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信息安全数学基础知识点

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信息安全数学基础(第四章)

信息安全数学基础(第四章)

4.2 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余
一、奇素数模 p 的平方(非)剩余判别条件
定理4.2.1 (欧拉判别条件) p是奇素数，若(a, p)1, 则
p1
(i) a是模p的平方剩余a 2 1 (modp);
p1
(ii)a是模p的平方非剩余a 2 1 (modp);
且若a是模p的平方剩余,则同余式
x2 a (modp), (a,p)1
ax2
bxc 0
（mod
p1 1
)
有解.
ax2
bxc 0
（mod
pk k
)
因 此 只 需 讨 论 素 数 模 p 的 同 余 式 :
a x 2 b x c0(m o dp ), a 0(m o dp )(2 )
将 同 余 式 (2)两 端 同 乘 以 4a,得 4a2x24abx4ac0(m odp)
41一般二次同余式42模为奇数的平方剩余与平方非剩余43勒让得符号44二次互反律的证明45雅可比符号46模p平方根
4.1 一般二次同余式
二 次 同 余 式 的 一 般 形 式 是 a x 2 b x c0(m o d m )， a 0(m o d m )(1 )
设m=
p1 1
p2 2
pk k
,
则(1)有解
练习：在与模31互素的剩余中，指出平方剩余。 求 出 1 9 ， 2 3 的 平 方 剩 余 和 平 方 非 剩 余 。
提 示 ： p 为 奇 素 数 ， 应 用 定 理 4 . 2 . 2 的 结 论 .
4.3 勒让得符号
定义4.3.1
设p是素数,勒让得符号
ap定义如下:
1, 若a是模p 的平方剩余;

信息安全数学基础 绪论

信息安全数学基础 绪论

( 1859, 1573,11) (143,11) 11.
定义4 整数a1, a2, , ak (ai ≠0)的公共倍数称为 a1, a2, , ak的公倍数。a1, a2, , ak 的正公倍数中
最小的一个叫做a1, a2, , ak的最小公倍数，记为
[a1, a2, , ak]. 定理3 下面的等式成立： (ⅰ) [a, 1] = |a|，[a, a] = |a|； (ⅱ ) [a , b ] = [ b , a ]；
则称d是 a1 , a2 ,, an 的最大公因数。
定理1〔有关最大公因数的结论〕
(1) (a1 , a2 , , an ) ( a1 , a2 , , an ); (2) b a (a , b) b ; (0, b ) b ;
(3) a bq r , q 0 (a , b) (b, r ).
定理2
设 (a1 , a2 ) d 2 ,(d 2 , a3 ) d 3 ,,(dn 2 , an1 ) dn1 , 设 (a1 , a2 ,, an ) d .
(d n1 , an ) d n , 则 (a1 , a2 ,, an ) d n .
证明
一方面，d a1 , d a2 d d 2 d d n ；
证：由[a1 , a2 ] m2 ,[m2 , a3 ] m3 ,,[mn1 , an ] mn
知mn是a1 , a2 ,, an的一个公倍数.
对a1 , a2 ,, an的任一公倍数m，
由a1 m , a2 m ，且[a1 , a2 ] m2 m2 m ，m3 m ， ，mn m . [a1 , a2 ,, an ] mn .
[a1, a2, , ak]. 定义5 设d是正整数且满足以下两个条件：

信息安全数学基础第一阶段知识总结

信息安全数学基础第一阶段知识总结

信息安全数学基础第一阶段知识总结第一章整数得可除性一整除得概念与欧几里得除法1 整除得概念定义1 设a、b就是两个整数，其中b≠0如果存在一个整数q 使得等式a=bｑ成立，就称b整除a或者ａ被ｂ整除，记作b|a ,并把b 叫作a得因数,把a叫作b得倍数、这时，q也就是a得因数,我们常常将ｑ写成a/b或否则,就称b不能整除a或者a不能被b整除,记作a b、2整除得基本性质(1)当b遍历整数a得所有因数时,－b也遍历整数a得所有因数、（2)当ｂ遍历整数a得所有因数时,a/b也遍历整数a得所有因数、（3)设b，c都就是非零整数，(i）若b|a,则|b|｜|ａ|、(ｉｉ)若ｂ｜a,则ｂｃ|aｃ、(iii)若b|a,则1〈|b｜≤|ａ|、3整除得相关定理（1)设a,ｂ≠0,c≠０就是三个整数、若c｜b,b|a,则ｃ|a、(２)设a，b，c≠０就是三个整数,若ｃ|ａ,ｃ|b,则ｃ｜a±b(3）设a，b,c就是三个整数、若c｜a，ｃ|b则对任意整数s，t,有c|ｓa+tb、(４）若整数a１, …,aｎ都就是整数c≠0得倍数，则对任意n个整数s１,…,ｓｎ，整数就是c得倍数（5）设a，b都就是非零整数、若a|b,ｂ|a,则a=±b(6)设a,ｂ，c就是三个整数,且b≠0,c ≠0,如果(a , c）=1,则(ab , ｃ)＝（ｂ，c）(7) 设ａ，b , c就是三个整数,且ｃ≠0，如果c｜ａb，（a , ｃ）＝1, 则c｜b、（8）设ｐ就是素数，若ｐ|ab ,则p |a或p|b（9）设a1，…,a n就是n个整数，p就是素数,若ｐ｜a1…a n，则p一定整除某一个ａk二整数得表示主要掌握二进制、十进制、十六进制等得相互转化、三最大公因数与最小公倍数（一)最大公因数1．最大公因数得概念定义:设就是个整数,若使得 ,则称为得一个因数。

公因数中最大得一个称为得最大公因数。

记作、若，则称互素。

若,则称两两互素。

信息安全数学基础-知识点总结

信息安全数学基础-知识点总结

定理（补充）：若c|a，c|b, 则c|(a,b)。
定义1.3.3：设a与b是两个整数，那么a与b的线性组合是形如ma+nb的和式，其中m与n都是整 数。
定理1.3.3：两个非零整数a与b的线性组合的最小正整数是它们的最大公因数。
推论1.3.1：若整数a与b相对互素，则存在整数m与n使得ma+nb=1。
定义1.1.3：大于1的不是素数的自然数称为合数。
注：全体自然数可以分为三类：1、全体素数、全体合数
• 带余除法
定理1.2.1（带余数除法）：设a是正整数，b是整数，则一定存在唯一的整数q和r，使得
b=qa+r，其中0≤r<a，并分别称q与r为a 除b的商和余数。
注：很多字母表示其英文单词的首字母。
定义1.3.2：如果整数a与b的最大公因数为1，即(a,b)=1，则称a与b相对互素。
分区 与b的最大公因数为d，即(a,b)=d，则(a/d, b/d)=1。
定理1.3.2：a, b, cZ，有(a+cb,b)=(a,b)。
注：该方法并不是分解素数的方法，而是寻找/筛选和检验素数的方法。 下面以n=100为例说明筛选法的操作：
由定理1.3.11知道每个小于100的合数一定会有不超过10的素因子，而不超过10的素数只有 2,3,5和7，因而为了找到所有小于100的素数，可以
①. 先在不大于100的整数中删掉2的倍数（不包括2）
注：两两相对互素的一定是相对互素的，但反之不一定成立。
• 欧几里得算法
引理1.3.2：设整数e，d满足条件e=dq+r，其中q，r为整数，则(e,d)=(d,r)。 思路：a, b, cZ，有(a+cb,b)=(a,b)

信息安全数学基础环和域基础知识

信息安全数学基础环和域基础知识
域的例子（1）
在通常的加法和乘法运算下，Q, R 和 C 都是域。
域的例子（2）
令p是一个素数，在模p加法和模p乘法 运算下，Zp是一个域. 也记为Fp或者GF (p).
注意： 整数环Z不是域； 当n是合数时，Zn不是域。 有限群、子群、商群和群的阶的概念可 以直接推广到环和域中。
域的特征
F是域，其特征char(F)定义为单位元1的加法阶, 即使得 的最小自然数n，如果不存在这样的自然数，则记char(F) =∞.
性质：如果char(F)有限，则一定是素数.
域的例子（3）
构造方法
域上的多项式环 不可约多项式
定理
令F为含有p个元素的域，f(x)是F上的n次不可约多项式，则域F[x]/f(x)中元素的个数是pn. F[x]/f(x)是F[x]中所有次数小于deg(f)=n、系数取遍F中所有p个元素的多项式全体构成的集合. 共有pn个这样的多项式.
注意：在此定理中，并没有假设p是素数，事实上，F可以是任意域，称F[x]/f(x)为由基域F通过域扩张得到的扩域.
1）置换密码 2）单表代换密码 3）多表代换密码 4）Vernam密码 5）Playfair密码 6）Hill密码 7）公钥密码 8）私钥密码
教学资料
资料仅供参考
定义: F[x]是域F上的多项式环, f,g,r∈F[x], g≠0, 满足f = gq + r, deg(r)<deg(g), 称r为f除以g的余式, 记为r≡f (mod g). 考虑F[x]中所有多项式模g(x)的余式, 将这些集合称为F[x]模g(x)的多项式, 记为F[x]/g(x).
类似的有环同态基本定理
概念的类比
群
环
正规子群

第2章 信息安全数学基础(数论)计算机系统与网络安全技术课件

第2章 信息安全数学基础(数论)计算机系统与网络安全技术课件
2020/10/3
素数定义及素数个数定理
1.定义：
一个大于1的整数p，只能被1或者是它本身整除,而不能 被其他整数整除，则称整数为素数(prime number)，否 则就叫做合数(composite)。 eg 素数（2，3，5，7，11，13等）
合数（4，6，8，9，12等）
2020/10/3
素数补充定理
Euclid算法实例：求 gcd(132, 108).
132110824, 10842412, 24212,
gcd(1,1302)8 gcd(1,0284) gcd(42,12) 12.
2020/10/3
最大公约数的欧几里得算法（续）
欧几里得算法（例1）
求：gcd（1180，482）
1 1 8 0＝ 2 4 8 2＋ 2 1 6 4 8 2＝ 2 2 1 6＋ 5 0 2 1 6＝ 4 5 0＋ 1 6 5 0＝ 3 1 6＋ 2 1 6＝ 8 2＋ 0
≈3.9 * 1097.
2020/10/3
整数的唯一分解定理
1.整数的唯一分解理定理（算术基本定理）:
设n∈Z, 有分解式, n = ±p1e1p2e2...pmem,其中p1, p2,…, pm∈Z+是互不相同的素数, e1,e2,…,em∈Z+, 并且数对(p1, e1), (p2, e2),…,(pm, em)由n唯一确定（即 如果不考虑顺序，n的分解是唯一的）.
b r1q2 r2, 0 r2 r1,
gcd(r1,r2 )
r1 r2q3 r3, 0 r3 r2,
gcd(r2,r3)
..........
rn2 rn1qn rn, 0 rn rn1,
rn1 rnqn1,

信息安全数学基础复习笔记

信息安全数学基础复习笔记

信息安全数学基础复习笔记
12.3复习笔记
第⼀章、整数的可除性
1.1 整数的概念、欧⼏⾥得除法
1.2 最⼤公因数与⼴义欧⼏⾥得除法
1.3 整除的进⼀步性质及最⼩公倍数
1.4 整数分解
1.5 素数的算术基本定理
第⼆章、同余
2.1 同余的概念及基本性质
2.2 剩余类及完全剩余系
2.3 简化剩余系与欧拉函数
2.4 欧拉定理、费马⼩定理、Wilson定理
2.5 模重复平⽅算法
12.5复习笔记
第三章、同余式
3.1 基本概念及⼀次同余式
3.2 中国剩余定理
3.3 ⾼次同余式的解法及解数
3.4 素数模的同余式
第四章、⼆次同余式与平⽅剩余4.1 ⼀般⼆次同余式
4.2 模为奇素数的平⽅剩余与平⽅剩余4.3 勒让得符号
4.4 ⼆次互反律
4.5 雅可⽐符号
第五章、原根与指标
5.1 指数及基本性质
5.2 原根
5.3 指标及n次同余式。

信息安全数学基础欧几里德算法c语言代码

信息安全数学基础欧几里德算法c语言代码

信息安全数学基础之欧几里德算法一、引言信息安全是当今社会互联网时代不可或缺的重要组成部分，信息安全的基础是数学理论，而欧几里德算法作为一种基本的数学算法，被广泛应用在信息安全领域中。

本文将通过对欧几里德算法的介绍和C语言代码实现，为读者提供深入了解和学习欧几里德算法的基础知识。

二、欧几里德算法原理欧几里德算法，又称辗转相除法，是求两个整数的最大公约数的一种方法。

其原理是通过重复利用两个整数的除法求余运算，将两个整数逐步缩小直至其最大公约数被求出。

具体步骤如下：1. 设两个整数为a和b，其中a>b；2. 用b去除a，得到余数r；3. 将b赋值给a，将r赋值给b；4. 重复2、3步骤，直到r等于0，此时b即为a和b的最大公约数。

三、C语言实现欧几里德算法下面给出了C语言实现欧几里德算法的代码：```#include <stdio.h>// 欧几里德算法int euclid_algorithm(int a, int b) {int r; // 余数while (b > 0) {r = a b;a = b;b = r;}return a;}int main() {int num1, num2, gcd; // 输入的两个整数和它们的最大公约数printf("请输入两个整数：");scanf("d d", num1, num2);gcd = euclid_algorithm(num1, num2);printf("d和d的最大公约数为：d\n", num1, num2, gcd); return 0;}```四、欧几里德算法应用举例以输入两个整数为24和36的情况为例，当运行上述C语言代码时，得到的输出结果为：```请输入两个整数：24 3624和36的最大公约数为：12```这表明欧几里德算法成功地求出了24和36的最大公约数，验证了欧几里德算法的有效性和正确性。

信息安全数学基础第一章

信息安全数学基础第一章
7
1.1 群的定义-群的定义
注4：由于群里结合律是满足的，把元素 的n次连乘 ：由于群里结合律是满足的，把元素a的 次连乘 记为a 交换群也可记为na），称为a的 次幂 ），称为 记为 n （交换群也可记为 ），称为 的n次幂 或称乘方）。 （或称乘方）。 注5：若(G, )只满足结合律，则称 为半群；如果 只满足结合律， 为半群； ： 只满足结合律 则称G为半群 (G, ) 满足结合律且有单位元，则称 为有单位元的 满足结合律且有单位元，则称G为有单位元的 半群。 半群。
SL(n, R ) ≤ GL(n, R )
18
1.2
群的性质群的性质-子群
定理1 一个群G和它的一个子群 和它的一个子群H有 定理1 一个群 和它的一个子群 有： 1）G的单位元和 的单位元是同一的； 的单位元和H的单位元是同一的 ） 的单位元和 的单位元是同一的； 2）如果 ∈H，a−1是a在G中的逆元，则a−1∈H． 中的逆元， ）如果a∈ ， 在 中的逆元 ．
an = 1 ⇔ | a | n
的阶， 2）记 | a | 为元素 a 的阶，则 |a| i | a |= (| a |, i )
16
1.2
群的性质-群的分类 群的性质-群的分类
从元素个数来分：有限群与 从元素个数来分：有限群与无限群 的剩余类加法群、乘法群， 次对称群等为有 模 n 的剩余类加法群、乘法群， n 次对称群等为有 限群；一般线性群，特殊线性群，整数加群等为无 限群；一般线性群，特殊线性群，整数加群等为无 限群。 限群。 从代数运算的交换性来分：交换群与 从代数运算的交换性来分：交换群与非交换群 的剩余类加法群、乘法群，整数加群等为交 模 n 的剩余类加法群、乘法群，整数加群等为交 n 换群； 次对称群， 换群； 次对称群，一般线性群和特殊线性群等 非交换群。 为非交换群。

信息安全导论数学基础

信息安全导论数学基础

信息安全导论数学基础一、模运算1、模p运算和普通的四则运算有很多类似的规律，如：规律公式结合率((a+b) mod p + c)mod p = (a + (b+c) mod p) mod p((a*b) mod p * c)mod p = (a * (b*c) mod p) mod p交换率(a + b) mod p = (b+a) mod p(a × b) mod p = (b × a) mod p分配率((a +b)mod p × c) mod p = ((a × c) mod p + (b × c) mod p) mod p2、模p相等：如果两个数a、b满足a mod p = b mod p，则称他们模p相等，记做a ≡b mod p可以证明，此时a、b满足a = kp + b，其中k是某个整数。

3、对于模p相等和模p乘法来说，有一个和四则运算中迥然不同得规则。

在四则运算中，如果c是一个非0整数，则ac = bc 可以得出a =b但是在模p运算中，这种关系不存在。

例如：(3 x 3) mod 9 = 0(6 x 3) mod 9 = 0但是3 mod 9 = 36 mod 9 =64、定理（消去律）：如果gcd(c,p) ＝1 ，则ac ≡ bc mod p 可以推出a ≡ b mod p 。

注释：gcd最大公约数（greatest common divisor，简写为gcd；或highest common factor，简写为hcf)，指某几个整数共有因子中最大的一个。

最小公倍数（lcm）关系：gcd(a, b)×lcm(a, b) = ab。

5、模P乘法逆元：对于整数a、p，如果存在整数b，满足ab mod p =1，则说，b是a的模p乘法逆元。

定理：a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p) = 1。

注释：当a与p互素时，a关于模p的乘法逆元有唯一解。

信息安全数学基础第一阶段知识总结

信息安全数学基础第一阶段知识总结

信息安全数学基础第一阶段知识总结第一章 整数的可除性一 整除的概念和欧几里得除法 整除的概念定义 设♋、♌是两个整数，其中♌≠ 如果存在一个整数 ❑ 使得等式 ♋♌❑ 成立，就称♌整除♋或者♋被♌整除，记作♌♋ ，并把♌叫作♋的因数，把♋叫作♌的倍数 这时，❑也是♋的因数，我们常常将❑写成♋／♌或 否则，就称♌不能整除♋或者♋不能被♌整除，记作♋ ♌整除的基本性质☎✆当♌遍历整数♋的所有因数时， ♌也遍历整数♋的所有因数☎✆当♌遍历整数♋的所有因数时，♋♌也遍历整数♋的所有因数☎✆设♌，♍都是非零整数，☎♓✆若♌♋，则 ♌♋ ☎♓♓✆若♌♋，则♌♍♋♍☎♓♓♓✆若♌♋，则 ♌≤ ♋ 整除的相关定理☎✆ 设♋，♌≠ ，♍≠ 是三个整数 若♍♌，♌♋，ab则♍♋☎✆ 设♋，♌，♍≠ 是三个整数，若♍♋，♍♌，则♍♋±♌☎✆ 设♋，♌，♍是三个整数 若♍♋，♍♌则对任意整数♦，♦，有♍♦♋♦♌☎✆ 若整数♋  ⑤♋⏹都是整数♍≠ 的倍数，则对任意⏹个整数♦，⑤，♦⏹，整数是♍的倍数☎✆ 设♋，♌都是非零整数 若♋♌，♌♋，则♋±♌ ☎✆ 设♋ ♌  ♍是三个整数，且♌≠ ，♍ ≠ ，如果☎♋  ♍✆则 ☎♋♌  ♍✆☎♌  ♍✆☎✆ 设♋  ♌  ♍是三个整数，且♍≠ ，如果♍｜♋♌  ☎♋  ♍✆   则♍  ♌☎✆ 设☐ 是素数，若☐ ♋♌  则☐ ♋或☐♌☎✆ 设♋  ⑤♋⏹是⏹个整数，☐是素数，若☐ ♋ ⑤♋⏹ 则☐一定整除某一个♋ 二 整数的表示主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化 三 最大公因数和最小公倍数 ☎一✆最大公因数 ．最大公因数的概念nn a s a s ++ 11定义：设是个整数，若使得 ，则称为的一个因数．公因数中最大的一个称为的最大公因数．记作若 则称 互素．若 则称两两互素．思考： ．由两两互素，能否导出．由 能否导出两两互素？．最大公因数的存在性☎✆若 不全为零，则最大公因数存在并且☎✆若全为零，则任何整数都是它的公因数．这时，它们没有最大公因数．．求两个正整数的最大公因数．定理 ：设任意三个不全为零的整数，且 则辗转相除法由带余除法 得☎✆⑤⑤因为每进行一次带余除法，余数至少减少 ，且是有限整数，故经过有限次带余除法后，总可以得到一个余数是零的情况，即由☎✆知，定理 ：任意两个正整数 则是☎✆中最后一个不等于零的余数．定理 ：任意两个正整数的任意公因数都是的因数． ．性质定理 ：任意两个正整数，则存在整数，使得成立定理 ：设是不全为零的整数．☎♓✆若则☎♓♓✆若则☎♓♓♓✆若是任意整数，则从上面定理我们很容易得到下面几个常用结论：♊♋ 且♌♍．求两个以上正整数的最大公因数设则有下面的定理：定理 ：若 是个正整数，则只需证♊是的一个公因数．♋ 是的公因数中最大一个例 求解：．求两个正整数的最大公因数的线性组合（重点掌握）方法一 运用辗转相除法求最大公因数的逆过程；方法二 补充的方法方法三 运用列表法求解☎二✆ 最小公倍数．最小公倍数的定义定义： 是 个整数，如果对于整数，有那么叫做的一个公倍数．在 的一切公倍数中最小一个正整数，叫做最小公倍数．记作 ．．最小公倍数的性质．定理 ：设是任给的两个正整数，则☎♓✆的所有公倍数都是的倍数．☎♓♓✆定理 ：设正整数是的一个公倍数，则．求两个以上整数的最小公倍数定理 ：设是个正整数 若则只需证：♊是 的一个公倍数，即♋设是的任一公倍数 则例 求解：又四 素数 算术基本定理．素数、合数的概念定义：一个大于 的整数，如果它的正因数只有 和它的本身，我们就称它为素数，否则就称为合数．．性质定理 ：设是大于 的整数，则至少有一个素因数，并且当是合数时，若是它大于 的最小正因数，则p ，都有定理 设⏹是一个正整数，如果对所有地素数n☐ ⏹则⏹一定是素数求素数的基本方法：爱拉托斯散筛法。

信息安全数学基础第01章

信息安全数学基础第01章
注： 全体正整数可分为三类：
1 正整数 全体素数 全体合数
1.2 整数的进位制表示法
带余除法 整数的二进制表示法 数值转换
1.2 整数的进位制表示法
带余除法 定理1.2.1（带余数除法）：设a是正整数，b是整数，则 一定存在唯一的整数q和r，使得 b=qa+r，其中0≤r<a 并分别称q与r为a 除b的商和余数。
1.1 整数
整除 定理1.1.1：若整数a，b，c满足条件a|b且b|c，则a|c。
证明：若a|b且b|c，则由定义1.1.1知道存在整数e和f使得 b=ae且c=bf，于是 c=bf=(ae)f=a(ef) 由于整数e与f的乘积仍然是整数，因而a|c。
例如：由于11|66且66|198，由定理1.1.1就有11|198。
1.2 整数的进位制表示法
带余除法 为什么重复带余除法的过程可以在有限步骤内使得商为 0？
因为b>1，n>0，故 q0>q1>…>qi>… qk-1 ≥0 而qi均为整数，故该不等式一定在有限项内成立。而当 qk-1<b时，必有 qk-1=b∙0+ak， 0≤ak<b 故重复带余除法过程可以在有限步骤内使得商为0。
1.2 整数的进位制表示法
带余除法 证明思路：按照带余除法的方法，先证表达式的存在性 ，再证明其唯一性。
1.2 整数的进位制表示法
带余除法 证明：先证表达式的存在性。首先，以b除n，得到 n=bq0+a0， 0≤a0<b 如果q0≠0，继续以b除q0，得到 q0=bq1+a1， 0≤a1<b 继续这个过程，依次得到 q1=bq2+a2， 0≤a2<b q2=bq3+a3， 0≤a3<b ……..................... qk-2=bqk-1+ak-1，0≤ak-1<b qk-1=b∙0+ak， 0≤ak<b 当商为0时，结束这个过程。

信息安全数学基础第06章

信息安全数学基础第06章
gcd(t, i)=1 因而这样的i恰有φ(t)个。
6.2 有限域的乘法结构
元素的阶 到此，对于有q个元素的有限域F的元素的阶我们有这样 的认识： 1）给定正整数t，若t∤(q-1)，则在域F中不存在t阶元素； 2）若t|(q-1)，则在域F中或者没有t阶元素，或者恰有 φ(t)个t阶元素。
接下来我们证明若t确实整除q-1，则在域F中将总是存 在有φ(t)个t阶元素。在给出具体证明之前，再来看另外 一个例子。
6.1 有限域的加法结构
域的特征
由于F是有限域，因而序列{u0, u1, u2,…}中的元素不可 能都不相同，故可设存在整数c，使得
互不相同且
u0=0, u1, u2,…, uk+c-1
uk+c=uk
又
uk+c-uk=uc
即
uc=ce=0
因而我们找到了一个整数c，使得ce=0。一般地
6.1 有限域的加法结构
6.1 有限域的加法结构
域的特征
设e为有限域F中的乘法单位元。定义F中的序列
如下
{u0, u1, u2,…}
u0=0, un=un-1+e, 其中n=1, 2,... 则易知nZ，有un=ne，于是在此序列中，m和n，有
um+n=(m+n)e=me+ne=um+un 且
umn=(mn)e=(mn)e2=me·ne=um×un
也即
ord(αi)=t/d
ord(αi)=t/gcd(i,t)
6.2 有限域的乘法结构
元素的阶
例6.2.2：设域F中的元素α的阶ord(α)=8，则利用引理 6.2.2可以计算αi ，i=0, 1,…,7的阶的结果如下表：

信息安全数学基础第二章-信安第二章第3节

信息安全数学基础第二章-信安第二章第3节
(224) 635 193 737 1 取a ' 513 224 (mod 737),则
635 513 1 (mod 737)
13
定理5 设(m1 , m2 ) 1, m1 0, m2 0, 若x1 , x2 分别遍历m1 , m2的简化剩余系,则m2 x1 m1 x2遍历 模m1m2的简化剩余系.
1 1 1 (mod 7), 2 4 1 (mod 7), 3 5 1 (mod 7), 4 2 1 (mod 7), 5 3 1 (mod 7), 6 6 1 (mod 7)
例8 设m 737, a 635,由广义欧几里得除法, 可得整数s 224, t 193,使
((mm22
x1 x1
m1 m1
x2 x2
, m1 , m2
) )
1 1
((mm12
x1 x2
, ,
m1 m2
) )
1 1
因(m1 , m2 ) 1
( (
x1 x2
, ,
m1 m2
) )
1 1
16
四、欧拉函数的性质及计算方法 定理6 (欧拉函数的性质) 若(m, n) 1, 则
(mn) (m) (n).
的简化剩余系.所以( p) p 1.
4
几类特殊的简化剩余系 :
例5 设m是一个正整数,则
(1) m个整数0,1, 2,L , m 1中与m互素的整数全 体组成模m的一个简化剩余系,叫做模m的最小非负 简化剩余系.
(2) m个整数1, 2,L , m 1, m中与m互素的整数全 体组成模m的一个简化剩余系,叫做模m的最小正简 化剩余系.
证 由定理5知,当x, y分别遍历模m, n的简化剩 余系时,nx my遍历模mn的简化剩余系,即nx my 遍历(mn)个整数.

信息安全数学基础(武汉大学)第一章

信息安全数学基础(武汉大学)第一章

称 q 为 b 除 a 的不完全商。 当b | r 时， b | a ；特别的，当 r = 0 时，q 为完全商。
2011-3-15 西南交通大学信息科学与技术学院
27
(1) 取 c = 0，则 0 ≤r < |b|，称 r 为 a 被 b 除后的最小 非负余数，此时， b | a r=0 (2) 取 c = 1，则 1 ≤r ≤|b|，称 r 为 a 被 b 除后的最小 正余数，此时， b | a r =|b| (3) 取 c = -|b|+ 1，则 -|b|+ 1 ≤ r ≤ 0 ，称 r 为 a 被 b 除 后的最大非正余数，此时， b | a r=0 (4) 取 c = -|b|，则 -|b|≤ r < 0，称 r 为 a 被 b 除后的最大 负余数，此时， b | a r = -|b| (5) 当 b 为偶数时，取 c = -|b|/ 2，有 -|b|/ 2 ≤ r < |b|/ 2， 或取 c = -|b|/ 2 + 1，有 -|b|/ 2 < r ≤ |b|/ 2； 当 b 为奇数时，取 c = -(|b|-1) / 2，有-(|b|-1) / 2 ≤ r ≤ (|b|-1) / 2，此时，称 r 为绝对值最小余数
2011-3-15
西南交通大学信息科学与技术学院
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（问题3－素数个数是否无限？）
定理1-3：素数有无穷多个。
证明：反证法。假定素数只有有限多个（k个），记为
p1=2, p2=3, … , pk 设整数 n=p1· p2…pk+1, ∵ n>pi (i=1,2,…,k), ∴ n 为合数。 由定理1-2知，一定存在1≤j≤k，使得 pj | n， 又∵ pj | p1· p2…pk,, ∴ 由整除的性质1-1(3)得： pj | (n - p1· p2…pk)=1 而这是不可能的，所以存在无穷多个素数。

信息安全数学基础

信息安全数学基础

信息安全数学基础信息安全是当今社会中非常重要的一个领域，随着互联网的发展和普及，信息安全问题也日益突出。

而要保障信息的安全，数学基础是至关重要的。

本文将从信息安全的数学基础入手，简要介绍一些与信息安全密切相关的数学概念和方法。

首先，我们要了解信息安全的基本概念。

信息安全是指在计算机系统中，对信息的保密性、完整性和可用性进行保护的一系列技术和措施。

而在实现这些目标的过程中，数学起着至关重要的作用。

其中，最基本的数学概念之一就是密码学。

密码学是研究如何在敌手存在的情况下，实现信息的保密性和完整性的科学。

在密码学中，数论和代数是两个非常重要的数学分支，它们为密码算法的设计和分析提供了重要的数学基础。

在密码学中，最基本的算法之一就是对称加密算法。

对称加密算法使用一个密钥来对信息进行加密和解密。

而在对称加密算法中，数学中的置换和替换运算是非常重要的。

通过置换和替换运算，可以使得加密后的信息在没有密钥的情况下难以被破解。

而在对称加密算法中，数学基础的坚实与否直接决定了算法的安全性。

除了对称加密算法外，公钥加密算法也是信息安全中非常重要的一部分。

公钥加密算法使用了数论中的大数分解和离散对数等数学问题，这些问题的复杂性使得公钥加密算法能够提供较高的安全性。

同时，公钥加密算法也是实现数字签名和数字证书的基础，这些技术在信息安全中起着至关重要的作用。

此外，信息安全中还涉及到随机数生成、哈希函数、消息认证码等数学概念和方法。

随机数的质量直接关系到密码算法的安全性，而哈希函数和消息认证码则是保证信息完整性的重要手段。

这些方法的设计和分析都需要数学的支持。

总之，信息安全的数学基础是非常重要的。

密码学、数论、代数、概率论等数学分支为信息安全提供了坚实的基础。

只有深入理解和熟练运用这些数学知识，才能更好地保障信息的安全。

希望本文的介绍能够对读者有所帮助，让大家对信息安全的数学基础有一个更清晰的认识。

信息安全数学基础第一阶段知识总结

信息安全数学基础第一阶段知识总结

信息安全数学基础第一阶段知识总结第一章 整数的可除性一 整除的概念和欧几里得除法 1 整除的概念定义1 设a 、b 是两个整数,其中b ≠0如果存在一个整数 q 使得等式 a=bq 成立，就称b 整除a 或者a 被b 整除,记作b|a ,并把b 叫作a 的因数,把a 叫作b 的倍数.这时，q 也是a 的因数,我们常常将q 写成a ／b 或否则，就称b 不能整除a 或者a 不能被b 整除,记作a b.2整除的基本性质（1）当b 遍历整数a 的所有因数时，—b 也遍历整数a 的所有因数. （2）当b 遍历整数a 的所有因数时，a/b 也遍历整数a 的所有因数. (3）设b ，c 都是非零整数， （i ）若b ｜a ，则｜b ｜|｜a ｜。

（ii ）若b ｜a,则bc ｜ac.(iii)若b|a ，则1〈|b ｜≤｜a|. 3整除的相关定理(1） 设a ，b ≠0，c ≠0是三个整数。

若c|b ，b ｜a ，则c ｜a. （2） 设a ，b,c ≠0是三个整数，若c|a ，c|b ，则c ｜a ±b(3) 设a ，b ，c 是三个整数.若c ｜a ，c|b 则对任意整数s,t ，有c ｜sa+tb 。

(4) 若整数a 1 ， …,a n 都是整数c ≠0的倍数,则对任意n 个整数s 1,…，s n ,整数 是c 的倍数 abnn as a s ++ 11(5）设a，b都是非零整数.若a|b,b|a，则a=±b（6）设a，b ，c是三个整数，且b≠0，c ≠0，如果(a , c）=1，则(ab , c)=（b , c)(7）设a ，b , c是三个整数，且c≠0，如果c｜ab ，（a , c）= 1, 则c ｜b。

(8）设p 是素数，若p ｜ab , 则p |a或p|b（9) 设a1，…，a n是n个整数,p是素数，若p｜a1…a n,则p 一定整除某一个a k二整数的表示主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化。

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第六章 素性检验
6.1 拟素数
引例：根据Fermat 小定理，我们知道：如果n 是一个素数，则对任意整
数b,(b,n)=1,有
)(mod 11n b n ≡- 由此，我们得到：如果一个整数b,(b,n)=1,使得
)(mod 11n b n ≡/-，则n 是一个合数。

定义1：设n 是一个奇合数，如果整数b,(b,n)=1使得同余式 )(mod 11n b n ≡-成立，则n 叫做对于基b 拟素数。

引理：设d,n 都是正整数，如果d 能整除n 则
12-d 能整除12-n
定理1：存在无穷多个对于基2拟素数。

定理2：设n 是一个奇合数，则
(i)n 是对于基b,((b,n)=1),拟素数当且仅当b 模n 指数整除n-1。

(ii)如果n 是对于基1b ((1b ,n)=1),和基2b ，((2b ,n)=1),拟素数，则n 是
对于基21b b 拟素数。

(iii)如果n 是对于基b,((b,n)=1),拟素数，则n 是对于基1-b 拟素数。

(iv)如果有一个整数b ，((b,n)=1),使得同余式)(mod 11n b n ≡-不成立，
则模n 简化剩余系中至少有一半数使得该同余式不成立。

/////////////////////////////////////////////////////
/////////////////////////////////////////////////////
Fermat 素性检验
给定奇整数3≥n 和安全参数t 。

1.随即选取整数b ,22-≤≤n b
；
2.计算()n b r n mod 1-=;
3.如果1≠r ，则n 是合数；
4.上述过程重复t 次；
定义2：合数n 称为Carmichael 数，如果对所有正整数b ，(b,n)=1, 都
有同余式
()n b n mod 11≡-成立 定理3：设n 是一个奇合数。

(i)如果n 被一个大于1平方数整除，则n 不是Carmichael 数。

(ii)如果k p p n 1=
是一个无平方数，则n 是Carmichael 数充要条件是 11--n p i ，k
i ≤≤1 定理4：每个Carmichael 数是至少三个不同素数乘积
注：1.存在无穷多个Carmichael 数
2.当n 充分大时，区间[]n ,2内Carmichael 数个数大于等于72n
6.2 Euler 拟素数
引例：设n 是奇素数，根据定理，我们有同余式
)(mod 21n n b b n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛≡- 对任意整数b 成立
因此，如果存在整数b ，(b,n)=1,使得
)(mod 21n n b b n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛≡/- 则n 不是一个素数。

定义1:设n 是一个正奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件： )(mod 21n n b b n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛≡- 则n 叫做对于基b Euler 拟素数。

定理1：如果n 是对于基bEuler 拟素数，则n 是对于基b 拟素 数。

////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Solovay-Stassen 素性检验
给定奇整数3≥n 和安全参数t .
1.随即选取整数b ，22
-≤≤n b ； 2.计算);(mod 21n b r
n -= 3.如果1≠r 以及1-≠n r ，则n 是合数；
4.计算Jacobi 符号;⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b s
5.如果s r ≠，则你是合数；
6.上述过程重复t 次。

6.3 强拟素数 引例：设n 是正奇整数，并且有t n n 21=-，则我们有如下因数分解式：
)1)(1()1)(1(121221-+++=----t t t t n b b b b b n n
因此，如果有同余式 )(mod 11n b n ≡-
则如下同余式至少有一个成立：
)
(mod 1)
(mod 1)
(mod 1)
(mod 1122n b n b n b n b t t t t n -≡-≡-≡≡-
定义1：设n 是一个奇合数，且有表达式
t n n 21=-，其中t 为奇数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件：
)(mod 1n b t ≡ 或者存在一个整数，s r <≤0
使得 )(mod 12n b t r -≡
则n 叫做对于基b 强拟素数。

定理1：存在无穷多个对于基2强拟素数。

定理2:如果n 是对于基b 强拟素数，n 是对于基bEuler 拟素数。

定理3：设n 是一个奇合数，则n 是对于基b ，11-≤≤n b ，强拟素数可能性至多为25%。

////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Miller-Rabin 素性检验
给定奇整数3≥n 和安全参数k 。

写t n s 21=-，其中t 为奇整数。

1.随机选取整数22,-≤≤n b b 。

2.计算)(mod 0n b r t ≡；
3.(i)如果10=r 或10-=n r ，则通过检验，可能为素数。

回到1，继续
选取另一个随机整数22,-≤≤n b b ;
(ii)否则，有10≠r 以及10-≠n r ，我们计算)(mod 201n r r ≡；
4.(i)如果11-=n r ，则通过检验，可能为素数。

回到1，继续选取另一个随机整数22,-≤≤n b b ；
(ii)否则，有11-≠n r ，我们计算)(mod 2
12
n r r ≡； 如此继续下去，
S+2.(i)如果11-=-n r s ，则通过检验，可能为素数。

回到1，继续选取另一个随机整数22,-≤≤n b b ; (ii)否则，有11-≠-n r s ，n 为合数。