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第2课时 二次函数和一元二次方程(不等式)的关系通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系．重点使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题．难点了解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．一、创设情境，引入新课我们学习了一元一次方程kx ＋b ＝0(k ≠0)和一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y ＝0时，一次函数y ＝kx ＋b 就转化成了一元一次方程kx ＋b ＝0，且一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx ＋b ＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题．二、探究问题，形成概念 问题3：(教材P28，问题3)(1)先让学生回顾函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y ＝x 2－x －34的图象．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x 轴交点的坐标分别是(－12，0)和(32，0)． (2)让学生完成(2)的解答．教师巡视指导并讲评．(3)对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y ＝x 2－x －34的图象与x 轴交点的横坐标，即为方程x 2－x －34＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y ＝x 2－x －34的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x 2－x －34＝0的解．更一般地，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解；当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系．(4)根据问题3的图象回答下列问题．①当x 取何值时，y ＜0；当x 取何值时，y ＞0(当－12＜x ＜32时，y ＜0；当x ＜－12或x ＞32时，y ＞0)；②能否用含有x 的不等式来描述(1)中的问题？(能用含有x 的不等式来描述(1)中的问题，即x 2－x －34＜0的解集是什么？x 2－x －34＞0的解集是什么？)想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识：(1)从“形”的方面看，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在x 轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解；在x 轴下方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解．(2)从“数”的方面看，当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解；当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解．这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系．问题4：(教材P29，问题4)提问：(1)这两种解法的结果一样吗？ (2)小刘解法的理由是什么？(3)函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的图象一定相交于两点吗？你能否举出例子加以说明？(4)函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x 2＝bx ＋c 的解吗？(5)如果函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 图象没有交点，一元二次方程x 2＝bx ＋c 的解怎样？归纳总结：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点．当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y ＝0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．三、练习巩固1．根据二次函数y ＝x 2－3x －4的图象解题，则方程x 2－3x －4＝0的解是________________________________________________________________________，不等式x 2－3x －4＞0的解集是________________________________________________________________________，不等式x 2－3x －4＜0的解集是________________________________________________________________________．2．抛物线y ＝3x 2－2x －5与y 轴的交点坐标为________，与x 轴的交点坐标为________________．3．已知方程2x 2－3x －5＝0的两根是52，－1，则二次函数y ＝2x 2－3x －5与x 轴的两个交点间的距离为________．4．利用函数的图象，求下列方程的解：(1)x 2＋32x －1＝0；(2)23x 2＋x ＋13＝0. 5．利用函数的图象，求下列方程组的解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝（x ＋1）2－52； (2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －6，y ＝－x 2＋2x.6．如图所示，二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y2＝kx＋b(k≠0)的图象交于A(－2，4)，B(8，2)．求能使y1＜y2成立的x的取值范围．四、小结与作业小结先小组内交流收获感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充．作业1．布置作业：教材“习题26.3”中第3，4题．2．完成同步练习册中本课时的练习．本节课主要是向学生渗透两种思想：函数与方程、不等式互相转化的思想；数形结合思想．难度较大，学生不容易理解，应多加练习．22．2 一元二次方程的解法 22．2.1 直接开平方法和因式分解法1．会用直接开平方法解形如a(x －k)2＝b(a≠0，ab ≥0)的方程． 2．灵活应用因式分解法解一元二次方程． 3．使学生了解转化的思想在解方程中的应用．重点利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程． 难点合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程．一、情境引入教师提出问题，让学生说出作业中的解法，教师板书．问：怎样解方程(x ＋1)2＝256?解：方法1：直接开平方，得x ＋1＝±16， ∴原方程的解是x 1＝15，x 2＝－17. 方法2：原方程可变形为(x ＋1)2－256＝0，方程左边分解因式，得(x ＋1＋16)(x ＋1－16)＝0， 即(x ＋17)(x －15)＝0， ∴x＋17＝0或x －15＝0，原方程的解是x 1＝15，x 2＝－17. 二、探究新知教师多媒体展示，学生板演，教师点评． 例1 用直接开平方法解下列方程：(1)(3x ＋1)2＝7； (2)y 2＋2y ＋1＝24；(3)9n 2－24n ＋16＝11. 解：(1)－1±73；(2)－1±26； (3)4±113.【教学说明】运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根．例2 用因式分解法解下列方程：(1)5x 2－4x ＝0；(2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2；(3)(x ＋5)2＝3x ＋15.解：(1)x 1＝0，x 2＝45；(2)x 1＝23，x 2＝－12；(3)x 1＝－5，x 2＝－2.【教学说明】解这里的(2)(3)题时，注意整体划归的思想． 三、练习巩固教师多媒体展示出题目，由学生自主完成，分组展示结果，教师点评． 1．用直接开平方法解下列方程：(1)3(x －1)2－6＝0；(2)x 2－4x ＋4＝5；(3)(x ＋5)2＝25；(4)x 2＋2x ＋1＝4.解：(1)x 1＝1＋2，x 2＝1－2； (2)x 1＝2＋5，x 2＝2－5； (3)x 1＝0，x 2＝－10； (4)x 1＝1，x 2＝－3.2．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋x ＝0； (2)x 2－23x ＝0；(3)3x 2－6x ＝－3; (4)4x 2－121＝0；(5)(x －4)2＝(5－2x)2. 解：(1)x 1＝0，x 2＝－1； (2)x 1＝0，x 2＝23； (3)x 1＝x 2＝1； (4)x 1＝112，x 2＝－112；(5)x 1＝3，x 2＝1.3．把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为x m .则可列方程2πx 2＝π(x ＋5)2， 解得x 1＝5＋52，x 2＝5－52(舍去)． 答：小圆形场地的半径为(5＋52) m . 四、小结与作业 小结1．引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤．2．对于形如a(x －k)2＝b(a≠0，ab ≥0)的方程，只要把(x －k)看作一个整体，就可转化为x 2＝n(n≥0)的形式用直接开平方法解．3．当方程出现相同因式(单项式或多项式)时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解．布置作业从教材相应练习和“习题22.2”中选取．本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想．22.1 比例线段学习思路（纠错栏）学习思路（纠错栏）学习目标：1、会运用比例的性质进行几何图形中的相关计算和证明.2、认识线段的黄金分割，理解黄金分割的概念.学习重点：比例性质的应用和黄金分割的概念.预设难点：运用黄金分割解决实际问题.☆预习导航☆一、链接请写出比例的基本性质、合比性质、等比性质？二、导读1、阅读课本上的例1和例2，体会一下合比性质和等比性质在实际问题中的应用，并谈谈你的感受.2、阅读课本上的例3，回答下列问题：（1）叫做黄金分割．（2）黄金分割点是如何确定的？一条线段有几个黄金分割点？叫做线段的黄金分割点，叫做黄金数.☆合作探究☆1、如图，已知线段AB的长度为1，点P是AB上的一点，且使AP2=AB·BP，求线段AP的长和AP：AB的值.2、如图，已知线段AB的长度为a，点P是AB上的一点，且使AP2=AB·BP，求线段AP的长和AP：AB的值.☆归纳反思☆本节课你有哪些收获？还存在哪些困惑？。
