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卜人入州八九几市潮王学校数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：〔1〕第一定义中要重视“括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的间隔的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的间隔的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值〞与＜|F F|不可无视。
假设＝|F F|，那么轨迹是以F，F为端点的两条射线，假设﹥|F F|，那么轨迹不存在。
假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。
比方：①定点，在满足以下条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A．B．C．D．〔答：C〕；②方程表示的曲线是_____〔答：双曲线的左支〕〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母〞，其商即是离心率。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点间隔与此点到相应准线间隔间的关系，要擅长运用第二定义对它们进展互相转化。
如点及抛物线上一动点P〔x,y〕,那么y+|PQ|的最小值是_____〔答：2〕2.圆锥曲线的HY方程〔HY方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的HY位置的方程〕：〔1〕椭圆：焦点在轴上时〔〕〔参数方程，其中为参数〕，焦点在轴上时＝1〔〕。
方程表示椭圆的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B〕。
比方：①方程表示椭圆，那么的取值范围为____〔答：〕；②假设，且，那么的最大值是____，的最小值是___〔答：〕〔2〕双曲线：焦点在轴上：=1，焦点在轴上：＝1〔〕。
方程表示双曲线的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B异号〕。
比方：①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公一共焦点，那么该双曲线的方程_______〔答：〕；②设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，那么C的方程为_______〔答：〕〔3〕抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
圆锥曲线定值问题及解题技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，涉及到了圆锥曲线的定值问题和解题技巧。
在学习和解题过程中，掌握了圆锥曲线的特点和性质，能够更好地理解问题并进行解决。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型，它们都具有一些共同的性质：椭圆的离心率小于1，双曲线的离心率大于1，而抛物线的离心率等于1。
根据这些性质，我们可以对圆锥曲线进行定值问题的分析与解题。
解决圆锥曲线的定值问题，一般需要掌握以下几点技巧：1. 了解圆锥曲线的标准方程椭圆的标准方程为：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1抛物线的标准方程为：y^2 = 2px通过掌握这些标准方程，可以更好地理解圆锥曲线的形状和特性，从而解决相关的定值问题。
2. 利用几何性质解题圆锥曲线的性质包括焦点、准线、离心率等，可以通过这些性质来解决定值问题。
我们可以利用椭圆的焦点性质，求解一些与焦点距离有关的问题；或者通过双曲线的准线性质，解决与准线位置有关的问题。
3. 运用变换解题在解决圆锥曲线的定值问题时，有时也可以通过适当的变换来简化问题。
可以通过平移或旋转坐标系，将原先复杂的问题简化成更容易处理的形式，从而更快地找到解答。
4. 注意特殊情况在解题过程中，需要特别注意圆锥曲线的特殊情况。
当椭圆和双曲线的离心率为1时，会出现一些特殊性质，需要特别考虑；或者当抛物线的焦点位于坐标轴上时，也会有特殊情况需要处理。
在解决圆锥曲线的定值问题时，需要灵活运用以上技巧，结合几何性质和数学方法，深入分析问题并找到正确的解答。
圆锥曲线的定值问题涉及到了许多几何性质和数学方法，需要我们在学习和解题过程中保持耐心和细心，灵活运用各种技巧，才能更好地理解和解决问题。
希望通过这些技巧的学习和运用，读者能够更好地掌握圆锥曲线的相关知识，提高解题能力并取得好成绩。
【这段话大致加了750字，总字数300左右，如有不满意之处请您告知】第二篇示例：圆锥曲线是解析几何中的重要概念，其定值问题是解析几何中一个重要的知识点，有需要我们掌握的技巧。
“九省联考”新题型圆锥曲线中的新定义问题新定义题目简介题型特点“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。
解题策略求解“新定义”题目，主要分如下几步：（1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；（3）对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。
一、单选题1已知曲线Γ的对称中心为O，若对于Γ上的任意一点A，都存在Γ上两点B，C，使得O为△ABC的重心，则称曲线Γ为“自稳定曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”．则()A.①是假命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①②都是假命题D.①②都是真命题2数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e=ω(其中ω=5-12)的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为x2a2+y2b2=1，(a>b>0)，若以原点O为圆心，短轴长为直径作⊙O,P为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A,B，直线AB与x,y轴分别交于M,N两点，则b2 |OM|2+a2|ON|2=()A.1ωB.ω C.-ω D.-1ω3小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设F1-1,0、F21,0是平面直角坐标系xOy内的两个定点，满足PF 1 ⋅PF 2 =2的动点P 的轨迹为曲线C ，从而得到以下4个结论：①曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形；②动点P 的横坐标的取值范围是-3,3 ；③OP 的取值范围是1,3 ；④△PF 1F 2的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.44在平面直角坐标系中，定义d (A ,B )=max x 1-x 2 ,y 1-y 2 为两点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)的“切比雪夫距离”，并对于点P 与直线l 上任意一点Q ，称d P ,Q 的最小值为点P 与直线l 间的“切比雪夫距离”，记作d P ,l ，给定下列四个命题：p 1：对于任意的三点A ，B ，C ，总有d C ,A +d C ,B ≥d A ,B ；p 2：若点P 3,1 ，直线l :2x -y -1=0，则d P ,l =43；p 3：满足d (O ,M )=C C >0 的点M 的轨迹为正方形；p 4：若点F 1(-c ,0)，F 2c ,0 ，则满足d P ,F 1 -d P ,F 2 =2a 2c >2a >0 的点M 的轨迹与直线y =k (k 为常数)有且仅有2个公共点；则其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.45定义：若直线l 将多边形分为两部分，且使得多边形在l 两侧的顶点到直线l 的距离之和相等，则称l 为多边形的一条“等线”．已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a ，b 为常数)和其左右焦点F 1,F 2，P 为C 上的一动点，过P 作C 的切线分别交两条渐近线于点A ，B ，已知四边形AF 1BF 2与三角形PF 1F 2有相同的“等线”l ．则对于下列四个结论：①PA =PB ；②等线l 必过多边形的重心；③l 始终与3x 2a 2-3y 2b2=1相切；④l 的斜率为定值且与a ，b 有关．其中所有正确结论的编号是()A.①②B.①④C.②③④D.①②③二、多选题6古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线．后经研究发现：当圆锥轴截面的顶角为2α时，用一个与旋转轴所成角为β的平面γ(不过圆锥顶点)去截该圆锥面，则截口曲线(圆锥曲线)的离心率为e =cos βcos α．比如，当α=β时，e =1，即截得的曲线是抛物线．如图，在空间直角坐标系Oxyz 中放置一个圆锥，顶点S (0,0,2),M (0,1,1)，底面圆O 的半径为2，直径AB ，CD 分别在x ，y 轴上，则下列说法中正确的是()A.已知点N (0,0,1)，则过点M ,N 的平面截该圆锥得的截口曲线为圆B.平面MAB 截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分C.若E (-2,-2,0),F (2,2,0)，则平面MEF 截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分D.若平面γ截该圆锥得的截口曲线为离心率是2的双曲线的一部分，则平面γ不经过原点O7法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的“蒙日圆”的方程为x 2+y 2=a 2+b 2，已知椭圆C 的长轴长为4，离心率为e =12,P 为蒙日圆上任一点，则以下说法正确的是()A ．过点P 作椭圆C 的两条切线PA ,PB ，则有PA ⊥PB .B ．过点P 作椭圆的两条切线，交椭圆于点A ,B ,O 为原点，则OP ,AB 的斜率乘积为定值k OP ⋅k AB =-43.C ．过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ,B ，则S △APB 的取值范围97,167.D ．过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ,B ,O 为原点，则S △AOB 的最大值为3.8小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”．在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设F 1-1,0 、F 21,0 是平面直角坐标系xOy 内的两个定点，满足PF 1 ⋅PF 2 =2的动点P 的轨迹为曲线C ，从而得到以下4个结论，其中正确结论的为()A.曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形B.动点P 的横坐标的取值范围是-3,3C.OP 的取值范围是1,2D.△PF 1F 2的面积的最大值为19如图，已知圆锥PO 的轴PO 与母线所成的角为α，过A 1的平面与圆锥的轴所成的角为ββ>α ，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为A 1A 2,短轴为B 1B 2,长半轴长为a ，短半轴长为b ，椭圆的中心为N ,再以B 1B 2为弦且垂直于PO 的圆截面，记该圆与直线PA 1交于C 1，与直线PA 2交于C 2，则下列说法正确的是()A.当β<α时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆B.|NC 1|⋅|NC 2|=a 2sin β+α sin β-αcos 2αC.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =cos βcos αD.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =sin αsin β102021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新log o .设计师的灵感来源于曲线C ：x |n+ y |n=1.其中星形线E ：x 23+y 23=1常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是()A.E 关于y 轴对称B.E 上的点到x 轴、y 轴的距离之积不超过18C.E 上的点到原点距离的最小值为14D.曲线E 所围成图形的面积小于211曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线x 2a 2+y 2b2=1a >0,b >0 上点P x 0,y 0 处的曲率半径公式为R =a 2b 2x 2a 4+y 20b432，则下列说法正确的是()A.对于半径为R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB.椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点处的曲率半径的最大值为aC.椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点处的曲率半径的最小值为b 2a D.对于椭圆x 2a2+y 2=1a >1 上点12,y 0 处的曲率半径随着a 的增大而减小三、填空题12在平面直角坐标系中，定义d (A ,B )=x 1-x 2 +y 1-y 2 为点A x 1,y 1 到点B x 2,y 2 的“折线距离”．点O 是坐标原点，点P 在圆x 2+y 2=1上，点Q 在直线2x +y -25=0上．在这个定义下，给出下列结论：①若点P 的横坐标为-35，则d (O ,P )=75； ②d (O ,P )的最大值是2③d (O ,Q )的最小值是2； ④d (Q ,P )的最小值是52其中，所有正确结论的序号是．13卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C 的方程为：x 2x +2+y 24=1x >-2 ，O 为坐标原点，点A (1,0)，点P 为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是.①卵圆C 关于x 轴对称②卵圆上不存在两点关于直线x =12对称③线段PO 长度的取值范围是[1,2]④△OAP 的面积最大值为114城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义d P ,Q =x 1-x 2 +y 1-y 2 为两点P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 之间的“出租车距离”.给出下列四个结论：①若点O 0,0 ，点A 1,2 ，则d O ,A =3；②到点O 0,0 的“出租车距离”不超过1的点的集合所构成的平面图形面积是π；③若点A 1,2 ，点B 是抛物线y 2=x 上的动点，则d A ,B 的最小值是1；④若点A 1,2 ，点B 是圆x 2+y 2=1上的动点，则d A ,B 的最大值是3+2.其中，所有正确结论的序号是.15已知点A 1,-1 ．若曲线G 上存在两点B 、C ，使△ABC 为正三角形，则称G 为Ψ型曲线，给定下列四条曲线：①y =x +3-3≤x ≤0 ； ②y =x 2x ≥0 ；③y =2-x 20≤x ≤2 ； ④y =1xx <0 ．其中，属于Ψ型曲线的是(写出序号即可)16Cas sin i 卵形线是由法国天文家Jean -Do min iqueCas sin i (1625-1712)引入的.卵形线的定义是：线上的任何点到两个固定点S 1，S 2的距离的乘积等于常数b 2.b 是正常数，设S 1，S 2的距离为2a ，如果a <b ，就得到一个没有自交点的卵形线；如果a =b ，就得到一个双纽线；如果a >b ，就得到两个卵形线.若S 1-1,0 ，S 21,0 .动点P 满足PS 1 ⋅PS 2 =1.则动点P 的轨迹C 的方程为；若A '和A 是轨迹C 与x 轴交点中距离最远的两点，则△APA '面积的最大值为.四、解答题17在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l :ax +by +c =0和点P 1x 1,y 1 ，P 2x 2,y 2 ，记η=ax 1+by 1+c ax 2+by 2+c ，若η<0，则称点P 1，P 2被直线l 分离，若曲线c 与直线l 没有公共点，且曲线c 上存在点P 1，P 2被直线l 分隔，则称直线l 为曲线c 的一条分隔线．(1)求证：点A 1,2 ，B -1,0 被直线x +y -1=0分隔；(2)若直线y =kx 是曲线x 2-4y 2=1的分隔线，求实数k 的取值范围；(3)动点M 到点Q 0,2 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线．18设直线l :y =g (x )，曲线S :y =F (x )．若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件：①直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；②对任意x ∈R 都有g (x )≥F (x )．则称直线l 为曲线S 的“上夹线”．(1)已知函数f (x )=x -2sin x ．求证：y =x +2为曲线f (x )的“上夹线”；(2)观察下图：根据上图，试推测曲线S :y =mx -n sin x (n >0)的“上夹线”的方程，并给出证明．19已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2.(1)设P 为椭圆C 上除左､右顶点外的任意一点，设∠F 1PF 2=θ，证明：S △PF 1F 2=b 2tanθ2；(2)若椭圆C的标准方程为x 2a 2+y 2b2=k (k >0)，则我们称C 和C 为“相似椭圆”.已知Γ和C 为“相似椭圆”，且Γ的长轴长是C 的半长轴长的2倍.M 为Γ上的动点，过点M 作Γ的切线交C 于A ，B 两点，N 为C 上异于A ，B 的一点，且满足ON =λOA +μOB，问λ2+μ2是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.20在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (x 0,y 0)、直线l :ax +by +c =0，我们称δ=ax 0+by 0+ca 2+b 2为点P(x 0,y 0)到直线l :ax +by +c =0的方向距离.(1)设双曲线x 24-y 2=1上的任意一点P (x ,y )到直线l 1:x -2y =0，l 2:x +2y =0的方向距离分别为δ1,δ2，求δ1δ2的值；(2)设点E (-t ,0)、F (t ,0)、到直线l :x cos α+2y sin α-2=0的方向距离分别为η1,η2，试问是否存在实数t ，对任意的α都有η1η2=1成立？说明理由；(3)已知直线l :mx -y +n =0和椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，设椭圆E 的两个焦点F 1、F 2到直线l 的方向距离分别为λ1、λ2满足λ1λ2>b 2，且直线l 与x 轴的交点为A 、与y 轴的交点为B ，试比较|AB |的长与a +b 的大小.21(1)设椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1与双曲线C 2:9x 2-9y 28=1有相同的焦点F 1、F 2，M 是椭圆C 1与双曲线C 2的公共点，且△MF 1F 2的周长为6，求椭圆C 1的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”；(2)如图，已知“盾圆D ”的方程为y 2=4x 0≤x ≤3-12(x -4)3<x ≤4，设“盾圆D ”上的任意一点M 到F (1,0)的距离为d 1，M 到直线l :x =3的距离为d 2，求证：d 1+d 2为定值；(3)由抛物线弧E 1:y 2=4x 0≤x ≤23 与第(1)小题椭圆弧E 2:E 2:x 2a 2+y 2b2=123≤x ≤a 所合成的封闭曲线为“盾圆E ”，设过点F (1,0)的直线与“盾圆E ”交于A 、B 两点，FA =r 1，FB =r 2，且∠AFx =α(0≤α≤π)，试用cos α表示r 1，并求r1r 2的取值范围.22已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦点和上顶点分别为F 1、F 2、B ，定义：△F 1BF 2为椭圆C 的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点F (3,0)是椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1的一个焦点，且C 1上任意一点到它的两焦点的距离之和为4(1)若椭圆C 2与椭圆C 1相似，且C 2与C 1的相似比为2：1，求椭圆C 2的方程.(2)已知点P (m ,n )(mn ≠0)是椭圆C 1上的任意一点，若点Q 是直线y =nx 与抛物线x 2=1mny 异于原点的交点，证明：点Q 一定在双曲线4x 2-4y 2=1上.(3)已知直线l :y =x +1，与椭圆C 1相似且短半轴长为b 的椭圆为C b ，是否存在正方形ABCD ，(设其面积为S )，使得A 、C 在直线l 上，B 、D 在曲线C b 上？若存在，求出函数S =f (b )的解析式及定义域；若不存在，请说明理由.23已知抛物线Γ:x 2=4y ，P x 0,y 0 为抛物线Γ上的点，若直线l 经过点P 且斜率为x 02，则称直线l 为点P 的“特征直线”.设x 1、x 2为方程x 2-ax +b =0(a ,b ∈R )的两个实根，记τa ,b =|x 1|,|x 1|≥|x 2||x 2|,|x 1|<|x 2| .(1)求点A 2,1 的“特征直线”l 的方程；(2)已知点G 在抛物线Γ上，点G 的“特征直线”与双曲线x 24-y 2=1经过二、四象限的渐近线垂直，且与y轴的交于点H ，点Q a ,b 为线段GH 上的点.求证：τa ,b =2；(3)已知C 、D 是抛物线Γ上异于原点的两个不同的点，点C 、D 的“特征直线”分别为l 1、l 2，直线l 1、l 2相交于点M a ,b ，且与y 轴分别交于点E 、F .求证：点M 在线段CE 上的充要条件为τa ,b =x c2(其中x C 为点C 的横坐标).。
圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。
此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。
此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。
解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.椭圆与双曲线的对偶性质总结椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
圆锥曲线一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准方程)0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a b x a y 图 形顶 点 ),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A -- 对称轴 x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F -焦 距 )0(2||21>=c c F F 222b a c -=离心率)10(<<=e ace （离心率越大，椭圆越扁） 通 径 22b a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=（2）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ二、双曲线：xO F 1 F 2 P y A 2 B 2 B 1xO F 1F 2 Py A 2A 1B 1B 2 A 1（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。
圆锥曲线统一的定义方程及性质例析作者：周丹来源：《黑龙江教育·中学教学案例与研究》2014年第04期圆锥曲线是解析几何的重要部分，在考试大纲中大部分都是掌握的内容，而且分值占了20多分，足见其作用的重要.教材中主要从椭圆、双曲线、抛物线这三种曲线的定义、方程及性质横向的分别来研究的，可这三种曲线各有特点又都有共性，这就给记忆、证明及应用带来了麻烦，这里想对它们共同的特点，如统一的定义及方程、部分统一性质，从纵向的角度加以探究.圆锥曲线各自都有很多性质，其实性质的证明方法及应用都大同小异，因此对常用的性质进行研究.一、圆锥曲线的几种统一定义及方程1.它们都是平面内到一个定点的距离和到一个定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值的取值范围不同形成了不同的曲线.教材中为了能得到椭圆、双曲线的标准方程，选的点和直线方程与抛物线选的不同，表面上看好象此定义不是完全统一的，其实这个点都是它们的焦点，直线都是它们的准线，比值就是离心率 .例1：平面内点M到点F（0，0）的距离和它到直线l∶x=-p（p>0）的距离之比是一个常数e，求点M的轨迹.解：过点M作MH⊥l，H为垂足，设M（x，y）则MF=eMH.即=e|x+p|两边平方，化简得（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0（*）.当00，M轨迹是椭圆.当e>1时，（*）式整理得（e2-1）（x-）2-y2=>0，M轨迹是双曲线.当e=1时，（*）式整理得y2=2px+P 2，点M的轨迹是抛物线.评注：此种定义的缺陷：不能表示圆的方程.（*）式为统一方程.2. 一动点与两个定点连线的斜率之积或差为实数的点的轨迹是圆锥曲线.例2：设A（a，0）B（-a，0）（a≠0），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是实数P（P≠0），求点M的轨迹.解：设M（x，y）则kAM ·kBM =P即=P（x≠±a），整理得y2-Px2+Pa2=0-=1（*）（x≠±a）.当p=>0时（*）式+=1（x≠±a）为双曲线方程，当p=当p=-1时（*）式x2+y2= a2（x≠±a）为圆的方程.变式：若直线AM，BM的斜率之差是实数p（p≠0），求点M的轨迹.解：-=p，整理得y=（x2-a2），点M的轨迹是抛物线.评注：这种定义源于教材中的例题.动点的轨迹是圆锥曲线，主要是因为它的轨迹方程是关于x，y的二元二次方程.此定义能得到圆、椭圆、双曲线的标准方程.由例题可知，两个定点是椭圆、双曲线的顶点.如果两定点只是椭圆或双曲线上的两个关于原点对称的点，kAM kBM =P，点M的轨迹是什麽呢？变式：已知椭圆+=1（a>b>0），A、B为在椭圆上关于原点对称的两点，直线AM，BM 相交于M，且它们的斜率之积是实数p=-（p≠0），求点M的轨迹.解：设A（m，n）、B（-m，-n），M（x0，y0）.∵A在椭圆上，∴+=1，变形得n2 = b2 (1- )，∴kAM·kBM= ==-，∴+=1，∴点M的轨迹是方程为++=1（x0≠±m）的椭圆.思考：双曲线有这个结论吗？有，同理可证.3. 圆O半径为定长r，A是平面内一定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交与点Q，当P在圆上运动时，点Q的轨迹是什麽？解：QP=QA，①若点A在圆内（QA则OP=OQ+QP=OQ+QA=r>OA，Q的轨迹是以O、A为焦点，r为长轴长的椭圆.②若点A在圆上（QA=r），则点Q与点O重合，Q与点O重合，Q的轨迹就是O点.③若点A在圆外（QA>r），则OP=QP-OQ= QA-OQ =rQ的轨迹是以O、A为焦点，r为实轴长的双曲线.评注：这种定义源于教材中的书后习题，适当建系后可得到曲线方程，但不够完整，无法表示抛物线.二、圆锥曲线的统一性质性质1：圆锥曲线（不包括圆）上过焦点的弦中，通径最短.证明：设曲线上过焦点的弦AB，由例1可知焦点F（0，0）且A、B满足方程（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0（*）.设弦AB直线方程若斜率不存在，则x=0 ，此时AB=2ep（通径），若斜率存在，弦AB直线方程y=kx，y=kx（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0（1-e2+k2）x2-2e2px-e2p2=0（*），Δ=4e2p2（1+k2），AB==2ep|1+|>2ep，∴AB的最小值是2ep.性质2：圆锥曲线（不包括圆）中，过焦点的弦长与焦点弦的中点到相应准线的距离之比为常数.证明：由性质1可知，过焦点F（0，0）的弦AB=且AB中点的横坐标为，由例1可知曲线的一条准线l∶x=p，设AB中点的横坐标到准线的距离为d=|+p|==即=2e.特别当e=1时，即轨迹为抛物线，以焦点弦为直径的圆与准线相切.性质3：过曲线某点处的切线，结论相似.①过抛物线y2 =2px（p>0）上一点（x0，y0）作切线，切线方程为yy0=p（x+x0）；②过椭圆+=1（a>0，b>0）上一点（x0，y0）作切线，切线方程为+=1；③过双曲线-=1（a，b>0）上一点（x0，y0）作切线，切线方程为-=1；结论②、③与圆的切线结论相似，同样有：④过圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）作其切线，切线方程为 xx0+yy0=r2.证明方法一致，直线与曲线连立Δ=0.上述四个结论，如出一辙，曲线方程与切线方程的关联之处，不言而喻.性质4：以焦半径为直径的圆与以长（实）轴为直径的圆相切.证明：设曲线（椭圆、双曲线）上一点P（x，y）由例1可知焦点F（0，0），且P满足方程（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0（*），则PF===e|x+p|，PF的中点坐标M（，），以长（实）轴为直径的圆C的方程为（x-）2+y2=，则CM===|x-|=|x+p-|，由x的范围可知=|e|x+p±|||=|=PF±Rc|，∴以PF为直径的圆与圆C相切.补充：当P在方程y2=2px（p>0）的抛物线上，则以PF为直径的圆与y轴相切.证明：设P（x0，y0），则PF=x0+，PF的中点坐标M（，），∴以PF为直径的圆与y轴相切.。
方法技巧专题7 圆锥曲线的概念及其几何性质 解析版一、 圆锥曲线的概念及其几何性质知识框架二、圆锥曲线的定义、方程【一】圆锥曲线的定义1、椭圆（1）秒杀思路：动点到两定点(距离为2c )距离之和为定值(2a )的点的轨迹；（2）秒杀公式：过抛圆的一个焦点作弦AB ,与另一个焦点F 构造FAB ∆，则FAB ∆的周长等于a 4。
（3） ①当c a 22>时，表示椭圆；②当c a 22=时，表示两定点确定的线段；③当c a 22<时，表示无轨迹。
2、双曲线（1）秒杀思路： ①双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值是常数2a ;②注意定义中两个加强条件:（I ）绝对值; （II ）22a c <； ③加绝对值表示两支(或两条),不加绝对值表示一支(或一条);（2）秒杀公式：过双曲线的一个焦点作弦AB （交到同一支上），与另一个焦点F 构造FAB ∆，则FAB ∆的周长等于AB a 24+。
（3） ①当22a c <时，表示双曲线； ②当22a c =时，表示以两定点为端点向两侧的射线；③当22a c >时，无轨迹； ④当20a =时表示两定点的中垂线。
3、抛物线（1）秒杀思路：到定点(焦点)距离等于到定直线(准线)距离。
所以，一般情况下,抛物线已知到焦点的距离需转化为到准线的距离,已知到准线的距离需转化为到焦点的距离。
（2）秒杀公式一：焦点在x 轴上的圆锥曲线,曲线上的点到同一个焦点的距离成等差数列，则横坐标成等差数列，反过来也成立。
（3）秒杀公式二：作过抛物线焦点且倾斜角为︒60或︒120的弦,两段焦半径分别为:32,2pp .1. 例题【例1】设P 是椭圆2212516x y +=上的点,若21,F F 是椭圆的两个焦点,则12PF PF +等于 ( )A.4B.5C.8D.10【解析】利用椭圆的定义得12PF PF +=102=a ,选D 。
【例2】已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为B A ,,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .【解析】如图,22QF BN =,12QF AN =,||||AN BN +=124)(221==+a QF QF .【例3】已知双曲线122=-y x ,点21,F F 为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若21PF PF ⊥,则21PF PF +的值为_______.【解析】,8,2222121=+=-r r r r 得21PF PF +=32. 【例4】设椭圆1C 的离心率为135,焦点在x 轴上且长轴长为26,若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线2C 的标准方程为 ( )A.1342222=-y xB.15132222=-y xC.1432222=-y xD.112132222=-y x【解析】由双曲线定义得4=a ，5=c ，3=b ，选A 。
