【金版新学案】-高二数学人教a版选修2-2课时作业：2.1.1 word版含解析培训讲学

名校新教案高中数学人教A版选修2-2课后作业2.1.2演绎推理(备选)(含答案详析)
选修2-2第二章 2.1
1．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③因此三角形不是矩形”中的小前提是()
A．① B ．②
C．③ D ．①②
[答案 ]B
[分析 ]由①②③的关系知，小前提应为“ 三角形不是平行四边形”．故应选B.
2．求函数 y＝log2x－ 2的定义域时，第一步推理中大前提是a存心义时， a≥0，小前提是log 2x－ 2存心义，结论
________．
是
[答案 ]log2x－ 2≥0
[分析 ]由三段论方法知应为log 2x－ 2≥ 0.
3．以下推理过程省略的大前提为：________.
∵a2＋ b2≥2ab，
∴2(a2＋ b2)≥ a2＋ b2＋ 2ab.
[答案 ]若a≥ b，则a＋c≥ b＋c
[分析 ]由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋ b2，故大前提为：若a≥ b，则 a＋ c≥ b＋ c.
4．先解答下题，而后剖析说明你的解题过程切合演绎推理规则．设m 为实数，求证：方程 x2－ 2mx＋ m2＋1＝ 0 没有实数根．
[分析 ]已知方程x2－ 2mx＋ m2＋ 1＝ 0 的鉴别式＝(－2m)2－4(m2＋1)＝－4<0，因此方程 x2－ 2mx＋ m2＋ 1＝ 0 没有实数根．
说明：此推理过程用三段论表述为：
大前提：假如一元二次方程的鉴别式<0，那么这个方程没有实数根；
22
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结论：一元二次方程x － 2mx＋ m ＋ 1＝ 0 没有实数根．
解题过程就是考证小前提建立后，得出结论．。

A．(－1，2)B.
C. D．(－2，1)
解析：因为f(x)是奇函数，所以不等式xf′(x)<f(－x)等价于xf′(x)<－f(x)，即xf′(x)＋f(x)<0，即F′(x)<0.
当x∈(－∞，0]时，函数F(x)单调递减；由于F(x)＝xf(x)为偶函数，所以F(x)在[0，＋∞)上单调递增．
解析：f′(x)＝ －1＝ ，x>0.令f′(x)<0，解得x>1.
答案：D
3．设f(x)＝10x＋lgx，则f′(1)等于()＋ln 10D．11ln 10
解析：f′(x)＝10xln10＋ ，所以f′(1)＝10ln 10＋ ＝10ln 10＋lg e.
1．(1＋i)16－(1－i)16＝()
A．－256B．256i
C．0D．256
解析：(1＋i)16－(1－i)16＝[(1＋i)2]8－[(1－i)2]8＝(2i)8－(－2i)8＝0.
答案：C
2．已知函数f(x)＝lnx－x，则函数f(x)的单调递减区间是()
A．(－∞，1)B．(0，1)
C．(－∞，0)，(1，＋∞)D．(1，＋∞)
答案：B
4．若函数f(x)满足f(x)＝exlnx＋3xf′(1)－1，则f′(1)＝()
A．－ B．－ C．－eD．e
解析：由已知可得f′(x)＝exlnx＋ ＋3f′(1)，令x＝1，
则f′(1)＝0＋e＋3f′(1)，解得f′(1)＝－ .
答案：A
5．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为()
答案：D
10．证明不等式 ≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：

模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(2015·课标全国Ⅰ卷)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析： 由1＋z 1－z ＝i 得z ＝－1＋i 1＋i ＝（－1＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝i ，所以|z |＝1. 答案：A2．若z ＝cos θ－isin θ，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A ．0 B.π2C ．πD ．2π解析：z 2＝(cos θ－isin θ)2＝cos 2θ－isin 2θ，又z 2＝－1，所以cos 2θ＝－1，sin 2θ＝0，检验知θ＝π2.答案：B3．设f (x )＝10x ＋lg x ，则f ′(1)等于( ) A ．10 B ．10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10 D ．11ln 10解析：f ′(x )＝10x ln 10＋1x ln 10，所以f ′(1)＝10ln 10＋1ln 10＝10ln 10＋lg e. 答案：B4．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，n ＞1)”时，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )A ．2k －1 B ．2k －1 C ．2k D ．2k ＋1解析：左边的特点是分母逐渐增加1，末项为12n －1；由n ＝k 时，末项为12k －1到n ＝k＋1时末项为12k ＋1－1＝12k －1＋2k ，所以应增加的项数为2k. 答案：C5．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除 解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”． 答案：B6．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：因为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又因为在x ＝1处有极值，所以a ＋b ＝6，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以ab 的最大值等于9.答案：D7．观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，按此规律，则第100项为( ) A ．10 B ．14 C ．13 D ．100解析：设n ∈N *，则数字n 共有n 个，所以n （n ＋1）2≤100，即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.答案：B8．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B ．(－3，3)C ．(－∞，－3)∪[3，＋∞)D ．解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x )的图象是开口向下的抛物线，所以f ′(x )≤0恒成立，所以Δ＝4a 2－12≤0，所以－3≤a ≤ 3. 答案：D9．若f (x )＝x 2＋2∫10f (x )d x ，则∫10f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13 C.13D ．1解析：设∫10f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，m ＝∫10f (x )d x ＝∫10(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33＋2mx |1＝13＋2m ，解得m ＝－13. 答案：B10．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：由导函数图象可知，当x ＜0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0＜x ＜x 1时，f ′(x )＞0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，所以选项D 正确．答案：D11.已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A.13 B.43 C ．2D.83解析：由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2， 设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0， 所以f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或x ＝－2. 故所求面积S ＝－∫0－2(x 2＋2x )d x ＝－⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2|0－2＝43. 答案：B12．若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在上有根，则实数m 的取值范围是( ) A ． B ．C ．D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.因为f (x )＝0在上有解，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，m ＋2≥0，解得－2≤m ≤2.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2015·江苏卷)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 解析：|z 2|＝|3＋4i|＝5，|z |2＝5，所以|z |＝ 5. 答案： 514．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AO →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_______________．解析：将“△ABC ”类比为“四面体A -BCD ”，将“D 为边BC 的中点”类比为“△BCD 的重心”，于是有类比结论：在四面体A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)．答案：在四面体A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)15．设x ∈R ，若x ＋x －1＝4.则可猜测x 2n ＋x －2n (n ∈N *)的个位数字是________．解析：n ＝1时，x 2＋x －2＝(x ＋x －1)2－2＝14；n ＝2时，x 4＋x －4＝(x 2＋x －2)2－2＝142－2＝194；n ＝3时，x 8＋x －8＝(x 4＋x －4)2－2＝1942－2，因为1942的个位数字是6， 所以1942－2的个位数字是4.猜想可得x 2n ＋x －2n (n ∈N *)的个位数字是4. 答案：416．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在 上有最小值3，那么在上f (x )的最大值是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(－2，0)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，所以最大值为f (3)＝54＋3＝57.答案：57三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ∈R ，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？解：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3.－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1. 知z 的实部为正数，虚部为负数， 所以复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－（a 2－2a ＋2）， 因为a 2－2a ＝(a －1)2－1≥－1， 所以x ＝a 2－2a ＋4≥3，消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)， 所以复数z 对应点的轨迹是一条射线， 其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．18．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为一个三角形的三边，S ＝12(a ＋b ＋c )，且S 2＝2ab ，求证：S ＜2a .证明：因为S 2＝2ab ， 所以要证S ＜2a ， 只需证S ＜S 2b ，即b ＜S .因为S ＝12(a ＋b ＋c )，只需证2b ＜a ＋b ＋c ， 即证b ＜a ＋c .因为a ，b ，c 为三角形三边， 所以b ＜a ＋c 成立，所以S ＜2a 成立．19．(本小题满分12分)设O 为坐标原点，已知向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2 ，且z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，a ∈R ，若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ 1→·OZ 2→的值．解：依题意得z 1＋z 2为实数， 因为z 1＋z 2＝3a ＋5＋21－a ＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －15＝0，a ＋5≠0，1－a ≠0，解得a ＝3.此时z 1＝38－i ，z 2＝－1＋i ，即OZ 1→＝⎝⎛⎭⎫38，－1，OZ 2→＝(－1，1)． 所以OZ 1→·OZ 2→＝38×(－1)＋(－1)×1＝－118.20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0，2)恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R ，t ＞0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1， 即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ，由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1或t ＝－1(不合题意，舍去)． 当t 变化时，g ′(t )，g (t )的变化情况如下表：∴g (t )在h (t )＜－2t ＋m 在(0，2)内恒成立等价于g (t )＜0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m ＜0， ∴m 的取值范围为(1，＋∞)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a ＞0)． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )≤0在区间上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－4x ＋2ln x ， 所以f ′(x )＝2x 2－4x ＋2x (x ＞0)，f (1)＝－3，f ′(1)＝0，所以切线方程为y ＝－3.(2)f ′(x )＝2x 2－2（a ＋1）x ＋2a x ＝2（x －1）（x －a ）x (x ＞0)，令f ′(x )＝0得x 1＝a ，x 2＝1，当0＜a ＜1时，在x ∈(0，a )或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，在x ∈(a ，1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a ，1)；当a ＝1时，f ′(x )＝2（x －1）2x≥0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞1时，在x ∈(0，1)或x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，在x ∈(1，a )时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调增区间为(0，1)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(1，a )．(3)由(2)可知，f (x )在区间上只可能有极小值点，所以f (x )在区间上的最大值必在区间端点取到，所以f (1)＝1－2(a ＋1)≤0且f (e)＝e 2－2(a ＋1)e ＋2a ≤0，解得a ≥e 2－2e2e －2，所以a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥e 2－2e 2e －2. 22．(本小题满分12分)是否存在常数a ，b ，使等式121×3＋223×5＋…＋n 2（2n －1）（2n ＋1）＝an 2＋nbn ＋2对一切n ∈N *都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明． 解：假设存在常数a ，b 使等式成立，则将n ＝1，n ＝2代入上式，有⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋1b ＋2，13＋415＝4a ＋22b ＋2，得a ＝1，b ＝4，即有121×3＋223×5＋…＋n 2（2n －1）（2n ＋1）＝n 2＋n 4n ＋2对于一切n ∈N *都成立．证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1＋14×1＋2＝13，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时等式成立，即 121×3＋223×5＋…＋k 2（2k －1）（2k ＋1）＝k 2＋k 4k ＋2， 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2（2k －1）（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝ k 2＋k 4k ＋2＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝k ＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k ＋12k ＋3＝ k ＋12k ＋1·2k 2＋5k ＋22（2k ＋3）＝k ＋12k ＋1·（2k ＋1）（k ＋2）2（2k ＋3）＝ （k ＋1）（k ＋2）4k ＋6＝（k ＋1）2＋k ＋14（k ＋1）＋2，也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立， 综上所述，等式对任何n ∈N *都成立．。

1＋212＜32，
1＋212＋312＜53，
1＋212＋312＋412＜74
…
照此规律，第五个不等式为_1__2_12___312___41_2 __5_12__．612

11 6
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设f(n)＝n2＋n＋41(n∈N*)，计算f(1)，f(2)， f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并判断是否对所有 n∈N*都成立．
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跟踪训练
4．观察下列等式： 13＋23＝9， 13＋23＋33＝36， 13＋23＋33＋43＝100， 13＋23＋33＋43＋53＝225，
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例如：通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并 证明结论的真假．
sin215°＋sin275°＋sin2135°＝32 ； sin230°＋sin290°＋sin2150°＝3 ；
2
sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝3 ；
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几何中的归纳推理
如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分；画2条线 段，彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分；画3条 线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画4 条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．
x
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝__2_n_－__1_x_＋__2_n .

2019秋 金版学案 数学·选修2-2（人教A版）练习：第一章1.1-1.1.3导数的几何意义 含解析
编 辑：__________________
时 间：__________________
第一章导数及其应用
1.1变化率与导数
1.1.3导数的几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)与f′(5)分别为()
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
解：(1)因为y′＝
＝
＝2x＋1，
所以y′|x＝1＝3，所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x ＋x0－2)，
则直线l2的方程为y－(x ＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．
因为l1⊥l2，所以3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2x0＋1)＝－1，所以x0＝－ ，
所以直线l2的方程为y＝－ x－ .
(2)解方程组 得
又直线l1，l2与x轴交点坐标分别为(1，0)， ，
所以所求三角形面积S＝ × × ＝ .
解析：可设点P的横坐标为x0，则
＝ ＝
＝Δx＋2x0＋2， ＝2x0＋2.所以曲线C在点P处的切线的斜率为2x0＋2.由题意，得0≤2x0＋2≤1，所以－1≤x0≤－ ，所以点P的横坐标的取值范围为 .
答案：
3．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
解析：从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.

(2)类比推理的适用前提
①运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性
或一致性，关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来，再 由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有的特性．
②运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象．
合情推理
1．合情推理的含义
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过______ 观察 、
1.今夜恰有大雾 2.曹操生性多疑 3.北军不善水战 ⇒草船借箭必将成功 弓弩利于远战 4.今夜恰有东风
[问题2]
蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用
肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬
行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的吗？
[提示2] 是．所有的爬行动物都是用肺呼吸的．
(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出
一个猜想． (3)检验这个猜想．
3 ．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1∶2 ，则它 们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长 的比为1∶2，它们的体积比为多少？你能验证这个结论吗？
解析： 由类比推理得， 若两个正四面体的棱长的比为 1∶ 2，则它们的体积比为 1∶8.下面计算验证． 假设两个正四面体的棱长分别为 1 和 2， 如图， 正四面体 A －BCD 的棱长为 1，取 BC 的中点 E，作 AO⊥ED 于 O，则 OD 2 2 3 3 ＝3ED＝3× 2 ＝ 3 .
பைடு நூலகம்
图形中归纳推理的特点及思路
1．此类题目的特点：
由一组平面或空间图形，归纳猜想其数量的变化规律，这 类题颇有智力趣题的味道，解答时常用归纳推理的方法解决， 分析时要注意规律的寻找． 2．解决这类问题从哪入手：

模块综合检测(A)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析： ∵z ＝2－i2＋i＝－2＋－＝4－4i －15＝35－45i ，∴复数z 对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45，在第四象限． 答案： D2．函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( ) A ．10 B ．5 C ．－1D ．－37解析： f ′(x )＝3x 2＋4，f ′(1)＝7，f (1)＝10，y －10＝7(x －1)，y ＝0时，x ＝－37.答案： D3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( ) ①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直； ③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交． A ．①②③ B ．①③ C ．①D ．②③解析： 类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．答案： A4．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值解析： y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1，x ＝3，当x <－1时，y ′>0；当x >－1时，y ′<0. 当x ＝－1时，y 极大值＝5，x 取不到3，无极小值． 答案： C5．函数y ＝4x 2＋1x 的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．(1，＋∞)解析： 令y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，即(2x －1)(4x 2＋2x ＋1)>0，且x ≠0，得x >12.答案： C6．下列计算错误的是( ) A ．⎠⎛π－πsin x d x ＝0 B ．⎠⎛1 0x d x ＝23C ．cos x d x ＝2cos x d xD ．⎠⎛π－πsin 2x d x ＝0解析： 由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果． 答案： D7．用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>1(n ∈N ＋)时，在验证n ＝1时，左边的代数式为( )A ．12＋13＋14B ．12＋13C ．12D ．1解析： 当n ＝1时，不等式左边为11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝12＋13＋14.答案： A8．函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上的减区间是[－1,1]，则( ) A ．a ＝13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0解析： x ∈[－1,1]，y ′＝3ax 2－1≤0，且y ′|x ＝±1＝0， ∴3a ＝1，a ＝13.答案： A9．若z 1，z 2∈C ，则z 1z 2＋z 1z 2是( ) A ．纯虚数 B ．实数 C ．虚数D ．不能确定解析： 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1z 2＋z 1z 2＝(a ＋b i)(c －d i)＋(a－b i)(c＋d i)＝(2ac＋2bd)∈R.答案： B10．设z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是()A．±15 B．15C．－15 D．15解析：log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，log2m2－3m－3m－2＝－1，m2－3m－3m－2＝12，m＝±15，而m>3，所以m＝15.答案： B11．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为() A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析：设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．答案： B12．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是()A．C4H9B．C4H10C．C4H11D．C6H12解析：后一种化合物应有4个C和10个H，所以分子式是C4H10.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知复数z ＝－1＋i1＋i －1，则在复平面内，z 所对应的点在第__________ 象限．解析： z ＝－1＋i1＋i －1＝－1＋i.答案： 二14．垂直于直线2x －6y ＋1＝0并且与曲线y ＝x 3＋3x 2－5相切的直线方程是________． 解析： 设切点为P (a ，b )，函数y ＝x 3＋3x 2－5的导数为y ′＝3x 2＋6x ，切线的斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2＋6a ＝－3，得a ＝－1，代入到y ＝x 3＋3x 2－5，得b ＝－3，即P (－1，－3)，y ＋3＝－3(x ＋1)，3x ＋y ＋6＝0.答案： 3x ＋y ＋6＝015．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R)的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为________．解析： 由题意可知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(0)＝0 ∴b ＝0，∴f (x )＝x 2(x ＋a )，有274＝∫－a 0[0－(x 3＋ax 2)]d x ＝－⎝⎛⎭⎫x 44＋ax 33| －a 0＝a 412，∴a ＝±3. 又－a >0⇒a <0，得a ＝－3. 答案： －316．若Rt △ABC 中两直角边为a ，b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b 2，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO 为棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M ，N 的大小关系是________．解析： 在Rt △ABC 中，c 2＝a 2＋b 2①，由等面积法得ch ＝ab ，∴c 2·h 2＝a 2·b 2②，①÷②整理得1h 2＝1a 2＋1b2.类比得，S 2△ABC ＝S 2△P AB ＋S 2△PBC ＋S 2△P AC ③，由等体积法得S △ABC ·PO ＝12P A ·PB ·PC ， ∴S 2△ABC ·PO 2＝14P A 2·PB 2·PC 2④， ③÷④整理得M ＝N . 答案： M ＝N三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知曲线y ＝5x ，求： (1)曲线上与直线y ＝2x －4平行的切线方程； (2)求过点P (0,5)且与曲线相切的切线方程． 解析： (1)设切点为(x 0，y 0)，由y ＝5x ， 得y ′|x ＝x 0＝52x 0. ∵切线与y ＝2x －4平行， ∴52x 0＝2，∴x 0＝2516，∴y 0＝254，则所求切线方程为y －254＝2⎝⎛⎭⎫x －2516，即2x －y ＋258＝0. (2)∵点P (0,5)不在曲线y ＝5x 上，故需设切点坐标为M (x 1，y 1)，则切线斜率为52x 1.又∵切线斜率为y 1－5x 1，∴52x 1＝y 1－5x 1＝5x 1－5x 1，∴2x 1－2x 1＝x 1，得x 1＝4. ∴切点为M (4,10)，斜率为54，∴切线方程为y －10＝54(x －4)，即5x －4y ＋20＝0.18．(本小题满分12分)设复数z 满足|z |＝1且(3＋4i)z 是纯虚数，求复数z . 解析： 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1. ① (3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a －4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，则3a －4b ＝0. ②联立①②解得⎩⎨⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45＋35i 或z ＝－45－35i.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象经过点(1，－3)且在x ＝1处，f (x )取得极值．求：(1)函数f (x )的解析式；(2)f (x )的单调递增区间．解析： (1)由f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象过点(1，－3)得a ＋b ＋1＝－3， ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，又f ′(1)＝3a ＋b ＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－43a ＋b ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－6，∴f (x )＝2x 3－6x ＋1. (2)∵f ′(x )＝6x 2－6，∴由f ′(x )>0得x >1或x <－1，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c .证明： 已知a >b >c ，因为a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4， 所以a －c a －b ＋a －c b －c ≥4，即1a －b ＋1b －c ≥4a －c.21．(本小题满分13分)用总长14.8 m 的钢条做一个长方体容器的框架．如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5 m ，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．解析： 设该容器底面的一边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5)m ，此容器的高为h ＝14.84－x －(x ＋0.5)＝3.2－2x (0<x <1.6)．于是，此容器的容积为V (x )＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，其中0<x <1.6. 由V ′(x )＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，得x ＝1或x ＝－415(舍去)．因为V (x )在(0,1.6)内只有一个极值点，且x ∈(0,1)时，V ′(x )>0，函数V (x )单调递增；x ∈(1,1.6)时，V ′(x )<0，函数V (x )单调递减．所以，当x ＝1时，函数V (x )有最大值V (1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2×1)＝1.8(m 3)，h ＝3.2－2＝1.2(m)．即当高为1.2 m 时，长方体容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3. 22．(本小题满分13分)设函数f (x )＝x 2x －，给定数列{a n }，其中a 1＝a >1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N ＋)．(1)若{a n }为常数列，求a 的值；(2)判断a n 与2的大小，并证明你的结论． 解析： (1)若{a n }为常数列，则a n ＝a . 由a n ＋1＝f (a n )，得a ＝f (a )．因为f(x)＝x2x－，所以a＝a2a－.又a>1，所以a＝2(a－1)，解得a＝2.(2)当a＝2时，由(1)知a n＝2.当a≠2时，因为a1＝a，a n＋1＝f(a n)＝a2na n－，所以a2＝a21a1－＝a2a－.所以a 2－2＝a2a－－2＝a2－4a＋4a－＝a－2a－>0，即a2>2.因为a 3－2＝a22a2－－2＝a2－2a2－>0，所以a3>2.猜想当n≥2时，a n>2.下面用数学归纳法证明：①n＝2时，a2>2，显然猜想成立．②假设当n＝k(k≥2)时，猜想成立，即a k>2.当n＝k＋1时，a k＋1＝f(a k)＝a2ka k－，所以a k＋1－2＝a2k－4a k＋4a k－＝a k－2a k－.由a k>2，知a k＋1－2>0，所以a k＋1>2.根据①和②可知，当a≠2时，对于一切不小于2的正整数n都有a n>2.综上所述，当a＝2时，a n＝2；当1<a<2时，a1<2，a n>2(n≥2)；当a>2时，a n>2.。

模块综合检测A一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是( ) A ．对任意实数x ，都有x ＞1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x ，都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤1解析： 利用特称(存在性)命题的否定是全称命题求解．“存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C. 答案： C2．在命题“若x ∈R ，f (x )＝0，则函数f (x )是奇函数”的逆命题、否命题与逆否命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析： 原命题与逆否命题是假命题，逆命题与否命题是真命题． 答案： B3．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则“l ∥m ”是“α⊥β”的( ) A ．充要条件 B ．必要条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ∥m ⇒⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊂β⇒α⊥β， ∴“l ∥m ”是“α⊥β”的充分条件，⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊥αm ⊂β⇒/ l ∥m . 答案： C4．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0(x ，y ∈R)，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③¬p ；④¬q .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析： 命题p 为真，命题q 为假，故p 或q 真，¬q 真． 答案： B5．已知i ，j ，k 是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向上的单位向量，且OA→＝2k ，AB →＝－i ＋j －k ，则点B 的坐标为( )A ．(－1,1，－1)B ．(－i ，j ，－k )C ．(1，－1，－1)D ．(－1,1,1)解析： 设点B 的坐标为(x ，y ，z )， 则有AB →＝(x ，y ，z －2)＝(－1,1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z －2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝1.故选D.答案： D6．如下图所示，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15 B.25 C.35D.45解析： 连接BC 1，则BC 1∥AD 1，∠A 1BC 1为A 1B 与AD 1所成角，不妨设AB ＝1，则AA 1＝2.cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212A 1B ·BC 1＝5＋5－22×5＝45.答案： D7．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析： 双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 24的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1. 答案： D8．如图，在锐二面角α－l －β的棱l 上有两点A ，B ，点C ，D 分别在平面α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，AC 与BD 所成角为45°，则CD 的长度为( )A.2－1 B ．2 C. 2D. 5解析： |CD →|＝ CA →＋AB →＋BD → 2＝CA 2→＋AB 2→＋BD 2→＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD→ ＝12＋12＋12＋0＋2×1×1×cos 135°＋2×1×1×cos 135° ＝3－22＝2－1. 答案： A9．设F 1，F 2是双曲线x 2－4y 2＝4a (a >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足：PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，则a 的值为( )A ．2 B.52C ．1D. 5解析： 双曲线方程化为x 24a －y 2a ＝1(a >0)，∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2＝20a ， ① 由双曲线定义|PF 1→|－|PF 2→|＝±4a ， ② 又已知：|PF 1→|·|PF 2→|＝2，③由①②③得：20a －2×2＝16a ，∴a ＝1. 答案： C10．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2，3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为( )A ．2B ．1 C.12D ．3解析： ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，即a ·b ＝0， ∴1×(－2)＋2×3＋(－2)×m ＝0，解得m ＝2. 答案： A11．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 5C. 6D ．2解析： 双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，根据对称性，不妨取y ＝b a x ，代入抛物线得ba x ＝x 2＋1，整理得ax 2－bx ＋a ＝0.因为渐近线与抛物线相切，所以判别式Δ＝b 2－4a 2＝0，即c 2＝a 2＋b 2＝5a 2，解得e 2＝c 2a2＝5，所以离心率e ＝ 5.故选B.答案： B12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为( ) A.12 B.32 C.13D.33解析： 以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1C →＝(－1,1，－1)，AC 1→＝(－1,1,1)．可以证明A 1C ⊥平面BC 1D ，AC 1⊥平面A 1BD .又cos 〈AC 1→，A 1C →〉＝13，结合图形可知平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为13. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中的横线上) 13．(1)命题∀x ∈R ，x 2－x ＋3>0的否定是________； (2)命题∃x 0∈R ，x 20＋3x 0－4≤0的否定是________． 答案： (1)∃x 0∈R ，x 20－x 0＋3≤0 (2)∀x ∈R ，x 2＋3x －4>014．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则x ＝________，y ＝________. 解析： ∵a ＋2b ＝(1＋2x,2＋2，－y ＋4)＝(2x ＋1,4,4－y )， 2a －b ＝(2－x,4－1，－2y －2)＝(2－x,3，－2y －2)， (a ＋2b )∥(2a －b )，∴2x ＋12－x ＝43，得x ＝12，4－y －2y －2＝43，得y ＝－4.答案： 12－415．双曲线x 2－y 2＝1的右支上到直线y ＝x 的距离为2的点的坐标是________． 解析： 设双曲线的右支上的点为P (x ，y )，x >0，则|x －y |2＝2，|x －y |＝2.又x 2－y 2＝1，解得x ＝54，y ＝－34或x ＝－54，y ＝34(舍去)，所以所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫54，－34. 答案： ⎝⎛⎭⎫54，－34 16．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为________．解析： 方法一：如图，取BC 的中点M ，连接OM ，AM . 则OM ⊥平面ABCD .∴∠OAM 为AO 与平面ABCD 的夹角． 令AB ＝2，则AM ＝5，OM ＝1， ∴AO ＝ 6.sin ∠OAM ＝66. 方法二：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，令AB ＝2，则A (2,0,0)，O (1,2,1)， ∴AO →＝(－1,2,1)．又DD 1→＝(0,0,2)为平面ABCD 的法向量．设AO 与平面所成角为α， 则sin α＝|cos 〈AO →，DD 1→〉|＝|AO →·DD 1→||AO →|·|DD 1→|＝26·2＝66.答案：66三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设命题p ：方程x 2a ＋y 22＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0无实数根．若命题“p 且q ”是真命题，求a 的取值范围．解析： 由方程x 2a ＋y 22＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，得a >2.由关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0无实数根， 得Δ＝a 2－8<0， ∴－22<a <2 2.由命题“p 且q ”是真命题，得⎩⎨⎧a >2，－22<a <22，∴2<a <2 2. ∴a 的取值范围是(2,22)．18．(本小题满分12分)已知空间向量a ，b ，且〈a ，b 〉＝120°，|a |＝3，|b |＝4，求： (1)a ·b ；(2)(3a －2b )·(a ＋2b )．解析： (1)a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝3×4×cos 120°＝－6. (2)由(1)知：a ·b ＝－6；所以：(3a －2b )·(a ＋2b )＝3|a |2＋4a ·b －4|b |2＝3×32＋4×(－6)－4×42＝27－24－64＝－61. 19．(本小题满分12分)已知p ：x <－2，或x >10；q ：1－m ≤x ≤1＋m 2；¬p 是q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解析： ∵p ：x <－2，或x >10； q ：1－m ≤x ≤1＋m 2， ∴¬p ：－2≤x ≤10. ∵¬p ⇒q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m 2≥10，解得m ≥3. 又∵q 推不出¬p ，∴m ≠3. ∴m 的取值范围为(3，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，直线l ：y ＝x＋2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O 相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 与曲线|y |＝kx (k ＞0)的交点为A ，B ，求△OAB 面积的最大值． 解析： (1)由题设可知，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2， 因为直线l ：x －y ＋2＝0与圆O 相切，故有 |2|12＋ －1 2＝b .所以b ＝ 2.已知e ＝c a ＝33，所以有a 2＝3c 2＝3(a 2－b 2)．所以a 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点A (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则y 0＝kx 0， 设AB 交x 轴于点D ，由对称性知：S △OAB ＝2S △OAD ＝2×12x 0y 0＝kx 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 203＋y 202＝1，解得x 20＝62＋3k 2. 所以S △OAB ＝k ·62＋3k 2＝62k＋3k ≤62 2k·3k ＝62. 当且仅当2k ＝3k ，即k ＝62时取等号．所以△OAB 面积的最大值62. 21．(本小题满分13分)如图，在空间直角坐标系中，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．(1)证明：PC ⊥平面BEF ；(2)求平面BEF 与平面BAP 所成的锐二面角的大小．解析： (1)证明：∵AP ＝AB ＝2，BC ＝22，四边形ABCD 是矩形． ∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)． 又E ，F 分别是AD ，PC 的中点， ∴E (0，2，0)，F (1，2，1)．∴PC →＝(2,22，－2)，BF →＝(－1，2，1)， EF →＝(1,0,1)，∴PC →·BF →＝－2＋4－2＝0，PC →·EF →＝2＋0－2＝0，∴PC →⊥BF →，PC →⊥EF →，∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF ，BF ∩EF ＝F ， ∴PC ⊥平面BEF .(2)由(1)知平面BEF 的法向量n 1＝PC →＝(2,22，－2)， 平面BAP 的法向量n 2＝AD →＝(0,22，0)， ∴n 1·n 2＝8，设平面BEF 与平面BAP 所成的锐二面角为θ， 则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝84×22＝22， ∴θ＝45°，∴平面BEF 与平面BAP 所成的锐二面角为45°.22．(本小题满分13分)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在直线x ＋2y ＝2上． (1)求抛物线的标准方程；(2)直线y ＝kx ＋1(k >0)交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，AB 的中垂线交x 轴于点Q (x 0,0)．①当k ＝1时，求x 0的值； ②求x 0的取值范围．解析： (1)焦点在x 轴上为(2,0)，抛物线方程为y 2＝8x . (2)将y ＝kx ＋1代入抛物线方程并化简得 k 2x 2＋(2k －8)x ＋1＝0， Δ＝(2k －8)2－4k 2>0,0<k <2，①当k ＝1时，x 1＋x 22＝3，y 1＋y 22＝4，AB 的中垂线方程为y －4＝－(x －3)， 令y ＝0得x 0＝7.②AB 的中垂线方程为y －4k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋k －4k 2，令y ＝0得x 0＝4＋4k 2－1k ，由0<k <2得1k >12，∴x 0＝4⎝⎛⎭⎫1k 2－⎝⎛⎭⎫1k ＋4>4×⎝⎛⎭⎫122－12＋4＝92. ∴x 0＞92.。

第二章 推理与证明
2．1 合情推理与演绎推理 2．1.1 合情推理
[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和 类比等进行简单的推理(重点、难点)． 2.了解合情推理 在数学发现中的作用(重点).
1．归纳推理和类比推理
推理类型
定义
特征
归纳推理
由某类事物的部分对象具有 归纳推理是
某些特征，推出该类事物的全 由部分到整
3V S1＋S2＋S3＋S4.
答案：C
类型 4 类比推理的应用(误区警示) [典例 4] 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示 为 a＝b·cos C＋c·cos B，其中 a，b，c 分别为角 A，B， C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
易错提示：三角形的内角类比到空间中可以是线面 角，也可以是面面角，三角形的边类比到空间中是四面体 的棱还是面，具有不确定性，这些可能是导致出错的原因．
(2)因为 f(x)＝1－x x，所以 f1(x)＝1－x x.
又因为 fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，
x 所以 f2(x)＝f1(f1(x))＝1－1－1－xx x＝1－x2x，
x f3(x)＝f2(f2(x))＝1－12－ ×12－xx2x＝1－x4x，
x f4(x)＝f3(f3ห้องสมุดไป่ตู้x))＝1－14－ ×14－xx4x＝1－x8x，
2．类比推理的步骤与方法： (1)弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的 (细微)差别． (2)把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地 表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含 糊认识说清楚．
于 D，有A1D2＝A1B2＋A1C2成立．那么在四面体 ABCD 中， 类比上述结论，你能得到怎样的猜想？试说明理由．

1．1变化率与导数1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念[学习目标]1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．[知识链接]很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝33V4π，(1)当V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为r(1)－r(0)1－0≈0.62(dm/L)．(2)当V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为r(2)－r(1)2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．[预习导引]1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为f(x2)－f(x1)x2－x1，简记作：ΔyΔx①平均速度；②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0ΔyΔx.①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.要点一求平均变化率例1已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h (1)＝－4.9 (Δx)2－3.3Δx，∴ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3.①当Δx＝2时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2； ③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79； ④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 规律方法 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪演练1 求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值． 解 函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝[3(x 0＋Δx )2＋2]－(3x 20＋2)Δx＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. 要点二 物体运动的瞬时速度例2 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解 令t 0＝6598，Δt 为增量．则h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝－4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt ＋10Δt ＋4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5ΔtΔt ＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5， ∴lim Δt →0h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝lim Δt →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5＝0， 即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下： (1)由物体运动的位移s 与时间t 的函数关系式求出位移增量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (2)求时间t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度v ＝ΔsΔt ； (3)求lim Δt →0 ΔsΔt的值，即得t ＝t 0时的瞬时速度． 跟踪演练2 一质点按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 ∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1 ＝4a Δt ＋a (Δt )2， ∴ΔsΔt ＝4a ＋a Δt .在t ＝2 s 时，瞬时速度为lim Δx →0 ΔsΔt ＝4a ，即4a ＝8，∴a ＝2. 要点三 函数在某点处的导数例3 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ， ∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx ＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 规律方法 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx.跟踪演练3 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数． 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数 f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2) ＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx＝lim Δx →0 (－Δx －1)＝－1.1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( ) A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．函数f (x )在x 0处可导，则lim Δx →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ( ) A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 答案 B3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2 答案 C解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝2(Δx )2＋4Δx ，∴ΔyΔx ＝2Δx ＋4. 4．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________. 答案 －12解析 f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 11＋Δx－1Δx＝lim Δx →0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)作比求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ， 简记为一差，二比，三极限.一、基础达标1．函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx中，Δx 不可能是( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0答案 C 2．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 B解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s答案 A解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 4．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C ．13f ′(1) D ．f ′(3) 答案 A 解析 lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．5．已知函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 答案 13解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝43－1＝13.6．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________． 答案 3解析 v 初＝s ′|t ＝0＝lim Δx →0s (0＋Δt )－s (0)Δt＝lim Δx →0 (3－Δt )＝3. 7．利用定义求函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率．解 因为在x ＝2附近，Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为ΔyΔx ＝－8Δx －2(Δx )2Δx ＝－8－2Δx .故函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率为lim Δx →0 (－8－2Δx )＝－8. 二、能力提升 8.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．相同 D ．不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．9．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________. 答案 2.1 2.001解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴ΔyΔx ＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1. 当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 答案 2解析 由导数的定义， 得f ′(0)＝lim Δx →0f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －cΔx＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b ＞0. 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0. ∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb ＝2.11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16ΔxΔx ＝2Δx ＋16.∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a Δx Δx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与创新13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解 由导数的定义知， f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2. ∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2. 即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.1．1.3 导数的几何意义[学习目标]1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系． 2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义． [知识链接]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？ 答设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.[预习导引] 1．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．函数的导函数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数)．f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.要点一 过曲线上一点的切线方程例1 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值． 解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3axΔx ＝lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3a Δx Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)， 结合已知条件，得⎩⎨⎧ 3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－322，x 0＝－342.∴a ＝1－322.规律方法 一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程．跟踪演练1 求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程．解 因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝lim Δx →0 12＋Δx －12Δx＝ lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14.所以这条曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.要点二 求过曲线外一点的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)曲线过点P (3,9)的切线方程．解 y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 [2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx ＝lim Δx →0 (4x ＋2Δx )＝4x . (1)设切点为(x 0，y 0)，则4x 0＝4，x 0＝1，y 0＝－5， ∴切点坐标为(1，－5)． (2)由于点P (3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0， 故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)． 将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式， 得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)．解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)． 从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.规律方法 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．跟踪演练2 求过点A (2,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程． 解 易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P (x 0，y 0)，由 y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0lim Δx →0 1x 0＋Δx －1x 0Δx ＝－1x 20， 得所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．由点(2,0)在直线上，得x 20y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1，所求直线方程为x ＋y －2＝0.要点三 求切点坐标例3 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)与x 轴成135°的倾斜角．解 f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点． (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行， 所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4， 即P (2,4)是满足条件的点．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， 所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点．(3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角， 所以其斜率为－1.即2x 0＝－1， 得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点．规律方法 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等． 跟踪演练3 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? 解 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴ΔyΔx ＝4x 0＋2Δx .当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0. 即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2答案 C解析 f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →0 2(2＋Δx )2－8Δx＝lim Δx →0 (8＋2Δx )＝8，即k ＝8. 2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1答案 A解析 由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →0 (0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．165°答案 B解析 ∵y ＝12x 2－2，∴y′＝limΔx→012(x＋Δx)2－2－⎝⎛⎭⎪⎫12x2－2Δx＝limΔx→012(Δx)2＋x·ΔxΔx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫x＋12Δx＝x.∴y′|x＝1＝1.∴点P⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.4．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．答案(3,30)解析设点P(x0,2x20＋4x0)，则f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→02(Δx)2＋4x0·Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4，令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30)．1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础达标1．下列说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在答案 C解析k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.2．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定答案 B解析由导数的几何意义，f′(x A)，f′(x B)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(x A)<f′(x B)．3．在曲线y＝x2上切线倾斜角为π4的点是()A．(0,0) B．(2,4)C．(14，116) D．(12，14)答案 D解析∵y′＝limΔx→0(x＋Δx)2－x2Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x，∴令2x＝tanπ4＝1，得x＝12.∴y＝⎝⎛⎭⎪⎫122＝14，所求点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，14.4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1 B．12C ．－12D ．－1答案 A解析 ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a .∴可令2a ＝2，∴a ＝1. 5．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件lim Δx →0 f (1)－f (1－x )2x ＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是________． 答案 －4解析 由lim Δx →0 f (1)－f (1－x )2x＝－2，∴12f ′(1)＝－2，f ′(1)＝－4. 6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 答案 3解析 由在M 点的切线方程y ＝12x ＋2 得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 解 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率 k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0. 二、能力提升 8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析 易得切点P (5,3)，∴f (5)＝3，k ＝－1，即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 9．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________. 答案 3解析 设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋P ＝1，即P ＝3.10．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2. ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解 (1) 由⎩⎨⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝8，或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝13，∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋2x ·Δx Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值． 解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12. 解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3. 三、探究与创新 13．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？ 解 (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点为P (1,1)．∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝m (x 0＋Δ x )3－x 30Δ x＝lim Δx →0 3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx ＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20， ∴当x 0＝1时，k ＝f ′(1)＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎨⎧y ＝3(x －1)＋1y ＝x 3，可得(x －1)(x 2＋x －2)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)或(－2，－8)．说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有其他的公共点.1．2 导数的计算 1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1．能根据定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答(1)计算ΔyΔx，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]1．几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2f(x)＝x f′(x)＝1 2x2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos_xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin_xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln_a(a>0，且a≠1)f(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝log a x f′(x)＝1x ln a(a>0，且a≠1)f(x)＝ln x f′(x)＝1 x要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．解f′(x)＝limΔx→02 013(x＋Δx)2－2 013x2x＋Δx－x＝limΔx→02 013[x2＋2x·Δx＋(Δx)2]－2 013x2Δx＝limΔx→04 026x·Δx＋2 013(Δx)2Δx＝limΔx→0(4 026x＋2 013Δx)＝4 026x.规律方法解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．跟踪演练1用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．解y′＝limΔx→0(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b－(x2＋ax＋b)Δx＝limΔx→0x2＋2x·Δx＋(Δx)2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－bΔx＝limΔx→02x·Δx＋a·Δx＋(Δx)2Δx＝limΔx→0(2x＋a＋Δx)＝2x＋a.要点二利用导数公式求函数的导数例2求下列函数的导数(1)y＝sin π3；(2)y＝5x；(3)y＝1x3；(4)y＝4x3；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5x ln 5；(3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；(4)y′＝⎝⎛⎭⎫4x3′＝⎝⎛⎭⎪⎫x34′＝34x－14＝344x；(5)y′＝(log3x)′＝1x ln 3.规律方法求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x；(3)y＝x x；(4)y＝log13x.解(1)y′＝8x7；(2)y′＝⎝⎛⎭⎪⎫12x ln12＝－⎝⎛⎭⎪⎫12x ln 2；(3)∵y＝x x＝x32，∴y′＝32x12；(4) y′＝1x ln13＝－1x ln 3.要点三利用导数公式求曲线的切线方程例3求过曲线y＝sin x上点P⎝⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．解∵y＝sin x，∴y′＝cos x，曲线在点P⎝⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y′|x＝π6＝cosπ6＝32.∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y－12＝－23⎝⎛⎭⎪⎫x－π6，即2x＋3y－32－π3＝0.规律方法导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，又∵PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝12，所以切点为M⎝⎛⎭⎪⎫12，14.∴所求的切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.1．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝()A．0 B．2xC．6 D．9答案 C解析∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.2．函数f(x)＝x，则f′(3)等于()A.36B．0C．12xD．32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1， ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ， 所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确．2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B. 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4. 4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线． 5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________． 答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 答案 64解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )． 令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 7．求下列函数的导数：(1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e答案 D解析y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝kx 0y 0＝e x 0k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________． 答案 22 解析根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1. ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值． 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 三、探究与创新13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )． 解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4， ∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x ．1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导． [知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数呢？ 答 利用导数的运算法则． [预习导引] 1．导数运算法则法则语言叙述[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x ) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )·g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方2．复合函数的求导法则复合函数 的概念 一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1) y ＝x 3－2x ＋3； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (3)y ＝3x －lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2. (2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得(3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10.规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y ＝5－4x 3；(2)y ＝3x 2＋x cos x ； (3)y ＝e x ·ln x ；(4)y ＝lg x －1x 2. 解 (1)y ′＝－12x 2；(2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x ； (3)y ′＝e x x ＋e x ·ln x ； (4)y ′＝1x ln 10＋2x 3. 要点二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数： (1)y ＝ln(x ＋2)； (2)y ＝(1＋sin x )2； 解 (1)y ＝ln u ，u ＝x ＋2∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(x ＋2)′＝1u ·1＝1x ＋2.(2)y ＝u 2，u ＝1＋sin x ，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(1＋sin x )′ ＝2u ·cos x ＝2cos x (1＋sin x )．规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导． (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤． 跟踪演练2 (1)y ＝e 2x ＋1； (2)y ＝(x －2)2.解 (1)y ＝e u ，u ＝2x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1. (2)法一 ∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4， ∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′ ＝1－4×12x －12＝1－2x .法二 令u ＝x －2，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2(x －2)·(x －2)′＝ 2(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x －0＝1－2x . 要点三 导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程． 解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ②又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)． 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度． 解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B ．x sin x －sin x －cos x(1－x )2C ．cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D ．cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案 A解析 ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________. 答案 ln 2－1解析 设切点为(x 0，y 0)， ∵ y ′＝1x ，∴12＝1x 0，∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b ，∴b ＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin x C ．2e x sin x D ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．当函数y ＝x 2＋a 2x (a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( ) A ．a B ．±a C ．－a D ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12 C ．－12D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)， 令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9. 法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4) B ．[π4，π2) C ．(π2，3π4] D ．[3π4，π)答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)．10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2. 11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 2，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27， 则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12， ①又f ′(x )＝a ＋bx 2， ∴f ′(2)＝74，②。

选修2-2第一章 1.31．函数f( x)的定义域为R，导函数 f ′ (x)的图象如下图，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有一个极大值点、两个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点[答案] C[分析 ]设f′ (x)与x轴的4个交点，从左至右挨次为x1、 x2、 x3、 x4，当 x<x1时， f ′ (x)>0 ， f( x)为增函数，当x1<x<x2时， f ′ (x)<0， f(x)为减函数，则 x＝ x1为极大值点，同理， x＝ x3为极大值点， x＝ x2， x＝ x4为极小值点．[评论 ]相关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象仍是 f ′ (x)的图象，若给的是 f( x)的图象，应先找出 f( x)的单一区间及极 (最 )值点，假如给的是 f ′( x)的图象，应先找出 f ′ (x)的正负区间及由正变负仍是由负变正，而后联合题目特色剖析求解．322． (2014 ·溪一中期中屯 )设 f( x)＝ x ＋ ax ＋ bx＋ 1 的导数 f ′ ( x)知足 f ′ (1)＝ 2a， f ′(2) ＝－ b，此中常数 a、 b∈R.(1)求曲线 y＝f(x)在点 (1， f(1))处的切线方程；(2)设 g(x)＝ f ′ (x)e－x，求函数g(x)的极值．[分析 ]∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f′ ( x)＝3x2＋2ax＋b，∵f ′ (1)＝ 2a，∴3＋ 2a＋b＝ 2a，∵f ′ (2)＝－ b，∴12＋ 4a＋ b＝－ b，3∴a＝－2， b＝－ 3，∴f(x)＝ x3－32x2－3x＋ 1， f ′ (x)＝ 3x2－ 3x－ 3，∴f(1)＝－52， f ′ (1)＝－ 3，∴切线方程为 y－ (－52)＝－ 3(x－ 1)，即 6x＋ 2y－ 1＝ 0.(2)∵g(x)＝ (3x2－ 3x－ 3)e－x，∴g′ (x)＝ (6x－ 3)e－x＋ (3x2－ 3x－3) ·(－ e－x)，∴g′(x)＝－ 3x(x－3)e－x，∴当0<x<3 时， g′ (x)>0，当 x>3 时， g′ (x)<0 ，当 x<0 时， g′ (x)<0 ，∴g(x)在 (－∞，0) 上单一递减，在(0,3)上单一递加，在(3，＋∞ )上单一递减，所以 g 极小 (x) ＝ g(0) ＝－ 3， g 极大 (x)＝ g(3) ＝ 15e－3 .3． (2014 山·东省菏泽市期中 )已知函数 f(x)＝1x2＋ alnx. 2(1)若 a＝－ 1，求函数 f(x)的极值，并指出是极大值仍是极小值；(2)若 a＝ 1，求证：在区间 [1，＋∞ )上，函数 f(x)的图象在函数23的图象的下方．g(x)＝ x3[分析 ] (1)因为函数 f( x)的定义域为 (0，＋∞ )，1x＋ 1x－ 1当 a＝－ 1 时， f ′(x)＝ x－x＝x，令 f ′ (x)＝ 0 得 x＝ 1 或 x＝－ 1(舍去 )，当 x∈(0,1)时， f ′ (x)<0 ，所以函数 f( x)在 (0,1)上单一递减，当 x∈(1，＋∞ )时， f ′ (x)>0，所以函数 f(x)在 (1，＋∞)上单一递加，则 x＝1 是 f( x)的极小值点，所以 f(x)在 x＝ 1 处获得极小值为f(1) ＝1 2 .1223 (2)证明：设 F(x)＝ f(x)－ g(x)＝2x ＋ lnx－3x ，12－ 2x3＋ x2＋ 1则 F′ (x)＝ x＋x－ 2x＝x－x－ 1 2x2＋ x＋ 1＝x，当 x>1 时， F′ (x)<0 ，故 f(x)在区间 [1，＋∞ )上单一递减，1又 F(1)＝－6<0，∴在区间[1，＋∞)上， F(x)<0 恒建立，即 f(x)<g(x)恒建立．所以，当 a＝ 1 时，在区间 [1，＋∞) 上，函数 f(x)的图象在函数g(x)图象的下方．。

第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1合情推理A 级　基础巩固一、选择题1．已知 ＝， ＝， ＝4，….若2＋232233＋383384＋415415＝6(a ，b ∈R)，则( )6＋a b ab A ．a ＝5，b ＝24 B ．a ＝6，b ＝24C ．a ＝6，b ＝35D ．a ＝5，b ＝35解析：观察式子的特点可知，分式的分子a 与根号外的数相同，ab 而分母b 则为a 的平方减1.答案：C2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴的根数为( )A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2 D ．8n ＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n ＋2.故选C.答案：C3．设n 是自然数，则(n 2－1)[1－(－1)n ]的值( )18A ．一定是零 B ．不一定是偶数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数解析：当n 为偶数时，(n 2－1)[1－(－1)n ]＝0为偶数；当n 为奇18数时(n ＝2k ＋1，k ∈N)，(n 2－1)[1－(－1)n ]＝(4k 2＋4k )·2＝k (k ＋1)为1818偶数．所以(n 2－1)[1－(－1)n ]的值一定为偶数．18答案：C4．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x 轴，y 轴上的截x a yb距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.＋＋＝1B.＋＋＝1x a y b z cx ab y bc z caC.＋＋＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1xy ab yz bc zxca解析：从方程＋＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平x a yb面方程的形式应该是＋＋＝1.x a y b z c答案：A5．在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比x ＋y1－xy正切的和角公式．如：设a ，b 是非等实数，且满足＝tana sin π5＋b cosπ5a cos π5－b sinπ5，则等于( )8π15baA ．4B.C ．2D.153解析：将已知式变形，则有＝＝a sin π5＋b cos π5a cos π5－b sin π5a tan π5＋b a －b tan π5tan π5＋ba1－b a tanπ5＝tan ＝tan ，类比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝8π15(π5＋π3)，可知只有当＝tan ＝时，上式成立．tan α＋tan β1－tan αtan βb a π33答案：D 二、填空题6．设f (x )＝.利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的12x ＋2方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．解析：因为6－(－5)＝11，所以f (－5)，f (－4)，…，f (5)，f (6)，共有12项，课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法是倒序相加法，即因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a n ＋a 1，令S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，所以2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)＝n (a 1＋a n )，所以S n ＝.n （a 1＋a n ）2同理，因为f (x )＋f (1－x )＝＋＝12x ＋2121－x ＋2＋＝＝.12x ＋22x2＋2×2x 2＋2x2（2x ＋2）22令T n ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (5)＋f (6)，则T n ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (－4)＋f (－5)，所以2T n ＝[f (－5)＋f (6)]＋[f (－4)＋f (5)]＋…＋[f (6)＋f (－5)]＝12×＝6.222所以T n ＝3.2答案：327．通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R 2.”猜想关于球的相应命题为_____________________________________________________．解析：“圆中正方形的面积”类比为“球中正方体的体积”，可得结论．答案：半径为R 的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为R 3.8398．(2015·陕西卷)观察分析下表中的数据：多面体面数(F )顶点数(V )棱数(E )三棱锥569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中，F ，V ，E 所满足的等式是______________．解析：三棱锥：F ＝5，V ＝6，E ＝9，得F ＋V －E ＝2；五棱锥：F ＝6，V ＝6，E ＝10，得；F ＋V －E ＝2；立方体：F ＝6，V ＝8，E ＝12，得F ＋V －E ＝2.所以归纳猜想一般凸多面体中，F ，V ，E 所满足的等式F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝2三、解答题9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝×底×高；12(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的.12…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．(2)四面体的体积V ＝×底面积×高．13(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.1410．已知数列，，，…，11×313×515×71（2n －1）（2n ＋1）(n ∈N *)的前n 项和为S n .(1)求出S 1，S 2，S 3，S 4；(2)猜想该数列的前n 项和S n 并证明．解：(1)S 1＝，S 2＝，S 3＝，S 4＝.13253749(2)猜想S n ＝(n ∈N *)．证明如下：n2n ＋1因为＝，1（2n －1）（2n ＋1）12(12n －1－12n ＋1)所以S n ＝Error!＝(n ∈12(1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－)n2n ＋1N *)．B 级　能力提升1．图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n 个图包含的单位正方形的个数是( )图①　图② 图③ 图④A ．n 2－2n ＋1B ．2n 2－2n ＋1C ．2n 2＋2D ．2n 2－n ＋1解析：观察题中给出的四个图形，图①共有12个正方形，图②共有12＋22个正方形；图③共有22＋32个正方形；图④共有32＋42个正方形；则第n 个图中共有(n －1)2＋n 2，即2n 2－2n ＋1个正方形．答案：B2．若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则数列{b n }：b n ＝(n ∈N *)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n >0，则数列{d n }：d n ＝________(n ∈N *)也是等比数列．解析：在运用类比推理解决问题时，首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性，再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，找出等差数列与等比数列在运算上的相似性：等差←→等比，求和←→求积，除法←→开方，故猜想d n ＝，n c 1·c 2·c 3·…·c n 故填 .n c 1·c 2·c 3·…·c n 答案：n c 1·c 2·c 3·…·c n3．在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，cos 2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解：在长方形ABCD中，cos 2α＋cos 2β＝＋＝＝＝1.(a c )2 (b c )2 a 2＋b 2c2c 2c 2于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝＋＋＝＝＝1.(m l )2 (n l )2 (g l )2m 2＋n 2＋g 2l2l 2l 2。

2．2.2 椭圆及其标准方程(二)基础梳理1． 平面内与两个定点F 1，F 2的2． ________________________________________________________________________的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的______，__________________________叫做椭圆的焦距．2．填表：想一想：已知M 为椭圆x a 2＋y b2＝1(a >b >0)上一动点，F 1为椭圆的左焦点，那么线段MF 1的中点P 的轨迹是不是椭圆？基础梳理1．距离的和等于常数(大于|F 1F 2|) 焦点 两焦点间距离2.x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0) (－c ，0)，(c ，0) (0，－c )，(0，c ) a 2－b 2想一想：由题意知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义知P 点的轨迹是椭圆． 自测自评1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距等于2，则m 的值为( ) A ．5或3 B ．8C ．5D ．162．已知椭圆x 216＋y 2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( ) A ．8 B ．12C ．2 3D ．433．已知A (0，－1)、B (0，1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) B.y 23＋x 24＝1(y ≠±2) C.x 24＋y 23＝1(y ≠0) D.y 24＋x 23＝1(x ≠0) 自测自评1．A2．解析：把点(－2，3)代入x 216＋y 2b 2＝1，得b 2＝4，∴c 2＝a 2－b 2＝12.∴c ＝2 3.∴2c ＝4 3.答案：D3．D基础巩固1．椭圆4x 2＋9y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(±5，0)B ．(0，±5)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫±56，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫±536，0 1．解析：椭圆4x 2＋9y 2＝1的标准形式为x 214＋y 219＝1， ∴a 2＝14，b 2＝19.故c 2＝14－19＝536. 答案：C2．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.32 B. 3 C.72D ．4 2．解析：不妨设F 1的坐标为(3，0)，P 点坐标为(x 0，y 0)，∵PF 1与x 轴垂直，∴x 0＝ 3.把x 0＝3代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得y 20＝14.∴|PF 1|＝12.∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝72. 答案：C3．对于常数m 、n ，“mn ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．解析：由mn ＞0，若m ＝n ＞0，则方程mx 2＋ny 2＝1表示圆，故mn ＞0D ⇒/方程mx 2＋ny 2＝1表示椭圆，若mx 2＋ny 2＝1表示椭圆，则必有mn ＞0，故选B.答案：B4．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________．4．8 能力提升5．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A 、B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 5．解析：如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义得，|AF 1|＝2a －32，① 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22，② 由①、②得，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.故选C. 答案：C6．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的关系是( ) A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不相等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对6．解析：对于方程x 225＋y 29＝1，其焦点在x 轴上，且c ＝4.对于方程x 29－k ＋y 225－k＝1，∵0<k <9，∴0<9－k <9，16<25－k <25. ∴25－k >9－k ，且25－k －(9－k )＝16.由此可知，方程x 29－k ＋y 225－k＝1的焦点在y 轴上，且c ＝4.故曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1有相等的焦距，不同的焦点． 答案：B7．设F 1、F 2分别是椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝______． 7．解析：由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝2|PO →|＝|F 1F 2|＝6. 答案：68．(2014·济南高二检测)若椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2>b 2>0)的焦点相同且a 1>a 2.给出如下四个结论： ①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；②a 1a 2>b 1b 2； ③a 21－a 22＝b 21－b 22；④a 1－a 2<b 1－b 2.其中，所有正确结论的序号是__________．8．解析：由题意，a 21－b 21＝a 22－b 22，因为a 1>a 2，所以b 1>b 2，所以①③正确；又a 21－a 22＝b 21－b 22，a 1>b 1>0，a 2>b 2>0，所以④正确．答案：①③④9．一动圆过定点A (2，0)，且与定圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．9．解析：将圆的方程化为标准形式(x ＋2)2＋y 2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B (－2，0)，半径为6，如图：设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C .∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC |－|MC |＝|BM |，而|BC |＝6，∴|BM |＋|CM |＝6，又|CM |＝|AM |，∴|BM |＋|AM |＝6，根据椭圆的定义知M 的轨迹是以点B (－2，0)和点A (2，0)为焦点，线段AB 的中点(0，0)为中心的椭圆．∴a ＝3，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝5，∴所求圆心的轨迹方程为x 29＋y 25＝1. 10．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程． 10．解析：由OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝(－x 2，－y 2)，即P 点坐标为(－x 2，－y 2)，又P 点在椭圆上， ∴（－x 2）2a 2＋（－y 2）2b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b 2＝1， ∴动点Q 的轨迹方程为x 24a 2＋y 24b 2＝1(a >b >0)．。

姓名，年级：时间：评估验收卷（二)（时间:120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下面是某电影中的一个片段：女主人欲输入由十个数字组成的密码，当她依次输入了前八个数字11235813后，欲输入最后两个数字时她犹豫了,也许是忘记了最后两个数字，也许……请你根据上述相关数据信息推测最后两个数字最有可能是( ）A．2，1 B．2，0C．1，3 D．3,1解析：前八个数字11235813，发现1＋1＝2，1＋2＝3,2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，又8＋13＝21，所以最后两个数字最有可能是2，1.答案:A2．下面几种推理是合情推理的是( ）①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°;③由f （x）＝sin x满足f(－x)＝－f(x)，x∈R，推出f(x）＝sin x是奇函数；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°,五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③④C．①②④D．②④解析：合情推理分为类比推理和归纳推理,①是类比推理,②④是归纳推理,③是演绎推理．答案：C3．用数学归纳法证明“对一切n∈N＊,都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证( ）A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1,n＝2，n＝3时命题成立解析：假设n＝k时不等式成立,即2k>k2－2，当n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k〉2（k2－2)，2(k2－2）≥(k＋1）2－2⇒k2－2k－3≥0⇔ (k＋1）(k－3）≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1，2，3时命题成立．答案：D4．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－错误!＋错误!－错误!＋…－错误!＝2错误!时，若已假设n＝k（k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立．（）A．k＋1 B．k＋2C．2k＋2 D．2（k＋2)解析：根据数学归纳法的步骤可知,n＝k（k≥2且k为偶数）的下一个偶数为n＝k＋2，故选B.答案：B5．已知｛b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29。

第一章 1.6一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列各式中错误的是( )A ．sin φd φ＝1B. cos φd φ＝1C ．⎠⎛1e e xd x ＝－1 D ．⎠⎛1e1x d x ＝1解析： sin φd φ＝(－cos φ)| ＝－0－(－1)＝1， cos φd φ＝sin φ| ＝1－0＝1，⎠⎛1ee x d x ＝e x | e 1＝e e－e ，⎠⎛1e1x d x ＝ln x | e1＝ln e －0＝1.故选C.答案： C2．已知f (x )是一次函数且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为() A ．4x ＋3 B ．3x ＋4C ．－4x ＋3D ．－3x ＋4解析： 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则xf (x )＝ax 2＋bx ， ⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫a 2x 2＋bx | 10＝a 2＋b ＝5， ① ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋b 2x 2| 10＝a 3＋b 2＝176， ② 联立①②得⎩⎨⎧ a 2＋b ＝5a 3＋b 2＝176⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3，故选A.答案： A3．若⎠⎛1b1x 2d x ＝12，则b ＝( )A ．32B ．2C ．3D ．4 解析： ⎠⎛1b 1x 2d x ＝－1x | b 1＝－⎝⎛⎭⎫1b －1＝12，解得b ＝2. 答案： B4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]2－x ，x ∈[1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( ) A ．34B ．56C ．45D ．不存在 解析： ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2| 21＝56. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．如果⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________. 解析： 由⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝－1， 知⎠⎛12f (x )d x ＝－1－⎠⎛01f (x )d x ＝－2.答案： －26．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 解析： ⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋cx | 10＝a 3＋c ， 又f (x 0)＝⎠⎛01f (x )d x ，∴a 3＋c ＝ax 20＋c ，∴x 20＝13， ∴x 0＝±33，又0≤x 0≤1， ∴x 0＝33. 答案：33 三、解答题(每小题10分，共20分)7．计算下列定积分．(1) ⎠⎛13(1＋x ＋x 2)d x ；(2) ⎠⎛25 (3x 2－2x ＋5)d x ； (3)⎠⎛02π(cos x －sin x )d x ；(4)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e x －1x d x . 解析： (1)⎠⎛13(1＋x ＋x 2)d x ＝⎠⎛131d x ＋⎠⎛13x d x ＋⎠⎛13x 2d x ＝x | 31＋12x 2| 31＋13x 3| 31 ＝(3－1)＋12(32－12)＋13(33－13) ＝443. (2)⎠⎛25(3x 2－2x ＋5)d x ＝⎠⎛253x 2d x －⎠⎛252x d x ＋⎠⎛255d x ＝x 3| 52－x 2| 52＋5x | 52＝(53－23)－(52－22)＋5(5－2) ＝111.(3)⎠⎛02π(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| 2π0 ＝(sin 2π＋cos 2π)－(sin 0＋cos 0)＝0.(4)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e x －1x d x ＝(e x －ln x )| 21 ＝(e 2－ln 2)－(e 1－ln 1)＝e 2－e －ln 2. 8．(1)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3， x ∈[0，，x ， x ∈[1，，2x ， x ∈[2，3]，在区间[0,3]上的定积分；(2)求⎠⎛－33 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x . 解析： (1)⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x ＝14x 4| 10＋23x 32| 21＋2x ln 2| 32＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2.(2)∵|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ， x <－32，6， －32≤x ≤32，4x ， x >32，∴⎠⎛－33 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x尖子生题库☆☆☆ 9．(10分)已知函数f (x )＝⎠⎛0x (at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值．解析： f (x )＝⎠⎛0x(at 2＋bt ＋1)d t ＝⎝⎛⎭⎫a 3t 3＋b 2t 2＋t | x 0＝a 3x 3＋b 2x 2＋x . ∵f (x )为奇函数， ∴b 2＝0，即b ＝0. 又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13， ∴a ＝－52.。

姓名，年级：时间：第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2。

2.1 综合法与分析法[A级基础巩固］一、选择题1．已知A，B为△ABC的内角，则A〉B是sin A>sin B的（)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析:由正弦定理错误!＝错误!,又A，B为三角形的内角，所以sin A>0，sin B〉0，所以sin A〉sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a〉b⇔A>B.答案:C2．设0〈x〈1，则a＝错误!x,b＝1＋x，c＝错误!中最大一个是（）A．a B．bC．c D．不能确定解析：因为b－c＝(1＋x)－错误!＝错误!＝－错误!〈0，所以b〈c。

又因为b＝1＋x>2x＝a，所以a<b<c.答案：C3．在△ABC中，已知sin A cos A＝sin B cos B，则该三角形是（) A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形解析：由sin A cos A＝sin B cos B得sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B 或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝错误!.所以该三角形是等腰或直角三角形．答案：D4．在集合{a,b，c,d｝上定义两种运算⊕和⊗如下:那么，d⊗（a⊕c）等于( ）A．a B．b C．c D．d解析:由⊕运算可知，a⊕c＝c,所以d⊗（a⊕c)＝d⊗c.由⊗运算可知，d⊗c＝a.故选A。

答案:A5．设a〉0，b〉0且ab－（a＋b)≥1，则（）A．a＋b≥2（错误!＋1）B．a＋b≤错误!＋1C ．a ＋b ≤(错误!＋1）2D ．a ＋b 〉2（错误!＋1)解析：由条件知a ＋b ≤ab －1≤错误!错误!－1,令a ＋b ＝t ，则t 〉0,且t ≤错误!－1,解得t ≥2＋2错误!。

答案：A二、填空题6．命题“函数f (x ）＝x －x ln x 在区间(0，1）上是增函数”的证明过程“对函数f （x ）＝x －x ln x 求导,得f ′(x ）＝－ln x ，当x ∈(0，1）时,f ′(x ）＝－ln x 〉0，故函数f （x )在区间（0,1）上是增函数"应用了________的证明方法．答案：综合法7．将下面用分析法证明错误!≥ab 的步骤补充完整：要证错误!≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ,也就是证__________________，即证____________，由于____________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 （a －b ）2≥0 （a －b )2≥08．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1,则1a＋错误!＋错误!的最小值为________．解析：根据条件可知,欲求错误!＋错误!＋错误!的最小值．只需求（a ＋b ＋c ）错误!的最小值，因为（a ＋b ＋c )错误!＝3＋错误!＋错误!＋错误!≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”）． 答案：9三、解答题9．（1)用综合法证明:若a〉0，b>0，求证:（a＋b）·错误!≥4；(2）用分析法证明:已知a〉0,求证：错误!－错误!≥a＋错误!－2。