小学四年级奥数 第13讲：位值原理

5-7-1.位值原理教学目标1.利用位值原理的定义进行拆分2.巧用方程解位值原理的题知识点拨位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。

我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。

这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。

既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。

例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。

最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。

但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。

希望同学们在做题中认真体会。

1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲模块一、简单的位值原理拆分【例 1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。

这个两位数的各位数字的和是。

【例 2】学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上）【例 3】把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．【例 4】几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16，如果十位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元___________年。

5-7-1.位值原理教學目標1.利用位值原理的定義進行拆分2.巧用方程解位值原理的題知識點撥位值原理當我們把物體同數相聯系的過程中，會碰到的數越來越大，如果這種聯繫過程中，只用我們的手指頭，那麼到了“十”這個數，我們就無法數下去了，即使象古代墨西哥尤裏卡坦的瑪雅人把腳趾也用上，只不過能數二十。

我們顯然知道，數是可以無窮無盡地寫下去的，因此，我們必須把數的概念從實物的世界中解放出來，抽象地研究如何表示它們，如何對它們進行運算。

這就涉及到了記數，記數時，同一個數字由於所在位置的不同，表示的數值也不同。

既是說，一個數字除了本身的值以外，還有一個“位置值”。

例如，用符號555表示五百五十五時，這三個數字具有相同的數值五，但由於位置不同，因此具有不同的位置值。

最右邊的五表示五個一，最左邊的五表示五個百，中間的五表示五個十。

但是在奧數中位值問題就遠遠沒有這麼簡單了，現在就將解位值的三大法寶給同學們。

希望同學們在做題中認真體會。

1.位值原理的定義：同一個數字，由於它在所寫的數裏的位置不同，所表示的數值也不同。

也就是說，每一個數字除了有自身的一個值外，還有一個“位置值”。

例如“2”,寫在個位上，就表示2個一，寫在百位上，就表示2個百，這種數字和數位結合起來表示數的原則，稱為寫數的位值原理。

2.位值原理的表達形式：以六位數為例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

3.解位值一共有三大法寶：（1）最簡單的應用解數字謎的方法列豎式（2）利用十進位的展開形式，列等式解答（3）把整個數字整體的考慮設為x，列方程解答例題精講模組一、簡單的位值原理拆分【例 1】一個兩位數，加上它的個位數字的9倍，恰好等於100。

這個兩位數的各位數字的和是。

【例 2】學而思的李老師比張老師大18歲，有意思的是，如果把李老師的年齡顛倒過來正好是張老師的年齡，求李老師和張老師的年齡和最少是________？（注：老師年齡都在20歲以上）【例 3】把一個數的數字順序顛倒過來得到的數稱為這個數的逆序數，比如89的逆序數為98．如果一個兩位數等於其逆序數與1的平均數，這個兩位數是________．【例 4】幾百年前，哥倫布發現美洲新大陸，那年的年份的四個數字各不相同，它們的和等於16，如果十位數字加1，則十位數字恰等於個位數字的5倍，那麼哥倫布發現美洲新大陸是在西元___________年。

位值原理知识框架位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十.我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算.这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同.既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”.例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值.最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十.但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们.希望同学们在做题中认真体会.1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理.2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f.3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答重难点（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲【例 1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100.这个两位数的各位数字的和是 .【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】 这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10.【答案】10【巩固】 一个两位数，加上它的十位数字的9倍，恰好等于100.这个两位数是 .【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】 设为ab ，10a+b+9a=19a+b=100，a=5，b=5.【答案】55【例 2】 学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上）【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2010年，学而思杯，4年级，第5题【解析】 解设张老师年龄为ab ，则李老师的年龄为ba ，根据题意列式子为：18ba ab -=，整理这个式子得到：()918b a -=，所以2b a -=，符合条件的最小的值是1,3a b ==，但是13和31不符合题意，所以，答案为2a =与4b =符合条件的为：244266+=岁.【答案】66岁【巩固】 把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2009年，学而思杯，5年级，第3题【解析】 设为ab ，即101102b a a b +++=，整理得1981a b =+，3,7a b ==，两位数为37 【答案】37【例 3】 几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16，如果十位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元___________年.【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2010年，第8届，希望杯，4年级，初赛，10题【解析】 肯定是1×××年，16－1＝15，百位，十位与个位和是15，十位加1后，数字和是15＋1＝16，此时十位和个位和是6的倍数，个位不是1，只能是2，十位原来是9，百位是4，所以是在1492年.【答案】1492【巩固】 小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和．问：他今年多少岁?【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】1995年，第5届，华杯赛，初赛，第11题【解析】 设小明出生那年是，则1＋9＋a ＋b ＝95－10a －b从而11a ＋2b ＝85在a ≥8时，11＋2b ＞85；在a ≤6时，11a ＋2b ≤66＋2×9＝84，所以必有a ＝7，b ＝4.小明今年是1＋9＋7＋4＝21(岁).【答案】21岁【例 4】 一个十位数字是0的三位数，等于它的各位数字之和的67倍，交换这个三位数的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的 倍.【考点】简单的位值原理拆 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2009年，希望杯，第七届，五年级，复赛，第4题，5分【解析】 令这个三位数为0a b ，则由题意可知，10067()a b a b +=+，可得2a b =，而调换个位和百位之后变为：0100102b a b a b =+=，而3a b b +=，则得到的新三位数是它的各位数字之和的102334b b ÷=倍.【巩固】 一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是7，试求它们的差.【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，复赛，第18题，10分【解析】 abc cba -个位是7，明显a 大于c ，所以10+c -a =7，a -c =3，所以他们的差为297【答案】297【例 5】 三位数abc 比三位数cba 小99，若,,a b c 彼此不同，则abc 最大是________【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，五年级，初赛，第7题，6分【解析】 由题意，99abc cba +=，有9a c =+，要abc 最大，如果9a =，那么0c =，与cba 为三位数矛盾；如果8a =，那么9c =，剩下b 最大取7，所以abc 最大是879.【答案】879【巩固】 一个三位数abc 与它的反序数cba 的和等于888，这样的三位数有_________个.【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，六年级，二试，第4题，5分【解析】 显然a c +、b b +都没有发生进位，所以8a c +=、8b b +=，则4b =，a 、c 的情况有1+7、2+6、3+5、4+4、5+3、6+2、7+1这7种.所以这样的三位数有7种.【答案】7个【例 6】 将2，3，4，5，6，7，8，9这八个数分别填入下面的八个方格内（不能重复），可以组成许多不同的减法算式，要使计算结果最小，并且是自然数，则这个计算结果是__________.-□□□□□□□□【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【解析】千位数差1，后三位，大数的尽量取小，小者尽量取大，最大的可以取987，小的可以取234，所以这两个四位数应该是5987和6234，差为247.【答案】247【巩固】用1，2，3，4，5，7，8，9组成两个四位数，这两个四位数的差最小是___________.【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2007年，希望杯，第五届，四年级，复赛，第5题，5分【解析】千位数差1，后三位，大数的尽量取小，小者尽量取大，最大的可以取987，小的可以取123，所以这两个四位数应该是4987和5123，差为136.【答案】136【例 7】xy，zw各表示一个两位数，若xy+zw=139，则x+y+z+w= .【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2003年，希望杯，第一届，五年级，初赛，第5题，4分【解析】和的个位为9，不会发生进位，y+w=9，十位明显进位x+z=13，所以x+y+z+w=22【答案】22【巩固】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】解答【关键词】美国，小学数学奥林匹克【解析】设原来的两位数为ab，交换后的新的两位数为ba，根据题意，-=+--=-=，5ab ba a b b a a b(10)(10)9()45-=，原两位数最大时，十位数字至多为9，即a bb=，原来的两位数中最大的是94．9a=，4【答案】94【例 8】 一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原来两位数的8倍小1，原来的两位数是______.【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星 【题型】填空【关键词】2007年，希望杯，第五届，六年级，初赛，第13题，6分【解析】 设这个两位数是ab ，则100a+b=8(10a+b)-1，化为20a+1=7b ，方程的数字解只有a=1，b=3，原来的两位数是13.【答案】13【巩固】 一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数.又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数.【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设第一个2位数为10a +b ；第二个为10b +a ；第三个为100a +b ；由题意：(100a +b )-（10b +a ）=( 10b +a )-（10a +b ) ；化简可以推得b =6a ，0≤a ,b ≤9，得a =1，b =6；即每小时走61-16=45 ；（601-106)÷45=11；再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数.【答案】11小时【例 9】 abcd ，abc ，ab ，a 依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足abcd —abc —ab —a =1787，则这四位数abcd = 或 .【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2009年，第7届，希望杯，4年级，初赛，16题【解析】 原式可表示成：8898991787a b c d +++=，则知a 只能取：1或2，当1a =时，b 无法取，故此值舍去.当2a =时，0b =，0c =或1，d 相应的取9或0.所以这个四位数是：2009或2010.【答案】2009或2010【巩固】 已知1370,abcd abc ab a abcd +++=求.【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 原式：1111a ＋111b ＋11c ＋d ＝1370，所以a ＝1， 则111b ＋11c ＋d ＝1370－1111＝259，111b ＋11c ＋d ＝259推知b ＝2；则222＋11c ＋d ＝259，11c ＋d ＝37进而推知c ＝3，d ＝4所以abcd ＝1234.【答案】1234【例 10】 有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【关键词】第五届，希望杯，培训试题【解析】 设这六个不同的三位数为,,,,,abc acb bac bca cab cba ， 因为10010abc a b c =++，10010acb a c b =++，……，它们的和是：222()1554a b c ⨯++=，所以15542227a b c ++=÷=，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而7(12)4-+=，所以最大的数最大为4；又12367++=<，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．【答案】1，2，4【巩固】 有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数的最小值．【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【关键词】迎春杯，决赛【解析】 设三个数字分别为a 、b 、c ，那么6个不同的三位数的和为：2()1002()102()222()abc acb bac bca cab cba a b c a b c a b c a b c +++++=++⨯+++⨯+++=⨯++ 所以288622213a b c ++=÷=，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位 数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13193--=，所以所 有这样的6个三位数中最小的三位数为139．【答案】139【例 11】 有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数.【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 方法三：设两位数为x ，则有（10x ＋1）－（100＋x ）＝414，解得：x ＝57.【答案】57【巩固】 有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999，求原来的三位数.【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设三位数为x ，则有（6000＋x ）＋（10x ＋6）＝9999，解得：x ＝363.【答案】363课堂检测【随练1】 在下面的等式中，相同的字母表示同一数字， 若abcd dcba -=□997，那么□中应填 .【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2007年，第12届，华杯赛，五年级，决赛，第3题，10分【解析】 由题意知，a ≥d ,由差的个位为7可知，被减数个位上的d 要向十位上的c 借一位，则10+d －a =7,即a －d =3.又因为差的十位及百位均为9，由分析可知b =c ，故被减数的十位要向百位借一位，百位要向千位借一位，即()12a d --=,因此□内应填入2.【答案】2【随练2】 从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数.若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这三个数字分别为a 、b 、c .由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的它们组成的三位数最小为159，最大为951.【答案】最小为159，最大为951【随练3】如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加1111A，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A.【考点】巧用方程解位值原理【难度】3星【题型】解答【解析】设这个数为x，则10x+5-x＝1111A，化简得9x＝1106A，等号右边是9的倍数，试验可得A＝1，x＝1234.【答案】A＝1，x＝1234复习总结（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答家庭作业【作业1】如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”.例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99.可以证明，所有的巧数都是两位数.请你写出所有的巧数.【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【解析】设这个巧数为ab，则有ab+a+b＝10a+b，a(b+1)＝10a，所以b+1＝10，b＝9.满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99.【答案】巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99.【作业2】a，b，c分别是09中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【解析】由a，b，c组成的六个数的和是222()⨯++．因为223422210a b c++>．a b c>⨯，所以10若11a b c ++=，则所求数为222112234208⨯-=，但2081011++=≠，不合题意．若12a b c ++=，则所求数为222122234430⨯-=，但430712++=≠，不合题意．若13a b c ++=，则所求数为222132234652⨯-=，65213++=，符合题意．若14a b c ++=，则所求数为222142234874⨯-=，但8741914++=≠，不合题意．若15a b c ++≥，则所求数2221522341096≥⨯-=，但所求数为三位数，不合题意．所以，只有13a b c ++=时符合题意，所求的三位数为652．【答案】652【作业3】 在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍.求出所有这样的三位数.【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5.如果个位数是0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5.设原两位数是ab ，则b =5，变成的三位数为5ab ，由题意有100a ＋10b ＋5＝（10a ＋5）×9，化简得a ＋b ＝4.变成的三位数只能是405，315，225，135.【答案】三位数只能是405，315，225，135【作业4】 如果70ab a b ⨯=，那么ab 等于几？【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 将70ab a b ⨯=，展开整理得：(10)71000a b a b ⨯+⨯=⨯++，707100a b a b +=+，306a b =，5a b =，由于位值的性质，每个数位上的数值在0 ～9之间，得出1a =，5b =.【答案】15【作业5】 如果把数码3加写在某自然数的右端，则该数增加了12345A ，这里A 表示一个看不清的数码，求这个数和A .【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这个数码为x ，则有：（10x ＋3）－x ＝123450＋A ,解得，9x ＝123447＋A ，右边是9的倍数，根据被9整除的数字的特点知道，A ＝6，故：x ＝13717.【答案】6。

5-7-1.位值原理教学目标1.利用位值原理的定义进行拆分2.巧用方程解位值原理的题知识点拨位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。

我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。

这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。

既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。

例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。

最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。

但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。

希望同学们在做题中认真体会。

1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲模块一、简单的位值原理拆分【例 1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。

这个两位数的各位数字的和是。

【例 2】学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上）【例 3】把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．【例 4】几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16，如果十位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元___________年。

同学秋季第课位值原理上课日期： 2015.11.12上课时间：17:00-19：00知识框架当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使像古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十.我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算.这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同.既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”.例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值.最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十.但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们.希望同学们在做题中认真体会.1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理.2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f.3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲知识点一：位值原理的认识【例 1】填空：365= ×100+ ×10+ ×1365=36×+5×【例 2】ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。

第13讲位值原理位值原理是数字表示法中的一种重要概念。

在十进制系统中，每个数字的位值是其右边的数字位的10倍。

例如，在数字503中，数字3的位值是个位，值为3*10^0=3；数字0的位值是十位，值为0*10^1=0；数字5的位值是百位，值为5*10^2=500。

位值原理可以帮助我们理解数字的位置和数值之间的关系，在计算中也起到重要的作用。

位值原理同样适用于其他进制系统。

例如，在二进制系统中，每个数字的位值是其右边的数字位的2倍。

在数字1011中，数字1的位值是个位，值为1*2^0=1；数字0的位值是十位，值为0*2^1=0；数字1的位值是百位，值为1*2^2=4；数字1的位值是千位，值为1*2^3=8、通过位值原理，我们可以更容易地理解二进制数的值。

位值原理还可以用于计算机中的数据存储。

在计算机中，每个二进制位都表示一个位值，称为比特。

比特是计算机中最小的存储单元，可以存储0或1、8个比特组成一个字节，可以表示256个不同的值。

计算机中的数据存储和处理都是基于位值原理进行的。

位值原理还在计算机编程中发挥着重要作用。

在编程中，我们常常需要对不同的数据进行转换和操作。

位值原理可以帮助我们理解数据的存储和表示方式，并且可以在计算机中进行位运算。

位运算是直接对二进制位进行操作的运算，包括与、或、异或等。

通过位运算，我们可以更高效地处理数据，提高程序的执行效率。

除了在数字表示和计算机编程中的应用，位值原理还可以在其他领域发挥作用。

例如，在通信领域，位值原理可以帮助我们理解和设计数字信号的传输和解码方式。

在电子工程中，位值原理可以帮助我们理解和设计数字电路的运算和逻辑。

总而言之，位值原理是数字表示法和计算机编程中的重要概念。

通过理解位值原理，我们可以更好地理解数字的位置和数值之间的关系，并且可以在计算机中进行高效的数据操作。

位值原理在数字表示、计算机编程、通信和电子工程等领域都发挥着重要作用。

数论是什么？ 可以理解为是关于整数的一些结论、论断、定论、推论，比如： 一个数的末尾数如果能被 2 或者 5 整除，那么这个数就能被 2 或者 5 整除， 偶数加偶数一定等于偶数，奇数乘以奇数一定等于奇数， 如果两个数除以同一个数得到的余数相同，那么这两个数的差一定能被这个数整除， ……， 等等。

数论在数学中的地位是很独特的，享有“数学王子”之称的德国著名数学家高斯就曾说过 “如果说数学是科学的皇后，那么数论就是数学中的皇冠”，历史上的一些悬而未决的数论疑 难问题，常被人们称为“皇冠上的明珠”，而“摘取”这些明珠的人往往会获得极其崇高的荣 誉并名载史册。

数论是数学的一个重要分支，位值原理（有的书称为位值原则）属于数论的一部分。

位值原理是什么咱们暂且不用理会，咱们从一道例题开始。

例题 ：有三个不同的数（都不为 0）组成的所有的三位数的和是 1332，这样的三位数中最大的数是多少？（2001 年·小学数学奥林匹克预赛试题）临□题□分□析□试题中只有一个数字，是什么样的三位数是未知的，那么要计算出每位数字吗？信息似乎太 少了，可能不是的。

关键在于试题给出的信息，“三个不同数组成的所有三位数字的和是 1332”、 “三位数中最大数”，主要是这两个条件，你能从这两条信息中提炼出什么？可能因此要得出 三位数字之间的关系，进而要做一些推导才能得到答案。

从题目得信息中理出解题头绪，需要靠你平时的训练积累，一般的数论试题都需要做一些推 导和推理才能得出所要的答案。

解□题□过□程□_____ _____假设这三个不为零的不同的数分别是 a、b、c，根据题目描述所有的三位数的和 a b c + a c b_____ _____ _____ _____+ b a c + b c a + c a b + c b a = 1332。

即 （100×a + 10×b + c） + （100×a + 10×c + b） + （100×b + 10×a + c） + （100×b + 10×c + a） + （100×c + 10×a + b） + （100×c + 10×b + a）=1332进一步 222×a + 222×b + 222×c=1332222×（a + b + c）=1332所以a + b + c=6因为 a、b、c 各不相同，所以 a、b、c 只能是 1、2、3 这三个数，那么组成的最大三位数就是 321。

1. 利用位值原理的定义进行拆分2. 巧用方程解位值原理的题位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。

我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。

这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。

既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。

例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。

最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。

但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。

希望同学们在做题中认真体会。

1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。

3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答模块一、简单的位值原理拆分【例 1】 一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。

这个两位数的各位数字的和是 。

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】 这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10。

位值原理法《位值原理法：从基础到应用全解析》1. 引言嘿，你有没有想过，在数学这个奇妙的世界里，为什么数字的位置不同，代表的数值就不一样呢？比如说123，1在百位就表示100，要是1在个位，就只是1啦。

这其中隐藏着一个很有趣的原理哦，这就是我们今天要深入了解的位值原理法。

在这篇文章里，我们会先了解位值原理法的基本概念，就像认识一个新朋友的基本情况一样。

然后深入探究它的运行机制，看看它是怎么在数学这个大舞台上“表演”的。

接着我们会聊聊它在日常生活和高级技术中的应用，也会说说大家容易对它产生的误解。

最后还会给大家介绍些相关的知识和有趣的历史背景呢。

2. 核心原理2.1基本概念与理论背景位值原理法其实就是一种表示数字大小的方法。

它的根源要追溯到很久很久以前，当人类开始有计数的需求的时候。

最初，人们可能只是用简单的符号或者记号来表示数量，比如刻一道痕表示1个东西。

但是随着数量的增多，就需要更复杂的表示方法了。

于是就有了我们现在的数字系统。

位值原理的核心概念就是每个数字在一个数中的位置决定了它所代表的数值大小。

比如说在数字345中，3在百位，它代表的可不是3，而是3个100，也就是300；4在十位，就代表4个10，也就是40；5在个位，就代表5个1。

说白了，就像一个团队里，每个成员的位置不同，承担的职责和价值也就不同。

2.2运行机制与过程分析我们来看一个简单的加法运算，比如说23 + 45。

按照位值原理法，我们先从个位开始计算，3 + 5 = 8。

这里的3和5都是在个位上，所以它们代表的就是单纯的3个1和5个1。

然后再看十位，2个10加上4个10，也就是20+40 = 60。

最后把个位和十位的结果相加，60+8 = 68。

再比如乘法，12×3。

我们可以把12拆分成10 + 2，然后根据位值原理，12×3=(10×3)+(2×3)=30 + 6 = 36。

这就好比我们把任务分给不同位置的小团队，然后把各个小团队的成果汇总起来。

四秋第13讲 速算与巧算（一）一、教学目标速算与巧算是小学数学竞赛永恒的话题，每个杯赛都会有1-2道题目考察学生的运算能力，主要集中在整数的巧算，极少涉及小数。

掌握速算与巧算的技巧，往往能够在极短的时间内解决运算问题。

巧算的方法主要有：提取公因式、凑整、拆分、分组、换元，同学们需根据具体情况具体分析，选择合适的方法。

二、例题精选加减凑整：【例1】 计算：1、699999+69999+6999+699+692、1000-91-1-92-2-93-3-94-4-95-5-96-6-97-7-98-8-99-9【巩固1】计算：1、199+298+397+496+595+202、987654-151-269-149-31+346【例2】 计算：10020092000920000920009++++L L 14243个【巩固2】计算：98+998+9998+......+99 (98)乘除凑整：【例3】 计算：（1）125428525⨯⨯⨯⨯⨯ （2）2100425÷÷10个9【巩固3】计算：（1）125258÷÷⨯ （2）456⨯⨯÷⨯⨯36825（）乘法分配律：【例4】 计算：（1）2748+5227⨯⨯ （2）329+2999⨯ （3）10199⨯【巩固4】计算：（1）3426+2666⨯⨯ （2）13250+25870⨯⨯ （3）9835⨯重叠数：【例5】 计算：123123123321321321321123⨯-⨯位值原理：【例6】 用7、8、9可以组成6个各位数字不相同的三位数，那么这6个数的和是多少？三、回家作业【作业1】计算：458+356+289+244-58+711【作业2】计算：11+12+13+14+21+22+23+24+31+32+33+34++91+92+93+94L【作业3】计算：197+1997+19997+......+199 (97)【作业4】计算：67200254335467_______⨯+⨯+⨯=【作业5】计算：82198219821919818119811981191983⨯-⨯10个9。

教学目标1. 利用位值原理的定义进行拆分2. 巧用方程解位值原理的题知识点拨位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头， 那么到了 “十 ”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能 数二十。

我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出 来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。

这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位 置的不同，表示的数值也不同。

既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个 “位置值 ”。

例如，用符号 555 表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。

最右边的五 表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。

但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了， 现在就将解位值的三大法宝给同学们。

希望同学们在做题中认真体会。

个数字除了有自身的一个值外，还有一个 “位置值 ”。

例如 “2”写,在个位上，就表示 2个一，写在百位上，就表示 2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为 x ，列方程解答例题精讲模块一、简单的位值原理拆分例 1】 一个两位数， 加上它的个位数字的 9 倍，恰好等于 100。

这个两位数的各位数字的和是 考点】简单的位值原理拆分 【难度】 2 星 【题型】填空 关键词】希望杯， 4 年级，初赛， 7 题，六年级，初赛，第 8 题， 5 分 解析】 这个两位数，加上它的个位数字的 9倍，恰好等于 100，也就是说，十位数字的 10 倍加上个位数字 的 10 倍等于 100，所以十位数字加个位数字等于 100÷10＝ 10。

答案】 10例 2 】 学而思的李老师比张老师大 18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年 龄，求李老师和张老师的年龄和最少是 _____________ ？（注：老师年龄都在 20 岁以上）考点】简单的位值原理拆分 【难度】 3 星 【题型】填空关键词】学而思杯， 4 年级，第 5 题解析】 解设张老师年龄为 ab ，则李老师的年龄为 ba ，根据题意列式子为： ba ab 18 ，整理这个式子得 到：9 b a 18 ，所以 b a 2，符合条件的最小的值是 a 1,b 3，但是 13和 31不符合题意，所位值原理 2.位值原理的表达形以六位数为例： abcdef a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。

1. 利用位值原理的定义进行拆分2. 巧用方程解位值原理的题位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。

我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。

这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。

既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。

例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。

最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。

但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。

希望同学们在做题中认真体会。

1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。

3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答模块一、简单的位值原理拆分【例 1】 一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。

这个两位数的各位数字的和是 。

例题精讲知识点拨教学目标5-7-1.位值原理【例 2】李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上）【例 3】把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．【例 4】几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16，如果十位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元___________年。

小学奥数数论问题专项练习之位值原理
2、有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一
个三位数，如果把3加写在它的后面，则也可也以得到一个三位数，
如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数。

将这两个三位数和一个四位数相加等于3600。

求原来的两位数。

3、有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一
个四位数，如果把6加写在它的后面，则也能够得到一个四位数，且
这两个四位数之和是9999，求原来的三位数。

4、有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可得到
一个三位数，如果把1加写在它的后面，那么也能够得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。

5、求一个三位数，它等于抹去它的首位数字之后剩下的两位数
的4倍与25之差。