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数列与不等式的综合问题是考查的热点和重点内容，近几年，高考关于数列与不等式的综合应用的命题趋势是：（1）以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇．（2）以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大．题型一 数列中的不等关系例1设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，104≥S ，155≤S ，则4a 的最大值是 . 点拨：数列与不等式的小题，主要是运用基本不等式、不等式的性质、线性规划等求范围或最值．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．因约束条件只有两个，本题也可用不等式的方法求解．解法1：由题意，11434102545152a d a d ⨯⎧+≥⎪⎪⎨⨯⎪+≤⎪⎩，即11461051015a d a d +≥⎧⎨+≤⎩，1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩，413a a d =+．建立平面直角坐标系1a od ，画出可行域1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩（图略），画出目标函数即直线413a a d =+，由图知，当直线413a a d =+过可行域内(1,1)点时截距最大，此时目标函数取最大值44a =．解法2：前面同解法1设111213(23)(2)a d a d a d λλ+=+++，由121221323λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得1213λλ=-⎧⎨=⎩，∴1113(23)3(2)a d a d a d +=-+++由不等式的性质得：1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩ 11(23)53(2)9a d a d -+≤-⎧⇒⎨+≤⎩ 11(23)3(2)4a d a d ⇒-+++≤，即4134a a d =+≤，4a 的最大值是4．解法3：前面同解法1， ⎪⎩⎪⎨⎧+-≤+=+-≥+=dd d a a d d d a a 3)23(3323531414 ∴d a d +≤≤+32354 ∴d d +≤+3235，即1≤d∴41334=+≤+≤d a ，4a 的最大值是4．易错点：一方面得出不等式组，之后不知如何运用；另一方面用线性规划求最值时，用错点的坐标．变式与引申1：（1）等比数列}{n a 的公比1>q ，第17项的平方等于第24项，求使nn a a a a a a 1112121+++>+++ 恒成立的正整数n 的取值范围． （2）（2011年浙江文科卷第19题）已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项为)(R a a ∈，且11a ，21a ，41a 成等比数列． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）对*N n ∈，试比较n a a a a 2322221...111++++与11a 的大小．题型二 数列、函数与不等式例2 已知函数),0(,12)(+∞∈++=x x x x f ，数列{}n x 满足*+∈=N n x f x n n ),(1，且11=x ．（1）设2-=n n x a ，证明：n n a a <+1；（2）设（1）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明22<n S ． 点拨：数列与不等式的证明问题常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法：一般是利用分析法分析，再利用综合法证明；(3)放缩法：利用迭代法、累加法、累乘法构建关系进行放缩.【解】（1）12)12(212211+--=-++=-=++n nn n n n x x x x x a 由条件知0>n x 故n n n n a x x a =-<--<+22)12(1 （2）由（1）的过程可知2)12(2)12(121--<--<-+n n n x x a 11)12(2)12(+-=--<<n n x ，n n S )12()12()12(2-++-+-< 22)12(112=---<. 易错点：不易找出放缩的方法，从而无法证明．放缩法可通过对分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的．变式与引申2： 已知数列}{n a 是首项41=a 的等比数列，其前n 项和为n S ，且423,,S S S 成等差数列。
数列是高中数学重要内容，是高考命题的热点.纵观近几年的高考试题,对等差和等比数列的概念、通项公式、性质、前n 项和公式,对增长率、分期付款等数列实际应用题多以客观题和中低档解答题为主，对数列与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何等相结合的综合题的考查多属于中高档题,甚至是压轴题,难度值一般控制在0.3~0.7之间.考试要求（1）数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.②了解数列是自变量为正整数的一类函数.（2）等差数列、等比数列① 理解等差数列、等比数列的概念.② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式. ③ 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. ④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.题型一 等差、等比数列的概念与性质例1．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a 、321a 、22a 成等差数列，求 91078a a a a ++;【点拨】依据等差中项的概念先求等比数列的公比，再利用等比数列的性质)(872109a a q a a +=+求值.【解】依题意可得：31212()22a a a ⨯=+，即3122a a a =+，则有21112a q a a q =+可得212q q =+，解得12q =12q = 所以89232910116778113221a a a q a q q q q a a a q a q q+++====++++【易错点】（1）等差数列与等比数列只有一字之差，部分同学经常出现审题不仔细的现象；（2）等差中项与等比中项的性质混淆，概念模糊不清；（3）对等差数列与等比数列的性质及公式的变式不熟悉，往往要先计算q d a ,,1等量，一旦计算量大一点，解题受阻.变式与引申1：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,0>d 83S S =. （1）求11S 的值;（2）当n S 为最小时，求n 的值. 题型二：数列的通项与求和例2．（2011年全国卷理科第17题）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式.（Ⅱ ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和.【点拨】（1）等比数列中，已知两条件可以算出两个基本量1,a q ,再进一步求通项.（2）分组求和、倒序相加、错位相减、裂项相消等是常用的求和方法，这里利用（1）的结论以及n n b a ,的关系求n b 的通项公式，根据裂项相消求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和 .【解】（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。
数列与不等式一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．一个凸n 边形内角的度数成等差数列，公差为5°，且最大角为160°，则n 的值为（ ） （A ）9 （B ）12 （C ）16 （D ）9或16 2．若函数f (x )=min{3+log 41x ,log 2x },其中min{p ,q }表示p ,q 两者中的较小者，则f (x )<2的解集为 （ ）A.（0，4）B.（0，+∞)C. (0,4)∪(4,+∞) D (41,+∞) 3．设数列{}n a 满足1223a a +=，点(,)n n P n a 对任意的*n N ∈，都有1(1,2)n n P P +=，则数列{}n a 的前n 项和n S 为（ ）A ．4()3n n -B ．3()4n n -C ．2()3n n -D ．1()2n n -4．已知各项都不为0的等差数列{}n a ，满足23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b 等于（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．如果不等式f (x )=ax 2-x -c >0的解集为{x |-2<x <1},那么函数y =f (-x )的大致图象是 （ ）6.已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1{}n a 的前5项和为（ ） A ．158或5 B ．3116或5 C ．3116D ．1587．若数列22331,2cos ,2cos ,2cos ,,θθθ前100项之和为0，则θ的值为（ ）A ．()3k k Z ππ±∈ B ．2()3k k Z ππ±∈ C ．22()3k k Z ππ±∈ D ．以上的答案均不对8．若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)49．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且有987S S S <=，则下列说法中不正确的是（ ）A ．910S S <B ．0d <C ．7S 与8S 均为n S 的最大值D ．80a =10．定义在实数集R 上的可导函数()y f x =满足(4)1f =，导函数'()y f x =的图象如右图所示，若两正数a ，b 满足(2)1f a b +<，则22b a ++的取值范围是（ ）A ．11(,)32B ．1(,)(3,)2-∞+∞C ．1(,3)2 D ．(,3]-∞-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分11．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝),3,2,1(1 =+n a an n ，则此数列的通项公式可归纳为______.12．已知y =有意义，且log a y x =在[2,)+∞上恒有||1y ≥，则a 的取值范围为 .13.（2009浙江文）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ， ， ，1612T T 成等比数列． 14．设{a n }是等比数列，公比q =S n 为{a n }的前n 项和.记*2117,.n nn n S S T n N a +-=∈设0n T 为数列{n T }的最大项，则0n = .15ax 的解集为A ，且{|02}A x x ⊆<<，则a 的取值范围是 .三，解答题：本大题共75分.其中(16)～(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤16．（本小题满分12分）实系数方程f (x )=x 2+ax +2b =0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求： （1）12--a b 的值域； （2）（a -1）2+(b -2)2的值域； （3）a+b -3的值域.17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1319a S =+=+（1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ； （2）设*()nn S b n N n=∈求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列.18．（本小题满分12分）已知函数()||f x x a =-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分12分） (2011山东文数)等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .20．（本小题满分13分）某企业2010年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年(2011年)起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n 21)万元（n 为正整数）． （1）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？21．（本小题满分14分）数列{a n }中，a 1=8，a 4=2且满足a n+2=2a n+1－a n ，(n ∈N *)(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n =｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a n ｜，求S n ； (3)设b n =)12(1n a n -(n ∈N *)，T n =b 1+b 2+……+b n (n ∈N *)，是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *均有T n ＞32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 专题三测试卷（答案）1【解析】设首项为160°，则公差为－5°，由多边形内角和定理知：0002(1)160(5)(2)180716902n n n n n n -+⨯-=-⨯⇒+-⨯=，∴n=9或n=-16（舍）.选A. 2．【答案】C【解析】f (x )=min{3+log 41x ,log 2x }=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<4 log 21340 log 22x x x x 分别解f (x )<2可得0<x <4或x >4,故应选C.3．【答案】A【解析】∵1111(1,)(,)(1,)(1,2)n n n n n n n n P P OP OP n a n a a a ++++=-=+-=-=，∴12n n a a +-=，∴{}n a 是公差为2的等差数列．由1223a a +=，得113a =-， ∴14(1)2()323n n S n n n n =-+-⨯=-选A4．【答案】D【解析】由23711220a a a -+=，得231172()0a a a +-=，即27740a a -=，∵0n a ≠，∴74a =．又∵数列{}n b 是等比数列，∴22687716b b b a ===．5．【答案】C【解析】由已知⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯-=+-2112112c a a ca，y =f (-x )=ax 2+x -c ,即y =-x 2+x +2,其图象为C. 6【答案】C ．【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质．显然q ≠1，所以291111)1(9363=⇒=+⇒--=--q q qq q q ，所以1{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和5511()31211612T -==-． 7．【答案】C ． 【解析】100229999100(2cos )112cos 2cos 2cos 02cos 1S θθθθθ-=++++==-2θ∴=，故选．C ． 8．【答案】C【解析】：本题考查了线性规划的知识.∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y x =与325x y +=的交点为最优解点，∴即为（1，1），当1,1x y ==时max 3z =9．【答案】A【解析】由987S S S <=可知，90a <，80a =，故等差数列的首项10a >，公差0d <，7S 与8S 均为n S 的最大值．而10910S S a =+，且10990a a d a =+<<，故必有910S S >．选A 10．【答案】C【解析】由题中图可知，当0x >时，'()0f x >，此时()f x 是增函数，由20a b +>， (2)1(4)f a b f +<=得24a b +<，即240a b +-<.在直角坐标平面aOb 内画出不等式组00240a b a b >⎧⎪>⎨⎪+-<⎩表示的平面区域将22b a ++视为该平面区域内的点(,)a b 与点(2,2)--连线的斜率， 结合图形不难得知22b a ++的取值范围是1(,3)2. 选C.二、填空题11． na n 1=12．由y =1a >，又当1a >时，log a y x =在[2,]+∞上恒有||1y ≥，由图象分析知12a <≤．故填(1,2]．13．解：对于等比数列，通过类比，有等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ，81248,T T T T ，1612T T 成等比数列． 14．【答案】4 【解析】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题.2n nnT==17]n+-.因为n8，当且仅当n=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时T n有最大值. 15．【答案】[)1,+∞1y=2y ax=，如右图，由题意知，22a≥，于是1a≥.三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤）16．解答：由题意知：f（0）>0,f（1）<0,f（2）>0⇒b>0,a+2b+1<0,a+b+2>0. 3分如图所示，A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0）.又由所求式的几何意义知，值域分别为（1）（41，1）； 6分（2）（8，17）； 9分（3）（-5，-4）. 12分17．解：（1）{}na的差为d，则13112339adS a d⎧=⎪=⎨=+=+⎪⎩………………3分所以(1)2(1)22na n n=+-=-2nS n n= (6)分（2）由（1）知nb n=用反证法，假设数列[]nb中存在三项,,r s tb b b(,,)r s t∈且互不相等成等比数列，则2s r tb b b=，………………8分即22(((s s r t==所以2()(20s rt s r t-+--则222()()020S rtr t r t r tS r t⎧-=⇒-⇒-=⇒=⎨--=⎩与r、s、t互要等，矛盾，所以数列给中任意三项都不要能成为行为等比数列………………12分18．解法一：（1）由()3f x≤得||3x a-≤，解得33a x a-≤≤+.又已知不等式()3f x≤的解集为{}15x x-≤≤，测3答图2测3答图1所以3135a a -=-⎧⎨+=⎩，，解得2a =.………………６分（2）当2a =时，()|2|f x x =-。
2021年高三数学《专题冲刺训练一数列与不等式》基础教案一、基础训练1. 设是等差数列的前项和，若，则 ．2.若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切恒成立，则实数的取值范围是 ．3.设等差数列的前n 项和为. 若，且，则正整数 ．4.设，且，则的最大值是_____．二、典型例题：例1. 在个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j（即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为，如排列21的逆序数，排列4321的逆序数.（Ⅰ）求、，并写出的表达式；（Ⅱ）令，证明，n =1,2,….例2. 已知函数．（1）设集合，，若，求实数的取值范围；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围．例3. 设正数数列的前项和为，且对任意的，是和的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）在集合，，且中，是否存在正整数，使得不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值；若不存在，请说明理由；例4.已知关于的不等式，其中.（1）当变化时，试求不等式的解集；（2）对于不等式的解集，若满足（其中为整数集）. 试探究集合能否为有限集？若能，求出使得集合中元素个数最少的的所有取值，并用列举法表示集合；若不能，请说明理由.三、学生作业班级 姓名 学号 等级1. 等比数列中，前项和为S 且S 则公比的值为 ．2. 若且则的最大值与最小值之和是____________．3. 在等差数列中，，则__________．4. 已知为为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点在直线上，则的最小值为 ．5.不等式在R 上的解集是，则实数的取值范围是 ．6. 为等差数列，，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列构成一个新的等差数列，求原数列的第12项是新数列的第_________项，新数列的第29项是原数列的第________项．7. 若关于的不等式（组）2272209(21)9n n x x ≤+-<+对任意恒成立，则所 有这样的解的集合是 ．8. 已知数列是以为公差的等差数列，是其前项和，若是数列中的唯一最大项，则数列的首项的取值范围是 ．9.若不等式对满足的所有都成立，求实数的取值范围．10.设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）令求数列的前项和．11. 已知2111111(*),().23n n n s n n f n s s n++=++++∈=- （1）比较的大小； （2）当时，不等式[][]22111()log (1)log 20m m f n m m ->--恒成立， 确定实数的范围．12. 已知数列和满足：,124,(1)(321),3n n n n n a a n b a n +=+-=--+ 其中为实数，为正整数． （Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；（Ⅱ）对于给定的实数，试求数列的前项和；（Ⅲ）设，是否存在实数，使得对任意正整数，都有成立? 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．。
