第二章：一元二次方程导学案与课后分类作业

人教版九年级数学上册21.1一元二次方程导学案（含答案）21.1一元二次方程（导学案）学习目标1.正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；2.知道一元二次方程的一般形式是是常数，），能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项；3.理解并会用一元二次方程一般形式中a≠0这一条件；4.通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣.重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念.难点：由实际问题列出一元二次方程.准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项..学习过程一、创设问题情境阅读以下问题:问题1:要设计一座高2 m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,则雕像的下部应设计为多少米问题2:有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3 600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形问题3:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛思考:(1)全场共比赛__________场;(2)若设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他__________个队各赛一场,全场共比赛__________场.由此,我们可以列方程__________.化简得__________.问题4一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为_______m．根据题意，得________．整理，得.二、揭示问题规律观察并思考:x2+2x-4=0;x2-75x+350=0;x2-x=56.1.这三个方程都不是一元一次方程.整理后含有几个未知数它的最高次数是几它们有什么共同特点2.对照一元一次方程,写出一元二次方程的定义: .3.下面哪些数是上述问题4方程的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．三、尝试应用【例1 】判断下列方程是否为一元二次方程.(1)3x+2=5y(2)x2=4(3)x2-4=(x+2)2(4)-1=x2【例2】将下列方程化为一般形式,并分别指出二次项、一次项和常数项及它们的系数:3x(x-1)=5(x+2).[例3]判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解：(1) (－7,－6,－5, 5, 6, 7)(2)五、自主总结1.本节重点学习的是什么方程一般形式是什么特别应该注意什么2.在把一元二次方程转化为一般形式的过程中需要注意什么问题3.本节课用了那些数学方法？六、达标测试1.若（p-2)x2-3x+p2-p=0是关于x的一元二次方程，则（）A.p=2B.p≠0C.p>2D.p≠22.把方程(x-2)(x+2)+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.5、-4、6B.1、-5、0C.5、-2、1D.5、-4、33.下列各未知数的值是方程的解的是（）A. B. C. D.4.方程的一次项是（）A. B. C. D.5.把化成一般形式是______________,二次项是____一次项系数是_______，常数项是_______.6.已知m是方程的一个根，则代数式________.7.某药厂两年前生产某种药品每吨的成本是100万元，现在生产这种药品每吨的成本为81万元．设这种药品的成本的年平均下降百分率为x，则可列方程为__________.8.已知：关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是x=-a(a≠0)，则a-b的值为.根据题意列出方程（不必解答）两个连续整数的积是210，求这两个数；在一块长250米，宽150米的草地四周修一条路，路修好后草地的面积减少1191平方米，求这条道路的宽度。

第二章一元二次方程1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程的定义【知识与技能】探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识.【过程与方法】在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系.【情感态度】通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.【教学重点】一元二次方程的概念.【教学难点】如何把实际问题转化为数学方程.一、情境导入,初步认识问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？你能设出未知数，列出相应的方程吗？【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫.二、思考探究，获取新知你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？（1）(100-2x)(50-2x)＝3600（2）（x+6）2+72=102【教学说明】分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2.【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程；一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.活动中教师应重点关注：(1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点；(2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义；(3)强调定义中体现的3个特征：①整式；②一元；③2次.【教学说明】让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的.三、运用新知，深化理解1.下列方程是一元二次方程的有.（1）x2+1/x-5=0（2）x2-3xy+7=0（3）=4（4）m3-2m+3=0x2-5=0（6）ax2-bx=4（5）2解答：（5）2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程.解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠-2时，方程是一元二次方程.解答：m=-2 m≠-23.一元二次方程（x+1）2-x=3（x2-2）化成一般形式是_______.解析：一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0），对照一般形式可先去括号，再移项，合并同类项，得2x2-x-7=0.解答：2x2－x－7=04.把方程-5x2+6x+3=0的二次项系数化为1，方程可变为（）A.x2+6/5x+3/5=0B.x2-6x-3=0C.x2-6/5x-3/5=0D.x2-6/5x+3/5=0解析：注意方程两边除以-5，另两项的符号同时发生变化.解答：C5.已知（m+3）x2-3mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是_______.解答：m≠-36.把方程(1-3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项.解：原方程化为一般形式是：5x2+8x-2=0，其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是-2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的符号).7.关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足什么条件？分析：先把这个方程化为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.解：由mx2-3x=x2-mx+2得到（m-1）x2+（m-3）x-2=0,所以m-1≠0，即m ≠1.所以关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足m≠1.【教学说明】这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中3个特征的理解，进一步巩固学生对一元二次方程的基本概念的理解.四、师生互动、课堂小结本节课你学到了哪些内容和方法？【教学说明】小结反思中，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，为每个学生创造数学活动中获得活动经验的机会.1.布置作业：教材“习题2.1”中第1、2题.2.完成课堂点睛中本课时“课时作业”部分.本节课是一元二次方程的第一课时，通过对本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的定义、一般形式及有关概念，并学会利用方程解决实际问题.在教学过程中，注重重难点的体现.本节课内容对于学生整个中学阶段的数学学习有着重大的意义，能否学好关系到日后学习的成败，因此必须要让学生吃透内容并且能够真正消化.。

一元二次方程1、 一元二次方程的概念学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

重点：由实际问题列出一元二次方程和理解一元二次方程的概念。

难点：由实际问题列出一元二次方程。

准确认识一元二次方程的二次项系数以及一次项系数还有常数项。

导学流程：一、自学课本导图，走进一元二次方程分析：现设雕像下部高x 米，则可列方程去括号得 ①你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？ 二、探究新知1、自学课本25页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题：2、一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。

三、自主探究：自主学习P25-26页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。

（1）8142=x （2）)2(5)1(3+=-x x x 四、【巩固练习】教材第27页练习 五、归纳小结1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？ 六、作业（A ）1、判断下列方程是否是一元二次方程; （1）0233122=--x x （ ）（2）0522=+-y x ( ) (3) 02=++c bx ax （ ） (4)07142=+-xx ( )2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x 2－x =2； （2）7x －3=2x 2; （3）(2x －1)－3x (x －2)=0 （4）2x (x －1)=3(x ＋5)－4. 3、判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解；（1）)()(1412+=+x x x ±1 ±2； （2）0822=-+x x ±2， ±4（B ）1、把方程p q nx mx nx mx -=++-22()0≠+n m 化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

2.2 一元二次方程的解法（2）班级__________________ 姓名__________________〖学习目标〗1．巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤；2．会用开平方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程。

〖学习重点与难点〗重点：用配方法解二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程。

难点：二次项系数为小数或分数时，用配方法解一元二次方程是本节学习的难点。

一、复习引入（把握时间，看看你的复习情况）1．用配方法解下列方程：（1） 162=+x x （2）11342-=x x2．回顾：上个星期学习的配方法解方程有哪些步骤？3．思考：当二次项系数不为1时，我们该怎么办？比如 11052+=x x ，此时二次项系数不为1，你觉得怎么用配方法来解？4．用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，有哪些步骤？跟之前比较，多了哪些步骤？二、例题精讲（先思考，然后和老师一起完成）例3 用配方法解下列一元二次方程：⑴03422=-+x x ⑵03832=--x x⑶x x 353122=-⑷05.01.02=++x x三、巩固练习1．用配方法解方程0122=--x x 时，配方结果正确的是（ ） （A ）43)21(2=-x （B ）43)41(2=-x （C ）1617)41(2=-x （D ）169)41(2=-x2．用配方法解下列方程：⑴03622=++x x ⑵05722=+-x x四、当堂检测（仔细思考，总结解题的步骤）用配方法解方程： ⑴132)1(=--n n n ⑵02222=--x x⑶02142=++x x ⑷08121432=--x x总结：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，有哪些步骤？你又掌握了哪些？五、小结这节课，你收获了哪些知识？。

八下《第二章 一元二次方程复习》导学案【复习目标】掌握一元二次方程的概念，解法和应用。

【复习内容】书本P24—P45【复习过程】一、 知识梳理1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是21,2(40)2b x b ac a-=-≥. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.▲3.一元二次方程根的判别式:△＝b 2－4ac△＞0 ⇔一元二次方程有两个不相等的实数根△＝0 ⇔一元二次方程有两个相等的实数根 1x ＝2x ＝a b 2- △＜0 ⇔一元二次方程没有实数根▲4.韦达定理（设方程的两根为： 1x 、2x ）①前提：Ⅰ. a ≠0 Ⅱ. △≥0②1x ＋2x ＝a b - 1x 2x ＝ac二、 基础练习1. 下列方程中是一元二次方程的是…………………………………………………………（ ）A. 11x x-=B. x 2+5x =(x +1)(x -1)C. x 2=-9D. xy+x -4=0 2. (2007湖州)方程x 2-25=0的解是3. 如果(m -1)x 2+2x -3=0是一元二次方程，则4. 关于x 的方程221(1)50a a a x x --++-=是一元二次方程，则a=__________.5. 若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c =0的一个根是0，则…………………………………（ ）A. c =0B. c =0，a ≠0C. c =0，b ≠0D. a ≠0，b=c =06. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是………………………………………（ ）A. x 2+x +1=0B. x 2-1=0C. x 2+2x -1=0D. x 2+2=07. 方程2560x x -+=的一个根为a ，则6a a +的值为 ．8. 已知关于x 的一元二次方程x 2+px+q =0的两根为a ，b ，则多项式x 2+px+q 可因式分解为（ ）A. (x-a )(x-b )B. (x+a )(x+b )C. (x-a )(x+b )D. (x+a )(x-b )9. 有一块长32cm ，宽24cm 的长方形钢片，在四个角截去相同的正方形小钢片，再折起来做一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原钢片面积的一半，那么盒子的高是10. 对于代数式x 2-4x +5，通过配方能说明它的值一定是 数11. 一元二次方程ax 2+bx+c =0（a ≠0，b 2-4ac ≥0）的两实根之和……………………………（ ）A. 与c 无关B. 与b 无关C. 与a 无关D. 与a ，b ，c 都有关12. 方程(x -7)(x+2)+(x -1)(x +5)=0化为一般形式是 ．13. 已知方程x 2-10x +24=0的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为 ．14. （2007淮安）请写出一个两实数根符号相反的一元二次方程 ．15. （烟台）已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）A 、B 、C 、D 、 16. 已知一个数的平方等于这个数的3倍，则这个数是 ．17. (2007金华)自由下落物体的高度h （米）与下落的时间t （秒）的关系为h=4.9t 2. 现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部作自由下落，到达地面需要的时间是 秒.18. (2007新疆)某城市2006年底绿地面积有225万平方米，计划经过两年达到256万平方米，设平均每年的增长率为x ，则可列方程 ．19. 直角三角形的两条边长恰好是方程x 2-7x +12=0的两根，则斜边长为 ．20. 若方程x 2+2x +k +1=0的两根之差为k 的值为 ．21. 解下列方程(1) x 2-4x =-1 (2) (x2=8(3) x(x-3)=5(x-3) (4) (2x+3)2-5(2x+3)+4=022.关于x的一元二次方程x2-6x+p2-2p+5=0的一个根为2，求方程的另一根及p的值．23.某单位决定对一块长30米，宽20米的长方形空地进行绿化，计划在这块长方形空地的中间划出一块小长方形种花，四周剩下的空地作道路，要求四周道路的宽度要一样，并且种花的面积是原长方形空地面积的一半，求道路的宽度24.（绵阳）若0是关于x的方程（m－2）x2+3x+m2+2m－8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．25. (吉林)如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,求甬路的宽度?26.（深圳）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．27.（南京）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?三、能力提升28.在盛有10升纯酒精的容器中倒出一部分后注满水，第二次倒出与前次同样体积的液体再注满水，此时容器里水是纯酒精的3倍，求第一次倒出纯酒精多少升？29.阅读下面一段文字：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况有三种：①当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac<0时，方程没有实数根．”请利用以上结论，解答下面的问题：已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4(k-12)=0．(1)判断这个一元二次方程的根的情况；(2)若等腰三角形的一边长为4，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．。

九年级数学导学案——一元二次方程§2.1.1一元二次方程(一) 导学案【学习目标】1．会根据具体问题列出一元二次方程。

通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。

2．通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力。

3．会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。

【学习重难点】重点：一元二次方程的概念难点：如何把实际问题转化为数学方程【学法指导】通过具体问题列出方程，化简方程，分析方程特点，抽象、归纳出一元二次概念和一般形式。

【知识链接】1.什么是一元一次方程？什么是二元一次方程？【问题导学】自学课本31页至32页内容，独立思考解答下列问题：1.情境问题：列方程解应用题：一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m。

苗圃的长和宽各是多少？解：设____________________, 列方程得：_________________你能将方程化成ax2+bx+c=0的形式吗？2.阅读课本P32，思考下列问题：1）什么是一元二次方程？2）什么是一元二次方程的一般形式？二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？3.课前小练：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）3x2=5x-1 （2）(x+2)(x-1)=6 （3）4-7x2=0【合作探究】1.一元二次方程应用举例：1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m ，宽为5m ，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?如果设花边的宽为xm ，那么地毯中央长方形图案的长为__________m ，宽为___________m ，根据题意，可得方程_____________。

化成一般形式得_______________。

2）如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简。

第二章一元二次方程第一节花边有多宽（一）【学习目标】1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。

2、会识别一元二次方程及各部分名称。

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．【学习重难点】重点：认识产生一元二次方程知识的必要性。

难点：列方程的探索过程。

【学习过程】模块一预习反馈一．预习要求1．请同学们阅读教材46页～48的内容，并完成教材48页的随堂练习和习题2．1 2．预习过程中请注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；⑶数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。

二．知识点1．一元二次方程的概念：一元二次方程属于“”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的形式．2．一元二次方程的一般形式为(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．注意：往往解决一个未知数的问题，就需要建立一个等量关系；解决两个未知数的问题，则需要建立两个等量关系。

……模块二合作探究探究一．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m。

如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？点评：探究二．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。

如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？点评：探究三．莲花问题平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲。

出泥不染婷婷立，忽被强风吹一边。

渔人观看忙向前，花离原位两尺远。

能算诸君请解题：湖水如何知深浅？点评：模块三形成提升1．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺。

另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了。

你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程。

一元二次方程课题：一元二次方程【学习目标】 1．会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想．2．能理解一元二次方程的概念；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．3．通过探究实际问题，培养观察、类比和归纳问题的能力．【学习重点】一元二次方程的概念．【学习难点】由实际问题列出一元二次方程，理解一般形式中“a ≠0”这一条件.情景导入 生成问题回顾： 根据题意列出方程：教材P 26“动脑筋”(1)：根据题意，可列出方程200×150－3x 2＝200×150×34，整理得x 2－2500＝0．① 教材P 26“动脑筋”(2)：根据题意，可列出方程75(1＋x)2＝108．经整理，得：25x 2＋50x －11＝0．②自学互研 生成能力知识模块一 一元二次方程的定义观察方程①和②：它们分别含有几个未知数？未知数的最高次数是几次？与我们学过的一元一次方程有何异同？ 师生合作探究，共同归纳出一元二次方程的定义．归纳：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程．【例1】 下列方程是关于x 的一元二次方程的有①④⑤．(填序号)①4x 2＝21；②2x 2－3x ＝y －1；③2x 2＋3x －1＝0；④x 22－x 3－1＝0；⑤3x(x－1)＝5(x ＋2)；⑥x(x－2)＝x 2；⑦ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 为常数)． 【例2】 若关于x 的方程(k ＋1)x |k|＋1＋(k －1)x ＋2＝0是一元二次方程，求k 的值，并写出这个方程． 解：由题意得：|k|＋1＝2，∴k ＝±1.又∵k＋1≠0，∴k ≠－1，∴k ＝1.∴原方程为2x 2＋2＝0.2 知识模块二 一元二次方程的一般形式阅读教材P 26～P 27，解答下面的问题：一元二次方程的一般形式是：ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)．其中ax 2是二次项，a 叫作二次项系数，bx 是一次项，b 叫作一次项系数，c 叫常数项．思考：为什么要限制a ≠0？b 、c 可以为零吗？解：限制a ≠0是因为二次项系数不能为零，b 、c 可以为零．【例3】 把方程(1－3x)(x ＋3)＝2x 2＋1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项，二次项系数，一次项，一次项系数及常数项．解：原方程化为一般形式是：5x 2＋8x －2＝0(若写成－5x 2－8x ＋2＝0，则不符合人们的习惯)，其中二次项是5x 2，二次项系数是5，一次项是8x ，一次项系数是8，常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和，所以不能漏写单项式系数的负号)．点拨：在求一元二次方程的各项及系数时，①要先把原方程化成一般形式(含去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤)；②二次项系数、一次项系数不要漏掉各项的符号．【例4】 一元二次方程2x 2－(m ＋1)x ＋1＝x(x －1)化成一般形式后二次项系数为1，一次项系数为－1，求m 的值．解：原方程可化为x 2－mx ＋1＝0.∵一次项系数为－1，∴－m ＝－1，即m ＝1.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 一元二次方程的定义知识模块二 一元二次方程的一般形式检测反馈 达成目标1．把方程(2x ＋1)(x －2)＝5－3x 整理成一般形式，得__2x 2－7＝0__，其中一次项系数为0．2．关于x 的方程(m 2－4)x 2＋(m －2)x ＋3m －1＝0，当m__＝－2__时为一元一次方程；当m__≠±2__时为一元二次方程．3．把方程(x －1)2－3(x ＋1)2＝4x ＋5化为一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项依次是( C ) A ．2，12，－7 B ．－2，－12，7C ．1，6，72D ．－1，－6，724．如果(m －2)x |m|＋mx －1＝0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为( C )A．2或－2 B．2 C．－2 D．±15．关于x的一元二次方程为(m－2)x2＋mx＝1，则m的取值范围是( D)A．m≠0 B．m≥0C．m为任意数D．m≥0且m≠26．方程3x(x－1)＝2(x＋2)＋8是否为一元二次方程？如果不是，说明理由；如果是，指出它的二次项系数、一次项系数及常数项．解：原方程整理合并得3x2－5x－12＝0，∴原方程是一元二次方程，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－12.课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________3。

第2章一元二次方程的复习一、学习目标：1.进一步掌握解一元二次方程的四种方法；并能灵活选择方法；2.通过典型例子感受到选择适当方法的重要性。

3.进一步探索实际问题中的数量关系及其变化规律，体会数学建模思想，体会数学在应用中的价值4.会根据具体问题中数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。

二、课前热身1．一元二次方程的概念已知关于x的方程（m²-1）x²+（m-1）x-2m+1=0，当m 时是一元二次方程，当m= 时是一元一次方程，当m= 时，x=0。

2．一元二次方程的解法你还记得吗？请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程①3x² -1=0 ② x（2x +3）=5（2x +3）③x² - 3 x +2=0 ④2 x ² -5x+1=0【方法提炼】A.形如（x-k）²=h的方程可以用求解。

B．千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个根丢失了，要利用法求解。

C．当我们不能利用上边的方法求解的时候就就可以用法求解，法是万能的。

3.一元二次方程的应用①已知一个数的平方等于这个数的3倍，则这个数是．②自由下落物体的高度h（米）与下落的时间t（秒）的关系为h=4.9t2. 现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部作自由下落，到达地面需要的时间是秒.③某城市2006年底绿地面积有225万平方米，计划经过两年达到256万平方米，设平均每年的增长率为x，则可列方程．④有一块长32cm，宽24cm的长方形钢片，在四个角截去相同的正方形小钢片，再折起来做一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原钢片面积的一半，那么盒子的高是…………（）A. 3cmB. 2cmC. 5cmD. 4cm练习：1．关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ____.2．方程2x －3 x2 = 5化成一般形式后,a、b、c的值分别为（）(A)2，－3，－5 (B)－3，2，－5 (C)2，－3， 5 (D)－3，2，53.若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)，且a+b+c=0，则方程必有一根为_______.4． 方程0)4(=-x x 的根是（ ）（A ）4=x （B ） 0=x (C) 4,0==x x (D) 4,0-==x x5． 方程的解是（ ）A. B. C. D. 无实数根 6．用配方法解方程0982=-+x x 时，此方程可变为（ ）(A) 7)4(2=+x (B) 25)4(2=+x (C) 9)4(2=+x (D) 7)4(2-=+x 7． 解下列方程：（1）(x －1)2＝4 (2)x 2－2x －3＝0 （公式法） (3)2t 2－7t －4＝0（用配方法）8．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。

新人教版九年级数学上册2.1一元二次方程导学案【知识扫描】1、一元二次方程是刻画现实世界一种重要而有效的数学模型。

2、_________________________________________的方程叫做一元二次方程；关于x 的一元二次方程的一般形式为________________________________， 其中二次项系数为________，一次项系数________，常数项为_______。

【基础训练】1、下列方程中，其中是一元二次方程的有______________(填序号) ①052132=++x x ；②2)2()43)(3(+=-+x x x ；③0322=+-x x x ；④452=y ；⑤02=++c bx ax ；⑥032)1(22=-++kx x k2、若043)2(2=+--mx x m 是一元二次方程，则m 的取值范围是_________3、将一元二次方程x x 3722-=化为一般形式为__________________,二次项为________,一次项系数为________,常数项为________。

4、若方程1)1(2=+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A 、 1≠mB 、 0≥mC 、 10≠≥m m 且D 、 m 为任意实数5、把下列方程化为一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）x x 322-= （2）4(1)(2)2x x x x +--=（3）)4)(3(22+-=-x x x x （4）2(23)(23)(3)y y y =-6、根据题意，列出关于x 的方程并将其化为一般形式。

（1）两个连续奇数的积是143，求这两个数（2）某商场1月份的利润是25000元，3月份的利润是36000元，这两个月的利润平均月增长的百分率是多少？(3)一根长为４米的竹竿如图放置恰好到达井口边缘，已知井深比井口宽多３米，求井深x(4) 有x支球队参加排球联赛，每队都与其余各队比赛２场，联赛的总场次可以用公式表示：N＝x(x-1) ,如果联赛的总场次是132次，问共有多少支球队参加联赛？(5) 如图，小明的爷爷要用总长15米的篱笆，一面靠墙，围成两间共18平方米的猪舍，求猪舍垂直于墙的一边的长度x。

2016九年级数学上第二章一元二次方程导学案2.2 用配方法解一元二次方程1、知识与技能：（1）用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;（2）理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.2、能力培养：会用转化的数学思想解决有关问题.3、情感与态度：学会观察、分析，寻找解题的途径,提高分析问题、解决问题的能力.自学指导阅读教材第36至38页，并完成预习内容.问题1 1、若x2=4，则x= 2，-22、若(x+1)2=4，则x= 1，-、若x2+2x+1=4，则x= 1，-、若x2+2x=3，则x= 1，-3 .活动1小组讨论理解配方法解一元二次方程的过程变化依据。

1、填上适当的数，使下列等式成立：x2+12x+ 36 =(x+6)2;x2-4x+ 4 =(x- 2 )2;x2+8x+ 16 =(x+ 4 )2.2、根据上述变形，你能解哪些一元二次方程？二次项系数为1的一元二次方程例3：解方程：3x2+8x―3=0分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。

解：两边都除以3，得：x2+83 x―1=0移项，得：x2+83 x配方，得：x2+83 x+(43 )2=1+(43 )2（方程两边都加上一次项系数一半的平方）(x+43 )2=(53 )2即：x+43 =±53 所以x1=13 ，x2=―32、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把二次项系数化为1；（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

（4）用直接开平方法求出方程的根。

活动2 跟踪训练1.若x2-4x+p=(x+q)2，那么p、q的值分别是(B)A.p=4，q=2B.p=4，q=-2C.p=-4，q=2D.p=-4，q=-22.填空：(1)x2+10x+25=(x+5)2； (2)x2-12x+36=(x-6)2；(3)x2+5x+__ __=(x+__ __)2； (4) x2- x+____=(x-_ ___)2用直接开平方法解下列方程：(1)3(x-1)2-6=0； (2)x2-4x+4=5；(3)9x2+6x+1=4； (4)36x2-1=0；(5)4x2=81； (6)(x+5)2=25； (7)x2+2x+解：(1)x1=1+ ，x2=1- ； (2)x1=2+ ，x2=2- ； (3)x1=-1，x2= ；(4)x1= ，x2=- ； (5)x1= ，x2=- ； (6)x1=0，x2=-10；(7)x1=1，x2=-用配方法解下列关于x的方程：(1)x2-36x+70=0； (2)x2+2x-35=0；(3)2x2-4x-1=0； (4)x2-8x+7=0；(5)x2+4x+1=0； (6)x2+6x+5=0； (7)2x2+6x-2=0；(8)9y2-18y-4=0；(9)x2+3=2 x解：(1)x1=18+ ，x2=18- ； (2)x1=5，x2=-7； (3)x1=1+ ，x2=1- ；(4)x1=1，x2=7； (5)x1=-2+ ，x2=-2- ；(6)x1=-1，x2=-5；(7)x1=- + ，x2=- - ；(8)y1=1+ ，y2=1- ；(9)x1=x2如果x2-4x+y2+6y+ +13=0，求(xy)z的值.解：由已知方程得x2-4x+4+y2+6y+9+ =0，即(x-2)2+ (y+3)2+ =0.∴x=2，y=-3，z=-2.∴(xy)z=［2×(-3)］-2类似第5题的，通常将等式一边变形为几个非负数的和，而另一边为零的形式.活动3 课堂小结应用直接开平方法解形如x2+2ax+a2=b(b≥0)，那么可得x+a=± 达到降次转化的目的.2.用配方法解一元二次方程的步骤用配方法解一元二次方程的注意事项。

第二章一元二次方程４．用因式分解法求解一元二次方程一、学情分析学生的知识技能基础：在前几册学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并积累了解一元一次方程的方法，熟练掌握了解一元一次方程的步骤；在八年级学生学习了因式分解，掌握了提公因式法及运用公式法（平方差、完全平方）熟练的分解因式；在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了这两种方法的解题思路及步骤。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用配方法和公式法求一元二次方程的解的过程，并在现实情景中加以应用，切实提高了应用意识和能力，也感受到了解一元二次方程的必要性和作用；同时在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学目标：1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；2、会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；3、通过因式分解法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。

4、进一步丰富数学学习的成功体验，使学生在学习中培养良好的情感、态度和主动参与、合作交流的意识，进一步提高观察、分析、概括等能力。

三、教学过程分析第一环节：复习回顾1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)2=n（n≥0）的形式。

2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。

3、选择合适的方法解下列方程：①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0第二环节：情景引入、探究新知1、师：有一道题难住了我，想请同学们帮助一下，行不行？生：齐答行。

师：出示问题，一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？说明：学生独自完成，教师巡视指导，选择不同答案准备展示。

2、师：同学们在下面用了多种方法解决此问题，观察以上四个同学的做法是否存在问题?你认为那种方法更合适?为什么?说明：小组内交流,中心发言人回答,及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的参与情况。

班级＿＿＿姓名＿＿＿＿第＿＿小组
【课前尝试预学，课中尝试交流】
1、列出下列问题中关于未知数x的方程:
(1)把面积为4m2的一张纸分割成如图2-1所示的正方形和长方形两个部分,
求正方形的边长.
设正方形的边长为x(m),可列出方程:。

(2)某放射性元素经2天后,质量衰变为原来的.问平均每天减少率为多少?
设平均每天减少率为x,可列出方程: 。

2、解决节前问题：
将一个容积为750平方厘米的包装盒剪开、铺平，纸样如图所示。

图中X应满足怎样的方程？3．观察上面所列三个方程，说出这些方程与一元一次方程的相同和不同之处。

4．一元二次方程的定义：
5.判断下列方程是否为一元二次方程:
(1)10x 2＝9. (2)2(x -1)＝3x . (3)2x 2
-3x -1＝0.(4)
-＝0.
6．判断未知数的值x ＝-1,x ＝0,x ＝2 是不是方程x 2
-2＝x 的根.
【课中尝试提高题】
7．请将第2题（节前问题）的方程化简成一元二次方程的一般形式。

方程 一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
3x 2
=2x
(x +1)(x -1)=2x 2
-4x -6
3
3-
-1
8．已知一元二次方程2x 2+bx+c =0的两个根为x 1=2
5
-
，x 2=3.求这个方程。

【尝试梳理】梳理一下这节课你学到的知识，并说说你的困惑.。

人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》学习任务单及作业设计【学习目标】1.理解一元二次方程及一元二次方程根的概念；2.掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数和常数项。

【课前学习任务】复习之前学过的有关方程的相关知识。

【课上学习任务】学习任务一：问题1：有一块矩形铁皮,长100㎝,宽 50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析：在这个问题中，铁皮的长和宽以及盒底的面积是已知量，切去正方形的边长是未知量.通过示意图不难看出，将四周凸起部分折起后的无盖方盒的底面为一个矩形，我们设切去正方形的边长为xcm，则盒底矩形的长表示为（100-2x）cm，宽表示为（50-2x）cm，由无盖方盒的底面积为 3600cm2，可以得到含有 x 的等式，（100-2x）×（50-2x）=3600，整理得：4x2 - 300x + 1400 = 0，化简得：x2-75x+350=0学习任务二：问题2：要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排 7 天,每天安排 4 场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?分析：首先由题意可知，全部比赛的场数为 4×7=28场，设有x支队伍参赛，每支队伍都要与其他（x-1）支队伍各赛一场，所以共进行x（x-1）场比赛.但是由于A队对B队的比赛与B队对A队的比赛是同一场比赛，所以还应将全部比赛的场次除以 2，即如果每两个队之间都要比赛一场，则共有x（x-1）/2场比赛.由此可得，方程为：x（x-1）/2 = 28 整理得：学习任务三：例1：判断下列方程是否为一元二次方程，如果是，请将方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数以及常数项.是一元二次方程，一般形式为，二次项系数3，一次项系数-8，常数项为-10.是一元二次方程，一般形式为，二次项系数 4，一次项系数 0，常数项为-81.是一元二次方程，一般形式为，二次项系数，一次项系数2，常数项为0.不是一元二次方程，因为未知数的最高次数不是 2.学习任务四：例2：如果2是关于x的方程的一个根，那么常数 c 是多少？你能求出这个方程的其他根吗？解：将 x=2 代入到关于 x 的方程中，可得 c=4，此时方程为，根据平方根的定义得：学习任务五：例3：已知m是方程的一个根，（1）求代数式的值；（2）求的值.【作业设计】请同学们在作业本上完成下面两道课后作业：1.根据下面的问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式: 有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为0.06m2的矩形？2.下列哪些数是方程的根？-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4.【参考答案】1.2.。

应用一元二次方程〔2〕教课目的：1.成立方程模型来解决生活中的经济问题，总结运用列方程解决实质问题的一般步骤．2．经过列方程解应用题，进一步提高剖析问题、解决问题的能力．教课要点：找出相等关系恰当设未知数教课难点：理清题中的数目关系教课过程一、知识链接1、什么是进价、销售价、收益？说出它们三者的关系，收益=，收益率=，总收益=每件的收益×2、回想列方程解应用题的一般步骤。

二、自主研究，展现点评例题：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研说明：当销售价为2900元时，均匀每日能售出8台，而当销售价每降低50元时，均匀每日就能多售出4台，商场要想使这类冰箱的销售收益均匀每日抵达5000元，每台冰箱的订价应为多少元?研究一剖析：(1).题中“当销售价每降低50元时，均匀每日就能多售出4台，〞试着剖析一下这句话的意思，(2).假如每台冰箱降价x元，那么均匀每日便可多售出台，每台冰箱的订价应为元、(3).降价前每台进货价为2500元，销售价为2900元，每台销售收益元，降价后每台销售收益元，降价前均匀每日可售出8台，降价后均匀每日可售出台，(4).经过列表理清数目关系每日的销售量/台每台的销售收益/元每日总销售收益/元降价前降价后〔5).题中冰箱的销售收益均匀每日抵达5000元，本题的等量关系是由此可获得的方程是〔6〕教师帮着学生解方程问：总结列一元二次解决实质问题的一般步骤是什么?其要点是什么？研究二：〔1〕不解方程经过题意，你能猜想出每台冰箱的订价范围吗？〔2〕你能猜出降价的范围吗？〔3〕本题是求订价，我们可否先求出降价，再找订价？〔4〕设每台冰箱降价x元，试剖析下表：每日的销售量/台每台的销售收益/元每日总销售收益/元降价前降价后〔5〕列出方程研究三：本题中会降几个50元？可否先求出降了几个50元，再求出每台冰箱的订价？三、讲堂总结：由学生写反省并沟通四、讲堂检测课本55页做一做及随堂练习五：增补习题1、黄冈百货商铺服装柜销售发现：“宝乐〞牌童装均匀每日可售出20件，每件盈余40元；为了迎接“六一〞国际少儿节，商场决定采纳适合的降价举措，扩大销售量，增添盈余．经市场检查发现，假如每件童装每降价1元，那么均匀每日便可多售出2件，要想均匀每日在销售这类童装上盈余1200元，那么每件童装应降价多少元?2、某水果批发商场经销一种高档水果，假如每千克盈余10元，那么每日可售出500千克．经市场检查发现，在进货价不变的情况下，假定每千克涨价1元，那么日销售量将减少20千克．现该商场要保证每日盈余6000元，同时又要顾客获得优惠，那么每千克应涨价多少元？2、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾景色区旅行，推出了以下收费标准：假如人数超出25人，每增添1人，假如人数不超出25人，人均人均旅行花费降低20元，但人均旅旅行花费为1000元．游花费不得低于700元．某单位组织职工去天水湾景色区旅行，共支付给春秋旅行社旅行花费27000 元．请问该单位此次共有多少职工去天水湾景色区旅行？教课反省：应用一元二次方程〔2〕学习目标： 1.成立方程模型来解决生活中的经济问题，总结运用列方程解决实质问题的一般步骤．2．经过列方程解应用题，进一步提升剖析问题、解决问题的能力．学习要点：找出相等关系适合设未知数学习难点：理清题中的数目关系学习过程一、知识链接1、什么是进价、销售价、收益？说出它们三者的关系，收益=，收益率=，总收益=每件的收益×2、回想列方程解应用题的一般步骤。