数学手抄报希帕索斯悖论与第一次数学危机文字稿

三次数学危机读书笔记《三次数学危机》是匹克特和克里舍夫斯基的合著作品，讲述了数学在过去三个世纪中所面临的三个重大危机，分别是不可能几何、代数基础危机和连续统计危机。

下面是我的读书笔记。

第一次数学危机：不可能几何。

不可能几何问题主要涉及到尺规作图的限制。

17世纪，费马提出了尺规作图三个基本问题的解决方案，但在19世纪，谢尔皮引用琴塔拉托证明了某些问题是无法通过尺规作图解决的。

这个危机迫使数学家们重新思考几何学的基础和方法，最终导致了非欧几何的产生。

第二次数学危机：代数基础危机。

20世纪初，希尔伯特提出了23个数学公理，希望通过这些公理来建立一个统一的数学体系。

然而，哥德尔在1931年的不完备性定理证明了任何一个包含基本算术的公理体系都存在无法证明或证伪的命题。

这个发现颠覆了希尔伯特的计划，数学家们纷纷转向了构造性数学和模型论的研究。

第三次数学危机：连续统计危机。

20世纪末，统计学和概率论在实际应用中的成功使得人们开始对数学中真实连续和理想离散之间的关系进行思考。

福克斯和莱利在1973年的论文中提出了连续和离散之间的桥梁——分形集合。

这个概念让人们重新审视了现实世界的物理现象和数学模型之间的联系，并使得数学家们对于数学的本质和局限性有了更加深入的理解。

通过阅读《三次数学危机》，我对数学的发展历程有了更深入的了解。

不可能几何、代数基础和连续统计问题的提出和解决过程，揭示了数学作为一门科学的内在矛盾和发展方向的变化。

这些危机和变革不仅仅是数学领域的问题，而是关于人类认识世界和建立知识体系的思考。

总而言之，《三次数学危机》是一本引人深思的书籍，它通过讲述数学中的危机和变革，展示了人类思维的发展和数学科学的进步。

它不仅适合数学爱好者阅读，也适合对科学哲学和知识体系有兴趣的读者。

数学史上的三次数学危机的成因分析数学的发展并非一帆风顺，在其漫长的历史进程中，曾经历了三次重大的危机。

这些危机不仅对当时的数学界产生了巨大的冲击，也推动了数学的不断进步和完善。

第一次数学危机发生在古希腊时期，主要源于对无理数的发现。

在古希腊，毕达哥拉斯学派深信“万物皆数”，这里的数指的是整数以及整数之比（有理数）。

他们认为，宇宙中的一切现象都可以用有理数来解释和描述。

然而，毕达哥拉斯学派的一个成员希帕索斯却发现了一个惊人的事实：边长为 1 的正方形，其对角线的长度无法用有理数来表示。

按照勾股定理，这个对角线的长度应该是根号 2。

但根号 2 既不是整数，也不是两个整数之比，这一发现直接冲击了毕达哥拉斯学派的基本信念。

这次危机的成因可以归结为以下几点。

首先，当时的数学观念和认知存在局限性。

人们过度依赖于整数和有理数来理解世界，对于无法用已有数学概念表达的量缺乏准备。

其次，数学的推理和证明体系还不够完善。

在面对根号 2 这样的新对象时，缺乏严谨的逻辑方法来处理和理解。

第一次数学危机的影响是深远的。

它促使人们重新审视数学的基础，推动了数学逻辑和证明的发展。

数学家们开始意识到，仅仅依靠直观和经验是不够的，必须建立更加严谨的数学体系。

第二次数学危机则与微积分的基础问题相关。

在 17 世纪，牛顿和莱布尼茨各自独立地发明了微积分。

微积分在解决众多科学和工程问题中显示出了强大的威力，极大地推动了科学技术的发展。

然而，微积分在创立初期却存在着逻辑上的漏洞。

例如，在求导数的过程中，无穷小量的概念含糊不清。

无穷小量有时被看作是零，有时又被当作非零的量参与运算，这引发了广泛的争议。

造成第二次数学危机的原因主要有两个方面。

一方面，微积分的发展速度过快，其应用的迫切需求超过了理论基础的完善速度。

科学家们急于利用微积分解决实际问题，而对其内在的逻辑矛盾关注不够。

另一方面，当时的数学分析方法还不够精确和严格。

对于极限、无穷小等概念的理解和定义存在模糊性。

由悖论引起的三次数学危机数学发展史上的第一次危机发生于古希腊时期，当时毕达哥拉斯学派所倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点。

他们认为宇宙的本质就是数的和谐，一切事物都必须而且只能通过数学得到解释。

而他们所谓“数的和谐”是指一切事物和现象都可归结为整数或整数与整数之比。

他们深信这一观点无比正确，因此广泛利用它来解释各种现象。

而后不久即出现了我们前面介绍过的希帕索斯发现无理数的事件，而这一事件是由于一个简单的不公度线段的发现而引起的。

在一般人看来，对于任何两条不一样长的线段，我们都能找到第3条线段，使给定的两条线段都包含第3条线段的整数倍。

可是希帕索斯却发现，对于边长为l 的正方形，设它的对角线为x ，根据勾股定理，则有：2 )(2 2 22222=±==∴=+lx l x l x x l l 舍掉负根 这里出现的2，正好是1与2的比例中项（图153）。

但是无论如何了找不到两个整数之比等于2。

也就是说，x 和l 之间不可能是整数的比例关系，也就不可能找到一条线段，使x 和l 都包含它的整数倍。

因此，从数学的推导可以得出结论，那就是，与我们直观的观察和想像相反，的确存在着不可公度的线段，即不具有共同度量单位的线段。

不可公度线段的出现对毕达哥拉斯学派是一个沉重的打击，但这一怪现象毕竟是学派内部的人发现的，因此被称为毕达哥拉斯悖论或希帕索斯悖论。

希帕索斯为此而献出生命，但他的死并没有消除悖论的存在，却使数学界产生了极度的思想混乱，从而爆发屯第一次数学危机。

这次数学危机的解决导致无理数的诞生。

美籍华人数学家项武指出，有理数的准确翻译应该是“可比数”，无理数的准确翻译应该是“不可比数”。

经过这次惨痛的教训，古希腊数学家不得不承认直观和经验并非绝对可靠。

因此他们对一些凭经验而得到的几何知识都要求严格的推理加以证明，正是在这个过程中促进了欧氏几何和非欧几何的诞生。

数学史上的第二次危机发生在17世纪，涉及的是微积分理论基础的问题，是由贝克莱悖论引起的。

数学史上一共发生过三次危机，都是怎么回事？在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。

第一次数学危机第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。

但是该学派的一个门徒希帕索斯发现，边长为“1”的正方形，其对角线“√2”无法写成两个整数的商，由此发现了第一个无理数。

毕达哥拉斯的其他门徒知道后，为了维护门派的正统性，把希帕索斯杀害了，并抛入大海之中，看来古人也是解决不了问题时，先解决提出问题的人。

即便如此，无理数的发现很快引起了一场数学革命，史称第一次数学危机，这危机影响数学史近两千年的时间。

第二次数学危机微积分是一项伟大的发明，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方，这遭到了一些人的强烈反对和攻击，其中攻击最强烈的是英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。

直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。

第三次数学危机数学家总有一个梦想，试图建立一些基本的公理，然后利用严格的数理逻辑，推导和证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，让数学家们看到了曙光，法国科学家庞加莱认为：我们可以借助结合论，建造起整座数学大厦。

正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：罗素悖论通俗描述为：在某个城市中，有一位名誉满城的理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。

”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮？罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。

系列故事之第一次数学危机
公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。

这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。

希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。

不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。

15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17
世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。

然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。

人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来．
同时它导致了第一次数学危机。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------史上数学三大危机简介数学三大危机数学三大危机简述：第一，希帕索斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前 5 世纪）发现了一个腰为 1 的等腰直角三角形的斜边（即根号 2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。

相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：S 由一切不是自身元素的集合所组成，那 S 包含 S 吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：我正在撒谎！问小明到底撒谎还是说实话。

罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。

他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。

由毕达哥拉斯提出的著名命题万物皆数是该学派的哲学基石。

毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。

而一切数均可表成整数或整数之比则是这一学派的数学信仰。

1 / 6然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的掘墓人。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。

小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。

三次数学危机和数学悖论读书笔记一、第一次数学危机。

1. 危机的起源。

- 毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这里的数指的是整数或整数之比（即有理数）。

当他们研究等腰直角三角形的斜边与直角边的关系时，发现了一个不可公度的量。

例如，对于边长为1的等腰直角三角形，其斜边长度为√(2)，√(2)不能表示为两个整数之比，这与他们的信条产生了冲突。

2. 对数学的影响。

二、第二次数学危机。

1. 危机的起源。

- 17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微积分。

在微积分的早期发展中，存在着一些概念上的模糊性。

例如，牛顿的流数法中，对于无穷小量的定义和处理不够严谨。

在求导过程中，先把一个量看作无穷小量进行运算，最后又把它当作零舍去，这就引发了逻辑上的矛盾。

例如，对于函数y = x^2，求导时(Δ y)/(Δ x)=frac{(x + Δ x)^2-x^2}{Δ x}=2x+Δ x，当Δ x趋近于0时，牛顿把Δ x既当作非零的量进行运算，最后又当作零舍去得到y' = 2x。

2. 对数学的影响。

- 这次危机促使数学家们对微积分的基础进行深入的思考和研究。

柯西、魏尔斯特拉斯等数学家通过极限理论等方式来完善微积分的基础。

柯西提出了极限的ε - δ定义，使得微积分中的概念如导数、积分等有了严格的定义基础。

魏尔斯特拉斯进一步完善了极限理论，消除了无穷小量概念的模糊性，从而使微积分建立在严格的逻辑基础之上，推动了分析学的蓬勃发展，也为现代数学分析等学科的发展奠定了坚实的基础。

三、第三次数学危机。

1. 危机的起源。

- 19世纪末，集合论成为了数学的基础。

康托尔创立的集合论在处理无穷集合等问题上取得了巨大的成功。

罗素提出了著名的罗素悖论。

考虑集合S={xx∉ x}，如果S∈ S，根据S的定义，S∉ S；如果S∉ S，同样根据定义S∈ S，这就产生了矛盾。

这个悖论表明集合论本身存在着逻辑漏洞。

2. 对数学的影响。

- 第三次数学危机引发了数学界的巨大震动。

数学三次危机的启示和感悟聊起数学三次危机，感觉就像翻开了一本充满波折与智慧的探险日记。

咱们都知道，数学这东西，平时看起来挺高冷，但其实它也有热血沸腾、让人揪心的时候。

今天，咱们就来聊聊数学历史上那三次让人目瞪口呆的“大事件”，看看它们能给我们带来啥启示和感悟。

话说第一次数学危机，发生在古希腊那会儿。

那时候的人们特别爱思考，他们想啊，这世界上的一切是不是都能用数学来解释呢？于是，毕达哥拉斯学派的大佬们就提出了一个牛气冲天的观点：万物皆数。

但好景不长，有个叫希帕索斯的家伙，不小心踢到了数学的“铁板”——他居然发现了个不能表示为两个整数比的数，也就是咱们现在说的无理数。

这事儿一出，整个学派都炸了锅，毕竟他们的信仰受到了严重挑战。

这场危机告诉我们，世界远比我们想象的要复杂得多。

有时候，你以为已经掌握了真理，结果却发现只是冰山一角。

所以，咱们得保持谦逊，别轻易说“我懂了”。

生活中也一样，别总觉得自己啥都知道，多听听别人的意见，说不定会有新发现呢。

第二次数学危机，发生在17世纪。

那时候，微积分这个超级工具刚刚问世，牛顿和莱布尼茨两位大佬争得不可开交，都说是自己发明的。

但微积分这东西，虽然好用，却有点“模糊”，比如无穷小量这个概念，就让人头疼不已。

数学家们开始质疑：这玩意儿到底靠不靠谱啊？于是，数学界又陷入了一片混乱。

这场危机教会我们，创新总是伴随着风险和挑战。

微积分虽然厉害，但一开始也遇到了不少麻烦。

就像咱们创业或者尝试新事物一样，刚开始可能会遇到很多困难和质疑，但只要坚持下去，不断完善，总会找到属于自己的路。

所以，别怕困难，别怕质疑，相信自己，勇往直前就对了。

第三次数学危机，发生在20世纪初。

这次的主角是罗素和他的“理发师悖论”。

简单来说，就是有个理发师只给那些不给自己剪头发的人剪头发。

那么问题来了：理发师到底应不应该给自己剪头发呢？如果他给自己剪头发，那他就违反了只给不给自己剪头发的人剪头发的规则；如果他不给自己剪头发，那他又符合给自己剪头发的条件。

不可通约性的发现引起第一次数学危机。

有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。

不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。

不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。

这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。

整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。

同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。

从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。

古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。

但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。

特别是，他们证明了：这条直线上存在点p 不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。

于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。

无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。

无理数的发现，引起了第一次数学危机。

首先，对于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。

其次，无理数看来与常识似乎相矛盾。

在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。

由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的，所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上，这样，他们的关于相似形的一般理论也失效了。

随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。

诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现，它更增加了数学家们的担忧：数学作为一门精确的科学是否还有可能？宇宙的和谐性是否还存在？在大约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。

第一次数学危机的解决方法嘿，咱今儿来聊聊那神奇的第一次数学危机的解决方法！你说这数学的世界啊，那可真是充满了奇妙和挑战。

想想看啊，毕达哥拉斯学派那可是当时数学界的大佬啊，他们对整数那是情有独钟，觉得一切都能用整数或者整数之比来表示。

可突然冒出个希帕索斯，嘿，他就发现了等腰直角三角形的斜边和直角边的比没法用整数之比来表示。

这可不得了啦，就好像平静的湖面突然扔下一块大石头，泛起了层层涟漪。

那怎么解决这个危机呢？这就像是在走一条崎岖的小路，得一步步探索。

首先呢，人们开始慢慢接受这种新的数，给它起了个名字叫无理数。

就好像家里突然来了个新成员，一开始可能有点不适应，但慢慢也就习惯了。

然后呢，数学家们不断地研究、探索，完善对无理数的理解和运用。

这就好比给这个新成员穿上合适的衣服，让它更好地融入这个大家庭。

你想想，要是没有解决这个危机，那数学的发展得受到多大的阻碍啊！就像一辆快速行驶的汽车突然刹车失灵，那得多危险啊！再打个比方，这就好像我们盖房子，一开始觉得用砖头就够了，结果发现有些地方砖头盖不起来，这时候就得找到新的材料，无理数就像是那新的建筑材料，让我们的数学大厦能够盖得更高更稳。

而且啊，这次危机也让数学家们更加谨慎，不再盲目地相信以前的结论，而是不断地去验证、去探索。

这不就跟我们做人一样嘛，不能总是一成不变，得不断学习、进步。

随着时间的推移，无理数在数学中的地位越来越重要，它就像一颗璀璨的星星，照亮了数学前进的道路。

现在你明白了吧，第一次数学危机的解决可不是一件简单的事儿，那是数学家们经过无数的努力和探索才做到的。

这也告诉我们，遇到问题不要怕，只要勇敢地去面对，去寻找解决办法，总会有出路的。

所以啊，咱得感谢那些为了解决第一次数学危机而努力奋斗的数学家们，是他们让数学的世界变得更加丰富多彩。

下次你再看到那些复杂的数学公式和定理的时候，可别忘了它们背后的故事和努力啊！这。

数学史话之第一次数学危机在开始今天的文章之前，我给大家出个题：边长为1的正方形的对角线是多长？你可能疑惑我为什么要问这么低级的问题呢，答案很简单--√2啊。

没错！但是如果在古希腊，如果这么回答，你可能这时候已经被干掉了。

这是为何呢？听科普君为你道来。

在古希腊，人们认为只有1、2、3、4......这些用来计数的整数才是数字，数最崇高、最神秘，他们所讲的数是指整数。

“数即万物”，也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。

但是到了公元前5世纪，毕达哥拉斯的一位门徒希帕索斯发现了一个令人震惊的现象：等腰直角三角形的三条边长不可能都是整数。

这跟人们之前坚信的理念完全是背道而驰的，人们的信仰开始发生了动摇。

泰勒斯古希腊数学、哲学的开山鼻祖在这里我们要简单说一下这个毕达哥拉斯，在西方人眼中，毕达哥拉斯是古希腊伟大的数学家、哲学家。

他除了钻研出了直角三角形的边长关系外，还在数论上贡献巨大。

他将自然数分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数等等。

甚至还抛弃了地心说、指出了当时希腊人口中的“墨丘利”和“阿波罗”其实是同一颗行星，即水星。

毕达哥拉斯可谓是贡献巨大，但是很多人都不知道，实际上他还是个学派头目。

他所创立的毕达哥拉斯学派信仰颇高，他们认为数是真实物质对象的终极组成部分。

毕达哥拉斯他们甚至相信依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体。

万物都包含数，甚至万物都是数，上帝通过数来统治宇宙。

毕达哥拉斯研究出，以直角三角形的两短边为边长作方形，其面积之和正好等于以斜边为边长的方形面积。

简单来说就是小学课本上的直角三角形两直角边的平方和等于第三边的平方。

实际上这个定理也并不是毕达哥拉斯首创的，古巴比伦人早就有所记载，而中国人则把它称为勾股定理或者“商高定理”。

有一次，希帕索斯打算用自己的行动证明老师的观点“任何数都可以用整数或整数的比来表示”。

于是他从老师最引以为傲的毕达哥拉斯定理入手。

假设有一个边长为1的正方形，那其对角线的长度通过定理应该可以很轻易地算出。