＝60°，∴b ·c ＝12. |BF →|2＝(c －a )2＝|c |2＋|a |2－2a ·c ＝2，∴|BF →|＝2，BF →·AD →＝(c －a )·b ＝b ·c －a ·b ＝12， ∴cos 〈BF →，AD →〉＝BF →·AD →|BF →|·|AD →|＝24， 即异面直线AD 与BF 所成角的余弦值为24. 15．椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1，P 2，……，P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于1100的等差数列，则n 的最大值为________． [答案] 200[解析] 欲使n 取最大值，则|P 1F |应取最小值|P n F |应取最大值，∴|P 1F |＝a －c ＝1，|P n F |＝a ＋c ＝3，|P n F |＝|P 1F |＋(n －1)·d ，当d ＝1100时，n ＝201.而d >1100，∴n 的最大值为200. 16．与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为________． [答案] x 2－y 2＝52[解析] 椭圆焦点(±5，0)，由条件知，双曲线的焦点为(±5，0)，渐近线方程为y ＝±x ， 故设双曲线方程为x 2－y 2＝λ (λ>0)，∴2λ＝5，∴λ＝52. 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．[解析] 设△ABC 重心为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)由重心坐标公式得⎩⎨⎧ x ＝－2＋0＋x 13y ＝0－2＋y 13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2. 代入y 1＝3x 21－1，得3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1.∴y ＝9x 2＋12x ＋3即为所求轨迹方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，且PB ＝4PM ，PB 与平面ABC 成30°角．(1)求证：CM ∥平面P AD ；(2)求证：平面P AB ⊥平面P AD .[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系C －xyz .(1)∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABC 所成的角，∠PBC ＝30°.∵|PC |＝2，∴|BC |＝23，∴|PB |＝4，得D (0,1,0)、B (23，0,0，)、A (23，4,0)、P (0,0,2)，又|PB |＝4|PM |，∴|PM |＝1，M (32，0，32)， ∴CM →＝(32，0，32)，DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)， 设CM →＝λDP →＋μDA →， 则23μ＝32，－λ＋3μ＝0,2λ＝32， ∴λ＝34，μ＝14，即CM →＝34DP →＋14DA →， ∴CM →，DP →，DA →共面．∵C ∉平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .(2)作BE ⊥P A 于E ，|PB |＝|AB |＝4，∴E 为P A 的中点，∴E (3，2,1)，∴BE →＝(－3，2,1)．∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，BE →·DP →＝(－3，2,1)·(0，－1,2)＝0，∴BE ⊥DA ，又BE ⊥DP ，∴BE ⊥平面P AD ，由于BE ⊂平面P AB ，则平面P AB ⊥平面P AD .[点评] ①证明线面平行，既可以用判定定理直接求证，也可以用向量证，用向量证明时，既可以证明两向量共线，也可以证明向量共面，还可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．②证明面面垂直，既可以应用判定定理直接证，也可以用向量证用向量证明时，可证明其法向量垂直．③常常将几何证明方法与代数证明方法结合使用．19．(本小题满分12分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值． [解析] (1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2≠0，4a 2＋8a 2(1－a 2)>0.解得0<a <2且a ≠1，双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0<a <2且a ≠1，∴e >62，且e ≠2， 即离心率e 的取值范围为(62，2)∪(2，＋∞) (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，∵P A →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)． 由此得x 1＝512x 2，由于x 1、x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2. 消去x 2得，－2a 21－a2＝28960.由a >0，所以a ＝1713. 20．(本小题满分12分)已知条件p ：|5x －1|>a 和条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A ，B 构造命题：若A 则B .使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，并说明为什么这一命题是符合要求的命题．[解析] 已知条件p 即5x －1<－a 或5x －1>a ，∴x <1－a 5或x >1＋a 5. 已知条件q 即2x 2－3x ＋1>0，∴x <12或x >1. 令a ＝4，则p 即x <－35或x >1，此时必有p ⇒q 成立，反之不然，故可以选取的一个实数是a ＝4.由以上过程可知，这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题的假命题．[点评] 只要使P Q 的a 的值都满足题设要求，∴⎩⎨⎧1－a 5≤121＋a 5≥1，(等号不同时成立)∴a ≥4.因此选取的a 的值满足a ≥4的都可以．21．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，面A 1ACC 1⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C ，求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成的锐二面角的大小．[解析] 过A 1作A 1O ⊥AC ，∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∴A 1O ⊥平面ABC ，以O 为原点，OC 、OA 1分别为y 轴、z 轴建立坐标系，易证A (0，－3，0)，B (263，33，0)，A 1(0,0，3)，则AB →＝(263，433，0)，AA 1→＝(0，3，3)，则平面ABC 的法向量n 1＝(0,0，3)．则平面A 1ABB 1的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·AB →＝(263，433，0)·(x ，y ，z )＝263x ＋433y ＝0，∴x ＝－2y . ∵n 2·AA 1→＝(0，3，3)·(x ，y ，z )＝3y ＋3z ＝0，∴y ＝－z .令z ＝1，则x ＝2，y ＝－1，∴n 2＝(2，－1,1)．又设平面A 1ABB 1与平面ABC 所成的二面角的大小为θ，则cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝12，∴θ＝60°. ∴面ABC 与面A 1ABB 1所成的锐二面角的大小为60°.22．(本小题满分14分)(2010·安徽理，19)已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12. (1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程；[解析] 本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式．点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识．解题思路是：(1)利用待定系数法求标准方程．(2)利用向量法或角平分线的性质求直线方程．(3)利用平方差法或代数法判定是否存在这样一点．解：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >b >0) 由e ＝12，即c a ＝12，a ＝2c ，得b 2＝a 2－c 2＝3c 2. ∴椭圆的方程具有形式x 24c 2＋y 23c 2＝1. 将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c ＝2， ∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)解法1：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以直线AF 1的方程为：y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0.直线AF 2的方程为：x ＝2. 由点A 的椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数．设P (x ，y )为l 上任一点，则|3x －4y ＋6|5＝|x －2|. 若3x －4y ＋6＝5x －10，得x ＋2y －8＝0(因其斜率为负，舍去)．于是，由3x －4y ＋6＝－5x ＋10得2x －y －1＝0，所以直线l 的方程为：2x －y －1＝0.解法2：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)．∴AF 1→|AF 1→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3)＝－45(1,2)． ∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.。

章末综合测评(一) 常用逻辑用语(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1，或x＜－1，则x2＞1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．【答案】 D2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】把全称量词改为存在量词并把结论否定．【答案】 D3．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．【答案】 A4．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0, 即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0，1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分而不必要条件．【答案】 A5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立B．∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立C．∀x∈R，使得f(x)＞0成立D．∀x∈R，f(x)≤0成立【解析】“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)＞0成立”．故选A.【答案】 A6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的() 【导学号：18490031】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.【答案】 A7．命题p：函数y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为R；命题q：函数y ＝lg(x2＋2x－c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A，命题q为真命题时c的取值集合为B，则A∩B＝()A．∅B．{c|c<－1}C．{c|c≥－1} D．R【解析】命题p为真命题，即x2＋2x－c>0恒成立，则有Δ＝4＋4c<0，解得c<－1，即A＝{c|c<－1}；令f(x)＝x2＋2x－c，命题q为真命题，则f(x)的值域包含(0，＋∞)．即Δ＝4＋4c≥0，求得c≥－1，即B＝{c|c≥－1}．于是A∩B＝∅，故选A.【答案】 A8．对∀x∈R，kx2－kx－1＜0是真命题，则k的取值范围是() A．－4≤k≤0 B．－4≤k＜0C．－4＜k≤0 D．－4＜k＜0【解析】由题意知kx2－kx－1＜0对任意x∈R恒成立，当k＝0时，－1＜0恒成立；当k ≠0时，有⎩⎨⎧k ＜0，Δ＝k 2＋4k ＜0，即－4＜k ＜0，所以－4＜k ≤0.【答案】 C9．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0＜0.下列选项中为真命题的是( )A ．綈pB ．綈p ∨qC ．綈q ∧pD ．q【解析】 很明显命题p 为真命题，所以綈p 为假命题；由于函数y ＝2x ，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以綈q 是真命题．所以綈p ∨q 为假命题，綈q ∧p 为真命题，故选C.【答案】 C10．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 等比数列{a n }为递增数列的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1.故“q >1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件． 【答案】 D11．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则綈p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x ≤1【解析】 因为全称命题∀x ∈M ，p (x )的否定为∃x 0∈M ，綈p (x )，故綈p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1.【答案】 B12．已知p ：点P 在直线y ＝2x －3上；q ：点P 在直线y ＝－3x ＋2上，则使p ∧q 为真命题的点P 的坐标是( )A ．(0，－3)B ．(1，2)C ．(1，－1)D ．(－1，1)【解析】 因为p ∧q 为真命题，所以p ，q 均为真命题．所以点P为直线y ＝2x －3与直线y ＝－3x ＋2的交点．解方程组⎩⎨⎧y ＝2x －3，y ＝－3x ＋2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1，即点P 的坐标为(1，－1)． 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的为________．【解析】 p 为假命题，q 为真命题，故p ∨q 为真命题，綈p 为真命题．【答案】 p ∨q 与綈p14．(2016·临川高二检测)“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________________，否命题是________________．【解析】 命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．【答案】 末位数字是1或3的整数能被8整除 末位数字不是1且不是3的整数能被8整除15．已知f (x )＝x 2＋2x －m ，如果f (1)>0是假命题，f (2)>0是真命题，则实数m 的取值范围是______．【解析】 依题意，⎩⎨⎧f （1）＝3－m ≤0，f （2）＝8－m >0，∴3≤m <8. 【答案】 [3，8)16．给出以下判断：①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；②命题“∀x ∈N ，x 3>x 2”的否定是“∃x 0∈N ，使x 30>x 20”； ③“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数”的充要条件； ④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．其中正确命题的序号是________. 【导学号：18490032】【解析】 ①②④是假命题，③是真命题．【答案】 ③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．(1)q ：所有的矩形都是正方形；(2)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；(3)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋3＝0.【解】 (1)綈q ：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．(2)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋3≠0，假命题．这是由于当x ＝－33时，x 3＋3＝0.18．(本小题满分12分)指出下列命题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}；(2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数；(3)p ：0<m <13；q ：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．【解】 (1)因为{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，所以{x |x >－2或x <3}⇒/ {x |－2<x <3}，而{x |－2<x <3}⇒{x |x >－2或x <3}．所以p 是q 的必要不充分条件．(2)因为a ，b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数，而a ＋b 为偶数⇒/ a ，b 都是奇数，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不等实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，3m >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4－12m >0，m >0⇔⎩⎨⎧m <13，m >0⇔ 0<m <13.所以p 是q 的充要条件．19．(本小题满分12分)已知命题p ：不等式2x －x 2<m 对一切实数x 恒成立，命题q ：m 2－2m －3≥0，如果“綈p ”与“p ∧q ”同时为假命题，求实数m 的取值范围. 【导学号：18490033】【解】 2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，所以p 为真时，m >1.由m 2－2m －3≥0得m ≤－1或m ≥3，所以q 为真时，m ≤－1或m ≥3.因为“綈p ”与“p ∧q ”同时为假命题，所以p 为真命题，q 为假命题，所以得⎩⎨⎧m >1，－1<m <3，即1<m <3，即m 的取值范围为(1，3)．20．(本小题满分12分)已知两个命题p ：sin x ＋cos x ＞m ，q ：x 2＋mx ＋1＞0，如果对任意x ∈R ，有p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数m 的取值范围．【解】 当命题p 是真命题时，由于x ∈R ，则sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4≥－2， 所以有m ＜－ 2.当命题q 是真命题时，由于x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，则Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2.由于p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 与q 一真一假．考虑到函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象为开口向上的抛物线，对任意的x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0不可能恒成立．所以只能是p 为假，q 为真，此时有⎩⎨⎧m ≥－2，－2＜m ＜2，解得－2≤m ＜2，所以实数m 的取值范围是[－2，2)．21．(本小题满分12分)已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a >0，且a ≠1)有意义；命题q ：实数t 满足不等式t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2<0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解】 (1)因为命题p 为真，则对数的真数－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52.所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2<0的解集的真子集．法一 因为方程t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2＝0的两根为1和a ＋2，所以只需a ＋2>52，解得a >12.即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 法二 令f (t )＝t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2，因为f (1)＝0，所以只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0，解得a >12. 即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 22．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.【证明】 充分性：∵∠A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2.于是方程x 2＋2ax ＋b 2＝0可化为x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，∴x 2＋2ax ＋(a ＋c )(a －c )＝0.∴[x ＋(a ＋c )][x ＋(a －c )]＝0.∴该方程有两根x 1＝－(a ＋c )，x 2＝－(a －c )，同样另一方程x 2＋2cx －b 2＝0也可化为x 2＋2cx －(a 2－c 2)＝0， 即[x ＋(c ＋a )][x ＋(c －a )]＝0，∴该方程有两根x 3＝－(a ＋c )，x 4＝－(c －a )．可以发现，x 1＝x 3，∴方程有公共根．必要性：设x 是方程的公共根，则⎩⎨⎧x 2＋2ax ＋b 2＝0， ①x 2＋2cx －b 2＝0， ②由①＋②，得x ＝－(a ＋c )，x ＝0(舍去)．代入①并整理，可得a 2＝b 2＋c 2.∴∠A ＝90°.∴结论成立．。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2009-2010惠州一中高二年级第一学期期末考试理科数学答题卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题：（本大题共6小题，满分30分）9、 1211 10、 30 11、 125 12、 3 13、 (－４，０) 14、 )0(14322≠=+x y x三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15． (本题满分12分)解：(1) ∵,a b 取值的情况如表：即基本事件总数为16----------------------3分 设“方程()0f x =恰有两个不相等的实根”为事件A 则A 发生应满足条件2400b ac a ∆=->≠且即0b a a >≠且，即（1，2），（1，3），（2，3）即A 包含基本事件数为3, ……5分 ∴方程()0f x =恰有两个不相等实根的概率163)(=A P ----------------------6分 (2)∵b 从区间[0,2]中任取一个数，a 从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域}20,30),({≤≤≤≤b a b a 如图，其面积236S Ω=⨯=-------------9分设“方程()0f x =没有实根”为事件B,则事件B 所构成的区域为题号 12345678答案BACAACDCa b 0 1 2 3 0 00 01 02 03 1 10 11 12 13 2 20 21 22 23 330313233_____________姓名_______________________考号___________________试室号____________________座位号________________—————线——————内——————不——————要——————答——————题———————————————————2 3a=ba b},20,30),({b a b a b a >≤≤≤≤ 如图中阴影部分，其面积M S =162242-⨯⨯=--------------------------11分42()63M S P B S Ω===--------------------12分 16. (本题满分12分)解：（1）∵)sin 31,1(A m -=,)1,(cos A n =，m ⊥ n∴m ·n =0sin 31cos =-+A A …………… 2分,即1)cos 21sin 23(2=-A A ,21)6sin(=-πA , …………… 4分 ∴66A k πππ-=+即3A k ππ=+∵()0,A π∈ ∴3A π=……………………… 6分(2)a c b 3=+,由正弦定理知：CcB b A a sin sin sin == 则A C B sin 3sin sin =+， ……………………… 8分由（1）知：3π=A ，∴sin sin()3sin33B B πππ+--=，3cos 3sin 3=+B B整理得：23cos 21sin 23=+B B …………………… 10分 即 23)6sin(=+πB …………………… 12分 17.（1）证明：建立空间直角坐标系如图，由已知得：A （2，0，0）)0,4,0(),0,4,2(11B A ，E （1，4，0），C （0，0，2），)2,4,0(1C …………….2分 ∵M 为线段的动点1CC ，N 为AM 的中点，设M 为（0，m y ，2），则N 为（1，2my ，1），(0,4,1)2m y NE =-- ∵1,BA BB BA BC ⊥⊥∴1BA BB C ⊥面 ∴(2,0,0)BA =为1BB C 面的法向量XYZ而E N ·(2,0,0)(0,4,1)02m y BA =⋅--=。