函数的最值与导数

导数与函数的最值关系解析与归纳函数在数学中是一个常见的概念，它描述了一种输入和输出之间的映射关系。

而导数则是函数在某一点上的变化率，能够揭示函数的增减性和极值情况。

本文将探讨导数与函数的最值关系，并对其进行分析和总结。

一、导数的定义和求解方法在研究导数和函数的最值关系之前，我们首先需要了解导数的定义和求解方法。

对于函数f(x)，在其某一点x处的导数可以通过极限的方法来求解，即：\[f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]其中，h表示自变量x的增量。

通过求解上述极限，我们可以得到函数f(x)在点x处的导数。

二、函数的最值与导数的关系函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

在研究函数的最值时，导数可以给我们一些重要的线索。

具体而言，我们可以通过以下定理来判断函数的最值情况：1. 极值第一定理若函数f(x)在点x处取得极值，且该点处的导数存在，则导数f'(x)等于零或不存在。

2. 极值第二定理若函数f(x)在点x处取得极值，且该点处的导数存在，则导数f'(x)从正变为负，或者从负变为正。

基于上述定理，我们可以通过求解导数为零的点或导数变号的区间，来确定函数的极值点。

三、应用举例接下来，我们通过几个具体的函数例子来说明导数与函数最值之间的关系。

1. 求解函数$f(x)=3x^2-4x+1$的极值点。

首先，我们需要求解导数$f'(x) = 6x - 4$。

令$f'(x)=0$，得到$x =\frac{2}{3}$。

所以，函数$f(x)$在$x = \frac{2}{3}$处可能取得极值。

其次，我们观察导数的变化情况。

当$x<\frac{2}{3}$时，导数$f'(x)<0$；当$x>\frac{2}{3}$时，导数$f'(x)>0$。

基于极值第二定理，我们可以判断$x = \frac{2}{3}$是函数$f(x)$的极小值点。

导数与函数的极值、最值1．函数的极值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．[提醒] (1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点； (2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值； (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系． 2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 3．极值与最值的区别与联系 (1)区别①当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点； ②极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．( )(2)导数为零的点不一定是极值点．( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大．( )(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√(教材习题改编)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A .导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点中，左侧图象在x 轴下方，右侧图象在x 轴上方的只有一个．所以f (x )在区间(a ，b )内有一个极小值点．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为( ) A ．e B ．1 C ．－1D ．－e解析：选C .函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)， 又y ′＝1x －1＝1－x x ，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0，1)时，y ′>0，函数单调递增； 当x ∈(1，e)时，y ′<0，函数单调递减． 当x ＝1时，函数取得最大值－1.已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝________．解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )＝0得x ＝±2，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2. 答案：2(教材习题改编)函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是________．解析：y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0， 又因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，解得x ＝π6， 则当x ∈⎣⎡⎫0，π6时，y ′＞0；当x ∈⎝⎛⎤π6，π2时，y ′＜0，故函数y ＝x ＋2cos x 在x ＝π6时取得最大值π6＋ 3. 答案：π6＋ 3函数的极值问题(高频考点)函数的极值是每年高考的热点，一般为中高档题，三种题型都有．高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度： (1)由图判断函数极值的情况； (2)已知函数解析式求极值； (3)已知函数极值求参数值或范围．[典例引领]角度一 由图判断函数极值的情况(优质试题·高考浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【解析】 原函数先减再增，再减再增，且x ＝0位于增区间内，故选D . 【答案】 D角度二 已知函数解析式求极值(优质试题·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)令g (x )＝f (x )－(ax －1)，求函数g (x )的极值．【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x ，则f (1)＝1，所以切点为(1，1)，又f ′(x )＝1x ＋1，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. (2)g (x )＝f (x )－(ax －1)＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1，则g ′(x )＝1x －ax ＋(1－a )＝－ax 2＋（1－a ）x ＋1x ，当a ≤0时，因为x ＞0，所以g ′(x )＞0.所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数，函数g (x )无极值点． 当a ＞0时，g ′(x )＝－ax 2＋（1－a ）x ＋1x＝－a （x －1a）（x ＋1）x ，令g ′(x )＝0得x ＝1a.所以当x ∈(0，1a )时，g ′(x )＞0；当x ∈(1a ，＋∞)时，g ′(x )＜0.因为g (x )在(0，1a )上是增函数，在(1a，＋∞)上是减函数．所以x ＝1a 时，g (x )有极大值g (1a )＝ln 1a －a 2×1a 2＋(1－a )·1a ＋1＝12a －ln a .综上，当a ≤0时，函数g (x )无极值；当a ＞0时，函数g (x )有极大值12a －ln a ，无极小值．角度三 已知函数极值求参数值或范围(优质试题·高考山东卷)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R .(1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值．求实数a 的取值范围． 【解】 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)． 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x .当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增； 当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增， x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，函数g (x )单调递减． 所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >0时，g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，12a ，单调减区间为⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．②当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 内单调递增， 可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a 时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，12a 内单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．③当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a >12时，0<12a <1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )在x ＝1处取得极大值，符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为a >12.(1)利用导数研究函数极值问题的一般流程(2)已知函数极值点或极值求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[提醒] 若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．[通关练习]1．(优质试题·高考全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3C ．5e －3D ．1解析：选A.因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1，令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1，选择A.2．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表．故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值． (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x(x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a ＞0时，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＞0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 故函数在x ＝1a处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数在定义域上无极值点，当a ＞0时，函数在x ＝1a 处有一个极大值点．函数的最值问题[典例引领](优质试题·高考浙江卷)已知函数f (x )＝(x －2x －1)e －x (x ≥12)．(1)求f (x )的导函数；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的取值范围． 【解】 (1)因为(x －2x －1)′＝1－12x －1，(e －x )′＝－e －x ，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x －1e－x(2)由f ′(x )＝（1－x ）（2x －1－2）e －x2x －1＝0，解得x ＝1或x ＝52.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：求函数f (x )在[a ，b ]上最值的方法(1)若函数在区间[a ，b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值； (2)若函数在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．[通关练习]1．函数f (x )＝x 22x ＋1在⎣⎡⎦⎤－13，1上的最小值与最大值的和为( ) A.13 B.23 C ．1D ．0解析：选A.f ′(x )＝2x （2x ＋1）－2x 2（2x ＋1）2＝2x （x ＋1）（2x ＋1）2，x ∈⎣⎡⎦⎤－13，1，当f ′(x )＝0时，x ＝0； 当f ′(x )<0时，－13≤x <0；当f ′(x )>0时，0<x ≤1.所以f (x )在⎣⎡⎭⎫－13，0上是减函数，在(0，1]上是增函数． 所以f (x )min ＝f (0)＝0. 又f ⎝⎛⎭⎫－13＝13，f (1)＝13. 所以f (x )的最大值与最小值的和为13.2．(优质试题·贵阳市检测)已知函数f (x )＝x －1x －ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在[1e ，e]上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)．解：(1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x－ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－x x 2，所以f ′(x )＞0⇒0＜x ＜1，f ′(x )＜0⇒x ＞1，所以f (x )＝1－1x －ln x 在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在[1e ，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，所以f (x )在[1e ，e]上的最大值为f (1)＝1－11－ln 1＝0.又f (1e )＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e ，且f (1e )＜f (e)．所以f (x )在[1e ，e]上的最小值为f (1e )＝2－e.所以f (x )在[1e，e]上的最大值为0，最小值为2－e.函数极值与最值的综合应用[典例引领](优质试题·福州市综合质量检测)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2－ax (a ∈R )． (1)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间；(2)求g (x )＝f (x )－2x 在区间[1，e]上的最小值h (a )． 【解】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋a x ，因为x ＝3是f (x )的极值点，所以f ′(3)＝18－3a ＋a 3＝0，解得a ＝9，所以f ′(x )＝2x 2－9x ＋9x ＝（2x －3）（x －3）x，所以当0＜x ＜32或x ＞3时，f ′(x )＞0；当32＜x ＜3时，f ′(x )＜0.所以x ＝3是f (x )的极小值点，所以f (x )的单调递增区间为(0，32)，(3，＋∞)，单调递减区间为(32，3)．(2)g ′(x )＝2x 2－ax ＋a x －2＝（2x －a ）（x －1）x.①当a2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1＜a 2＜e ，即2＜a ＜2e 时，g (x )在[1，a 2)上为减函数，在(a 2，e]上为增函数，h (a )＝g (a2)＝a ln a 2－14a 2－a ；③当a2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上为减函数，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ≤2a ln a 2－14a 2－a ，2＜a ＜2e.（1－e ）a ＋e 2－2e ，a ≥2e解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论． (3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．。

导数与函数的极值和最值一 函数极值的定义极大值：已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任意一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x <，()0f x '=，而且在0x x =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，则称函数()f x 在点0x 处取得极大值，并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点.极小值：已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任意一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x >，()0f x '=，而且在0x x =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，则称函数()f x 在点0x 处取得极小值，并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点.注：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是函数的极值点.二、求函数极值的步骤：（1）确定函数的定义域，求出导函数()f x '.（2）求方程()0f x '=的根.（3）根据极值的定义确定极大值和极小值.例 1求函数31()443f x x x =-+的极值.例2已知函数'()2(1)ln f x f x x =-，则()f x 的极大值为____例3 函数23()(1)2f x x =-+的极值点是____.三、极值与参数范围问题例4. 已知函数3211()32f x x x cx d =-++有极值，则实数c 的取值范围为______.例 5. 若函数21()ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围为_____.例6. 已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围为______.四、 函数最值（最大值和最小值）如何求函数在[,]a b 上的最值：（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值和端点值(),()f a f b .（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小值的一个是最小值.例7. 已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=______例8.已知()(ln )f x a x x =-，若函数图像在点(2,(2))f 处切线倾斜角为4π，且32'()[()]2m g x x x f x =++在区间(2,3)上总存在极值，则实数m 的取值范围为_____课后训练题1 .若函数322()f x x ax bx a =--+在1x =处取得极值10，则a =____，b =_____. 2已知函数()(sin cos )x f x e x x =-，若()(sin cos )x f x e x x =-，若02011x π≤≤，则()f x 各极大值和为_____.3.设函数3221()2313f x x ax a x =-+-+，求函数()f x 的极值.3 .已知函数43219()42f x x x x cx =+-+有三个极值点，则实数c 的取值范围为_____.(27,5)-4 .设2()ln(1)f x x a x =++有两个极值点，则实数a 的取值范围为_______1(0,)25.已知()ln f x ax x =+，(1,)x e ∈且()f x 存在极值，则实数a 的取值范围为_____.6.函数()ln f x x x =-在区间(]0,e 上的最大值为____7.已知函数2()(2)x f x x x e =-，[2,)x ∈-+∞，则()f x 的最小值为____.8. 已知()ln f x ax x =-，(]0,x e ∈，当a =____时，()f x 最小值为39. 已知函数3()(3)f x a x ax =--在[]1,1-的最小值为3-，则实数a 的取值范围为_____ 3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10. 若函数3212()33f x x x =+-在区间(,5)a a +上存在最小值，则实数a 的取值范围为______11.若函数()ln a f x x x x=++，若()f x 有最值，则实数a 的取值范围为____ ()0,+∞。

导数与函数的最值定理在微积分中，导数与函数的最值定理是一项重要的理论，它为我们研究函数的极值提供了重要的工具。

本文将介绍导数的基本概念以及函数的最值定理，并通过例子来说明它们的应用。

导数的概念首先，我们来了解导数的概念。

在数学中，导数描述了函数在某一点上的变化率。

设函数f(x)在点x处可导，那么f(x)在该点的导数可以表示为f'(x)，它的计算公式为：f'(x) = lim(h->0)[(f(x+h) - f(x))/h]其中，lim表示极限，h为无穷小量。

导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率，它的值可以为正、负或零。

导数的符号和大小还能反映出函数的单调性和曲线的变化趋势。

函数的最值定理函数的最值定理是导数的一个重要应用。

根据这一定理，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续并且可导，那么f(x)在这个区间上一定存在绝对最大值和最小值。

我们可以通过以下步骤来计算函数在[a, b]上的最值：1. 求出函数在区间内的导数f'(x)。

2. 计算导数f'(x)在区间内的所有临界点（即导数为零或不存在的点）和区间的端点处的函数值。

3. 比较求得的所有函数值，最大值即为函数在区间内的最大值，最小值即为函数在区间内的最小值。

例子分析为了更好地理解导数与函数最值定理，我们来看一个具体的例子。

考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2在区间[-1, 3]上的最值问题。

首先，计算函数的导数f'(x)。

对f(x)进行求导得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。

接下来，求出导数f'(x)为零的临界点。

令f'(x) = 0，解得x = 1。

这个临界点位于区间[-1, 3]内。

计算函数f(x)在临界点和区间端点的函数值。

我们有f(-1) = -5，f(1) = 0，f(3) = 10。

最后，比较求得的函数值，我们可以得出结论：在区间[-1, 3]上，函数f(x)的最大值为10，最小值为-5。

函数的最值与导数的教学设计教学设计：函数的最值与导数一、教学目标：1.理解函数的最值的概念和意义；2.掌握求解函数最值的方法；3.理解导数的概念和意义；4.掌握使用导数求解函数极值的方法。

二、教学准备：1.教师准备：教材、黑板、彩色粉笔、示意图；2.学生准备：课本、笔、纸。

三、教学过程：1.引入（10分钟）教师先在黑板上画一个函数的图像，然后进行以下提问：（1）你知道什么是函数的最值吗？可以举一个例子吗？（2）如何求解函数的最大值和最小值呢？引导学生回忆起求解函数极值时的方法。

2.探究函数的最值（15分钟）教师通过示意图和具体例子引导学生进行研究，步骤如下：（1）首先，给定一个函数的图像，让学生思考如何确定函数的最值。

（2）引导学生观察函数图像的上升和下降趋势，从而找到最大值和最小值对应的点。

（3）让学生根据所给示意图中的函数图像进行练习，求解函数的最值。

3.总结求解函数最值的方法（10分钟）让学生自己总结求解函数最值的方法，教师进行点评和补充，强调以下几点：（1）函数最值是指函数图像中的最高点和最低点沿y轴的坐标；（2）找到函数图像上升和下降的趋势，根据趋势确定最值对应的点；（3）通过观察函数图像的凹凸性，判断最值的位置。

4.引入导数的概念（15分钟）（1）教师先在黑板上写出函数的定义：y=f(x)。

（2）然后，引导学生思考如果函数在特定点处的斜率可以表示函数在该点的特性。

（3）通过几个具体例子，教师解释导数的概念和含义：导数描述了函数图像在特定点处的斜率或变化率。

5.导数与函数的极值（15分钟）（1）引导学生思考是否可以通过求导数的方法来确定函数的极值。

（2）教师给出一组函数的图像，并让学生通过观察导数的变化情况来确定函数的极值点。

（3）通过几个具体例子，教师讲解使用导数求解函数极值的方法：a.求导，找到导函数的零点，即函数的驻点；b.比较函数的驻点和定义域的端点，确定函数的最值。

6.总结导数求解函数极值的方法（10分钟）让学生自己总结导数求解函数极值的方法，教师进行点评和补充，强调以下几点：（1）导数可以用来判断函数在特定点的增减性，从而确定极值点；（2）导数为0的点称为驻点，驻点可能是函数的极值点；（3）比较驻点和定义域的端点，确定最值位置。

【高中数学】高中数学知识点：函数的最值与导数的关系函数的最大值和最小值：闭合区间[a，b]上的连续函数f（x）必须在[a，b]上具有最大值和最小值，这分别对应于区间上函数值的最大值和最小值。

利用导数求函数的最值步骤：（1）求（a，b）中F（x）的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。

用导数法计算最大值。

特别提醒：①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；② 如果只求最大值，也可以简化上述方法，因为[a，b]中函数FX的所有极值只能在F（x）的导数为零或不存在导数的点（以下称为可疑点）处获得，因此，只需找到这些可疑点，然后计算可疑点处F（x）的函数值，通过与区间结束时的函数值进行比较，即可得到最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。

生活中的优化问题：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，许多优化问题可以转化为寻找函数最大值的问题。

导数法是解决这类问题的有效工具用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：（1）在计算实际问题的最大（最小）值时，必须考虑实际问题的重要性，不符合实际重要性的值应四舍五入；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；（3）在解决函数关系优化问题时，我们不仅要注意函数关系的定义，还要注意函数关系的确定利用导数解决生活中的优化问题：（1）用导数解决实际问题的关键是建立适当的数学模型（函数关系、方程或不等式），并利用导数的知识和方法进行求解，主要转化为求最大值的问题，最后反馈到实际问题中(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，① 求（a，b）上函数y=f（x）的极值；②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）对于开区间（a，b）上定义的可微函数，如果只有一个极值点，则该极值点必须是最大值点。

导数与函数的极值与最值在微积分中，导数是描述函数局部变化率的工具，而函数的极值和最值则是函数在特定区间内取得的最大值和最小值。

导数与函数的极值与最值密切相关，通过导数的计算可以确定函数的极值和最值点的位置。

本文将探讨导数与函数的极值与最值之间的关系。

一、导数与函数的极值在微积分中，导数反映了函数在某一点的变化率。

对于函数f(x)，若存在导数f'(a)，则在点a处函数f(x)在该点的变化速率为f'(a)。

导数的正负决定了函数的增减性，即导数大于0表示函数在该点上升，导数小于0表示函数在该点下降。

函数的极值点即为函数在区间内的最值点，包括极大值和极小值。

在导数的帮助下，我们可以通过求解导数为零的点来确定函数的极值点。

根据费马定理，对于可导的函数f(x)，如果函数在某一点x=a处取得极值，且f'(a)存在，则f'(a)=0或f'(a)不存在。

为了确定函数的极值点，我们需要进行以下步骤：1. 求函数的导数f'(x)；2. 找到导数为零或不存在的点，即f'(x)=0或f'(x)不存在的点；3. 对求得的点进行二阶导数测试，判断其是极大值还是极小值。

二、导数与函数的最值除了极值点外，函数在特定区间内还可能有最大值和最小值。

与极值点不同，最值点可能出现在函数的端点或者函数在区间内的某个点上。

因此，函数的导数对于确定最值点的重要性较小。

对于区间[a, b]上的函数f(x)，要确定函数的最大值和最小值，可以按照以下步骤进行：1. 求函数在区间[a, b]内的导数f'(x)；2. 找到区间内的所有导数为零或不存在的点，即f'(x)=0或f'(x)不存在的点；3. 将导数为零或不存在的点与区间的端点进行比较，确定最大值和最小值。

需要注意的是，求得的极值和最值点可能存在于导数为0或不存在的点上，也可能出现在区间的端点上。

因此，在寻找最值点时，需要综合考虑这些情况。