几何概型例题及解析

几何概型例题分析

[例1] 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。

解：设x为甲到达时间，y为乙到达时间.建立坐标系，如图15||yx时可相见，即阴影部分167604560222P

[例2] 设A为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A连接，求弦长超过半径2倍的概率。

解：RACAB2||||. ∴ 212RRBCDP圆周

[例3] 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过21的概率。

解：设第一段的长度为x，第二段的长度为y，第三段的长度为yx1，则基本事件组所对应的几何区域可表示为

}10,10,10|),{(yxyxyx，即图中黄色区域，此区域面积为21。

事件“三段的长度都不超过21”所对应的几何区域可表示为

),(|),{(yxyxA，}211,21,21yxyx

即图中最中间三角形区域，此区域面积为81)21(212

此时事件“三段的长度都不超过21”的概率为412181P

[例4] 两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是25km，下午3：00张三在基地正东30km内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。

解：设yx,为张三、李四与基地的距离]30,0[x，]40,0[y，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对),(yx，表示区域总面积为1200，可以交谈即2522yx

故19225120025412P

[例5] 在区间]1,1[上任取两数ba,，运用随机模拟方法求二次方程02baxx两根均为正数的概率。

000421212bxxaxxba

987321754321古典概型与几何概型

古典概型与几何概型

【知识网络】

1． 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

2． 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。

【典型例题】

[例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ）

A．49

B．29

C．23

D．13

（2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则1log2YX的概率为 （ ）

A．61 B．365 C．121 D．21

（3）在长为18cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为 （ ）

A．56 B．12 C．13 D．16

（4）向面积为S的△ABC内任投一点P，则随机事件“△PBC的面积小于3S”的概率为 ．

（5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ．

[例2]考虑一元二次方程x2+mx+n=0，其中m，n的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。

[例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．

[例4]抛掷骰子，是大家非常熟悉的日常游戏了．

某公司决定以此玩抛掷（两颗）骰子的游戏，来搞一个大型的促销活动——“轻轻松松抛骰子，欢欢乐乐拿礼券”．

方案1：总点数是几就送礼券几十元．

总点数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

古典概型与几何概型

一、考纲要求

1.理解古典概型及其概率计算公式．

2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．

3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．

4.了解几何概型的意义．

二、知识梳理

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是

的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成

的和．

2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

(1)试验中所有可能出现的基本事件 ；

(2)每个基本事件出现的可能性 ．

3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝ .

4．古典概型的概率公式

P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.

5．几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 ( 或 )成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为 ．

6．几何概型中，事件A的概率的计算公式

P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.

7．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点

(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有 ；

(2)等可能性：每个结果的发生具有 ．

8．随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．

(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是：①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝MN作为所求概率的近似值．

三、典例解析

考点一 古典概型的概率求法

一、知识回顾

测度：测量几何区域的尺度，常用的测度有长度、面积、体积、角度等。

几何概型、体积、角度等）区域测度（长度、面积试验的全部结果构成的积、体积、角度等）的区域测度（长度、面构成事件A)(AP

特征：在试验中可能出现的结果又无限多个；每一个结果的出现都是等可能的。

模拟方法：正方形的面积的面积区域落在正方形内的芝麻数内的芝麻数落在区域AA

（注：常用来求不规则图形的面积）

二、例题讲解

例1：取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，求剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？

例2：设点M（x,y）在1x,1y时按均匀分布出现，试求满足（1）0yx的概率；（2）1yx的概率；（3）122yx的概率。

例3.小明家的晚报在下午5:30~6:30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6:00~7:00之间的任何一个时间随机地开始晚餐。求晚报在晚餐开始之前被送到的概率。

例4.用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不超过1cm的概率。 三、练习

1.某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均为每小时一班，求此人等车时间不超过20分钟的概率。

2.在一个底面为正方形的容器内撒入1000粒豆子，数得落在正方形内切圆内的豆子数803粒，试估计圆周率的近似值。

3.在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率。

4.某公共汽车站每隔15分钟有一辆车发出，且发出前在车站停靠3分钟。（1）求乘客到站候车时间大于10分钟的概率；（2）求候车时间不超过10分钟的概率；（3）求乘客到达车站立即上车的概率。

5.两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率。

6.在长方体1111DCBA-ABCD中随机取点，则点M落在四棱锥O—ABCD（其中O是长方体对角线的交点）内的概率是