高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3....》329PPT课件

1 高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算教材习题点拨 新人教A版选修1-2

练习1

1．解：(1)(2＋4i)＋(3－4i)＝2＋3＋(4－4)i＝5；

(2)5－(3＋2i)＝5－3－2i＝2－2i；

(3)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i；

(4)(2－i)－(2＋3i)＋4i＝(2－2)＋(－1－3＋4)i＝0.

2．解：由题意，知z＝－1＋3i.

(1)z＋1＝－1＋3i＋1＝3i；

(2)z－i＝－1＋3i－i＝－1＋2i；

(3)z＋(2－i)＝－1＋3i＋2－i＝1＋2i.

思考2

解：(1)在复平面内，它们所对应的点关于实轴对称．

(2)令z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a－bi，于是z1·z2＝(a－bi)(a＋bi)＝a2＋abi－bai－b2i2

＝a2＋b2＝|z1|2＝|z2|2，

∴z1·z2是一个实数，其大小等于复数z1的模的平方．

练习2

1．解：(1)(7－6i)(－3i)＝－21i＋18i2＝－18－21i；

(2)(3＋4i)(－2－3i)＝－6－9i－8i－12i2＝6－17i；

(3)(1＋2i)(3－4i)(－2－i)

＝(3－4i＋6i－8i2)(－2－i)

＝(11＋2i)(－2－i)

＝－22－11i－4i－2i2

＝－20－15i.

2．解：(1)(3＋2i)(－3＋2i)＝－3＋6i－6i＋2i2＝－5；

(2)(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i；

(3)i(2－i)(1－2i)＝i(2－4i－i＋2i2)＝i(－5i)＝5.

3．解：(1)1＋i1－i＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝1＋i2＋2i2＝i；

(2)1i＝－i－i2＝－i；

(3)7＋i3＋4i＝(7＋i)(3－4i)(3＋4i)(3－4i)＝21－4i2－25i25＝25－25i25＝1－i； 2 (4)(－1＋i)(2＋i)－i＝(－2＋i＋i2)·i－i2＝(－3＋i)·i＝－1－3i.

第三章 数系的扩充与复数的引入

本章要览

内容提要

本章的主要内容是复数的概念、复数的几何意义、复数代数形式的四则运算及数系的扩充等.

本章知识在高中所学数学知识中相对独立,复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充,它体现了数学的发现和创造过程.学习复数的一些基本知识,可以深刻体会人类理性思维在数系扩充中的作用.

复数的有关问题,往往转化为实数范围内的代数问题,也常常转化为平面几何问题.因此在本章学习中,注意问题的转化,即复数问题实数化,以及数形结合的数学思想的灵活运用.

本章学习的重点是复数的概念,它是复数运算、复数应用的基础.对概念的理解、掌握是审清题意的关键,也是获得解题思路的源泉.

学法指导

在学习本章时,应注意复数与实数、有理数的联系,复数代数形式的加、减运算与平面向量加、减运算的联系,还应注意复数代数形式的四则运算与多项式加法、减法、乘法运算的联系,善于将复数问题实数化、几何化,注重整体思想的运用.

1 高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算（第1课时）课堂探究 新人教A版选修2-2

探究一 复数的加法与减法运算

1．复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．

2．复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．

【典型例题1】计算：

(1)(3＋5i)＋(3－4i)；

(2)(－3＋2i)－(4－5i)；

(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．

解：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i；

(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i；

(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i.

探究二 复数加、减法运算的几何意义

1．复数加法、减法运算的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时，主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算．

2．由于复数可用向量表示，因而可将复数问题转化为向量问题，利用向量的方法解决复数问题．

【典型例题2】复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．

思路分析：利用=ADBC，或者=ABDC，求点D对应的复数；也可以利用正方形的性质求解，正方形的两条对角线的交点是其对称中心．

解法一：如图，设复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．

2 则=ADODOA＝(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，

第3章 数系的扩充与复数的引入

§3.1数系的扩充和复数的概念

学习目标：

1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i

2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律

3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念

一知识梳理

1.虚数单位i:

(1)它的平方等于-1，即 21i;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.

2. i的周期性：i4n+1= i4n+2= , i4n+3= , i4n=

3.复数的定义：形如(,)abiabR的数叫复数，a叫复数的 ，b叫复数的

全体复数所成的集合叫做 ，用字母 表示*

4. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,)zabiabR，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式

5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)abiabR，当且仅当 时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当 时，复数z=a+bi叫做虚数；当 时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当

时，z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.

6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等

这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di

复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.

二典例分析

例1请说出复数iiii53,31,213,32的实部和虚部，有没有纯虚数？

例2（课本例1）实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是: (1) 实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？