农大08_06概率C试题

绝密★使用完毕前2008年普通高等学校校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用钢笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

不能答在试卷上。

一、本题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集∪＝R ，集合A =|x |-2≤x ≤3|，B =|x |x 〈-1或x 〉4|，那么集合A ∩（εv B ）等于(A)|x |-2≤x 〈4| （B ）|x |x ≤3或≥4| (C)|x |-2≤x <-1(D)|x | -1≤x ≤3|(2)若a =2a ,b =log,3,c =log,sin 52 ,则 (A ）a >b >c(B)b >a >c(C)c>a>b (D)b >c>a(3)“函数f (x )(x ∈R)存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的(A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 (C)充分必要条件 （D ）即不充分也不必要条件（4）若点P 到直线x =－1的距离比它到点（2，0）的烛1，则点P 的轨迹为 （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 x -y +1≥0,（5）若实数x ,y 满足 x +y ≥0, 则z =3x +y 的最小值是x ≤0,(A)0(B)1(C)3 (D)9(6)已知数列｜a n ｜对任意的p,q ∈N m满足a p+q =a p +a q ,且a P =-6,那么a p +q 等于 （A ）-165 (B)-33 (C)-30 (D)－21（7）过直线y =x 上的一点作圆（x -5）2=2的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y =x 对称时，综们之间的夹角为（A ）30° （B ）45° (C)60° (D)90°(8)如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上。

中国农业大学2020 ~2021学年秋季学期概率论与数理统计（C ）课程考试试题（A ）一、 填空题 （每空3分，满分21分）1．已知()0.3P B =，()0.6P A B =，则()P AB =______0.3_______。

2．某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人3次射击恰好是命中2次目标的概率为23(1)p p -。

3.设总体X 服从参数为2θ=的指数分布，12,,...n X X X 为总体的一个样本，则当n →∞时，211n i i Y X n ==∑依概率收敛于__8___。

4．若X 服从参数为λ的泊松分布，且[(1)(2)]1E X X --=，则λ=_____1_____。

5. 在每次实验中，事件A 发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计：在1000次独立实验中事件A 发生的次数在400次到600次之间的概率至少为39/40 。

6.已知总体~(0,1)X N ，2S 为样本方差，设样本容量为9，则2()D S =1/4 。

7. 在区间(0, 1)中随机取两个数，则两数之差的绝对值小于0.5的概率为 3/4 。

二、选择题 （每题3分，满分15分）1.设有随机事件,,A B C 两两独立，则事件,,A B C 相互独立的充要条件是（A ）（A ）A 与BC 独立 （B ）AB 与A C 独立（C ）AB 与AC 独立（D ）AB 与AC 独立2．设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，当2σ增大时，则{}||P X μσ-<的值必将（C ）(A)减小 (B) 增大 (C)不变 (D) 增减不定考生诚信承诺1． 本人清楚学校关于考试管理、考场规则、考试作弊处理的规定，并严格遵照执行。

2． 本人承诺在考试过程中没有作弊行为，所做试卷的内容真实可信。

专业：班级：学号：姓名：3．设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则表达式()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y （ B 或C ）B 和C 都是正确的,选择一个即可 （A ）不相关的充分条件，但不是必要条件 （B ）独立的必要条件，但不是充分条件 （C ）不相关的充分必要条件 （D ）独立的充分必要条件4．设12,,...,n X X X 是来自正态总体2(0,)N σ的一个样本，X 与2S 分别是样本均值与样本方差，则下列正确的是（ D ）（A ）22~(1)Xχσ； （B ）222~(1)S n χσ-（C ）~(1)X t n S-； （D ）22~(1,1)S F n nX - 5．设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，其中2σ已知，若在置信度不变的情况下增大样本容量n ，总体均值μ的置信区间的长度会（C ）（A ）随之增大；（B ）增减不变（C ）随之减小（D ）增减不定三．（10分）已知有三个箱子，第一个箱子中有2个红球3个白球，第二个箱子中有1个红球4个白球，第三个箱子中有3个红球。

中国农业大学2008 ~2009 学年春季学期概率论与数理统计（C ） 课程考试试题（A ）题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分一、 填空 (每题4分, 共20分)1、设事件A 、B 相互独立，P (A ) = 0.1, P (B ) = 0.6, 则P ( AB ) = ,P ( A B ) =_________, _______)(________,)(=⋃=B A P B A P 。

2 加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别是p 1 , p 2 , p 3, 假定各道工序是互不影响的, 则加工出来的零件的次品率为 ；在前两道工序都是正品的条件下第三道工序也是正品的概率为 。

3、设随机变量X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=,1,0,1,11)(2x x xx f π则F (x )= E (X )= 。

，4、设随机变量X 服从参数为 的指数分布，则Y = X 3 的概率密度 f Y (y ) 为； D ( X ) = _____________。

5、设有N 个产品,其中有M 个次品, 进行放回抽样, 定义X i 如下:⎩⎨⎧=,,0,,1次取到正品当第次取到次品当第i i X i则X i ~ , 样本 ( X 1, X 2, …, X 10 ) 的分布(即联合分布律)为 。

考生诚信承诺1． 本人清楚学校关于考试管理、考场规则、考试作弊处理的规定，并严格遵照执行。

2． 本人承诺在考试过程中没有作弊行为，所做试卷的内容真实可信。

学院： 班级： 学号： 姓名：二、单项选择填空题(每题2分, 共10分)1、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 恰好有一个发生是（ ）a 、ABC ;b 、C B A ⋃⋃；c 、C B A C B A C B A ⋃⋃;d 、。

C AB C B A BC A ⋃⋃2、设二维随机变量(X , Y )是G : x 2 +y 2R 2 上的均匀分布,其概率密度是 ⎩⎨⎧≤+=,,0,,),(222其它R y x C y x f 则C 的值为( )a 、R 2 ;b 、2R ；c 、21Rπ； d 、R π21。

107 怀化学院2010~2011学年春季学期概率论与数理统计（C ） 课程考试试题（B ）一、单项选择(每题2分, 共10分)1、设A 、B 、C 为互不相容的三事件，P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.4, 则P[(A ⋃B)-C]=( )a 、0.5;b 、0.1；c 、0.44；d 、0.3。

2、以A 表示“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件为( ) a 、甲乙产品均畅销; b 、甲滞销乙畅销；c 、甲畅销；d 、甲滞销或乙畅销。

3、设X 的概率密度为)1(12x +π,则Y=2X 的概率密度为( )a 、)41(12y +π; b 、)4(22y +π; c 、 )1(12y +π ； d 、y arctan 1π。

4、二维随机变量(X,Y)中X 与Y 相互独立,则( )一定不成立a 、f(x,y)=f X (x)f Y (y)；b 、F(x,y)=F X (x)F Y (y)；c 、p i j = p i ·p ·j ；d 、f(x+y)=f(x)+f(y)。

5、已知X 的概率密度f(x)=4)3(221+-x eπ, 则Y=( ) ~N(0, 1)。

a 、23+X ; b 、23X +; c 、23-X ； d 、23X -。

二、 填空 (每题4分, 共20分)1、设事件A 、B 满足P(AB) =)(B A P ，且P(A)=p,则P(B)=_________.2、设X~N(0,1),则Y=2X 2+1的概率密度为________________.3、两正态总体均值差μ1-μ2的检验: H 0: μ1=μ2; H 1: μ1≠μ2 (σ12=σ22未知) (1)检验统计量为_________________; (2)拒绝域为____________.4、随机变量X 1,X 2,X 3相互独立,且都服从均匀分布U(0,2), 令 X=3X 1-X 2+2X 3 ,则E(X)=___________，D(X)＝ .5、一批产品共2000个,其中有40个次品,随机抽取100个,则样品中 次品数X 的分布律为:(1) 不放回抽样: ______________________________;(2) 放回抽样:_____________________________.三、从1到9的9个整数中有放回地随机取3次,每次取一个数,求取出的3个数之积能被10整除的概率. (10分) 四、设总体X 具有概率密度 f(x)=0,)!1(1>---x e x k x k kββ0, 其它其中k ≥1为已知的正整数,求β的矩估计量及最大似然估计量. （20分）五、设A 和B 是试验E 的两个事件,且P(A)>0, P(B)>0, 并定义随机变量X,Y 如下:X = 1, 若A 发生 Y= 1, 若B 发生0, 若A 不发生 0, 若B 不发生 证明: 若ρXY =0, 则X,Y 必定相互独立. (20分) 六、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,且都服从N(0,1),求Z=X+Y的概率密度. （10分） 七、设(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y) =1,1,41<<+y x xy0, 其它证明: X 与Y 不相互独立. (10分)2008~2009学年春季概率统计C 试卷B 参考答案一、 a 、 d 、 b 、 d 、 b 二、 1. 1-p ； 2. 0,1;)1(21,141<-≥--y ey y y π；3. )2(~11)()(21212121-++---=n n t n n S X X t Wμμ ; )2(212-+≥n n t t α;4. 4 , 14/3 ;5.40,,2,1,0,)(1002000100196040 ===-k C C C k X P k k , 40,,2,1,0,)5049()501()(),51,100(~100100 ===-k C k X P b X kk k三、设A 1:“取出的三个数中有偶数”, A 2:“取出的三个数中有5”，P(3数之积能被10整除)=P(A 1A 2)=1-)(21A A P =)()()(1)(1212121A A P A P A P A A P +--=⋃-=1-(5/9)3-(8/9)3+(4/9)3=0.214四、(1)矩估计 因 )()()!1(101x d e x k x k βββμβ-+∞⎰-==ββkk k =+Γ-)1()!1(1而 Xk X kX =⇒=⇒=ββμˆˆ,ˆ1 (2)最大似然估计:∏∏=----=∑-=-==n i x k i n k x k i ni kni ii ex k e x k L 11111)(])!1([)!1()(βββββ∑∏==--+--=ni ini i x x k k n nk L 11ln )1()!1ln(ln ln ββxk x nk d L d ni i =⇒=-=∑=βββˆ,0ln 1 五、 X 0 1 Y 0 1P k 1-P(A) P(A) P k 1-P(B) P(B) XY 0 1P k 1-P(AB) P(AB) E(X)=P(A) , E(Y)=P(B), E(XY)=P(AB)ρxy =0 ⇒ Cov(X,Y)=0⇒ E(XY)=E(X)E(Y)⇒P(AB)=P(A)P(B)即 A 与B 相互独立,于是B A B A B A ,;,;, 均相互独立则 P(X=1,Y=1)=P(AB)=P(A)P(B)=P(X=1)P(Y=1)P(X=1,Y=0)=P(A B )=P(A)P(B )=P(X=1)P(Y=0)P(X=0,Y=1)=P(A B)=P(A )P(B)=P(X=0)P(Y=1) P(X=0,Y=0)=P(B A )=P(A )P(B )=P(X=0)P(Y=0)故 X 与Y 相互独立.六、⎰⎰∞+∞-------∞+∞-==dx ee dx ee zf z x z x z xz 2222)2(42)(2221)(ππ令t=x-z/2, 得4442222212121)(z z tz Z e e dt e ez f --∞+∞---===⎰ππππ即 Z~N(0,2)七、 f X (x)=1,214111<=+⎰+-x dy xy ,0, 其它f Y (y)=1,214111<=+⎰+-y dx xy ,0, 其它因 f X (x)f Y (y) ≠ f(x, y),所以 X 与Y 不独立.。

2008年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出一项最符合题目要求的. (1) 设函数2sin(1)()1x f x x -=-,则 ( )(A) 1x =-为可去间断点,1x =为无穷间断点. (B) 1x =-为无穷间断点,1x =为可去间断点. (C) 1x =-和1x =均为可去间断点. (D) 1x =-和1x =均为无穷间断点.(2) 设函数()f x 可微,则(1)x y f e -=-的微分dy = ( )(A) (1)(1)x x e f e dx --'+-. (B) (1)(1)x x e f e dx --'--. (C) (1)x x e f e dx --'--.(D) (1)x x e f e dx --'-.(3) 设函数()f x 连续,2()()x F x f t dt =⎰,则()F x '= ( )(A) 2()f x -. (B) 2()f x . (C) 22()xf x -. (D) 22()xf x .(4) 设函数(,)f x y 连续,交换二次积分次序得1022(,)y dy f x y dx -=⎰⎰( )(A)122(,)x dx f x y dy +-⎰⎰.(B)0212(,)x dx f x y dy -+⎰⎰.(C)212(,)x dx f x y dy -⎰⎰.(D)20012(,)xdx f x y dy -⎰⎰.(5) 设123,,ααα为3维列向量,矩阵1232123(,,),(,2,)A B ααααααα==+ ,若行列式3A =,则行列式B = ( )(A) 6.(B) 3.(C) 3-. (D) 6-.(6) 已知向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组中线性无关的是 ( )(A) 1223312,2,αααααα++-. (B) 1223312,,2αααααα---. (C) 1223312,2,αααααα-+-. (D) 122331,2,2αααααα-++.(7) 设123,,A A A 为3个随机事件,下列结论中正确的是 ( )(A) 若123,,A A A 相互独立,则123,,A A A 两两独立. (B) 若123,,A A A 两两独立,则123,,A A A 相互独立.(C) 若123123()()()()P A A A P A P A P A =,则123,,A A A 相互独立. (D) 若1A 与2A 独立,2A 与3A 独立,则1A 与3A 独立.(8) 设随机变量X 服从参数为,n p 的二项分布,则 ( )(A) (21)2E X np -=.(B) (21)4E X np +=.(C) (21)2(1)D X np p -=-. (D) (21)4(1)D X np p +=-.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分. (9) 函数()2xf x e ex =--的极小值为______________. (10)2||2(1)x e x dx -+=⎰______________.(11) 曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)处的切线方程是______________. (12) 设22{(,)|1,0}D x y x y y x =+≤≤≤,则22x y De dxdy +=⎰⎰______________.(13) 设3阶矩阵A 的特征值为1,2,3,则行列式12A -=______________.(14) 设1234,,,X X X X 为来自正态总体(2,4)N 的简单随机样本,X 为其样本均值,则2()E X =______________.三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限21cos(sin )lim1x x x e →--.(16)(本题满分10分)计算不定积分.(17)(本题满分10分)求微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=满足初始条件1|0x y ==的特解.(18)(本题满分11分)证明：当0x >时,2(1)1x x e x -+>-.(19)(本题满分11分)设sin(2)xyz e y =+,求z x ∂∂,z y ∂∂及2zx y∂∂∂.(20)(本题满分9分)设3阶矩阵X 满足等式2AX B X =+,其中311012004A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,110102202B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求矩阵X .(21)(本题满分12分)对于线性方程组123123122,21,23.x x x x x ax x x b ++=⎧⎪++=-⎨⎪+=⎩讨论,a b 取何值时,方程组无解、有唯一解和无穷多解,并在方程组有无穷多解时,求出通解.(22)(本题满分11分)设随机变量X 的概率密度为,01,(),12,0,ax x f x b x <≤⎧⎪=<<⎨⎪⎩其他,且X 的数学期望1312EX =,(I) 求常数,a b ；XY 00.10.20 101- 20.30.10.3(II) 求X 的分布函数()F x .(23)(本题满分10分)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为(I) 分别求(,)X Y 关于,X Y 的边缘分布； (II) 求{2}P X Y +≤； (III) 求{0|0}P Y X ==.2008年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出一项最符合题目要求的. (1)【答案】(B) 【解析】函数2sin(1)()1x f x x -=-在点1x =±没有定义,而 21sin(1)lim1x x x →--=∞-,所以1x =-为无穷间断点；211sin(1)sin(1)1limlim 1(1)(1)2x x x x x x x →→--==--+,所以1x =为可去间断点.故选(B).(2)【答案】(D)【解析】(1)(1)(1)(1)x x x x x dy df e f e e dx f e e dx -----'''=-=--=-, 故选(D).(3)【答案】(C) 【解析】由于2()()x F x f t dt =⎰,则()222220()()()()()2()x x F x f t dt f t dt f x x xf x ''⎛⎫''==-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰⎰, 故选(C).(4)【答案】(A)【解析】积分区域D 如右图所示.由于{}(,)|01,220(,)|20,01,2D x y y y x x x y x y =≤≤-≤≤⎧⎫=-≤≤≤≤+⎨⎬⎩⎭ 所以,10012222(,)(,)x y dy f x y dx dx f x y dy +--=⎰⎰⎰⎰,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】根据行列式的性质,有2123213223123223,2,,2,,,2,,02,,2 6.B A αααααααααααααααα=+=+=-+=-=-=-故选(D).(6)【答案】(C)【解析】对于A 、B 、D 选项,由于122331(2)(2)()0αααααα+-++-=； 122331(2)2()(2)0αααααα-+-+-=； 122331()(2)(2)0αααααα-++-+=,根据线性相关的定义可知,A 、B 、D 选项中的向量组都是线性相关的.由排除法可得C 正确.事实上,可以根据定义证明选项C 正确.设 112223331(2)(2)()0k k k αααααα-+++-=, 整理得 131122233(2)()(2)0k k k k k k ααα-+-+++=.由于向量组123,,ααα线性无关,所以13122320,0,20,k k k k k k -=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩此线性方程组的系数矩阵201110021A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.由于 20122022110110401121021A -=-=-==≠-,所以方程组13122320,0,20,k k k k k k -=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩只有零解,即1230k k k ===.由线性无关的定义可知,向量组1223312,2,αααααα-+-线性无关. (7)【答案】(A)【解析】若123,,A A A 相互独立,由相互独立的定义可知,121223231313123123()()(),()()(),()()(),()()()(),P A A P A P A P A A P A P A P A A P A P A P A A A P A P A P A ====由此可得123,,A A A 两两独立,故(A)正确；对于选项(B),若123,,A A A 两两独立,则121223231313()()(),()()(),()()(),P A A P A P A P A A P A P A P A A P A P A === 但123123()()()()P A A A P A P A P A =不一定成立,即123,,A A A 不一定相互独立,(B)不正确；根据相互独立的定义可知,选项(C)显然不正确；对于选项(D),令事件2A =∅,则1A 与2A 独立,2A 与3A 独立,但1A 与3A 不一定独立.故选项(D)不正确. (8)【答案】(D)【解析】X 服从参数为,n p 的二项分布,则(),()(1)E X np D X np p ==-.由期望和方差的性质,可得(21)(2)(1)2()121;(21)(2)(1)2()121;(21)(2)4()4(1);(21)(2)4()4(1).E X E X E E X np E X E X E E X np D X D X D X np p D X D X D X np p -=-=-=-+=+=+=+-===-+===-故选项(D)正确,应选(D).二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分. (9)【答案】2-【解析】令()0x f x e e '=-=,可得1x =.()xf x e ''=,(1)0f e ''=>,根据极值的第二充分条件,可得1x =为函数()2xf x e ex =--的极小值点,极小值为(1)2f =-.(10)【答案】222e -【解析】22222||||||20222(1)2222x x x x x e x dx e dx xe dx e dx e e ---+=+===-⎰⎰⎰⎰.(11)【答案】1y x =+【解析】首先求(0,1)y '.方程sin()ln()xy y x x +-=两边对x 求导,得1cos()()(1)1xy y xy y y x''⋅++⋅-=-, 将0,1x y ==代入上式,得(0,1)1y '=,即切线的斜率为1,所以,切线方程为1y x =+. (12)【答案】(1)8e π-【解析】作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,则{}22(,)|1,0(,)|01,04D x y x y y x r r πθθ⎧⎫=+≤≤≤=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭,2222214011201(1).4288x y r Dr redxdy d e rdre dr e e πθπππ+=⋅=⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰(13)【答案】43【解析】由于A 的特征值为1,2,3,所以1236A =⨯⨯=,1131422863A A--==⨯=. (14)【答案】5【解析】由于1234,,,X X X X 为来自正态总体(2,4)N 的简单随机样本,所以()2,()4,1,2,3,4.i i E X D X i ===又由于22()()()E X D X E X =+,而442114411111()()()()1,44411()()()()2,44i i i i i i i i i i D X D X D X D X E X E X E X E X ============∑∑∑∑所以 222()()()125E X D X E X =+=+=.三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分) 【解析】 2200001cos(sin )1cos(sin )sin(sin )cos sin 1limlimlim lim 2221x x x x x x x x x x x x x e →→→→--====-.(16)(本题满分10分)【解析】令2,2t x t dx tdt ===2ln(1)2ln(1)2112ln(1)2(1)12ln(1)22ln(1)1).t dt tt t dt t t t dtt t t t t C C =+=+-+=+--+=+-+++=-⎰⎰⎰(17)(本题满分10分) 【解析】原方程可化为1x y y xe x-'-=,则 11.dx dx x xx x x y e e xe dx C x e dx C xe Cx ----⎡⎤⎰⎰⎡⎤=⋅+=+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 将10x y ==代入得1C e =,故所求特解为x x y xe e-=-.(18)(本题满分11分)【解析】设 2()(1)1x f x x e x -=++-,则 22()(12)1,()4x x f x x e f x xe --'''=-++=.当0x >时,()0f x ''>,则()f x '单调增加,故()(0)0,()f x f f x ''>=单调增加.于是()(0)0f x f >=,即2(1)1x x e x -+>-.(19)(本题满分11分) 【解析】cos(2)xy xy zye e y x∂=+∂, (2)cos(2)xy xy zxe e y y∂=++∂, 2cos(2)cos(2)sin(2)(2)[(1)cos(2)(2)sin(2)].xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy ze e y xye e y ye e y xe x ye xy e y y xe e y ∂=+++-+⋅+∂∂=++-++(20)(本题满分9分)【解析】由2AX B X =+,得(2)A E X B -=,其中E 为单位矩阵.1112012002A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭.因为220A E -=-≠,所以2A E -可逆,1(2)X A E B -=-.而13112(2)0111002A E -⎛⎫- ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则 1111(2)100101X A E B ---⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭.(21)(本题满分12分)【解析】解法1 方程组系数行列式111121230D a a ==--. 当0D ≠时,即1a ≠-时,由克莱姆法则知方程组有唯一解；当1a =-时,方程组的系数矩阵111121230A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,对方程组的增广矩阵施行初等行变换得11121112121101232300001B b b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. 当1b ≠时,()2,()3,()()r A r B r A r B ==≠,线性方程组无解； 当1b =时,()()23r A r B ==<,线性方程组有无穷多解,其通解为123533201x x k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其中k 为任意常数.解法2 方程组的系数矩阵11112230A a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,对方程组的增广矩阵施行初等行变换得1112111212101132300011B aa b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭.当1,1a b =-≠时,()2,()3,()()r A r B r A r B = =≠,线性方程组无解；当1,a b ≠-任意时,()()3r A r B ==,线性方程组有唯一解； 当1,1a b =-=时,()()23r A r B ==<,线性方程组有无穷多解,其通解为123533201x x k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其中k 为任意常数.(22)(本题满分11分)【解析】(I) 由()1f x dx +∞-∞=⎰知120112a axdx bdx b +=+=⎰⎰, 而由1312EX =知122013133212a b ax dx bxdx +=+=⎰⎰, 解得11,2a b ==. (II) 当0x ≤时,()()0xF x f t dt -∞==⎰；当01x <≤时,20()2x x F x tdt ==⎰； 当12x <≤时,1011()22x x F x tdt dt =+=⎰⎰； 当2x >时,()1F x =；即 20,0,,01,2(),12,21, 2.x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<≤⎪=⎨⎪<≤⎪⎪>⎩(23)(本题满分10分)【解析】(I)关于X 的边缘分布为 020.30.7XP ,关于Y 的边缘分布 1010.40.30.3Y P - .(II) {2}{0,1}{0,0}P X Y P X Y P X Y +≤===-+=={2,1}{2,0}P X Y P X Y +==-+== 0.10.20.30.10.7=+++=. 或 {2}1{2,1}10.30.7P X Y P X Y +≤=-===-=. (III) {0,0}0.22{0|0}{0}0.33P X Y P Y X P X ========.。

11 概率与统计一、选择题1．(福建5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（ C ）A.12125B.16125C.48125D.961252．（江西11）电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为（ C ）A．1180B．1288C．1360D．14803．9辽宁7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ C ）A．13B．12C．23D．344．(山东9) 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ B ）分数 5 4 3 2 1人数20 10 30 30 10A．3B．2105C．3 D．855．(重庆5)某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是( D )(A)简单随机抽样法(B)抽签法(C)随机数表法(D)分层抽样法6．(重庆9)从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为( B )(A)184(B)121(C)25(D)357．(陕西3 ) 某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ C ）A．30 B．25 C．20 D．15二、填空题1．（广东11）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)[)55,65,65,75,75,85,85,95，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是________.132．（宁夏16）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下： 甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： ① ； ② ． 参考答案：（1）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．（2）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）． （3）甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm ，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm ． （4）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．注：上面给出了四个结论．如果考生写出其他正确答案，同样给分． 3．（湖南12）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。

中国农业大学 2021 ~2022 学年春季学期概率论与数理统计（C ） 课程考试试题（B ）一、 填空 (每空3分, 共30分)1.设事件A 、B 、C 两两互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，P(C)=0.4则P{(A ∪B)-C}=( ) 。

2.已知5把钥匙中有一把能打开房门，因开门者忘记是哪把能打开门，于是逐把试开，求前三次能打开门的概率为（ ）。

3. 设()4,4~-U X ，则x 的方程022=--X Xx x 有实根的概率为（ ）4.掷一枚均匀的硬币，直到正、反面都出现过为止。

则所需掷币次数X 的分布律为 ( )。

5. 设随机变量X 存在数学期望和方差，已知73)(=X E ,5378)(2=X E ，利用切比雪夫不等式估计≥<<}9452{X P （ ）。

6. 随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-,0,0,0,2)(23x x e x x f x则32+=X Y 概率密度函数为（ ）。

7. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤=+-其他,00,0,2),()2(yx e y x f y x ，若),(y x F 是),(Y X 的联合分布函数，则=)1,1(F （ ）。

8. 设总体()n X X X N X ,,,,,~212 σμ为来自总体X 的样本,当μ未知时，假设2020:σσ=H ，则使用的拒绝域为（ ）。

9. 设随机变量()2.0,100~B X , ()3~P Y ，且X 与Y 相互独立。

则=)(XY D （ ）。

10. 设总体()n X X X N X ,,,,,~212 σμ为来自总体X 的样本, 则()=C 时，∑=-=ni i X X C 122)(ˆσ为2σ的无偏估计量,二、单项选择填空题(每题3分, 共15分)1．设二维随机向量()Y X ,的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他11),(22y x y x f π则X 与Y 为（ ）的随机变量..A 独立同分布 .B 独立不同分布 .C 不独立同分布 .D 不独立也不同分布2．下列结论中错误的是（ ）.A X ~N (μ,σ 2)，2σ已知，检验00:μμ=H ，统计量nX U /0σμ-=~N ( 0 ,1 ).B X ~N (μ,σ 2)，2σ未知，检验00:μμ=H ，统计量nS X T /0μ-=~t ( n-1 ).C X ~N (μ,σ 2)，μ已知，检验2020:σσ=H ，统计量2022)1(σχS n -=~)(2n χ.D X ~N (μ,σ 2)，μ未知，检验2020:σσ=H ，统计量2022)1(σχS n -=~)1(2-n χ3．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从泊松分布.又已知()3)(,2==Y E X E ，则=+2)(Y X E （ ）30.25.10.51.D C B A4．设随机变量()()()1,1~,3,0~,2,1~N Z N Y N X ，且Z Y X ,,相互独立，则=≤-+≤}7321{Z Y X P （ ） )1(.21)1(.21)1(.21.Φ+Φ-ΦD C B A6. 5、设总体2(,)XN μσ,其中2σ已知，则总体均值μ的置信区间长度l 与置信水平1α- 的关系是（ ）．（A ）当1α-缩小时，l 缩短； （B ）当1α-缩小时，l 增大； （C ）当1α-缩小时，l 不变； （D ）以上说法均错． 三、计算题1. (9分)某人共买了11只水果,其中有3只是二级品,8只是一级品.随机地将水果分给C B A 、、三人,各人分别得到4只、6只、1只. (1)求C 未拿到二级品的概率.(2)已知C 未拿到二级品,求B A ,均拿到二级品的概率. (3)求B A ,均拿到二级品而C 未拿到二级品的概率.2、(9分)随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=20204/102/)(x x x e x f x ， （１）求分布函数)(x F ； （２）求}2/31{≤<-X P 。

2008 – 2009学年第二学期《概率统计》试卷A_参考答案与评分标准课程代码 BB103001 考试方式 闭卷 考试时长 100 分钟考生须知：1、姓名、学号、专业班级均要填在密封线以内，否则试卷作废。

2、答题请在题后空白区域，在草稿纸上答题无效。

3、试卷上不准做任何标记，否则按作弊论处。

4、考试期间，试卷不准拆开，否则按作弊处理。

(注：不用计算器)一、选择题（每小题3分，共18分）1．设随机变量Y X ,相互独立，若()X E =5，()Y E =6，则()XY E = C ．()A 1； ()B 11； ()C30； ()D 35．2.在0H 为原假设，1H 为备择假设的假设检验中，若显著性水平为α， 则 C ．()00(|)A P H H α=接受成立； ()11(|)B P H H α=接受成立； ()10(|)C P H H α=接受成立； ()01(|)D P H H α=接受成立.3. 某人射击中靶的概率为0.75，若射击直到中靶为止，则射击次数为3 的 概率为 B ．()A 3(0.75)； ()B 20.75(0.25)；()C 20.25(0.75)； ()D 3(0.25)．4. 设12(,,,)n X X X 为总体~(0,1)X N 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则有 B ．()A~(0,1)X N ； ()B 2212(1)/~(1,1)ni i n X X F n =--∑；()C /~(1)X S t n -； ()D ~(0,1)nX N ．5. 设0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=，则有 A ．()A()()()P AB P A P B =；()BB A =；()C ()()()P AB P A P B ≠； ()D AB ≠Φ．6. 对总体),(~2σμN X 的均值μ作区间估计，得到置信度为95%的置信区间， 其意是指这个区间 D ．()A 平均含总体95%的值； ()B 平均含样本95%的值； ()C 有95%的机会含样本的值； ()D 有95%的机会含μ的值．二、填空题（每小题3分，共15分）(说明：本题结果可用分数表示)1. 若某车间生产的圆盘其直径在区间(,)a b 服从均匀分布, 则圆盘面积的 数学期望为 π(a 2 + b 2 + ab )/12 .2. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现 已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 3/4 .3. 设()3D X =，31Y X =+，则,X Y ρ= 1 .4. 掷硬币n 次，正面出现(0,1,,)k k n =次的概率为n k n C )21(．5. 设Y X ,独立同分布，且1,0,3/)1(}{=+==k k k X P ，则==}{Y X P 5/9 .三、计算题（12分）设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<-=其它,010),1()(x x Ax x f ，求：①常数A ；②X 的分布函数．解：①由1()(1)1f x dx Ax x dx +∞-∞=-=⎰⎰， ………………………………… 2分解得 6A =. ……………………………………………………………………… 1分 ② ⑴当0x ≤时，()0F x =； …………………………………………………… 2分⑵当01x <<时，0()6(1)xF x t t dt =-⎰2332x x =-； ………………… 4分⑶当1x ≥时，()1F x =， …………………………………………………… 2分 所以，X 的分布函数为23,0()32,011,1x F x x x x x ≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩. …………………………… 1分四、计算题（15分）设二维随机变量(,)X Y 的联合分布列(律)如下表，求：①),(Y X Cov ； ②Y X Z +=的分布列(律) . 解：①依题意可得随机变量X 的分布律如下，算得，137()12444E X =⨯+⨯=. ………………………………………………… 2分同理得随机变量X 的分布律如下，算得，355()01888E Y =⨯+⨯=. ………………………………………………… 2分1155()1011020214884E X Y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， …………………… 2分所以，),(Y X Cov 5755()()()44832E XY E X E Y =-=-⨯=. …………………… 2分②依题意可知，Z 所有可能取的值为1，2，3，{1}{1,0}1/4P Z P X Y =====，{2}{1,1}{2,0}01/81/8P Z P X Y P X Y ====+===+=，{3}{2,1}5/8P Z P X Y =====， …………………………………………… 5分所以，Y X Z +=的分布列(律)为…………………… 2分五、计算题（15分）设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为221,1(,)0,x y f x y π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它，①求随机变量,X Y 的边缘密度；②求,X Y 的相关系数XY ρ；③ 判定,X Y 是否相互独立.解：()(,)E X xf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰11xdx -=⎰1120π-==⎰, ……………………………………… 2分同理，()0E Y =. …………………………………………………………………… 2分 ()E XY (,)x y f x y d x d y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰1110xdx ydy π-==⎰, ……………… 2分由于(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-＝0，所以0XY ρ=. …………………… 2分11()(,)0,X x f x f x y dy +∞-∞-≤≤==⎪⎩⎰其它, ……………………… 3分同理，11()0,Y y f y -≤≤=⎪⎩其它, ……………………………… 3分因()()(,)X Y f x f y f x y ≠，故,X Y 不相互独立. …………………………… 1分六、参数估计题（15分）设X 服从参数为λ的泊松分布，①求λ的矩估计量；②求λ的极大似然估计量并判定其是否为无偏估计量．解：①设12(,,,)n X X X 为总体~()X P λ的一个样本， ……………… 1分则1A X =，1()m E X λ==，根据矩估计原则有11ˆmA =， 从而得 ˆX λ=. ……………………………………………………………………4分 ②设12(,,,)n x x x 为样本12(,,,)n X X X 的一组观测值， ……………… 1分则似然函数为111()(,,;)!!nxxn n L L x x ee x x λλλλλλ--==11!!nii x n n e x x λλ=∑-=，两边取对数得，11ln()()ln()ln(!)nni i i i L n x x λλ===-+-∑∑，对λ求导数，并使其等于0得，1ln()10ni i d L n x d λλ==-+=∑， ……………… 5分 解得λ的矩估计值为ˆx λ=， ………………………………………………………1分 从而得λ的矩估计量为ˆX λ=. ……………………………………………………1分 由于()()E E X λλ==，所以ˆX λ=为λ的无偏估计量． ……………………………………………………2分七、假设检验题（10分）某种导线，要求其电阻的标准差不得超过Ω005.0．今在生产的一批导线中选取样品9根，测得Ω=007.0s ．设总体服从正态分布，问在水平05.0=α下能否认为这批导线电阻的标准差显著偏大？(其中，02.19)9(,53.17)8(,92.16)9(,50.15)8(2025.02025.0205.0205.0====χχχχ)解：20:0.005(0.000025),H or σσ==21:0.005(0.000025)H or σσ>>. …………………………………… 2分选统计量)1(~)1(2222--=n S n χσχ ………………………………………… 2分查分位点，得拒绝域(15.0,)+∞………………………………………… 2分计算统计量的值22222(1)(91)0.0070.005n Sχσ--⨯==8490.324915.6825=⨯=⨯=, ………………………… 2分所以拒绝H，…………………………………………………………… 1分即认为这批导线电阻的标准差显著偏大．……………………………………… 1分（说明：原假设H错，不影响后续的选统计量、查分位点、计算统计量的值、统计推断的得分，但影响最后一步的得分。