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第12章数的开方12.1平方根与立方根一、问题探究问题1 要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？问题2 已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长．二、探究归纳问题1解：设正方形纸片的边长为xcm，依题意有：x2＝25，求出满足x2＝25的x值，就可得正方形纸片的边长．因52＝25，(-5)2＝25，故满足x2＝25的x的值可以是5，也可以是－5，但正方形边长只能取正值．所以x＝5．答：正方形纸片的边长为5cm．这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25．问题2解：设圆的半径为R cm，依题意有：πR2=16π，即R2=16，求出满足R2＝16的R的值即可求出圆的半径．因42＝16，(－4)2＝16，故满足R2＝16的R的值为4或－4，但圆的半径只能取正值．所以数R＝4．答圆的半径为4cm．这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16．刚才具体的两个个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x2＝a，求x 的值．三、平方根和开平方1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根(square root)（也叫a 的二次方根）．例1 求100的平方根．解：因为102＝100，(-10)2＝100，除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－10，也可以说，100的平方根是±10.记住11~19的平方。
习题 (1) 144的平方根是什么？(2) 0的平方根是什么？(3)425的平方根是什么？ (4)－4有没有平方根？为什么？ （重点）平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.（2）根号里面的数（）（0≥a a ）必须大于等于0. （3）()()02≥=a a a . （4）⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 以上（2）（3）两个性质在解题过程中要注意字母a 的取值范围。
第十二章 数的开方错误！嵌入对象无效。
应知一、基本概念平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。
【注意】一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
【注意】①正数a 的算术平方根a 的双重非负性：⎩⎨⎧≥≥0a 0a②正数a 的平方根记作a ±立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或三次方根）【注意】①一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
②33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
无理数：无限不循环小数叫做无理数。
【注意】无理数归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等实数：有理数与无理数统称实数。
二、基本法则1. 实数大小比较法则：见第二章“有理数大小比较法则”(加入无理数即可)。
2. 实数运算法则：见第二章“有理数运算法则”(加入无理数即可)。
【注意】实数的大小比较和运算通常可取它们的近似值来进行。
● 应会1. 平方根、立方根的符号表示。
2. ⋯17131052、、、、在数轴上的表示方法。
3. 实数的大小比较和运算。
● 例题1. 把下列各数填入相应的括号内： ２，０，3，••21.0，1-π，1.0-，144，()013-，722，020********.0 属整数的有{ …}属无理数的有{ …}2. 81.0的平方根是 ，425的算术平方根是 ，610-的立方根是 。
3. 21-的相反数是（ ）A 、21+B 、12-C 、21--D 、12+- 4. 0.4的算术平方根是（ ）A 、0.2B 、±0.2C 、510D 、±5105. 在数轴上标出51+，写出画点的过程。
华师大版-数学-八年级上册--精品-12.1平方根与立方根教案12.1 平方根与立方根【教学目标】一、知识目标1.了解开平方、平方根、算术平方根和立方根的意义，了解平方根、算术平方根和立方根的表示方法．2．理解开平方与平方运算、开立方与立方运算是互为逆运算．3．会用平方、立方运算求已知数的平方根、立方根，会利用平方、立方运算验证一个数的平方根、立方棍、4.了解平方根、算术平方根和立方根的性质．5．会用什算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根．二、能力目标经历探索开方运算与乘方运算是互为逆运算的过程，学会利用转化的思想方法解决新问题；经历运用数学符号描述开方运算的过程，建立初步数学符号感，发展抽象思维能力三、情感态度目标通过创设问题情境，让学生体会到数学来源于社会生活实际，并为社会实践服务，认识到客观世界是一个对立的统一体．【重点难点】重点：求已知数的平方根难点：平方根与算术平方根的联系和区别。
疑点：利用平方运算解决简单问题。
【教学设想】教学思路：情境质疑-数学建模-解释应用-巩固提高。
【媒体平台】教具学具准备：多媒体，投影仪，计算器等。
【课时安排】3课时第1课时点与线段【本课目标】1、了解开平方、平方根和算术平方根的意义及其表示方法．2、理解平方运算与开平方运算是互逆运算的关系．3、会用平方运算求非负数的平方根与算术平方根，。
【教学过程】1、情境导入：教师利用多媒体播放幻灯片1（如图16-1-1所示）．问题：要剪出一块面积为25c扩的正方形纸片，纸片的边长应是多少？你能用方程表示这个问题吗？试试看．如果正方形的面积是21c扩，那么它的边长又是多少呢？2.课前热身根据上述提出的间题，请同学们作如下讨论：（1）这种运算（2x=25）是已知什么？求什么？（2）这种运算与平方运算之间存在怎样的关系？3、合作探究（1）整体感知数学来源于社会生活，并为社会生活服务，为了解决课本开始提出的问题，这节课我们开始学习一种新的运算---开平方运算。
第12章数的开方
要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少?
（ ）2
=25
§12.1 平方根与立方根
1. 平方根
本章导图中提出的问题，就是已知正方形的面积为25cm2，求这个正方形的
边长．
容易知道，这个正方形的边长是5cm ．
这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25．
概括
如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（square root ）．
在上述问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根．
又因为（－５）2＝５2＝２５，所以－５也是25的一个平方根．
这就是说，5与－５都是25的平方根．
根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根．
例1 求100的平方根．
解 因为102＝100， （－１０）2＝１００，除了10和－１０以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－１０，也可以说，100的平方根是±１０．
试一试
（1） 144的平方根是什么?
（2） 0的平方根是什么?
（3）254
的平方根是什么? （4） －４有没有平方根?为什么?
请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答．
概 括
一个正数如果有平方根数的范围从有理数扩充到实数以后（本章第２节），
每一个正实数必定有两个平方根．，那么必定有两个，它们互为相反数．显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到它的另一个平方根．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a，读作“根号a”；另
一个平方根是它的相反数，即－a．因此正数a的平方根可以记作±a．a称
为被开方数．
因为0的平方等于0，而其他任何数的平方都不等于0，所以0的平方根只有一个，就是0．通常也记作0＝0．
思考
负数有平方根吗?
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根．
在例1中，100的算术平方根是100＝10，100的平方根是±100＝±１０．例2将下列各数开平方：
（1）49；（2）1.69
解（1）因为72＝49，所以49＝7，因此49的平方根为±７；
（2）
练习
1. 说出下列各数的平方根：
（1） 64；（2） 0 25；（3） 49〖〗81．
3. 下列说法正确吗?为什么?如果不正确，那么请你写出正确答案．
（1） 0.09的平方根是0.3；
（2） 25＝±５．
2. 立方根
问题
现有一只体积为216cm3的正方体纸盒，它的棱长是多少?
思考
这个实际问题，在数学上可以提出怎样的一个计算问题?从这里可以抽象出一个什么数学概念?
概括
上面所提出的问题，实质上就是要找一个数，这个数的立方等于216．容易验证，63＝216，除6 以外，任何数的立方都不等于216，所以正方体的棱长应为6cm．
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（cube root）．
试一试
（1） 27的立方根是什么?
（2）－２７的立方根是什么?
（3） 0的立方根是什么?
请你自己也编三道求立方根的题目，并给出解答．
概 括
任何数（正数、负数或零）的立方根如果存在的话，必定只有一个．
数a 的立方根，记作3
a ，读作“三次根号a ”．a 称为被开方数，3称为根指数．求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
例4求下列各数的立方根：
（1）278
； （2） －125； （3） －0.008． 解（1） 因为（32）3，所以.322783=
（2） 因为（－5）3
＝－125，所以3125-＝－5．
（3） 。
练习
1. 求下列各数的立方根：
（1） 512；（2） －0.027；（3） －125
64．
习题12.1
1. 求下列各数的平方根：
（1） 81
16；（2） 0.36；（3） 324． 2. 求下列各数的立方根：
（1） 0.125；（2） －64
27；（3） 1728． 4. （1）10在哪两个整数之间?
（2） 3.1＜10＜3.2正确吗?
（3） 下列四个结论中，正确的是（）．
A. 3.15＜10＜3.16
B. 3.16＜10＜3.17
C. 3.17＜10＜3.18
D. 3.18＜10＜3.19
5. 在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为40.5cm 3，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.62cm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少?（不需要写出具体结果）
§12.2 实数与数轴
做一做
（1） 用计算器求32，；
（2） 利用平方关系验算所得的结果． 这里，用计算器求2，显示结果为 1.414213562，而再用计算器计算
1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2，只是接近于2．这就是说，我们求得的2的值，只是一个近似值． 用计算机计算2，你可能会大吃一惊：
2≈1.4142135622９26912…
在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说，2不是一个有理数． 那么，2是怎样的数呢?
我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数，例如，
41 ＝0.25， 3
2＝0.６＝0.666666666…， 7
1＝0.142857＝0.142857142857142857…． 2不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数． 类似地，35、圆周率π等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数． 无限不循环小数叫做无理数（irrational number ）．上面所提到的2、35、π等都是无理数．
有理数与无理数统称为实数（real number ）．
试一试 你能在数轴上找到表示2的点吗?
如图12.2.1，将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为2．
图12.2.1
图12.2..2
这就是说，边长为1的正方形的对角线长是2．利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示2的点，如图12.2.2所示．
概括
数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数，即它所表示的数，不是有理数，就是无理数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示．换句话说，实数与数轴上的点一一对应．
实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行．
在第2章学过的有关有理数的相反数和绝对值等概念、大小比较、运算法则以及运算律，对于实数也适用．
例1试估计3＋2与π的大小关系．
分析用计算器求得
3＋2≈3.14626437，
而π≈3.141592654，
这样，容易判断3＋2＞π．
练习
1. 判断下列说法是否正确：
（1）两个整数相除，如果不管添多少位小数，永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数；
（2）任意一个无理数的绝对值是正数．
3. 比较下列各组数中两个实数的大小：
（1） 23和32；（2）－7/2和－π/3．
小结
二、概括
1. 掌握平方根和算术平方根、立方根的意义是学习本章的关键．在研究时要抓住平方根（立方根）与平方（立方）之间的关系，例如，可以通过平方（立方）运算来寻求平方根（立方根），并可以用来验证开平方（开立方）的正确性．
2. 任意一个正实数有两个平方根，0的平方根是0，负实数没有平方根．而任意一个实数有且只有一个立方根，正数的立方根为正数，0的立方根是0，负数的立方根为负数．
3. 有理数与无理数统称为实数，实数与数轴上的点之间有着一一对应关系．
复习题
A 组
22， 5， －π/2， 0， －1.6
B 组
3. 观察下列各方格图中的带阴影的图形，如果它们都可以剪开，重新拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长各为多少?这些正方形一样大吗?（如果你有兴趣，可以试试如何剪拼成一个正方形）
（第3题）
4. 如果把棱长分别为2.15cm 、3.24cm 的两个正方体铁块熔化，制成一个大的正方体铁块，那么这个大正方体的棱长有多大?（用一个式子表示，并用计算器进行计算，最后结果保留2个有效数字）
C 组
5. 计算下列各题（必要时可使用计算器）：
（1） 211-；（2） 221111-；
（3） 222111111-；（4）222211111111
-． 仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律?你能解释这一规律吗?试继续写出三个类似的算式，并猜测下式的结果：。
