8.2空间几何体的表面积与体积

空间几何体的表面积与体积计算在几何学中，表面积和体积是描述空间几何体特征的重要参数。

通过计算表面积和体积，我们可以更好地理解和比较不同几何体的性质。

本文将介绍一些常见几何体的表面积和体积计算方法，并提供实例进行说明。

立方体是最简单的立体几何体之一。

它的六个面都是正方形，具有相同的边长。

对于一个边长为a的立方体，其表面积计算公式为：表面积 = 6a²，体积计算公式为：体积 = a³。

例如，一个边长为5厘米的立方体，其表面积为6 × 5² = 150平方厘米，体积为5³ = 125立方厘米。

长方体与立方体相似，但它的六个面具有不同的长和宽。

对于一个长宽高分别为a、b、c的长方体，其表面积计算公式为：表面积 = 2ab+ 2ac + 2bc，体积计算公式为：体积= abc。

假设一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、4厘米、5厘米，则它的表面积为2 × 3 × 4 + 2 × 3 ×5 + 2 × 4 × 5 = 94平方厘米，体积为3 × 4 × 5 = 60立方厘米。

圆柱体是一个基于圆形截面旋转而成的几何体。

它具有一个圆形底面和一个平行于底面的圆形顶面，并由一个连接两个底面的曲面侧边所构成。

对于一个底面半径为r、高度为h的圆柱体，其表面积计算公式为：表面积= 2πr² + 2πrh，体积计算公式为：体积= πr²h。

假设一个底面半径为2厘米、高度为6厘米的圆柱体，则它的表面积为2 × 3.14 × 2² + 2 × 3.14 × 2 × 6 = 100.48平方厘米，体积为3.14 × 2² × 6 = 75.36立方厘米。

球体是一个几何体，其表面由所有与球心距离相等的点组成。

空间几何体的表面积和体积在数学中，空间几何体的表面积和体积是重要的概念，它们用于描述和计算各种三维物体的特性。

本文将深入探讨空间几何体的表面积和体积，并介绍如何计算它们，以及它们在实际生活中的应用。

一、立方体的表面积和体积首先，让我们从最简单的三维几何体开始：立方体。

立方体是一个拥有六个相等的正方形面的空间几何体。

要计算立方体的表面积，我们可以使用以下公式：**表面积 = 6 * 边长^2**其中，边长代表正方形的一边的长度。

而立方体的体积计算则非常简单：**体积 = 边长^3**这两个公式可以帮助我们计算立方体的表面积和体积。

例如，如果一个立方体的边长是3单位，那么它的表面积为6 * 3^2 = 54平方单位，而体积为3^3 = 27立方单位。

二、球体的表面积和体积接下来，我们来考虑球体，球体是一个没有棱角的三维几何体。

要计算球体的表面积和体积，我们使用以下公式：**表面积= 4πr^2****体积= (4/3)πr^3**这里，r代表球体的半径，而π（圆周率）的值约为3.14159。

这两个公式可以用来计算球体的表面积和体积。

举例来说，如果一个球体的半径是2单位，那么它的表面积为4π(2^2) ≈ 50.27平方单位，而体积为(4/3)π(2^3) ≈ 33.51立方单位。

三、长方体的表面积和体积长方体是另一个常见的三维几何体，它拥有6个矩形面。

要计算长方体的表面积和体积，我们可以使用以下公式：**表面积 = 2lw + 2lh + 2wh****体积 = lwh**其中，l代表长方体的长度，w代表宽度，h代表高度。

这些公式允许我们计算长方体的表面积和体积。

举例来说，如果一个长方体的长度是4单位，宽度是3单位，高度是2单位，那么它的表面积为2(4*3) + 2(4*2) + 2(3*2) = 52平方单位，而体积为4*3*2 = 24立方单位。

四、圆柱体的表面积和体积圆柱体是一个具有两个平行圆形底面的三维几何体。

§8.2简单几何体的表面积与体积2014高考会这样考 1.与三视图相结合，考查几何体的表面积、体积；2.作为解答题中的某一问，与空间线面关系相结合考查几何体体积的计算．复习备考要这样做 1.熟记公式，理解公式的意义；2.结合几何体的结构特征，运用公式解决一些计算问题．2.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．[难点正本疑点清源]1．几何体的侧面积和全面积几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小．2．等积法等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．1．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是________． 2．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m 3.3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 4．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为a ，则球的表面积为________．5.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P —BB 1C 1C 的体积为________．题型一 简单几何体的表面积例1 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm 2.题型二简单几何体的体积例2如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1—B1EDF的体积．(2012·课标全国)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.26 B.36 C.23 D.22题型三几何体的展开与折叠问题例3(1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、B、C、D、O为顶点的四面体的体积为________．(2)有一根长为3π cm，底面直径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________ cm.如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_______．转化思想在立体几何计算中的应用典例：(12分)如图，在直棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为3的等边三角形，AA′＝4，M为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC′的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)三棱锥C—MNP的体积．方法与技巧1．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．2．要注意将空间问题转化为平面问题．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决．失误与防范1．几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·课标全国)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．182 . 已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则三棱锥B ′—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34 3．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为( )A ．48(3＋3)B ．48(3＋23)C ．24(6＋2)D ．1444．(2012·北京)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 ( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 5二、填空题(每小题5分，共15分)5．(2012·山东)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．6．(2011·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.7．已知三棱锥A—BCD的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题(共22分)8．(10分)如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．9．(12分)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋3C.32π＋ 3D.52π＋ 3 2．在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD,2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E —ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M —EBC 的体积为( )A.25VB.13VC.23VD.310V 3．(2011·辽宁)已知球的直径SC ＝4，A 、B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为( )A ．3 3B ．2 3C. 3D ．1二、填空题(每小题5分，共15分)4.如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线 的长为______ cm.5．已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如图所示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是________．6．(2012·上海)如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC ＝2.若AD ＝2c ，且AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是________．三、解答题7．(13分)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D—ABC，如图2所示．图1图2(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)求几何体D—ABC的体积．。

8.2 空间几何体的表面积和体积五年高考考点1 表面积1．（2011安徽，6,5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( )48.A 17832.+B 17848.+C 80.D2．（2010课标全国．10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )2.a A π 237.a B π 2311.a C π 25.a D π 3．（2010福建．12）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于4．（2013福建．19,13分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面,//,DC AB ABCDBC k AD k AB AA ,4,3,11===⋅>==)0(6,5k k DC k(1)求证：CD ⊥平面;11A ADD(2)若直线1AA 与平面C AB 1所成角的正弦值为,76求k 的值； (3)现将与四棱柱1111D C B A ABCD -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱，规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f （k)写出f （k ）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）考点2 体积1．（2013湖北．8,5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为,,21V V ,,43V V 上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有 ( )3421.V V V V A <<< 4231.V V V V B <⋅<<4312.V V V V C <<< 4132.V V V V D <<<2．（2012课标全国．11，5分）已知三棱锥．S-ABC 的所有顶点都在球0的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2，则此棱锥的体积为 ( )62.A 63.B 32.C 22.D 3．（2012广东，6，5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为 ( )π12.A π45.B π57.C π81.D4．（2011辽宁，12，5分）已知球的直径SC =4，A ．B 是该球球面上的两点，,30,3 =∠=∠=BSC ASC AB 则棱锥S -ABC 的体积为( )33.A 32.B 3.C 1.D5．（2013江苏，8，5分）如图，在三棱柱ABC C B A -111中，D ，E ，F 分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥F -ADE 的体积为,1V 棱柱ABC C B A -111的体积为,2V 则=21:V V智力背景《孙子算经》 《孙子算经》共分上、中、下三卷卷上叙述筹算乘除法，卷中叙述筹算的分数算法和开平方法，是了解中国古代 筹算的很好的资料，可以补充《九章算术》的不足，卷下则是收集了一些算术难题的问题集．如已知头数和足数的“鸡兔同笼”问题，在今天的算术教科书中仍然是常见的问题．在《孙子算经》中，最有名的当然是卷下第赫题，就是通常所称的“孙子问题”，也是现称为“中国剩余定理”的出处.6．（2012山东，14,4分）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为l ，E ，F 分别为线段C B AA 11,上的点，则三棱锥EDF D -1的体积为7．（2012上海，14,4分）如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱．BC =2.若AD =2c ，且AB +BD =AC+ CD =2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是8．（2011福建，12，4分）三棱锥_P - ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA=3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P- ABC 的体积等于 ．9．（2012湖南．18,12分）如图，在四棱锥P- ABCD 中，PA ⊥平面,5,3,4,===AD BC AB ABCD090=∠=∠ABC DAB ,E 是CD 的中点．(1)证明：CD ⊥平面PAE ；(2)若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P - ABCD 的体积．10.（2011安徽．17,12分）如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点0在线段AD 上，OA=1，OD=2．△OAB，△OAC，△ODE，△ODF 都是正三角形．(1)证明直线BC//EF ；(2)求棱锥 F - OBED 的体积．解读探究智力背景六十进制的由来六十进制最早起源于巴比伦，至于巴比伦人为什么要用60 进制，说法不一，有人把巴比伧人最初认为一年为360天．太阳每天走一‘步’（即一度）及巴比伦人已经熟悉六等分圆周相结合而得60进位；也有人认为60有2、3、4、5、6、10、12等因子，使运算简化等.60进制至今仍在很多领域内应用，如一小时等于鳓分，角度制等，天干、地支的记法也是一种60进制．知识清单1．旋转体的表面积2．几何体的体积公式(1)棱（圆）柱的底面积为S ，高为h ，则体积v=⑧ ．(2)棱（圆）锥的底面积为S ，高为h ，则体积v=⑨ ．(3)棱（圆）台的上、下底面面积分别为S ’、S ，高为h ，则体积.)(31//h s S S S V ++= (4)球的半径为R ，则球的体积v=⑩【知识拓展】立体几何中的“截、展、拆、拼”(1)“截”指的是截面，平行于柱、锥底面的截面以及旋转体的轴截面，它们集中反映了几何体的主要元素的数量关系，是能帮助解题的重要工具．(2)“展”指的是侧面和某些面的展开图，在有关沿表面的最短路径问题中，就是求侧面或某些面的展开图上两点间的距离．(3)“拆”指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算．(4)“拼”指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，有时将一个三棱柱复原成一个四棱柱，还台为锥，这些都是拼补的方法．·知识清单答案突破方法方法1几何体的表面积例1 （2012北京，7,5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 ( )5628.+A 5630.+B 51256.+C 51260.+D解题思路解析 由三棱锥的三视图可得三棱锥的直观图如图(1)所示．过D 作DM ⊥ AC ，连结BM..10452121=⨯⨯=⨯⨯=∆DM AC s ACD .10452121=⨯⨯=⨯⨯=∆BC AC s ABC 在△CMB 中，.5||,90=∴=∠BM C由三视图知DM ⊥面,90,=∠∴DMB ABC ,4154||=+=∴DB∴ △BCD 为直角三角形，,900=∠DCB 智力背景戏说日常生活中的说学名词——必要条件 2009年11月10日，武汉综合新闻网发表了“十年买房’之必要条件”的署名文章，讲的是能在十年内买房的必不可少的条件，必要条件，是数学名词，在高中数学中大量使用，设A ，B 是两个命题，若A 则B ，就把B 称为A 的必要条件．有了条件B ，不一定能得到结 论A ，可是，如果连条件B 都不具备，结论A 一定不成立．可见，此文使用“必要条件”一词，既符合 数学含义，又言简意赅..104521=⨯⨯=∴∆BCD S在△ABD 中，如图(2)，,5665221=⨯⨯=∆ABD S .563056101010+=+++=∴表S 故选B ．答案 B【方法点拨】 几何体表面积的求解方法：(1)表面积是各个面的面积之和，求多面体的表面积时，只需将它们沿着棱剪开后展成平面图形，可利用求平面图形的面积的方法，求多面体的表面积．求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征人手，将其展开，求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差，从而获得几何体的表面积． (3)正棱锥、正棱台、正棱柱的侧面积公式间的联系：0/=c 时，棱锥可以看作上底面周长为0的棱台．(4)设球的半径为R ，则球的表面积.42R S π= 方法2 几何体的体积例2 （2012江苏．7,5分）如图，在长方体-ABCD 1111D C B A 中，,3cm AD AB ==,21cm AA =则四棱锥D D BB A 11-的体积为 .3cm解题思路解析 解法一：),(323321313111cm V D B A A =⨯⨯⨯⨯=- ),(9233213111cm V D B A hBD =⨯⨯⨯=-⋅=-=∴---)(6311111111cm V V V D B A A D B A ABD D D BB A解法二：连结AC 交BD 于点0，则AC BB AC BD AC ∴⊥⊥,,1⊥平面AO D D BB ∴,11即为四棱锥 D D BB A 11-的高.⋅=⨯⨯⨯=∴-)(622322331311cm V D D BB A 答案6【方法点拨】 锥体体积的求解方法： 求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式=V Sh 31进行计算即可．常用方法有：割补法和等积变换法．(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积．(2)等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面，①求体积时，可选择容易计算的方式来求解；②利用“等积性”可求“点到面的距离”．三年模拟A 组 2011-2013年模拟探究专项基础测试时间.30分钟 分值.40分一、选择题（每题5分，共30分）1．（2013北京海淀月考）已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如图，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为,5则该几何体的体积是( )34.πA π2.B 38.πC 310.πD 智力背景三角学发展简史 传统的三角学以研究平面三角形和球面三角形的边角关系为基础，达到测量上的应用目的．17世纪，函数概念的引入为三角函数成为三角学的基本概念奠定了基础．三角在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”，“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正切 线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线，作为独立的数学分科的三角学已渐渤消失，但作为刻画周期性现象的三角函数，仍然发挥着巨大的作用，2．（2013北京丰台高三上学期期末考试）如图，某三棱锥的三视图都是直角边长为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是 ( )3.A 32.B 1.C 2.D3．（2013北京朝阳高三上学期期末考试）已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 ( )43.A 23.B 43.C 1.D 4．（2013河南郑州3月．6）一个几何体的三视图如图所示，其中的长度单位为cm ，则该几何体的体积 为 3cm18.A 48.B 45.C 54.D5．（2013北京西城一模．8）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为 ( )π18.A π30.B π33.C π40.D6．（2012浙江杭州二模．9）一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是 ( )211.πA 6211.+⋅πB π11.C 33211.+πD二、填空题（每题5分，共10分）7．（2013湖南株洲二模．6）圆柱形容器的内壁底面半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了,35cm 则这个铁球的表面积为 .2cm 8．（2011浙江金华十校模拟．13）一个几何体的三视图（单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积 是 .2cmB 组 2011-2013年模拟探究专项提升测试时间：45分钟 分值：55分一、选择题（每题5分，共15分）1．（2013吉林长春5月．7）一个棱长都为a 的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为 ( )237.a A π 22.a B π 2411.a C π 234.a D π 2．（2013宁夏银川二模．6）侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是 ( )239.A 433.B 233.C 439.D 3．（2013北京昌平二模．6）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( )智力背景《海岛算经》 《海岛算经》本来不是一部独立的著作，是刘徽为了解释“重差术”而附在《九章算术》中《勾股》后的一些问题．所谓“重差术”是计算极高和极低的方法，是透过对对象的反复观测，在不引入三角函数的情况下，运用了相似三角形的对应边成比例的原理采计算出精确的结果，所以《海岛算经》标志着中国古代测量数学的成就，唐代初年，这一部分被人从《九章算术》抽出来独立成书，因第一题是测量有关海岛的高度及距离的问题，故把它命名为《海岛算经》，3.A 3.B 3.C 8.D 二、填空题（每题5分，共15分）4．（2013吉林四平一模．14）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球D 的球面上，且,32,6==BC AB则棱锥0 - ABCD 的体积为5．（2012北京西城二模，13）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为l 的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是 ；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是．6．（2012云南昆明二模．15）如图是一个几何体的三视图(单位：m)，则几何体的体积为____三、解答题（共25分）7．（2013浙江杭州一模．20）已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于两底面面积之和，求棱台的体积．8．（2013江苏南京二模，18）养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12 m ，高为4 m ．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？。

专题8.2 空间几何体的表面积和体积（真题测试）一、单选题1．（2020·天津·高考真题）若棱长为 ） A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π【答案】C【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R =，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.2．（2020·北京·高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）． A ．63+ B ．623+ C ．123+ D ．1223+【答案】D【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．3．（2022·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．22πB ．8πC ．22π3D ．16π3【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根据球，圆柱，圆台的体积公式求出．【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为1cm ，圆台的下底面半径为2cm ，所以该几何体的体积(322214122ππ1π122π2π12333V =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=3cm ．故选：C ．4．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为面上，则该球的表面积为（ ）A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π【答案】A【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以123432,260sin 60r r ==，即123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =2d =121d d -=或121d d +=，即1=1，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==． 故选：A ．5．（2021·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．32B ．3C ．2D ．【答案】A【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.【详解】几何体为如图所示的四棱柱1111ABCD A B C D -，其高为1，底面为等腰梯形ABCD ，1=故1111131222ABCD A B C D V -=⨯⨯=， 故选：A. 6．（2021·全国·高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A B C D A 【解析】【分析】由题可得ABC 为等腰直角三角形，得出ABC 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积.【详解】,1AC BC AC BC ⊥==，ABC ∴为等腰直角三角形，AB ∴=，则ABC 1， 设O 到平面ABC 的距离为d ，则2d =所以11111332O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯= 故选：A.7．（2022·全国·高考真题（文））已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）A ．13B ．12CD 【答案】C【解析】【分析】先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α， 则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅= （当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r又22r h 1+=则2123O ABCDV r h -=⋅⋅=当且仅当222r h =即h 时等号成立，故选：C8．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤ ） A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[18,27]【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵ 球的体积为36π，所以球的半径3R =,设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,所以26h l =，2222a l h =- 所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭， 所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3l ≤≤0V '>，当l ≤0V '<，所以当l =V 取最大值，最大值为643，又3l =时，274V =，l =814V =, 所以正四棱锥的体积V 的最小值为274， 所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 故选：C.二、多选题9．（2022·广东茂名·二模）某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，而在水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量．24h 降雨量的等级划分如下：在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高度为50cm ，瓶口高度为3cm ）收集雨水，容器内雨水的高度可能是（ ）A ．20cmB ．22cmC ．25cmD ．29cm【答案】CD【解析】【分析】设降雨量为x ，容器内雨水高度为h,根据雨水的体积相等关系可得到h,x 之间的关系49h x =，结合题意可得4200400[,)999x ∈，由此判断出答案. 【详解】设降雨量为x ，容器内雨水高度为h,根据体积相等关系可得：22π100π150x h ⨯=⨯，解得49h x = ， 由于[50,100)x ∈ ，故4200400[,)999x ∈， 故20040020040020,22[,),25,29[,)9999∉∈故选：CD ．10．（2023·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为42B ．体积为5023π C ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22【答案】AC【解析】 【分析】设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，求出1,3r R ==，即可判断选项A 正确；利用公式计算即可判断选项BCD 的真假得解.【详解】解：设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，则11223,22933r R ππππ=⨯⨯=⨯⨯，解得1,3r R ==．圆台的母线长6l =，圆台的高为h ==，则选项A 正确；圆台的体积()22133113π=⨯+⨯+=，则选项B 错误； 圆台的上底面积为π，下底面积为9π，侧面积为()13624ππ+⨯=，则圆台的表面积为92434ππππ++=，则C 正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:24，则选项D 错误．故选：AC ．11．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，12O O ，为圆柱上下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆1O 的一条直径，若球的半径2r =，则（ ）A ．球与圆柱的表面积之比为12：B ．平面DEF 截得球的截面面积最小值为165π C ．四面体CDEF 的体积的取值范围为3203⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE PF +的取值范围为2⎡+⎣【答案】BCD【解析】【分析】利用球的表面积公式及圆柱的表面积公式可判断A ，由题可得O 到平面DEF 的距离为1d 平面DEF 截得球的截面面积最小值可判断B ，由题可得四面体CDEF 的体积等于12E DCO V -可判断C ，设P 在底面的射影为P '，设2t P E '=，PE PF +PE PF +的取值范围可判断D.【详解】由球的半径为r ，可知圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为2r ，则球表面积为24r π，圆柱的表面积222226r r r r πππ+⋅=， 所以球与圆柱的表面积之比为23，故A 错误；过O 作1OG DO ⊥于G ，则由题可得12OG == 设O 到平面DEF 的距离为1d ，平面DEF 截得球的截面圆的半径为1r ，则1d OG ≤，22221114164455r r d d =-=-≥-=， 所以平面DEF 截得球的截面面积最小值为165π，故B 正确； 由题可知四面体CDEF 的体积等于12E DCO V -，点E 到平面1DCO 的距离(0,4]d ∈， 又114482DCO S =⨯⨯=，所以123228(0,]33E DCO V d -=⨯∈，故C 正确； 由题可知点P 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P 在底面的射影为P '， 则2222222,2,2,16PP PE P E PF P F P E P F '''''==+=++=，设2t P E '=，则20,4t ⎡⎤∈⎣⎦，PE PF +所以()2224PE PF +==+2424⎡⎤=++⎣⎦，所以2PE PF ⎡+∈+⎣，故D 正确.故选：BCD.12．（2022·全国·高考真题）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =【答案】CD【解析】【分析】直接由体积公式计算12,V V ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，由3A EFM C EFM V V V --=+计算出3V ，依次判断选项即可.【详解】设22AB ED FB a ===，因为ED ⊥平面ABCD ，FB ED ，则()2311114223323ACD V ED S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=， ()232111223323ABC V FB S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，易得BD AC ⊥， 又ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则ED AC ⊥，又ED BD D =，,ED BD ⊂平面BDEF ，则AC ⊥平面BDEF ，又12BM DM BD ==，过F 作FG DE ⊥于G ，易得四边形BDGF 为矩形，则,FG BD EG a ===，则,EM FM ===，3EF a =，222EM FM EF +=，则EM FM ⊥，212EFM SEM FM =⋅=，AC =， 则33123A EFM C EFM EFM V V V AC S a --=+=⋅=，则3123V V =，323V V =，312V V V =+，故A 、B 错误；C 、D 正确.故选：CD.三、填空题 13．（2021·全国·高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π则该圆锥的侧面积为________.【答案】39π【解析】【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵216303V h ππ=⋅=∴52h =∴132l =∴136392S rl πππ==⨯⨯=侧. 故答案为：39π.14．（2020·江苏·高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm 3. 【答案】1232π-【解析】【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为262⨯ 圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为2π故答案为： 2π15．（2019·天津·高考真题（文）若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 【答案】4π. 【解析】【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径．【详解】借助勾股定理，2=，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为12，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，故圆柱的体积为21124ππ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭． 16．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）在三棱锥P ABC -中，点P 在底面的射影是ABC 的外心，2,3BAC BC PA π∠===___________. 【答案】12548π 【解析】【分析】先由正弦定理得，ABC 外接圆的半径，再由勾股定理，即可求出半径,从而可得外接球体积.【详解】解：设ABC 的外心为1O ,连接1PO ,则球心O 在1PO 上，连接1O A ,则1O A 为ABC 外接圆的半径r ,连接OA ,设外接球的半径为R ,则OA OP R ==,在ABC 中，由正弦定理得2,BC r sin BAC ==∠解得1r =,即11O A =, 在1Rt PAO 中，12,PO =在1Rt AOO ,中22211OO AO AO +=,即()22221R R -+=,解得：54R =, 所以外接球的体积为：3344125334854R V πππ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭===， 故答案为：12548π 四、解答题17．（2022·安徽芜湖·高一期末）如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm ，高为30cm ，杯内有20cm 深的溶液.如图①，现将水杯倾斜，且倾斜时点B 始终不离开桌面，设直径AB 所在直线与桌面所成的角为α.要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值. 【答案】4π【解析】【分析】当水杯倾斜过程中，溶液恰好不溢出时，此时α最大；在这个临界条件下，结合溶液的体积不变，可以得到关于α的一个不等式，即可求出α的取值范围，得到最大值.【详解】如图所示，在Rt △CDE 中20tan DE α=，()2221020tan 103020tan 10202παπαπ⨯⨯⨯⨯-+≥⨯⨯解得tan 1α≤，即α的最大值4π. 18．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形ABGF ，Rt ADE △和菱形ABCD 组成的一个平面图形，其中2AB =，1==AE AF ，60BAD ∠=︒，将该图形沿AB ，AD 折起使得AE 与AF 重合，连接CG ，如图2.(1)证明：图2中的C ，D ，E ，G 四点共面；(2)求图2中三棱锥C BDG -的体积.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得//AB FG ，//AB CD ，即可得到//AB GE ，从而得到//CD EG ，即可得证；（2）依题意可得AE AD ⊥、AE AB ⊥，即可得到AE ⊥平面ABCD 从而得到BG ⊥平面ABCD ，再根据13C BDG G BCD BCD V V BG S --==⋅计算可得；(1)证明：在矩形ABGF 和菱形ABCD 中，//AB FG ，//AB CD ，所以//AB GE ，所以//CD EG ，所以C 、D 、E 、G 四点共面；(2)解：在Rt ADE △中AE AD ⊥，矩形ABGE 中AE AB ⊥，AD AB A ⋂=，,AD AB ⊂平面ABCD ，所以AE ⊥平面ABCD ，又//BG EA ，所以BG ⊥平面ABCD ，又11sin 2222BCD S BC CD BCD =⋅⋅∠=⨯⨯=所以11133C BDG G BCD BCD V V BG S --==⋅=⨯ 19．（2022·山西吕梁·高一期末）如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是2cm ，圆柱筒的高是2cm ．(1)求这种“浮球”的体积；(2)要在100个这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要防水漆0.5g ，共需多少防水漆？【答案】(1)356(cm)3π (2)1200g π【解析】【分析】（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；（2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求解即可.(1)因为该“浮球”的圆柱筒底面半径和半球的半径2cm r =，圆柱筒的高为2cm ，所以两个半球的体积之和为331432(cm)33V r ππ==， 圆柱的体积2328(cm)V r h ππ==，∴该“浮球”的体积是31256(cm)3V V V π=+=； (2)根据题意，上下两个半球的表面积是221416(cm)S r ππ==，而“浮球”的圆柱筒侧面积为2228(cm)S rh ππ==，∴“浮球”的表面积为21224(cm)S S S π=+=；所以给100个这种浮球的表面涂一层防水漆需要100240.51200g ππ⨯⨯=.20．（2022·全国·高三专题练习）如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，∠BAD =90°，12AB BC AD a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图2中1A BE 的位置，使平面1A BE ⊥平面BCDE ，得到四棱锥1A BCDE -．当四棱锥1A BCDE -的体积为a 的值．【答案】6a =.【解析】【分析】在直角梯形ABCD 中，证明BE AC ⊥，在四棱锥1A BCDE -中，由面面垂直的性质证得1A O ⊥平面BCDE ，再利用锥体体积公式计算作答.【详解】如图，在直角梯形ABCD 中，连接CE ，因E 是AD 的中点，12BC AD a ，有//,AE BC AE BC =，则四边形ABCE 是平行四边形，又,90BAD AB BC ∠==，于是得ABCE 是正方形，BE AC ⊥，在四棱锥1A BCDE -中，1BE AO ⊥，因平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE 平面BCDE BE =，1A O ⊂平面1A BE ，因此1A O ⊥平面BCDE ，即1A O 是四棱锥1A BCDE -的高，显然112AO AO CO AC ====，平行四边形BCDE 的面积2S CO BE a =⋅==，因此，四棱锥1A BCDE -的体积为2311133V S AO a =⋅===6a =， 所以a 的值是6.21．（2022·北京·高一期末）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑 (四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，已知3AB =，4BC =，5AC =．当阳马111C ABB A -体积等于24时， 求：(1)堑堵111ABC A B C -的侧棱长；(2)鳖臑1C ABC -的体积；(3)阳马111C ABB A -的表面积．【答案】(1)6(2)12 (3)51313【解析】【分析】（1）设堑堵111ABC A B C -的侧棱长为x ，根据阳马111C ABB A -体积等于24求解即可；（2）根据棱锥的体积计算即可；（3）分别计算111C ABB A -的侧面积与底面积即可(1)因为3AB =，4BC =，5AC =，所以222AB BC AC +=．所以△ABC 为直角三角形．设堑堵111ABC A B C -的侧棱长为x ，则113A ABB S x 矩形，则111143243AA BB V x C ， 所以6x =，所以堑堵111ABC A B C -的侧棱长为6．(2)因为13462ABC S =⨯⨯=△， 所以1111661233ABC ABC V S CC C ． 所以鳖臑1C ABC -的体积为12．(3) 因为11113462A B C S，11164122BB C S ， 11165152AA C S ，1132133132ABC S ， 113618A ABB S 矩形，所以阳马111C ABB A -的表面积的表面积为612151831351313． 22．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点．已知5,3AB BC CD ===，(1)求该圆柱的表面积；(2)将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求ACD △的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．【答案】(1)75π2(2)15π【解析】【分析】（1）由题意求出柱的底面圆的半径即可求解；（2）ACD △绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为两个圆锥的体积之差，结合圆锥体积公式求解即可(1)由题意知AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，且5AB BC ==， 可得圆柱的底面圆的半径为52R =， 则圆柱的底面积为221525πππ24S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 圆柱的侧面积为252π2π525π2S Rl ==⨯⨯= 所以圆柱的表面积为12257522π25ππ42S S S =+=⨯+=． (2) 由线段AC 绕AB 旋转一周所得几何体为以BC 为底面半径，以AB 为高的圆锥，线段AD 绕AB 旋转一周所得的几何体为BD 为底面半径，以AB 为高的圆锥，所以以ACD △绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为：22221111πππ55π4515π3333V BC AB BD AB =⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=．。

空间几何体的面积与体积关系几何学是研究空间形状和大小的学科，而空间几何体的面积与体积关系是几何学中一个重要的概念。

面积和体积是描述几何体大小的两个基本量，它们之间存在着一定的关系。

首先，我们来看一下面积和体积的定义。

面积是指一个平面内所包围的区域的大小，通常用平方单位来表示，比如平方米、平方厘米等。

而体积是指一个立体所占据的空间大小，通常用立方单位来表示，比如立方米、立方厘米等。

对于一些简单的几何体，面积与体积的关系比较容易理解。

比如，对于一个正方形，它的面积等于边长的平方，而体积等于面积乘以高度。

这是因为正方形的底面积和高度决定了它的体积。

同样，对于一个正方体，它的体积等于边长的立方，而它的表面积等于边长的平方乘以6。

这是因为正方体的边长决定了它的体积和表面积。

然而，对于一些复杂的几何体，面积与体积的关系就不那么直观了。

比如，对于一个圆柱体，它的底面积等于圆的面积，而体积等于底面积乘以高度。

这是因为圆柱体的底面积和高度决定了它的体积。

同样，对于一个球体，它的表面积等于球的面积，而体积等于球的体积。

这是因为球体的半径决定了它的表面积和体积。

在实际应用中，面积和体积的关系经常被用来解决一些实际问题。

比如，在建筑设计中，我们需要计算房间的面积和体积，以确定房间的大小和容量。

在工程测量中，我们需要计算土地的面积和体积，以确定土地的面积和容量。

在物流管理中，我们需要计算货物的面积和体积，以确定货物的空间占用和运输成本。

总结一下，空间几何体的面积与体积关系是几何学中一个重要的概念。

面积和体积是描述几何体大小的两个基本量，它们之间存在着一定的关系。

对于一些简单的几何体，面积与体积的关系比较容易理解。

然而，对于一些复杂的几何体，面积与体积的关系就不那么直观了。

在实际应用中，面积和体积的关系经常被用来解决一些实际问题。

通过对面积和体积的计算和理解，我们可以更好地理解和应用几何学的知识。

§8.2空间几何体的表面积与体积1.柱、锥、台和球的侧面积和体积2.(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是________________.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是________、________、__________；它们的表面积等于__________________________________________________.[难点正本疑点清源]1.几何体的侧面积和全面积几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和.对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行.要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题.如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解.再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小.2.要注意领会和掌握两种数学思想方法：割补法与等积法割补法是割法与补法的总称.补法是把不规则(不熟悉的或复杂的)几何体延伸或补成规则的(熟悉的或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形.割法是把复杂的(不规则的)几何体切割成简单的(规则的)几何体.割与补是对立统一的，是一个问题的两个相反方面.割补法无论是求解体积问题还是求解空间角(或空间距离)以及证明垂直或平行关系都有简化解题过程、开阔思维的优点.等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.1.表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________.2.一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为a ，则球的表面积为________.3.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P —BCC 1B 1的体积为________.4.(2011·上海)若一个圆锥的正视图(如图所示)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积为________. 5.一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积 是 ( )A.253πB.343πC.3＋163πD.12＋163π题型一几何体的表面积例1一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是()A.372B.360C.292D.280探究提高(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm2.题型二几何体的体积例2如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1—B1EDF的体积.探究提高在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法.在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积.如图(1)所示，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图(2)所示.图(1)图(2)(1)求证：BE∥平面ADF；(2)求三棱锥F—BCE的体积.题型三组合体的表面积与体积问题例3正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图).求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.探究提高解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.17.空间与平面的转化试题：(12分)如图，在直棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为3的等边三角形，AA′＝4，M为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC′的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)三棱锥C—MNP的体积.审题视角 (1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)MN ＋NP 最短在展开图上呈现怎样的形式；(3)三棱锥以谁做底好. 规范解答解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为42＋92＝97.[2分](2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开，如图， 设PC ＝x ，则MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2.∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，∴x ＝2，即PC ＝2. 又NC ∥AM ，故PC P A ＝NC AM ，即25＝NC 2.∴NC ＝45.[8分](3)S △PCN ＝12×CP ×CN ＝12×2×45＝45.在三棱锥M —PCN 中，M 到面PCN 的距离， 即h ＝32×3＝332. ∴V C —MNP ＝V M —CNP ＝13·h ·S △CNP＝13×332×45＝235.[12分]批阅笔记 (1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题.(2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上. 如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题.(3)本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图.缺乏空间图形或平面图形的转化意识.方法与技巧1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决.2.要注意将空间问题转化为平面问题.3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解. 失误与防范1.将几何体展开为平面图形时，要注意在何处剪开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开.2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.§8.2 空间几何体的表面积与体积(时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组一、选择题1.已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′ 的底面是边长为1的正三角形(如右图 所示)，则三棱锥B ′—ABC 的体积为( ) A.14 B.12 C.36D.342.正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为( )A.48(3＋3)B.48(3＋23)C.24(6＋2)D.1443.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A.32πB.π＋ 3C.32π＋ 3D.52π＋ 3 二、填空题4.已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇 形的圆心角为120°，底面圆的半径为1， 则该圆锥的体积为________.5.已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积为________.6.(2011·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.三、解答题7.已知正方体AC 1的棱长为a ，E ，F 分别为棱AA 1与CC 1的中点，求四棱锥A 1—EBFD 1的体积.8.如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆， M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆 O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积 与体积.B 组 专项能力提升题组一、选择题1.若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是( )A.12cm 3B.23cm 3C.56cm 3D.78cm 32.如图所示，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有 棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥 B 1—ABC 1的体积为 ( ) A.312 B.34 C.612D.643.(2011·辽宁)已知球的直径SC ＝4，A 、B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为( )A.3 3B.2 3C. 3D.1二、填空题4.(2011·课标全国)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，BC ＝23，则棱锥O －ABCD 的体积为________.5.如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长 为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发， 沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短 路线的长为______ cm.6.(2011·福建)三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 的体积为________. 三、解答题7.如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D —ABC ，如图2所示.图1 图2(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D —ABC 的体积.8.如图所示，在体积为1的三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， 侧棱AA 1⊥底面ABC ，AC ⊥AB ，AC ＝AA 1＝1，P 为线段AB 上的动点. (1)求证：CA 1⊥C 1P ；(2)线段AB 上是否存在一点P ，使四面体P —AB 1C 1的体积为16？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.答案要点梳理 1.基础自测1.22.πa 23.163 4.3π 5.D题型分类·深度剖析 例1 B变式训练1 4π＋12例2 解 方法一 连接A 1C 1，B 1D 1交于点O 1， 连接B 1D ，过O 1作O 1H ⊥B 1D 于H .∵EF ∥A 1C 1， 且A 1C 1⊄平面B 1EDF ，∴A 1C 1∥平面B 1EDF .∴C 1到平面B 1EDF 的距离就是A 1C 1到平面B 1EDF 的距离. ∵平面B 1D 1D ⊥平面B 1EDF ，∴O 1H ⊥平面B 1EDF ，即O 1H 为棱锥的高. ∵△B 1O 1H ∽△B 1DD 1，∴O 1H ＝B 1O 1·DD 1B 1D ＝66a .∴VC 1—B 1EDF ＝13S 四边形B 1EDF ·O 1H ＝13·12·EF ·B 1D ·O 1H ＝13·12·2a ·3a ·66a ＝16a 3.方法二 连接EF ，B 1D .设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a . 由题意得，VC 1—B 1EDF ＝VB 1—C 1EF ＋VD —C 1EF ＝13·S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝16a 3. 方法三 VC 1—B 1EDF ＝V 多面体A 1B 1E —D 1C 1FD －VE —A 1B 1C 1D 1－VE —C 1D 1D ＝16a 3.变式训练2 (1)证明 由图可知BC ∥AD ， CE ∥DF ，折叠之后平行关系不变.∵BC ∥AD ，BC ⊄平面ADF ，AD ⊂平面ADF ， ∴BC ∥平面ADF . 同理CE ∥平面ADF .∵BC ∩CE ＝C ，BC 、CE ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ∥平面ADF .∵BE ⊂平面BCE ，BE ⊄平面ADF ， ∴BE ∥平面ADF .(2)解 ∵V F —BCE ＝V B —CEF ， 由图(1)，可知BC ⊥CD ，∵平面DCEF ⊥平面ABCD ，平面DCEF ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ， 又∵BC ⊥DC ，∴BC ⊥平面DCEF . 由图(1)可知，DC ＝CE ＝1， S △CEF ＝12CE ×DC ＝12，∴V F —BCE ＝V B —CEF ＝13×BC ×S △CEF ＝16.例3 解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为13×32×26＝2，则正棱锥侧面的斜高为12＋(2)2＝ 3. ∴S 侧＝3×12×26×3＝9 2.∴S 表＝S 侧＋S 底＝92＋12×32×(26)2＝92＋6 3.(2)设正三棱锥P —ABC 的内切球球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r .∴V P —ABC ＝V O —P AB ＋V O —PBC ＋V O —P AC ＋V O —ABC＝13S 侧·r ＋13S △ABC ·r ＝13S 表·r ＝(32＋23)r . 又V P —ABC ＝13×12×32×(26)2×1 ＝23， ∴(32＋23)r ＝23，得r ＝2332＋23＝23(32－23)18－12 ＝6－2.∴S 内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.V 内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.变式训练3 解 如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r ，水面半径 BC 的长为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V 球＝π3(3r )2·3r －4π3r 3＝5π3r 3， 将球取出后，设容器中水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积为V ′＝π3⎝⎛⎭⎫33h 2h ＝π9h 3， 由V ＝V ′，得h ＝315r .课时规范训练A 组1.D2.A3.C4.22π35.26.47.解 因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E＝a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝52a ，所以四棱锥A 1—EBFD 1的底面是菱形，连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1， 由于三棱锥A 1—EFB 与三棱锥A 1—EFD 1等底同高，所以VA 1－EBFD 1＝2VA 1－EFB ＝2VF －EBA 1＝2·13·S △EBA 1·a ＝16a 3. 8.解 设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧l ＋r ＋2r ＝(5＋2)×22πr l ＝π2， 解得r ＝2，l ＝42，S ＝πrl ＋πr 2＝10π，h ＝l 2－r 2＝30，V ＝πr 2h ＝230π.B 组1.D2.A3.C4.835.136. 37.(1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22，从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC .又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知BC 为三棱锥B —ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V B —ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D —ABC 的体积为423.8.(1)证明 连接AC 1，AB 1，由ACC 1A 1为正方形知CA 1⊥AC 1.由AC ⊥AB ，AA 1⊥底面ABC 知AB ⊥平面AA 1C 1C ，所以CA 1⊥AB .又AB ∩AC 1＝A ，所以CA 1⊥平面C 1AP ，则CA 1⊥C 1P .(2)解 VB —AB 1C 1＝V －VC 1—AA 1B 1－VB —ACC 1＝1－13－13＝13，当棱锥P —AB 1C 1的体积为16时，P 为AB 的中点.。

空间几何体的表面积与体积计算几何体是我们日常生活中常见的一种数学概念，它包括了诸如三角形、圆形等平面几何体以及立方体、球体等空间几何体。

本文将就空间几何体的表面积和体积计算进行探讨，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、立方体的表面积和体积计算方法立方体是最简单的空间几何体之一，它具有六个相等的面，每个面都是一个正方形。

我们可以通过以下两个公式来计算立方体的表面积和体积：1. 表面积计算公式：立方体的表面积等于六个面的面积之和。

每个面的面积都是边长的平方，所以立方体的表面积公式为：表面积 = 6 ×边长 ×边长2. 体积计算公式：立方体的体积等于边长的立方，所以立方体的体积公式为：体积 = 边长 ×边长 ×边长在实际问题中，我们可以根据给定的条件，使用表面积和体积的计算公式求解各种问题，例如求解立方体的边长、体积等。

二、球体的表面积和体积计算方法球体是一种圆形的几何体，它的每个点到球心的距离都相等。

对于球体的表面积和体积计算，我们可以依据以下两个公式：1. 表面积计算公式：球体的表面积等于4倍的圆面积。

而圆面积的计算公式为：圆面积= π × 半径 ×半径所以球体的表面积计算公式为：表面积= 4 × π × 半径 ×半径2. 体积计算公式：球体的体积等于4/3倍π乘以半径的立方，所以球体的体积计算公式为：体积= 4/3 × π × 半径 ×半径 ×半径对于球体的实际问题，我们可以根据给定的条件，通过表面积和体积的计算公式来处理相关的计算。

三、其他空间几何体的表面积和体积计算方法除了立方体和球体之外，还存在着许多其他形状的空间几何体，如圆柱体、锥体、棱柱等。

每种几何体的表面积和体积计算方法都有所不同。

以圆柱体为例，它的表面积等于两个底面的面积之和再加上侧面的面积。

而底面的面积可以通过底面半径的平方乘以π来计算，侧面的面积则等于底面周长乘以高度。

空间几何体的表面积与体积在我们的日常生活和学习中，空间几何体无处不在。

从简单的正方体、长方体，到复杂的球体、锥体，它们的形状各异，而了解它们的表面积与体积对于解决许多实际问题具有重要意义。

首先，咱们来聊聊什么是空间几何体的表面积。

简单来说，表面积就是几何体表面的总面积。

比如说一个正方体，它有六个完全相同的正方形面，那么这个正方体的表面积就是这六个面的面积之和。

对于长方体，其表面积的计算就稍微复杂一点。

假设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，那么它的表面积 S ＝ 2(ab ＋ bc ＋ ac)。

为什么是这样呢？咱们可以想象把这个长方体展开，就会得到六个面，其中相对的两个面面积是相等的。

前面和后面的面积都是 ac，上面和下面的面积都是 ab，左面和右面的面积都是 bc，把它们加起来就是总的表面积。

再来说说圆柱体。

圆柱体由两个底面（圆形）和一个侧面（矩形）组成。

底面圆的面积我们都知道是πr²（r 是底面圆的半径），而侧面展开是一个矩形，其长就是底面圆的周长2πr，宽就是圆柱体的高 h，所以圆柱体的表面积 S ＝2πr² ＋2πrh。

接下来谈谈圆锥体的表面积。

圆锥体的表面积由底面积（圆形）和侧面积（扇形）组成。

底面积还是πr²，侧面积的计算就需要一点小技巧了。

我们可以把圆锥侧面展开，得到一个扇形，扇形的半径是圆锥的母线 l，弧长就是底面圆的周长2πr。

根据扇形面积的计算公式，圆锥的侧面积就是πrl，所以圆锥的表面积 S ＝πr² ＋πrl。

说完了表面积，咱们再看看空间几何体的体积。

体积就是几何体所占空间的大小。

正方体的体积很好计算，就是边长的立方，即 V ＝ a³。

长方体的体积则是长、宽、高的乘积，V ＝ abc。

圆柱体的体积公式是 V ＝πr²h，这可以理解为把圆柱体看作是由无数个同样大小的圆片堆叠而成，每个圆片的面积是πr²，高度为 h，那么总体积就是底面积乘以高。

空间几何体表面积和体积公式空间几何体是在三维空间中存在的物体，它们可以有不同的形状和大小。

对于任何空间几何体，我们都可以计算出它的表面积和体积。

表面积是指几何体外部的总表面面积。

不同类型的几何体有不同的计算公式。

对于立方体来说，它的表面积等于六个面的面积之和。

每个面的面积都相等，可以通过计算边长的平方来得到。

所以立方体的表面积公式为：表面积 = 6 * a^2 （其中a为边长）。

对于球体来说，它的表面积等于球的半径的平方乘以4π。

所以球体的表面积公式为：表面积= 4π * r^2 （其中r为半径）。

对于圆柱体来说，它的表面积由两个圆面和一个侧面组成。

圆柱的底面积为π * r^2，所以两个圆面的面积之和为2π * r^2。

侧面是一个矩形，它的长等于圆周长2πr，宽等于圆柱的高h。

所以圆柱体的表面积公式为：表面积= 2π * r^2 + 2πrh。

体积是指几何体所占据的空间大小。

与表面积一样，不同类型的几何体有不同的计算公式。

对于立方体来说，它的体积等于边长的立方。

所以立方体的体积公式为：体积 = a^3 （其中a为边长）。

对于球体来说，它的体积等于4/3乘以π乘以半径的立方。

所以球体的体积公式为：体积= (4/3)π * r^3 （其中r为半径）。

对于圆柱体来说，它的体积等于底面积乘以高。

所以圆柱体的体积公式为：体积= π * r^2 * h （其中r为底面半径，h为高）。

除了立方体、球体和圆柱体，还有许多其他类型的空间几何体，它们的表面积和体积公式也各不相同。

想要计算某个具体几何体的表面积和体积，需要根据其特定的形状和尺寸选择相应的计算公式进行计算。

空间几何体的表面积与体积一、基础知识1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式S＝2πrl S＝πrl S＝π(r＋r′)l①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.②圆台、圆柱、圆锥的转化当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：2．空间几何体的表面积与体积公式二、常用结论几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 考点一 空间几何体的表面积[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π(2)(2019·沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )A ．4＋4 2B ．42＋2C ．8＋4 2D.83[解析] (1)设圆柱的轴截面的边长为x ， 则x 2＝8，得x ＝22，∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22 ＝12π.故选B.(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P ­ABCD ，如图所示，其中P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且P A ＝2，AB ＝2，PB ＝22，所以该四棱锥的侧面积S 是四个直角三角形的面积和，即S ＝2×⎝⎛⎭⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋42，故选A. [答案] (1)B (2)A [题组训练]1．(2019·武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )A ．28B ．24＋25C ．20＋4 5D ．20＋25解析：选B 如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIE ­DCMH ，则该几何体的表面积S ＝(2×2)×5＋⎝⎛⎭⎫12×1×2×2＋2×1＋2×5＝24＋2 5.故选B.2．(2018·郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．20＋2πB ．24＋(2－1)πC ．24＋(2－2)πD ．20＋(2＋1)π解析：选B 由三视图知，该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为1的圆锥后所剩余的部分，所以该几何体的表面积S ＝6×22－π×12＋π×1×2＝24＋(2－1)π，故选B. 考点二 空间几何体的体积[典例] (1)(2019·开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A ．4πB ．2π C.4π3D ．π(2)(2018·天津高考)如图，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1­BB 1D 1D 的体积为________．[解析] (1)直接法由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tan α＝31＝3，得α＝π3，故底面面积为12×π3×22＝2π3，则该几何体的体积为2π3×3＝2π.(2)法一：直接法连接A 1C 1交B 1D 1于点E ，则A 1E ⊥B 1D 1，A 1E ⊥BB 1，则A 1E ⊥平面BB 1D 1D ，所以A 1E 为四棱锥A 1­BB 1D 1D 的高，且A 1E ＝22， 矩形BB 1D 1D 的长和宽分别为2，1， 故V A 1­BB 1D 1D ＝13×(1×2)×22＝13.法二：割补法连接BD 1，则四棱锥A 1­BB 1D 1D 分成两个三棱锥B ­A 1DD 1与B ­A 1B 1D 1，所以V A 1­BB 1D 1D ＝V B ­A 1DD 1＋V B ­A 1B 1D 1＝13×12×1×1×1＋13×12×1×1×1＝13.[答案] (1)B (2)13[题组训练]1.(等体积法)如图所示，已知三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1­ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64解析：选A 三棱锥B 1­ABC 1的体积等于三棱锥A ­B 1BC 1的体积，三棱锥A ­B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312. 2.(割补法)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A ．13B ．14C ．15D ．16解析：选C 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD ­A ′B ′C ′D ′所示，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V ＝4×2×3－2×12×3×32×2＝15，故选C.3.(直接法)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π 解析：选C 由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×4π3×⎝⎛⎭⎫223＝13＋26π. 考点三 与球有关的切、接问题考法(一) 球与柱体的切、接问题[典例] (2017·江苏高考)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．[解析] 设球O 的半径为R ，因为球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R 、高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32.[答案] 32考法(二) 球与锥体的切、接问题[典例] (2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ­ABC 体积的最大值为( )A ．123B ．183C ．24 3D ．543[解析] 由等边△ABC 的面积为93，可得34AB 2＝93，所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3.设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.所以三棱锥D ­ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D ­ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3.[答案] B[题组训练]1．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A ．4π B.163πC.323π D ．16π解析：选D 如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心， 于是，球的半径r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝ 12＋(3)2＝2. 故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π.故选D.2．三棱锥P ­ABC 中，AB ＝BC ＝15，AC ＝6，PC ⊥平面ABC ，PC ＝2，则该三棱锥的外接球表面积为________．解析：由题可知，△ABC 中AC 边上的高为15－32＝6，球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外心D ，设DA ＝DB ＝DC ＝x ，所以x 2＝32＋(6－x )2，解得x ＝564，所以R 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫PC 22＝758＋1＝838(其中R 为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝832π. 答案：832π[课时跟踪检测]1．(2019·深圳摸底)过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比值为( )A.932 B.916 C.38D.316解析：选A 由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为r ，则22＝12＋r 2，所以r 2＝3，所以所得截面的面积与球的体积的比值为π×343π×23＝932，故选A.2．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )A ．4B ．8C ．16D ．20解析：选B 由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为6，高为2的三角形，三棱锥的高为4，所以体积为V ＝13×12×6×2×4＝8.故选B.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：选B 设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π×r 2×5＝π12×⎝⎛⎭⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)． 4．(2018·贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1 cm 的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．35 cm 3B ．40 cm 3C ．70 cm 3D ．75 cm 3解析：选A 结合题中三视图可得，该几何体是个组合体，该组合体从下到上依次为长、宽、高分别为5 cm,5 cm,1 cm 的长方体，长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm 的长方体，棱长为1 cm 的正方体，故该组合体的体积V ＝5×5×1＋3×3×1＋1×1×1＝35(cm 3)．故选A.5．(2019·安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1 B.12 C.13D.14解析：选C 法一：该几何体的直观图为四棱锥S ­ABCD ，如图，SD ⊥平面ABCD ，且SD ＝1，四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝DC ＝1，连接BD ，由题意知BD ⊥DC ，BD ⊥AB ，且BD ＝1，所以S 四边形ABCD ＝1，所以V S ­ABCD ＝13S四边形ABCD·SD ＝13，故选C.法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以V ＝13Sh ，其中S 指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知S ＝1，h 指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h ＝1，所以V ＝13Sh ＝13，故选C.6．(2019·重庆调研)某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为( )A.83π3＋833B.43π3＋833C.43π3＋433D.83π3＋433解析：选B 由三视图知，该组合体是由一个半圆锥与一个三棱锥组合而成的，其中圆锥的底面半径为2、高为42－22＝23，三棱锥的底面是斜边为4、高为2的等腰直角三角形，三棱锥的高为23，所以该组合体的体积V ＝12×13π×22×23＋13×12×4×2×23＝43π3＋833，故选B. 7．(2019·湖北八校联考)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为( )A ．16＋12πB ．32＋12πC ．24＋12πD ．32＋20π解析：选A 由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为2，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为22，该几何体的表面积S ＝12×4π×22＋π×22＋22×2×4＝12π＋16，故选A.8．(2019·福州质检)已知正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1外接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π解析：选C 如图所示，设底面边长为a ，则底面面积为34a 2＝334，所以a ＝ 3.又一个侧面的周长为63，所以AA 1＝2 3.设E ，D 分别为上、下底面的中心，连接DE ，设DE 的中点为O ，则点O 即为正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的外接球的球心，连接OA 1，A 1E ，则OE ＝3，A 1E ＝3×32×23＝1.在直角三角形OEA 1中，OA 1＝12＋(3)2＝2，即外接球的半径R ＝2，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C.9．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为 3. 设该正方体外接球的半径为R ，则2R ＝3，R ＝32，所以这个球的体积为43πR 3＝4π3×278＝9π2.答案：9π2 10．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V ＝(1＋2)×12×1＝32. 答案：3211．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的高为________．解析：设圆锥底面半径是r ，母线长为l ，所以πr 2＋πrl ＝π，即r 2＋rl ＝1，根据圆心角公式2π3＝2πr l ，即l ＝3r ，所以解得r ＝12，l ＝32，那么高h ＝l 2－r 2＝ 2. 答案：212．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ­ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：如图，连接AO ，OB ，∵SC 为球O 的直径，∴点O 为SC 的中点，∵SA ＝AC ，SB ＝BC ，∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，∴AO ⊥平面SCB ，设球O 的半径为R ，则OA ＝OB ＝R ，SC ＝2R .∴V S ­ABC ＝V A ­SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×⎝⎛⎭⎫12×SC ×OB ×AO ，即9＝13×⎝⎛⎭⎫12×2R ×R ×R ，解得 R ＝3， ∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.答案：36π13.如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，求：(1)该几何体的体积；(2)截面ABC 的面积．解：(1)过C 作平行于A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ，交AA 1，BB 1分别于点A 2，B 2.由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1＝90°可知B 2C ⊥平面ABB 2A 2，则该几何体的体积V ＝VA 1B 1C 1­A 2B 2C ＋VC ­ABB 2A 2＝12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝6. (2)在△ABC 中，AB ＝22＋(4－3)2＝5，BC ＝22＋(3－2)2＝5，AC ＝(22)2＋(4－2)2＝2 3.则S △ABC ＝12×23×(5)2－(3)2＝ 6.14.如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ­ACD 的体积63，求该三棱锥E ­ACD 的侧面积．解：(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以BE ⊥AC .因为BD ∩BE ＝B ，BD ⊂平面BED ，BE ⊂平面BED ， 所以AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x2.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝3 2x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝2 2x.由已知得，三棱锥E­ACD的体积V三棱锥E­ACD＝13·12AC·GD·BE＝624x3＝63，故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5.故三棱锥E­ACD的侧面积为3＋2 5.。

专题8.2 空间几何体的表面积和体积（知识点讲解）【知识框架】 【核心素养】1.通过考查几何体体积和表面积的计算，主要考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.结合三视图、直观图、展开图、轴截面等，考查球的切、接问题，主要考查几何体与球的组合体的识辨，球的体积、表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）几何体的表面积圆柱的侧面积圆柱的表面积圆锥的侧面积圆锥的表面积圆台的侧面积圆台的表面积球体的表面积 柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.（二）几何体的体积圆柱的体积rl S π2=)(2l r r S +=πrl S π=)(l r r S +=πl r r S )(+'=π)(22rl l r r r S +'++'=π24R S π=h r V 2π=圆锥的体积 圆台的体积 球体的体积 正方体的体积正方体的体积（三）常用结论多面体的内切球与外接球常用的结论(1)设正方体的棱长为a ，则它的内切球半径r ＝2a ，外接球半径R＝2a . (2)设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则它的外接球半径R＝2. (3)设正四面体的棱长为a ，则它的高为H＝3a ，内切球半径r ＝14H＝12a ，外接球半径R ＝34H＝4a . 【常考题型剖析】题型一：空间几何体的表面积例1.（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（ ）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%【答案】C【解析】【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为： 226400164003600002(1.cos )1cos 44242%22r r πααπ---+==≈=.h r V 231π=)(3122r r r r h V '++'=π334R V π=3a V =abc V =例2.（2020·全国·高考真题（理））已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π 【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=，1OO AB ∴==1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A例3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知某圆台的母线长为2，母线与轴所在直线的夹角是60︒，且上、下底面的面积之比为1⊙4，则该圆台外接球的表面积为（ ） A ．56πB ．64πC ．112πD ．128π【答案】C【解析】作出圆台的轴截面等腰梯形，其外接圆是圆台外接球的大圆，在这个轴截面中进行计算可得．【详解】如图等腰梯形ABCD 是圆台的轴截面，EF 是圆台的对称轴，圆台上、下底面的面积之比为1：4，则半径比为1：2，设圆台上、下底面半径分别为r ，2r ，因母线与轴的夹角是60︒，母线长为2，可得圆台的高为1，r =R ，球心到下底面（大圆面）的距离为x ，若球心在圆台两底面之间，如图点M 位置，则222R x =+且222(1)R x =-+，无解；若圆台两底面在球心同侧，如图点O 位置，则222R x =+且222(1)R x =++，解得4x =，则228R =， 则该圆台外接球的表面积为2112R 4π=π．故选：C ．【总结提升】几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．题型二：空间几何体的体积例4. （2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））若圆锥的母线与底面所成的角为π6，则该圆锥的体积为（ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．3π【答案】B【解析】【分析】设圆锥的高为h ，利用母线与底面所成角求出高即可得解.【详解】设圆锥的高为h ， 因为母线与底面所成的角为π6，所以πtan 61h =．圆锥的体积2π1π3=⨯⨯=V ． 故选：B例5.（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．时，2.65）（ ）A ．931.010m ⨯B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯ 【答案】C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN =-=(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ．棱台上底面积262140.014010S ==⨯km m ，下底面积262180.018010S '==⨯km m ，∴((66119140101801033V h S S =+=⨯⨯⨯+⨯' ()()679933320607109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯．故选：C ．例6.（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙，则=V V 甲乙（ ） AB．CD【答案】C【解析】【分析】 设母线长为l ，甲圆锥底面半径为1r ，乙圆锥底面圆半径为2r ，根据圆锥的侧面积公式可得122r r =，再结合圆心角之和可将12,r r 分别用l 表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为1r ，乙圆锥底面圆半径为2r ， 则11222S rl r S r l r ππ===甲乙， 所以122r r =， 又12222r r l lπππ+=， 则121r r l +=， 所以1221,33r l r l ==，所以甲圆锥的高1h ==，乙圆锥的高2h ==，所以221122214313r h l V V r h ππ==甲乙 故选：C.例7.（2022·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）阿基米德多面体也称为半正多面体，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．如图，已知阿基米德多面体的所有顶点均是一个棱长为2的正方体各条棱的中点，则该阿基米德多面体的体积为______；若M ，N 是该阿基米德多面体表面上任意两点，则M ，N 两点间距离的最大值为______．【答案】 203##263 22##322 【解析】【分析】第一空，将该多面体置于正方体中，由此可知该阿基米德多面体是由正方体切掉8个全等的三棱锥形成，由此可求得其体积；第二空，结合阿基米德多面体的外接球刚好是补形后正方体的棱切球，再求M ，N 两点间距离的最大值即可.【详解】依题意，可将该多面体补成一个棱长为2的正方体，如图，所以该阿基米德多面体是由正方体切掉8个全等的三棱锥形成，其体积112088111323V =-⨯⨯⨯⨯⨯=; 该阿基米德多面体的外接球刚好是正方体的棱切球，即与正方体的各条棱相切于棱的中点的球，该球直径为M ，N 两点间距离的最大值为外接球的直径，则max MN =故答案为:203； 【总结提升】1.处理体积问题的思路(1)“转”：指的是转换底面与高，将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面，或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高，即等体积法；(2)“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算，即分割法；(3)“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱，这些都是拼补的方法，即补形法．2.求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.题型三：三视图与几何体的面积、体积例8．（2020·全国·高考真题（文））下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．6+42B．4+42C．6+23D．4+23【答案】C【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDBS S S===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB===∴ADB△是边长为根据三角形面积公式可得：211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△该几何体的表面积是：632⨯++ 故选：C.例9. （2020·浙江·高考真题）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．73B ．143C ．3D ．6【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A例10.（2022·浙江省春晖中学模拟预测）某几何体的三视图如图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是___________，体积是___________.【答案】232π+33π##3π3【解析】【分析】先画出直观图，再求出圆锥的高，求出两个半圆锥的侧面积之和，从而求出此几何体的表面积和体积.【详解】该几何体为两个底面半径为1，母线长为2的半圆锥拼接而成，设圆锥的高为h，由勾股定理得：413h=-=，则两个半圆锥的侧面积之和为12π22π2⨯⨯=，如图，AB =2CD =，且AB CD ⊥，所以四边形ADBC 的面积为22÷=， 该几何体的表面积为232π+，该几何体的体积为21π13⨯=故答案为：2π 【总结提升】 求空间几何体体积的常见类型及思路（1）规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法（2）不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.题型四：简单几何体的外接球与内切球问题例11.（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π 【答案】B【解析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ，设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3:1，即3AD BD =，设球的半径为R ，则343233R ππ=，可得2R =，所以，44AB AD BD BD =+==， 所以，1BD =，3AD =，CD AB ⊥，则90CAD ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠=，所以，CAD BCD ∠=∠，又因为ADC BDC ∠=∠，所以，ACD CBD △∽△，所以，AD CD CD BD=，CD ∴= 因此，这两个圆锥的体积之和为()21134433CD AD BD πππ⨯⋅+=⨯⨯=. 故选：B.例12.（2020·全国高考真题（理））已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）A B ．32 C ．1 D ．2【答案】C【解析】 设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC21224a ∴⨯=，解得：3a =，2233r ∴===，∴球心O 到平面ABC 的距离1d ===.故选：C.例13.（2020·全国·高考真题（理））已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 【答案】C【解析】【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d = 【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴=3a =，2233r ∴==∴球心O 到平面ABC 的距离1d .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.例14.（2019·全国·高考真题（理））已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ）A ．B ．C ． D【答案】D【解析】【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==34433R V R =∴=π==π，故选D ． 解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴=== AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =， D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=，2212122x x x ∴+=∴==PA PB PC ∴=====2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴R ∴=，34433V R ∴=π==，故选D. 例15.(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B ．34π C ．2π D ．4π 【答案】B 【解析】设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴2r ==. ∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝34π. 故选B ．例16.(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．9π2C ．6πD ．32π3【答案】B【解析】由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R ，∵△ABC 的内切圆半径为68102+-＝2，∴R ≤2. 又2R ≤3，∴R ≤32，∴V ma x ＝3439()322ππ=.故选B ． 点睛：解答本题的关键是当V 取得最大值时，球与上下底面还是与侧面相切的问题．例17.（2021·福建·厦门大学附属科技中学高三阶段练习）某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的表面积是______．【答案】144π【解析】【分析】设球心为O ，作出过球心的截面图如图所示，然后根据已知条件结合球的性质求解即可.【详解】 设球心为O，作出过球心的截面图如图所示，则OA =由截面圆的周长为6π，得26AB ππ⨯=，∴3AB =，6．所以该球的表面积为246=144ππ⨯.故答案为：144π.例18. (2019年高考天津卷理)的正方形，侧棱长若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．【答案】，借助勾股定理，可知四棱锥的高.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，圆柱的底面半径为， 故圆柱的体积为. 例19.（2020·全国·高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】 25π42=11221ππ124⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ， 由于223122AM =-=，故1222222S =⨯⨯=△ABC ， 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：22r，其体积：343V r π==.. 【总结提升】1.常见类型：（1）利用长方体的体对角线探索外接球半径；（2）利用长方体的面对角线探索外接球半径；（3）利用底面三角形与侧面三角形的外心探索球心；（4）利用直棱柱上下底面外接圆圆心的连线确定球心；（5）锥体的内切球问题；（6）柱体的内切球问题2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．3．若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．。