吉林省东北师范大学附属中学高考数学第二轮总复习阶段测试卷(第38周)文

2023届吉林省长春市东北师范大学附属中学高三第二次摸底考试数学试题一、选择题：（本题8小题，每小题5分，共计40分，在每小题中给出四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）“（kπ，0）（k∈Z）”是“函数f（x）＝tan x的对称中心”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知函数f（x）满足2f（x）+f（﹣x）＝3x2+2x+6，则（）A．f（x）的最小值为2B．∃x∈R，＜2C．f（x）的最大值为2D．∀x∈R，＞24．（5分）函数f（x）＝ln（x2﹣ax﹣3）在[2，+∞）单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a≤4B．a＜4C．a≤D．a＜5．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x+），现将y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）在[0，]的值域为（）A．[﹣1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣1，] 6．（5分）若tan（α﹣）＝，则sin2α的值为（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）已知a＝e0.1，b＝+1，c＝，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝﹣x2+2x（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程F（x）＝g（f（x））﹣m恰有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则3x1﹣x2+3x3的最大值为（）A．1+ln B．1+ln C．3﹣ln3D．3+ln3二.选择题：（本题4小题，每小题'5分，共计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错得0分，部分选对的得2分）（多选）9．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，且过点（0，），则下列正确的为（）A．f（x）在（0，）单调递减B．f（x）的一条对称轴为x＝C．f（|x|）的最小正周期为πD．把函数f（x）的图像向左平移个长度单位得到函数g（x）的解析式为g（x）＝cos （2x+）（多选）10．（5分）已知幂函数f（x）＝x a图像经过点（3，），则下列命题正确的有（）A．函数f（x）为增函数B．函数f（x）为偶函数C．若x＞1，则f（x）＞1D．若0＜x1＜x2，则＞f（）11．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到h（x）的图象，若对于任意的实数，h（ωx）都单调递增，则正数ω的最大值为（）A．3B．C．D．（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝x2lnx若＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．若x f（x1）＜x f（x2）B．x1+＜x2+C．＜0D．当＜x1＜x2时，＞三.填空题：（（本题4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）求值＝．14．（5分）已知函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数f（x）过点（4，2），设g（x）＝f（x）+f﹣1（x），则不等式g（2x﹣1）﹣g（4﹣x）＜0的解集是．15．（5分）在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，且＝，＝；AB 点O是线段MN上异于端点的一点，且满足λ+3+4＝（λ≠0），则λ＝．16．（5分）已知函数f（x）＝sin|x|﹣cos x，若关于x的方程f（x）＝m在（﹣，2π]上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是．四.解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．18．（12分）已知函数f（x）＝•（+），其中向量＝（sin x；﹣3cos x），＝（sin x，﹣cos x），＝（﹣cos x，sin x），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的解析式及对称中心和单调减区间．（Ⅱ）不等式|f（x）﹣m|＜3在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．19．（12分）已知f（x）＝x2﹣x+a sin x．（1）若在x＝π处的切线的斜率是π﹣2，求当λ≤f（x）在[0，+∞）恒成立时的λ的取值范围；（2）设g（x）＝f（x）﹣x2+2x﹣ln（x+1），当x∈（0，π）时g（x）有唯一零点，求a的取值范围．20．（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x（单位年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如表所示：使用年限x（单位：年）24568失效费y（单位：万元）34567（Ⅰ）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性的强弱；（已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|＜0.3，则认为y与x线性相关性较弱）（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．参考公式和数据：r＝＝，＝＝，＝﹣．21．（12分）已知f（x）＝．（1）求函数f（x）的值域；（2）若方程f（x）＝在[0，]上的所有实根按从小到大的顺序分别记为x1，x2，⋯，x n．求x1+2x2+2x3+⋯+2x n﹣1+x n的值．22．（12分）已知函数f（x）＝1+﹣ae x+，a≥．（1）当x+lnx＞0时，求证f（x）＜0；（2）求证：++⋯++＞ln（n∈N*）．2023届吉林省长春市东北师范大学附属中学高三第二次摸底考试数学试题参考答案与试题解析一、选择题：（本题8小题，每小题5分，共计40分，在每小题中给出四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|0＜x＜1}【分析】由于两个集合已知，故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可．【解答】解：A∩B＝{x|﹣2＜x＜1}∩{x|0＜x＜2}＝{x|0＜x＜1}．故选D．【点评】常用数轴图、函数图、解析几何中的图或文恩图来解决集合的交、并、补运算．2．（5分）“（kπ，0）（k∈Z）”是“函数f（x）＝tan x的对称中心”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：函数f（x）＝tan x的对称中心为（，0）（k∈Z），所以“（kπ，0）（k∈Z）”是“函数f（x）＝tan x的对称中心”的充分不必要条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3．（5分）已知函数f（x）满足2f（x）+f（﹣x）＝3x2+2x+6，则（）A．f（x）的最小值为2B．∃x∈R，＜2C．f（x）的最大值为2D．∀x∈R，＞2【分析】先求得f（x），然后结合二次函数的性质确定正确选项．【解答】解：因为2f（x）+f（﹣x）＝3x2+2x+6，（i），所以用﹣x代换x得：2f（﹣x）+f（x）＝3x2﹣2x+6，（ii），（i）×2﹣（ii）得：3f（x）＝3x2+6x+6，即f（x）＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，从而f（x）只有最小值，没有最大值，且最小值为1，＝＝2﹣＜2，＝＝2+＞2，故选：D．【点评】本题主要考查根据函数解析式求最值，属于中档题．4．（5分）函数f（x）＝ln（x2﹣ax﹣3）在[2，+∞）单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a≤4B．a＜4C．a≤D．a＜【分析】由复合函数的单调及对数函数的性质可得关于a的不等式组，即可求解．【解答】解：函数f（x）＝ln（x2﹣ax﹣3）在[2，+∞）单调递增，由复合函数的性质可得y＝x2﹣ax﹣3）在[2，+∞）单调递增，且函数值为正，所以，解得a＜．故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x+），现将y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）在[0，]的值域为（）A．[﹣1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣1，]【分析】首先利用三角函数的关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式为g （x）＝2sin（4x﹣），进一步利用函数的定义域求出函数的值域．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+），现将y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y＝2sin（2x﹣）的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）＝2sin（4x﹣）的图象；由于，故，故，故g（x）∈[﹣1，2]．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（5分）若tan（α﹣）＝，则sin2α的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】利用二倍角公式，即可解出．【解答】解：sin2α＝cos2（）＝＝＝﹣，故选：C．【点评】本题考查了三角函数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．7．（5分）已知a＝e0.1，b＝+1，c＝，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b【分析】直接利用构造函数的应用和函数的导数与函数的单调性的关系判断a、b、c的大小关系．【解答】解：设函数f（x）＝e x﹣x﹣1（x＞0），则f′（x）＝e x﹣1，当x＝0时，f′（0）＝0，故函数在（0，+∞）上单调递增，即f（x）＞f（0）＝0，即e x＞x+1，故e0.2＞1.2，进一步整理得，所以a＞c；设g（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），所以，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，故函数g（x）在（0，1）上单调递增，所以g（x）≤g（1）＝0；所以lnx≤x﹣1，故，即，故，即，故b≤c，综上所述：a＞c＞b．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：构造函数，函数的导数和函数的单调性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝﹣x2+2x（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程F（x）＝g（f（x））﹣m恰有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则3x1﹣x2+3x3的最大值为（）A．1+ln B．1+ln C．3﹣ln3D．3+ln3【分析】作出f（x）的图象，然后对F（x）＝0中的f（x）换元，结合f（x）的图象以及题意，找到三个不同的零点x1，x2，x3之间的关系，最终将3x1﹣x2+3x3表示为x2的函数，利用导数求其最大值即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象：令f（x）＝t，则方程F（x）＝g（f（x））﹣m恰有三个不同的零点，只需g（t）＝﹣t2+2t ﹣m＝0有两个实数根t1，t2，且t1∈（0，1]，t2∈（1，+∞），t1+t2＝2，故结合f（x）图象可知，＝t1，3x3＝t2，所以3x1＝ln3x2，3x3＝2﹣3x2，所以3x1﹣x2+3x3＝ln3x2﹣x2+2﹣3x2＝ln3x2﹣4x2+2，x2＞1，令h（x）＝ln3x﹣4x+2，x＞1，则，显然该函数递减，令h′（x）＝0，得x＝是h（x）的极大值点，也是h（x）的最大值点，故h（x）max＝h（）＝，即3x1﹣x2+3x3的最大值为．故选：A．【点评】本题考查函数的零点与方程的根、函数图象间的关系，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．二.选择题：（本题4小题，每小题'5分，共计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错得0分，部分选对的得2分）（多选）9．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，且过点（0，），则下列正确的为（）A．f（x）在（0，）单调递减B．f（x）的一条对称轴为x＝C．f（|x|）的最小正周期为πD．把函数f（x）的图像向左平移个长度单位得到函数g（x）的解析式为g（x）＝cos （2x+）【分析】首先利用关系式的变换和函数的最小正周期以及函数所经过的定点求出函数的解析式，进一步利用函数的性质和函数的图像的平移变换的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）＝，由于函数的最小正周期为π，所以ω＝2，故f（x）＝；由于函数的图象经过点（0，），且|φ|≤，所以：φ＝；故f（x）＝＝．对于A：函数在时，2x∈（0，π），故函数在该区间上单调递减，故A正确；对于B：当x＝时，f（）＝0，故B错误；对于C：f（|x|）＝＝cos2x，故函数的最小正周期为π，故C正确；对于D：函数的图像向左平移个长度单位得到函数g（x）的解析式为g（x）＝cos （2x+），故D错误．故选：AC．【点评】本题考查的知识要点：函数的解析式的确定，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．（多选）10．（5分）已知幂函数f（x）＝x a图像经过点（3，），则下列命题正确的有（）A．函数f（x）为增函数B．函数f（x）为偶函数C．若x＞1，则f（x）＞1D．若0＜x1＜x2，则＞f（）【分析】由已知求出幂函数的解析式，即可判断出函数的单调性以及奇偶性，由此即可判断选项A，B，C，画出图象，进而判断出D的正误．【解答】解：∵幂函数f（x）＝x a图像经过点（3，），∴＝3a，解得a＝﹣2，∴f（x）＝x﹣2＝，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，为偶函数，x＜1时，f（x）＜f（1）＝1．可知：A不正确，B正确，C正确．画出图象，可知：0＜x1＜x2，则＞f（），因此D正确．故选：BCD．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到h（x）的图象，若对于任意的实数，h（ωx）都单调递增，则正数ω的最大值为（）A．3B．C．D．【分析】首先利用三角函数关系式的变换，平移变换和伸缩变换的应用求出函数h（x）的关系式进一步利用整体思想的应用和余弦函数的性质求出结果．【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度，得到y＝+，向下平移个单位长度后，得到h（x）＝的图象，所以h（ωx）＝ωx+），令2kπ﹣π≤4ωx+（k∈Z），解得（k∈Z），由于对于任意的实数，h（ωx）都单调递增，所以：（k∈Z），所以，解得，当k＝1时，ω．故ω的最大值为．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝x2lnx若＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．若x f（x1）＜x f（x2）B．x1+＜x2+C．＜0D．当＜x1＜x2时，＞【分析】对于A：令F（x）＝＝＝lnx，求导分析单调性，即可判断A是否正确；对于B：令G（x）＝x+＝x+xlnx，求导分析单调性，即可判断B是否正确；对于C：求导分析f（x）的单调性，即可判断C是否正确；对于D：由上可知x1f（x1）+x1f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1f（x1）+x1f（x2）﹣x2f（x1）﹣x2f （x2）＝（x1﹣x2）（f（x1）+f（x2）），即可判断D是否正确．【解答】解：对于A：令F（x）＝＝＝lnx，所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，因为＜x1＜x2，所以F（x1）＜F（x2），所以＜，所以x22f（x1）＜x12f（x2），故A正确；对于B：令G（x）＝x+＝x+xlnx，G′（x）＝1+x•+lnx＝2+lnx，令G′（x）＝0，得x＝，所以在（0，）上，G′（x）＜0，G（x）单调递减，在（，+∞）上，G′（x）＞0，G（x）单调递增，因为＜x1＜x2，所以G（x1）＜G（x2），所以x1+＜x2+，故B正确；对于C：f′（x）＝2xlnx+x2•＝2xlnx+x＝x（2lnx+1），令f′（x）＝0，得x＝，所以在（0，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因为＜x1＜x2，所以f（x1）＜f（x2），所以＞0，故C正确；对于D：x1f（x1）+x1f（x2）﹣2x2f（x1）＝x1f（x1）+x1f（x2）﹣x2f（x1）﹣x2f（x1）＞x1f（x1）+x1f（x2）﹣x2f（x1）﹣x2f（x2）＝（x1﹣x2）f（x1）+（x1﹣x2）f（x2）＝（x1﹣x2）（f（x1）+f（x2）），由上可知当当＜x1＜x2时，﹣＜f（）＜f（x1）＜f（x2），所以f（x1）+f（x2）符号无法确定，故D错误，故选：ABC．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．三.填空题：（（本题4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）求值＝．【分析】将正切化成正弦与余弦的比，再利用二倍角公式，即可解出．【解答】解：原式＝＝＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数f（x）过点（4，2），设g（x）＝f（x）+f﹣1（x），则不等式g（2x﹣1）﹣g（4﹣x）＜0的解集是[]．【分析】根据反函数的定义得出f（x）的图象过点（2，4），由此即可求出a的值，再根据反函数的定义即可求出g（x）的解析式，由此得出函数的单调性，然后根据单调性建立不等式组，由此即可求解．【解答】解：因为函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数f（x）过点（4，2），所以函数f（x）的图象过点（2，4），即a2＝4，解得a＝2或﹣2（舍去），所以f（x）＝2x，则f﹣1（x）＝log2x，所以g（x）＝2x+log2x，且函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以不等式g（2x﹣1）﹣g（4﹣x）＜0转化为：，解得，所以不等式的解集为[]，故答案为：[]．【点评】本题考查了反函数的定义的应用，涉及到求解函数不等式，属于中档题．15．（5分）在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，且＝，＝；AB 点O是线段MN上异于端点的一点，且满足λ+3+4＝（λ≠0），则λ＝8．【分析】将等式中的向量都用，，来表示，最后利用M，O，N三点共线列出λ满足的方程求解．【解答】解：M，N分别是边AB，AC上的点，且＝，＝，＝﹣＝﹣，＝﹣＝3﹣，代入λ+3+4＝（λ≠0），得λ+3（3﹣）+4（﹣）＝，整理得＝+，因为M，O，N三点共线，故+＝1，解得λ＝8．故答案为：8．【点评】本题考查平面向量的线性运算以及三点共线的条件，属中档题．16．（5分）已知函数f（x）＝sin|x|﹣cos x，若关于x的方程f（x）＝m在（﹣，2π]上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是[﹣，0]．【分析】易知该函数是偶函数，然后画出x＞0时，f（x）的图象，再结合对称性得到整个函数图象，将问题转化为y＝m与y＝f（x）的交点问题求解．【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|﹣cos（﹣x）＝sin|x|cos x＝f（x），故函数f（x）是偶函数，当x≥0时，＝，画出f（x）的图象如图：当y＝m与y＝f（x）产生三个不同交点时，f（x）＝m在（﹣，2π]上有三个不同实根，故只需即可．故答案为：[﹣，0]．【点评】本题考查了函数的零点与函数图象之间的关系，属于中档题．四.解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用等比中项和等差数列的通项公式，即可求解；（Ⅱ）利用裂项相消求和即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，所以，即，解得a1＝1，所以{a n}的通项公式为a n＝n；（Ⅱ）∵＝＝﹣，∴T n＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣＝．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和裂项相消求和，属于中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝•（+），其中向量＝（sin x；﹣3cos x），＝（sin x，﹣cos x），＝（﹣cos x，sin x），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的解析式及对称中心和单调减区间．（Ⅱ）不等式|f（x）﹣m|＜3在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）先根据向量的数量积的坐标运算，三角函数公式化简f（x）的解析式，再根据三角函数的性质即可求解；（Ⅱ）先求出f（x）在[，]上的值域，再将恒成立问题转化为最值，从而建立不等式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝•（+）＝（sin x，﹣cos x）•（sin x﹣cos x，sin x﹣3cos x）＝sin2x﹣sin x cos x﹣sin x cos x+3cos2x＝1﹣2sin x cos x+2cos2x＝cos2x﹣sin2x+2＝cos（2x+）+2，令2x+＝，可得x＝，k∈Z，∴f（x）的对称中心为（，2），k∈Z，令2kπ≤2x+≤2kπ+π，解得，k∈Z，∴f（x）的单调减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）∵x∈[，]，，∴cos（2x+）∈[﹣1，0]，∴cos（2x+）∈[﹣，0]，∴f（x）∈[2﹣，2]，又根据题意可得：∀x∈[，]，﹣3＜f（x）﹣m＜3，∴∀x∈[，]，m﹣3＜f（x）＜m+3，∴，解得﹣，∴实数m的取值范围为（﹣1，）．【点评】本题考查向量的数量积的坐标运算，三角函数公式，三角函数的性质，恒成立问题，属中档题．19．（12分）已知f（x）＝x2﹣x+a sin x．（1）若在x＝π处的切线的斜率是π﹣2，求当λ≤f（x）在[0，+∞）恒成立时的λ的取值范围；（2）设g（x）＝f（x）﹣x2+2x﹣ln（x+1），当x∈（0，π）时g（x）有唯一零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导得f′（x）＝x﹣1+a cos x，则k切＝f′（π）＝π﹣1﹣a，解得a，分析f（x）的单调性，进而只需λ≤f（x）min，即可得出答案．（2）根据题意可得g（x）＝x+a sin x﹣ln（x+1），求导得g′（x）＝1+a cos x﹣，分两种情况：当a≥0时，当a＜0时，分析g（x）的单调性，最值，即可得出答案．【解答】解：（1）f′（x）＝x﹣1+a cos x，所以k切＝f′（π）＝π﹣1+a cosπ＝π﹣1﹣a，因为在x＝π处的切线的斜率是π﹣2，所以π﹣1﹣a＝π﹣2，所以a＝1，所以f（x）＝x2﹣x+sin x，f′（x）＝x﹣1+cos x，令μ（x）＝x﹣1+cos x，μ′（x）＝1﹣sin x≥0，所以μ（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＞0时，μ（x）＞μ（0）＝0，所以f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上的单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，若当λ≤f（x）在[0，+∞）恒成立，则λ≤f（x）min，所以λ≤0，所以λ的取值范围为（﹣∞，0]．（2）g（x）＝f（x）﹣x2+2x﹣ln（x+1）＝x2﹣x+a sin x﹣x2+2x﹣ln（x+1）＝x+a sin x ﹣ln（x+1），g′（x）＝1+a cos x﹣，当a≥0时，由x∈（0，π）得g（x）≥x﹣ln（x+1），令h（x）＝x﹣ln（x+1），h′（x）＝1﹣＝，所以当x∈（0，π）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）＞h（0）＝0，所以g（x）＞0在（0，π）上恒成立，所以g（x）在（0，π）上无零点，不满足题意，当a＜0时，g′（x）在（0，π）上单调递增，g′（0）＜0，g′（π）＝1﹣a﹣＞0，所以存在x0∈（0，π）使得g′（x0）＝0，所以在（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在（x0，π）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（0）＝0，g（π）＝π﹣ln（π+1）＞0，所以存在唯一的t∈（x0，π），使得g（t）＝0，满足题意，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，0）．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．20．（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x（单位年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如表所示：使用年限x（单位：年）24568失效费y（单位：万元）34567（Ⅰ）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性的强弱；（已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|＜0.3，则认为y与x线性相关性较弱）（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．参考公式和数据：r＝＝，＝＝，＝﹣．【分析】（Ⅰ）根据相关系数公式，分别求出变量的均值及和值，代入公式求得相关系数，并判断相关性强弱即可；（Ⅱ）根据第一问求得的值，结合线性回归方程求解公式求得参数，写出回归方程，并预测10年的失效费即可．【解答】解：（Ⅰ）由表知，，，，，故0.75＜r＜1，认为y与x线性相关性很强；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，故y关于x的线性回归方程为y＝0.7x+1.5，当x＝10时，y＝0.7×10+1.5＝8.5，即10年的失效费用为8.5万元．【点评】本题利用相关性计算公式及回归方程参数求解公式求解参数及估算预测值，属于中档题．21．（12分）已知f（x）＝．（1）求函数f（x）的值域；（2）若方程f（x）＝在[0，]上的所有实根按从小到大的顺序分别记为x1，x2，⋯，x n．求x1+2x2+2x3+⋯+2x n﹣1+x n的值．【分析】（1）函数的解析式化简，换元，由均值不等式的性质可得函数的最小值；（2）利用sin（x+）对称性，周期性计算可求解．【解答】解：（1）f（x）＝＝＝，设t＝sin x+cos x，x∈R，t＝sin（x+），t∈[﹣，]，则g（t）＝＝＝（t+2）+﹣4≥2﹣4＝2，当且仅当t+2＝，即t＝1时等号成立，∴g（t）的最小值为2，又g（﹣）＝＝7+，g（）＝＝7﹣，故g（t）的值域是[2，7+]，即f（x）的值域是[2，7+]；（2）由（1）得g（t）＝，t∈[﹣，]，则f（x）＝，即＝，化简得3t2﹣8t﹣1＝0，解得t＝（4﹣）或t＝（4+）（不合题意，舍去）；∴sin x+cos x＝（4﹣），得sin（x+）＝（4﹣），解得sin（x+）＝，∵x∈[0，]，∴x+∈[，10π]由x+＝kπ+，得x＝kπ+（k∈Z），得函数y＝sin（x+）图象在[0，]区间且确保sin（x+）＝成立，对称轴为x＝kπ+，（k∈N*，k≤10），sin（x+）＝在区间[0，]内有10个根x1，x2⋯，x10，数列{x i+x i+1}（i∈N*，i≤10）构成以x1+x2＝为首项，2π为公差的等差数列，x1+2x2+2x3+⋯+2x9+x10＝（x i+x i+1）＝×10+×9×8•2π＝97π．【点评】本题考查利用换元法求函数的值域，合理利用对应函数的对称性是解决问题的关键，考查方程的解，属于难题．22．（12分）已知函数f（x）＝1+﹣ae x+，a≥．（1）当x+lnx＞0时，求证f（x）＜0；（2）求证：++⋯++＞ln（n∈N*）．【分析】（1）问题转化为证明恒成立，令t＝xe x，进一步转化为当t＞1时，，设，再利用导数即可得证；（2）由（1）可得当时，恒成立，再令，由此可得，再通过累加即可得证．【解答】证明：（1）函数的定义域为（0，+∞），要证f（x）＜0，即证x2+xlnx﹣ax2e x+ae﹣x＜0，即证，即证，令t＝xe x，由于x+lnx＝ln（xe x）＞0，则t＝xe x＞1，即证当t＞1时，，设，则，又，则方程﹣at2+t﹣a＝0中Δ＝1﹣4a2≤0，则h′（t）≤0在[1，+∞）上恒成立，所以h（t）在[1，+∞）上单调递减，则，即，即得证；（2）由（1）可知，当时，恒成立，令，则，所以，则，，……，以上各式相加可得，，所以，又，则，即得证．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于较难题目．。

一、单选题二、多选题1. 若函数在内有2个零点，则a 的取值范围为（ ）A．B．C．D．2. 函数在区间的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．3.已知等比数列满足，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 若满足，则A．B．C ．2D ．45.已知实数，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知数列是公比为的等比数列，且，则（ ）A．B．C．D．7.某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为（ ）A．B．C．D．8. 若把函数的图象沿轴向左平移个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，则的解析式为（ ）A．B．C．D．9.（多选题）如图正方体的棱长为2，线段上有两个动点､，且，则下列结论中正确的是（）A．B ．平面C．三棱锥的体积为定值D ．的面积与的面积相等吉林省东北师范大学附属中学2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试题吉林省东北师范大学附属中学2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试题三、填空题四、解答题10. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）A．B．C．D．11. 中国仓储指数是基于仓储企业快速调查建立的一套指数体系，由相互关联的若干指标构成，它能够反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况.下图是2019年1月至2020年6月中国仓储业务量指数走势图，则下列说法正确的是（）A ．2019年全年仓储业务量指数的极差为24%B ．两年上半年仓储业务量指数均是2月份最低，4月份最高C ．两年上半年仓储业务量指数的方差相比，2019年低于2020年D ．2019年仓储业务量指数的中位数为59%12.已知抛物线的准线为，焦点为F ，点是抛物线上的动点，直线的方程为，过点P 分别作，垂足为A，，垂足为B ，则（ ）A ．点F 到直线的距离为B．C．的最小值为1D ．的最小值为13.函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且的图象的一条对称轴是直线，则的最小值为___________.14. 我校为了支援山区教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，新闻记者采访其中某位队员时询问了本团队的人员构成情况.该队员回答问题的结果如下：①支教团队有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教团队中教师的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上五个条件都成立.据此，我们可以推测该队员的职称是______.（从下列四个选项中选出正确的数字代号填空：（1）小学中级；（2）小学高级；（3）中学中级；（4）中学高级）15. 已知函数（其中且的值域为R ，则实数的取值范围为_______．16.已知函数.（1）若函数在上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数在处的切线平行于x 轴，是否存在整数k，使不等式在时恒成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，请说明理由.17.已知数列的前项和为，且，数列满足：，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.18. 为建设美丽新农村，某村对本村布局重新进行了规划，其平面规划图如图所示，其中平行四边形区域为生活区，为横穿村庄的一条道路，区域为休闲公园，，，的外接圆直径为.（1）求道路的长；（2）该村准备沿休闲公园的边界修建栅栏，以防村中的家畜破坏公园中的绿化，试求栅栏总长的最大值.19. 《山东省高考改革试点方案》规定：从年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为八个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为.选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校级学生共人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级的学生原始成绩统计如下成绩93919088878685848382人数1142433327（1）从物理成绩获得等级的学生中任取名，求恰好有名同学的等级分数不小于的概率;（2）待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到名同学的物理高考成绩等级为或结束(最多抽取人)，设抽取的学生个数为，求随机变量的数学期望(注: ).20. 设函数，，(1)若函数有两个零点，求b的取值范围；(2)若函数没有极值点，求的最大值．21. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．(1)求角A；(2)若点D是边上的一点，且，求的面积的最大值．。

一、单选题二、多选题1. 已知点的坐标为，将向量绕原点逆时针方向旋转到的位置，则点坐标为（ ）A．B．C．D．2. 已知复数，则（ ）A．B ．1C．D ．3. 已知、是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作角平分线的垂线，垂足为，是坐标原点．若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．4. 若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则k 的取值范围是（ ）A．B．C．D．5.设函数，则对任意实数a 、b,是的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件6. 设全集，若集合，，则（ ）A．B．C．D．7. 设集合，若，，则（ ）A．B．C．D．8. 已如函数，若，且，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 已知函数的部分图象如图所示，则（）A．函数的最小正周期为πB ．点是曲线的对称中心C ．函数在区间内单调递增D ．函数在区间内有两个最值点10. （多选）2020年12月26日太原地铁2号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁2号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第二次模拟考试数学试题三、填空题根据图中信息，下列结论正确的是（ ）A ．样本中男性比女性更关注地铁2号线开通B ．样本中多数女性是35岁及以上C ．样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多D ．样本中35岁及以上的人对地铁2号线的开通关注度更高11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（）A ．动点轨迹的长度为B ．三棱锥体积的最小值为C ．与不可能垂直D ．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为12. 已知函数在区间上单调，且满足．有下列结论：①；②若，则函数的最小正周期为；③关于的方程在区间上最多有个不相等的实数解；④若函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为．其中所有正确结论的编号为________．13.对于任意的，且，均有定直线与圆相切，则直线的方程为______．14. “灯笼”是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要从下往上依次取下，每次取1盏，则不同取法总数为___________.四、填空题五、填空题六、解答题七、解答题八、解答题九、解答题15. 已知，则______.______.16. 直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则__________；的面积为__________．17. 用表示不超过的最大整数，已知数列满足：，，.若，，则________；若，则________.18. 某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点，之间的距离，如图，处为码头入口，处为码头，为通往码头的栈道，且，在B 处测得，在处测得（均处于同一测量的水平面内）(1)求两处景点之间的距离；(2)栈道所在直线与两处景点的连线是否垂直？请说明理由.19. 如图，正方体中，直线平面，，.(1)设，，试在所给图中作出直线，使得，并说明理由；(2)设点A 与（1）中所作直线确定平面.①求平面与平面ABCD 的夹角的余弦值；②请在备用图中作出平面截正方体所得的截面，并写出作法.20.如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，，，．（1）求证：平面；（2）当的长为何值时，二面角的大小为．21. 某生鲜批发店每天从蔬菜生产基地以5元/千克购进某种绿色蔬菜，售价8元/千克，若每天下午4点以前所购进的绿色蔬菜没有售完，则对十、解答题未售出的绿色蔬菜降价处理，以3元/千克出售．根据经验，降价后能够把剩余蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货．该生鲜批发店整理了过往30天（每天下午4点以前）这种绿色蔬菜的日销售量（单位：千克）得到如下统计数据（视频率为概率）（注：x ，y ∈N *）每天下午4点前销售量350400450500550天数39xy2（1）求在未来3天中，至少有1天下午4点前的销售量不少于450千克的概率．（2）若该生鲜批发店以当天利润期望值为决策依据，当购进450千克比购进500千克的利润期望值大时，求x 的取值范围．22. 近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，大力增加研发资金，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术．某市为了解本市高科技企业的科研投入和产出方面的情况，抽查了本市8家半导体企业2018年至2022年的研发投资额x （单位：百亿元）和因此投入而产生的收入附加额y （单位：百亿元），对研发投资额和收入附加额进行整理，得到相关数据，并发现投资额x 和收入附加额y 成线性相关．投资额（百亿元）234568911收入附加额（百亿元）3.64.14.85.46.27.57.99.1(1)求收入的附加额y 与研发投资额x 的线性回归方程（保留三位小数）；(2)现从这8家企业且投资额不少于5百亿元的企业中，任意抽取3家企业，求抽取的3家企业中恰有1家企业的收入附加额大于投资额的概率．参考数据：．附：在线性回归方程，．。

一、单选题二、多选题1. 若复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数是（ ）A．B．C．D．2.若函数有唯一零点，则（ ）A．B ．2或C．D ．23. 的展开式中，含的项的系数是（ ）A ．－40B ．40C ．－80D ．804. 已知函数，则的图象（ ）A ．关于直线对称B ．关于点对称C ．关于直线对称D ．关于原点对称5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若且，则△ABC 的面积S =A．B．C．D．6. 一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为，则侧视图中的的值为（）A ．6B ．4C ．3D ．27. 复数(i 是虚数单位)的模等于（ ）A．B．C．D．8. 设命题，；命题，中至少有一个不小于2，则下列命题为真命题的是A．B．C．D．9. 已知，函数有两个极值点，，则（ ）A ．a 可能是负数B ．若，则函数在处的切线方程为C ．为定值D ．若存在，使得，则10. 已知函数的图象上，对称中心与对称轴的最小距离为，则下列结论正确的是（ ）A．B．当时，吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第二次模拟考试数学试题(2)吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第二次模拟考试数学试题(2)三、填空题四、解答题C ．若，则D ．若，，则的值为11. 已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则（ ）A．B．C ．椭圆的离心率为D ．直线的斜率的绝对值为12.若，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．13. 某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2:6:4，用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中青年人数为，______.14.已知直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边，，上，且，，则的最小值为______.15. 已知f （x）是偶函数，当时，，则满足的实数x 的取值范围是______．16. 已知函数，为的导函数，其中.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若方程有三个互不相同的根0，，，其中.①是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.②若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.17. 槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材，南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解，两个少数民族班的学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，经他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本，绘制成如图所示的茎叶图（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.（1）你能否估计哪个班的学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多？（2）在被抽取的10名学生中，从平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于20颗的学生中随机抽取3名学生，求抽到班学生人数的分布列和数学期望.18. 在等比数列中，且成等差数列．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n 项和．19.已知(1)若，求在处的切线方程(2)求的极值和单调递增区间(3)设，求在上的零点个数20. 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，当时，，实数的取值范围．21. 设数列的前项和为，，，且、、成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.。

吉林省东北师范大学附属中学2016届高三上学期第二次模拟考试文数试题一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的・)1.log2 V2 + log! 2 =()21 1 3 3(A) 一(B)——(C) 一(D)——2 2 2 2【答案】B【解析】试题分析:计算对数式时，要先把底数化成同底的,再进行运算.bg2V2+fog12 = fog272-fog22=-^.2 2故选B.考点：对数的运算性质.2.命题“Irw兀+ 2 = 0”的否定是()(A) V XG R,x2 -3x+2 = 0 (B) 3xe /?,x2 -3x4-2 ^0(C) V XG R,x2 -3x+2^0 (D) /?,X2-3X+2>0【答案】C【解析】试题分析：含有量词的命题的否定，先改变量词，再对结论进行否定.则上式的否定是“\/兀丘/?,〒_3兀+ 2工0”，故选C.考点：命题的否定.3.若a = 30,2, b = log^ 3, c = log3 cos—则()(A) b > c > a⑻b>a>c(C)a>b>c 5)c>a>b【答案】C【解析】试题分析：根据指数、对数的性质可以得知：^ = 3aj >3° = L 0<b=log 门<logM = l,<7 = k>g 3 cos v <log3 cos — =k>g 3< log 31= 0 综上故选 C ・4 42考点：指数与对数的大小比较.4•己知函数 f\x) = sinx + cos x,xe (0,TT ),且 f r (x) = 0 ,则兀=() (A) -(B) —(C) -(D)-44 36【答案】A【解析】 试题分析：对函数求导得/ (x) = cos 兀-sinx ,令/ (兀)= cosA ：-sinx = 0,又 cos 2 x + sin 2 x= 1,解得x =—,故选 A.4考点：函数求导.5.已知幕函数/(X ) = X \/?G {-2,-1,1,3}的图彖关于y 轴对称，则下列选项正确的是()试题分析：由于幕函数f(x) = 的图象关于y 轴对称,可知/(兀)=兀"为偶函数,所以n = —2,即 /⑴=才2 则有兀_2) = /(2)=丄，/(-1) = /(1) = 1,所以/(-2)< /(I), 4故选B.考点：1、幕函数的简单性质；2、偶函数的性质.6. i(a>\b\v 是“亍>夕”的() (A)充分非必要条件.(B)必要非充分条件. (C)充要条件.(D)既非充分又非必要条件.【答案】A 【解析】(A) /(-2) > f (1) (C) f ⑵二/⑴【答案】B【解析】 (B) /(-2) < /(I)(D) /(-2) >/(-!)试题分析:由 a 2>b 2^\a\>\b\^a>\b\or-a>\b\,所以 aa>\b\”是“ a 2> b 2"的充 分不必要条件.故选A.考点：充分条件、必要条件的判断.7.曲线f(x) = ax n(a,ne R)在点(1,2)处的切线方程是y = 4x-2 ,则下列说法正确的是()【答案】C【解析】 试题分析：导数的几何意义就是在该点出切线的斜率，对函数求导,则幵=2小，函数为二次函数 如 =2込 幵口向上，有最小值，且为偶函数•故选c ・a = 2考点：1、导数的儿何意义；2、二次函数的性质.8.若于(兀)是R 上周期为5的奇函数,且满足于⑴=1 ,/(2) = 2, /(23) + /(-14)=() (A) -1(B) 1 (C) -2 【答案】A 【解析】试题分析：奇函数/(x)的周期为5,则/(23) + /(-14) = /(-2) + /(I) = 一/⑵ + /(I) = -1,故选 A.考点：1、函数周期性；2、函数奇偶性.X9.函数/(x) = —的图象大致是()1 X｛(A)函数/(x)是偶函数且有最大值(C)两数/(x)是偶函数且有最小值(B)函数/(兀)是奇函数且有最大值 (D)函数/(兀)是奇函数且有最小值| f(T) = a l K= 2 ［八1)=朋宀4(D) 2(c)【答案】B 【解析】—y"试题分析：不难知函数的定义域为f 〈一Q=_ H 所以函数为奇函数•当xe(OJ), L-XY Yf(x) = -― >05当乂已①砂，g= ― <0,又因为函数为奇函数，故选B.1一无~ L-X 考点：两数图象的判断.【方法点睛】给出函数解析式判断函数图象是考试中常见的题型，我们一般使用排除法，根 据如下方法进行解题：①判断函数定义域，对选项进行排除；②观察函数的性质(单调性、 奇偶性、周期性、对称性)，再根据性质对选项进行排除；③代入特殊点，根据特殊点的取值 对选项进行排除；④判断函数在某区间上值的正负，据此对选项进行排除等.10.已知函数f (%) = X 2-2x^2,g(x) = ax 2^-hx-^c,若这两个函数的图象关于(2,0)对称,/(c)=()(A)(D)【答案】A 【解析】试题分析：使用相关点法，求解/(尢)关于(2,0)对称的解析式，再与g(Q 对比，即可求出g(x) 屮参数的值.设g(x)上的一点(x 0,g(x 0)),点So,g(%))关于(2,0)对称的点(4-x 0-g(x 0))g(Xo )二隔 +feXo + c ,得- g(x ()) - /(4一无))=(4-x 0)2 一2(4-兀())+ 2a = -\— (ax ：+b 兀°+ c)=兀o'—6x ()+ 10 ,从而{ b = 6 ,c = —10 /(c)二 /(-10)二(-10)2一 2(-10) + 2 = 122,故选 A.考点：函数关于点对称的性质.11.如果一个正方体的体积在数值上等于V,表面积在数值上等于S,且V-S-m> 0恒成立，则实数加的范围是()(A) (-oo,-16](B) (-oo,-32] (C) [-32,-16] (D)以上答案都不对【答案】B 【解析】试题分析：设正方体边长为则卩S = V-S-m>0恒成立即/一6/-胡=0恒成立•构造函数/<«) = / — 6/一叫 只需/(a)^ > 0即可•对函数求导f\d)=期—15 = 3虫。

数学周考理科[38周]本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共24题，满分150分，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）1．已知集合{}24M x x=<，{}2230N x x x=--<，则集合M N=I（）A．}2|{-<xx B．}3|{>xxC．}21|{<<-xx D．}32|{<<xx2．复数i12i+(i是虚数单位)的实部是（）A．25B．25-C．15-D．153．命题“若,022===+baba且则”的逆否命题是（）A．若,022≠≠≠+baba且则B．若0,022≠≠≠+baba或则C．若则,0022≠+==baba则且D．若0,0022≠+≠≠baba则或4．函数y=的定义域为（）A．(4,1)--B．(4,1)- C．(1,1)-D．(1,1]-5．下列命题中，真命题的是（）A．0sin cos22x x xπ⎡⎤∃∈+≥⎢⎥⎣⎦，，B．2(3)31x x x∀∈+∞>-，，C ．2R 1x x x ∃∈+=-， D ．()tan sin 2x x x ππ∀∈>，，6．命题甲：p 是q 的充分条件；命题乙：p 是q 的充分必要条件，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．从总数为N 的一群学生中抽取一个容量为100的样本，若每个学生被抽取的概率为41，则N 的值 （ ） A ．25 B ．75 C ．400 D ．5008．一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）则该几何体的体积（单位：m3）为 （ ）A ．27B ．29C ．37D ．499．阅读程序框图，若输出的S 的值等于16，那么在程序框图中的 判断框内应填写的条件是 （ ） A ．i ＞5 B ．i ＞6 C ．i ＞7 D ．i ＞810．正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为︒60，则该棱锥 的体积为 （ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．18 11．已知等差数列}{n a ，151=a ，555=S ，则过点),3(2a P ，),4(4a Q 的直线的斜率为 （ ）A ．4B ．41C ．4-D ．41-12．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物 线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则||||BF AF 的值等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ． 第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省东北师范大学附属中学2025届高三上学期第二次摸底考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A ={x ∈N|−2<x⩽1}，B ={x |lg (x +2)<1}，则A ∩B =( )A. {−1,0,1}B. {0,1}C. {−1,1}D. {−1}2.已知y =f′(x )是y =f (x )的导函数，则“f′(x 0)=0”是“x 0是函数y =f (x )的一个极值点”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数f (x )={0,x =0x−sin x ln |x|,x ≠0的图象大致为( )A. B.C. D.4.“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某地区二氧化碳的排放量达到峰值a(亿吨)后开始下降，其二氧化碳的排放量S(亿吨)与时间t(年)满足函数关系式S =ab t ，若经过5年，二氧化碳的排放量为4a5(亿吨).已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为a4(亿吨)，则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？(参考数据：lg2≈0.3)( )A. 28B. 29C. 30D. 315.已知α∈(π2,π)，且3cos 2α−sin α=2，则( )A. cos(π−α)=23 B. tan(π−α)=24 C. sin (π2−α)=53 D. cos (π2−α)=546.已知向量a=(1,0),b=(1,23)，则向量a+b在向量a上的投影向量为( )A. (2,23)B. 2C. aD. 2a7.已知定义在R上的可导函数f(x)，对∀x∈R，都有f(−x)=e2x f(x)，当x>0时f(x)+f′(x)<0，若e2a−1f(2a−1)≤e a+1f(a+1)，则实数a的取值范围是( )A. [0,2]B. (−∞,−1]∪[2,+∞)C. (−∞,0]∪[2,+∞)D. [−1,2]8.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,▵ABC的面积为S，则Sa2+4bc的最大值为( )A. 216B. 28C. 91516D. 91532二、多选题：本题共3小题，共18分。

一、单选题二、多选题1.若，则的值为（ ）A．B．C．D．2. 已知函数，若关于的方程只有两个不同的实根，则的取值范围为A．B．C．D．3.点是曲线上任意一点， 则点到直线的距离的最小值是（ ）A ．1B．C ．2D． 4. 的内角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）A．B．C．D．5. 在三棱锥中，，，，是边长为的等边三角形，点E为棱的中点，则三棱锥的体积为（ ）A．B．C．D．6. 在正方体中，M 为的中点，则直线CM与所成的角为（ ）A．B．C．D．7. 已知，是相互垂直的单位向量，与，共面的向量c 满足，则的模为（ ）A．B ．2C．D．8. 复数在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9. 某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼.学生的体能检测结果服从正态分布，其中检测结果在以上为体能达标，以上为体能优秀，则（ ）附：随机变量服从正态分布，则，，.A．该校学生的体能检测结果的期望为B．该校学生的体能检测结果的标准差为C．该校学生的体能达标率超过D ．该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等10. 设函数的图象为曲线，则（ ）A ．将曲线向右平移个单位长度后与曲线重合B ．将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，则与曲线E 重合C ．将曲线向左平移后所得图象对应的函数为奇函数D ．若，且，则的最小值为11. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，且双曲线的右焦点在直线上，、分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记、的斜率分别为、，则下列说法正确的是吉林省长春市东北师大附中2023届高三第二次摸底考试数学吉林省长春市东北师大附中2023届高三第二次摸底考试数学三、填空题四、解答题（ ）A ．双曲线的渐近线方程为B ．双曲线的方程为C ．为定值D ．存在点，使得12. 已知圆锥的底面圆的半径与球的半径相等，且圆锥，与球的表面积相等，则（ ）A ．圆锥的母线与底面所成角的余弦值为B．圆锥的高与母线长之比为C．圆锥的侧面积与底面积之比为3D ．球的体积与圆锥的体积之比为13. 经过点且与圆相切的直线方程为__________．14. 若一次函数有一个零点2，那么函数的零点是_______.15.在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则的取值范围是__________．16. 已知，均为给定的大于1的自然数，设集合，．（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；（Ⅱ）当时，，且集合满足下列条件：①对任意，；②．证明：（ⅰ）若，则（集合为集合在集合中的补集）；（ⅱ）为一个定值（不必求出此定值）；（Ⅲ）设，，，其中，，若，则．17. 设函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．18. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为直角梯形，，，，P 为上一点，且为正三角形，Q 为PD上一点．(1)若，求证：平面ACQ ；(2)当平面ABQ 时，求平面ACQ 与平面APB 所成锐二面角的余弦值．19. 已知双曲线的左、右顶点分别为A 1，A 2，动直线l：与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为（，），（，）．(1)求k的取值范围；(2)记直线P 1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么是定值吗？证明你的结论．20. 中，，，分别是角，，的对边，且有.(1)求角；(2)当，时，求的面积.21. 在等比数列中，且，求公比q及前6项的和．。

吉林省东北师大附中高三第二次摸底考试（数学文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分；考试时间1. 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置. 4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．函数1y x -=和3log y x =的定义域分别是P 、Q ，则 （ ）A.P Q ≠⊂B.P Q P =⋂C.⋃P R C Q P =D.⋂Q R C P =∅2．下列各式中，值为22的是 （ ） A. ︒︒75cos 75sinB. 18cos22-πC.2tan151tan 15︒-︒D .2)240cos(1︒--3．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =252a ，21a =，则1a = （ ）A.B. C.D. 24．已知角α的终边上一点的坐标为1),22-则角α的最小正值为 （ ） A.56π B.23π C.53π D. 116π5．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a 等于 （ ）A. －4B. －6C. －8D. －106．下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（ ） A. sin()6y x π=+B. sin(2)6y x π=-C. cos(4)3y x π=-D. cos(2)6y x π=-7．由11a =， 131nn n a a a +=+给出的数列{}n a 的第34项为 （ ） A.34103 B. 100 C. 1100 D. 11048． 如果函数)(x f 对于区间D 内任意的n x x x ,,,21 ，有12()()()n f x f x f x n ++≤12()nx x x f n++成立，称()f x 是区间D 上 的“凸函数”. 已知函数sin y x =在区间[]0,π上是“凸函数”，则在△ABC 中，C B A s in s in s in ++的最大值是 （ ）A.21B. 23C.23D.233 9．等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，当首项1a 和d 变化时，1182a a a ++是一个定值，则下列各数中也为定值的是 （ ） A.7SB.8SC .13SD.15S10．已知tan α,tan β是方程240x ++=的两根，若,αβ∈(,)22ππ-，则αβ+=（ ） A.3π B. 23π- C.3π-或23π D. 3π或23π-11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当[]3,5x ∈时，()24f x x =--，则（ ）A.(sin)(cos )66f f ππ< B.(sin1)(cos1)f f > C. (cos 2)(sin 2)f f > D.22(cos )(sin )33f f ππ<12．已知函数2()24(03)f x ax ax a =++<<，若12x x <，121x x a +=-，则 （ ） A. 12()()f x f x < B. 12()()f x f x =C. 12()()f x f x >D. 1()f x 与2()f x 的大小不能确定第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共13．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,3,(1,2,3,)n n a a S n +===，则410log S = ；14．已知,αβ都是锐角，且12sin ,cos()33ααβ=+=，则cos β= ； 15．函数()log (1)(01)xa f x a x a a =++>≠且在[]0,1上的最大值与最小值之和为a ，则函数2()1g x ax x =++在[]2,2-上的值域为 ；16．下列三种说法：(1) 命题“x x R x 31,2>+∈∃使得”的否定是“x x R x 31,2≤+∈∀都有”；(2) 若,a b 正实数，则“33log log a b >”是 “1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的必要不充分条件； (3) 把函数))(2sin(R x x y ∈-=的图像上所有的点向右平移8π个单位，即可得到函数))(42sin(R x x y ∈+-=π的图像.其中正确的说法是 （把正确说法的序号填在横线处）三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）已知5sin 13x =，(,)2x ππ∈，求cos2x 和tan()4x π+值．18．（本题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102030,50a a ==. （1）求通项n a ；（2）若242n S =，求n .19．（本题满分12分）等差数列{}n a 的通项公式为n a n =，记(0)n an n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T .本题满分12分）已知函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x x f ，（1）求()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）若()f x 的最大值为32+，试求常数a 的值.21．（本题满分12分）在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且22()a b c bc --=， （1）求角A ；（2）若BC =B 等于x ，周长为y ，求函数)(x f y =的取值范围.22．（本题满分12分）已知()log ,()2log (22)a a f x x g x x t ==+-,(0,1,)a a t R >≠∈. （1）当[]4,1,2t x =∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值； （2）当[]01,1,2a x <<∈时，有()()f x g x ≥恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分）1．D 2．B 3．B 4．D 5．B 6．D 7．C 8．D 9．C 10．B 11．C 12．A二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共 13．9 1415．1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．① ③ 三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解：225119cos 212sin 12()13169x x =-=-⨯=． ………….2分 因为5sin 13x =，(,)2x ππ∈，所以12cos 13x ==-． …………. 4分则sin 5tan cos 12x x x ==-． 所以tan 17tan()41tan 17x x x π++==-． ………….10分18．解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .102020101011(1)30,50202.201010,12.101a a a a d a ad a ==-∴===--=∴=-∴通项公式为*210()n a n n N =+∈. ………….6分（2）由1(1)2n n n S na d -=+得(1)242122,2n n n -=+⨯即2112420.n n +-=解得11,22n n ==-（舍）11n ∴= ………….12分19．解：由n a n n b a p =，得n n b np =.所以23123(1)n nn T p p p n p np -=++++-+，…2分当1p =时，(1)1232n n n T n +=++++=； ……4分当1p ≠时，23123(1)n nn T p p p n p np -=++++-+234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+， …………6分23111(1)(1)1n n n n n n p p p T p p p pp npnp p-++--=+++++-=-- …9分12(1)(1)1n n n p p np T p p+-∴=--- …………10分综上，12(1),12(1),1(1)1n n n n n p T p p np p p p ++⎧=⎪⎪=⎨-⎪-≠⎪--⎩. …………12分 ：)4sin(sin )2sin(21cos 21)(22ππ+++--+=x a x x x x f2222cos sin sin()2cos 4sin cos sin()4x x a x x x x a x ππ=+++=+++22)sin()44)sin()(,)42x a x a x x k k Z πππππ=+++=+≠+∈(1)最小正周期是2T π=； 令322,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 522,44k x k k Z ππππ∴+≤≤+∈， 又,2x k k Z ππ≠+∈，∴函数()f x 的单调减区间是52,2,2,2,4224k k k k k Z ππππππππ⎡⎫⎛⎤++++∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. （2）因为)(x f 的最大值为)4sin(,32π++x 的最大值为1，则,3222+=+a所以a =21．解：（1）由bc c b a bc c b a -=--=--22222:)(得 ...………1分212cos 222=-+=∴bc a c b A ………3分又π<<A 0 3π=∴A ………5分（2）,sin sin A BC x AC =x x x BC AC sin 4sin 2332sin 3sin =⋅=⋅=∴π………6分2()3C A B x ππ=-+=-， 同理：)32sin(4sin sin x C A BC AB -=⋅=π………7分24sin 4sin())36y x x x ππ∴=+-+=++ ………9分3π=A 320π<=<∴x B………10分 故)65,6(6πππ∈+x ，1sin ,162x π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，(y ∴∈. ………12分 22．解：（1）4t =，24(1)1()()()2log (22)log log log 4(2)a a a a x F x g x f x x x x x x+=-=+-==++ ….2分又1y x x=+在[]1,2x ∈单调递增， ……….3分∴当时1>a []216log )(2,1)(min ==∴∈a x F x x F 也单调递增在，解得4=a ……….4分 当时10<<a []218log )(2,1)(min ==∴∈a x F x x F 也单调递减在， ……….5分解得2318==a （舍去）所以4=a ………….6分（2）)()(x g x f ≥，即)22(log 2log -+≥t x x a a 2)22(log log -+≥∴t x x a a ….7分[]2,1,10∈<<x a ，2)22(-+≤∴t x x ，22-+≤∴t x x ，t x x ≤+-∴22，.8分t x x ≤+-∴22，依题意有t x x ≤+-max )22( …….9分而函数817)41(2222+--=+-=x x x y ………….10分因为[][]2,1,2,1∈∈x x ，1max =y ，所以1≥t . ………….12分。