2017高考数学文二轮复习讲义：第一编 数学思想方法 第三讲 分类讨论思想 含解析

第三讲 分类讨论思想

思想方法解读

考点 由概念、法则、公式引起的分类讨论

典例1 (1)2015·福建高考]若函数f(x)＝ －x＋6，x≤2，3＋logax，x>2(a>0，且a≠1)的值域是4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．

解析] 因为f(x)＝ －x＋6，x≤2，3＋logax，x>2，所以当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为4，＋∞)，所以 a>1，3＋loga2≥4.解得1

答案] (1,2]

(2)已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，且Sn＝(Sn－1＋a1)2(n≥2)，若bn＝an＋1an＋anan＋1，且数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝________.

解析] 由题意可得，Sn>0，因为Sn＝(Sn－1＋a1)2(n≥2)，所以Sn＝Sn－1＋a1，即数列{Sn}是以S1＝a1为首项，以a1为公差的等差数列，所以Sn＝na1，所以Sn＝n2a1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2a1－(n－1)2a1＝(2n－1)a1，当n＝1时，适合上式，

所以bn＝an＋1an＋anan＋1＝2n＋12n－1＋2n－12n＋1＝1＋22n－1＋1－22n＋1＝2＋212n－1－12n＋1，

所以Tn＝2n＋21－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝2n＋21－12n＋1＝2n＋4n2n＋1＝4n2＋6n2n＋1.

答案] 4n2＋6n2n＋1

四步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题

第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．

第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．

第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．

第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．

【针对训练1】 在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．

(1)求d，an；

(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.

解 (1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，

即5(a1＋2d)·a1＝(2a1＋2d＋2)2

d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4， 所以an＝－n＋11或an＝4n＋6.

(2)设数列{an}前n项和为Sn，

因为d<0，所以d＝－1，an＝－n＋11，则

由an≥0，即－n＋11≥0得n≤11.

所以当n≤11时，an≥0，n≥12时，an<0.

所以n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－12n2＋212n；

n≥12时，|a1|＋|a2|＋…＋|a11|＋|a12|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a11－a12－…－an＝S11－(Sn－S11)＝－Sn＋2S11＝12n2－212n＋110.

综上所述，|a1|＋|a2|＋…＋|an|

＝ －12n2＋212n，n≤11，12n2－212n＋110，n≥12.

考点 由参数变化引起的分类讨论

典例2 2015·江苏高考]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．

(1)试讨论f(x)的单调性；

(2)若b＝c－a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞，求c的值．

解] (1)f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－2a3.

当a＝0时，因为f′(x)＝3x2>0(x≠0)，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；

当a>0时，x∈－∞，－2a3∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，x∈－2a3，0时，f′(x)<0，

所以函数f(x)在－∞，－2a3，(0，＋∞)上单调递增，在－2a3，0上单调递减； 当a<0时，x∈(－∞，0)∪－2a3，＋∞时，f′(x)>0，x∈0，－2a3时，f′(x)<0，

所以函数f(x)在(－∞，0)，－2a3，＋∞上单调递增，在0，－2a3上单调递减．

(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)＝b，f－2a3＝427a3＋b，则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f－2a3＝b427a3＋b<0，

从而 a>0，－427a3

又b＝c－a，所以 a>0，427a3－a＋c>0或 a<0，427a3－a＋c<0.

设g(a)＝427a3－a＋c，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞，

则在(－∞，－3)上g(a)<0，

且在1，32∪32，＋∞上g(a)>0均恒成立，

从而g(－3)＝c－1≤0，

且g32＝c－1≥0，因此c＝1.

此时，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)x2＋(a－1)x＋1－a]，

因函数有三个零点，则x2＋(a－1)x＋1－a＝0有两个异于－1的不等实根，

所以Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3>0，且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0，

解得a∈(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞. 综上c＝1.

1．变量或参数变化时常见的分类讨论

(1)解含参数的不等式时，常按参数的取值不同分类讨论．

(2)平面解析几何中，直线点斜式中按斜率k存在和不存在，直线截距式中按截距b＝0和b≠0分类讨论．

2．利用分类讨论思想的注意点

(1)分类讨论要标准统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．

(2)分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏，最后将讨论结果归类合并，其中级别与级别之间有严格的先后顺序、类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取交集、并集，还是既不取交集也不取并集只是分条列出．

【针对训练2】 2016·四川高考]设函数f(x)＝ax2－a－ln x，其中a∈R.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)>1x－e1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e＝2.718…为自然对数的底数)．

解 (1)f′(x)＝2ax－1x＝2ax2－1x(x>0)．

当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．

当a>0时，由f′(x)＝0，有x＝12a.

此时，当x∈0，12a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈12a，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

(2)令g(x)＝1x－1ex－1，s(x)＝ex－1－x. 则s′(x)＝ex－1－1.

而当x>1时，s′(x)>0，

所以s(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．

又由s(1)＝0，有s(x)>0，

从而当x>1时，g(x)>0.

当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x2－1)－ln x<0.

故当f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0.

当01.

由(1)有f12a0，

所以此时f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立．

当a≥12时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1)．

当x>1时，h′(x)＝2ax－1x＋1x2－e1－x>x－1x＋1x2－1x＝x3－2x＋1x2>x2－2x＋1x2>0.

因此，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．

又h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)＝f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立．

综上，a∈12，＋∞.

考点 根据图形位置或形状分类讨论

典例3 2015·广东高考]已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.

(1)求圆C1的圆心坐标；

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

解] (1)圆C1的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，圆心坐标为C1(3,0)． (2)由垂径定理知，C1M⊥AB，故点M在以OC1为直径的圆上，即x－322＋y2＝94.

故线段AB的中点M的轨迹C的方程是x－322＋y2＝94在圆C1：(x－3)2＋y2＝4内部的部分，设AB方程为y＝k1x，当AB与圆C1相切时 y＝k1xx2＋y2－6x＋5＝0⇒(k21＋1)x2－6x＋5＝0，

由Δ＝36－4×5×(k21＋1)＝0得k1＝±255，

代入方程组得x＝53，因此x∈53，3.

即x－322＋y2＝9453＜x≤3.

(3)联立 x＝53，x－322＋y2＝94，解得 x＝53，y＝±253.

不妨设其交点为P153，253，P253，－253，

设直线L：y＝k(x－4)所过定点为P(4,0)，

则kPP1＝－257，kPP2＝257. 当直线L与圆C相切时，32k－4kk2＋1＝32，解得k＝±34.

故当k∈－34，34∪－257，257时，直线L与曲线C只有一个交点．

六类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论

(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．

【针对训练3】 (1)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于( )

A.12或32 B.23或2

C.12或2

D.23或32

答案 A

解析 不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t≠0，若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝ca＝2c2a＝3t6t＝12.

若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，

|F1F2|＝3t＝2c，e＝ca＝2c2a＝3t2t＝32.

(2)已知变量x，y满足的不等式组 x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的是一个