高考数学中的排列组合问题

排列、组合及其应用

一、知识要点：

1、排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个元素的排列数，用符号mnP表示。

2、排列数公式：mnP(1)(2)(1)nnnnm=!()!nnm（,,mnNmn）；规定：0! 1。

3、组合的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。所有组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号mnC表示。

4、组合数公式：mnCmnmmPP=!!()!nmnm),,(nmNmn且

5、组合数的性质（1）mnnmnCC；规定：0nC 1 ；（2）11mmmnnnCCC 。

二、典型范例：

例1：解方程：233223110xxxxxCCP。

分析：此题由于2x一定大于2x和3x，所以只需要3x大于3，而方程的左边可以通过组合数的性质（2）进行计算，另外此题适合用阶乘表示。

解：由2333110xxxCA，得5333110xxCA

(3)!1(3)!5!(2)!10!xxxx

5!10(1)xx

解得4x或3

∵33x

∴4x

点评：涉及排列数或者组合数的不等式，首先要注意使式子有意义，其次是根据情况，将mnA或mnC写成展开形式或者阶乘形式。

例2：有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？

(1)甲不在中间也不在两端；

(2)甲、乙两人必须排在两端；

(3)男女相间．

分析：这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起．对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”．

1 排列组合中的分组问题

单位：新沂市高级中学 姓名：宋小林

排列组合的内容紧密联系实际，知识背景丰富，题型丰富多样。在高考中常用现实社会热点问题为载体进行考查，常考常新。而分组问题是排列组合中的重点也是难点。是许多同学看起来简单而处理问题时又很容易出错的一类题，下面我就排列组合中的分组问题，结合我个人在教学中的体会和做法，谈一些自己的看法。

关键词：分组 均匀 非均匀 有序 无序

排列组合中的分组问题有以下几类：

1、不均匀分组无序

例1. 把6个人分组成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数。

（1） 分成甲、乙、丙三组，其中甲组3人，乙组2人，丙组1人.

（2） 分成3组，其中一组3人，一组2人，一组1人.

解：本题为非均匀分组问题且与顺序无关

（1）从6人中任选3人，为甲组有36C种选法，再从余下的3人中任选2人为乙组，有23C种选法，剩下1人为丙组，故共有36C*23C*11C种不同的分法。

（2）先从6人中任选3人为一组有36C种选法，然后从剩下的3人任选2人为一组有23C种选法，最后剩下的一人为一组，故共有36C*23C*11C种不同的分法。

点评：由于各组人数不同，故此问题属于非平均分组问题。尽管（1）给出了甲、乙、丙3组，而（2）没有给出，但分组的方法相同。很多同学会把（1）结果误表示为36C*23C*11C*A33种。

总结：一般地，把n个不同元素，不平均的分成m组，)(Nnm、共有1321211mmnnnnnnnnnnnCCCC种分法

其中),(321321nnnnnnnnnmm

2、平均分组无序

例2. 有六本不同的书，分成如下两组，分别求出以下分组的方法数。

（1） 每组两本

（2） 一组四本，另外两组各一本

2 解：（1）平均分组问题，且与顺序无关

分组数为1533222426ACCC（种）而此题许多同学会写成90222426CCC（种）。实际上，上述问题重复了6次。为了方便期间，我们不妨把6本不同的书标上序号1、2、3、4、5、6，下面我们来看以下的分组：

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高中数学中排列组合问题的实际应用

作者：栾英凯

来源：《科学与财富》2018年第05期

摘 要：排列组合是高中数学学习中的重点和难点内容，在学习的过程中也感到内容抽象难懂。作为一名高中生，想要真正掌握排列组合问题的解题关键，需要根据不同的问题将不同的解题模型对号入座。通过将数学问题与实际生活相结合，能够帮助我们很好的将抽象问题具体化，降低理解问题的难度。不光能够帮助我们解决书本和试卷上的问题，同时也能够给我们的学习增添乐趣。知识再也不仅仅局限在书本上，而是能够真实立体的出现在我们的生活当中。

关键词：高中数学；排列组合问题；实际应用

1 排列组合的定义与理解

排列组合的字面意思非常简单，就是将已有元素进行排列和组合。其中排列指的是从M个互不相同的元素当中，按照一定的顺序取出N个元素；而组合则是在M个互不相同的元素当中，任意取出N个元素构成一组。两者最大的差别就是对于顺序的要求不同，这也直接导致了两者最后产生可能性的差别。因此，在遇到问题时我们可以简单的从有无顺序要求作为切入点，判断该问题时属于排列问题还是组合问题。

2 排列组合问题的解决技巧

在课堂上，老师教给我们很多关于排列组合问题的固定方法，在遇到问题时我们可以根据题目的表述在插空法、排除法、转换法、分类法以及捆绑法这几种方法中选择对应的方法和公式进行解决。使用插空法解决问题的前提是需要有两个或两个以上不相邻的元素，并且将有限制条件的元素按照相应的要求插入到已经排列好的元素当中，形成新的元素；捆绑法是将几个相近的元素看成一个整体，记为m、n、p等，进行排列组合后再将各自的子元素进行排列组合，得到答案；排除法主要是在从正面解决问题出现困难的时候，反向出发，简化问题。

根据上文我们不难看出，排列组合问题的题目非常活跃，所需要掌握的方法和技巧也很多。因此想要真正学好排列组合并在解题的时候获得较高的正确率，必须要理解每个方法的使用条件和范围，这样才能在众多的方法中选择出适合题目的方法。而在实际生活中，排列组合的应用也非常广泛。可以说我们的生活中处处都能看到排列组合知识应用的影子，如果我们能够善于观察、善于发现，那么我们就能更好的让排列组合知识在理论和实际中相互转化，相辅相成。

中　掌　生　数　理　Ｔ巴　掌　研　版　排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵　活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列　问题、组合问题，还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题　的本质特征，采用合理恰当的方法来处理．　解决排列组合问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些　常用的解题策略　一、特殊元素和特殊位置优先安排策略　例１　由０，１，２，３，４，５可以组成多少个没有重复数字五　位奇数．　解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不　合要求的元素占了这两个位置．先排末位共有，ｃ；然后排首位　共有Ｃ　，最后排其它位置共有Ａ　，由分步计数原理得　Ｃ　Ｃ　Ａ　一２８８．　策略小结：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问　题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特　殊元素，再处理其它元素．若以位置分析为主，需先满足特殊　位置的要求，再处理其它位置．若有多个约束条件，往往是考　虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件．　变式：７种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花　不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？　二、相邻元素捆绑策略　例２　７人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多　少种不同的排法．　解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，　同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时　对相邻元素内部进行自排．由分步计数原理可得共有Ａ；Ａ；Ａ；　一４８０种不同的排法　策略小结：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用　捆绑法来解决问题．即将需要相邻的元素合并为一个元素，再　与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须　排列．　三、不相邻问题插空策略　例３一个晚会的节目有４个舞蹈，２个相声，３个独唱，　舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？　解：分两步进行第一步排２个相声和３个独唱共有Ａ｝　种，第二步将４舞蹈插人第一步排好的６个元素中间包含首　尾两个空位共有种Ａ３不同的方法，由分步计数原理，节目的　不同顺序共有ＡｉＡ　种．　策略小结：元素相离问题可先把没有位置要求的元素进　行排队再把不相邻元素插入中问和两端．　四、重排问题利用分步原理策略　例４把６名实习生分配到７个车间实习，共有多少种不　同的分法．　解：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有７　种分法．把第二名实习生分配到车间也有７种分依此类推，由　分步计数原理共有７　种不同的排法．　策略小结：允许重复的排列问题的特点是以元素为研究　对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，　一般地　不同的元素没有限制地安排在ｍ个位置上的排列　数为ｍ　种．　五、多排问题直排策略　例５　８人排成前后两排，每排４人，其中甲乙在前排，丙　在后排，共有多少排法．　解：８人排前后两排，相当于８人坐８把椅子，可以把椅子　排成一排．个特殊元素有　种，再排后４个位置上的特殊元　素丙有　种，其余的５人在５个位置上任意排列有Ａ；种，则　共有Ａ；Ａ　Ａｉ种．　策略小结：一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为　一排考虑，再分段研究．　六、元素相同问题隔板策略　例６有１Ｏ个运动员名额，分给７个班，每班至少一个，　有多少种分配方案？　解：因为１Ｏ个名额没有差别，把它们排成一排．相邻名额　之间形成９个空隙．在９个空档中选６个位置插个隔板，可把　名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一　种分法共有Ｃ　种分法．　策略小结：将　个相同的元素分成ｍ份（　，ｍ为正整　数），每份至少一个元素，可以用ｍ一１块隔板，插入”个元素　排成一排的　一１个空隙中，所有分法数为ｃ　＿＿　．　七、平均分组问题除法策略　例７　６本不同的书平均分成３堆，每堆２本共有多少　分法？　解：分三步取书得Ｃ：Ｃ　Ｃ；种方法，但这里出现重复计数　的现象，不妨记６本书为ＡＢＣＤＥＦ，若第一步取ＡＢ，第二步　取ＣＤ，第三步取ＥＦ该分法记为（ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ），则Ｃ：ｃ　ｃ；　中还有（ＡＢ，ＥＦ，ＣＤ），（ＣＤ，ＡＢ，ＥＦ），（ＣＤ，ＥＦ，ＡＢ）（ＥＦ，　ＣＤ，ＡＢ），（ＥＦ，ＡＢ，ＣＤ）共有Ａｉ种取法，而这些分法仅是　ｒ、２　ｒ、２　ｒ、２　（ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ）－－￣分法，故共有　种分法．　ｎ　策略小结：平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一　种情况，所以分组后要一定要除以Ａ：（　为均分的组数）避免　重复计数．　总结：排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的　练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，　题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证．同学们只有对基本　的解题策略熟练掌握．根据它们的条件，我们就可以选取不同　的技巧来解决问题．对于一些比较复杂的问题，我们可以将几　种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁　通，进而为后续学习打下坚实的基础．　作者单位：山东省菏泽市第二中学　隧　罐　摇！！　悟共　哇　ｐ　１羞　ｌ－　哇　９　ｌ－　一究　一探　一略　一策　一解　一题　一问　民一螂民』｛＝｝］合潘一一组　一一Ｕ　一一排　一中　一学　一数　一考　一高　一！：ｌＩ　蠼　ｉｊ　驯