福建省福州市高二数学下学期期中试题 文(1)

福建省福州市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

2017.4.27

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）

1．在复平面内，复数2(12)i对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是

①y＝cos x(x∈R)是三角函数；

②三角函数是周期函数；

③y＝cos x(x∈R)是周期函数．

A．①②③ B．③②① C．②③① D．②①③

3．根据所给的算式猜测1234567×9+8等于

1×9+2=11 ；12×9+3=111；123×9+4=1 111；1234×9+5=11 111；……

A．1 111 110 B．1 111 111 C．11 111 110 D．11 111 111

4．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是

A.没有一个内角是钝角 B. 至少有两个内角是钝角

C.有三个内角是钝角 D. 有两个内角是钝角

5. 给出下列命题：

①对任意x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；

②若log2x＋logx2≥2，则x>1；

③“若a>b>0且c<0，则ca>cb”的逆否命题．其中真命题只有

A． ①③ B．①② C． ①②③ D．②③

6．若圆的参数方程为 x＝－1＋2cos θ，y＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的参数方程为 x＝2t－1，y＝6t－1(t为参数)，则直线与圆的位置关系是

A．过圆心 B．相交而不过圆心 C．相切 D．相离

7．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是

A．3 B．4 C．5 D．6

8．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则 cdba2的最小值是

A．4 B．1 C．2 D.0

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

9．在极坐标系中，定点A(1，π2)，点B在直线l：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是________

10．若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解，则实数a的取值范围是______

11．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下：

x 2 4 5 6

8

y

20 40 60 70

80

根据以上数据，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为10.5yxa，据此模型来预测当x= 20时，y的估计值为

12. 给出下列等式：

221121213；

2223112132421213；

3322411214352132421213，……

由以上等式推出一个一般结论：

对于nnnnNn21)1(22132421213,2*=

三、解答题（本大题共有３个小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）

13．（本小题满分12分）

已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：0

14. （本小题满分 12 分）

已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.

(1)求a＋b＋c的值；

(2)求14a2＋19b2＋c2的最小值．

15．（本小题满分12分）

已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos (θ－π4)＋6＝0，求：

(1)圆的普通方程和参数方程；

(2)在圆上所有的点(x，y)中x·y的最大值和最小值．

第Ⅱ卷

四、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）

16．满足条件|z－i|＝|3－4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是

A．一条直线 B．圆 C．两条直线 D．椭圆

17．用数学归纳法证明“42n－1＋3n＋1(n∈N＋)能被13整除”的第二步中，当n＝k＋1时为了使用归纳假设，对42k＋1＋3k＋2变形正确的是

A．3(42k－1＋3k＋1)－13×42k－1

B．4×42k＋9×3k

C．(42k－1＋3k＋1)＋15×42k－1＋2×3k＋1

D．16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1

18．设F1和F2是双曲线 x＝2sec θ，y＝tan θ(θ为参数)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，那么△F1PF2的面积是

A．2 B.52 C．1 D．5

19．设c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的某一排列(a1，a2，…，an均为正数)，则a1c1＋a2c2

＋…＋ancn的最小值是

A．2n B.1n C.n D. n

五、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）

20．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsinθ＋π4(r>0)的公共弦所在直线的方程为

21．已知关于x的不等式 7ax1x22在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为_______

六、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）

22．（本小题满分12分）

已知经过A(5，－3)且倾斜角的余弦值是－35的直线，直线与圆x2＋y2＝25交于B、C两点．

(1)请写出该直线的参数方程以及BC中点坐标；

(2)求过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．

23.（本小题满分14分）

（1）已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值．

（2）请用数学归纳法证明： 1－141－191－116…1－1n2＝n＋12n(n≥2，n∈N＋)．

高二数学（文） 试卷参考答案及评分标准

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分

1-8 CDDB CBCA

二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分

9. 22，3π4 10. (－∞，8] 11. 211.5 12. 1-nn2)1(1

三、解答题：本大题共有4个小题，共36分

13．（本小题满分12分）

解: 由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，

∴x≥3，或x≤－1.即p：x≥3，或x≤－1. …………………２分

∴非p：－1

∴非q：x≥4，或x≤0. …………………５分

由p且q为假，p或q为真知p，q一真一假，…………………６分

当p真q假时，由 x≥3，或x≤－1，x≥4，或x≤0，

得x≥4，或x≤－1； …………………9分

当p假q真时，由 －1

∴实数x的取值范围是{x|x≤－1，或0

14. （本小题满分12分）

解：(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，……３分

当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．

又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，

所以f(x)的最小值为a＋b＋c. …………………６分

又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.

(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得

14a2＋19b2＋c2(4＋9＋1)≥a2×2＋b3×3＋c×12＝(a＋b＋c)2＝16，……………9分

即14a2＋19b2＋c2≥87.

………………１０分

当且仅当12a2＝13b3＝c1，即a＝87，b＝187，c＝27时等号成立，

高二数学（文）期中考答案 第1页 共3页

故14a2＋19b2＋c2的最小值是87. ………………１２分

15．（本小题满分12分）

解：(1)原方程可化为ρ2－42ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＋6＝0，

即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.① ………………２分

因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以①可化为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，此方程即为所求圆的普通方程．………………４分

设cos θ＝2－2，sin θ＝2－2，

所以参数方程为 x＝2＋2cos

θy＝2＋2sin θ(θ为参数)．…………………６分

(2)由(1)可知xy＝(2＋2cos θ)·(2＋2sin θ)

＝4＋22(cos θ＋sin θ)＋2cos θ·sin θ

＝3＋22(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.②…………………８分

设t＝cos θ＋sin θ，则t＝2sin (θ＋π4)，t∈[－2，2]．…１０分

所以xy＝3＋22t＋t2＝(t＋2)2＋1.

当t＝－2时xy有最小值为1；

当t＝2时，xy有最大值为9. ………………１２分

第Ⅱ卷

一、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分

16-19 ＢＤＣＤ

二、填空题：本大题共2小题，每小题4分，共8分

20. 2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r

21. ２

三、解答题: 本大题共有2个小题，共26分

22． （本小题满分１２分）

解: (1)直线参数方程为 x＝5－35t，y＝－3＋45t(t为参数)，…………………２分

代入圆的方程得t2－545t＋9＝0，∴tM＝t1＋t22＝275，